Задачи массопереноса с частично неизвестными краевыми условиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КИЗЕВСЬКИЙ УНШЕРСИТЕТ ¡меш ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

:тб ОД

1 9 СЕН ^

ГОРДИН СЫСА ТЕТЯНА ЛЕОН1ДШНА

УДК 532.546:532.72

ЗАДАЧI МАСОПЕРЕНОСУ 3 ЧАСТКОВО НЕВЩОМИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ

01.02.05 - мехашка рщин, газу та плазми

Автореферат дисертацй 1га здобуття паукового ступени кандидата ^нзпко-математичнпх наук

Кшв-2000

Дисетрац1ею с рукопис.

Робота виконана на кафедр! математичноТ ф:зики КиТвського Ужверситету ¡мен! Тараса Шевченка.

Науковий кершник: доктор фшко-математичних наук,

професор Глущенко Андрш Арсенович, КиТвський унтерситет ¡меш Тараса Шевченка, професор кафедри математичноТ ф1зики.

Офщ(йн1 опоненти: доктор ф1зико-математичних наук,

професор Шмаков Юрш 1ванович, КиТвський нацюнальний ужверситет ¡меж Тараса Шевченка, механ1'ко-математичний факультет, професор кафедри МСС;

доктор техжчних наук, професор Лаврик Володимир 1ванович, 1нститут гщробюлогн HAH УкраТни, —-з а в i д у юч и йв ¡дд in о м математичного моделюван

Провщна установа: 1нститут пдромехан'ш HAH УкраТни (м.КиТв).

Захист в'щбудеться « ^ < » С (I_ 2000 р. о /У годиж на

зааданж спец1ал1зованоТ вченоТ' ради К 26.001.21 при КиТвському ужверситет! ¡мен! Тараса Шевченка (252127, м.КиТв-127, проспект Глушкова, 6, мехажко-математичний факультет).

3 дисертафю можна ознайомитись у б!бЛ10тец1 КиТвського ужверситету ¡MeHi Тараса Шевченка за адресою: м.КиТв, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розюланий 2000 р.

Вчений секретар спец1ал1зованоТ вченоТ ради

Кепич Т.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

i ктуалыистъ теми. Внасшдок штенсивхюго розвитку науки i техшки вшикла велика петь рвноманшмх виробництв, де внкористовуються найсучастшш технолога. Складтсть шопчних процеав збшьшуе ризик вишиснення ситуацш:, яга можуть завдати непоправно! гда навколишньому середовжцу. Тому першочерговою задачею сучасносп стало занобшання опчним негараздам га змепшешш гасдщив, до яких може призвести, або вже призвела, 1х а. Зокрема, одним з важливих питань, що потребуют, виршгення в найкоротший тсрмш, е ст вiд забруднень водних pecypciB.

Не зважаючи на те, що 75% земно! поверхи покривае вода, лише 1% ща води е *атним для використання. Вщомо, що приблизко 96% свггових резервов доступно! гапно! води :одять з тдземних джерел.

Ъдземш вода: грають житгево важливу роль в господарстш та виробшщш. Вони ристовуються в багатъох галузях лходського побуту. Пойршення якосп грунтово! води може ■'по вшинуга на загалъний стан поверхневих вод, що обов'язково позначиться на якосп tol води, яка постачаеться з поверхнеэвих вод. а отже й на crani навколипшього середовшца та даров'! людей.

Заме тому вивчення можливих джерел та ншшв попадания забруднень в грунтовi води, а ж збереження якосп води в тдземних потоках, е останшм часом предметом достджепь гъохвпчизшшихтазакордошшхвчешх [7,8,11,14,21,35,36, 39,41,43,64,72, 74, 81,89,93, 125 та in.]. Серед mix Абугатев Ф.Б., Авер'янов С.Ф., Бездшош Б.П., Б in® A.M., вер Ф.М., Васил'ев С. В., BepiriHМ.М., Глущенко А.А., Демченко Я1, Лаврик B.I., Ляшко I.I., генысий Т.е., Ншфорович НО., Школаевський В.М., Нумеров С.М., Олшшпс О.Я., 1,овська Г.С., Патрашев A.M., Поляков В.Л., Рудаков В.К., Шержуков Б.С., Фр1Д Ж., ir,/(i С., Дуглас Ж. TaiHnri.

Пироке пдротехшчне будавшщгво, штенсише використання в ольському господарстм pi3HHX йчних та неоргаючних добрив, штра-пв i пестицидов, створсння тдземних нафтосховшц, ронення атомних та ммчних в1дход!в виробництв та iiiini подабш фактори приводять до шення еколопчно! рншоваги та заору днення довкшля р1зними шю/сшгшми речовинами. 'тосовно грунтових вод до недавнього часу серед доондшшв панувала думка, що грунт эюе захисний фшътр або бар'ф, який не дае забрудненням проникнута вглиб земно! pxm i таким чином захшцае тдземт джерела в1д 1х негативного впливу. Проте, коли в li грунтов о! води були виявлеш пестициди та inuii xiMi4Hi речовини, стало ясно,

>

що природа фшьтри не забезпечують надШного захисту тдземних джерел вад забруднень, що потрашшютъ туда в результат! активно! промисдово! даяльностх лю детва

Найбшьшу загрозу якоси грунтових вод представляютъ п оргашчш сполуки, яи е В1Д1ЮСНО розчинними, не випаровуються 1 не розкладаклъся ншчно або б;олопчно. У вода оргашчш речовини пщ даею бакгерш елшшуютъ. 1х розклад приводить до зменшення концентрацц у ко;ц розчиненого кисню, 1 тим самим наражас на небезпеку еколопчну ршновагу водойми.

