Полные неприводимые представления пространственных групп и их применение в теории фазовых переходов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ГРУПП.

1.1. Основные понятия теории представлений пространственных групп.

1.1.1. Связь НП группы Gr с проективными представлениями точечной зтруппы G°K.

1.1.2. Основные понятия теории проективных представлений

1.1.3. Построение полных НП группы G индуцированием из НПГ группы Gr

1.2. Таблицы полных неприводимых представлений пространственных групп

I.2.I. Генезисная форма таблиц полных НП

Г.2.2. Построение полных НП! пространственной группы с помощью индуцирования из полных НП ее инвариантной подгруппы

1.3. Построение неприводимых представлений пространственных групп с помощью ЭВМ.

Глава 2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АППАРАТ ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОГО

АНАЛИЗА СТРУКТУРНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ.

2.1. Метод нахождения групп симметрии G& диссим-метричных фаз

2.2. Построение стационарных векторов представлений пространственных групп.

2.3. Идентификация подгрупп пространственных групп' с помощью ЭВМ.

2.4. Построение базисных функций неприводимых представлений пространственных групп

Глава 3. СТРУКТУРНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В КРИСТАЛЛАХ

3.1. Возмолшые фазовые переходы в кристаллах с пространственной группой Oh

3.2. Анализ механического и перестановочного представлений кристаллов с симметрией Oh,.

3.3. Теоретико-групповой анализ взаимодействия критических и некритических мод . III

3.3.1. Несобственные сегнетоэлектрические переходы в кристаллах с симметрией Ok

3.3.2. Структурные фазовые переходы в шпинелях.

3.4. Классификация фазовых переходов в шестикомпо-нентным параметром порядка

Глава 4. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В даЗЩ ПЕРИОДИЧЕСКИХ

СТРУКТУРАХ.

4.1. Фазовые переходы в объектах, описываемых плоскими группами симметрии

4.2. Классификация полных термодинамических потенциалов и гамильтонианов Ландау-Гинзбурга-Вильсона для двумерных систем.

4.3. Фазовые переходы в объектах, описываемых слоевыми группами.

Исследование структурных фазовых переходов является важным направлением в физике твердого тела. Работы в этой области в значительной мере стимулируются потребностями современной техники, нуждающейся в создании веществ с заранее заданными свойствами, в частности, с аномально большими восприимчивостями к различным типам внешних воздействий.

Основой большинства теоретических исследований в рассматриваемой области является теория фазовых переходов второго рода Ландау [i] , положившая начало широкому црименению теоретико-групповых методов при изучении структурных превращений в 1фис-таллах. В .точке перехода второго рода скачком изменяется симметрия кристалла, причем между пространственными группами (ПГ), соответствующими кристаллическим модификациям до и после перехода, имеет место подгрупповая связь. Обозначая через G и Ga соответственно группы симметрии исходной ("высокосимметричной") и дис симметричной (низкосимметричной) фаз, имеем G» с G .В теории Ландау вводится неравновесный термодинамический потенциал Ф , зависящий кроме обычных термодинамических переменных (например, давления р и температуры Т) от параметра порядка (Ш), который описывает изменение структуры тела при прохождении через точку фазового перехода. В общем случае этот параметр является многокомпонентной величиной. Для фазовых превращений второго рода параметр порядка непрерывен в окрестности точки перехода, в связи с чем такие переходы часто называют непрерывными. В отличие от них переходы первого рода в общем случае являются реконструктивными. В этом случае нельзя ввести понятие ПП в стиле теории Ландау, а симметрия при переходе может изменяться произвольным образом. Тем не менее, существует широкий класс- фазовых переходов первого рода, которые можно рассматривать в рамках основных положений теории Ландау. Для них имеет место подгрупповая связь симметрии вристаллических модификаций до и после перехода, и можно ввести параметр порядка. В отличие от переходов второго рода, этот ПП является разрывным в точке перехода, но величина его скачка в определенном смысле мала. Такие переходы нередко называют фазовыми переходами первого рода, "близкими" ко второму роду. Физические свойства для них близки к таковым при непрерывных превращениях: в окрестности точки фазового перехода наблюдаются подобные второродным аномальные температурные зависимости ряда физических величин, слабый гистерезис и т.д.

Будем характеризовать кристалл некоторой функцией плотности точки Ч трехмерного эвклидова пространства. В качестве этой функции можно выбрать среднюю по времени плотность распределения заряда. Для исходной фазы p(i) - J)0(i) инвариантна относительно всех операций симметрии группы G . Для низкосимметричной фазы -Jbfi) + 5р(г) инвариантна лишь относительно некоторого подмножества элементов этой группы, образующих ее подгруппу G^ . Следуя Ландау, представим функцию ОР п) J в виде разложения по базисным функциям ^ {1) всех неприводимых представлений (НП) группы G :

6р(г)=ЕсГЧГ' (I)

Индекс Тг соответствует номеру НП, а L - номеру базисной функции. Термодинамический потенциал Ф можно рассматривать как функционал от бр или, с учетом (I), как некоторую функцию коэффициентов с[п) : Ф-Ф( Р, Т, Ып)). Равновесные значения

СП) коэффициентов ч , соответствующие фиксированным внешним условиям (Р = const, Т= const) f определяются из условия миними

U) зации этой функции по всем переменным Ci .В теории Ландау постулируется возможность разложения Ф(Р,Т, Ci в степенной

