Точные и приближенные аналитические методы решения прямых, контактных и обратных задач теплопроводности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи

САМАРОВ ШАМСИДДИН ШАРОФОВИЧ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ, КОНТАКТНЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

01.04.14-теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

ДУШАНБЕ —2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Таджикского технического университета имени академика М.С.Осими

Научный руководитель: -Заслуженный деятель науки и техники

Республики Таджикистан, доктор технических наук, профессор Цой Петр Васильевич

Официальные оппоненты -доктор физико-математических наук,

профессор

Курбаншоев Сафарали Завкибекович

-кандидат физико-математических наук, доцент

Абдурасулов Анвар Абдурасулович

Ведущая организация: Институт математики Академии Наук

Республики Таджикистан

Защита состоится 5-го ноября 2004 года в 14-00 часов на заседании диссертационного совета К 737.007.02 при Таджикском техническом университете имени академика М.С.Осими, по адресу 734042, Республика Таджикистан, г.Душанбе, проспект академиков Раджабовых, 10", зал заседании Ученного Совета. E-mail: mahmad@cada.tajik.net

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Таджикского технического университета имени академика М.С.Осими.

Автореферат разослан « 3 » октября 2004 г.

Ученый сектетарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Сафаров М.М.

2004-4 25600

Щ54СО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современная тенденция усложнения математических моделей теплофизических процессов в механике сплошных сред, выдвигаемая в связи с углубленной постановкой известных или изучением новых явлений переноса массы и теплоты, требует разработок более совершенных и эффективных методов расчета сформулированных задач. Поиск таких способов решения немыслим без подробного изучения и системного анализа уже известных методов, которые предложены учеными в разное время и без нового осмысления этого научного наследия на уровне современной теплофизики. Несмотря на большое развитие и потенциальные возможности численных методов решения тепловых задач, по -прежнему аналитическое изучение процессов теплопроводности является одним из основных разделов современных инженерных исследований в машиностроительной, энергетической, атомной, строительной и других отраслях промышленности. Следует отметить, что для задач теплопроводности разработаны методы применения интегральных преобразований, когда оператор Лапласа выражен в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат, и задачи решены в основном для соответствующих простых классических областей. Поэтому применение новых интегральных преобразований, среди которых могут оказаться уже известные из теории упругости, для исследования задач теплопроводности в областях в форме клина, конуса, эллиптического цилиндра и других видов тел, причем в случае разрывных коэффициентов теплопроводности, является актуальным и перспективным. Также актуальным является и представление решения в простой форме в виде полиномов по координатам текущей точки, которое позволяет широко использовать функциональную зависимость температурного поля для эффективного исследования более сложных теплотехнических задач, таких как определение термических напряжений, решение обратных задач и других актуальных задач инженерной теплофизики.

Методы математической физики, связанные с использованием интегральных преобразований с различными ядрами, как и в символическом методе Хевисайда, позволяют сводить дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а решение последних к алгебраическим. По-

этому широкое применение операторных методов, к числу которых относятся операционное исчисление и интегральные преобразования, в области исследования краевых задач математической физики дает возможность создать более единообразные и унифицированные алгоритмы решения, как классических задач математической физики, так и новых, которые могут быть связаны с нелинейными уравнениями.

Систематическое применение операционного исчисления к краевым задачам для уравнений параболического типа, которые описывают процессы нестационарной теплопроводности, изложены в монографии А. В. Лыкова.

Интегральное преобразование Лапласа используется для исследования нестационарных процессов и, как правило, перевод в область изображений производится по переменной времени t. При применения двухкратных интегральных преобразований Карсона-Лапласа одна из переменных может быть односторонней простран-ственой координатой. Например, в гибридном методе совместного применения интегральных преобразований и ортогональной проекции невязки к внутренним задачам нестационарного теплообмена при течении жидкости в прямых трубах с классическими и неклассическими двухмерными поперечными сечениями, разработанном в монографии профессора П. В. Цоя и его учеников, проводится двухкратное интегральное преобразование Лапласа по времени t и вдоль односторонней координаты оси трубы (течения жидкости).

В диссертационной работе излагается метод непосредственного применения интегральных преобразований к прямым, контактным и обратным краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, которые описывают процессы нестационарной теплопроводности. По поставленной краевой задаче разработан метод целенаправленного выбора ядра интегрального преобразования. В тех случаях, когда это ядро выражается в явной форме, методами интегральных преобразований можно произвести унифицированный и простой анализ входных функций тепловых нагружений, заданных начальными, граничными и внутренными источниками тепловыделения, и определить решение поставленной задачи как синтез искомой физической величины по базису соответствующего неальтернативного функционального пространства. Если ядро не находится в явной форме, то по про-

странственным координатам применяется метод ортогональной проекции невязки по базису уже альтернативного функционального пространства, который в случае совпадения базисов с системой функций соответствующей задачи Штурма-Лиувилля будет эквивалентен методу интегральных преобразований.

Дель работы состоит в последовательном теоретическом исследовании процессов теплопереноса в средах с тепловой памятью. Оно включает в себя следующие задачи:

-исследование задачи Коши и смешанных краевых задач для уравнений параболического типа с переменными разрывными нестационарными коэффициентами;

-исследование краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с нестационарными коэффициентами при граничных условиях второго рода;

-получение физической и математической модели контактной задачи нестационарного теплообмена для двух полуограниченных тел;

-решение контактной и обратной задачи теплопроводности для неизолированного стержня;

-получение решения нелинейного двухкратного интегрального уравнения Вольтерра-Фредгольма;

-методы решения обратных задач теплопроводности (ОЗТ), которые основаны на представлении решения прямой задачи при произвольных входных функциях тепловых нагружений;

-методы решения краевых задач математической физики в телах конечных размеров.

Научная новизна работы заключается: « -в развитии представлений и проведении теоретических ис-

следований по теплопереносу в средах с тепловой памятью, выясняющих их количественные и качественные свойства.

-разработан удобный для практического применения метод решения задачи Коши и смешанных краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типа;

-построены физическая и математическая модели контактной задачи нестационарного теплообмена двух полуограниченных тел;

-решена контактная и обратная задачи теплопроводности для неизолированного стержня;

-разработаны новые методы решения ОЗТ;

-построены нелинейные модели тепловых сред с памятью, обобщающие известные модели тепловых сред;

-разработан новый математический аппарат, приспособленный для решения проблем теплопереноса в средах с тепловой памятью.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты дают возможность практической реализации новых волновых явлений теплопереноса, таких как усиление теплового сигнала и резонансная генерация гармонических тепловых волн.