Забруднешсть грунтових вод найчастше можна спостер^ати в межах високорозвинених репошв як сшьського господарства, так 1 промислових комплекав. Дуже часто про наявшеть пшдливих речовин в тдземних водах стае ведомо вже теля тривалого часу з моменту 1х попадания в грунт. Одтао з причин, чому таке трапляегься, е повшьна швидюсть руху грунтових вод через водоносы пласта. В грунтових штоках не в1дбуваслъся такого швидаого змшування та розговсюдженпя речовин, як в поверхневих. Тому забруднення можутъ довго залишатися у вигляда концентрованих локал13овашх плям, як! зберкаються багато рокзв. Вщом1 вкладки, коли про пшдлив1 речовини, що попали тд поверхню грунту бшьш, шж 10 роив тому, доналися лише зовам недавно. Тобто практика сьогодення може маги значиий вплав ш яккть води в далекому майбугаьому. ~ -----

Отже прояви сучасного розвитку сусишьства та необмдшеть нейтрал1зацц 1х впливу на стан навколишнього середовшца ставлять перед наукою нов!, з кожним роком все бшьш склада задаш з розробхи, прогнозування та контролю якоеп водних ресурав.

Ефективним теоретичним та скспери.чептальшш засобом доелвдження процеав, що вадбуваготься в навколияшьому середовшщ, с математичне моделювашга. Воно дае змогу передбачига розвиток нроцесу, який вивчаегься, розрахувати йото характеристики, контролювати цей продес та шше. Дуже часто при побудов! математичних моделей процеав розловсюдження розчинених в грунтових водах забруднень неможливо повшепо сформулювати кранов! умови, яга виконуться на гранищ облает! фшьтраци. До цього часу в таких випадках нев1дом1 крайов1 умови замшювали IX приблизними оценками, що значно вшивало на адекваттсть математичшл модели а отже 1 па яысть отр1шаното результату. Таким чином, зкаходжеши розв'язюв крайових задач масопереносу з частково невщомими крайовими умовами та 1х дослщження з метою контроля й прогнозування якосп грунтових вод е цшком актуальною проблемою.

Зв 'язок роботп з пауков ими ирограмами, планами, темами. Робота проводилась зпдпо алымм планом наукоиих доийджень кафедри математично! фЬиш мехатко-математичного льтету Кшвського угаверситету ¿мет Тараса Шевченка й тав'язана з науково-доаидшми :бюджептми темами «Дослцркення нелцпйних крайових задач: математично! ф1зики з >суванням в актуальних областях механжи суциьното середовища 1 ф1зики» (№533, 1992.), «Побудова та теоретичне обгрунтування ефективних методав розв'язування лшшних та ййних крайових задач для р1внянь в частиших похвдшх» (№97050, наказ №25 ввд 1.1997р., номер державно! реестрацп 01980002031).

Мета I задач1 доаидзкенпя Метою дано! роботи с формулювання ф1зичних 1 матичних постановок задач для процесш мгграш та трансформацц оргашчних забруднень в ках грунтових вод шд дренованими гвдроспорудами, враховуючи той факт, що на дренованих псах грашшд облаей фшлращ! крайов1 умови невюначет; розробка точних та наближених дов для знаходжепня розв'язку цих крайових задач; створення програмного забезпечення для [, яке дозволяе рсапзувати отримат в робот! алгоригми зяаходження розв'язгав задач; ггення деяких фЬичних законом1рностей на основ! анализу результата сери обчислювальних грименпв, проведение на ЕОМ.

Патова новизна одеюкштх резуяь?пат1е. Задач! теорн масопереносу та фшьтраид, заш "« змшою якосп трунтовнх вод, розгаянуп в новш некласичнй постановц!, яка дос» не шдалась. Для !х доашдження використаш тдходк, що базуються на зведент задач в :ренвдальтй постановщ до рвницевих крайових задач. Розв'язок остантх 31ШЙдено цйгшмн методами. На оснсш побудованих алгоритжв створене програмне забезпечешга для [.

На захист виносяться так1 положения:

постановка нових крайових задач, якх опнсують змшу якосп грунтових вод 1 характеризуються частково лешдомими крайовими умовами;

розв'язок точнимк методами деяких крайових задач теорп фшлрацп з частково нешдомими крайовими умовами;

розв'язок ряду крайових задач для лшйних ришяпь конвективно! дифузп при частково невадомих крайових умовах з метою визначсння типу невщомих крайових умов; розв'язок ряду крайових задач для систем нелшшшк ргвнянь конвективно! дифузп з частково Есевщомими крайовими умовами;

• створення по отриманих алгоритмах розв'язюв програмного забезпечення для

ЕОМ та проведения низки обчислювальних експериментав;

• апаш характеру фвичних процеив.

