Задачи об установившихся колебаниях полуцилиндра с некоторыми упругими структурами и связанные с ними самосопряженные квадратичные пучки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.43

Аргета Гарсия Марио Отон

Задачи об установившихся колебаниях полуцилиндра с некоторыми упругими структурами и связанные с ними самосопряженные квадратичные пучки

Специальность 01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Анатолий Гордеевич Костюченко.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Виктор Валентинович Власов.

кандидат физико-математических наук, Никита Вячеславович Артамонов.

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН.

Защита диссертации состоится " 18 " марта 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "18" февраля 2005 г.

Д.501.001.85 в МГУ,

доктор физико-математических наук, профессор

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое описание многих физических процессов приводит к дифференциальным уравнениям эллиптического типа. Изучение свойств таких математических объектов является важной и интересной задачей, как с практической, так и с теоретической точки зрения.

Стройная теория пучков была построена М. В. Келдышем, И. Ц. Гох-бергом, А. С, Маркусом, М. Г. Крейном, Г. К. Лангером1'1 и другими математиками с привлечением глубоких результатов из теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой.

Следующим важным этапом в изучении самосопряженных квадратичных пучков с оператором С > 0 явилась работа А. Г. Костюченко и М. Б Оразова'21, в которой свойства операторного корня Z, построенного в [1], были изучены боле детально, а именно, был дан ответ на вопрос: какая часть собственных и присоединенных элементов пучка L(a), отвечающих действительным собственным значениям, является системой собственных и присоединенных элементов корня Z.

Задача о выделении всех собственных и присоединенных векторов операторного корня Z оказалось очень важной в связи с конкретными задачами теории упругости, рассмотренными в работе А. Г. Костюченко и М. Б Оразова131; другая постановка этой задачи состоит в следующем: какую часть собственных и присоединенных элементов пучка отвечающих

действительным собственным значениям, нужно добавить к собственным и присоединенным элементам пучка Ца), отвечающим собственным значениям ак, для которых Ima, > 0, чтобы образовавшаяся система была полной и минимальной в пространстве 11?. В этом смысле можно считать, что вопрос о выделении полных и минимальных подсистем собственных и присоединенных элементов пучка Ца) является одним из основных вопросов в теории квадратичных операторных пучков.

[1]. Крейн М. Г., Лангер Г. К. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуумов. - В кн.: Труды международного симпозиума по применению теории функций в механике сплошной среды. М., Наука, 1965, с. 238 - 332.

[2]. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка. // Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т. 9, № 4, с. 28 - 40.

и. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. - « Труды семинара им. И. Г. Петровского», 1981 г., вып. 6, с. 97 - 146. [4]. Шкаликов А. А. Шкред А. В. Задача об установившихся колебаниях трансверсаль-но-изотропного полуцилиндра // Математический сборник. 1991. Т. 182. №8, с. 1222-1246.

В работе изучаются спектральные свойства квадратичных операторных пучков, возникающих при разделении переменных в задаче о колебаниях полуцилиндра с различными упругими структурами. Постановка математической задачи основана на упругих свойствах кристаллов и их симметрии при малых деформациях структурной решетки кристалл.

Основные математические основы по исследованию спектральных свойств ограниченных квадратичных самосопряженных пучков в задаче об установившихся колебаниях упругого полуцилиндра О с изотропной структурой, были найдены в работе А. Г. Костюченко, М. Б. Оразова131. Следующий важный шаг в этом направлении был осуществлен А. А. Шкаликовым, А. В. Шкредом'41 в задаче об установившихся колебаниях полуцилиндра с трансверсально-изотропной структурой. На основе работ [3] и [4], мы смогли изучить спектральные свойства ограниченных самосопряженных квадратичных пучков в задаче об установившихся колебаниях упругого полуцилиндра с кубической, ромбической и триклинной структурами.

Цель диссертационной работы. Целью данной диссертационной работы является исследование спектральных свойств некоторых самосопряженных квадратичных пучков, возникающих при разделении переменных в задаче об установившихся колебаниях полуцилиндра с различными упругими структурами, а также найти ту часть корневых векторов пучка отвечающих действительному собственному значению которую

необходимо добавить ко всем корневых векторам пучка Ц(а), отвечающим собственным значениям а,, для которых 1так>0, чтобы образовавшаяся система была полной и минимальной в пространстве во всех упругих структурах.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты.

1. В статическом случае для спектральных задач •£„,(«) и .££(«), в случае кубической, ромбической и триклинной структур, найдены достаточные условия для эллиптичности этих задач.

2. Доказана основная теорема: для всех упругих структур, при каждом фиксированном «уеЛ спектры <г(Ья) и <т(£°) состоят из собственных значений ак(а>) конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат. В статическом случае й> = 0 пучок (а) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок

имеет лишь одну вещественную точку спектра которой отве-

чает четыре линейно-независимых собственных вектора.

3. В статическом случае, найден явный вид всех корневых векторов (Жордановы цепочки) для спектральной задачи Ща) в точке а = 0, в случае кубической, ромбической и триклинной структур, и какую часть из

них необходимо добавить ко всем корневым векторам, отвечающим собственным значениям из верхней полуплоскости, чтобы получилась полная и минимальная система в ij(D).

Метод исследования. Исследование задачи об установившихся колебаниях полуцилиндра с различными упругими структурами проведено с помощью разделения переменных, а также метода сведения спектральных задач, к виду аналогичному тому, который ранее применялся С. Г. Крей-ном и Г. И. Лаптевым при изучении нормальных колебаний вязкой несжимаемой жидкости в открытом сосуде.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в диссертационной работе результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы в механике сплошных сред, в частности в теории упругости, а также в теории самосопряженных пучков.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре по теории несамосопряженных операторов и спектрального анализа под руководством профессоров А. Г. Костюченко и А. А. Шкаликова (декабрь 2004г.), а также на семинаре по теории спектрального анализа дифференциальных и разностных операторов под руководством профессоров А. Г. Костюченко, В. В. Власова, К. А. Мирзоева (февраль 2005г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 2 работы. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 12 параграфов и списка литературы из 44 наименований. Объем диссертации составляет 111 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведены краткие необходимые сведения из теории упругости, некоторые результаты из самосопряженных квадратичных пучков, а также обзор диссертационной работе.

Работа посвящена исследованию спектральных свойств задач £„(а) и в случае кубической, ромбической и триклинной структур.

В главах I §1, II §6 и III §10, приводим математическую постановку задачи в случае кубической, ромбической и триклинной структур соответственно.

Рассмотрим систему уравнений малых колебаний упругой среды в по-лупилипдре П, где iî = R*x2?cR'; где Т>с R2 = {(0,*2,*3)}- ограниченная область с гладкой границей

где и =и(г,лг,,*2,х,) = (м,,ы2,и3) - вектор смещений, а = («т*)^., -тензор напряжений, р = р(х2,х)) - плотность среды и 0 <т< р{х) < М. На боковой поверхности Г = 32) х И* полуцилиндра П предполагается выполненным одно из условий

Нг=°»

или

<7(«НГ=0,

где п = п(х2,х}) = (0,п2,п3), + л^ = 1 - внешняя нормаль к границе Г. Первое из этих условий отвечает случаю закрепленной границы, а второе случаю свободной границы.

