Спектральный анализ пучков операторов, возникающих в задачах гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

и

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ъ

1 1

псЧ

ГРИНИВ Ростислав Олегович

УДК 517.43

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПУЧКОВ ОПЕРАТОРОВ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИКИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1996

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Шкаликов

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор С. Ю. Доброхотов

— кандидат физико-математических наук В. В. Власов

Ведущая организация — Институт математики HAH Украины

Защита диссертации состоится "_ £ " 1996 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д .053.05.04 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан "_ Ь " КЮЯЛПЗ. 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пучки линейных операторов естественно возникают при исследовании многих моделей математической физики, теории упругости, гидродинамики и т. п. При этом спектральные свойства пучка операторов (например, локализация спектра-, асимптотика собственных значений, кратная базисность системы собственных и присоединённых векторов и пр.) существенно определяют динамику соответствующей физической системы.

Именно поэтому конкретные прикладные задачи очень часто служат поводом для изучения новых классов пучков операторов (см. [1] , [2] , [3] и др.). Несмотря на глубокие и достаточно общие результаты спектральной теории полиномиальных операторных пучков, полученные, в частности, в монографиях и работах И. Ц. Гохбергаи М. Г. Крейна [4], А. С. Маркуса [5], JI. Родмана [6], А. Г. Костюченко и М. Б. Оразова [3], Г. В. Радзиевского [7], А. А. Шкаликова [8] и др., потребности механики порождают новые проблемы, для которых имеющиеся схемы исследования не всегда применимы. Именно к такого рода проблемам и относятся задачи, изучаемые в диссертации.

В ней рассматриваются две конкретные задачи о малых поперечных колебаниях вязкоупругого трубопровода конечной или бесконечной длины, находящегося в вязкой внешней среде и несущего устано-

[1] Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов //УМН. 1971. Т. 26, вып. 4. С. 15-41.

[2] Крейн М.Г., Лангер Г. К. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуумов//Труды международного симпозиума по применению теории функций в механике сплошной среды. Т.2. —М.гНаука, 1965. С.283-322.

[3] Костюченко А. Г., Оразов М. Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с лей самосопряженные квадратичные пуч-

ки// Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1981. Вып. 6. С. 97-146.

[5] Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинёв: Штиинца, 1986. — 260с.

[6] Rodman L. An introduction to operator polynomials. — ОТ: Advances and Applications. Vol. 38. — Basel etc.: Birkhauser, 1989.

[7] Радзиевский Г. В. Задача о полноте корневых векторов в спектральной теории оператор-функций 11 УМН. 1982. Т. 37, вып. 2. С. 81-145.

[8] Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними// Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1989. Вып. 14. С.140-224.

бившийся поток несжимаемой жидкости. Соответствующее уравнение для колебаний трубопровода конечной длины имеет вид

д5и дАи д ( . .ди\ аг Эи . . д2и п

и в самой общей постановке было строго выведено М. П..Паидуисси-сом и Н. Т. Иссидом в 1974 г. [9]. Эта задача рассматривалась затем во многих работах главным образом с точки зрения устойчивости соответствующей гидродинамической системы, причём как численными (см. [9], [10] и ссылки, приведённые там), так и абстрактными методами функционального анализа ([10], [11], [12] и др.). Спектральная дифференциальная задача для уравнения (1) исследовалась В. Н. Пи-воварчиком [13]; там также основное внимание уделялось вопросу об устойчивости. В недавней статье А. А. Шкаяикова [14] получена точная формула для индекса неустойчивости абстрактных пучков, отвечающих задаче (1) (и даже более общего вида).

В 1994 г. П. Ланкастер и А. А. Шкаликов [15] детально исследовали отвечающий рассматриваемой задаче (1) абстрактный пучок операторов

L(A) = A2I + X(aA + fî) + A-fG (2)

для случая д(х) = 0 (то есть случая G = 0). Там, в частности, была установлена область локализации и структура спектра пучка ¿(А), по-

[9] Païdoussis M. P., Issid N. T. Dynamic stability of pipes conveying fluid// J. Sound and Vibration. 1974. Y.33, №.3. P.267-294

[10] Зефиров В.И., Колесов В. В., Милославский А. И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода//Изв. АН СССР. Сер. Мех. Тв. Тела. 1985. №1. С.179-188.

[11] Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости// Изв. АН СССР. Сер. Мех. Тв. Тела. 1984. №5. С. 170-174.

[12] Милославский А. И. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений/ / Сиб. матем. журн. 1985. Т. 26, №5. С. 118-132.

[13] Пивоварчик В. Н. Краевая задача, связанная с колебаниями стержня с внутренним и внешним трением//Вест. МГУ. Сер. 1. Матем, мех. 1987. № 3. С.68-71.

[14] Shkalikov A. A. Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics. The instability index formula// In Recent Developments in Operator Theory and its Applications. — ОТ: Advances and Applications. Vol. 87. — Basel etc.: Birkhäuser, 1996.

[15] Lancaster P., Shkalikov A.A. Damped vibrations of beams and related spectral problems//Canad. Àppl. Math. Quart. 1994. V. 2, № 1. P. 45-90.

лучена оценка числа невещественных собственных значений и изучена соответствующая задача Коши. В первой главе настоящей диссертации результаты статьи [15] во многом уточняются и переносятся на случай произвольного оператора в.

Спектральная дифференциальная задача для уравнения (1) на положительной полуоси (описывающего колебания полу бесконечного стержня) рассматривалась В. Н. Пивоварчиком в статье [16], где асимптотическими методами установлены некоторые её спектральные свойства. Во второй главе диссертации изучается пучок операторов, являющийся абстрактной моделью этой задачи. Такой подход при более слабых условиях на параметры задачи позволяет во многом улучшить и обобщить результаты работы [16]. Отметим, что исследуемый в этой главе пучок операторов имеет нетривиальный (то есть не сводящийся к дискретному множеству точек накопления собственных значений) существенный спектр, и что ранее пучки с таким свойством, по-видимому, не изучались.

Целью работы является изучение спектральных свойств одного класса операторных пучков, являющихся абстрактными моделями для многих задач механики, и применение полученных результатов для исследования динамики решений двух конкретных задач гидродинамики.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

- для рассматриваемого класса пучков операторов детально исследована структура спектра, найдены область локализации невещественных собственных значений, их количество и индекс неустойчивости, установлена асимптотика собственных значений;

- доказана базисность Рисса системы собственных и присоединённых векторов рассматриваемого класса квадратичных пучков операторов и сущестование и единственность обобщённых и классических решений соответствующих задач Конш;

- с помощью полученных абстрактных результатов качественно и количественно описано поведение решений двух конкретных задач гидродинамики.

Методы исследования. В работе используются геометрические методы теории пространств с индефинитной метрикой, аналитические методы теории возмущений операторов, теории интерполяции и полугрупп операторов.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет

[16] Пивоварчик В.Н. О колебаниям полубесконечного стержня с внутренним и внешним трением// ПММ. 1988. Т.52, № 5. С.829-836.

теоретический характер. Её результаты могут быть использованы специалистами, работающими в различных областях спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений и их приложений, а также теории упругости и гидродинамики.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах в МГУ, на международных конференциях им. И. Г. Петровского (Москва, 1994-96 г.), по теории операторов и её приложениям 1\УОТА-95 (Регенсбург, ФРГ,

1995 г.) и на 7-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, Крым,

1996 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работал;, список которых приведён в конце автореферата.

Стуктура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы из 44 наименований. Общий объём диссертации — 100 страниц. Нумерация всех утверждений и формул отражает их расположение относительно параграфов, теоремы нумеруются отдельно.

Содержание диссертации

Во введении излагается постановка задачи, обосновывается её актуальность, даётся краткий обзор литературы и формулируются полученные результаты.