U) ряд по величинам Ci вблизи точки фазового перехода (в самой

-п.) точке перехода все С; - 0 и P(t) => ро(г) . Считая, что ■ под действием преобразований симметрии группы G цруг в друга преобразуются не функции yi (г) , а коэффициенты U , легко понять, что разложение Ф('Р,Т, С: ) должно содержать в каждом члене только инвариантные комбинации этих коэффициентов соответствующей степени. Начало такого разложения имеет вид: ф=ЕАп(Р,т)ЕсГ1г + --- (2) i

Существенным для дальнейшего является предположение Ландау о том, что при рассмотрении фазовых переходов второго рода в разложении (2) можно ограничиться лишь базисными функциями одного неприводимого представления (концепция одного представления). Это "критическое" НП определяется номером того коэффициента An(P, Т), который обращается в нуль в точке перехода. В р - Т плоскости этому случаю соответствует линия непрерывных фазовых переходов, описываемая уравнением А-п.(Р,Т) = 0. Обращение же в нуль одновременно двух разных коэффициентов Атц и Атч из разложения (2) считается маловероятным (тогда переход второго рода возможен лишь в изолированной точке р - Т плоскости, которая определяется из решения системы уравнений Агц(Р,Т) = 0, Апг(Р,Т)=0 . Подавляющее большинство структурных и магнитных фазовых переходов опизывается одним, вообще говоря, многокомпонентным параметром порядка (см., например) [2] ), л роль которого играют коэффициенты Cl в формуле (I), относящиеся к критическому НП. Перепишем для этого случая формулу (I) в виде

6р(г) (3)

Случаи фазовых переходов, описываемых несколькими параметрами порядка, часто удается также понять в рамках концепции одного представления. Может оказаться, нацример, что исходная структура с симметрией G близка к некоторой другой структуре с более высокой группой симметрии Go f Gc Qo) . Тогда фазовый переход может индуцироваться одним неприводимым представлением группы Go , ограничение которого на подгруппе G порождает в общем случае ее приводимое представление. Входящие в последнее НП группы G и определяют в этом случае множество оптических представлений. Другим примером мшет служить введенное в теории магнитных фазовых переходов понятие магнитного вдультипле-та [з] как совокупности магнитных структур, принадлежащих к разным НП пространственной группы, но имеющих одинаковую обменную энергию и отвечающих одному НП группы симметрии обменного гамильтониана.

Физическим основанием концепции одного представления, т.е. независимого рассмотрения параметров порядка, относящихся к разным НП, является непрерывность фазового перехода. Большинство же структурных переходов являются переходами первого рода "близкими" к второродным. Дяя них эта концепция остается в силе, поскольку появление еще одного критического параметра порядка в узкой температурной области метастабильности маловероятно. Поэтому во многих работах в настоящее время рассматривается задача перечисления всех возможных фазовых переходов, шдуцнрованных данным НП исходной пространственной группы G .

Требование устойчивости диссимметричной фазы по отношению к нарушению макроскопической однородности приводит к критерию Лившица [i] : антисимметрический квадрат неприводимого представления не должен содержать векторного95 представления 1руппы Q (т.е. представления, по которому преобразуются компоненты вектора). 1фитерий Лифшица запрещает переход в фазу, которая не является в строгом смысле кристаллом, т.е. не имеет постоянных параметров примитивной ячейки ("модулированные структуры"). НП, удовлетворяющие критерию Лифшица, часто называют "активными по Лифшицу".

В форпдолу (I) входят базисные функции полных НИ пространственной группы. Последние нумеруются волновым вектором . к (который достаточно определить в зоне Бриллюэна) и номером так называемого малого НП - представления группы волнового вектора Gr .В отличие от малых полные НП характеризуются всей звездой вектора к и содержат матрицы, соответствующие всем элементам группы G (а не только элементам группы G* ). Необходимым условием выполнения критерия Лифшица является требование, чтобы характеризующий НП вектор К соответствовал точке выделенной симметрии в зоне Бриллюэна. Это очень простое, но важное условие нередко называют [4] смягченным условием Лифшица. Оно позволяет резко сократить число НП, которые необходимо учитывать при. рассмотрении соразмерных: фазовых переходов (в этом случае параметры примитивной ячейки диссиммет-ричной фазы в целое число раз больше таковых в исходной фазе).

Для нахождения групп симметрии G» и явного вида параметй Этот термин не очень, удачен, поскольку в теории представлений пространственных ipynn он используется в другом смысле -векторными называют в отличие от цроективных "обычные" представления группы. pa порядка, соответствующего каждой из диссимметричных фаз, в теории Ландау предлагается процедура минимизации термодинамического потенциала Т по компонентам U . При этом возникает вопрос о количестве членов в разложении (2), которое нужно учитывать для правильного перебора всех возможных G*> . Учет небольшого числа первых членов в разложении термодинамического потенциала может привести как к пропуску целого ряда G& , так и к появлению фаз, которые становятся неустойчивыми при рассмоау-рении следующих членов разложения Ф . Наиболее известным примером такого рода является отличие результатов теории Гинзбурга [5,б] и Девоншира [7,8] для титаната бария. В последнем случае с помощью модельного потенциала Ф с членами до шестой степени по поляризации удалось дать удовлетворительное термодинамическое описание всех сегнетоэлектрических фаз, наблюдающихся в ВаTl03 , включая отсутствующую в [5,б] ромбическую фазу Gjo =* C2V . С другой стороны, процедура непосредственной минимизации Ф (соответствующая техника описана в главе 7 книги [ 9];при большом числе членов в разложении. (2) в случае многокомпонентного ПП оказывается чрезвычайно сложной задачей.