Разделяя переменные и(1,х,,х2,х,) = е'"и(х1,х2,х1), а- вещественно, получим так называемые уравнения установившихся колебаний упругого полуцилиндра О:

у*2к<!!> , 0> ,. = 1>2>3> (1)

и Эхк

с условием на боковой поверхности

«|г=0, (2)

или

<г(«Нг=0. (3)

Компоненты тензора напряжения можно получить, дифференцируя свободную энергию Ж (упругая энергия), по компонентам тензора деформации, т.е.:

<гЛ(н) = |^ , Л*-1,2,3 .

В случае кубической упругой среды (кубическая структура), свободная энергия имеет вид:

И1* +е21+е2„) + с2(епе22+еие,} +ег2еп) + 2 с,(4 +е,23 +4).

В случае ромбической упругой среды (ромбическая структура), свободная энергия имеет вид:

IV, = ¡^е,] + {с24 + + с,еиеп + с5е„г„ + с,еаеи + 2с,4 + 2с,е* + 2с,е},.

В случае триклинной упругой среды (триклинная структура), свободная энергия имеет вид:

Удобно полагать хх = у. Тогда уравнение (1) установившихся колебаний упругого полуцилиндра П в этих трех структурах примет следующий вид:

где Л, % С и К. - симметрические матрицы, вид которых зависит от упругой структуры.

Аналогичные уравнения (3) со свободной границей (боковая поверхность) можно записать в виде:

где - матрицы, вид которых зависит от упругой структуры.

Задаче об установившихся колебаниях полуцилиндра в случае кубической, ромбической и триклинной структур и со свободной границей отвечает следующая спектральная задача с параметром

(4)

(5)

Задачу (4) — (5) будем обозначать через £а(а)\. В случае закрепленной границы:

мы приходим к спектральной задаче с параметром

(6) (7)

Задачу (6) - (7) будем записывать через ¿l(a)v.

В главах I §2, II §7 и III §12, приводится сведение спектральных задач £а(а) и в случае кубической, ромбической и триклинной структур

соответственно, которые являются неограниченными операторами при каждом аеС, к ограниченным самосопряженным операторам Lx{a) и £° (а). Подобное сведение позволяет применить ряд результатов из теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой и из теории самосопряженных квадратичных пучков.

Прямой проверкой убеждаемся в том, что для оператора С имеет место тождества Грина:

где в случае кубической структуры,

находим следующее соотношение:

= c2divv ■ div8 + VI Ail + AviA#i) +fa - c2~ 2cJ)(D1vlD1~g2 + D,v}D3g}) +

В этом соотношении, мы потребуем выполнение, следующие условия на коэффициенты с,:

с, >0, с2 >0, с3 >0 и с,>сг+2с3. (8)

В случае ромбической структуры, находим для следующее

соотношение:

£0(v>g) = csdiv'v■ divg + c7D^D2gt + c,D}v,D}g, + (c2 -c6-2c,)D2v2D2g2 +

В этом соотношении, мы потребуем выполнение следующих условий на коэффициенты

с4>0, с,>0, ct>0, с, >0, с2>с6+2с, и с3>с6 + 2с,. (9)

В случае триклинной структуры находим, что Г0(у,£) имеет вид: £о(У>8) = ' + с»+ (с2 - - 2с,)£)2у2£)2^г +

+ +(с„ +с„)£)2УзД^ + си£>2у,£>2£2 +с,3£)3у,£>3£2 +(с14 +

+ +с»А1'ЗАУ2 +сМАу.А5З +

+(с12+с13)х>2у,£)3^ +2с20£)2у3в3^(

а

где Лу'у = £>2у2 + £>3у3 ; О, = —, * = 2,3 .

дхк

В этом соотношении, мы потребуем выполнение следующих условий на коэффициенты с,:

с6£0, с7> 0, с, >0, с9>0, с2>с6 + 2с,, с3>с, + 2с, к

с,,, с,2, е,3, с,,, с,5, е„, с„, с20, с2| - неотрицательные, но достаточно малые, по отношению к остальным коэффициентам. (10)

Обозначим через

£0(у,£)= |£0(У ,*)&+ о с

В пространстве ^2(2Э) нормы £„(»', у) и ]|у||^ эквиваленты в каждой структуре.

Теорема 1. Существуют операторы Теб„(£2(а1)),£2(1))) м Реб,, 9 > |;р > 0, причем рч = а, где Ща)с . Кроме того, 5>(а}) = ^(2?), и i! а'у|н1 v'!,, у е ГГ'(Р).

Отсюда мы находим, что квадратичный пучок ¿„(а) имеет вид ¿»(«) = «x + ав„ + / - р - й>гя.

Здесь

а„ = р}.яр*, в0=-(в+д), в = р%р*, <5 = , я = р*:??р1.

Теорема 2. Оператор В0 е <3,, /> 3, и является самосопряженным.

Таким образом, мы привели спектральную задачу Lja) к ограниченному самосопряженному квадратичному пучку ¿„(а).

Мы имеем, что для оператора С при всех veC2(D); =о и всех g е C'(D); g|40 = 0 выполняется равенство

(Cv,g) = ¡T0(v,g)dx .

■D

О

В пространстве WjCD) нормы ||v||,2 и \Ta(v,v)dx эквивалентны в каждой

V

упругой структуре.

Теорема 3. Существует оператор Р0 е , q>\, Р„>0 и P0"'v = Cv где ^(Р;1) = {v e W2\V): v|dB = 0} и Р0Л = Су. Кроме того, =

и ||Р-Ч2= fe(v.v)&H|v||?), vg (D).

о

С помощью этой теоремы, сведём нашу задачу к квадратичному

пучку

(а) = агА, + аВ, -1 - ®JR, ,

где А,=Р0\ЯР„}; В, =-Р*2Р04; R, = , где А,>0, R,>0; А,, R, еб,, q > {, а В, e б,, / > 3, и В, -самосопряженный оператор.

Таким образом, мы привели спектральную задачу Ц,(а) к ограниченному самосопряженому квадратичному пучку L°a (а).

В главах I §3, II §8 и III §11, рассмотрим статический случай для спектральных задач £,(а) и Ü„(a) в случае кубической, ромбической и три-клинной структур соответственно.

Исследуется вопрос о положительной определенности матрицы С„(£,а) спектральных задач £х{а) и 1°(аг), во всех структурах, в области fi, „, где

П,N = {а :| arga |<f -е,\ arga |>f + е , -п <arga £гг ,\а\> N} где 0<е<~, и где С„(£,а) обозначает матрицу, полученную из Са(а) (см. (4)), заменой Фк на , где к = 2,3 и (&,<?,) eR2.

Условие I. DetC0(4,a)>0 при a<=ClcS.