В диссертации решен ряд прикладных вопросов динамических тепловых измерений, в том числе:

-предложен алгоритм измерения параметров тепловой памяти

сред;

-предложен метод сведения прямых и обратных задач к исследованиям эквивалентных интегральных уравнений;

-сформулирован модифицированный цифровой метод спектрального анализа (точные спектры разложения), используемый в теплофизических измерениях.

Апробация работы и публикации. Основные результаты и положения диссертации докладывались на: II международном форуме по тепло-массопереносу (Минск, 1992), международных и республиканских конференциях по дифференциальному уравнению и их приложениям (Куляб, 1991, Душанбе, 1998, 2000) международной научной конференции (Худжанд, 2003), Республиканской научно-практической конференции молодых ученых (Курган-тюбе, 1991). По материалам диссертации опубликовано 13 работ. Защищаемые положения: -линейная и нелинейная модели тепловых сред с памятью, обобщающие известные модели тепловых сред;

-развитие математического аппарата для решения проблемы теплопереноса в средах с тепловой памятью;

-качественные и количественные закономерности теплопереноса в средах с памятью для огранических и неогранических областей, а также в активных средах с тепловой памятью;

-алгоритм методики обнаружения и измерения параметров тепловой памяти сред (для различных геометрий образца);

-ряд прикладных вопросов динамических тепловых измерений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 114 листах машинописного текста, содержит 1 таблицу, 3 рисунка и библиографию из 79 наименований.

Во введении сформулированы цель и задачи работы. Кратко изложено содержание диссертации. Обоснована актуальность разработки новых аналитических методов решения прямых контактных и обратных задач теплопроводности. Определена научная и практическая значимость проведенных исследований, а также приведены основные положения выносимые на защиту.

Первая глава состоит из четырех параграфов, первые два из которых являются обзорными. Анализ состояния вопроса приведен в первом параграфе. Во втором параграфе приводятся некоторые сведения из теории интегральных преобразований и описывается существование двух общих подходов:

-применение интегральных преобразований к исследованиям многообразия решений для уравнений в частных производных;

-прямой метод применения интегральных преобразований к конкретной краевой задаче математической физики.

В качестве примера применения второго подхода приводится решение задачи Коши для неоднородного уравнения колебания струны, которое представляет методический интерес, т.к. во всех учебных литературных источниках дается решение только для однородного уравнения методом Даламбера (первый подход).

В третьем параграфе решена задача Коши для уравнения теплопроводности с переменными нестационарными коэффициентами, которые терпят конечный разрыв на координатной гиперплоскости ДС| = 0, и- мерного евклидового пространства:

Основное содержание работы

СГ^Г=+(1)

э и

где

Щх, 0) = /(*), (х,0еП

п

(2)

X — (х2,-..,Хп} -координаты текущей точки М на гиперплоскости *1=0,

- коэффициент теплопроводности, С- удельная теплоемкость, у - плотность вещества, - известный внутрен-

ний источник тепловыделения,

су -

(ОГх (0, *1>0 с2(0г2(0^1<0

Пусть /О) = ./10), при 1,>0 и Дх) = /2(х) при <0,

сЛ0п(*У

ек(х,ъ

_ Яу

(3)

к = 1 для > 0 и к—2 для < 0.

Тогда поставленная задача Коши распадается на две задачи по областям ^^, :

э ик(0_

Э/

ак(1)Аик(х,1) + вк(х,(),

(4)

[ик(х,01=0=/к(х), (5)

Для решения задачи (1) - (2) задаются дополнительные условия сопряжения в точке Х^ = 0

(6)

ЧЕТ

*1=0-

Введя функцию как нестационарный локальный те-

пловой поток через гиперплоскость = 0, получены две краевые

задачи по соответствующим областям при граничных условиях второго рода, которые решаются двухсторонним интегральным преобразованием Фурье и косинус - преобразованием.

В четвертом параграфе найдено интегральное представление решения для обобщенного уравнения теплопроводности при граничных условиях второго рода с переменными во времени коэффициентами температуропроводности в области

разработанной методике задача Коши сведена к решению контактной задачи двух полуограниченных сред и однозначное определение неизвестной сводится к исследованию многократного интегрального уравнения типа Вольтерра - Фредгольма.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, исследованы контактные задачи для двух полуограниченных двухмерных сред, для двух неизолированных и изолированных стержней. Все задачи сводятся к исследованиям интегральных уравнений типа Вольтерра, а для изолированных стержней или для массивных одномерных полуограниченных сред - к интегральным уравнениям типа Абеля.

В частности, во втором параграфе второй главы исследована контактная и обратная задача теплопроводности для неизолированного стержня, когда из стержня х>0 часть тепла отводится через боковую поверхность конвекцией и излучением а у другого стержня (х<0), боковая поверхность теплоизолирована (адиабатна):

сп

х>0

дт2 _ д2Тг <0 ™

2 а^' ( )

к = — — 4йэ (для круглого и квадратного стержня, с1э - диаметр

Р

круга или сторона квадрата), Тс - температура внешней омывающей среды, ОС - коэффициент теплообмена, Е- плотность лучистого потока, 8 - постоянная Стефана Больцмана.

Формальным применением прямого и обратного косинус-преобразования Фурье в классе функций, для которых применимо это преобразование, решение находится в виде:

Тх{х, о =

2 фш^

- 1 } ехр| Еа 'г?

«(/-т) С^А

Аа^-т)

йх-

4

Ф

(9)

а{1- т)1

[ Г ^ __

-ехр

Г- (*+/»?)

4а, ((-т)

+ехр

[

4а, (г-т)

^(-2,0 =

//2С-Д

' (Жехр[- ^ Лт,

(£±ЙЛ 4а2'

+ехр

где Е^ = л/С^/^Я^ - коэффициент тепловой активности, 2 = —X,

при дс < о, Щх, о = т; (х, о - г;.

Запись решения прямой задачи через функциональный (интегральный) оператор Н

Тх{х,1) = Н[(р(1),/1{х), 1Г(х,0,х,Ц

в виде (9) дает возможность при одной неизвестной (например <р(/)) и остальных заданных функциях тепловых нагружений исследовать обратные задачи теплопроводности (ОЗТ).

В последнем параграфе этой главы дается метод решения обратных задач теплопроводности, при котором решения находятся без сведения к исследованиям интегральных уравнений.