Рядом работ постепенно были намечены пути упрощения этой задачи за счет использования разных геометрических методов. Лившицем порчены все возможные изменения трансляционной симметрии при фазовых переходах второго рода [ ю] . Желудевым и Шуваловым [ll,12] на основе принципа Кюри для всех точечных групп симметрии параэлектрической фазы перечислены возможные сегнето-электричеекие фазы, а; в [ 13] найдены и соответствующие им пространственные группы симметрии. В работах Шденбома [ 14,15] решена задача о возможных изменениях точечной группы симметрии кристалла при фазовом переходе второго рода без изменения числа атомов в примитивной ячейке. Такие переходы индуцируются неприводимыми представлениями пространственных групп с волновым вектором £ =0 , которые совпадают, как известно, с НП точечных кристаллографических групп. Размерность этих представлений не превышает трех, что позволяет использовать геометрические методы перечисления возможных фазовых переходов. Фактически в работах Лифшица [ю] и Инденбома [ 14,15] изучены два предельные случая непрерывных фазовых переходов - в первом из них изменяется только трансляционная, а во втором - только "поворотная" симметрия кристалла. Рентгеноструктурные и нейтронографические исследования, однако, показывают, что многие фазовые переходы характеризуются как изменением кристаллического класса, так и появлением сверхструктуры. В связи с вышесказанным возникает задача перечисления всех возможных. и соответствующих им параметров порядка; для неприводимых представлений (удовлетворяющих условию Лифшица) 230 пространственных групп. Рассмотрим методы, которые были предложены в литературе для решения этой общей задачи.

В работе Бирмана [ 1б] сформулирован критерии того, что заданная G^ может быть группой симметрии диссимметрич-ной фазы, индуцированной некоторым НП Г группы Q . Именно,ограничение Г на подгруппе должно содержать единичное представление этой группы. Последнее утверждение является непосредственным следствием инвариантности 6р по отношению к элементам симметрии группы G# . Однако необходимо учитывать, что могут существовать более симметричные группы Gi(G»cG^c G) , соответствующие той же самой (5р . Ясно, что только самая симметричная из них ("максимальная подгруппа") должна считаться группой симметрии диссимметричной фазы, описываемой 00 . Дяя отбора максимальных подгрупп в дальнейшем был предложен так называемый "цепной" критерий [ 17,18] . Несмотря на кажущуюся простоту, практическое применение этих критериев часто затруднительно. Дело в том, что для их использования необходимо иметь список всех возможных подгрупп G* группы G , цричем с учетом всех возможных способов вложения каждой из них в эту группу. В литературе даже была длительная дискуссия об эквивалентности критерия Бирмана необходимо^ условию существования минимума Ф в теории Ландау, ибо списки подгрупп G$ , соответствующие неприводимым представлениям пространственной группы Oh. , полученные разными авторами, не совпадали друг с другом [19-2з] . Особенно радикальное расхождение было обнаружено при сравнении наших результатов и результатов работы Бирмана и Деонарина [ 24] для случая фазовых переходов в двумерных системах. Работа [24] содержит большое число ошибок практически для всех многомерных представлений - пропущены многие фазы, для ряда ПП указаны менее симметричные группы Gse и т.д. Подробный анализ причин этих ошибок дан в главе 4 настоящей диссертации. Если критерий Бирмана даже в руках его автора на столь простых объектах как плоские зтруппы привел к такому количеству ошибок, есть все основания сомневаться в его конструктивности и цростоте при работе с пространственными группами.

В некотором отношении близким по смыслу, но значительно более разработанным является метод, предложенный в работах Изюмо-ва, Найша и Сыромятникова ['25-27~\ . Авторы этих работ на основе таблиц подгрупп, найденных с помощью ЭВМ в [ 28] , составили полные таблицы, в которых эти подгруппы расписаны по "каналам" фазового перехода [29,30] . Каждый такой канал характеризуется набором лучей звезды волнового вектора & , которым могут соответствовать ненулевые компоненты многомерного ПЛ. На этом этапе удается обойтись без применения НП пространственных групп. Однако дальнейшее уточнение компонент параметра порядка требует привлечения конкретного вида матриц данного представления для генераторов тех подгрупп, которые перечислены в выбранном канале перехода. Такая работа была выполнена только для некоторых частных случаев. Из-за необходимости использования таблиц этот метод не удобен для реализации на ЭВМ.