Достоегртсть отриманих в робой резулытв забезпечуеться строгою постановкою крайових задач, застосуваннш для вс розв'язанш теоретично обгрунгованих точних та наблшшшх методав.

Пршапичне значения одержштх результате. Проведет в робой догавдження по розрахунку шшв швидкостей фшяраци, по.пв коицентращй неконсервативних розчшших забруднюючих речовин та розчиненого кисшо, температурного поля при фшьтраци груптових вод в однор1дних та неоднорвдних грунтах можуть буш використат при розв'язанш рвних конкретних пракгичних задач, пов'язшшх з питаниями захисгу грунгових вод, зокрема при побудов! та ексшуатацц пдроспоруд.

Особистий «песок здобушча. Вгоначення загального плапу дош>ност1 та постановка задач належать наужовому кер1внику - А.А. Глущенку. Одержання век конкретних результаттв та IX доопдження виконано особисто автором. Результата робст, надшеаних у епшавторегш, були отримаш автором самостшно. Сшвавторам належить вибгр напрямку _аостщешмдюстановка задач та обговорення одержаних результат.

Апробшйя резупыпштв дисертмф'. Основш результата дисертацц дошли дались та обговорювались:

- на Шостш Мжнародтй Науковш конференци ¡мет академка М. Кравчука, м.Кшв, 15-17 тршшя 1997р.;

- на М1жнародапй конференци "Моделювання та досшдженпя стшкосп систем", м.Кшв; 19-23 травня 1997р.;

- на Мджнароднш конференци в рамках Трепх Боголюбовських читань "Лсимпшпгаш та тост метода в теорц нелишних коливань", м.Кшв, 18-23 сершга 1997р.;

- на М1жнародшй конференци "Сучаст проблеми теорп фшьтрацп", м.Ришс, 1-4червня 1998р.;

на наукових семшарах кафедри математичшл ф1зики мехашко-математичного факультету Кшвського Университету тм. Т.Шевченка, 1997-1999 рр.

ПубткацИ За темою дисертаци опублковано 11 наукових праць, з яких 6 надруковахю у видавнях, що входягь у перелк наукових видань, затверджених ВАК Украйш, 14 роботи опублковано без сшвавтор:ш.

Структура та об'ем роботи. Дисертацш складаеться 31 вступу, п'яти роздшв, ювюв, списку використано! лйератури та додагку. II повний з\аст викладений на сторппсах друкованого тексту 1 вюпочае 41 рисунок та одну таблицю. Обсяг основного зюсту :ртацн становить 134 сгоршки. Список лператури складаеться зг 138 найме1[увань. Список ратури складаеться з1138 найменувань.

У встуш обгрунтовуеться акгуальшсть теми, розкриваегься суппсть 1 стан проблемита П [упреть. Подаеться загальна характеристика роботи. Стисло викладаються основт результата.

Перший роз/ил мае в основному реферативний характер. В ньому розглядаються гана та математична шста1говки задал югращ! та трансформацц забруднень в потоках ггових вод. Наведено короткий огляд в1домих методов розв'язування крайових задач теорн >трацц та теорн масопереносу.

В другому роздш дослщжуються математичт модели ггроцес1в фшьтрацшного руху ни гад дренованимипдроспорудами. Розгляпуто чотири задач1 В задачг 2.1 рух грунтових вод уваеться тд зал13обегопною пдроспорудою, яка мае плоский дреновамш флютбет.

астъ фшьтрацц обмежена знизу горизошгальним

ОСНОВНИЙ ЗМ1СТ РОБОТИ

У

у

Рис.1

Рис.2

^°

•XV ^ * \\ 45 9

' У

Рие.З Рис.4

водоупором (Рис.1). В задач1 2.2 грунтов! води рухаються в аналопчних умовах, а область фтьтраци обмежена знизу горизонгалышм дренуючим шаром (Рис.2). В задащ 2.3 рух тдземних вод вздбуваегься гад дренованою зал1зобетошою щроспорудою, яка мае одну шпунгову ехшку (Рис.3), а область фшдраци обмежена 31шэу горизонгалышм водоупором. Умови задач1 2.4 аналопчш умовам попередньо! задачи, але область фтьтраци в цьому випадку обмежуеться знизу горизонтальним дренуючим шаром (Рис.4). Вважалось, що процес фшьтраци стащонаркий, середовище однорщне ¿зотротше. Отже, дня визначення п'езометричного напору к{х,у) в облаей фшлрацй О. маемо рдвняння Лапласа

АЛ(х,у) = 0,(х,>')еа" --(I)-

При формулгованш крайових умов за площину пор1вняння напор1в вибрано ревень води у нижньому б'ефь Граница об.тасп фшьтрацй сО. складаегься з водонепрониышх

дшаюк (Г}), границь водшк басейшв (Г2 = Г^ иГ^, де Г^ та Г^ - поверхн1

верхньо1 та нижньо! водойм шдшшдно) та дренуючих дщянок (Г3). На водонепроникних границях виконуеться умова:

СП

де п -зовшншя нормаль до У верхньому та нижньому б'ефахвщомий натр:

(2)

(3)

(4)

На дренуючих дишгках вважалось, що нагар набувае деякого поспйного значения, яке е невщомим 1 перебувас в межах [О, Н-^).

