Фазовые переходы в кристаллах черно-белой группы симметрии

Григорьев, Сергей Вадимович

Фазовые переходы в кристаллах черно-белой группы симметрии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Григорьев, Сергей Вадимович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Фазовые переходы в кристаллах черно-белой группы симметрии»

Автореферат диссертации на тему "Фазовые переходы в кристаллах черно-белой группы симметрии"

На правах рукописи

ГРИГОРЬЕВ Сергей Вадимович

СИММЕТРИИ

Специальность 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2005

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете

Защита состоится 29 ноября 2005 года в 14— часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.06 Воронежского государственного технического университета по адресу: 394026, Воронеж, Московский просп.,14

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета

Автореферат разослан _ октября 2005 г.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Даринский Борис Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Косилов Александр Тимофеевич;

доктор физико-математических наук, профессор

Клинских Александр Федотович

Ведущая организация

Воронежский государственный университет

Ученый секретарь диссертационного совета

Горлов М.И.

12. МЯО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Термодинамический метод исследования различных фазовых переходов в кристаллах в настоящее время нашел широкое применение. Он, как правило, является первым шагом объяснения результатов экспериментального исследования общих свойств и особенностей фазового перехода в каждом конкретном веществе. Система соотношений между различными физическими характеристиками вещества, находящимися в условиях фазового перехода, которая получена в рамках термодинамического метода, позволяет развить классификацию всей совокупности фазовых переходов. Это дает возможность исследователю по относительно небольшому числу экспериментальных данных понять существенные черты фазового перехода в каждом конкретном случае и проводить осознанное планирование дальнейших исследований. Наиболее важной классификацией фазовых переходов является выделение совокупности фазовых переходов первого и второго рода. В другой классификации принято разделение фазовых переходов на собственные и несобственные. В результате, осмысливание экспериментальных данных методами термодинамики позволяет выработать отправные точки для последующего установления микроскопического механизма фазового перехода в конкретном материале.

Среди всей совокупности фазовых переходов в кристаллических твердых телах большую часть составляют структурные фазовые переходы. Определяющим признаком структурного фазового перехода является факт изменения системы элементов симметрии кристалла в результате фазового перехода. Для исследования структурных фазовых переходов термодинамическими методами важно установить физический смысл макроскопического параметра порядка, являющегося базовой характеристикой состояния вещества при фазовом переходе. Для описания закономерностей нелинейных явлений в кристаллах удобными макроскопическими характеристиками являются тензоры различного ранга. Ранг и симметрия по отношению к обращению времени тензорного параметра порядка служат еще одним основанием для классификации структурных фазовых переходов. Поскольку число групп точечной симметрии кристаллов ограниченно, существует возможность дать полный список возможных фазовых переходов с изменением точечной группы и их полную классификацию по этим признакам. Аналогичный подход применим и для указания возможных структурных фазовых переходов в доменных границах ферроиков различных типов.

Важным аспектом в физике фазовых переходов являются несобственные фазовые переходы.] материалах

БИБЛИОТЕКА I

¿Т

физические представления о них давно разработаны и обнаружено большое количество кристаллов, претерпевающих такие переходы. В магнитных кристаллах этой работы не проводилось. Поэтому вопрос о возможных несобственных фазовых переходах с участием магнитной компоненты остается открытым.

Применение черно-белых групп оказывается весьма плодотворным в исследованиях диссипативных процессов в кристаллах, отражающих их симметрийные свойства. Такое направление исследований можно использовать для построения физической картины различных зависимостей в этих процессах.

Ферроики являются теми материалами, в которых сильно выражены нелинейные свойства. Поэтому они представляют собой интересные объекты исследования различных нелинейных эффектов Успехи в развитии физики в этом направлении сулит построение приборов электроники нового поколения, в которой предполагается широкое использование нелинейных свойств материалов.

Цель и задачи работы. Целью работы явилась разработка и применение новых теоретических методов исследования термодинамических потенциалов кристаллических ферроиков. Для достижения указанной цели были сформулированы следующие задачи:

получение полного списка представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы и нахождение тензорных базисов и характеров для всех представлений;

выделение тензорных базисов представлений минимального ранга и на их основе получение описания всех возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах;

указание типов параметров порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах и нахождение возможного физического смысла для каждого параметра порядка;

нахождение полного списка возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла, а также зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии;

определение возможных фазовых переходов в доменных границах ферромагнетиков и получение списка групп симметрии 180°-ных доменных границ для всех групп симметрии кристаллов;

разработка метода описания состояния вещества при протекании диссипативных процессов, основанная на использовании диссипативной функции как 1-нечетного скаляра, являющегося базисом соответствующего представления точечной черно-белой группы кристалла.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

составлен полный список всех возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах;

получен полный список представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы и найдены тензорные базисы и характеры для всех представлений;

указаны типы параметров порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах, и найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка;

получена классификация возможных фазовых переходов в 180°-ных доменных границах для всех групп симметрии кристаллов;

получен полный список возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла;

получены зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии;

разработан метод нахождения характеристик кристалла при протекании диссипативных процессов, основанный на использовании диссипативной функции как 1-нечетного скаляра, являющегося базисом соответствующего представления точечной черно-белой группы кристалла.

Практическая значимость работы. Полный список возможных фазовых переходов в магнитных ферроиках будет способствовать интерпретации экспериментальных закономерностей в каждом конкретном случае фазовых переходов, описанию нелинейных явлений в этих кристаллах и влияния внешних силовых полей.

Наличие полного списка возможных несобственных фазовых переходов в сегнетоэлектриках - ферромагнетиках позволит провести целенаправленный экспериментальный поиск таких кристаллов.

Результаты исследования фазовых переходов в доменной границе могут быть использованы при интерпретации эффектов, обусловленных строением и движением доменных границ в ферроиках.

Закономерности и теоретико-групповой метод исследования диссипативных явлений в кристаллах позволит построить теоретические модели этих явлений в кристаллах различной симметрии.

Полное описание возможных структурных фазовых переходов в кристаллах заслуживает его внедрения в учебных курсах для специальностей соответствующего профиля.