Пусть в некоторой внутренней точке X = = <5 = 0 от

границы X = 0 произведено измерение температуры Т{5,t\ экстремальная кривая которой на конечном интервале интерполирована функцией Fs{t)=T(8,t)—T0. Требуется восстановить удельный приток тепла q(t) и изменения температуры на поверхности теплового нагружения х=0 через функцию Fs (t).

Решение прямой краевой задачи теплопроводности при граничных условиях второго рода для U(x,t)= T(x,t)— Tq в области изображений по Лапласу при условии lim U(x,p)= 0 приво-

X—

дится к виду

(10)

U(x,p) = H[q{p),p,x]=^0^exр Положив X = Х^ = 8 Ф 0, внесем значение U (8,р) = Fs(p)

в равенство (10), тогда через обратный оператор

f г~ \

д(р) = Я"1 [FS {р),р,8}= е Fö (р)^ exp Jjö

e = —,= = tJc)Ä

л1а

Рассмотрим класс функций F(^p), для которых произведение

а

принадлежит множеству изображений по

Лапласу, тогда после разложения в степенной ряд и перехода в область оригиналов по теореме о свертке получим

т=я-1 [Р5(олФ +£?ф2(*,Т), (11)

~4тс ш 0 — т

где и 02^,8) приводится в диссертации. При 8 —> 0

в пределе из (11) находим

£ Л \?0{т)(1т

) I ^ '

что совпадает с решением корректной ОЗТ.

Изменение температуры как отклик на рабочей поверхности теплового нагружения, обусловленного уже найденным тепловым

потоком (11), определяется через (?) и ее производные в виде:

¿7(0,0=ЦОД-т0=^ .

Поле температуры за точкой измерения температуры (х > 5 ) находится в виде

Т(х,0-Т0

х-8\ Р5(т)

гвхр

Aa.it-х)

¿т.

В третьей главе рассмотрены общие вопросы выбора ядер интегральных преобразований для перевода в область изображений дифференциального оператора Лапласа по координатам текущей точки пространства. Этот раздел является дальнейшим развитием общей теории интегральных преобразований Гринберга - Котлякова для задач теплопроводности и для волнового уравнения.

В первом параграфе этой главы методы определения ядра интегрального преобразования для решения краевых задач математической физики в общей постановке, изложенные в монографии П.В. Цоя, применяются для решения следующей краевой задачи нестационарной теплопроводности при смешанных граничных условиях второго и третьего рода:

сщ^Ыъф

Эх

/х-0

= <Р1(0,

+2У(х,0, с/(х,0)=/(х)

ди)

' дх

Х=1

Во втором параграфе на примере решения уравнения колебания струны с закрепленными концами при известном профиле начального отклонения и заданном распределении начальной скорости

о**«

Щх,0) = Мх),

(12)

= и {(х,0) = /1 (х),

£/(0,0 = £/(/,0 = 0,

(13) (13)

изложены два подхода к исследованиям краевых задач математической физики. Первый подход основан на прямом применении интегральных преобразований, с помощью которого уравнение (12) сводится к алгебраическому уравнению. Решая это алгебраическое уравнение и используя формулы обращения соответствующих интегральных преобразований, получено решение задачи (12)-(13).

Второй подход, по существу является обобщением классического метода разделения переменных (метод Фурье).

В третьем параграфе приближенный аналитико-численный метод совместного применения интегральных преобразований и ортогональной проекции невязки, систематически разработанный П.В. Цоем для решения задач нестационарной теплопроводности и конвективного теплообмена, впервые применяется к решению краевой задачи для уравнения гиперболического типа, которое описывает колебание тонкой пластинки (мембраны) с закрепленными краями. Определение функции отклонения и{х,у,{) плоской пластины

геометрической формы области О сводится к решению следующей задачи:

&Ц-АсРЦ+&Ц дА дх2 ду1

Щх,уА и(х,у,0)=Мх,у)\^1) =Мх,у)т

к=о

[Щх,у, 0] г = 0, = ИиГ (15)

Суть гибридного метода совместного применения интегральных преобразований и ортогональной проекции может быть сформулирована следующим образом: к задаче (14) применяется интегральное преобразование Лапласа по? и преобразованное таким образом уравнение решается методом Бубнова-Галеркина, т.е. приближенное решение преобразованного уравнения ищется в виде

к=1

где координатные функции у/^ ) удовлетворяют однородным граничным условиям. Коэффициенты разложения (16) оп-

ределяются из условия ортогональности невязки ко всем координатным функциям у/к (<§,77):

\\£п[Т{{р),а2{р\...,ап(р)£,ц\ у/ (£,77)^77 = 0, (17)

и

Выполнение интегрирования в равенстве приводит к решению системы вида

{Ал-р2В) а(р) = Ер + С, (18)

где А,В - симметричные положительные матрицы. Определив коэффициенты - изображения ак (/?) как решение системы (18) и переходя в область оригиналов, находим решение поставленной задачи в виде

ип£,т1,т)= ¿аЛ(т)у^(£,т?). к=1

В конце параграфа решены задачи для области И в виде равнобедренного треугольника и синусоидального лепестка.

Аналитические методы решения задач нестационарной теплопроводности в большинстве случаев приводят к представлению температурных полей в виде бесконечного функционального ряда по собственным функциям соответствующей граничной задачи Штур-ма-Лиувилля. Эти собственные функции не зависят от поведения внутренних и внешних входных функций температурного возмущения. По этой же причине температурные поля в тепловыделяющихся элементах при неоднородных граничных условиях, найденные классическими методами, приводят к функциональным рядам, которые плохо сходится. Поэтому определение других базисных координат, в функциональном пространстве которых приближенные решения дают лучшую сходимость, а за переходным режимом совпадают с точным решением, имеет важное практическое значение.

Вопросам оптимального выбора базисных функций в функциональном пространстве, при которых наилучшим образом реализуется приближенное решение, посвящен четвертый параграф. Практическое преимущество такого подхода к выбору базисных координат заключается в том, что этот метод позволяет находить ана-

литические решения в случаях, когда найти точные спектры разложения не представляется возможным.

В последнем параграфе данной главы рассматриваются приближенные решения задачи теплопроводности в призматических тепловыделяющих элементах треугольного и квадратного сечений.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Решена задача Коши для дифференциального уравнения параболического типа с переменными в пространстве и во времени коэффициентами, которые терпят разрыв на координатной гиперплоскости *1=0. Путем введения одной произвольной функции на этой плоскости дано интегральное представление многообразия решений и однозначное определение неизвестной функции сведено к исследованию многократного интегрального уравнения типа Воль-терра-Фредгольма.