В более ранней работе ВДана [si] был предложен иной метод решения рассматриваемой задачи. Автор привлекает для ее решения понятие целого рационального базиса инвариантов (ЦРБИ) неприводимого представления, индуцируюцего переход, и рассматривает термодинамический потенциал как целую рациональную функцию полного набора этих инвариантов. Такой прием формально позволяет оперировать со всем рядом Ф по компонентам параметра порядка, без ограничения каким бы то ни было конечным числом его членов. В общем случае задача минимизации Ф менее сложной от этого не становится. Однако автор предлагает геометрический метод нахождения экстремумов потенциала Ф , после чего дальнейшее термодинамическое исследование существенным образом упрощается. Суть сводится к тоцу, что набор коэффициентов С; в формуле (3) можно рассматривать как некоторый вектор в пространстве ПП критического представления, который остается инвариантным по отношению к действию на него всех матриц, соответствующих в этом представлении элементам группы . Такие векторы мы в дальнейшем будем называть стационарными (стацвекторами). Перебор разных Gg> сводится тогда к перебору разных неэквивалентных друг другу стацвекторов критического НП (более подробно этот метод описан в главе 2 настоящей работы). Несмотря на то, что конкретный способ перебора стационарных векторов в работе [зг] не утзан, на этом пути вручную удалось решить задачу о перечислении всех возможных групп симметрии G» даже для такого достаточно сложного случая как переходы с шестикомпонентным параметром порядка для пространственной группы (\ [32] • В работе [j3l] 1^фаном было введено также плодотворное понятие группы L (в более поздних работах [ 33 ] эти группы иногда называются образами представлений). Разные НП разных пространственных групп часто можно построить из одинакового набора матриц, который и определяет группу L . Неприводимые представления при этом различаются законом соответствия их матриц и элементов исходной пространственной группы. Набор стацвекторов и ЦРБИ полностью определяются соответствующей данному представлению группой L . В связи с этим возникает задача перечисления всех возможных групп L для НП 230 пространственных груши, соответствующих точкам выделенной симметрии в зоне Бриллюэна. С одной стороны классификация НП по группам L позволяет значительно сократить объем работы по нахождению стацвекторов и ЦРБИ для всех представлений пространственных групп, с другой стороны - увидеть некоторые общие закономерности, свойственные фазовым переходам в кристаллах с разной симметрией и для разных параметров порядка (например, однотипность фазовых р - Т диаграмм). В работе [34] показано, что все двумерные и трехмерные группы L изоморфны некоторым точечным группам симметрии в обычном пространстве, в силу чего при работе с ниш можно использовать наглядную геометрическую интерпретацию.

Набор стацвекторов НП определяет точки экстремумов потенциала Ф [ 35] . Поэтому нахождение такого набора позволяет кардинальным образом упростить задачу исследования возможных низкосимметричных фаз. В работе [ 34] на этом пути рассмотрена термодинамика вблизи N - фазных точек, предсказан ряд новых типов фазовых диаграмм, объяснены закономерности чередования диссимметричных фаз в кристаллах ВоЛЮз , KNbQз и др.

При реализации методов перечисления возможных G# и соответствующих им параметров порядка требуется знание полных НП пространственных групп. Готовых таблиц таковых до недавнего времени не существовало. Построение же этих представлений из малых (или проективных) приведенных в [ 36-39] и других источниках, для многолучевых звезд волнового вектора является достаточно трудоемкой процедурой, что особенно ощутимо при необходимости работать со многими Ш разных пространственных групп.

Выше было описано примерное состояние дел в рассматриваемой области перед началом работы автора над диссертацией, в связи с большой громоздкостью теоретико-группового анализа структурных фазовых переходов с многокомпонентными параметрами порядка, естественным образом возникает задача автоматизации такого исследования с помощью ЭВМ. Настоящая диссертация посвящена решению этой задачи, а также применению соответствующего вычислительного аппарата к исследованию фазовых переходов в конкретных объектах.

Общий объем диссертационной работы составляет страниц машинописного текста. Она состоит из введения, четырех глав и двух приложений. Работа содержит 19 таблиц и список литературы из 122 названий.

- 175 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

В результате проведенного в диссертационной работе исследования создан набор алгоритмов и программ теоретико-группового анализа структурных переходов, позволяющий кардинальным образом упростить изучение фазовых превращений с многокомпонентными параметрами порядка и включавдий программы:

- построения полных и малых неприводимых представлений НП пространственных ipynn (ПГ);

- нахождения стационарных векторов представлений ПГ;

- идентификации подгрупп пространственных групп, соответствующих набору етацвекторов;

- построения скалярных, векторных и псевдовекторных базисов НП ПГ;

- анализа полного конденсата критических и некритических мод, соответствующих возможным Ga .

С помощью этих программ было проведено исследование фазовых переходов в ряде объектов, описываемых пространственными, плоскими и слоевыми группами симметрии. Итогом проведенной работы являются следующие результаты.

1. Построены полные НП 230 пространственных групп для всех точек выделенной симметрии в зоне Бриллюэна. Предложена компактная генезисная форма таблиц неприводимых представлений. В такой форме созданы таблицы полных представлений всех пространственных групп кубической сингонии. Предложен способ построения таблиц НП в генезисной форме с помощью индуцирования полных НП из полных же НП соответствующих инвариантных подгрупп ПГ.

2. Проведен детальный теоретико-групповой анализ структурных

- 176 фазовых переходов второго рода и близких к ним переходов первого рода в кристаллах с симметрией . Перечислены все возможные группы симметрии G* низкосимметричных фаз, индуцированных соответствующими звездам Лифшица неприводимыми представлениями этой пространственной группы. Для каждой найден явный вид параметра порядка (стацвектор), характеризующий данный фазовый переход. Для ряда кошфетных соединений указаны НП, индуцирующие наблюдаемые в них фазовые превращения, что позволяет провести для этих веществ дальнейшее термодинамическое исследование.

Для правильных систем точек группы Oh. найдены скалярные и векторные базисы ее неприводимых представлений. Созданные таблицы позволяют строить функцию изменения плотности заряда 6jD для фазовых переходов типа смещения и типа упорядочения в любых 1фисталлах с симметрией Oh,.

3. Найден полный конденсат критических и некритических мод для всех Gsb , индуцированных неприводимыми представлениями группы 0J, . Получены температурные зависимости вкладов в от некритических мод в окрестности точки фазового перехода второго рода. Показана возможность применения этих результатов для анализа рентгеноструктурных и нейтронографи-ческих данных.

4. Найдены все возможные несобственные сегнетоэлектрические переходы в кристаллах с симметрией . Установлены температурные зависимости спонтанной поляризации около точки фазового перехода.