Положения, выносимые на защиту:

полная классификация возможных структурных фазовых переходов в кристаллических магнитных ферроиках без изменения числа атомов в ячейке

кристаллической решетки, соответствующие параметры порядка и тензорные базисы представлений, по которым они преобразуются;

тензорные базисы представлений минимального ранга, на основе которых получено описание возможных структурных фазовых переходов в кристаллах. Минимальный ранг тензорного базиса не превышает трех. Указаны 15 типов параметра порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах. Найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка;

в кристаллах черно-белой группы симметрии возможны несобственные фазовые переходы, в которых вектор намагниченности выступает в качестве основного, а вектор поляризации - вторичного параметра порядка, и наоборот. Указан список представлений и компонент этих векторов для всех черно-белых групп кристаллов;

в 180°-ных доменных границах кристаллических ферромагнетиков возможны фазовые переходы следующих типов: магнитные, сегнетоэлектрические, сегнетоэластические, двухкомпонентные (магнитные-сегнетоэлектрические, сегнетоэлектрические-сегнетоэластические),

тороидальные;

метод, основанный на применении диссипативной функции в качестве базиса представления черно-белых групп, позволяет исследовать влияние диссипативных процессов на строение кристалла. Наличие диссипативных процессов, в частности, может привести к появлению зависимости намагниченности от четвертой степени напряженности электрического поля.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 4-ом Международном семинаре по физике сегнетоэластиков (Воронеж, 2003), на 1-ой Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке и технике» (Абхазия, Пицунда, 2005), на 41-44 конференциях профессорско-преподавательского состава, студентов, аспирантов и сотрудников ВГТУ (Воронеж, 2001 - 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы.

Личный вклад автора. Автор диссертации являлся фактическим исполнителем всех поставленных задач, проводил вывод формул, представленных в работе, давал физическую интерпретацию получающимся результатам, участвовал в их обсуждении, проводил подготовку научных текстов для печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, библиографического списка из 88 наименований, приложения. Работа изложена на 80 страницах, включает 72 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования магнитных ферроиков теоретико-групповыми методами. Формулируется цель и содержание поставленных задач, приводится научная новизна и практическая значимость работы, положения, выносимые на защиту. Представлена степень апробации, количество публикаций и структура диссертации.

В первой главе приводится обзор литературы, отражающий основные этапы развития термодинамического метода описания фазовых переходов в кристаллах, сформулированы цели и задачи исследований, обоснована актуальность направления исследования.

Вторая глава посвящена описанию фазовых переходов в кристаллических ферроиках. На основе термодинамического метода и теории представлений черно-белых кристаллографических групп рассмотрены и проанализированы возможные структурные фазовые переходы в магнитных и немагнитных кристаллах, а также получен полный список тензорных базисов представлений.

В этой главе описание фазовых переходов в ферроиках завершено для всех точечных черно-белых или магнитных точечных кристаллографических групп. Указаны базисы черно-белых групп, на основе которых возможно построение фазовых переходов различной физической природы. Построены таблицы тензорных представлений для всех черно-белых точечных групп и найдены базисы для всех представлений. Считается, что базис представления может служить параметром порядка при различных фазовых переходах, таким образом можно предсказать наличие тех или иных фазовых переходов в веществе, которые характеризуются изменением соответствующей симметрии.

Результаты построения тензорного базиса минимального ранга показали, что для всех представлений точечных групп минимальный ранг базисных тензоров и псевдотензоров не превосходит трех. Базисные тензоры и псевдотензоры второго и третьего ранга являются симметричными по двум индексам. Базисные тензоры и псевдотензоры более высокого ранга для каждого представления не трудно построить с помощью таблиц произведений представлений. Размерность всех представлений не превосходит трех, а трехмерные представления присутствуют только в группах кубической симметрии.

Тензорный базис любого представления может быть принят в качестве параметра порядка и положен в основу для построения термодинамического потенциала, описывающего некоторый структурный фазовый переход в кристалле. Физический смысл параметра порядка не определяется лишь его симметрийными свойствами. Для его установления нужно воспользоваться формулами для энергии взаимодействия параметра порядка с внешними

полями. С целью построения таких формул обратим внимание на симметрийные свойства внешних силовых полей. Вектор Е электрического поля является Учетным, то есть не меняет знак при инверсии времени. Псевдовектор Н магнитного поля является 1-нечетным. Тензор ст,к механических напряжений представляет собой симметричный Учетный тензор второго ранга. Примем также во внимание возможность наличия в кристалле поля момента сил, который в моментных теориях упругости представляется антисимметричным тензором второго ранга. Плотность К момента сил является Учетным псевдовектором. Из указанных выше полевых характеристик можно сформировать тензоры различных рангов, имеющих разные симметрии по отношению к изменению знака пространственных координат и времени, а именно:

Е- К - Четный псевдоскаляр,

Е Н - ^нечетный псевдоскаляр,

К • Н - ^нечетный скаляр,

Н- ст - 1-нечетный псевдовектор,

Е х Н - 1-нечетный вектор,

Е х Е - Учетный тензор второго ранга,

Н х Н - 1-четный тензор второго ранга,

Е <8 Н - ^нечетный псевдотензор второго ранга,

Е х а - Учетный псевдотензор второго ранга,

Н х а - 1-нечетный тензор второго ранга,

Е ® а - 1-четный тензор третьего ранга,

Н ® ст - ^нечетный псевдотензор третьего ранга.

Таблицы представлений всех точечных кристаллографических магнитных групп позволяют построить классификацию возможных структурных фазовых переходов, приняв за основу тензорный базис минимального ранга.

Базисами наименьшего ранга, которые могут быть приняты в качестве параметров порядка кристаллической фазы, возникающей в результате структурного фазового перехода, являются ^нечетный скаляр и Учетный и N нечетный псевдоскаляры. Из рассмотрения исключается Учетный скаляр, так как он не приводит к изменению группы симметрии кристалла. Таким образом, рассматривая Ьчетные и ^нечетные тензоры и псевдотензоры 0, 1, 2 и 3-го порядков мы получаем набор возможных структурных фазовых переходов, таким образом, получаем 15 типов параметров порядка.

Список фазовых переходов.

1. Если параметр порядка имеет симметрию ^нечетного скаляра то инвариантной величиной, содержащей характеристики силовых полей, является 5 К ■ Н . Таким образом, обобщенной силой для этого параметра порядка является скалярное произведение псевдовекторов механического момента и магнитного поля. Не известны экспериментальные обнаружения таких фазовых

переходов, хотя они не исключаются симметрийными соображениями.

2. Имеются представления групп, индуцированным базисом которых является ^нечетный псевдоскаляр ф. Примерами таких представлений являются В1Ц в группе 06ь(03Д А2в в группе О^ТД Поэтому предполагается возможность фазовых переходов в кристаллах, при которых возникает отличный от нуля параметр порядка, являющийся 1-нечетным псевдоскаляром. Зависящим от силовых полей инвариантом является выражение ф Е -Н, которое можно рассматривать как вклад в энергию кристалла, находящегося во внешнем электромагнитном поле. Макроскопическим проявлением такого параметра порядка будет эффект возникновения поляризации кристалла при наложении магнитного поля. При этом для любого направления магнитного поля векторы поляризации и магнитного поля будут параллельны друг другу.

Для таких кристаллов будет иметь место обратный эффект, а именно, возникновение намагниченности кристалла при наложении внешнего электрического поля.

3. Таблица представлений групп содержит в качестве базиса Учетный псевдоскаляр г. В качестве примера можно указать представление А2я в группе Оь(О). Вклад в энергию кристалла, связанный с этим параметром порядка имеет вид т Е-УхЕ. Это выражение показывает, что кристалл является гиротропной средой для распространения электромагнитных волн. Свойство гиротропности возникает в результате фазового перехода из высокотемпературной негиротропной фазы в низкотемпературную гиротропную фазу.