Тогда достаточные общие условия на упругие коэффициенты с, = 1,2,3 в случае кубической структуры, для эллиптичности задачи ¿¡¡(а) будут:

1) с, >0, с2> 0, с, >0,

(П)

2) с, > с2 + 2с3,

Достаточные условия на упругие коэффициенты с,, / = 1,...,9, в случае ромбической структуры, для эллиптичности задачи ^(а) будут:

1) с, >0, с2 > 0, с, > 0, с4 > 0, с5 >0, сь >0, с, >0, с„>0, с9>0,

2) с, > с3 + 2с,, с2 > с4 + 2с,, с3 > с6 + 2с,,

(12)

3) с6£с5>с4 и с, >с82:с7 ,

4) с,с2с3 + 2с4с5с6 > с,с' + с2с2 + с3с2 ,

5) с,с2с3 + 2(с4 + с7)(с5 + с,)(с4 + с,) > с,(с6 + с,)2 + с2(с5 + с,)2 + с3(с4 + с7)2.

Достаточные условия на упругие коэффициенты с,, / = 1,...,21, в случае триклинной структуры, для эллиптичности задачи будут:

1) с, > 0, с2 > 0, с} > 0, с4 ¿0, с, 20, Свй0, с, >0, с, >0, с, > 0,

2) с, > с3 + 2с8, с2>с6+2с,, с3>с6 + 2с,,

3) с62:с5>с4 и с9>с82с7,

(13)

4) с|с2с3 + 2с4с,с6 > с,с2 + сгс] + с,с1 ,

5) с,с2с3 +2(с4 +с,)(с, +с,)(с6 +с,) >с,(с6 +с,)2 + с2(с5 +с8)г +с3(с4 +с7)2.

6) С|0,...,С2| - неотрицательные, но достаточно малые по отношению к с,,..., с,.

Чтобы доказать эллиптичность задачи £>(а) для всех упругих структур, нужно помимо условия I проверить еще

Условие И. В каждой точке (*2,х3) 6 дЮ выполняется условие Шапиро-Лопатинского для задачи с параметром а, при а е С1с М.

Для всех упругих структур справедливо условие II, а также имеют место следующие результаты:

Л е м м а 1. Для любого числа е, 0<е можно указать такое число N, что задачи £ю{а) и £^(а) являются регулярными эллиптическими по параметру а граничными задачами в области

Лемма 2. Пусть ш- 0. Тогда пучок 1°0 (а) является равномерно сла-бодемпфированным, т.е. выполняется оценка:

(В£,Ог <■ ). С е А(©) ,

с некоторой константой 0<г2<1. Пучок ¿„(а) имеет на вещественной оси лишь одну точку спектра а = О, которой отвечают четыре линейно-

независимых собственных вектора этого пучка. Прямой проверкой находим, что следующие векторы

действительно являются собственными векторами задачи ■£,(«), отвечающими собственному значению а = 0, причем других независимых собственных векторов при а = 0 у задачи нет.

Теорема 4. Спектры о(1а) и о-(Х°) пучков 1„(а) и £° (а), оз1 >0,

состоят из собственныхзначений а„ конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольно малыхуглах, примыкающих к мнимой оси. Кроме того, при ео = 0 пучок ¿5 (а) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок £„(«) имеет лишь одну вещественную точку спектра а = 0, которой отвечает четыре линейно-независимых собственных вектора:

где векторы являются собственными векторами задачи

При й)! > 0 пучки ¿„(а) и 1°(а) в области Ы допускают оценки

Теперь составляем систему векторов (она подробно описывается в ди-

Определение 3. Половиной системы собственных и присоединенных векторов задачи £а{и) назовем систему всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению ак изверхней полуплоскости, объединенную с векторами (15) по всем а0е .

Теорема 5. Система всех собственных и присоединенных векторов каждой из задач £й,(о>) и двукратна полна в пространстве ^(Ю)

и (V* (Т>) соответственно. Половина системы собственных и присоединенных векторов задач £„(а) и £а{а) полна и минимальна в пространствах

и соответственно. Кроме того, половина собственных и

присоединенных векторов задач ¿„(а) и £0{а) будет минимальной (и, коВ главах I §5, II §9 и III §12 рассмотрены некоторые предложения к задачам £„{а) и и показано какой вид, имеют Жордановы цепочки,

отвечающие собственному значению а = 0 для задачи £Ха) в случае кубической, ромбической и триклинной структур.

Теорема 6. Вточке а-Озадача £ц(а), вслучаекубическойструктуры, имеет две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 2 и две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 4. Проекции этих собственных и присоединенных векторов на /,(23) имеют следующий вид (индекс 0 соответствует собственному вектору, а последующие индексы - присоединенным векторам): А) Случай, когда с, >0, / = 1,2,3 и выполняются условия (11)

где константы к2 и кг зависят от области 2), и определяютсяуравне-ниями:

координатные функции и21, и2!, \мп, и>23 определяются равенствами: ип =Л[$(х1 -х32)-*2х2], и23 =Л(хгх,-кгх,), *22 =Л(Х2Х,-^Х2), >у2, = Я[\(X2 -х]) - ¿5*3] ,

где константа кубической структуры, Я = С}22 , а функции н31, \е3| и

с2 -с,

являются решениями следующих краевых задач:

с3(Д2г + А2)"з, = -'(с, + 2Я(сг + с3))(хг -*3) в 2?,

(«2 А + "зАК^, = -'(«2и22 + "з"2з).

с3(1>2 + А2)^! =-'(^1 + 2Л(с2 + с3))(х3 -*3) в 2), («2 А + = -'("2^22 + "з^и).

(£>г2 + £»32)^,=0 в 2), («2^2 = -¿(«2*3 -"3*2)•

Б) Случай, когда с2= 0 м выполняются условия (11), у0 =(1,0,0), V, = (0,х3,-х2); м0 = (0,1,0), и, = <(-х2+*2,0,0), иг = (0,х3,-х2), "3 =(и3|,0,0);

(17)

и>„ =(0,0,1), и-, = /(-х3+*3,0,0), И'2=(0,х3,-х2), №,=(^„0,0); г0=(0,х3,-х2), г,=(г„,0,0), где константы к2 и к, зависят от области Т), функции и„, и>3! и являются решениями краевых задач из А) с Я- 0.

Из теоремы 5 и теоремы 6 в статическом случае, следует, что если ко всем корневым векторам, отвечающим собственным значениям из верхней полуплоскости задачи -^¡(а), в случае кубической структуры, добавить векторы у0, «0, и,, н<0, и<,, gt, из (16) (случай А), либо из (17) (случай Б), то получится полная и минимальная система в пространстве Ж2(27) (ив

Теорема 7. В точке а- 0 задача /,(«), в случае ромбической структуры, имеет две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 2 и две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 4. Проекции этих собственных и присоединенных векторов на Ьг (О) имеют следующий вид (индекс 0 соответствует собственному вектору, а последующие индексы — присоединенным векторам): А) Случай, когда с, > 0, / = /,...,9, и выполняются условия (12)

у0 =(1,0,0), V, =/(0,Лх2Л*3);

и0 =(0,1,0), «, =/(-дг2+^,0,0), иг = (0,ип,м23), щ = (и31,0,0);

(18)

и>„ = (0,0,1), ^ = /(-х3+*3,0,0), и<2 =(0, =(и>3|,0,0);

£0=(0,*3,-Х2), «.=(^„0,0),

где константы к7 и кг зависят от области Ю, и определяются равенствами

|(х2-*2)Л = 0, }(х3-*3) = 0, V в

координатные функции и22, и2], и>22, определяются равенствами:

"22 = 4 А ~ кЛ) - 2Х1 > И23 = К (*2*3 " к1Хг ) !