В первой главе рассматривается пучок операторов (2) при следующих условиях на операторные коэффициенты А, В и (7:

1) А — А* полуограничен снизу и имеет компактную резольвенту;

2) В — В* ^ О является Л-компактным в смысле Като;

3) С — симметрический оператор, Л-компактный в смысле Като.

В §1 приводится постановка исходной механической задачи и её

сведение к пучку операторов ДА) вида (2), а также некоторые определения и неоднократно используемые в дальнейшем утверждения из спектральной теории операторов и операторных пучков, теории интерполяции и др.

Второй параграф является основным и посвящён исследованию структуры спектра пучка Д А) и области локализации его собственных значений. Поскольку с ограниченными операторами работать удобнее, в первом пункте вводится семейство пучков с ограниченными коэффициентами Ьв{А) А9~1Ь(Х)А~№ (не умаляя общности можно считать оператор А ограниченно обратимым, см. замечание 1.1). Если Же — шкала гильбертовых пространств, построенная по оператору А, то пучок Ьд(Х) совпадает с Ь(Х), рассматриваемым как оператор-функция в

пространстве Но~\ с областью определения Ю(Ьо) = Ив ■ Особую роль играет пучок =: Ь(\), так как его коэффициенты являются

ограниченными самосопряжёнными операторами в Н. Именно пучок ¿>(А) и изучается в основном в дальнейшем, законность чего обосновывается следующей теоремой — основным результатом этого пункта.

Теорема 1 (2.1). Спектры пучков ДА) и ¿в(А) при в Е [0,1] совпадают. Более того, (Те^(Ь) = ае^(1е) = {-1/а}, <тЛ(Ь) — сгв.(Ьв), аг(Ь) = аг{Ьд) = 0, и канонические цепочки СПВ пучков ДА) и Ьд(А). отвечающие нормальным собственным значениям, имеют одинаковую структуру.

Во втором и третьем пунктах рассматривается случай С = 0 и ограниченного оператора В, ранее детально исследованный в работе [15]. Тем не менее полученные здесь результаты существенно дополняют и уточняют результаты указанной статьи. Так, лемма 2.7 утверждает, что все собственные значения вне кольца В.(Ь±, Ь~,а) (см. (2.2)) имеют дефинитный тип. Это позволяет установить число собственных значений пучка ДА) в интервале1 (я-1 ,0). определяющих асимптотику по времени решений соответствующей динамической задачи — 0

(§3).

Теорема 2 (2.2). Для числа, г(а1,0) собственных значений пучка ДА) в интервале («1,0) выполняются неравенства2

Далее, следуя работе [1] (см. список в конце автореферата), вводится число нейтральных собственных значений г/, которое учитывает как невещественные, так и вещественные собственные значения нейтрального типа (см. (2.6)). Аналитическими методами удаётся установить следующую оценку для числа г/, уточняющую аналогичный результат работы [15].

Теорема 3 (2.3). Для числа нейтральных собственных значений пучка ДА) справедлива оценка

v/2^NA{ai + {i)-NЛ{al).

1 Числа ^ а2 > аз ^ а4 суть абсциссы точек пересечения кольца

а) с вещественной осью.

2Л^д(Аг) есть функция распределения спектра оператора А.

Заметим, что введённая величина г; имеет важное значение — например, г}/2 связана с индексом неустойчивости пучка Ь{—1 А), то есть числом линейно независимых и неограниченных при £ —> оо решений уравнения

Ц-1±)у = 0.

Кроме того, при доказательстве этой теоремы обобщаются на случай неограниченных операторов некоторые утверждения о возмущении спектра аналитических семейств операторов.

В четвёртом и пятом пунктах устанавливаются результаты, аналогичные доказанным в пп. 2 и 3, для случая, когда операторы В и б неограничены и В ^ 0. Лемма 2.16 описывает область локализации невещественного спектра пучка Ь{А): он принадлежит пересечению полуплоскости {А £ С | Ра> А < г0 < 0} и некоторого кольца (быть может, вырождающегося в круг или точку). Далее, число невещественных соб- . ственных значений (точнее, число г\ нейтральных собственных значений) пучка Ь{А) также можно оценить сверху. Отметим, что требуемая оценка доказывается геометрическими методами, путём сведения пучка Ь(А) к линейному пучку !.(£) := £ТГ—С в пространстве Понтряги-на и выделения максимального С-неположительного Т-инвариантного подпространства.

Теорема 4. (2.4). Пусть число г? нейтральных собственных значений пучка Ь(А) определено равенством (2.6). Тогда т] конечно я

П./2 ^

где 7Го — наименьшая возможная суммарная кратность положительного спектра оператора Ь(к) при к < —1/а.

Число собственных значений к\ (Ь) в правой полуплоскости (все они вещественные), равное индексу неустойчивости х(Ь) пучка Ь{А), даёт следующая лемма.

Лемма 1 (2.19). Индекс неустойчивости х(Ь) пучка £(А) конечен и равен I'{А + й) — суммарной кратности отрицательного спектра оператора А + С.

Наконец, в шестом пункте §2 исследуется асимптотика собственных значений пучка Ь(Х) в — оо и в точке —1/а.

Теорема 5 (2.5). Пусть функция распределения собственных значений Nл(k) оператора А обладает свойством регулярности, то есть

е-*Ок-*оо Ма{к)

Тогда количество т(г,ко) собственных значений пучка Ь(Х) в интервале (г, ко), ко < — 1/а, при г —> — оо асимптотически эквивалентно ИА(-г/о).

Следствие 2 (2.22). Пусть 0 < рх < ... ^ рга < ... суть собственные значения оператора А, а. Хп — занумерованные в невозрастающем порядке собственные значения пучка Ь{Л), меньшие произвольного фиксированного числа ко < — 1/а. Тогда

Л„ ~ -арп при п со (то есть, Пш Хп/рп = -а).

Далее, как утверждают леммы 2.23,2.25 и следствие 2.24, точка — 1/а является точкой накопления собственных значений пучка Ь{\) слева (справа) в том и только том случае, когда оператор Т Ь( —1/а) имеет бесконечное число положительных (отрицательных) собственных значений. При этом число г (к-, г_) собственных значений в интервате (&_,г_), < г_ < —1/а, равно3 ж(г_) - т(к-); аналогично для интервала (г+,£+), —1/а < < имеем т(г+,к+) = — тг(Ац-). Следующая теорема устанавливает асимптотику величин тг(г_) и г/(г+) при г_ ——1/а — 0 и г+ —» —1/а + 0 соответственно, то есть асимптотику количества собственных значений пучка Ь(Х) вблизи точки — 1/а. Отметим, что при этом изучение сложных величин сводится к исследованию более простых, ибо в конкретных задачах асимптотику функций п±(з,Т) удаётся найти явно (см. §4).

Теорема 6 (2.6). Пусть 7г( —1 /а) = оо (соответственно, и{-\/а) = = са) и функция распределения п+(з, Т) (соответственно, П-(з. Т)) компактного оператора Т := ¿( — 1/а) обладает свойством регулярности, то есть

Ьт Ьш--—-—-—- = 1

£-+0г->0 1 )

(соответственно,

п_(а(1 + е),Т)

Ьт 11т-*————- = 1 .

е-*0в-*0 гг_(5,Т)

Тогда7г(г—1/а) ~ п+(—га,Т) прнг 0— (соответственно, и(т-\/а) п- (га, Т) при г -> 0+

3Через 7г(к) (у(к)) обозначено число положительных (отрицательных) собственных значений оператора Ь(к).