4. Если в качестве параметра порядка выступает Учетный вектор х, то инвариантным выражением для энергии и будет и = -х,£,. Соответствующие фазовые переходы известны как ферроэлеюгрические. Параметром порядка при таких фазовых переходах является вектор поляризации. Для таких кристаллов можно построить инвариантное выражение для энергии кристалла в неоднородном поле упругих напряжений и = V- <т- х. Эта энергия отражает воздействие неоднородных упругих напряжений на вектор поляризации, который был обнаружен и исследован в работах Е.В. Бурсиана. Этот пример показывает, что на один параметр порядка могут воздействовать силовые поля разной физической природы. Важность учета различных полей определяется внешними условиями, в которых исследуется явление. Как правило, при исследовании и функционировании ферроэлектрических кристаллов существенным является электрическое поле. Однако, тонкие сегнетоэлекгрические пленки могут переполяризовываться путем механического изгиба, что свидетельствует о существенном воздействии механических полей на вектор поляризации в этих условиях. Отметим, что этот эффект согласуется с симметрийными соображениями, развиваемыми в настоящей работе. Его важность в каждом конкретном случае определяется

свойствами конкретного кристалла.

5. Рассмотрим фазовые переходы, в которых параметром порядка является 1-нечетный вектор х. Инвариантное выражение для энергии содержит два слагаемых к ■ Е х Н и Существует физический параметр порядка, который имеет симметрию ^нечетного вектора, это тороидальный момент х~тхМ, где М - псевдовектор намагниченности кристалла. Имеется немногочисленное количество исследований таких фазовых переходов.

6. В случае, если параметром порядка является г-четный псевдовектор, это может быть угол поворота атомных кластеров в ячейке кристаллической решетки. Фазовые переходы такого типа исследовались во многих работах, преимущественно для случаев, когда в соседних ячейках кристаллической решетки углы поворота имеют разные знаки.

7. Если параметр порядка имеет симметрию ^нечетного псевдовектора ф„ то макроскопической характеристикой кристалла является его магнитный момент М . Энергия кристалла во внешнем магнитном поле и=-М,Я,. Такие фазовые переходы являются ферромагнитными, их исследованию посвящена обширная литература.

8. Рассмотрим в качестве параметра порядка Учетный тензор второго ранга. Макроскопическими характеристиками в данном случае могут быть тензоры деформации ии, квадрупольного момента диэлектрической проницаемости ец, магнитной проницаемости . Энергия кристалла во внешних полях записывается в следующем виде:

+ (1)

При возникновении в кристалле спонтанной деформации ич в результате ферроэластического фазового перехода меняются квадрупольный момент ql¡, тензоры диэлектрической^ и магнитной^ проницаемости кристалла. Поэтому в качестве независимого параметра порядка можно принять любой из этих тензоров. Остальные тензоры можно получить из соотношений типа q¡¡ = 0,/1ти1т, где тензор четвертого ранга <3 должен задаваться для каждого кристалла -ферроэластика, как одна из его характеристик. При исследовании и использовании ферроэластических кристаллов, как правило, основную роль играет первое слагаемое. Однако, если этот кристалл окажется в сильном и неоднородном электрическом поле, то могут оказаться важными и другие слагаемые.

9. Далее рассмотрим в качестве параметра порядка ^нечетный тензор второго ранга иа. Из компонент этого тензора и силовых полей получаются следующие инварианты, которые можно положить в основу для вывода формул дня энергии кристалла й^Я,^, и„К,НГ Наличие ненулевых компонент I-

нечетного тензора второго ранга, как характеристики кристалла, показывает, что в результате наложения однородного магнитного поля в таком кристалле появляются механические напряжения и повороты атомных групп.

10. Рассматривается Учетный псевдотензор второго ранга тч. Укажем следующие инварианты, содержащие параметр порядка: г:/( Е * а),,, и

гцР,е11му,Ет. Такие кристаллы после фазового перехода становятся гиротропными, то есть, в этих кристаллах скорость распространения электромагнитных волн зависят от знака эллиптической поляризации этих волн.

11. Рассматривается ^нечетный псевдотензор второго ранг т,г В кристалле, который имеет отличные от нуля компоненты этого тензора, можно обнаружить магнито-электрический эффект, то есть при наложении электрического поля в нем возникает отличный от нуля магнитный момент. Аналогичная ситуация имеет место для электрического поля. Имеется инвариант, отражающий это свойство кристалла тч Н, Е>. Таким образом, если в результате фазового перехода в кристалле возникают отличные от нуля компоненты г,у, то в кристалле появляется магнито-электрический эффект.

12. Если параметром порядка является Учетный тензор третьего ранга Ь1(к, симметричный по двум последним компонентам, то это может быть тензор пьезоэлектрических модулей. Энергия, связанная с этим тензором, как известно, может быть записана в следующем виде и = Ь,)кЕ,ст(1. Другим инвариантом для Учетного тензора третьего ранга Ь]|к, содержащим характеристики силового плоя, является Ь^У.о-^. Наличие этого инварианта свидетельствует о том, что неоднородное поле механических напряжений, так же как произведение Е ® <т, является обобщенной силой для тензора пьезомодулей.

13. Рассматривается ьчетный псевдотензор третьего ранга . Для него можно записать следующий инвариант: и ~рф<т^(го1Е),, который показывает, что в таких кристаллах появляются механические напряжения в вихревом электрическом поле. Исследований этого эффекта не известно.

14. Рассматривается г-нечетный псевдотензор третьего ранга р,)кв качестве параметра порядка. Этот тензор характеризует пьезомагнитные свойства кристаллов, то есть эффект возникновения деформации кристалла при наложении магнитного поля. Такое свойство присуще ферромагнитным кристаллам, которые широко изучены и использованы в практике. Поскольку в рассматриваемой магнитной точечной группе существуют представления, имеющие псевдотензор третьего ранга как тензорный базис минимального ранга, то следует полагать, что возможны не ферромагнитные фазовые

переходы, в результате которых возникают пьезомагнитные кристаллы.

Отметим также, что в пьезомагнитных кристаллах возможно образование магнитного момента не только под действием механических напряжений, но и при наложении неоднородных электрических полей, что связано с наличием инварианта p,Jk Н, Vj Ek.

15. В качестве параметра порядка можно рассматривать t-нечетный тензор третьего ранга bljk, который является минимальным тензорным базисом некоторых представлений рассмотренной магнитной группы. Поскольку для таких кристаллов отличен от нуля инвариант U ~ (rot Н),, для них характерен эффект возникновения магнитного момента в неоднородном поле механических напряжений. Отметим, что в этих кристаллах спонтанная намагниченность может отсутствовать.