Отже для вгоначентга п'езометричного напору маемо змшгану крайову задачу для шн Лапласа. 1Дя задача завжди мае едишш розв'язок.

Хоча значения, якого набувае натр на Г3 , невадоме, ця обставила не заважае з точгастю фвшьних сталих napaMerpiB побудувати область комплексного потенциалу фшьтрацп, яка мае ляд прямокугаого багатокугника, сторони якого паралелып осям координат. А отже для тодження розв'языв задач, що дослщжуються, вдалося застосувати метод конформних )бражень. Причому значения невщомнх napaMerpiB буди довизначеш в процеа зпаходження з'язгав крайових задач.

Для задач, що розглядалися, отримано комплексний потеши ал ф^ырацц i значения ору на поверхнях дренажу та шару велико! проникносп, знайдено компонент вектора (дкост! фшьтрацц vx(x,y) та vy{x,y), побудовано амейства лппй току. Для побудови niait

у використано диференщальне р1вняння

^ = -tg(arg w), (5)

ах

w - vx -ivy - комплексна швидксть фйьтрацп.

Третш роздал присвячено дослщженшо матсматичних моделей riponeciB Mirpauiï руднень з грунтовимк водами тд дренованими пдроспорудами з метою визначе!шя типу йових умов дляконцентрацц забруднень на дренуючих дшянкахгранищ облает! фшьтраци.

Осюльки фшьтратря стацюнарна, i розглядаються плоско-вертикальш задачу то процес вективно! дифузп забруднень описуеться р^внянням:

дС д С с?СЛ д ( ЭСЛ ÔC дС , А 8t ах: ^ дх J ду\ су ) ах су

с - активт пориспсть середовшца; C(x,y,t) - концентрата забрудтоючтос речонин в точщ у) в момент часу / ; /^(x.jz), Djfay) - коеф1щагшко1тективно1 дифузн в напрямку осей рдинат, vx(x,y), vy(x,y) - компоненги вектора лиидкостт фшьтраци (вони знайдеш в лпичному взгляда в другому роздш при розв'язуванш крайових задач теори фшьтрацп); поця f(x,y,t) описуе джерела i стоки.

До р1вняння (б) додаеться початкова умова

та В1ДП0В1ДШ крайовг умови".

На водонепрошшшх дшянках гранищ обласп фшлраш Q мае шеце умова непрошшгостк

(8)

У верхньому та нижньому б'ефах тдомо значения концентраций тобто

C{x,y,t) = G(x,y,t),(x,y) е Г2,Г > 0. (9)

На дрецуючих поверхнях кшщентрацк змшостъея лшШно:

Л2-Л,

(10)

де Aj , Л2 -kíhuí дренуючо} дшянки гранищ обласп фтьтрапд, Л2 > Ai.

Отже для визначеиня концентр ariji забруднекь в обласп Q нсобХ1Дно розв'язати крайову задачу (6)—(10). Доведено теорему про кнування та единить розв'язку niel задача

Теорема. Нехай виконуються настумп умови:

-1)—(IvhKh;: I)] (х, у") та Pj(x9y] маютъ noxióni по змгнних х та у, якг задоволъняють умою

Гьольдера з показнихом ОС ;

2) (рупкцп Vx(X)y) та Vy(x,y} - неперервш по кожному зевенх ар^ментЫ;

3) функция f(x9yyt) задовояьнясумов! Гьтдера з показником ОС та обмежена при X —> ico ;

4) початковаумова, функцм C'q , неперервна i обмежена при X—>¿00;

5) функция неперервна та обмежена при X—>¿cO.

Toói icHye едииий розв'язок (6)-(¡0). У внутрштх точках облаетi вЫ задовтъняе ркнянню

(б) i мае Henepepctii частинт noxicni eidnaeidnux порядюв, а сам е неперервним при nidxodi до гранищ i обмеженим на неекгнченоат.

Розглянуто чотири задаЧ1 конвективно! дифузи в тих самих областях фшьтраци, що розглядалися в задачах 2.1-2.4. Для знаходження ix розв'язюв побудовано вдаовцрц ргшицем схеми.

Спочатку, оскшьки водопроникний шар мае еюнченну глибину Т, область фшьтраци за принципом Сен-Венана можна обмежиги прямокушиком з горизонтальною стороною

(И)