В третьем параграфе исследуется задача Коши

L(&)u(t) = ü(t) + (aA + B)ü(t) + (A + G)u(t)=0, (3) u(0) =&,,_:..«(()) = &. (4)

Сначала определяются понятия классических и элементарных решений уравнения (3). Задача (3)-(4) сводится затем к уравнению первого порядка

v{t) - f v(t) (5)

в "энергетическом" пространстве4 Ж = H\ji х Но с начальным условием и(0) = ф (фо, —кофо + ф\), и первая компонента функции v(t) называется обобщённым решением исходной задачи Коши.

Как обычно, существование и единственность обобщённых решений устанавливается легче — для этого достаточно исследовать некоторые свойства оператора Т в пространстве И. Благодаря тому, что оператор Т является G-самосопряжённым, его система корневых векторов образует в Ш базис Рисса5 (теорема 3.1). Далее, оператор Т является генератором Co-полугруппы операторов Ut в Н, действующей по формуле (3.11) (теорема 3.2), которая к тому же оказывается аналитической (лемма 3.4). Суммируя все эти результаты, получаем следующую теорему.

Теорема 7 (3.3). Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда для любых начальных данных фо £ Hi/2, ф\ 6 Но уравнение (3) имеет единственное обобщенное решение u{t), удовлетворяющее начальным условиям (4) в том смысле, что

{u(t),ü{t)) (ф0,ф!)

при t —> 0 яо норме пространства Н.

Это решение можно представить в виде

u{t) = U + ^уГ + + yvf) = е^ф^). (6)

где у1-. к = 0 ,Pj есть цепочка собственного и присоединённых векторов, отвечающая собственному значению Аj = + k0 пучка L(А). Ряд (6) сходится K.u(t) по норме пространства Н\у2 безусловно и равномерно по

4Шкала гильбертовых пространств Не построена по оператору А.

5При условии, что точка А = — 1/а не является сингулярной, которое предполагается выполнении всюду в дальнейшем.

Ь на любом конечном промежутке, а после почленного дифференцирования сходится к й(£) безусловно я равномерно по I на любом конечном промежутке по норме пространства Но.

Если каноническая система СПВ д,к оператора ТГ выбрана регулярной, а — знаковая характеристика ]-той цепочки (см. предложение 2.12), го коэффициенты ск- определяются по формуле

г'деф — (ф0 , -кофо +Фг)-

Что же касается классических решений, то они получаются при выборе более гладких начальных условий.

Теорема 8 (3.4). Пусть ф0 £ Ну я <р\ € И\/2- Тогда построенное в теореме 7 решение задачи Копт-(3)-(4) является классическим.

В четвёртом параграфе полученные в §§2-3 результаты применяются для исследования конкретной дифференциальной задачи (1) (для простоты положено р{х) = 1, общий случай сводится к этому заменой переменных). Многие величины, связанные с операторами А, В и С можно вычислить явно, что позволяет получить точные формулы для соответствующей спектральной задачи

Лемма 3 (4.2). Пусть ко < —1 /а; тогда число т(г, fco) собственных значений задачи (7)-(8) в интервале (г, fco) при г -> — оо асимптотически эквивалентно величине Tq(г) := i (—

Следствие 4 (4.3). Пусть А„ — занумерованные в невозрастающем порядке собственные значения задачи (7)—(8), меньшие fc0- Тогда (при произвольном выборе числа ко) справедливо соотношение

Лемма 5 (4.4). Точка Л = -1/а является точкой накопления собственных значений задачи (7)-(8) справа- (слева) в том и только том случае, когда д+(х) ^ 0 (соответственно, когда д-(х) ^ 0).

р'Чх) [у,у(*) + Ы*)У'(*))'] -Н

+ \p~\x) Kv(x) + ß(x)y(x)} + \2у(х) = 0, у{ 0) = у"( 0) = у(1) = у"( 1) = 0.

(7)

(8)

Аа = —а(7гп)4 +о(п4) при п оо.

Теорема 9 (4.1). Пусть все нули функции д(х) простые. Тогда для чисел г(к~, — г_ — 1/а) и т(г+ — 1/а, собственных значении задачи (7)-(8) в интервалах (&_, —г_ — 1/а) и (г+ — 1/а, А;+) соответственно при г± 0 справедливы представления

т

—г_ — 1/а) = I —] +о(г2_),

7гаг_

2

г(г+-1/а, *+)=(—) + о(г*)

(числа с± явно определены в лемме 4.7).

Следствие 6 (4.8). Пусть А^ (А ¡Г) суть занумерованные в невозра-стающем (соответственно, в неубывающем) порядно вещественные собственные значения задачи (7) -(8), большие— 1/а (соответственно, принадлежащие интервалу , — 1/а) при каком-то фиксированном к_ < — 1/а). Тогда при к —> ос

Будем теперь искать решение и(:с, уравнения (1) на [0,1], удовлетворяющее следующим краевым и начальным условиям:

и(х,0) = Мх), =ф1{х). (ю)

¿71 ]£=0

Теорема 10 (4.2). ЗадачаКоши (1),(Э),(10) для любых начальных данных

Фо{х) е 1) := {у(з) € УГ|(0,1) | у(0) = у(1) = 0}

и фх 6 ¿2 (0,1) имеет единственное обобщённое решение и(х, £). Если дополнительно

Фо(х) € 1^(0,1) := {у(*) е И?(0,1) | у(0) = у"(0) = у(1) = у"(1) =0}

и ф\ £ И7!у(0,1), то полученное решение будет классическим.

Во второй главе исследуется пучок операторов ¿(А) такого же вида (2), как и в первой главе, но с другими свойствами операторных коэффициентов А, В и С:

1) А = А* > 0, существенный спектр оператора А совпадает с положительной полуосью [0, оо);

2) В = В* ^ 0 вполне непрерывен относительно А + / в смысле квадратичных форм (см. [17], [18]);

3) <3 симметричен, подчинён оператору Л1/2, то есть |(?| ^ д^А1!2 для некоторого положительного числа до, и (А + /)-компактен в смысле квадратичных форм.

Хотя при этом спектральные свойства пучка ДА) коренным образом меняются, многие методы исследования и результаты из первой главы остаются в силе.

В пятом параграфе приводится постановка механической задачи и её сведение к изучаемому пучку операторов Х(А). Затем объясняется понятие относительной компактности в смысле квадратичных форм и доказывается лемма об эквивалентности нескольких её определений.

В §6 исследуется спектр пучка ДА). Ключевым моментом здесь является тот факт, что существенный спектр теперь не сводится лишь к одной точке — 1/а. Пусть / обозначает интервал (—оо, —1 /а], а О — окружность радиуса 1/а с центром в точке —1/а.

Теорема 11 (6.1). Существенным спектром ае53(Ь) пучка. ДА) является множество О и ./.

Далее находится область локализации невещественных собственных значений пучка ¿(А). Согласно лемме 6.2, все они принадлежат пересечению левой полуплоскости и некоторого кольца с центром в точке

— 1/а (быть может, вырождающегося в круг или точку), внутренний и внешний радиусы которого определяются по операторам А, В и С.

В следующем пункте исследуется спектр в правой полуплоскости. Имеет место результат, аналогичный лемме 2.19.

Лемма 7 (6.4). Все собственные значения пучка ¿(А) в правой полуплоскости вещественны; их количество равно и(А + (?) — суммарной кратности отрицательного спектра оператора А + О.

Заметим, что теперь чисто и(А+С) может равняться +оо, и при этом вещественные собственные значения накапливаются к точке 0 справа (следствие 6.6). Если операторы А и О порождены конкретной дифференциальной задачей (1) на полуоси, то конечность или бесконечность величины и(А + (7) зависит от поведения функции д(х) при х —)■ оо (следствие 10).

[17] Бирман М.Ш. О спектре сингулярных граничных задач//Матем. сб. 1961. Т.55(97), №2. С.125-174.

[18] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряжённость. — М.:Мир, 1978.

— 395с.

Т. 4■ Анализ операторов — М.:Мир, 1982. — 428с.