2. Исследованы контактные задачи нестационарной теплопроводности двух полуограниченных сред в двухмерных и одномерных областях евклидого пространства. Найдены фундаментальные решения для однородных и неоднородных уравнений теплопроводности при переменных во времени коэффицентах температурапроводно-сги.

3. Целенаправленный метод выбора ядер интегральных преобразований типа преобразований Гринберга-Кошлякова полволил для конкретной краевой задачи математической физики определить базисы того неальтернативного функционального пространства, в котором интегральными преобразованиями по пространственным координатам или методами ортогональной проекции невязки производится анализ всех заданных входных функций физического на-гружения для того, чтобы затем определить искомое решение как синтез неизвестной физической величины. Такой подход к исследованиям поставленных задач позволил предложить более простой унифицированный и универсальный метод, с помощью которого можно обойти достаточно громоздкие и сложные математические выкладки, требующиеся в известных классических методах (метод разделения переменных, метод функции Грина и т.д.).

4. Поставлены и решены прямые, контактные и обратные задачи нестационарной теплопроводности для неизолированных стержней. Исследованы обратные задачи при нелинейных граничных ус-

ловиях второго рода, когда с торца стержня х=0 происходит отвод тепла по закону Стефана-Больцмана. На основе интегрального представления прямых задач для решения ОЗТ по востановлению теплового потока как первопричины по результатам информации о записи температуры в одной точке ( по отклику) получены интегральные уравнения типа Вольтерра и Абеля.

5. Доказана терема о корректности решения ОЗТ, когда интерполированная функция изменения температуры дается в той же точке, где восстанавливается тепловой поток как первопричина физического нагружения.

6. Разработан новый метод решения ОЗТ, который основан на представлении оператора решения прямой задачи при произвольной функции теплового нагружения в пространстве частичного перехода в область изображений, где координата точки измерения температуры оставляется в области оригиналов. Такой подход позволяет находить решения ОЗТ без расмотрения интегральных уравнений.

7. Найдены условия корректности и некорректности решения ОЗТ. Сформулированы и доказаны теоремы об интервалах корректности и некорректности ОЗТ.

8. На примере задачи для пластины предложен метод решения ОЗТ в трех телах классических форм. Доказаны теоремы о том, что граничная обратная задача восстановления теплового потока по измерению температуры на той же рабочей поверхности становится корректной и будет некорректной, если температура измеряется на другой не рабочей поверхности или вблизи нее.

9. Предложен гибридный аналитико-численный метод совместного применения интегральных преобразований и ортогональной проекции невязки как реализация метода конечных элементов по всей области изменения двухсторонних эллиптических координат к решениям краевых задач для уравнения гиперболического типа, коиторые описывают колебания струны и двухмерных тонких мембран. Этот метод позволяет получить решения, для которых известные классические методы не позволяют выразить решения в явной форме. Очевидно, таким способом можно решить краевые задач для волнового уравнения в трехмерных областях.

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях:

1. Цой П.В. Прямая и обратная задачи теплопроводности для трехмерной полуограниченной среды. // Цой П.В., Самаров Ш.Ш/ Тезисы докл. XVII научно-отч. конф. преподавалей ТПИ. Душанбе: -1989, -с.24.

2. Самаров Ш.Ш. Прямая и обратная задачи теплопроводности для полуограниченного стержня. //Самаров Ш.Ш/ Тезисы докл. респ. научно-прак. конференции мододых ученых и специалистов. Курган-Тюбе: -1991, -с. 76-77.

3. Цой П.В. Прямые, обратные и контактные задачи нестационарной теплопроводности при переменных коэфициентах в многомерных полуограниченных телах. //Цой П.В., Самаров Ш.Ш/ Тезисы докл. респ. научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Куляб: -1991,-с. 176-177.

4.Цой П.В. Прямые, обратные и контактные задачи нестационарной теплопроводности в двухмерных полуограниченых телах. //Цой П.В., Самаров Ш.Ш/ Изв. АН РТ, -1999, -№2, -с. 12-18.

5. Цой П.В. Контактные и обратные задачи теплопроводности для полуограниченных стержней. //Цой П.В., Самаров Ш.Ш/ Докл. АН РТ, -1992, -т.35, № 5-6, -с. 231-236.

6. Цой П.В. Контактные, прямые и обратные задачи нестационарной теплопроводности в полуограниченных областях многомерного пространства. //Цой П.В., Самаров Ш.Ш/ Сборник материалов 11-го Международного форума по тепло-массопереносу. Минск: -1992, -с. 170-177.

7. Цой П.В. Прямые и обратные задачи нестационарной теплопроводности в полуограниченных телах. //Цой П.В., Самаров Ш.Ш/ Материалы семинара кафедры высшей математики ТТУ. Душанбе: -1999, -с. 17-23.

8. Самаров Ш.Ш. Об одном методе решения краевой задачи для уравнений гиперболического типа. //Самаров Ш.Ш/ Сборник научных трудов АДФ, ТТУ. Душанбе: -1994, -с.42-45.

9. Самаров Ш.Ш. Решение обратной задачи нестационарной теплопроводности для пластины. //Самаров Ш.Ш/ Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 80-летию Сулейманова A.C. 4.2. Душанбе, -1998, -с.29.

10. Самаров Ш.Ш. Нестационарная теплопроводность в двухмерной полуограниченной области. //Самаров Ш.Ш/ Материалы Международной научной конференции, посвященной 60-летию Со-бирова Т. Душанбе, -2000, -с.79.

11.Самаров Ш.Ш. Прямая и обратная задачи нестационарной теплопроводности в полуограниченных одномерных средах. //Самаров Ш.Ш/ Материалы Международной научно-практической конференции «16 Сессии Шурой Оли РТ (12 созыв) и ее историческая значимость в развития науки и образования». Душанбе: -2002, -с. 188-189.

12. Самаров Ш.Ш. Об одном методе решения обратных задач нестационарной теплопроводности. //Самаров Ш.Ш/ Докл. АН РТ, -2002, -т. ХЬУ1, №5-6-с. 66-72.

13. Самаров Ш.Ш. Решения обратной задачи теплопроводности в ограниченной среде. //Самаров Ш.Ш/ Материалы Международной научной конференции . Худжанд: -2003, -с. 137-138.