Приведен полный список структурных фазовых переходов в кристаллах с указанием 15 типов параметра порядка, которые могут возникать в результате этих фазовых переходов. Найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка. Указана необходимость расширения списка справочных данных о кристалле, испытывающего структурный фазовый переход. Такими дополнительными данными являются коэффициенты в линейных соотношения между отдельными компонентами тензоров, входящих в список базиса представления группы, в соответствии с которым происходит структурный фазовый переход. Отмечается, что приведенное описание возможных структурных фазовых переходов в кристаллах основано на симметрийных принципах. Отличные от нуля параметры порядка в конкретных кристаллах зависят также от реального положения атомов в кристаллической решетке и от взаимодействия между электронами, что необходимо принимать во внимание.

В третьей главе на основе тензорных базисов представлений точечной черно-белой группы симметрии кристаллов и с использованием таблицы умножения неприводимых представлений найден полный список возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла. А также указаны зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии.

Представления о несобственных фазовых переходах были введены при исследовании сегнетоэлектрических кристаллов. На возможность появления поляризации в результате фазового перехода с укрупнением ячейки кристаллической решетки впервые указал Инденбом, термин "improper phase transitions", переведенный на русский язык как "несобственные фазовые переходы". Теоретическому и экспериментальному исследованию закономерностей несобственных фазовых переходов посвящено большое количество статей.

В большинстве кристаллов, испытывающих несобственный фазовый переход, в качестве основного параметра порядка выступает амплитуда некоторой оптической моды колебаний атомов. Вторичным параметром порядка является вектор поляризации. Однако, существуют кристаллические классы белой группы, в которых основными параметрами порядка являются макроскопические характеристики, такие как компоненты тензора деформации, вектора поляризации, углов поворота атомных групп в ячейке кристалла. Такие несобственные фазовые переходы происходят без изменения числа атомов в ячейке кристалла. Кристаллографические классы, допускающие наличие макроскопического магнитного и сегнетоэлектрического моментов одновременно, указаны в работах Шувалова и Белова. Вопрос о возможных несобственных магнитных фазовых переходах до настоящего времени не ставился. Это связано с очевидным отсутствием в серой группе инварианта, представляемого произведением компоненты ^нечетного аксиального вектора намагниченности и квадрата какого-либо другого параметра порядка. Как будет показано далее, в черно-белой группе инварианты такого типа возможны, что позволит предположить существование несобственных магнитных фазовых переходов в кристаллах.

Были рассмотрены все кристаллографические классы черно-белой группы симметрии кристаллов. Для каждого класса указаны тензорные базисы представлений и выбраны те представления, базисы которых содержат компоненты полярного вектора поляризации и аксиального вектора намагниченности. Используя таблицу умножения представлений, получены инварианты, ответственные за появление несобственных фазовых переходов.

Показано, что в кристаллах тетрагональной сингонии вектор основного параметра порядка лежит в плоскости ху, а вторичные компоненты параметра порядка представляются векторами, направленными вдоль оси четвертого порядка. Основной параметр порядка для всех классов тетрагональной сингонии, исключая группу 04н(02ь), содержит электрическую и магнитную компоненты. Вторичный параметр порядка может быть однокомпонентным или двухкомпонентным, в зависимости от кристаллографического класса. В кристаллах группы О^СЭгь) симметрийные ограничения приводят к тому, что чисто сегнетоэлектрический фазовый переход сопровождается появлением намагниченности по механизму несобственных фазовых переходов. Для всех групп тетрагональной сингонии выполняется обычная квадратичная зависимость вторичного параметра порядка от компонент основного, которая, как известно, приводит к линейной зависимости величины вторичного параметра порядка от температуры.

В кристаллах гексагональной сингонии третья компонента вторичного параметра порядка имеет кубическую зависимость от компонент основного параметра порядка, что приводит к степенной зависимости вторичного

параметра порядка от температуры с показателем, равным 3/2. Имеется группа С6(Сз), в которой магнитные компоненты М| и М2 вторичного параметра порядка квадратично зависят от аналогичных компонент вектора поляризации, являющегося основным параметром порядка. В этих же кристаллах третья магнитная компонента имеет кубическую зависимость от тех же компонент. В группах 06(03) и С6„(С3,.) фазовые переходы являются сегнетоэлектрическими по основному параметру порядка и магнитными по вторичному. В другом представлении группы 06(03) складывается противоположная ситуация, а именно основной параметр порядка оказывается магнитным, а вторичный -электрическим.

В кристаллах кубической сингонии имеется три класса, в которых возможны несобственные магнитные фазовые переходы. Две первые группы этой сингонии допускают несобственные магнитные переходы, в которых основным и вторичным параметрами порядка являются компоненты вектора поляризации и намагниченности соответственно. Если в результате основного сегнетоэлектрического перехода возникает вектор поляризации, направленный вдоль какой-либо оси кристаллографической системы координат, то вторичная компонента будет равна нулю. Для других направлений вектора спонтанной поляризации магнитный эффект присутствует. Симметрийный анализ показывает, что в результате сегнетоэлектрических фазовых переходов второго рода в кристаллах кубической симметрии могут возникать векторы спонтанной поляризации, направленные вдоль сторон или пространственных диагоналей ячейки кристалла. В первом случае намагниченность кристалла не возникает, во втором она направлена вдоль пространственной диагонали. Если в кристалле происходит фазовый переход первого рода с образованием вектора поляризации, направленным вдоль диагонали грани куба, то вектор намагниченности направлен вдоль ребра, перпендикулярного этой грани.

Таким образом, в кристаллах, имеющих симметрию точечной черно-белой группы, возможны несобственные фазовые переходы, с участием компонент векторов поляризации и намагниченности в качестве основного и вторичного параметров порядка. Несобственные фазовые переходы разрешены во всех сингониях, имеющих оси симметрии высокого порядка. В кристаллах тетрагональной симметрии зависимость третьей компоненты вторичного параметра порядка от компонент основного параметра порядка является квадратичной, в кристаллах гексагональной и тригональной сингоний -кубической. Такая зависимость, очевидно, сохранится и для соответствующих пространственных групп.

В четвертой главе на основе теории представлений точечной черно-белой кристаллографической группы симметрии разработана методика определения возможных фазовых переходов в доменных границах ферромагнетиков и получен список групп симметрии 180°-ных доменных

границ для всех групп симметрии кристаллов. Используя тензорные базисы представления черно-белых групп, получены полные списки фазовых переходов, которые могут происходить в доменных границах.

180°-ные доменные границы в этих кристаллах можно рассматривать как плоские контакты между однородными кристаллами, получающимися один из другого с помощью такой операции двойникования, в результате которой происходит изменение направления вектора магнитного момента на противоположное. При этом возможно изменение расположения атомов внутри ячейки, но должна оставаться неизменной кристаллическая решетка узлов. Существуют следующие операции:

обращение времени;

поворот вокруг оси, перпендикулярной вектору магнитного момента, на угол 180°;

отражение от плоскости, в которой лежит вектор магнитного момента; а также комбинации операций:

инверсия с обращением времени;

отражение от плоскости, перпендикулярной вектору магнитного момента, с обращением времени.