Вопрос о накоплении собственных значений из интервала (—1/а, О к его концам изучается в последнем пункте §6. Удаётся установит! лишь достаточные признаки такого накопления (а не критерии, как i главе I).

Лемма 8 (6.7). Если i/(—lja) = оо (соответственно, у(0) = оо), т< точка А = —Ifа (соответственно, А = 0) является точкой накоплеюи вещественных собственных значений справа (соответственно, слева).

В §7 исследуется задача Коши (3)-(4) (с операторами Л, Б и G, обладающими теперь свойствами 1)-3) §5). Как и в §3, эта система сводится к уравнению первого порядка (5) в "энергетическом" пространств« Н = Hi/2 х Tlo с начальным условием и(0) = ф := (фо, —/со<?о + <Pi)- Хотя теперь оператор Т имеет нетривиальный существенный спектр и поэтому система его собственных и присоединённых векторов неполна в Ш, он, как и раньше, порождает аналитическую Co-полугруппу операторов V± в И (теоремаТЛ). Поэтому имеют место аналоги теорем 3.3"и 3.4 (теоремы 7.2 и 7.3) о существовании и единственности обобщённых и классических решений задачи Коши.

Наконец, в восьмом параграфе исследуется дифференциальная задача (1) на полуоси и соответствующая ей спектральная задача (5.3)-(5.4). Благодаря конкретному виду дифференциальных операторов А и G эти задачи удаётся изучить довольно детально.

Следствие 9 (8.2). а) Если д~{х) = 0, то все невещественные собственные значения пучка Ь(Х) принадлежат кругу

D = {А 6 С | jA + 1/aKl/tt}.

б) Если д+(х) = 0) то весь невещественный спектр пучка Ь(А) расположен вне круга

D' = {А е С | jA + l/a\ < l/(av/l - ab+)}»

где = esssup/3(x).

Следствие 10 (8.4). а) Если g(x) ^ 0 при достаточно больших х и

sup t /£°° g{s) ds -- оо, то v(T) = со. t^o

б) Если max t (s) ds ^ 1/4 при достаточно больших a > 0, то v(T) <00 и, в частности,

/•ОС

v{T) ^ / xg+ (х) dx.

Jo

Лемма 11. Точка X = — 1 /а является точкой накопления вещественных собственных значений справа в том и только том случае, когда 9+(х)£0.

Наконец, свойства решений соответствующей задачи Коши в терминах гладкости начальных данных определяет

Теорема 12. Задача Коши (1),(4) для любых начальных данных

Фо(х) е 1^(1+) {у{х) е \уЦж+) I у(0) = у'(о) = 0}

и ф\(х) 6 1/2(К+) имеет единственное обобщённое решение, удовлетворяющее краевым условиям

„(0,^ = ^1^0=0.

ох

Если дополнительно функция фо(х) принадлежит пространству И72 (К+), а ф\(х) — пространству И^у т0 полученное решение будет классическим.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. А. А. Шкаликову за стимулирующие обсуждения и постоянное внимание к работе, а также И. А. Шейпаку и 'А.Я.Бурдяк за полезные обсуждения и ценные замечания.

Список РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Шкаликов А. А., Гринив Р. О. О пучке операторов, возникающем в задаче о колебании стержня с внутренним трением//Матем. заметки. 1994. Т.56, Л2 2. С.114-131.6 1. Гринив Р. О. Колебания полубесконечного стержня с внутренним

трением//УМН. 1995. Т.50, вьш.4. С.121. 5. Гринив Р. О. О локализации собственных значений оператора Шрё-дингера с потенциалом, зависящим от спектрального параметра// УМН. 1996. Т.51, вып.5. С.120. к Гринив Р. О. О спектре пучка операторов, возникающего в задаче о колебаниях полу бесконечного стержня с внутренним трением/ /Вестник МГУ. Сер 1. Матем., мех. 1996. N0.1. С. 19-23. ). Гринив Р. О. Спектральные свойства одного класса операторных пучков//УМН. 1994. Т.49, вьш.4. С.125.

6В совместной работе [1] А. А. Шкаликову принадлежит постанов-:а задачи и доказательство теоремы 2.3 об оценке числа нейтральных обствешгых значений пучка ¿(А); остальные результаты принадлежат .втору.

Введение

0.1. Полиномиальные пучки операторов

0.2. Обзор литературы

0.3. Основные результаты диссертации

0.4. Обозначения

Глава I. Пучок операторов, моделирующий колебания конечного стержня с внутренним трением.

§1. Постановка задачи и вспомогательные результаты.

1.1. Постановка задачи

1.2. Некоторые определения и используемые результаты

§2. Спектральные свойства пучка Ь(А).

2.1. Структура спектра. Обобщённый спектр

2.2. Случай С = 0 и ограниченного оператора В. Вещественный спектр

2.3. Нейтральные собственные значения

2.4. Случай неограниченных операторов В и С. Невещественный спектр

2.5. Вещественные СЗ пучка Ь(Х)

2.6. Асимптотика СЗ в —оо и в точке —1/а

§3. Задача Коши.

3.1. Классические и обобщённые решения

3.2. Базисность по Риссу системы СПВ оператора Т

3.3. Аналитичность полугруппы, порождённой оператором Т

3.4. Задача Коши

§4. Исследование дифференциальной задачи(1.1)—(1.2).

4.1. Свойства операторов А ж G

4.2. Асимптотика СЗ задачи(1.3)-(1.4) в —оо

4.3. Асимптотика СЗ задачи(1.3)-(1.4) в точке — 1/а

4.4. Задача Коши

Глава II. Пучок операторов, моделирующий колебания бесконечного стержня с внутренним трением.

§5. Постановка задачи и обзор результатов.

5.1. Механическая задача

5.2. Относительная компактность в смысле квадратичных форм

§6. Спектральные свойства пучка L(А).

6.1. Непрерывный спектр

6.2. Невещественный спектр

6.3. Число СЗ пучка L(А) в правой полуплоскости

6.4. Накопление СЗ к точкам —I/o; и

§7. Задача Коши.

7.1. Сведёние задачи Коши к системе первого порядка

7.2. Аналитичность Со-полугруппы, порождённой оператором Т

7.3. Решение задачи Коши

§8. Исследование дифференциальной задачи (5.1)—(5.2).

8.1. Свойства оператора G

8.2. СЗ в правой полуплоскости

8.3. Накопление СЗ к точкам 0 и — 1/а

8.4. Задача Коши

0.1. Полиномиальные пучки операторов. Методы функционального анализа и, в частности, спектральной теории операторов широко применяются при исследовании различных линейных моделей математической физики (дифференциальных уравнений и краевых задач, теории оптимального управления, теории упругости, гидродинамики и др.)- При этом естественно возникают спектральные задачи для полиномиальных операторных пучков (пучков операторов).

Действительно, обычно в малом приближении эволюция физической системы описывается линейными .дифференциальными уравнениями. Рассматривая соответствующие дифференциальные операции как операторы в некотором гильбертовом пространстве функций К, эту систему уравнений можно записать в виде

Здесь I время. и{1) и /(£) — функции со значениями в пространстве описывающие состояние физической системы и внешнее воздействие на неё соответственно, 71, к = 0, п — линейные (вообще говоря, неограниченные) операторы в Применяя метод Фурье, то есть ища решение однородного уравнения, отвечающего (0.1), в виде и{Ь) = уегХЬ, где у € А £ С. мы приходим к следующему равенству:

Возникает'задача найти все пары (Л,у) собственных значений (частот колебаний) и собственных векторов (состояний), удовлетворяющие равенству (0.2). Другими словами, мы получаем спектральную задачу для полиномиального пучка операторов

1)

2)

Т(Х) := £ АкТк.