Подписано в печать 02.10.2004 г.. Формат 60x84 'Л6

Заказ № 501. Печать офсетная, объем 1 п.л.. _Тираж ЮОэкз._

Отпечатано в г. Душанбе пр-т Рудаки 37

РНБ Русский фонд

2004-4 25600

Введение.

ГЛАВА 1. Задача Коши и смешанные краевые задачи для уравнений теплопроводности с переменными разрывными коэффициентами.

§1.1. Анализ состояния вопроса

§1.2. Некоторые сведения из теории интегральных преобразований.

§1.3. Задача Коши для уравнения теплопроводности типа с разрывными нестационарными коэффициентами.

§1.4. Краевая задача для параболического уравнения второго порядка с нестационарными коэффициентами при граничных условиях второго рода.

ГЛАВА 2. Контактные и обратные задачи для уравнений теплопроводности

§2.1. Контактная задача нестационарного теплообмена для систем двух полуограниченных сред.

§2.2. Контактная и обратная задачи теплопроводности для неизолированного стержня.

§2.3. О методе сведения прямых и обратных задач нелинейной теплопроводности к эквивалентным интегральным уравнениям.

§2.4. О другом методе решения обратных задач нестационарной теплопроводности.

ГЛАВА 3. Прямые точные и приближенные аналитические методы решения краевых задач для уравнений второго порядка гиперболических и параболических типов.

§3.1. Метод выбора ядер интегральных преобразований по пространственным координатам конечной области при конкретной постановке краевой задачи.

§3.2. О двух методах подхода к решению краевых задач математической физики в телах конечных размеров.

§3.3. Об одном приближенном аналитическом методе решения задач математической физики.

§3.4. Выбор оптимальной системы базисных координат при решении неоднородных уравнений параболического типа.

§3.5.Теплопроводность в призматических ТВЭлах треугольного и квадратного сечений.

Актуальность проблемы. В основе большинства новейших технологий (высокоэнергетических воздействий на материалы лазерной и электроннолучевой, пленочночной технологии в микроэлектронике) лежат закономерности процессов теплопереноса для материалов, находящихся в экстремальных условиях. При этом в процессах теплопереноса проявляются эффекты памяти, которые необходимо учитывать при количественном описании процессов.

Закономерности процессов теплопереноса для сред в экстремальных условиях лежат в основе перспективных научных исследований в различных областях физики твердого тела (перенос тепла в диэлектриках и полупроводниках при низких температурах, релаксационные явления в поликристаллических материалах и т.д.); при исследовании органических жидкостей и полимерных материалов; при исследовании явлений возникающих в устройствах малого размера (баллистический перенос тепла, отклонение от линейных градиентных соотношений) и т.д.

Несмотря на большое развитие и потенциальные возможности численных методов решения тепловых задач, по-прежнему аналитическое изучение процессов теплопроводности является одним из основных разделов современных инженерных исследований в машиностроительной, энергетической, атомной, строительной и других отраслях промышленности.

Методы математической физики, связанные с использованием интегральных преобразований с различными ядрами позволяют сводить дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а решение последних - к алгебраическим. Широкое применение операторных методов, к числу которых относятся операционное исчисление и интегральные преобразования, в области исследования краевых задач математической физики дает возможность создать более единообразные и унифицированные алгоритмы решения, как классических задач математической физики, так и новых, которые могут быть связаны с нелинейными уравнениями.

Известно, что первоисточником операционного исчисления является символический метод Хевисайда, который был предложен английским инженером-электриком Оливером Хевисайдом (1850-1925) для решения дифференциальных уравнений электрических колебаний, и конечные результаты прикладных задач были получены им без особого теоретического обоснования. Строгое математическое обоснование символический метод

Хевисайда получил благодаря тому, что была обнаружена связь этого метода с интегральным преобразованием Лапласа. Поэтому метод Хевисайда в совокупности с теорией интегрального преобразования Лапласа вошли в прикладную математику как один метод - метод операционного исчисления. О значении операционного исчисления английский математик Э. Т. Уттекер писал, что "мы должны считать операционное исчисление наряду с открытием Пуанкаре автоморфных функций и открытием Риччи тензорного исчисления тремя наиболее важными успехами математики за последнюю четверть девятнадцатого века" [21]. К настоящему времени классическая теория операционного исчисления получила свое полное развитие благодаря научным исследованиям В. А. Диткина [7-8], А. В. Лыкова [19-20], В.О.Мартыненко [21].

Систематическое применение операционного исчисления к краевым задачам для уравнений параболического типа, математические модели которых описывают процессы нестационарной теплопроводности, изложены в монографии А. В. Лыкова [20].

Интегральное преобразование Лапласа используется для исследования нестационарных процессов и, как правило, перевод в область изображений производится по переменной времени /. При применении двухкратных интегральных преобразований Карсона-Лапласа одна из переменных может быть односторонней пространственой координатой. Например, в гибридном методе совместного применения интегральных преобразований и ортогональной проекции невязки (с реализацией метода конечных элементов) к внутренним задачам нестационарного теплообмена при течении жидкости в прямых трубах с классичекими и неклассическими двухмерных поперечными сечениями, разработанной в монографиях профессора П. В. Цоя [67, 69] и его учеников [14], [27-28], [79] проводится двухкратное интегральное преобразование Лапласа по времени / и вдоль односторонней координаты оси трубы (течения жидкости).

Всестороннее применение идеи операторного метода к краевым задачам математической физики, где искомое решение как функция изменятся в пространстве и во времени, требует теоретических разработок интегральных преобразований с различными ядрами с учетом вида граничных условий и геометрии области, в которой рассматривается поставленная задача. Например, для дифференциального оператора параболического типа (теплового восприятия) АЦ(х,у,г^) и оператора гиперболического типа (упругой а дг волновой системы) —--— - Д£/, когда оператор Лапласа А выражен в а дь прямоугольной системе координат, для ограниченной и неограниченной областей ядрами интегральных преобразований при граничных условиях первого, второго и третьего рода служат тригонометрические функции. Если оператор Д выражен в цилиндрических координатах, то рассматриваются интегральные преобразования Ханкеля [20]. С этой точки зрения весьма характерным является разнообразные применения типов интегральных преобразований в теории упругости [50], [54], где приходится ставить задачи для различных геометрических фигур.