и<22 = Л, (хЛ - *3х2), >с23 = Л (| х3 - Мз) - Л Т ;

С С с с с с -с с

Л,, Хг- константы ромбической структуры, Л, = —^, Л, = ——^, а

С2С3-С4 С2С3_С6

функции ы31, н'з,, являются решениями следующих краевых задач:

{с7й1 +с,£>3, =-/(с, + Л,(с, +с7)+^(с, +с1))(д:2 -А,) в О, (с,п2£>2 + с,л,£>3)н31|№ = -|'(с7и2и22 + е,п3и23),

(с101+с,0^г{=-1(с,+Х[(сл+с7) + Х2(с,+с,))(х}-к,) в V,

(с,£>2г+с,£>32)«„=0 в I), (с,«зА +с,п3£>3)^1|в2г = -1(с,иЛ -с,л3х2).

Б) Случай, когда с,=с5=с6=0 и выполняются условия (12),

где констанкуъи к, зависят от области Т), функции и>31 и gu являются решениями краевых задач из А) с А, = Л, = 0.

Из теоремы 5 и теоремы 7 в статическом случае, следует, что если ко всем корневым векторам, отвечающим собственным значениям из верхней полуплоскости задачи ^а),в случае ромбической структуры, добавить векторы V,,«„,«,, и-,, из (18) (случай А), либо из (19) (случай Б), то получится полная и минимальная система в пространстве (и в

Задача о движении вещественных собственных значений тесно связана с задачей о полноте части корневых векторов. В этой связи представляет интерес теорема 8, которая утверждает., что при малом возмущении на вещественной оси не остается собственное значение, причем в верхней полуплоскости от каждого вещественного собственного значения смещается столько корневых векторов, сколько было необходимо добавить к корневым векторам из верхней полуплоскости, чтобы получить полную и минимальную систему в /,(2Э) во всех упругих структурах.

Применяя общую теорию А. Г. Костюченко и М. Б Оразова [1], получаем следующие результаты

Теорема 8. В достаточно малой окрестности точки а = 0 при О < <о2 < е, е -мало, у задачи £а(а) имеется по четыре пары (а*(а>2),^(ео2)), /=!,..., 4, первого и второго рода, которые движутся при возрастании 0<о)2<е соответственно вправо и влево от точки а = О, Кроме того, имеется еще две пары (ак{а>г),ук(а>2)), к = ±!,±2, которые смещаются в комплексную плоскость по кривым /л*, для которых мнимая ось является касательной.

При дальнейшем возрастании параметра ш2 > 0 качественную картину движения вещественных собственных значений этих задач, описывает следующая теорема

Теорема 9. Существует последовательность ы\ < ш\ <... < а>1 <..., а>* ->х>, а, -0, при которых у пучка (а) на вещественной оси имеет хотя бы одно нейтральное собственное значение а, (такое, что ему отвечает собственная функция у„, имеющая присоединенные функции). Во всех остальных точках а 1*<о] пучок £а(а) имеет на вещественной оси только пары первого и второго рода, которые движутся соответственно вправо и влево при возрастании о1 е к = 1,2,... .

Аналогичное утверждение верно и для задачи 1£(а).

Если мы рассмотрим уравнения установившихся колебаний на плоскости для полуполосы П = [ОД] х Я*, [0,1] с со свободной (или закрепленной) границей, как и в случае полуцилиндра О, придем к задаче £„(а) (или .££(«)) упрощенного вида (4)-(5). Все соответствующие упрощенные результаты сохраняются для спектральных задач £„(а) и £„{а) на плоскости во всех упругих структурах, например, имеют место теоремы

Теорема 10. В точке а = 0 у пучка £,{а), в случае кубической структуры, имеется только две цепочки собственных и присоединенных векторов:

с\

и0=(0,1), и, = -¡(х7-±,0), иг=~^(0,х\~хг), и, = -/С'

где в этом случае с, > 0, с2 > 0, с3 > 0 и с,3 > с] + 2с1с1.

Из теоремы 5 и теоремы 10 на плоскости, следует, что если ко всем корневым векторам задачи отвечающим собственным значениям

ая из верхней полуплоскости, добавить векторы V,,, щ и и,, то получим полную и минимальную систему в пространстве ^'[0,1] (и в 4[0,1]).

Теорема 11. В точке а = 0у пучка £^{а), в случае ромбической структуры, имеется только две цепочки собственных и присоединенных векторов:

=(1,0), у,=-^(0,Х3), «2

2сг 2 с2с,

где в этом случае с, > 0, с2 > 0, с4 > 0, с, > 0 и с,с2 > с42 + 2с4с,.

Из теоремы 5 и теоремы 11 на плоскости, следует, что если ко всем корневым векторам задачи ^(а), отвечающим собственным значениям ап из верхней полуплоскости, добавить векторы щ и и,,то получим полную и минимальную систему в пространстве

Чтобы спектральные задачи £„(а) и для триклинной структуры,

можно было свести к самосопряженным квадратичным пучкам 1„(а) и ¿°(а) соответственно, триклинная структура должна вести себя примерно как ромбическая структура при упругой деформации. В статическом случае, когда о> = 0, чтобы возник явный вид корневых векторов, (Жордановы цепочки) триклинная структура должна быть эквивалентна ромбической структуре, а это случается, когда упругие коэффициенты В этом случае, все результаты для спектральных задач £а(а) и ^а), в случае триклинной структуры, полностью совпадают с результатами, по-лучеными и для ромбической структуры.

В цитируемой ниже статье [1] по теме диссертации, теоремы 1, 2, 3, 5, 8, и 9 - принадлежать А. Г. Костюченко, остальные результаты принадлежат автору

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Костюченко Анатолию Гордеевичу за предоставление интересной темы и полезные советы, а также всему коллективу кафедры теории функций и функционального анализа за ценные замечания при обсуждении полученных результатов. Я также благодарен комитету по науке и технике Мексики (CONACyT).

ПУБЛИКАЦИИ

1. Костюченко А. Г., Аргета Гарсия М. Задача об установившихся колебаниях полуцилиндра с кубической упругой структурой и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. - Доклады Академии Наук, том 400, № 3, 2005.

2. Аргета Гарсия М. Задача об установившихся колебаниях полуцилиндра с ромбической упругой структурой и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки.- Успехи Математических Наук,том 60, № 1,2005

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломогвошва. Подписано в печать 02..

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л.