3) к=0 4

Систематическое построение спектральной теории полиномиальных (в частности, квадратичных) операторных пучков началось с работ М. В. Келдыша 1951 г. [XX] (см. также [10]) и М. Г. Крейна и X. Лангера 1963 г. [14, 15]. Так. в статье [11] были введены понятия цепочки собственного и присоединённых векторов, кратности собственного значения и кратной полноты системы всех собственных и присоединённых векторов. Там же аналитическими методами были получены важные результаты о поведении резольвенты Т~1(\) и разрешимости соответствующего уравнения (0.1). В работе [15] геометрическими методами пространств с индефинитной метрикой была доказана возможность факторизации на линейные сомножители квадратичных пучков из некоторого класса, что позволило глубже исследовать свойства цолноты и базисности системы всех собственных и присоединённых векторов. После этих фундаментальных работ оператор-нозначные функции начали интенсивно изучаться многими математиками, и за последние три десятилетия спектральная теория полиномиальных операторных пучков превратилась в самостоятельный и довольно глубоко разработанный раздел теории линейных операторов (см., например, монографии И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [7], А. С. Маркуса [20], Л. Родмана [39]. а также статьи А. Г. Костюченко и М. Б. Оразова [12], Г. В. Радзи-евского [27], А. А. Шкаликова [31] и др.). Однако, несмотря на достаточно общие результаты, полученные в этих и многих других работах, потребности механики порождают новые классы операторных пучков, для которых имеющиеся схемы исследования не всегда применимы.

Именно два класса таких пучков и рассматриваются в настоящей диссертации. Они возникают, например, в задаче о малых поперечных колебаниях вязкоупругого трубопровода, находящегося в вязкой среде и несущего установившийся поток несжимаемой жидкости1 (см., например, [38]). Со

1 Другие задачи, приводящие к пучку (0.5), можно найти в литературе, указанной в [35]. ответствующее уравнение имеет вид д5и д4и д ( . ,ди\ лди ,д2и п . и приводит к квадратичному пучку операторов

Л) = А2/ + А(сь4 + В) + А + С, (5) в котором А — самосопряжённый оператор, а операторы В и С подчинены Л в некотором смысле (А-компактны в главе I и (А+/)-компактны в смысле квадратичных форм в главе II, что соответствует трубопроводу конечной и бесконечной длины; подробности см. в §1 и §5).

0.2. Обзор литературы. Уравнения малых поперечных колебаний трубопровода конечной длины в самой общей постановке были строго выведены М. П. Паидуиссисом и Н. Т. Иссидом в 1974 г. [38]. Эта задача рассматривалась затем во многих работах главным образом с точки зрения устойчивости соответствующей гидродинамической системы, причём как численными (см. [38, 8] и ссылки, приведённые там), так и абстрактными методами функционального анализа (см. [8, 30, 23] и др.). Спектральная дифференциальная задача для уравнения (0.4) исследовалась В. Н. Пиво-варчиком в [25]; там также основное внимание уделялось вопросу об устойчивости. В недавней статье А. А. Шкаликова [40] получена точная формула для индекса неустойчивости2 абстрактных пучков вида (0.5), учитывающих также гироскопические силы, то есть содержащих дополнительное слагаемое г\К с неотрицательным оператором К.

В 1994 г: П. Ланкастер и А. А. Шкаликов (см. [35]) детально исследовали абстрактный пучок операторов Ь{А), отвечающий рассматриваемой задаче, для случая С = 0. Там, в частности, была установлена область локализации и структура спектра пучка Ь(А), получена оценка числа невещественных собственных значений и изучена соответствующая задача

Здесь под индексом неустойчивости понимается число линейно независимых и растущих со временем

А) решений дифференциального уравнения Ь(4:)у = 0.

Коши. В первой главе настоящей диссертации результаты статьи [35] во многом уточняются и переносятся на случай С ф 0.

Спектральная дифференциальная задача для уравнения (0.4) на положительной полуоси (описывающего колебания полубесконечного стержня) рассматривалась В. Н. Пивоварчиком в статье [26], где асимптотическими методами установлены некоторые её спектральные свойства. Во второй главе диссертации исследуется пучок операторов, являющийся абстрактной- моделью этой задачи. Такой подход при более слабых условиях на параметры задачи позволяет .во многом улучшить и обобщить результаты работы [26]. Отметим, что исследуемый в этой главе пучок операторов имеет нетривиальный (то есть не сводящийся к дискретному множеству точек накопления собственных значений) существенный спектр, и что ранее пучки с таким свойством, по-видимому, не изучались.

0.3. Основные результаты диссертации. Опишем вкратце основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается пучок операторов (0.5) при следующих условиях на операторные коэффициенты А, В и С:

1) А — А* полуограничен снизу и имеет компактную резольвенту;

2) В = В* ^ 0 является А-компактным в смысле Като (см. п. 1.2.3);

3) С симметрический оператор, А-компактный в смысле Като.

В §1 приводится постановка исходной механической задачи и её сведение к пучку операторов Ь(\) вида (0.5), а также некоторые определения и неоднократно используемые в дальнейшем утверждения из спектральной теории операторов и операторных пучков, теории интерполяции и др.

Второй параграф является основным и посвящён исследованию структуры спектра пучка Ь(А) и области локализации его собственных значений. Поскольку с ограниченными операторами работать удобнее, в первом пункте вводится семейство пучков с ограниченными коэффициентат I ми 1/0(А) := Ав~1Ь(Х)А~в (не умаляя общности можно считать оператор А ограниченно обратимым, см. замечание 1.1). Если — шкала гильбертовых пространств, построенная по оператору А, то пучок Ьд(А) совпадает с Ь(А), рассматриваемым как оператор-функция в пространстве %в-\ с областью определения Т>{Ьо) = %в. Особую роль играет пучок ¿^(А) =: ¿(А), так как его коэффициенты являются ограниченными самосопряжёнными операторами в 1-1. Именно пучок ¿(А) и изучается в основном в дальнейшем, законность чего обосновывается следующей теоремой — основным результатом этого пункта.

Теорема 1 (2.1). Спектры пучков Ь(А) и Ьв(А) при 0 £ [0,1] совпадают. Более того. стезз(1) = (те53(Ьо) = {-1/а}, а(1Щ = аг(Ь) = аг(Ьв)

0, и канонические цепочки собственного и присоединённых веторов пучков Ь(А) и А), отвечающие нормальным собственным значениям, имеют одинаковую структуру.

Во втором и третьем пунктах рассматривается случай С = 0 и ограниченного оператора В, ранее детально исследованный в работе [35]. Тем не менее полученные здесь результаты существенно дополняют и уточняют результаты указанной статьи. Так, лемма 2.7 утверждает, что все собственные значения вне кольца Я(Ъ+,Ь~,а) (см. (2.2)) имеют дефинитный тип. Это позволяет установить число собственных значений пучка Ь(А) в интервале3 (аьО), определяющих асимптотику по времени решений соответствующей динамической задачи = 0 (см. §3).

Теорема 2 (2.2). Для числа т(«1,0) собственных значений пучка Ь(А) в интервале (а] . 0) выполняются неравенства4

3Числа О! ^ а-2 > аз ^ а4 суть абсциссы точек пересечения кольца Д(6+,6,о;) с вещественной осью.

4Лг,4 (к) есть функция распределения спектра оператора А.

Далее, следуя работе [32], вводится число нейтральных собственных значений г), которое учитывает как невещественные, так и вещественные собственные значения нейтрального типа (см. (2.6)). Аналитическими методами удаётся установить следующую оценку для числа г), уточняющую аналогичный результат работы [35].

Теорема 3 (2.3). Для числа. нейтральных собственных значений пучка Ь{\) справедлива оценка г]/2^МА(а1 + 0)-ЫА(а21).