Следует отметить, что в этом плане для задач теплопроводности разработаны методы применения интегральных преобразований, когда оператор А выражен в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат и задачи решены, в основном, для соответствующих простых классических областей. Поэтому применение новых интегральных преобразований, среди которых могут оказаться уже известные из теории упругости, для исследования задач теплопроводности в областях в форме клина, конуса, элиптического цилиндра и других видов тел становится актуальным и перспективным.

В предлагаемой диссертационной работе излагается метод непосредственного применения интегральных преобразований к прямым, контактным и обратным краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, которые описывают процессы нестационарной теплопроводности. По поставленной краевой задаче разработан метод целенаправленного выбора ядра интегрального преобразования. В тех случаях, когда это ядро выражается в явной форме, методами интегральных преобразований можно произвести унифицированный и простой анализ входных функций тепловых нагружений, заданных начальными, граничными и внутренными источниками тепловыделения, и определить решение поставленной задачи как синтез искомой физической величины по базису соответствующего неальтернативного функционального пространства. Если ядро не находится в явной форме,то для таких задач по пространственным координатам применяется метод ортогональной проекции невязки по базису уже альтернативного функционального пространства, который в случае совпадения базисов с системой функций соответствующей задачи Штурма-Лиувилля будет эквивалентен методу интегральных преобразований.

Таким образом, возникает сложная в научном и прикладном отношении проблема, которая и определила основную задачу диссертации: теоретическое исследование процессов переноса тепла в средах с тепловой памятью, основанное на феноменологическом термодинамическом подходе.

Цель работы: состоит в последовательном теоретическом исследовании процессов теплопереноса в ограниченных и неограниченных средах. Оно включает в себя комплекс проблем:

-исследование задачи Коши и смешанных краевых задач для уравнений параболического типа с переменными разрывными нестационарными коэффициентами;

-исследование краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с нестационарными коэффициентами при граничных условиях второго рода;

-получение физической и математической модели контактной задачи нестационарного теплообмена для двух полуограниченных тел;

-решение контактной и обратной задачи теплопроводности для неизолированного стержня;

-разработка методы решения обратных задач теплопроводности (ОЗТ), которые основаны на представлении решения прямой задачи при произвольных входных функциях тепловых нагружений;

-разработка методы решения краевых задач математической физики в телах конечных размеров.

Научная новизна работы:

-развиты математические методы исследования уравнений нестационарного переноса тепла с разрывными и зависящими от времени коэффициентами теплопроводности с использованием интегральных преобразований , получены результаты, позволяющие провести качественную и количественную оценку параметров теплопереноса;

-полученные решения задач нестационарной теплопроводности при переменных теплофизических коэффициентах, зависящих от координат текущей точки;

-на основе представления точных и приближенных решений прямых задач теплопроводности найдены решения корректных и некорректных граничных задач теплопроводности, разработана методика приближенного расчета процессов теплопереноса в тепловыделяющих элементах треугольного и квадратного сечения;

-найдены приближенные решения уравнения теплопроводности при смешенных граничных условиях второго и третьего рода без привлечения й-характеристических уравнений; .и

-решена контактная и обратная задачи теплопроводности для неизолированного стержня;

-разработан новый метод решения обратной задачи теплопроводности. Практическая ценность работы заключается в том, что полученные простые и достаточно точные функциональные зависимости для температурных полей позволяют производить эффективные инженерные расчета в прикладных задач теплофизики.

В диссертации предложены методы, позволяющие упростить решения задач теплопроводности:

-предложен метод сведения решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с переменными нестационарными разрывными коэффициентами к двум контактным задачам в полуограниченных средах;

-предложен метод определения ядра интегральных преобразований для перевода в область изображения;

-предложен метод сведения прямых и обратных задач к исследованиям эквивалентных интегральных уравнений;

Апробация работы и публикации. Основные результаты и положения диссертации докладывались на: II международном форуме по тепломассопереносу (Минск, 1992), международных и республиканских конференций по дифференциальному уравнению и их приложения (Куляб,

1991, Душанбе, 1998, 2000) международной научной конференции (Худжанд,

2003) Республиканской научно-практической конференции молодых ученых

Курган-тюбе, 1991). По материалам диссертации опубликовано 13 работ.

Защищаемые положения:

-развитие математического аппарата, основанного на применении интегральных преобразованный для решения проблемы теплопереноса;

-качественные и количественные закономерности теплопереноса для ограниченных и неограниченных областей;

-получение приближенного решения уравнения теплопроводности при смешанных граничных условиях второго рода без привлечения характеристических уравнений путем совместного применения интегральных преобразований и ортогональной проекции невязки;

-методика приближенного расчета процессов теплопереноса в тепловыделяющих элементах конечных форм;

-новый метод решения обратных и контактных задач теплопроводности без сведения их к интегральным уравнениям.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 114 листах машинописьного текста, 1 таблице, 3 рисунках и библиографии из 79 наименований.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Решена задача Кошн для дифференциального уравнения параболического типа с переменными в пространстве и во времени коэффициентами, которые терпят разрыв на координатной гиперплоскости Х]=0. Путем введения одной произвольной функции на этой плоскости дано интегральное представление многообразия решений и однозначное определение неизвестной функции сведено к исследованию многократного интегрального уравнения типа Вольтерра-Фредгольма.

2. Исследованы контактные задачи нестационарной теплопроводности двух полуограниченных сред в двухмерных и одномерных областях евклидово пространства. Найдены фундаментальные решения для однородных и неоднородных уравнений теплопроводности при переменных во времени коэффициентах температурапроводности.

3. Целенаправленный метод выбора ядер интегральных преобразований типа преобразований Гринберга-Кошлякова позволил для конкретной краевой задачи математической физики определить базисы того неальтернативного функционального пространства, в котором интегральными преобразованиями по пространственным координатам или методами ортогональной проекции невязки производится анализ всех заданных входных функции физического нагружения для того, чтобы затем определить искомое решение как синтез неизвестной физической величины. Такой подход к исследованиям поставленных задач позволил предложить более простой унифицированный и универсальный метод, с помощью которого можно обойти достаточно громоздкие и сложные математические выкладки, требующиеся в известных классических методах (метод разделения переменных, метод функции Грина и т.д.).

4. Поставлены и решены прямые, контактные и обратные задачи нестационарной теплопроводности для неизолированных стержней. Исследованы обратные задачи при нелинейных граничных условиях второго рода, когда с торца стержня х=0 происходит отвод тепла по закону Стефана

Больцмана. На основе интегрального представления прямых задач для решения ОЗТ по восстановлению теплового потока как первопричины по результатам информации о записи температуры в одной точке ( по отклику) получены интегральные уравнения типа Вольтерра и Абеля.