5. Найдены возможные переходы с бинарным упорядочением в кристаллах со структурой типа шпинели.

6. Проведена классификация фазовых переходов с шестикомпонент

- 177 ным параметром порядка (ПП). Установлено, что для НП 230 пространственных ipynn существует 32 типа таких ПП (ipynn L ), различных по своим трансформационным свойствам. Для каждой из шестимерных ipynn L найден полный набор неэквивалентных стацвекторов и число доменов в низкосимметричных фазах. На ряде цримеров цроиллюстрировано применение полученных таблиц для решения задачи о перечислении возможных G^ и для поиска прафазы в случае шестикомпонентного параметра порядка.

7. На цримере фазовых переходов в кристаллах с пространственной зруппой и переходов в плоских структурах дан критический анализ применения критерия Бирмана к задаче о нахождении возможных ipynn симметрии: низкосимметричных фаз. Выявлено большое число ошибок и установлена причина их возникновения в работах, использующих этот критерий. Сделан вывод о неконкурентоспособности критерия Бирмана по сравнению с применяемым в настоящей работе SV -методом даже для случая переходов с параметром порядка., невысокой размерности.

8. Выполнена полная классификация возможных фазовых переходов в системах, описываемых плоскими зруппами симметрии (тонкие пленки, монослои на поверхности кристалла и т.д.). Для точек выделенной симметрии в плоских зонах Бриллюэна построены полные неприводимые цредставления. Для всех этих представлений (вклкная НП, не удовлетворяющие критериям Ландау и Лифшица) найдены индуцируемые ими труппы симметрии Gsj низкосимметричных фаз.

Проведена классификация полных потенциалов Ландау и гамильтонианов Ландау-Гинзбурга-Вильсона для двумерных систем.

9. Построены полные НП и перечислены возможные структурные переходы, индуцируемые этими представлениями, для всех слоевых плоских магнитных) групп симметрии. Полученные результаты позволяют исследовать фазовые превращения второго и близких к ним первого рода в более широком по сравнению с плоским случаем классе дважды периодических структур. В частности, построенные таблицы позволяют исследовать магнитные фазовые переходы в плоских структурах.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем.

Впервые проведен полный теоретико-групповой анализ структурных фазовых переходов в кристаллах, описываемых группой (найдены возможные низкосимметричные фазы, базисные функции НП, конденсат критических и некритических мод). Аналогичный по полноте анализ не проведен в настоящее; время ни для одной другой пространственной группы. Впервые проведено теоретико-групповое исследование возможных структурных превращений в объектах,описываемых 80 слоевыми группами симметрии; осуществлен анализ шестимерных групп L для неприводимых представлений всех ПГ; предложена генезисная форма таблиц полных НП и построены такие таблицы для широкого класса 1фостранственных групп; разработано необходимое программное обеспечение теоретико-группового анализа структурных фазовых переходов.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. М., Наука, 1976, 584.

2. Найш В.Е., Сыромятников В.Н. Симметрийный анализ магнитных структур. Концепция одного представления. <ММ, 1979, 48, 6, II38-II50.

3. Изюмов Ю.А., Найш В.Е., Озеров Р.П. Нейтронография магнетиков. Т.2. М., Атомиздат, 1981, с.311.

4. Сиротин Ю.И., Шаекольекая М.П. Основы кристаллофизики. М., Наука, 1975, с.680.

5. Гинзбург В.Л. ЖЭТФ, 1949, 19, с.36.

6. Гинзбург В.Л. Теория сегнетоэлектрических явлений. УФН, 1949, Ш, с.490-525.7. 8)wottskia, /тIF. Tki&uf of вш1шп titemed:: fbCtrvt 1. PhJloS, M&Cf., wt^O, p. iOb 0-1065.

7. QwbttshuL fi.F. Thwty of вшшт iitcuioti: jbcmiz. PkLios. Ulctty., Ш. p. i06£.

8. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М., ГИТЛ, 1957, с. 354.

9. Лифшиц Е.М. К теории фазовых переходов второго рода. ЖЭТФ, 1941, II, с.255-268.

10. Желудев И.С., Шувалов Л.А.Сег нетоэлектрические фазовые переходы и симметрия кристаллов. Кристаллография, 1956, т.1, с.681-688.

11. Желудев К.С., Шувалов Л.А. Ориентация доменов и макросимметрия свойств сегнетоэлектрических монокристаллов. Изв.АН СССР, 1957, 21, 2, с.264-274.

12. Сонин А.С., Желудев И.С. Пространственная симметрия и сегне-т о электрические фазовые переходы. 1фисталлографияД959, 4,4, с.487-497.

13. Инденбом В.Л. Фазовые переходы без изменения числа атомовв элементарной ячейке. Кристаллография, I960, 5, I,c.II5--125.

14. Инденбом В.Л. К термодинамической теории сегнетоэлектричест-ва. Изв.АН СССР. Сер.физ., I960, т.24, с.1180-1185.

15. Виипсиг JL Sim/btlji&cL ihi(mj оf symmvUy скоигугиг stcorui- o%cU/t jihas-e. bumsiiions: а.уг£1ссиЬ101ь to VsSL, -Phys. Rett Lett., 1966.\ £9,24, p. 1216-1219.17.