Заметим, что введённая величина г] имеет важное значение — например, г]/2 связана с индексом неустойчивости пучка Ь(—г'А), то есть числом линейно независимых и неограниченных при £ —)- сю решений уравнения ц-фу = о.

Кроме того, при доказательстве этой теоремы обобщаются на случай неограниченных операторов некоторые утверждения о возмущении спектра аналитических семейств операторов.

В четвёртом и пятом пунктах устанавливаются результаты, аналогичные доказанным в пп. 2 и 3, для случая, когда операторы В и С неогра-ничены и В ^ 0. Лемма 2.16 описывает область локализации невещественного спектра пучка ¿-(А): он принадлежит пересечению полуплоскости {А <Е С | Ие А ^ го < 0} и некоторого кольца (быть может, вырождающегося в круг или точку). Далее, число невещественных собственных значений (точнее, число г] нейтральных собственных значений) пучка Ь(А) также можно оценить сверху. Отметим, что требуемая оценка доказывается геометрическими методами, путём сведения пучка Ь(А) к линейному пучку Ь(£) := £Т — С в пространстве Понтрягина и выделения максимального С-неположительного Т-инвариантного подпространства. 9

Теорема 4 (2.4). Пусть число г] нейтральных собственных значений пучка. Ь(А) определено равенством (2.6). Тогда г] конечно и

77/2 < 7Г0, где 7Го — наименьшая возможная суммарная кратность положительного

Число собственных значений х\(Ь) в правой полуплоскости (все они ведующая лемма.

Лемма 1 (2.19). Индекс неустойчивости х{Ь) пучка Ь(Х) конечен и равен и{А+С) суммарной кратности отрицательного спектра оператора А+С.

Наконец, в шестом пункте §2 исследуется асимптотика собственных значений пучка Ь{Х) в —оо и в точке — 1 /а.

Заметим, что при А ф — 1/а пучок Ь(X) есть относительно компактное возмущение пучка Ьо(Х) := А2/ + аХА + А и асимптотика их спектров в точке —сю' должна совпадать. Эвристические рассуждения подсказывают. что число собственных значений пучка Ьо(\) в интервале (г, ко) при ко > — 1/а. и г —>■ —со эквивалентно величине N ¿{—г / а). Это наблюдение обосновывает теорема 2.5.

Георема 5 (2.5). Пусть функция распределения собственных значений Мд(к) оператора А обладает свойством регулярности, то есть

Тогда количество г (г, ко) собственных значений пучка Ь( X) в интервале (г. ко), ко < — 1 /а, при г —> — оо асимптотически эквивалентно Nг/а).

Следствие 2 (2.22). Пусть 0 < р\ ^ . ^ рп ^ . суть собственные значения оператора А, а Хп — занумерованные в невозрастающем порядке ю спектр а оператора Ь(к) при к < —1/а. щественные), равное индексу неустойчивости х{Ь) пучка Ь(А), даёт еле

6) собственные значения пучка Ь(А), меньшие произвольного фиксированного числа ко < — 1/а. Тогда

К ~ -осрп при п —у оо (то есть, Хш\^\п/рп -- —а).

Далее, как утверждают леммы 2.23, 2.25 и следствие 2.24, точка — 1/а является точкой накопления собственных значений пучка Ь{Л) слева (справа) в том и'только том случае, когда оператор Т Ь{—1/а) имеет бесконечное число положительных (отрицательных) собственных значений. При этом число т(/г, г) собственных значений в интервале (/с, г), < г < — 1/а, равно5 7г(г) — 7г(/с); аналогично для интервала (г+,к+): — 1/а < г+ < к+, имеем т(г+, к+) — и(г+) — тт(к+). Следующая теорема устанавливает асимптотику величин 7г(г) и при г —> — 1/а — 0 и г+ —> — 1/а -)- О соответственно, то есть асимптотику количества собственных значений пучка Ь(А) вблизи точки —1/а. Отметим, что при этом изучение сложных величин сводится к исследованию более простых, ибо в конкретных задачах асимптотику функций п±(б,Т) удаётся найти явно (см. §4).

Теорема 6 (2.6). Пусть 7г( — 1/а) = оо (соответственно, и{—1/а) = оо) и функция распределения п+(з. Т) (соответственно, п(й, Т)) компактного оператора Т Ь( — 1/а) обладает свойством регулярности, то есть соответственно, п+(з(1 + е),Т) Пт Нт —-—;——г—- = 1

НтИт—^ ^ —- = 1).

-40 в—>0 П(в,Т)

Тогда л (г — 1/а) ~ п+(—га,Т) при г —>• 0— (соответственно, и (г — 1/а) п(га, Т) при г —» ОН-).

3Через п(к) (и(к)) обозначено число положительных (отрицательных) собственных значений оператора Цк).

В третьем параграфе исследуется задача Коши

Ьфи{Ь) = й(г) + (аА + В)й{Ь) + (Л + б>(£) = О м(0) - ¿о, й(0) = фъ

7)

8)

Сначала определяются понятия классических и элементарных решений уравнения (0.7) и производных по Келдышу цепочек пучка Ь(Х). Задача (0.7)-(0.8) сводится затем к уравнению первого порядка в "энергетическом" пространстве6 Н = Их/2 х "Но, и первая компонента функции г>(£) называется обобщённым решением исходной задачи Коши.

Как обычно, существование и единственность обобщённых решений устанавливается легче для этого-достаточно исследовать некоторые свойства оператора Т в пространстве Н. Благодаря тому, что оператор Т является (Сгсамосопряжённым, его каноническая система корневых векторов образует в Н базис Рисса7 (теорема 3.1). Далее, оператор Т является генератором Со-полугруппы операторов Щ в И, действующей по формуле (3.11)' (теорема 3.2), которая к тому же оказывается аналитической (лемма 3.4). Суммируя все эти результаты, получаем следующую теорему.

Теорема 7 (3.3). Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда для любых начальных данных фо £ 7^1/2, ф\ £ "Но уравнение (0.7) имеет единственное обобщённое решение и(Ь), удовлетворяющее начальным условиям (0.8) в том смысле, что при £ —у 0 по норме пространства Н.

6Шкала гильбертовых пространств Не построена по оператору А.

При условии, что точка А = —1/а не является сингулярной, которое предполагается выполнении всюду в дальнейшем. Тг>(£), ад) -у (0о>1)

Это решение можно представить в виде и(Ь) .= е1*' £ (у) + ^ + • • • + = е^ £ сЭДф, (9) где к = 0есть цепочка собственного и присоединённых векторов, отвечающая собственному значению = + /со пучка Ь(Х). Ряд (0.9) сходится к и(1,) по норме пространства 7^1/2 безусловно и равномерно по Ь на любом конечном промежутке, а после почленного дифференцирования сходится к й(Ь) безусловно и равномерно по £ на любом конечном промежутке по норме пространства

Если каноническая система СПВ д:1к оператора Т выбрана регулярной, а С] знаковая характеристика ¿-той цепочки (см. предложение 2.12), то коэффициенты сопределяются по формуле

CJ = £з

Со (Л ^

О -I i-k

Ф, ОГ I где ф= (ф0, -кофо + ф\).

Что же касается классических решений, то они получаются при выборе более гладких начальных условий.

Теорема 8 (3.4), Пусть фо € Iii и ф\ Е Их/ъ- Тогда построенное в теореме 3.3 решение задачи Коши (3.1)-(3.2) является классическим.

В четвёртом параграфе полученные в §§2-3 результаты применяются для исследования конкретной дифференциальной задачи (0.4) (для простоты положено р(х) = 1, общий случай сводится к этому заменой переменных). Многие величины, связанные с операторами А, В и G можно вычислить явно, что позволяет получить точные формулы для соответствующеи спектральной задачи р-\х) [¡Г(х) + (д(х)у'(х))'} + \p-\x) [ау™(х) + ß(x)y{x)} + Х2у(х) = О, 2/(0) = /(0) - у( 1) - у"( 1) = 0.