Список элементов, меняющих направление вектора намагниченности кристалла на противоположное, получается для каждой из групп симметрии узлов решетки в следующем виде: Моноклинная - Е', С^, Г, ;

Ромбическая - Е', С2х, С^, С'2г, Y, ох,ау, о'г;

Тетрагональная - Е', 2С'4, С'2г, 2С<2'\ 2Cf, I', 2S'4, a'z, 2av> 2od,

Тригональная - E', 2C'3, 3C2, I', 2Sj, 3ad;

Гексагональная - E', 2C'3, С2г, 2C'6> 3C<'\ 3C«2), I', 2S'3_ a'z, 2S'6, 3od, 3ctv.

Однако не все операции двойникования приводят к различным двойникам. Если две из них получаются как произведения какой-либо операции двойникования на разные элементы черно-белой группы симметрии кристалла, то такие двойники будут одинаковыми Показано, что в центросимметричных кристаллах имеются двойники одного типа, которые получаются операцией отражения времени. В нецентросимметричных кристаллах возможны двойники двух типов. В одном из них меняется только направление вектора спонтанной намагниченности, в другом меняется также расположение атомов. В последнем случае этот двойник имеет противоположно направленный вектор электрической поляризации.

Для нахождения возможных структурных фазовых переходов в доменных "раницах воспользуемся представлениями групп симметрии последних. В качестве примера приведем группу C2h(C2) (см. таблицу).

Са(С2) Е Си I' <

2/ш' Аг 1 1 1 1

Аа 1 1 -1 -1

В, 1 -1 -1 1

1 -1 1 -1

В доменных границах этой симметрии возможны три различных типов фазовых переходов. В первом из них возникают тангенциальные компоненты векторов поляризации и намагниченности. Во втором появляются компоненты тех же векторов, перпендикулярные оси т. В третьем возникают повороты атомных групп в области доменной границы, причем вектор углов поворотов лежит в плоскости ху. Одновременно в результате последнего фазового перехода появляются отличные от нуля компоненты ^нечетного полярного вектора, тоже лежащего в этой плоскости. Физической характеристикой, имеющей такую симметрию, является тороидальный момент. Аналогичные фазовые переходы допускаются симметриями доменов С2Ъ(С5) (представление Вг), В2(1(С211) (представление Вн). Отметим, что вместе с компонентами ^нечетного полярного вектора в списке базиса присутствуют компоненты аксиальных тензоров второго ранга, как это показано в базисе представления В^. Наличие отличных от нуля этих компонент в низкосимметричной фазе доменной границы свидетельствует о возникновении специфических эффектов гирации электромагнитных волн в переходном слое, что может быть использовано для экспериментального наблюдения фазового перехода такого типа.

Таким образом, в результате проведенных исследований показано, что в ферромагнитных кристаллах имеется девять кристаллографических классов симметрии 180°-ных доменных границ. Семь из них являются черно-белыми группами, а два - белыми. Все представления групп симметрии являются одномерными, что, в частности, свидетельствует об отсутствии несобственных фазовых переходов в доменных границах. В доменных границах различных симметрий возможны следующие типы фазовых переходов: магнитные, сегнетоэлектрические, сегнетоэластические, двухкомпонентные (магнитные-сеснетоэлектрические, сегнетоэлектрические-сегнетоэластические), тороидальные.

В пятой главе предложен новый метод, основанный на применении диссипативной функции, рассматриваемой как 1-нечетный скаляр, и являющейся базисом некоторого представления черно-белых групп, что позволяет исследовать влияние диссипативных процессов на строение кристалла.

Если в кристалле протекает какой-либо диссипативный процесс, то в нем появляются силы, действующие на атомы и электроны кристалла со стороны частиц, являющихся носителями этого процесса. Эти силы приводят к некоторому изменению положений ядер в кристаллической решетке, волновых функций валентных электронов и атомных токов. В результате возникает влияние одних характеристик кристалла на другие. В этой главе предложен метод определения параметров, взаимодействующих в этом процессе, и описание этого явления методами теории кристаллографических групп. Зависимость макроскопических характеристик кристалла, отражающих наличие диссипапгивных процессов, от внешних силовых полей можно найти с помощью формулировки диссипативной функции Ч*, которая является Ьнечетным скаляром. Она преобразуется по представлению, имеющему положительные характеры для всех элементов группы, не содержащие отражения времени, и отрицательные в противоположном случае. Очевидно, базис такого представления должен содержать нечетные степени компонент Нечетных тензоров различного ранга.

В качестве примера показано, что вследствие наличия диссипативных процессов в кристаллах кубической сингонии возможной зависимости, в частности, можно сделать вывод, что при условии наличия в кристалле соответствующего 1-нечетного скаляра в кристалле появляется намагниченность, пропорциональная четвертой степени тока и напряженности электрического поля.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получен полный список представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы и найдены тензорные базисы и характеры для всех представлений:

выделены тензорные базисы представлений минимального ранга,и на их основе получено описание всех возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах;

максимальный ранг тензоров, параметра порядка равен трем, а число различных типов фазовых переходов, различающихся рангом и симметрийными свойствами, в кристаллах черно-белой группы равно 15.

2. Показано, что в кристаллах черно-белой группы симметрии возможны несобственные фазовые переходы, в которых вектор намагниченности г.ыступает в качестве основного, а вектор поляризации - вторичного параметра

порядка, и наоборот. Указан список представлений и компонент этих векторов для всех черно-белых кристаллографических групп.

3. Показано, что в 180°-ных доменных границах кристаллических ферромагнетиков возможны фазовые переходы следующих типов: магнитные, сегнетоэлектрические, сегнетоэластические, двухкомпонентные (магнитные-сегнетоэлектрические, сегнетоэлектрические-сегнетоэластические), тороидальные.

4. Разработан метод, основанный на применении диссипативной функции в качестве базиса представления черно-белой группы, позволяющий исследовать влияние диссипативных процессов на строение кристалла. В качестве примера показано, что для группы Oh (Th) наличие диссипативных процессов в кристалле может привести к появлению зависимости намагниченности от четвертой степени тока и напряженности электрического поля.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Григорьев C.B., Даринский Б.М. Термодинамическое описание магнитных ферроиков// 4 Междунар. семинар по физике сегнетоэластиков: Сб. тез. докл. -Воронеж.-2003.-С. 14.

2. Darinskii В. M., Grigoriev S. V. Classification of Phase Transitions in Ferroics // Ferroelectrics. -2004. -V. 307. -P.p. 77-102.

3. Григорьев C.B., Даринский Б.М. Несобственные ферромагнитные фазовые переходы в кристаллах // Кристаллография. -2005.-Т. 50.-№ 5.-С. 876-879.