Тираж 100 экз. Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059,

от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Of, о-/- с л

408

Введение

Глава I. Установившиеся колебания полуцилиндра с кубической упругой структурой и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки

§1. Спектральные задачи £а(сс) и («) в случае кубической структуры .И

1. Постановка задачи

§2. Сведение задач Lm(а) и Д,(а) к пучкам La(a) и

1. Сведение задачи £а(а) к пучку La(a)

2. Сведение задачи £ш(а) к пучку

§ 3. Некоторые свойства пучков Lm(a) и

1. Статический случай для задач £а (а) и £?а (а)

2. Основная теорема для пучков La(a) и

§4. Полнота корневых векторов пучка L(co,а)

1. Квадратичный пучок Ь(а)

2. Теорема о двукратной полноте корневых векторов пучка L(a)

3. Теорема о полноте корневых векторов для задач £0) (а) и (а)

§5. Некоторые предложения к задачам £а(сс) и Д{сс)

1. Нахождение корневых векторов задачи ZJ, (а) в точке а =

2. Теоремы движения вещественных собственных значений.

3. Спектральные задачи £а(а) и Д(се) в полуполосе

Глава II. Установившиеся колебания полуцилиндра с ромбической упругой структурой и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки.

§6. Спектральные задачи £а (а) и Д (а) в случае ромбической структуры

1. Постановка задачи

§7. Сведение задач £т(а) и к пучкам L^a) и j£(a)

1. Сведение задачи £а (а) к пучку La (а)

2. Сведение задачи Д, (а) к пучку (а)

§8. Некоторые свойства пучков Lm(a) и

1. Статический случай для задач £а(а) и Д,(а)

2. Основная теорема для пучков Lm (а) и Z,°(a)

3. Теорема о полноте корневых векторов для задач £0 {а) и (а)

§9. Некоторые предложения к задачам £ш(а) и Z^(ctr)

1. Нахождение корневых векторов задачи в точке а =

2. Теоремы движения вещественных собственных значений.

3. Спектральные задачи £а(а) и в полуполосе

Глава III. Установившиеся колебания полуцилиндра с триклинной упругой структурой и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки.

§10. Спектральные задачи £а(а) и в случае триклинной структуры

1. Постановка задачи.

§11. Некоторые свойства пучков La(a) и 1?а(а)

1. Статический случай для задач £а (а) и (а)

§12. Сведение задач £0(а) и (а) к пучкам La(a) и

В работе изучаются спектральные свойства квадратичных операторных пучков, возникающих при разделении переменных в задаче о колебаниях полуцилиндра с разными упругими структурами. Постановка математической задачи основана на упругих свойствах кристаллов и их симметрии при малых деформациях структурной решетки кристалла.

Рассматривая какое-нибудь деформированное тело, мы имеем, что если деформация тела очень мала, то по прекращении действия вызвавших деформацию внешних сил, тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называют упругими. При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации. Такие деформации называют пластическими (см. [3]).

Бесконечное малое изменение dE внутренней энергии, равно следующей сумме: dE = TdS + crlkdelk где + охк ох( где Г-температура, S — энтропия, <т1к - тензор напряжения и е1к -тензор деформации. Вводя в место энергии Е свободную энергию W тела

W = Е-TS, получим следующее соотношение dW = -SdT + arlkdelk.

Компоненты тензора напряжений можно получить, дифференцируя W по компонентам тензора деформации соответственно при постоянной энтропии S или температуре Т:

7,к = д де, ik J j

1)

При рассмотрении упругих свойств кристаллов мы имеем дело со связью между тензорами напряжения и деформации. Так как они оба являются симметрическими тензорами второго ранга, т. е. имеют по шесть компонент, то наиболее общий вид линейной связи между напряжениями и деформацией будет зависеть от 6x6 = 36 коэффициентов (см. [34]).

Изменение свободной энергии W при изометрическом сжатии кристалла является, как и у изотропных тел, квадратичной функцией тензора деформации. В противоположность тому что имеет место для изотропных тел, эта функция содержит теперь не два, а больше число независимых коэффициентов. Общий вид свободной энергии деформированного кристалла есть: = "2 Ciklmeikeim ' (2) где clklm есть некоторый тензор 4-го ранга (см. [33]), называемый тензорам модулей упругости. Поскольку тензор деформации симметричен, то произведение е^е1т не меняется при перестановке индексов i с к, I с т или пары /, к с парой /, т. Очевидно поэтому, что и тензор clklm может быть определен так, чтобы он обладал такими же свойствами симметрии по отношению к перестановке индексов:

Ciklm ~ Ckilm ~ Cikml ~ Clmik '

Путем простого подсчета можно убедиться в том, что число различных компонент тензора 4-го ранга, обладающего такими свойствами симметрии, равно в общем случае 21.

Соответственно выражению (2), для свободной энергии зависимость тензора напряжений от тензора деформации имеет в кристаллах вид:

Наличие той или иной симметрии кристалла приводит к появлению зависимостей между различными компонентами тензора сМт, так что число его независимых компонент оказывается меньшим, чем 21.

Упомянутое ранее число 21 относится к кристаллу с наиболее низкой симметрии, так называемому триклинному кристаллу.

Всего имеется 32 группы (класса) симметрии, которые относятся к 7 кристаллографическим структурам: триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной или квадратной, ромбоэдрической или тригональной, гексагональной и кубической. В каждой из трех первых и двух последних структур все кристаллы ведут себя в отношении своих упругих свойств одинаковым образом, только в тетрагональной и ромбоэдрической структурах можно выделить по две подгруппы, различающиеся по упругим свойствам (см. [3]).

Выпишем число независимых параметров (модулей упругости или углов, определяющих ориентацию осей в кристалле) для классов различных структур:

Все сказанное относится к монокристаллам. Поликристаллические тела с достаточно ма-лами размерами входящих в их состав кристаллитов можно рассматривать как изотропные тела, Как и всякое изотропное тело, поликристалл характеризуется всего двумя модулями упругости.

В изотропных телах тепловое расширение происходим одинаковым по всем направлениям , так что тензор деформации при свободном тепловом расширении имеет вид: dW триклинная моноклинная . ромбическая . тетрагональная тетрагональная ромбоэдрическая ромбоэдрическая гексагональная кубическая

21 13 9 7 6 7 6 5 3 е^ЩТ-Т^ где «9 - коэффициент теплового расширения. В кристаллах же надо написать

3, о;> где 191к - некоторый тензор второго ранга, симметричный по индексам i, к . Выясним число независимых компонент этого тензора в кристаллах разных структур. Для этого проще всего воспользоваться известным из тензорной алгебры обстоятельством, что всякому симме-триичному тензору второго ранга можно привести в соответствие некоторый, как говорят, тензорный эллипсоид (тензорный эллипсоид определяется уравнением 31кх,хк = 1). Из соображений симметрии непосредственно очевидно, что при триклинной, моноклинной и ромбической симметриях эллипсоид является трехосным (т. е. длины всех его осей различны). При тетрагональной же, ромбоэдрической и гексагональной симметриях эллипсоид должен является эллипсоидом вращения (с осью соответственно вдоль осей симметрии). Наконец, кубическая симметрия приводит к вырождению эллипсоида в шар. Но трехосный эллипсоид определяется тремя независимыми величинами (длинами осей), эллипсоид вращения - двумя, а шар - всего одной (радиусом). Таким образом, число независимых компонент тензора 91к в кристаллах различных структур есть:

Кристаллы первых трех структур называются двухосными, а вторых трех - одноосными. Обратим внимание на то, что тепловое расширение кристаллов кубической структуры определяется всего одной величиной, т. е. что они ведут в себя в отношении своего теплового расширения как изотропные тела.