5. Доказана теорема о корректности решения ОЗТ, когда интерполированная функция изменения температуры дается в той же точке, где восстанавливается тепловой поток как первопричина физического нагружения.

6. Разработан новый метод решения ОЗТ, который основан на представлении оператора решения прямой задачи при произвольной функции теплового нагружения в пространстве частичного перехода в область изображений, где координата точки измерения температуры оставляется в области оригиналов. Такой подход находит решения ОЗТ без рассмотрение интегральных уравнений.

7. Найдены условия корректности и некорректности решения ОЗТ. Сформулированы и доказаны теоремы об интервалах корректности и некорректности ОЗТ.

8. На примере задачи для пластины предложен метод решения ОЗТ в трех телах классических форм. Доказаны теоремы о том, что граничная обратная задача восстановления теплового притока по измерению температуры на той же рабочей поверхности становиться корректной и будет некорректной если температура измеряется на другой не рабочей поверхности или вблизи нее.

9. Предложен и разработан гибридный аналитико-численный метод совместного применения интегральных преобразований и ортогональной проекции невязки как реализация метода конечных элементов по всей области изменения двухсторонних эллиптических координат к решениям краевых задач для уравнения гиперболического типа, которые описывают колебания струны и двухмерных тонких мембран. Метод находит простые решения, для которых известные классические методы не позволяют выразить решения в явной форме. Очевидно, таким способом можно решить краевую задачу для волнового уравнения в трехмерных областях.

107

1. Бакалеев В.П. О возможности решения нелинейных задач теплопроводности. //ИФЖ. -1961,-Т. 4, N 10.- С. 119-122.

2. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы нестационарной теплопроводности. -М.: Высщ школа -1978, -328 с.

3. Березовский A.A. Нелинейные краевые задачи теплоизлучающего тела. -Киев, Наукова думка, -1968, -165 с.

4. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. Пер с анг./ Под ред. Н.Я. Виленкина.- М.: Изд. Физматлитературы.- 1963.-216 с.

5. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.; Изд. АН СССР. -1948,- 728 с.

6. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. Пер. с анг./ Под ред. Г.А. Вольперта. —М.; Физматгиз.- 1958.-207 с.

7. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисления. -М.: Физматгиз.- 1962.- 524 с.

8. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложение. -М.; Физматгиз.-1958. -178 с.

9. Карташов Э.М., Аналитические методы в теплопроводности твердых тел.-М.: Высшая школа.-1979. -415с.

10. Канторович Л.В., Акылов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М.: Физматгиз.- 1952. -684 с.

11. Карслоу Х.С., Егер Д.К. Теплопроводности твердых тел. -М.: Наука. -1964 .- 488 с.

12. Коган М. Г., Применение методов Галеркина и Кантаровича в теории теплопроводности.- В. кн.: Исследование нестационарного тепло-и массообмена. -Минск,; Наука и техника.- 1966. -С.42-51.

13. Келдыш М.В. О методе Галеркина для решения краевых задач //Изв. АН.СССР. Сер. Матем.- 1950 № 135.-вып. 2.-С. 91-97 .

14. Камаров У.Х. Об одном методе расчета нестационарной теплопроводности и асимптотическое исследование приближенных решений: Диссертация канд. технических наук: -Минск, -1972.-136 с.

15. Ким Е.И. Об одной задаче теплообмена системы тел //Прикладная математика и механика. -1957.-Т.21, вып. 3. -С. 624-633.

16. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. -М.: Высшая школа. -1970. -710с.

17. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. —М.: Физматгиз.-1961 .-522с.

18. Лыков A.B. Некоторые аналитические методы решения нестационарной теплопроводности //Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. -1969. №2. -С. 3-27.

19. Лыков A.B. Теории теплопроводности. -М.: Высшая школа. 1967. 600с.

20. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса.-М-Л.: Гостехиздат. -1963. -536с.

21. Мартыненко В.О. Операционнное исчисление. -Ки^в: Изд-во КГУ. -1965. -104 с.

22. Марчук Г.И., Агашков В.И. //О выборе координатных функций в обобщенном методе Бубнова-Галеркина. ДАН СССР. -1977, №6. -С. 1253-1256.

23. Маслов В.П. Операторные методы. -М.: -Наука. -1973. -541 с.

24. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-М.: Наука.-1970. -512 с.

25. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука. -1966. -432с.

26. Мусхелешвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука. -1966. -463 с.

27. Нуридцинов Ш.Н. Приближенный расчет теплообмена при течении жидкости в трубах и каналах с различными формами поперечных сечений. Диссертация кандидата технических наук: -Минск. -1972. -126 с.

28. Негматов Т.Н. Аналитическое исследование конвективного теплообмена в трубах и каналах. Диссертация кандидата технических наук: -Ашхабад,-1981.-122 с.

29. Патанкар С.В, Численные методы решения задач теплообмена и динамика жидкости. -М.: Энергоатомиздат. -1984, -52с,

30. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях в частнымии производными -М.: Физматгиз. -1961. -412с.

31. Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А. Теплообмен в ядерных энергетических установках. -М.; Атомиздат. -1974. -404 с.

32. Постольник Ю.С., Приближенные методы исследований в термомеханике. -Киев. Высша школа. -1984.-156с.

33. Предвадителев A.C. Учение о тепламине и римановы многообразия. // В сб. Проблемы тепло-и массопереноса. -М.: Энергия. -1970.-С. 151-191.

34. Прямые и обратные задачи математической физики //Сборник. /Под ред. Тихонова А.Н., Самарского A.A. -М.: Изд-во МГУ. -1991. -258 с.

35. Рихмайер Р., Мартон К. Разностные методы решения краевых задач.1. М.: МИР.-1972.

36. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравненияпараболического типа. -Н.: Наука. -1972. -163с.

37. Самаров Ш.Ш. Прямая и обратная задачи теплопроводности для полуограниченного стержня //Тезисы докл. Респ. Научно-прак. Конф. Молодых ученых и спец. -Курган-тюбе. -1991. -С. 76-77.

38. Самаров Ш.Ш. Об одном методе решение краевой задачи для уравнений гиперболического типа. //Сборник научных трудов АДФ, ТТУ. Душанбе. -1994. -С.42-45.