В - горизонтальна проекция шдземного контура пдроспоруди. В обмежешй обласп фшьтрацп крайових задач типу (6)-(10) будуегься монотонна однорщга рЬницева схема Самарського. >ведено п теоретичне обгрунтуванпя. Розв'язки р1зпицевих крайових задач знайдено методом; деля в поеднанш з методом поипдовно1 верхньоЗ релаксацн. Доведено збглш1сть йерацшного цесу. Для чисельно! реал1заци побудованих алгортмв складено програми для ПЕОМ. 1Ведено ряд обчислювальних експеримеяпв. ЗЕх результата подано в графгаюму виглядо. На эв1 отриманих результат® встановлено, що розподщ концентрацп забруднень на дренованих иках грашиц обласп фшлрацц найкраще задавати лпшшою фушарею, яка визначасться в цсс! знаходження розв'язку. Вона дае достатню точность 1 не ускладнюе систему р1зшщевих шнь. КрЬ1 того, зроблено висновки про вплив на характер продесу розповсюдження эуднень таких ф1зпчних та геометричних параметр1В, як даючий на пдроспоруду на1пр, ширина важного отвору та його положения ввдносно флютбета, глибина забивания шпунгово! с-пнки. В четвертому роздкй розглянуто математичну модель процеав мирацд та трансформацн шшшх забруднюючих речовин в стащонарному потощ грунтових вод шд дренованим пунгованим флвябетом. Область фшьтрацц обмежена знизу горюонтальним водоупором -.3). Осюльки середовище однордае ¡зотропне, а фшьтрагця протжае у вертикальнш площиш, [а когщенгращш неконсервативних розчшших речовин (НРР) та розчиненого кисню (РК) ;уегься системою нелнпйних ршшнь:

гвдповицшх початкових та крайових умовах. Туг ст - активна пориспсть середовшца;

(12)

(13)

к,у,(), С2(х,у,() - концетрацн НРР та РК в точщ (х,у) в момент часу I в1дголпд[го; О , - коефкдапи конвективно1 дифузп НРР та РК 1«дгю1пдно; \>х (х, у), \>у{х,у) - швндкосп траци, знайдеш в другому роздш при розвязуваша задач12.3;

, - констшпи в)дгюв1дио шгидкост) трансформаци НРР ташвидкостт споживаши РК; а, (3 -експерименталыювизначешконстанти (0< а,[] < 1). Вважалось, що в початковий момент часу

С^.О) - с{0),с2= С^\{х>У) 6 П. (14) На грашпд облает! фшьтрацц виконуються умови:

С\ (*А0= £цМ,С2(х,О,0 = (-«,/!],/ > 0; (15)

^ (х,0, /), С2 (х,0, () = ё22 (х, (), хе[/2,со),г>0; (16)

= = 0)Х 6 /_, Д1]и[я2,/2 V > о;

ду ду

ду ду

дх дх

(17)

(18) (19)

На поверхш дрени

С,(х,0,0 = (ЧА~0 + 1 А') 0;

—

(20)

= (21)

оу

Для знаходження наближеного розв'язку задач! (12)-(21)вшсористано метод еюнченних р1зниць. Для побудови рвницево! схеми область фшьтрацц обмежено прямокутником з горизонтальною стороною (11). В обмежешй обласп фшьтрацп для задач1 (12)-(21) побудовано монотонну однорщну ргзшщеву схему Самарського та проведено И теоретична обгрушування. Розв'язок рпницево! крайово! задач1 знайдено методом Ньютона в поедианш з методом послщовно! верхньо! релаксацп. Доведено збглсшсть ¿тсращйного процесу. Для чисельно! реал1зацц побудованих алгоритмов складено программ для ПЕОМ. Проведено ряд обчислювальних експерименпв. 1х результата подано в граф1чному виглядь На основ! отриманих результата зроблено висновки про вплив на характер процесу м1граци забрудпень таких параметр!в, як початковий вмигг РК та ыльисть надходження НРР з верхнього б'ефу.

П'ятий роздш присвячений доандженню негзотермгших пронесш мк-рацн та ормацп забруднень при фмьтраид грунтових вод тд дренованим зашпунтоваиим гтом. Вважалось тахож, що область фиътрацн обмежена зшзу горизонтальним водоупором . Оскшьки середовище однорщне 13огрогшс\ а фшлращя вважаегься плоско-вертикальною, визначент концентрации НРРIРК та температури одержимо систему нелнлйшх рштть:

Цо^ + Л^-у^-у^-^оЛ^С^а-орС-рС!)); (22)

дх1 ду1 дх * ду

^-^оД^С^-сЫ-РО«)); (23) ' &2 ду2 & ду

ат ~з2т ~э2г дг &г

СУ—=£—- + £>—--у,,--Vv —. (24)

д( дх2 ду2 у ^У

цшдадних початкових та граничних умовах. Тут Т{х,у,() - температура пласта в точщ

в момент часу 1,0- коефпдент температурно! дифузн; Г0 (.г, у) = 7'(х,у,0) - початкове ня температури.

ближений розв'язок крайово! задач1 для системи ршняпь (22}-{24) знаходиться за -лею ж о, що й в роздш 4. Результата обчислювальних ексггериметгпв наведено у вигляда графшв лиць. Зроблено висновки про залежшсть характеру процейв мзграцн та трансформацп цепь вщ температури води у верхньому б'ефт

кож в роздш 5 розглянуто цго ж задачу в неоднорщюму середовтш. Для знаходження остей фшырацц знайденийрозв'язок ртвняння

Ш\(к«га(]/г)=0 (25)

дгпшдних крайових умовах. Вважалось, що на поверхш дрени для п'зометричного напору /сться умова:

А(х,0) = А(Я1,0),хе(Я1Д2)- (2б)

знаходження наближеного розв'язку крайово! задач! для ршкпгкя (25) будуегься эвативна р1зницева схема за допомогою ¡тегро-штерполяцйного методу. Розв'язок 1ево1 задач1 знайдеПо методом послщовно1 верхньо! релаксацн. зультати обчислювальних експерименяв представлет в граф1чному виглядт шпд наведено основт результата та висновки по дисертацшнй робота.