10)

П)

Лемма 3 (4.2). Пусть ко < — 1/а; тогда число т(г. ко) собственных значений задачи (O.lO)-(O.ll) в интервале (г, fco) при г —>- —оо асимптотически

Следствие 4 (4.3). Пусть Хп — занумерованные в невозрастающем порядке собственные значения задачи (0.10)—(0.11), меньшие ко. Тогда (при произвольном выборе числа ко) справедливо соотношение

Лемма 5 (4.4). Точка X = —1/а является точкой накопления собственных значений задачи (0.10) (0.11) справа (слева) в том и только том случае, когда д+(х) ф 0 (соответственно, когда д~(х) ф 0).

Теорема 9 (4.1). Пусть все нули функции д(х) простые. Тогда для чисел г(А:. -г - 1/и ) ит(г+ — 1/се, к+) собственных значений задачи (0.10) (0.11) в интервалах (/с, —г — 1 /а) и (г+ — 1/а, к+) соответственно при г± —>• 0 справедливы представления числа с± явно определены в лемме 4.7).

Следствие б (4.8). Пусть X% (Х^) суть занумерованные в невозрастающем (соответственно, в неубывающем) порядке вещественные собственные значения задачи (0.10)—(0.11), большие —I/o; (соответственно, принадлежащие интервалу (fc, — l/a) при каком-то фиксированном fc < —1/a). Тогда

Хп = — а(7гп)4 + о(п4) при п —> оо. 2 при к оо к

Будем теперь искать решение и(х,Ь) уравнения (0.4) на [0,1], удовлетворяющее следующим краевым и начальным условиям:

Теорема 10 (4.2). Задача Коши (0.4),(0.12),(0.13) для любых начальных данных и ф\ € /7-2(0,1) имеет единственное обобщённое решение и{х^). Если дополнительно л ф\ е ^^'(0,1), то полученное решение будет классическим.

Во второй главе исследуется пучок операторов Ь(А) такого же вида (0.5), как и в первой главе, но с другими свойствами операторных коэффициентов Л, Б и С:

1) А = А* > 0, существенный спектр оператора А совпадает с положительной полуосью [0, со);

2) В = В* ^ 0 вполне непрерывен относительно А + / в смысле квадратичных форм (см.[3],[28]);

3) С симметричен, подчинён оператору А1/2, то есть |С| ^ д0А1!2 для некоторого положительного числа до, и (А + /)-компактен в смысле квадратичных форм.

Хотя при этом спектральные свойства пучка Ь(А) коренным образом меняются., многие методы исследования и результаты из первой главы остаются в силе.

13)

12)

Фо(х) е \Vlui0,1) := {у(х) Е Ж22(0,1) I 2,(0) - 2/(1) = 0}

Фо(х) Е И>^(0, 1) := {у(х) е Ж24(0,1) I 2/(0) = /(0) = 2/(1) = /(1) = 0}

В пятом параграфе приводится постановка механической задачи (5.1)-(5.2) и её сведение к изучаемому пучку операторов L(А). Затем объясняется понятие относительной компактности в смысле квадратичных форм и доказывается лемма об эквивалентности нескольких её определений.

В §6 исследуется спектр пучка L(А). Ключевым моментом здесь является тот факт, что существенный спектр теперь не сводится лишь к одной точке — 1 /а. Пусть J обозначает интервал (—оо, — I/o], а О — окружность радиуса I/o с центром в точке —l/cx.

Теорема 11 (6.1). Существенным спектром пучка L(А) является множество О U J.

Далее находится область локализации невещественных собственных значений пучка L(А). Согласно лемме 6.2, все они принадлежат пересечению левой полуплоскости и некоторого кольца с центром в точке —I/o (быть может, вырождающегося в круг или точку), внутренний и внешний радиусы которого определяются по операторам А, В и G. л

В следующем пункте исследуется спектр в правой полуплоскости. Имеет место результат, аналогичный лемме 2.19.

Лемма 7 (6.4). Все собственные значения пучка L(A) в правой полуплоскости вещественны; их количество равно v{A-\-G) — суммарной кратности отрицательного спектра оператора А + G.

Заметим, что теперь число u(A-\-G) может равняться +оо, и при этом вещественные собственные значения накапливаются к точке 0 справа (следствие 6.6). Если операторы А и G порождены конкретной дифференциальной задачей (0.4) на полуоси, то конечность или бесконечность величины 1у(А + G) зависит от поведения функции д{х) при х —> оо (следствие 0.4).

Вопрос о накоплении собственных значений из интервала ( — I/o, 0) к его концам изучается в последнем пункте §6. Удаётся установить лишь доста

16 точные признаки такого накопления8 (а не критерии, как в главе I).

Лемма 8 (6.7). Если /а) = оо (соответственно, z/(0) = ooj, то точка X = — 1 /a (Соответственно, А = 0) является точкой накопления вещественных собственных значений справа (соответственно, слева).

В §7 исследуется задача Коши (3.1)-(3.2) (с операторами А, В и G, обладающими теперь свойствами 1)-3) §5). Как и в §3, эта система сводится к уравнению первого порядка (3.6) в "энергетическом" пространстве Ш = "Hi/2 х Но с начальным условием (3.7). Хотя теперь оператор Т имеет нетривиальный существенный спектр, и поэтому система его собственных и присоединённых векторов неполна в Н, он, как и раньше, порождает аналитическую Co-полугруппу операторов Vt в Ш (теорема 7.1). Поэтому имеют место аналоги теорем 3.3 и 3.4 (теоремы 7.2 и 7.3) о существовании и единственности обобщённых и классических решений задачи Коши.

Наконец, в восьмом параграфе исследуется дифференциальная задача (0.4) на полуоси и соответствующая ей спектральная задача (5.3)^(5.4). Благодаря конкретному виду дифференциальных операторов А и G эти задачи удаётся изучить довольно детально.

Следствие 9 (8.2). а) Если д~{х) = 0, то весь невещественный спектр "Пучка L(А) лежит в круге

D — {X е С \ |А + l/a\ ^ 1 /а]. б) Если д+(х) = 0, то все невещественные собственные значения пучка L{А) лежат вне круга

D' = {А е С I |А + l/a\ ^ 1/(а^1-«&+)}, где b+ = ess sup (3(х).

8По-видимому, эти условия действительно не являются необходимыми.

Следствие 10 (8.4). а) Если д{х) ^ 0 при достаточно больших х и sup t /г°° g (s) ds — oo, то v{T) = oo. о б) Если max t L00 g+(s) ds ^ 1/4 при достаточно больших a > 0, то v{T) < t^a со и, в частности, f 00

Лемма 11 (8.6). Точка А = —1 /a является точкой накопления вещественных собственных значений справа в том и только том случае, когда g+(x) 0.

Наконец, свойства решений соответствующей задачи Коши в терминах гладкости начальных данных определяет

Теорема 12 (8.1). Задача Коши (0.4),(3.2) для любых начальных данных фо(х) G := {у(х) G W|(R+) I 2/(0) = у'(0) = 0} я ф\(х) G /,2(К+) имеет единственное обобщённое решение, удовлетворяющее краевым условиям

Если дополнительно функция фо(х) принадлежит пространству Ж24(1+), а ф\ (х) — пространству Wj¡jj (M), то полученное решение будет классическим.

0.4. Обозначения. Всюду в работе приняты следующие обозначения и определения (заимствованные, в основном, из книги [9]).

Пусть X и У — гильбертовы простанства, а Т — плотно определённый линейный оператор из X в У. Его область определения обозначается через D(T), область значений, или образ — через RanT := {Tv | v G D(T)}. Множество KerT := {г; G V(T) | Tv = 0} является ядром оператора Т, при этом число rmlT dim Ker Т есть ero индекс вырождения. Индексом дефект,a def Т называется размерность фактор-пространства У/ Ran Т.