39. Самаров Ш.Ш. Решение обратной задачи нестационарной теплопроводности для пластины // Материалы Междун. научно-практической конференции посвящ. 80-летию Сулайманова А. С. 4.2. -Душанбе. -1998. -С. 29.

40. Самаров Ш.Ш. Нестационарная теплопроводность в двухмерной полуограниченной области //Материалы Междун. научной конференции посвящ. 60-летию Т. Собирова. -Душанбе. 2000. -С.79.

41. Самаров Ш.Ш. Об одном методе решения обратных задач нестационарной теплопроводности //ДАН РТ. T.XIV №5-6 -2002. -С. 66-72.

42. Самаров Ш. Ш. Решение обратной задачи теплопроводности в ограниченной среде //Материалы Междун. научной конференции. -Худжанд. -2003.-С.137-138.

43. Самарский A.A., Бабишевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. -М.: Наука.-1999.-307с.

44. Сборник задач по математике, т. 4, Под ред. Ефимова A.B. -Т.4. -М.: -1990. -302с.

45. Седов Л.И. Методы теории размерностей и теории подобия в механике. -М.: -Л.: Гостехиздат. -1944. -136с.

46. Снеддон И. Преобразование Фурье. -М.: Изд-во иностр. лит., -1955. -668с.

47. Тихонов А.Н. Обратные задачи теплопроводности //ИФЖ. —1975. -Т. 29, №1 -С. 7-12.

48. Тихонов А.Н. Об остывании тел при лучеиспускании по закону Стефана-Больцмана //Изв. АН СССР. География и геофизика. -1937. -№3. -С. 461-479.

49. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнение математической физики. -М.: Наука. -1972. -736с.

50. Тихонов А.Н., Арсенин В .Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука. -1979. -420 с.

51. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. Пер. с анг. /Под ред. А. В. Лыкова. -М.: Гостехиздат. -1956. -204 с.

52. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. -М.: ИЛ. -1990. -242 с.

53. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. -М.: Изд-во АН СССР. -1963. -367 с.

54. Христиченко П.И. Дополнение к статье. Ш.Н.Плят //ИФЖ. -1963. т.6. №7.-С. 128-129.

55. Эдельман А.А. Уравнения параболического типа. -М.: Наука. -1965. -342с.

56. Чарный И.А. О методах линеаризации нелинейных уравнений типа уравнений теплопроводности //Изв. АН СССР.ОТН. -1951. №6. -С. 829-843.

57. Цой П.В., Цой В.П. Об одном поиске температурных полей повышенный точности в твэлах с оболочкой. //РНКТ -3. -2002. Т. 7.-С. 291-293.

58. Цой П.В. Функции от матриц и применение их к задачам тепло- и массопереноса. //ИФЖ. -1965. -Т.8. №3. -С.380-385.

59. Цой П.В. К вопросу теплообмена с учетом осевой теплопроводности при течении жидкости в трубах и каналах. //ИФЖ.-2001. -Т. 74, №1. -С. 128-133.

60. Цой В.П. Об одной задаче для системы дифференциальных уравнений энерго- и массопереноса. //Дифференциальные уравнения. -Минск.; Изд-во АН БССР. -1965. -Т. 1, №10. -С. 1390-1396.

61. Цой П.В., Камаров У.Х. Нестационарная теплопроводность цилиндрических сечения. //В кн.; Исследование нестационарного тепло- и массопереноса. -Минск.; Наука и техника. -1966. -С. 25-32.

62. Цой П.В. Об одном методе исследования нестационарного теплообмена при вынужденном течении жидкости в трубах произвольного сечения. //В кн.: Тепло- и массоперенос. -Т.1, -М.:Энергия. -1968, -С. 589-595.

63. Цой П.В., Нуриддинов Ш.Н. Теоретическое исследование теплообмена в плоскопараллельном канале при вынужденном течении тепловыделяющей жидкости //ДАН БССР. -1968. -Т. 12. №4. -С. 319-323.

64. Цой П.В. О решении задач теплопроводности при переменных коэффициентах теплообмена //Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. -1976. №4. -С. 117-126.

65. Цой П.В., Юсупов С.Ю. Об одном методе решения обратных задач теплопроводности //Изв. АН СССР, Сер. Энергетика и транспорт. -1980. №3. -С. 170-176.

66. Цой П.В. Методы расчета отдельных задач тепломассопереноса. -М.: Энергия.-1971. -384 с.

67. Цой П.В. К теории разработок гибридных аналитико-численных методов расчета процессов тепло- и массопереноса //ИФЖ, -1990. -Т.59, №3. -С.395-430.

68. Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса -М.: Энергоатомиздат. -1984. -415 с.

69. Цой П.В. Приближенные и точные методы математической физики. -Душанбе: «ТаджикНИИНТИ»-1993.-242с.

70. Цой П.В., Самаров Ш.Ш. Прямая и обратная задачи теплопроводности для трехмерной полуограниченной среды // Тезисы докл. XVII научно-отч. конф. преподавателей ТПИ. -Душанбе. -1989. -С. 24.

71. Цой П.В., Самаров Ш.Ш. Прямые, обратные и контактные задачи нестационарной теплопроводности в двухмерных полуограниченных телах //Известия АН РТ, отд. Физ-мат. и химических наук, №2. -1992. -С. 12-18.

72. Цой П.В., Самаров Ш.Ш. Контактные и обратные задачи теплопроводности для полуограниченных стержней //ДАН РТ. -Т.35, №5-6. -1992, С. 231-236.

73. Цой П.В., Самаров Ш.Ш. Контактные, прямые и обратные задачи нестационарной теплопроводности в полуограниченных областяхмногомерного пространства //Сборник материалов 11 международного форума по тепло- и массопереносу. -Минск. -1992. -С. 170-176.

74. Цой П.В., Самаров Ш.Ш. Прямые и обратные задачи нестационарной теплопроводности в полуограниченных телах //Материалы семинара кафедры «Высшей математики». -Душанбе. -1999. -С. 17-23.

75. Цой П.В. О многообразии представления нестационарной температуры твэлов в зависимости от вида распределения источников теплоты.//ИФЖ.2000.т.74. №4.

76. Tsoi P.V. A method for calculating direct and inverse problems of unsteady state heat transfer, Int. I. Heat and Mass Transfer. -1988. -V. 31, №3. -P. 497-504.

77. Юсупов С.Ю. Разработка приближенного аналитического метода расчета прямых и обратных задач нестационарной теплопроводности. Диссертация кандидата технических наук. -Ашхабад. -1989. -144 с.