висновки

Основним тдсумком проведених в дисертащйтй робот! доопджень е:

• розвиток актуального напрямку в математичному моделювантп \ прогнозувашп складних ф1зик«ам1чнмх продев тдзешкл пдромехшаки, що стосусться ново1 некласичнш постановки 1 розв'язувшшя крайових задач мирацп та трансформаци забруднень при фшьтрацп грунтових вод;

• створення адекватних непотерщчгшх штемашчних моделей поставлених задач мпраци та трансформаци забруднюючих речовин в грунтових водах для вхшадку, коли неможливо точно задати частину крайових умов;

• розробка та георетичне обгрунтуванш наближених метода розв'язання згаданих крайових задач;

• створеши для одержаних розв'язюв програмного забезпечення, адапгованого до сучасних ПЕОМ;

• проведения серп чисельних експерименяв та аншпз 1х результатов. Зокрема в робой отрнмано наступш основт результата:

1. Сформульовано ноВ1 некласичти математичш постановки задач мирацп та

трансформацГГрозчинних речовин в ттощ.грунгових^вод. коли повшстю задати крайов! умови на гранши областг фшьтрацп немае можливостт Розгляиуго випадок не1зотерМ1Чних лроцесш та неодиор1дгого середовища.

2. Отримано у випадку однор!дних грунтових масивш точш аналиичт розв'язки дня таких стащонарних крайових задач теорн фшьтраци з частково неввдомими крайовимн умовами, зокрема для фшьтраци шд дренованими лдроспорудами.

3. Побудовано 1 теоретично обгрунтовано монотошл р1зницев1 схеми для крайових задач теорн масопереносу з частково нешдомими крайовими умовами.

4. На осшда анализу результата обчислювальних ехсперименпв проведено виб1р виду крайових умов для розподшу конценграцп забруднень на дренуючих поверхнях.

. 5. Для крайових задач для систем нелшшних р1внянь конвективно! дифузп, яи описуютъ шграцйо I трансформацию забрудаень в потоц1 тдземних вод через неодаюр:1Дний грунтовий масив при змиших ф1зичних параметрах, побудовано 1 теоретично обгрунтовано ввдкшдш консервантт ргзтщет схеми.

Цяя розв'язувапня отриманих р1зницевих крайових задач використано 1 теоретично эбгрунтовано наближеш ¿теращйт метода Ныотона 1 верхньо! релаксацц (дам нелшшних 5адач) та Зейделя 1 верхньо! релаксаш (для лшшних задач).

Зиконана програмна решнзацш алгоримв, отриманих для зпаходження наближених эозв'язгав вcix крайових задач з часпсово неввдомими крайовими умовами, що розглядалися в юботт

За допомогою ЕОМ проведено серж обчислювалыюх експерименпв, основт результата шк прошюстровано у вигляд! графтв 1 таблиць.

нал1з чисельних експерименпв дозволив зробиги ряд висновюв про впл1Ш фппчних та яричних параметр1в, що мктяться в математичнш модел1, на поведппсу розв'язку задач. :ма встановлено, що на малш глибит (0,1м) забруднення в грунтових водах швидко йкають в область фшьтраци, розповсюджуючись тд флютбетом до дрени (шпунта). Дрена, 1 игао шпунт, 1стогньо впшваютъ на змiнy конценгращ! забруднень. Для оргашчних сполук гаявнося у вода розчшгеного кисню до деякого моменту часу в труни ввдбуваегься збшьшення гтрапд забруднень, а вмют розчишгого кисню зменынуеться. Пкля цього моменту часу гастъся процес самоочищения: вмкт забруднюючих речовин в грунп зменшуегься, 1 протягом зго пром1жку часу вм1ст забруднень в облает! фшьграцн стае незпачним. Швидисть шеюдженпя забруднень сугтево зменшусгься з1 зроетанням глибин в обласп фшьтраид. ливо яскраво це виражасгься для вшадку, коли в осжш обласп фшьтраци лежать юнтальний водоупор. Збшьшення фш,трацшного напору приводить до збшьшення Костей фшьтраш, а отже й до збшьшення швидкосп розповсюдження забруднень. шення ширили дреш викликае зркт концентраца забруднень в л1вш частит грунтового зу (до дрени або шпунта) 1 ц змешнення в правш частшп. У випадку, коли в осшта обласп рацн лежигь водоупорний шар, бшын близьке розташування дрени до нижнього б'сфу гкас збтьшешга вмюту забруднень в грунт тд верхшм б'ефом (або до пшунта) та !х пення в. грунп гад шгаглм б'ефом. Яйцо ж область фшьтраци обмежена знизу юнтальним шаром велико! проникносп, то спосгер1гае1ъся дааметрально проталежна гця: чим ближче дрена розташована до нишп>ого б'ефу, тим мешпе забруднень в гругт тд им б'ефом 1 бшыне шд нижтм. Проте там геометричш нфамегри, як ширина 1 та ц положения вущосно флютбега не впливаготь ¿стотньо на характер процеса цц забруднень в грунтових водах. Сугтево вшпшае на процес переносу забруднень ;ом грунтових вод глибина забивания пшушово! етшки. Чим глибше