Основные математические основы по исследованию спектральных свойств ограниченных квадратичных самосопряженных пучков в задаче об установившихся колебаниях упругого полуцилиндра с изотропной структурой, были найдены в работе [1] А. Г. Костюченко, М. Б. Оразова. Эти результаты были фундаментальные, чтобы определить дальнейшее развитие по исследованию спектральных свойств квадратичных самосопряженных пучков в задаче об установившихся колебаниях полуцилиндра с разными упругими структурами. Следующее развитие в этом направление было осуществлено в работе [2] А. А. Шкаликовым, А. В. Шкредом, в задаче об установившихся колебаниях полуцилиндра с трансверсально-изотропной упругой структурой. На основе работ [1] и [2] мы смогли изучить спектарль-ные свойства ограниченных самосопряженных квадратичных пучков в задаче об установившихся колебаниях упругого полуцилиндра с любой упругой структурой.

Настоящая работа состоит из трех глав и посвящена исследованию спектральных свойств задач £а(а) и ЛУ0(се) в случае кубической, ромбической и триклинной структур и таким образом, определить общую картину для всех упругих структур.

В главе I §1. п. 1 приводим математическую постановку задачи в случае кубической структуры. В §2. п. 1 и п. 2 приводится сведение спектральных задач £а(сс) и 1?0(а), которые являются неограниченными операторами при каждом а е С, к ограниченным самосопряженным операторам Ьш(а) и L°a(a) (подробно см. [1]). Подобное сведение позволяет применить ряд результатов из теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой и из теории самосопряженных квадратичных пучков (см. [б, 22]).

В главе I §3. п.1 изучен важный статический случай для задач £а(а) и Д„(сс) а также определены достаточные условия на коэффициенты кубической структуры для эллиптичности задач £0)(а) и .

В п. 2 показываем также, что при каждом фиксированном а е R спектры ст(£а) и 0"(-С) состоят из собственных значений ак(й)) конечной кратности и расположены, за исключением конечного числа точек, в комплексной плоскости, причем точкой накопления спектра является бесконечность. Имеет место следующая основная теорема: триклинная, моноклинная, ромбическая . тетрагональная, ромбоэдрическая, гексагональная кубическая .

3 2 1

Теорема 3.1. Спектры cr(La) и <x(Z°) пучков Lm (а) и (а), в случае кубической структуры, со2 > 0 состоят из собственных значений ап конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольно малых углах, примыкающих к мнимой оси. Кроме того, при а> = 0 пучок L°0(a) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок L0(a) имеет лишь одну вещественную точку спектра а = О, которой отвечает четыре линейно-независимых собственных вектора: P~7v0, Р~*г/0, w0, P~*g0, где векторы v0, и0, w0, g0 заданны в (3.5) и являются собственными векторами задачи £^(сс), отвечающими точке а = 0.

При со1 > 0 пучки Ьа(а) и L°a (а) в области QeN допускают оценки резольвент: Рlap1; || РсU»"1 II<c(s,N) lap1

При возрастании параметра oeR число вещественных точек спектра, растет. В связи с указанной локализацией спектра пучков La{pc) и возникает вопрос: Какую часть корневых векторов, отвечающих вещественным собственным значениям сск(со) задачи £т(сс) (или ), нужно добавить ко всем корневым векторам из верхней полуплоскости, чтобы получить полную и минимальную систему в12(Т)) ?. Ответ на этот вопрос получен в §4 п. 2. Решение этой задачи представляет значительный интерес, поскольку имеет непосредственное отношение к известному в теории упругости принципу Сен-Венана.

В главе I §4 п.1 и п. 2 даны, нужные определения и вспомогательные результаты из теории квадратичного пучка L(a), действующего в гильбертовом пространстве (подробно см. [1]). Все эти определения и результаты будут использоваться в нашей работе в случае кубической, ромбической и триклинной структур.

В главе I §5 рассмотрены некоторые предложения к задачам £а(се) и . В п.1, показано какой вид, имеют Жордановы цепочки, отвечающие собственному значению а = 0 для задачи £^{сс), в случае кубической структуры, они вычисляются в явном виде и имеет место следующая теорема:

Теорема 5.1. В точке а = 0 задача в случае кубической структуры, имеет две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 2 и две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 4. Проекции этих собственных и присоединенных векторов на Ь2(Т)) имеют следующий вид (индекс 0 соответствует собственному вектору, а последующие индексы - присоединенным векторам): А) Общий случай, когда с2>0 и выполняются условия (3.1). v0 =(1,0,0), v,=U(0,х2,х3); и0= (0,1,0), щ=г(-х2+к2,0,0), и2=(0,и22,и23), и3=(и31,0,0); w0 =(0,0,1), wl =i(-x3+ k3,0,0), w2 = (0,w22,w23), w3 =(w31,0,0); g0 = (0,x3,-x2), g, =(gu,0,0), где константы k2 и k3 зависят от области Т>, и определяются уравнениями

J(x2 - k2)dx = 0 и J(x3 - k3)dx = 0, ■d т> координатные функции и22, и23, w22, w23 определяются равенствами и2 2 = A[jr (х2 — х3) — к2х2], и2 з = Л( х2х3 — к2х3); w22 = Л(х2х3 - к3х2), w23 = A,[j(x3 -х2) - к3х3]; с с — с2 где Я - константа для кубической структуры /I = -Ly—j-, функции изх, w3X, gxx являются с2 -сх решениями следующих краевых задач: с2 (D2 + D] )и3, = -/(с, + 2 Л(с2 + с3))(х2 — к2) в Т>, (n2D2 +«3A)M3iU = -i(n2u22+n3u23), c3(D2 + А2>з, = -/(с, + 2Д(с2 + с3))(х3 - &3) в Т), (n2D2 +«3D3)W31|sd = -/(«2iv22 + «3w23),

Z)22 +£)3)gn = 0 6 V, (n2D2 +n3D3)gn\dV = -z(«2x3 -n3x2). Б) Частный случай, когда c2=0 и выполняются условия (3.1), v0 = (1,0,0), v, = (0,x3,-x2); щ= (0,1,0), ux=i(-x2+k2,0,0), и2=(0,х3-х2), и3=(и31,0,0); w0= (0,0,1), wx = i(-x3+k3,0,0), w2=(0,x3,-x2), w3 =(w31,0,0); g0 = (0,x3,-x2), gx = (g„,0,0), где константы k2 и k3 зависят от области D, функции изх, w3l и gn являются решениями краевых задач из А) с Л = 0.

В п. 2 изучается поведение вещественных собственных значений ак(сог) при возрастании параметра со1 > 0. Правило такого поведения сформулировано в теореме 5.3 (подробно см. [1]).