4. Григорьев C.B., Даринский Б.М. Влияние диссипативных процессов на строение и свойства кристаллов // Конденсированные среды и межфазные

Подписано в печать 24.10.2005. Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов.

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 90 экз. Заказ № Воронежский государственный технический университет 394026, Воронеж, Московский просп., 14

РНБ Русский фонд

2006-4 22080

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Григорьев, Сергей Вадимович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕМОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ФЕРРОИКАХ.

ГЛАВА 2. ОПИСАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ФЕРРОИКАХ.

ГЛАВА 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ФАЗОВЫЕ

ПЕРЕХОДЫ В КРИСТАЛЛАХ.

ГЛАВА 4. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ДОМЕННЫХ ГРАНИЦАХ

ФЕРРОМАГНЕТИКОВ.

ГЛАВА 5. ВЛИЯНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ НА СТРОЕНИЕ

И СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ.

Введение диссертация по физике, на тему "Фазовые переходы в кристаллах черно-белой группы симметрии"

Актуальность темы

Термодинамический метод исследования различных фазовых переходов в кристаллах в настоящее время нашел широкое применение. Он, как правило, является первым шагом объяснения результатов экспериментального исследования общих свойств и особенностей фазового перехода в каждом конкретном веществе. Система соотношений между различными физическими характеристиками вещества, находящимися в условиях фазового перехода, которая получена в рамках термодинамического метода, позволяет развить классификацию всей совокупности фазовых переходов. Это дает возможность исследователю по относительно небольшому числу экспериментальных данных понять существенные черты фазового перехода в каждом конкретном случае и проводить осознанное планирование дальнейших исследований. Наиболее важной классификацией фазовых переходов является выделение совокупности фазовых переходов первого и второго рода. В другой классификации принято разделение фазовых переходов на собственные и несобственные. В результате, осмысливание экспериментальных данных методами термодинамики позволяет выработать отправные точки для последующего установления микроскопического механизма фазового перехода в конкретном материале.

Важным аспектом в физике фазовых переходов являются несобственные фазовые переходы. В сегнетоэлектрических материалах физические представления о них давно разработаны и обнаружено большое количество кристаллов, претерпевающих такие переходы. В магнитных кристаллах этой работы не проводилось. Поэтому вопрос о возможных несобственных фазовых переходах с участием магнитной компоненты остается открытым.

Применение черно-белых групп оказывается весьма плодотворным в исследованиях диссипативных процессов в кристаллах, отражающих их сим-метрийные свойства. Такое направление исследований можно использовать для построения физической картины различных зависимостей в этих процессах.

Ферроики являются теми материалами, в которых сильно выражены нелинейные свойства. Поэтому они представляют собой интересные объекты исследования различных нелинейных эффектов. Успехи в развитии физики в этом направлении сулит построение приборов электроники нового поколения, в которой предполагается широкое использование нелинейных свойств материалов.

Цель и задачи работы

Целью работы явилась разработка и применение новых теоретических методов исследования термодинамических потенциалов кристаллических ферроиков. Для достижения указанной цели были сформулированы следующие задачи: получение полного списка представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы и нахождение тензорных базисов и характеров для всех представлений; выделение тензорных базисов представлений минимального ранга и на их основе получение описания всех возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах; указание типов параметров порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах и нахождение возможного физического смысла для каждого параметра порядка; нахождение полного списка возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла, а также зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии; определение возможных фазовых переходов в доменных границах ферромагнетиков и получение списка групп симметрии 180°-ных доменных границ для всех групп симметрии кристаллов; разработка метода описания состояния вещества при протекании дисси-пативных процессов, основанная на использовании диссипативной функции как t-нечетного скаляра, являющегося базисом соответствующего представления точечной черно-белой группы кристалла.

Научная новизна

В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: составлен полный список всех возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах; получен полный список представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы и найдены тензорные базисы и характеры для всех представлений; указаны типы параметров порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах, и найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка; получена классификация возможных фазовых переходов в 180°-ных доменных границах для всех групп симметрии кристаллов; получен полный список возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла; получены зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии; разработан метод нахождения характеристик кристалла при протекании диссипативных процессов, основанный на использовании диссипативной функции как t-нечетного скаляра, являющегося базисом соответствующего представления точечной черно-белой группы кристалла.

Практическая значимость работы

Полный список возможных фазовых переходов в магнитных ферроиках будет способствовать интерпретации экспериментальных закономерностей в каждом конкретном случае фазовых переходов, описанию нелинейных явлений в этих кристаллах и влиянця внешних силовых полей.

Положения, выносимые на защиту: полная классификация возможных структурных фазовых переходов в кристаллических магнитных ферроиках без изменения числа атомов в ячейке кристаллической решетки, соответствующие параметры порядка и тензорные базисы представлений, по которым они преобразуются; тензорные базисы представлений минимального ранга, на основе которых получено описание возможных' структурных фазовых переходов в кристаллах. Минимальный ранг тензорного базиса не превышает трех. Указаны 15 типов параметра порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах. Найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка; в кристаллах черно-белой группы симметрии возможны несобственные фазовые переходы, в которых вектор намагниченности выступает в качестве основного, а вектор поляризации - вторичного параметра порядка, и наоборот. Указан список представлений и компонент этих векторов для всех черно-белых групп кристаллов; в 180°-ных доменных границах кристаллических ферромагнетиков возможны фазовые переходы следующих типов: магнитные, сегнетоэлектриче-ские, сегнетоэластические, двухкомпонентные (магнитные-сегнето-электрические, сегнетоэлектрические-сегнетоэластические), тороидальные; метод, основанный на применении диссипативной функции в качестве базиса представления черно-белых групп, позволяет исследовать влияние дисси-пативных процессов на строение кристалла. Наличие диссипативных процессов, в частности, может привести к появлению зависимости намагниченности от четвертой степени напряженности электрического поля.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 4-ом Международном семинаре по физике сегнетоэластиков (Воронеж, 2003), на 1-ой Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке и технике» (Абхазия, Пицунда, 2005), на 41 -44 конференциях профессорско-преподавательского состава, студентов, аспирантов и сотрудников ВГТУ (Воронеж, 2001 - 2004).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы.

Личный вклад автора

Автор диссертации являлся фактическим исполнителем всех поставленных задач, проводил вывод формул, представленных в работе, давал физическую интерпретацию получающимся результатам, участвовал в их обсуждении, проводил подготовку научных текстов для печати.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, библиографического списка из 88 наименований, приложения. Работа изложена на 80 страницах, включает 72 таблицы.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

В заключение сформулируем основные результаты и выводы настоящей f главы.

1. Был получен полный список представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы. Найдены тензорные базисы и характеры всех представлений.

2. Выделены тензорные базисы представлений минимального ранга и на их основе получено описание возможных структурных фазовых переходов в кристаллах. Показано, что минимальный ранг тензорного базиса не превышает трех. Указаны 15 типов параметра порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах. Найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка.