забитий шпунт, тим бшьшс забрудиень нашичуегься в обласп, розташованш перед шпунтом. В облает! за шпунтом спостергаегься зворотня сшуацш, а саме: при бшышй глнбшн забивания шпунту шостернакяъся мешш накопичення забруднюючих речовин. Збшынешга початкового BMicry розчиненого кисню прискорюе оргашчний розпад забруднюючих речовин, гцо змешиуе швидость "ix розповсюдження в rpyini. В свою чергу, зростання надходження в почаисовий момент забрудиень з верхньото б'ефу викликае ютотне збшыпення врасту забруднюючих речовин по обласп фшьтрацй. Даш, при вшцй температур! води у верхнш водойм1 ввдбуваегься бшын пггеисивгаш розпад оргашчних сполук, внаелвдок чого концешращя забрудиень в област1 фшьтрацй змепьшуегъся.

СПИСОК ОПУБЛ1КОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦН

1. Глущенко A.A., Ковальчук Т.Л.(давоче - тепер Гординська Т.Л.) Розв'язок одше! задач! теорн фшьтрацй з частково невдомими крайовими умовами // BicHmc Кшвського Ушверситету. Сер. СЙзико-математичт науки. -1996. -вип.1. - С. 21-28.

2. Гординська Т.Л. Застосування методу конформних вадображень для розв'язання задач Teopii фшьтрацй з частково невдомими крайовими умовами // Bicm« Кшвського Ушверситету. Сер. «Кзнко-математичш. науки. - 1997. - вип.1. - С. 16-29.

3. Глущенко A.A., Гординська Т.Л. Доиндження розповсюдження забрудиень-тд-дрепованими пдроспорудами // Вюник Кшвського Ушверситету. Сер. Ф1зико-математичт науки. - 1997. -вип.2. - С. 16-27.

4. Гординська Т.Л. Розв'язування деяких задач розповсюдження забрудиень в грунтових водах гад зашпунтова1шми пдроспорудами // Вюиик Кшвського Ушверситету. Сер. Ф1зико-математичт науки. - 1998. -вип.1. - С. 29-36.

5. Бездшшй Б.П., Глущенко A.A., Гординська Т.Л. Розв'язок деяких неЬотсрлпчних задач масопереносу // Волинський математичнийвюник. -1997. - №4. - С. 40—41.

6. Гординська Г.Л. Розв'язування одного класу крайових задач з частково невдомими граничними умовами // Волинський математичний вюник. - 1997,- Внп.4. - С.46-48.

7. Глущенко A.A., Гординська Т.Л. Деяю не13отерм1чю задач1 Teopii масопереносу в грунтових водах. //Вюник Украшсько! Державно! Академц Водного Господарства. 36ipinoc статей за матер1алами м1жнародно! конферешц! "Сучасш проблеми Teopii фш/грацн" (присвячено! лам'ят! Фшьчакова П.Ф.), Р!вне, 1-3 червня,1998р. - С. 48-52.

Гординська Т.Н. Про розповсюджеши забруднець в грунтових водах гад дреновапими флютбетами // Вкник Украшсько! Державно! Академи Водного Господарства. 36ipnmc статей за матер1алами М1ЖПародно1 конференцд "Сучасш проблеми теорц фшлращ!" (присвяяено1тм'5ш<КльчаковаП.Ф.), РЬпе, 1-3 червня,1998р.-С. 58-61. Бездтшй Б.П., Глущенко А.А., Горд1Шська Т.Л. Розв'язування одного класу задач для систем piBHHHb конвективно! дифузи И Тези Mimiap. конф. "Асимптотичт та яюсш метода в Teopii нелшшних коливань" (Треп Боголюбовым читання). - Ки!в: 1н-т математики НАН Украпш. -1997. - С. 19-20.

Глущенко А.А., Гординська Т.Л. Дослщження розповсюджеши забруднень тд дреггованими пдроспорудами при невизначенпосп частипи крайових умов // Тези Мгжнародно! конф. "Моделювання та дошпджешм стшкостт систем". - К.:ШЦ Мшстату Укра!ни. -1997. - С. 30. Gluschenko A.A., Hordynska T.L. The solving of the one boundary-value problem class for advective-diffusion equations II Marepiarni Illocroi Мхжнар. конф. iM. акадетка М.Кравчука. -К.: Влтол. - 1997. - С. 105-107.

ординська Т.Л. Задач1 масопереносу з частково невщомими крайовими вами. -Рукопис.

(исертащя па здобуття паукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук чещалън'юпю 01.02.05 - мехатка pi дин, газа та плазми. - Кшвсъкий yiiieepcumem i Тараса Шееченка, Rule, 1999.