16. Ui second- crtcin, /those btcmsitions Ut шютлькИе. sUuctwu. Phys. Rtx, 1Ш, ±61, 2, p. $28 - £32.

17. JcuUC. M. V. Sfiontcuuous S<y4?lM£bby, Ste.ax.uu^ CUtoL chain oUiesdotL. Pkys. Rev:t 19S1, B23a 7, p. 34603463.

18. Gtcu^cttM Д.Р., L&uncZ, PrzystcLitrcLJ.fi. LancLau*s Цгеоъу of s&coruL-cncUn. jbhcuse.t%otsuLtLotts cuioL its а/цгесыяЬсоъ to fwtomccgiuhsi'rL. X Pky,s. С: SoUoi

19. State Pkyj.,1916,1, p.i13l~l?£S.

20. LawtcJ.tPr-bystcLUfa Х^асЖнлМ fl.P. Д commesii on the chcun suictucfan сяНекСоп. J. Pkys. С : boUcL Si.} 1910, 13, p. 19SS-1961.

21. BocUfc W., L&anc J., LanoLatCS afifisu>-cu>h to syimn-eJyLy ckasvy&s иь flisiOl -РтЗт) sbuutwte., PhyS. fteifi, 7982, B25, 3, p. 2012-2014.

22. JcuUc иU.lf.\ BiAtncm JL Gtoup tkuny of phase btcuisZtCotts Ut PmBn situctwu. -Phys.Retfi, 1911, BJ6, 6, p. 2564-2568.

23. JcuUc JA. V. Coinmzhi otv symtrudsty, chcubpts иг Д15 stiuctwu. Pkys. Rev., 19SZ, BZSt 3t p. 201S-Z01&.

24. Якаъстиге. SBvmtcubJ.L. Si^nnubu^ chcutgi ui Шг±иьШ>аз jbkCLSZ -bicutUtions in tuw-ctirtiuisAsfrtal systems. -Pkif. Rev. В, ШЗ, 5, p. 2SS5-M61.

25. Иземов 10.А., Найш B.E., Сыромятников B.H. Структурные фазовые переходы в соединениях типа AI5, CI5 и В2. Кристаллография, 1976, 21, 2, с.256-263.

26. Наш В.Е., Сыромятников В.Н. Изменения трансляционной симметрии при структурных фазовых переходах в кристаллах. -Кристаллография, 1976, 21, 6, c.IC85-I092.

27. Найш В.Е., Сыромятников В.Н. О возможных изменениях симметрии кристаллов при структурных фазовых переходах. Кристаллография, 1977, 22, I, с.7-13.

28. NcuBusatZ, VJondnatsck&K. Н. TaMis oj maocimat suSyioafts of all sfictu ^tau/ьб. СМшпа!tifurti, Кал£&ш1и, 1969.

29. Найш В.Е., Сыромятников В.Н. Подгруппы пространственных групп. I. Подгруппы с сохранением ячейки. Свердловск, 1976, с.48. (Рукопись цредставлена Институтом физики металлов УНЦ АН СССР. Деп. в ВИНИТИ 26 мая 1976 г., № 2371 - 76).

30. Винберг Э.Б., ВДш Ю.М., Сахненко В.П., Сиротин 10.И. Об изменении симметрии кристаллов с пространственной группой0h> при фазовых переходах. Кристаллография, 1974, 19, I, с.21-26.

31. To£edaftoJrC.t ToUcLcuio P. ChoUst /ъомоипАек ^Tvntdyttis cubd емгуу eocfbOLns^Ofis fert fuvuty -jtwiozlas-iLc ticut&(£L(>ti~ Phys. Rev;, 1980, В 21, Л/3, p.

32. Гуфан Ю.М., Сахненко В.П. Особенности фазовых переходов, связанных с двух и трехкомпонентными параметрами порядка. - ЖЭТФ, 1972, 63, 5, 1909 - 1918.

33. Гуфан Ю.М. Структурные фазовые переходы. М., Наука, 1982, с. 304.

34. Ковалев О.В. Неприводимые представления пространственных групп. Изд-во АН УССР, Киев, 1961, с.154.

35. Бир Г.Л., Пикус Г.Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. М., Наука, 1972, с.584.

36. Huiiiu Я С. Rciy zefuus^alcdiotis of point ^гоа/гб aswl ttu Lm&cLucUit wfisUs-ui£cubLon& ofs^ouce CfioufbS cubd oLoaBte. sfuoute. tybOufts. Pkit. Trcuis. Roycut See., i966, Vol 2 60Д, No. 1108, p. 1-36.

37. Резер Б.PI., Егоров Р.Ф., Звездин В.К. Представления пространственных групп. П. Таблицы. Свердловск, 1978, с.65 (Рукопись представлена Институтом физики металлов УНЦ АН СССР. Деп.ВИНИТИ.от 30 января 1979 г., В 568-79).

38. Чечин Г.М., Распопов В.Н., Попов В.П. Построение неприводимых представлений пространственных групп с помощью ЭВМ. -Известия Сев.-Кавказ.научн.центра высш.школы. Сер.естеств.- 187 -наук, 1979, № 3, с.29-32.

39. Чечин Г.М., Попов В.П. Построение полных неприводимых представлений пространственных групп. Тезисы докладов 9-го Всесоюзного совещания по сегнетоэлектричеству (Ростов-на-Дону, 1979 г.), часть I, 1979, с.71.

40. Чечин Г.М., Попов В.П., Распопов В.Н. Неприводимые представления гексагональных пространственных групп. Кристаллография, 1980, 25, 4, с.661-674.

41. Чечин Г.М., Попов В.П. Таблицы полных неприводимых представлений пространственных ipynn. I. Кубическая сингония. Ростов-на-Дону, 1980 (Рукопись представлена Ростовским госуниверситетом. Деп. ВИНИТИ от 30 иадя 1980 г., й 3556-80).