3. Указана необходимость расширения списка справочных данных о кристалле, испытывающего структурный фазовый переход. Такими дополнительными данными являются коэффициенты в линейных соотношения между отдельными компонентами тензоров, входящих в список базиса представления группы, в соответствии с которым происходит структурный фазовый переход.

4. Отметим, что приведенное выше описание основано на симметрийных принципах. Список отличных от нуля параметров порядка зависит от реального положения атомов в кристаллической решетке и от взаимодействия между электронами, что необходимо принимать во внимание для каждого конкретного кристалла.

ГЛАВА 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

В КРИСТАЛЛАХ

В данной главе предполагается на основе тензорных базисов представлений точечной черно-белой группы симметрии кристаллов и с использованием таблицы умножения неприводимых представлений найти полный список возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла. А также указать зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии.

Представления о несобственных фазовых переходах были введены при исследовании сегнетоэлектрических кристаллов. На возможность появления поляризации в результате фазового перехода с укрупнением ячейки кристаллической решетки впервые указал Инденбом [64], термин "improper phase transitions", переведенный на русский язык как "несобственные фазовые переходы", был введен в статье [65]. Теоретическому и экспериментальному исследованию закономерностей несобственных фазовых переходов посвящено большое количество статей (см., например, [66-70]). В результате в 70-х годах в науке о сег-нетоэлектричестве физика несобственных фазовых переходов выделилась как некоторое узкое научное направление.

В большинстве кристаллов, испытывающих несобственный фазовый переход, в качестве основного параметра порядка выступает амплитуда некоторой оптической моды колебаний атомов. Вторичным параметром порядка является вектор поляризации. Однако, как показано в [71], существуют кристаллические классы белой группы, в которых основными параметрами порядка являются макроскопические характеристики, такие как компоненты тензора деформации, вектора поляризации, углы поворота атомных групп в ячейке кристалла. Такие несобственные фазовые переходы происходят без изменения числа атомов в ячейке кристалла. Изображения возможных направлений вектора спонтанной поляризации после таких несобственных фазовых переходах даны в работе [72]. Кристаллографические классы, допускающие наличие макроскопического магнитного и сегнетоэлектрического моментов одновременно, указаны в работах Шувалова и Белова [73]. Вопрос о возможных несобственных магнитных фазовых переходах до настоящего времени не ставился. Это связано с очевидным отсутствием в серой группе инварианта, представляемого произведением компоненты t-нечетного аксиального вектора намагниченности и квадрата какого-либо другого параметра порядка. Как будет видно ниже, в черно-белых группах инварианты такого типа возможны, что позволит предположить существование несобственных магнитных фазовых переходов в кристаллах. В настоящей главе будут указаны кристаллографические классы кристаллов черно-белой группы симметрии, в которых возможны такие переходы, в результате которых возникает поляризация и намагниченность кристалла.

Были рассмотрены все кристаллографические классы кристаллов черно-белой группы симметрии. Для каждого класса будут указаны тензорные базисы представлений и выбраны те представления, базисы которых содержат компоненты полярного вектора поляризации и аксиального вектора намагниченности. Используя, таблицу умножения представлений, будут получены инварианты, ответственные за появление несобственных фазовых переходов. Результаты представлены в таблице 2.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Григорьев, Сергей Вадимович, Воронеж

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1. -М.: Физматлит, 2002.-616 с.

2. Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А., Крайник Н.Н., Пасынков Р.Е., Шур М.С. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики.-Ленинград: Наука, 1971. - 476 с.

3. Иона Ф., Шираке Д. Сегнетоэлектрические кристаллы.- М.: Мир, 1965.— 555 с.

4. Лайнс М., Гласе А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы. - М.: Мир, 1981.-736 с.

5. Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектриков.- М.: Физматлит, 1995.-301 с.

6. Толедано Ж,-К., Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов.- М.: Мир, 1994.-461с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т.- М.: Наука, 1982.-Т. В.-620 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т.- М.: Наука, 1976.-Т. 5.-583 с.

9. Лифшиц Е.М.-ЖЭТФ, 1941, т. 11, с. 255; т.П, с. 269.

10. Лифшиц Е.М. -ЖЭТФ, 1944, т. 14, с. 353.

11. Любарский Г.Я. Теория групп и физика. - М.: Наука, 1986.

12. Дзялошинский И.Е. Модулированная магнитная структура одноосных антиферромагнетиков.- ЖЭТФ, 1964, т. 47, с. 992.

13. Дзялошинский И.Е. К теории экситона Мотта в сильном магнитном поле- ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 1352.

14. Дзялошинский И.Е. Термодинамическая теория «слабого» ферромагнетизма антиферромагнетиков.- ЖЭТФ, 1957, т. 32, с. 1547.

15. Инденбом В.Л. Фазовые переходы без изменения числа атомов в элементарной ячейке кристалла.- Изв. АН СССР, сер. Физ., 1960, т. 24, с.1180.

16. Леванюк А.П., Санников Д.Г. О близких по температуре фазовых переходах второго рода.- ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 256.

17. Леванюк А.П., Санников Д.Г. - ФТТ, 1970, т. 12, с. 2997.

18. Леванюк А.П., Санников Д.Г. Несобственные сегнетоэлектрики.- УФЫ, 1974, т. 112, с. 561.

19. Dvorak V. Dynamic Phenomena in Ferroelectric-semiconductors.- Ferroelec- trics, 1974,v. 7, p. 1.

20. Леванюк А.П., Санников Д.Г. - Письма в ЖЭТФ, 1970, т. II, с. 68.

21. Леванюк А.П., Санников Д.Г. - ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 1109.

22. Aizu К. Progress of Theoretical Physics-J. Phys. Soc. Jap., 1978, v. 44, p. 683.

23. Инденбом В.Л. - Кристаллография, 1956, т. 5, с. 115.

24. Желудев И.С, Шувалов Л.А. - Кристаллография, 1956, т. I, с. 681.

25. Желудев И.С. - Симметрия и ее приложения. - М.: Атомиздат, 1976.

26. Birman J. Estimates for the singular numbers of integral operators.- Phys. Rev. 1.ett., 1966, V. 17, p. 1216.

27. Гуфан Ю.М. Фазовые переходы второго рода - ФТТ, 1971, т. 13, с. 225.

28. Гуфан Ю.М. - ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 1537.

29. Гуфан Ю.М. Термодинамическая теория фазовых переходов. - Ростов: Изд-во Ростовск. ун-та, 1982.

30. Toledano J.C., Toledano P. The Landau Theory of Phase Transition - Phys. Rev. B, 1980, V. 21, p. 1139.

31. Michel L. The symmetry and renormahzation group fixed points of quartic Hamiltonian, 1981,

32. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме- ФТТ, 1960, т. 2, с. 2031.

33. Леванюк А.П. - ЖЭТФ, 1959, т. 36, с. 810.

34. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. - М . : Наука, 1984.