[исертащю присвячено питаниям дослщження процеав масопереносу уднюючих речовин грунтовими водами, що характерюуються невизначешстю ини крайових умов. Як приклад розглянуто процеси MirpaiQi забруднень гид :ованими пдроспорудами. При побудов! математичних моделей вважалося, що домi KpaiioBi умови е умовами першого роду. Для визначення вектор1в зкосп фшьтрацп розв'язок крайових задач Teopii' фшьтрацп знайдено им методом конформних в1дображснь. Для вгоначення виду невдамих ових умов для концентрат! забруднень, розглянуто крашда задач1 для iHoro piBiraHioi конвективно! дифузи. 1х розв'язки знайдено

теоретично обгрунгованими наближеними методами. Встановлено, що розподол концентрацп забруднень на дренуючих далянках границ найкраще задавати лшзйною функщоо, яка визначаегься в процссл знаходження розв'язку. Доапджсно не1зотерм1чш процеси м1грацц та трансформацп забруднень в однорадному та неоднорудному грунтах, якл описуються крайовими задачами з частково невщомими крайовими умовами для системи нешшйних р1внянь тепломасопереносу. На оснсш результатов серн обчкелювальних експерименпв зроблено висновки про вплив фЬичних та геометричних параметр1в на процес розповсюдження забруднень.

КлючоеI слова: фшьтращя, масоперенос, математичш модел^ крайова задача, конформн! вадображення, наближет метода, метод скшченних р1зниць, монотонна р(зницева схема, обчислювалышй експерименг.

Гординская Т.Л. Задачи массопереноса с частично неизвестными краевыми условиями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени—кандидата—физика математических наук по специальности 01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы. - Киевский университет имени Тараса Шевченка, Киев, 1999.

Диссертация посвящена вопросам исследования процессов массопереноса загрязняющих веществ грунтовыми водами под дренированными

гидросооружениями. Существенной особенностью исследуемых процессов, является то, что при построении соответствующих математических моделей краевые условия на дренирующих участках границы неопределены. Рассмотрены случаи, когда гидроконструкция может иметь одну шпунтовую стенку, а область фильтрации ограничена снизу горизонтальными водоупором и слоем высокой проницаемости. При моделировании фильтрационных процессов считалось, что на дренирующих участках границы пьезометрический напор -принимает некоторое постоянное значение, которое было определено в процессе решения задачи. Для нахождения решения краевых задач теории фильтрации

>льзовался метод конформных отображений. Получены формулы для скоростей грации. Для каждой фильтрационной задачи построены линии тока. Для процессов опереноса считалось, что на дренирующих участках границы области движения товых вод распределение концентрации загрязнений описывается линейной ащей. Такой вывод получен на основе анализа результатов ряда вычислительных ериментов. Рассмотрены математические модели для конвективной диффузии яз нений, для миграции и трансформации органических веществ как для ермических, так и для неизотермических условий протекания процесса, юдованы условия существования и единственности решения краевых задач ективной диффузии. Для решения краевых задач теории массопереноса 'льзуется метод конечных разностей. Для уравнений массопереноса построена жшная однородная разностная схема Самарского. Решение разностных краевых ч найдено методом Зейделя н последовательной верхней релаксации (для линейных ч конвективной диффузии) или методом Ньютона и последовательной верхней ксации (для нелинейных задач миграции и трансформации веществ). Исследованы вия сходимости итерационных процессов. Для всех полученных решений создано раммное обеспечение для ПЭВМ. Проведено серию вычислительных ериментов, на основе результатов которых сделаны выводы о влиянии физических и етрических характеристик на протекание процессов массопереноса.

Ключевые слова: фильтрация, массоперенос, математические модели, краевая ча, конформные отображения, численные методы, метод конечных разностей, »тонная разностная схема, вычислительный эксперимент.

Hordynska T.L. The mass transfer problems with boundary conditions partly unknown. -Manuscript.

Thesis for a candidate's degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.02.05 - mechanics of liquids, gas and plasma - Taras Shevchenko Kyiv University, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to evaluation of pollution mass transfer processes with groundwater. The main feature of the processes is an undefinitions of a part of boundary conditions. As an illustration, a pollution migration under drainage hydroconstructions are considered. It's thought that the unknown boundary conditions are the Dirihle conditions during mathematical modeling. To define the filtration velocities the solution of the filtration theory boundary value problems have been obtained by the accurate method of conformal mappings. To define a type of unknown boundary conditions for the pollution concentration boundary value problems for a linear advection diffusion equation are considered. Their solutions .are obtained by numerical methods, which axe theoretically substantiated. There is established that it's the best way to set the pollution concentration distribution on~ drainage boundary parts as a linear function. No-isothermal pollution migration and transformation processes in homogeneous and heterogeneous porous mediums are investigated. They are described by the boundary value problems with boundary conditions partly unknown for a system of nonlinear heat mass transfer equations. On the basis of computing experiment series results the conclusions about physical and geometric parameter influence on the pollution transport process have been done.

Key words: filtration, mass transfer, mathematical models, boundary value problem, conformal mappings, numerical methods, finite difference method, monotonous difference schema, computing experiment.