Задача о движении вещественных собственных значений тесно связана с задачей о полна-те части корневых векторов. В этой связи представляет интерес теорема 5.2, которая утверждает, что при малом возмущении со2 -»й>2 + is, £>0 на вещественной оси не остается собственных значений, причем в верхней полуплоскости от каждого вещественного собственного значения смещается столько корневых векторов, сколько было необходимо добавить к корневым векторам из верхней полуплоскости, чтобы получить полную и минимальную систему в Ь2(Т>).

В п. 3 рассмотрены уравнения колебания в полуполосе П и соответствующие спектральные задачи £0(сс) и £а(а) в случае кубической структуры и получены необходимые результаты, в частности имеет место следующая теорема:

Теорема 5.4. В точке а = 0 у пучка £q(cc), в случае кубической структуры, имеются только две цепочки собственных и присоединенных векторов: v0=(l,0), у,=-А(0,х2); ci ио = (ОД), ux=-i(x2-±, 0), и2=-^-(0,х22-х2), щ = -/С'2 ~ {\х\ -jx2,0). где в этом случае сх > 0, с2> 0, с3> 0 и с\ >с2 + 2с2с3.

В главе II мы даём математическую постановку спектральных задач £ю{а) и J^ipc) в случае ромбической структуры, и приводим сведение этих спектральных задач к ограниченным самосопряженным пучкам L^(а) и . Все результаты, которые были получены в главе I в случае кубической структуры, переносим на случай ромбической структуры, в частности имеют место следующие теоремы:

Теорема 8.1. Спектры <т(А») и <x(Z,°) пучков La(a) и Z° (а), в случае ромбической структуры, со2 > 0 состоят из собственных значений ап конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольно малых углах, примыкающих к мнимой оси. Кроме того, при а> = 0 пучок L°0 (а) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок Ь0(а) имеет лишь одну вещественную точку спектра а = О, которой отвечает четыре линейно-независимых собственных вектора: P~*v0, Р~*и0, w0, P~*g0, где векторы v0, и0, w0, g0, заданны в (8.5) и являются собственными векторами задачи ^(а), отвечающими точке а = О.

При о2 > О пучки La{a) и L°0](a) в области Q.eN допускают оценки резольвент: Р*£?(а) Ц<с(£,Ю | а Г1 ; II РсteW1 II*c(e,N) | ar Г .

Теорема 9.1. В точке а = О задача в случае ромбической структуры, имеет две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 2 и две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 4. Проекции этих собственных и присоединенных векторов на L2(D) имеют следующий вид (индекс О соответствует собственному вектору, а последующие индексы - присоединенным векторам): А) Общий случай, когда с, > О, i = l,.,9, и выполняются условия (8.1) v0 =(1,0,0), v, =/(0Д*2Л*э); и0= (0,1,0), щ =i(-x2+k2,0,0), и2=(0,и22,и23), щ = (м31,0,0); w0 = (0,0,1), w, = /(-х3 + &3,0,0), w2=(0,w22,w23), w3 = (w31,0,0); g0 = (0,x3,-x2), g, = (g„,0,0), где константы k2 и k3 зависят от области Т>, и определяются равенствами:

J(x2 - k2)cbc = 0 и J(x3 -к3) = 0, v D координатные функции и22, и23, w22, w23 определяются равенствами: w22 = Мх2хз - k3xi) > ^23 = KihA -кгхг) " Л гх\ \ q q — с с с с -с С - константы для ромбической структуры Л, = -^у-, = --, функции с2с3 — с6 с2с3 — с6 из\> w3i> 8 и являются решениями следующих краевых задач: cnD\ + csD3)u3l = -/(с, + Л1(с4 +с7) + Мс5 +СЖХ2 ~кг) 6 (S1n2D2+c&n3D3)u3\dV=-i{c1n2u22-¥ctniu23), c7D2 + csD3)w3l = -/(с, + Л,(с4 + с7) + ^(с5 + с8))(х3 -к3) в D, (c1n2D2+csn3D3)w3x\m=-i(c1n2w22 +c%n3w23),

ClD22+csD23)gu= 0 е V, (с7и2£>2 + csn3D3)gu\gT) = -i(c7n2x3 - csn3x2). Б) Частный случай, когда с4=с5=с6= 0 и выполняются условия (8.1), v0 =(1,0,0), v, =(0,х3,-х2); м0= (0,1,0), щ = /(-х2+#2,0,0), w2 =(0,х3 ,-х2), и3=(и31,0,0); w0 = (0,0,1), wl = i(-x3 + #з,0,0), w2 = (0,x3,-x2), w3 = (w3,,0,0); go = (0,x3,-x2), g, = (g„,0,0), где константы к2 и къ зависят от области Т), функции u3l, w31 и gu являются решениями краевых задач из А) с \ = = 0.

Теорема 9.2. В точке а = 0 у пучка -Cq(cc), в случае ромбической структуры, имеются только две цепочки собственных и присоединенных векторов: vo = (l,0), Vj = -i—(0,x2), с2 ио=(0,1), М,=-/(х2-1,0), и2=-^-(0,х22-х2), щ = -\x\,Q) ,

2 с2 2 с2с7 где в этом случае с, > 0, с2 > 0, с4 > 0, с7 > 0 и схс2 >с%+ 2с4с7.

В главе III приводим математическую постановку спектральных задач £т (а) и Д,(сс) в случае триклинной структуры, изучен статический случай, т. е. когда со = 0, было доказано, что условия эллиптичности спектральных задач £w(a) и £т(а) для триклинной структуры почти совпадают с условиями эллиптичности спектральных задач £а(а) и £а(а) в случае ромбической структуры. Также уставлено, что сведение этих задач происходит тем же образом, как и в случае ромбической структуры, а это означает, что все результаты получены в случае ромбической структуры полностью переносятся на случай триклинной структуры. Например имеет место теорема:

Теорема 12.1. Спектры ct{L(0 ) и сг(£°а) пучков Lm(a) и L°a(a), в случае триклинной структуры, со2 > 0 состоят из собственных значений а„ конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольно малых углах, примыкающих к мнимой оси. Кроме того, при со = 0 пучок L°0 (а) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок L0(a) имеет лишь одну вещественную точку спектра а = 0, которой отвечает четыре линейно-независимых собственных вектора: P~*v0, Р~*и0, РР~*gQ, где векторы v0, и0, w0, g0, заданные (8.5) и являются собственными векторами задачи £^{а), отвечающими точке а = 0. При (о1 > 0 пучки La(cc) и L^ (а) в области CleN допускают оценки резольвент:

IIР*£(«) I а Г1; II Ро^»-1 N) \ а I"1.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Костюченко Анатолию Гордеевичу за предоставление интересной темы и полезные советы, а также всему коллективу кафедры теории функции и функционального анализа за ценные замечания при обсуждении полученных результатов, способствовавшие успешной работе над диссертацией. Я также благодарен комитету по науке и технике Мексики (CONACyT) за помощь при осуществлении аспирантуры и совершении диссертации. и

ЗАКЛЮЧЕНИЯ

Перечислим основные результаты, составляющие содержание настоящей диссертации и выносимые на защиту

1. Построена математическая модель задачи об установившихся колебаниях полуцилиндра с упругой средой в случаях кубической, ромбической и триклинной структур. И так как триклинная структура является самым общим случаем упругих структур, то эта модель применима к любой упругой структуре.