18

Оператор Т является фредголъмовым, если nulT < сю и def Т < со, и при этом indT := nulT — def Т — его индекс.

Множество ограниченных операторов9 из X в Y обозначается через 05(X, Y); если Y = X, то вместо ©(X, X) пишем (X). Подпространства компактных операторов в 05(X, Y) и 05(X) обозначаются через ©^(X, Y) и ©оо(Х) соответственно.

Оператор Т, действующий из гильбертова пространства X в гильбертово пространство Y будем называть замкнутым (и писать Т G C(X,Y))y если его график Г(Т) := {(y,Tv) | v G D(T)} является замкнутым подпространством в пространстве X х Y. Если Т G £(X,Y) и D(T) = X, то оператор ограничен (теорема о замкнутом графике, см. [9, Гл.III, §5.4]).

Буквой I обозначается тождественный оператор.

Всюду в дальнейшем для словосочетаний "собственное значение" и "собственный вектор" используются сокращения СЗ и СВ соответственно.

Пусть оператор Т самосопряжён и компактен. Тогда n+(k,T) обозначает число СЗ оператора Т, больших к, a n(/c, Т) — число СЗ, меньших —к.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А. А. Шкаликову за стимулирующие обсуждения и постоянное внимание к работе, а также И. А. Шейпаку и А. Я. Бурдяк за полезные обсуждения и ценные замечания.

9Иногда мы называем ограниченными операторы, которые заданы на плотной в X (и не совпадающей с X) области определения и имеют ограниченные замыкания.

1. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной, метрикой. — М.:Наука, 1986. — 352с.

2. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. — М.:Мир, 1980. — 264с. '

3. Бирман М. Ш. О спектре сингулярных граничных задач//Матем. сб. 1961. Т.55(97),2. С. 125-174.

4. Бирман М.Ш., Соломяк М. 3. Спектральная теория самосопряжённных операторов в гильбертовом пространстве. — Ленинград: ЛГУ, 1980. — 264с.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988. — 512с.

6. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. — М.:Физматгиз, 1963. — 340с.

7. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введена,е в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом, пространстве. — М.: Наука, 1965. — 448с.

8. Зефиров В. И., Колесов В. В., Милославский А. И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода//Изв. АН СССР. Сер. Мех. Тв. Тела 1985. № 1. С.179-188.

9. Като Т. Теория возмущений линейных опера,торов. . М.:Мир, 1972. — 740с.

10. Келдыш ' М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов//УМП. 1971. Т. 26, вып. 4. С. 15-41.

11. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несомо сопряжённых уравнений// ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 1. С. 11-14.

12. Костюченко А. Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки// Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1981. Вып. 6. С. 97-146.

13. Костюченко А. Г., Шкаликов A.A. Самосопряжённые квадратичные пучки и эллиптические задачи// Функц. ан. прилож. 1983 Т. 17, вып. 2. С. 38-61.

14. Крейн М.Г. Лангер Г. К. К теории квадратичных пучков самосопряжённых операторов// ДАН СССР. 1964. Т. 154, № 6. С. 1258-1261.

15. Крейн М\ Г., Лангер Г. К. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуумов//Труды международного симпозиума по применению теории функций в механике сплошной среды. Т.2. — М.:Наука, 1965. С.283-322.

16. Крейн М. Г., Любарский Г. Я. Об аналитических свойствах мультипликаторов периодических канонических дифференциальных систем положительного типа//Изв. АНСССР. Сер. матем. 1962. Т. 26, № 4. С. 594-572.

17. Крейн М. Г. Про лгнтт цыком неперервш оператору, в функцгональних просторах з двома нормами//36. праць 1н-ту математики АН УРСР. 1947. № 9. С. 104-129.

18. Крейн С. Г., Петунии Ю. И. Шкалы банаховых пространств//УМН. 1966. Т.21, вып. 2. С.87-186.

19. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971. — 371с.

20. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинёв: Штиинца, 1986. — 260с.

21. Маркус A.C., Мацаев В. И. Теоремы сравнения спектров линейных операторов и crie к/тральные асимптотики// Тр. Моск. матем. об-ва. 1982. Т. 45. С. 133-181.

22. Милославский А. И. К обоснованию спектрального подхода в неконсервативных зада,чах теории упругой устойчивости// Функц. ан. прилож. 198-3. Т. 17, вып. 3. С. 83-84.

23. Милославский А. И. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений// Сиб. матем. журн. 1985. Т. 26, № 5. С. 118-132.

24. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. — 527с.

25. Пивоварчик В. Н. Краевая задача, связанная, с колебаниями стержня с внутренним и внешним, трением//Вест. МГУ. Сер. 1. Матем, мех. 1987. № 3. С.68-71.

26. Пивоварчик В.Н. О колебаниях полубесконечного стержня с внутренним и внешним ' трением,// ПММ. 1988. Т.52, № 5. С.829-836.

27. Радзиевский Г. В. Задача о полнот,е корневых векторов в спектральной теории oneparnop-функций// УМН. 1982. Т. 37, вып. 2. С. 81-145.

28. Рид М. Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряжённость. — М.:Мир, 1978. — 395с.Т. 4- Анализ операторов — М.:Мир, 1982. — 428с.

29. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. .- 587с.

30. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости// Изв. АН СССР. Сер. Мех. Тв. Тела. 1984. № 5. С. 170-174. •

31. Шкаликов A.A. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними// Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1989. Вып. 14. G.140-224.

32. Шкаликов А. А., Гринив Р. О. О пучке операторов, возникающем в задаче о колебаниистержня'с внутренним трением//Матем. заметки. 1994. Т.56, № 2. С.114-131.

33. Chen S., Triggiani R. Proof of extensions of two conjectures on structural damping for elast/ic systems//Pacific Journ. Math. 1989. V. 136, № 1. P. 15-55.

34. Grisvard P. Characterisation de quelques espaces d'interpolation// Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V. 25. Р.40ЧЗЗ.

35. Lancaster P., Shkalikov A. A. Damped vibrations of beams and related spectral problems/ /Canad. Appl. Math. Quart. 1994. V. 2, № 1. P. 45-90.

36. Lancaster P., Shkalikov A. A., Ye Q. Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space// Integr. Equat. Oper. Th'. 1993. V. 17, № 3. P. 338-360.

37. Langer H. Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces// in Lecture Notes in Mathematics, № 948. P. 1-46. — Berlin: Springer-Verlag, 1982.

38. PaTcloussis' M. P., Issid N. T. Dynamic stability of pipes conveying fluid// .J. Sound and ' Vibration. 1974. V.33, №3. P.267-294.

39. Rodman L. An introduction to operator polynomials — ОТ: Advances and Applications. Vol. 38. • Basel etc.: Birkhauser, 1989.

40. Shkalikov A. A. Operator pencils arising in elasticity and, hydrodynamics. The instability index formula// In Recent Developments in Operator Theory and its Applications — ОТ: Advances and Applications. Vol. 87. -- Basel etc.: Birkhauser, 1996.

41. Гринив P.O. Колебания полу бесконечного стержня с внутренним трением//УМН.1995. Т.50, вып.4. С.121.

42. Гринив P.O. О локализации собственных значений оператора Шрёдингера с потенциалом, зависящим, от спектрального параметра// УМН. 1996. Т.51, вып.5. С.120.

43. Гринив Р'. О. О спектре пучка операторов, возникающего в задаче о колебаниях полубесконечного ст.ержня с внутренним трением//Вестник МГУ. Сер 1. Матем., мех.1996. No.l. С. 19-23.

44. Гринив P.O. Спектральные свойства одного класса операторных пучков//УМК. 1994. Т.49, вып.4. С.125.