35. Cowley R.A. Structural Phase Transitions - Adv. in Phys., 1980, v. 29, p.l .

36. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. — М.: Наука, 1975.

37. Инденбом В.Л. Фазовые переходы без изменения числа атомов в элементарной ячейке кристалла- Кристаллография, 1960, т. 5, с. 115.

38. Леванюк А.П., Санников Д.Г. Несобственные сегнетоэлектрики - УФН, 1974, т. 112, с. 115.

39. Aizu К. Evaluation of retinal blood flow using time-varying laser speckle - J. Phys. Soc. Jap., 1978, v. 44, p. 683.

40. Aizu K. Possible Species of Ferromagnetic, Ferroelectric and Ferroelastic Crystals-Phys. Rev., 1970, V. 132, p. /54.

41. Ascher E. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Phys- Helv. Phys. Acta, 1966, v. 39, p. 466.

42. Janovec V. System is under an anisotropic influence of "environment"- Czech. J. of Phys. B, 1972, V. 22, p.974.

43. Спенсер Э. Теория инвариантов. - М.: Мир, 1974.

44. Спрингер Т.Э. Теория инвариантности. - М.: Наука, 1981.

45. Smith G.F., Rivlin R.S. The anisotropic tensors. - Arch. Rat. Mech. Ahal., 1963, V. 12,p.93.

46. Грин A., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. - М.: Мир, 1965.

47. During W. - Ann. Phys., 1958, v. 7, p. 104.

48. Гуфан Ю.М. - ФТТ, 1971, т. 13, с. 225.

49. Гуфан Ю.М., Сахненко В.П. - ЖЭТФ, 1972, т. 63, с. 1909.

50. Michel L., Morzymas J. Physics on and near caustics - In: Lectures Notes in Physics, ed. Kramer P. and Rieckers A. Springer, Berlin, 1978, v. 79, p. 447.

51. Janovec V., Dvorak V., Petzelt J. - Czech. J. Phys. B, 1975, v. 25, p. 1362.

52. Кинев В.Д., Найш B.E., Сыромятников В.Н. Построение целого рацио- нального базиса инвариантов для структурных и магнитных фазовых переходов - Физ. метал, и металловед., 1980, т. 49, с. 241,

53. Лайнс М., Глас А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы. - М.: Мир, 1981.

54. V. А. Adamov, В. М. Darinskii and М. N. Chaplygin, Condensed Media and Interface Boundaries, 5, №5 (2003). (in Russian)

55. L. D. Landau and E. M. Lifshits, Statistical Physics. (London, 1958).

56. G. A. Smolenskii, V. A. Bokov, V. A. Isupov et al. Ferroelectrics and Related Materials (Gordon and Breach, New York, 1984).

57. Григорьев СВ., Даринский Б.М. Термодинамическое описание магнитных ферроиков// 4 Междунар. семинар по физике сегнетоэластиков: сб. тез. докл. -Воронеж.-2003.-С. 14..

58. G.Ya. Lubarskii, The Application of Group Theory in Physics. (London, 1960).

59. Yu. A, Izyumov and V.N. Syromyatnikov, Fazovye perehody i simmetriya kristallov (Nauka, Moskva, 1984). (in Russian)

60. Адамов B.A., Даринский Б.М., Чаплыгин М.Н. Термодинамическое описание ферроиков различной симметрии // Конденсированные среды и межфазные границы.-2003.-Т.5.-№3.-С.297-3 02.

61. E.V. Byrsian, 0.1. Zaikovsky and K.V. Makarov, J. Phys. Soc. Jap. 28, Suppl., 416(1970).

62. D. G. Sannikov, Isomorphous phase transitions in ferroelectrics Ferroelectrics, 219, 177 (1998).

63. K. S. Aleksandrov and B. V. Beznosikov. Perovskitopodobnye kristally. (Nauka, Novosibirsk, 1997). (in Russian)

64. Инденбом B.L. // Кристаллография. 1960. Т. 5. № 2. 115.

65. Dvorac V, Petzelt J. // Phys, Lett. 1971. V. A35. P. 209,

66. Aizu K. // Phys. Rev. 1964. V. A136. P. 753.

67. Гуфан Ю.М., Сахненко П.В. // ФТТ. 1972. Т. 14. 1915.

68. Леванюк Ф.П., Санников Д.Г. // УФН. 1980. Т. 132. 694.

69. Toledano Р., Toledano J-C. // Phys. Rev. 1976. V. В14. P. 3097.

70. Toledano P., Toledano J-C. // Phys. Rev. 1992. V. B25. P. 1946.

71. Janovec V., Dvorac V., Petzdt J. // Chech. J. Phys. 1972. В 25. P. 1362.

72. Adamov V.A., Darinsky B.M., D'jachenko A.A., Shuvalov L.A. // Joum. Korean Phys. Soc. 1998. V.32. P. S740.

73. Шувалов Л.A., Белов Н.В. // Кристаллография. 1962. Т. 7. К^ 2. 192.

74. Григорьев СВ., Даринский Б.М. Несобственные ферромагнитные фазовые переходы в кристаллах // Кристаллография. -2005.-Т. 50.-№ 5.-С. 876-879.

75. Богданов А.Н., Галушко В.А., Телепа В.Т., Яблонский Д.А. // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 40. 453.

76. Богданов А.Н., Телепа В.Т., Шатский П.П., Яблонский Д.А. // Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 90. 1738.

77. Галкина Е.Г., Завадвский Е.А., Кащенев В.И. и др. // ФТТ. 1986. Т. 28. С 1723.

78. БульбичА.А.,ГуфанЮ.М.//ЖЭТФ. 1988. Т. 94. В. 6. 121.

79. Bulbich А.А., Gufan Yu.M. // Ferroelectrics. 1989. V. 98. P. 277.

80. Даринский Б.М., Дьяченко A.A., Сапронов Ю.И., Чаплыгин М.Н. // Известия РАН. Сер.физ. 2004. Т. 68. №.7. 920.

81. Даринский Б.М., Чаплыгин М.Н. // Системы управления и информационные технологии. 2005. № 1. 85.

82. Барьяхтар В. Г., Львов В.А., Яблонский Д.А. // ЖЭТФ. 1984. Т. 87. В. 5(11). 1863.

83. Darinskii В. М., Grigoriev S. V. // Ferroelectrics. 2004. V. 307. P. 77.

84. Sannikov D. G. // Ferroelectrics. 1998. 219. P. 177.

85. Lubarskii G. Ya. The Application of group Theory in Physics. London. 1960.

86. Изюмов Ю.А., Сыромятников М.Т. Фазовые переходы и симметрия в кристаллах. М. Наука. 1984. 247стр.

87. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. М. Мир. 1973. 383 стр.

88. Григорьев СВ., Даринский Б.М. Влияние диссипативных процессов на строение и свойства кристаллов // Конденсированные среды и межфазные границы. 2005.-Т. 7. -№ 3. -С. 240-243.