2. Приведено сведение спектральных задач L0(cc) и 4(°0 в случае кубической, ромбической и триклинной структур к самосопряженным квадратичным пучкам La(a) и (°0 соответственно. Это сведение можно применить к спектральным задачам 4(a) и 4(а) в случае любой упругой структуры.

3. Доказана теорема для всех упругих структур о том, какую часть корневых векторов, отвечающих вещественным собственным значениям ак задачи 4(а) и (или4(°0)> нужно добавить ко всем корневым векторам, отвечающим собственным значениям из верхней полуплоскости, чтобы получит полную и минимальную систему в пространстве Ь2(Т>).

4. В статическом случае для спектральных задач 4(°0 и4(а)> в случае кубической, ромбической и триклинной структур, были найдены достаточные условия на упругие коэффициенты для эллиптичности этих задач. После исследования условий на коэффициенты в случае триклинной структуры мы нашли, что эти условия примерно одинаковы с условиями на коэффициенты в случае ромбической структуры.

5. Доказана основная теорема для любой упругой структуры о том, что при каждом фиксированном meR спектры cr(La) и <7(1°) состоят из собственных значений оск(со) конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольных малых углах, примыкающих к мнимой оси, причем точкой накопления спектра является бесконечность. Кроме того, при со = 0, пучок L°0 (а) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок L0 (а) имеет лишь одну вещественную точку спектра а = 0, которой отве

1 i i чает четыре линеино-независимых собственных вектора: Р 2v0, Р 2и0, Р 2w0, Р 2g0, где векторы v0, и0, w0, g0 являются собственными векторами задачи 4(°0 > отвечающими точке а = 0.

6. В статическом случае, мы нашли явный вид всех корневых векторов (Жордановы цепочки) для спектральной задачи 4 (°0 в точке a = 0, в случае кубической, ромбической и триклинной структур, и какую часть из них нужно добавить ко всем корневых векторам, отвечающим собственным значениям из верхней полуплоскости, чтобы получилась полная и минимальная система в пространстве W\ (Т)) (ив Lj(2)) ).

7. Мы определили, что при малом возмущении со2 -> со2 + is, е > 0 на вещественной оси не остается собственное значение, причем в верхней полуплоскости от каждого веществеиного собственного значения смещается столько корневых векторов, сколько было согласно добавить к корневым векторам, отвечающим собственным значениям из верхней полуплоскости, чтобы получит полную и минимальную систему в пространстве W2(T>) (и в L2{ £>)).

8. Мы рассмотрели уравнения колебания в полуполосе П и составили спектральные задачи La(a) и J^ipc) в случае кубической и ромбической структур и нашли все упрощенные результаты.

1. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. -« Труды семинара им. И. Петровского», 1981г., вып. 6, 97-146.

2. Шкаликов А. А. Шкред А. В. Задача об установившихся колебаниях трансверсально-изо-тропного полуцилиндра // Математический сборник. 1991. Т.182. № 8. С. 1222 1246.

3. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

4. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. О полноте корневых векторов некоторых самосопряженных пучков // Функциональный анализ и его приложения. 1977. Т. 11, № 4. С, 85 — 87.

5. ФикераГ. Теоремы существования в теории упругости. М., Мир, 1974.

6. Крейн М. Г., Лангер Г. К. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуумов // Труды международного симпозиума по применению теории функции в механике сплошной среды. М., Наука 1965. Т. 2. С. 238 322.

7. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи//Функциональные анализ и его приложения. 1983. Т. 17, №2. с. 38-61.

8. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка. // Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т. 9, № 4. 28 40.

9. Купрадце В. Д., Гегелина Т. Г., Башейлейшвши М. О., Бургуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости. Тбилиси, 1968.

10. Агронович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН. 1964. Т. 19, № 3, С. 53 161.

11. Саркисян В. С. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного те-тело. Ереван: Издательство Ереванского университета, 1976.

12. Флоге В., Келкар В. С. Задача об упругом круговом цилиндре. «Механика», 1970 No. 2,73 95.

13. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.: Гостехиздат, 1953.

14. Радзиевский Г. В. Квадратичный пучок операторов. Киев, 1976.

15. Гасимое М. Г. О кратной полноте части собственных и присоединенных векторов полиномиальны операторов оперативных пучков. Изд. АН АрмССР. Сер. Матем., 1971, 6 No. 2-3,131-147.

16. Параска В. И. Об асимптотике собственных и сингулярных частей линейных операторов, повышающих гладкости. Матем. сб., 1965, 68, 621 - 631.

17. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир 1971.

18. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов. УМН, 1971,26, No. 4,15-41.

19. Маркус А. С. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве. Матем. сб., 1966, 70 No. 4 526 570.

20. Крейн С. Г., Лаптев Г. И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде. -Функциональный анализ и его приложения, 1969, 2, № 1, с. 40 50.

21. Крейн С. Г., ПетунинЮ.И. Шкала банаховых пространств. УМН, 1966, 21, №2, с. 89-168.

22. Крейн М. Г. Введение в геометрию индефинитных J— пространств и теорию операторов в этих пространствах. В кн.: Вторая летная математическая школа, 1. Киев, 1965, с. 15-92.

23. Шкаликов А. А. Некоторые вопросы теории полиномиальных пучков. УМН, 1983, т. 38, №3.

24. ГасымовМ.Г. К теории полиномиальных операторных пучков.-ДАН СССР, 1971, т. 200, № 1, с. 13-16.

25. Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними // Тр. семинара им. И. г. Петровского. Т. 14. М.: Изд-во МГУ 1989, с. 140-224.

26. МезонУ. Физическая акустика, т. la. М.: Мир, 1967.

27. БабешкоВ.А. К теории динамических контактных задач. ДАН, 1971, 201, №3, с. 310-335.

28. НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

29. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейнных несамосопряженных операторов. М., Наука, 1965.

30. Рисс Ф., Секефалъви-Надъ Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

31. МаркушевичА. И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1968.

32. ЛюстерникЛ. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука 1965.

33. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука 1967.

34. Зоммерфелъд А. Механика деформируемых сред. М.: Иностранная литература 1954.

35. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

36. Тихонов А. К, Самарский А. А. Уравнения математической физике. М.: Наука, 1977.

37. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

38. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве М.: Наука, 1966.

39. ХиллеЭ., Фииллипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Наука, 1976.

40. Сидоров Ю. В., Федорук М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функции комплексного переменного М.: Наука, 1989.

41. ТитчмаршЕ. Теория функции. М.: Наука, 1980.

42. Мальцев А. И. Основы Линейной алгебры. М.: Наука, 1975.

43. Костюченко А. Г., Аргета Гарсия М. Задача об установившихся колебаниях полуцилиндра с кубической упругой структурой и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. Доклады Академии Наук, том 400, №3, 2005.

44. Аргета Гарсия М. Задача об установившихся колебаниях полуцилиндра с ромбической упругой структурой и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. Успехи Математических Наук, том 60, № 1, 2005.