42. Гуфан Ю.М., Чечин Г.М. О геометрических ограничениях на выбор прафазы в случае шестикомпонентного параметра порядка. -1фисталлографня, 1980, 25, 3, с.453-459.

43. Горбунов Е.В., Гуфан Ю.М., Петренко Н.А., Чечин Г.М. К теории фазовых переходов с многокомпонентным параметром порядка и вопросы теории переходов в борацитах. Кристаллография, 1981, 26, I, с.8-11.

44. Гуфан Ю.М., Дмитриев В.П., Попов В.П., Чечин Г.М. Структуры упорядоченных сплавов с гексагональной плотной упаковкой.-ФММ, 1978, 46, 3, C.II33-II42.

45. Гуфан Ю.М., Дмитриев В.П., Попов В.П., Чечин Г.М. О переходах типа упорядочения в сплавах с кубической гранецентриро-ванной плотно упакованной структурой. ФТТ, 1979, 21,с.554-561.

46. Сахненко В.П., Таланов В.М., Чечин Г.М. Возможные фазовые переходы и атомные смещения в кристаллах с пространственной группой

47. Ок. I. Томск, 1981, с.25. (Рукопись представлена редколлегией журнала "Известия вузов. Физика". Деп.ВИНИТИ от 23 ноября 1981 г., J6 638-82).

48. Гуфан Ю.М., Попов В.П. К теории фазовых переходов, описываемых четырехкомпонентным параметром порядка. 1фисталлогра-фия, 1980, 25, с.921-929.

49. Зиненко В.И., Мисюяь С.В. Возможные фазовые переходы в кристаллах с пространственной группой Oh. . Красноярск, 1978, с.12 (Рукопись представлена институтом физики СО АН СССР. Деп. в ВИНИТИ I ноября 1977 г., J6 313 78).

50. Sutton М., Rrmstroncf R.L. tymnbzUy nsbilcbLotis of pJuis-e. bucuisliions Lmjvos&cL дъсш^.-'Яи&уъш/г SbwLchvte. Rtv.} 198Z, 52$. 3, p. U1B - 1S2 i.

51. Болыдов Л.А., Напартович А.П., Наумовец А.Г., Федорус А.Г. Субмонослойные пленки на поверхности металлов. УФН,1977, 122. I, с.125-158.

52. Люксютов И.Ф. Фазовые переходы в адсорбированных пленках.-УФЕ, 1983, 28, 9, с.1281-1303.

53. Максимов Л.А., Полищук И.Я., Соменков В.А* Полная классификация фазовых переходов второго рода в двумерных системах. Препринт ин-та атомной энергии им.И.В.Курчатова, № 3678/9. М., 1982, с.29.

54. Бирман Дк. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. T.I. М., Мир, 1978, с.387.

55. Егоров Р.Ф., Звездин В.К., Резер Б.И. Представления пространственных групп. Свердловск, 1971, с.72 (Рукопись представлена институтом физики металлов АН СССР. Деп. ВИНИТИ от 20 апреля 1971 г., JЬ 2865-71).

56. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. Харьков, 1937, с.230.

57. Фаддеев Д.К. Таблицы основных унитарных представлений федоровских ipynn. М., Л., Изд-во АН СССР, 1961, с.174.

58. КопцикВ.А., Кужукеев Ж.-Н.М. Вывод трех-, четырех- и шести-цветных беловских пространственных групп с помощью таблиц неприводимых представлений. Кристаллография, 1972, Г7, 4, с.705-711.- 191

59. Дмитриев В.П., Рабкин Л.М., Соболева Л.В., Чубич А.А., Шувалов Л.А. Спектры комбинационного рассеяния света и фазовые переходы в сегнетоэластике Hz За (NOz)k* Кристаллография, 1978, 23, 4, с.774-778.

60. Ковалев О.В. Полные представления пространственных групп. Харьков, 1980, с.54 (Препринт Харьковского физико-технического института АН УССР, № 80-34).

61. Neio N. Numeritcd coLlbutatCons of ike LrreclucL&& xtfi^jj&ntatLoris of Sfvctci gsc&afvs. Сот/>ш£. Phy*s.

62. Сснътшг., 1£>75,9, p. 231-246.

63. W'orHon T.G. IrreduciSii tnuIiijblCe^t гг/tstiseata-tiOnS. Comfuut. Pkys. Cotnsnusv., /S>73, 6, p.149-155.

64. Ипатова И.П., Китаев Ю.Э., Субашиев А.В. Изменение симметрии при фазовых переходах второго рода на поверхности. -Письма ЖЭТФ, 1980, 32, 10, с.587-590.

65. Jfioubwct IP., Шсшг Уа.£., tUbBasAiMf fltfт1

66. Платова И.П., Китаев 10.Э., Субашиев А.В. Фазовые переходы второго рода на поверхности с сохранением числа атомов в элементарной ячейке. ФТТ, 1982, 24, II, С.ЗЗП-ЗЗГ7.

67. Ипатова И.П., Китаев 10.Э. Возможные фазовые переходы второго рода в трехмерных дважды периодических системах. Труды международного семинара "Теоретико-группсвые методы в физике" (Звенигород, 1982). М., Наука, 1983, с.393-400.

68. Белов Н.В. Классный метод вывода пространственных групп симметрии. Труда Института кристаллографии АН СССР,1954, вьпьб, с.25-62.

69. Загальская Ю.Г., Литвинская Г. П. Геометрическая микрокристаллография. Изд-во МГУ, 1976, с.240.

70. Бобровский В.И. Теоретико-групповой анализ колебательного спектра кристаллов. Свердловск, 1976, с.82 (Рукопись представлена институтом физики металлов УНЦ АН СССР. Деп.ВИНИТИ от 15.07.76 г., J6 2928-76).у

71. Ковалев О.В. Возможные изменения симметрии Он, при фазовом переходе второго рода. ФТТ, I960, II, № 6, с.1220-1221.- 193

72. Hclos С. Phase transitions Uv oiyS'tct-U клг-th the. sfusul sdstu^twa. J. Pkys. Chesrb. 3<о£гс1} is>6£t1. Z 6it p. t2&S-f&32.

73. Нараи-Сабо И. Неорганическая кристаллохимия. Изд-во АН Венгрии, Будапешт, 1969, с.504.

74. L., Pzzystcuva J. Fixst-crtcl&t cndUa-cLiscrtottsi trCLns<Lti>ott Uv £WtLLun fjMO&fUn&l'!- J. Pkys. С: Solid. Uate Pkys., iS>ti, p. S031-504?.

75. SccuracloL fl., JskiBaski У., Tafcatyc У. FerroeBasiiciiy. cmcL Ни atlfylh. of optical cuctCvity of Cols.S%(.CzHs CO a) e (SdSP). J. Phys. Soc. Jo/vow,, 1977, 43, 1, p.i9£-203.

76. M-cvtLufCU'Tba H., To mile У, Mizutasu, 7., Уат.а2оиь1 У, Uesu У., Уа*пис1а N.^oSoc^ashiJ. (ky^taZ of Ca& St (Cz HsCO&h иг />юл,а.

77. Pkase. J. Pkys. Soc. Jo/vow., 19S7, AA, 4, p. 199-900.

78. Gesi K., OzawaK. Pressure. /tAase. oUafwutt of Ca&Ba(C&HsC00)6.-J. Phys. Sot. JoLfvout, 197S, M, Z, p. 467- 4 70. IntestnotiCoibal ta£& fitn х- г ay vtyS'tciUo-(ytapshy. KysvO-cA Press, В1лт.игдАсиъ, 1S>6£.

79. Бокий Г.Б. Кристаллохимия. M., Наука, 197I, c.400.

80. Кац В.Б. Изменения структуры при фазовых переходах второго рода в кристаллах типа алмаза Изв.вузов, сер.Физика,1978, 4, с.151-152.

81. S)un/7b0cfc J. The. th&aty, of s&cotvoL сгиШ. fbhouse. btoubS^tiotb. Pkys. Rev.1963,130, 4, p. 1337-13 44.

82. Коноплева Н.П., Некрасов Н.Н. О применении теории, ipynn при описании фазовых переходов в кристаллах. Труды международного семинара "Теоретико-групповые методы в физике" (Звенигород, 1979). T.I. М., Наука, 1980, c.IIS-120.

83. Некрасов Н.Н. Классификация 4-мерных представлений пространственных ipynn, связанных с фазовыми переходами в кристаллических структурах. Москва, 1979 (Рукопись представлена ВНИИ электромеханики. Деп.ВИНИТИ 21 декабря 1979 г.,4339- 79).

84. FUckertLE. 3titex.ccL8lcLte.oL дъос/тЛ1Ье.\ asfu^bsoi two- сШге*г$*>04ъ&ёг.Ьу. Cerruibestis. Solid State.

85. FkuS., 4919> 9, 3, />. 93 ~ 405.

86. Левашок А.П., Санников Д.Г. Несобственные сегнетоэлектрики.-УФН, 1974, 112, 4, с.561-589.

87. Двгжап.&ел S. Continuous fihase ttansitiofis, wick skotdoL ве fitst otoUsi. SolioL State. Com+nusus., 14, <f1, p. 10 69*1071.из. Baocier R.J. Potts mo<£e£ at the. otiiicoU temfa.'uoubwu. J. Ph,ys. С •• So Bid Stoute. Phys., 1975, 23, L44S- L448.

88. И4. Straiiy J.P, Fishm M.E. Thstu -s-tcde Potts пъ(иШ. cutd cubcmvOLious isticniticctl Points. -J.PhyS.R., 1973, 6, 9, p. 1310- 1326.

89. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Часть I. М., Наука, 1974, с.572.

90. Максимов Л.А., Полищук И.Я., Соменков В.А. Неприводимые представления двумерных пространственных групп. Препринт ин-та стомной энергии им.И.В.Курчатова, 3G79/I. М.Д982,с.25.

91. П7. W^W б. Д. Мосавиёаъу, of ZwtfcLce. Ot^stciMo

92. CftafUuf. -JflppL Pkys., 1964,35,4, p. 1306-1312. П8. INovel t.fl. The SO SDifwUo-cUc Groups ui Three 3U/-rtestS<i0ib6. Bt£i St^st. Те ок. J, 1964, 43, p. 541- 559.

93. Б.К.Вайнштейн. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии (Современная кристаллография, т.1). М., Наука, 1979, 383 с.

94. R.K.P., WcMclci од. J. On the LuvLq^cetuss of У* uitvtcutLotts иь iwo-ctnoi i/vui-co+nfvo-wd S/bln. si^stesns.- J. Phys.fi, 1995,p. 1089-1096.

95. Струков Б. А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлект-рических явлений в кристаллах. М., Наука, 1983, с.240.

96. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М., М1ф, 1966, с.587.