О спектральных свойствах квадратных пучков операторов, связанных с задачами устойчивости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

•МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени м.в.ЛОМОНОСОВА

Росск5:ки?-

втигл

НГУЕН ВАН ЛЫОНГ

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ КВАДРАТИЧНЫХ ПУЧКОВ ОПЕРАТОРОВ, СВЯЗАННЫ): С ЗАДАЧАМИ УСТОЙЧИВОСТИ

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСЮЩ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.43

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.Г.Костюченко. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А.А.Шкаликов; - кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Власов. Ведущая организация - московский институт электронного

машиностроения.

Защита диссертации состоится 1993г.

в 16 час.05 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.С5.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

" " Л^руг^ 1993г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П.Лукашенко

Актуальность темы. Спектральная теория операторных пучков с самого начала развивалась в тесной связи с различными приложениями. Спектральные задачи для операторных пучков возникают в различных областях математической физики (теория упругости, гидродинамика, теория колебаний и волн и другие).

Многие задачи линейной теории устойчивости упругих систем можно привести к исследованию спектральных свойств квадратичных операторных пучков. При этом необходимым условием устойчивости является отсутствие собственных значений соответствующего операторного пучка в открытой правой полуплоскости. Поэтому актуальной является задача о поиске методов, позволяющих для различных классов пучков оценивать число их собственных значений в открытой правой полуплоскости, а также исследовать критическое значение параметров, при которых задача теряет устойчивость.

В диссертации рассмотрена несамосопряженная задача, возникающая при изучении малых колебаний трубопровода при протекании по нему жидкости с постоянной, а также переменной скоростью (см. [ij - [4] )._

^1]федосьев В.Н. О колебаниях и устойчивости при протекании через нее жидкости. Инж.сб., 1951, т.10.

[2] Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости. Известия АН СССР, МТТ, 1984, i 5.

[3] Зефиров В.И., Колесов В.В., Милославский А.И. Исследование

собственных частот прямолинейного трубопровода.- Изв.АН СССР, 1985, & I, с.179-188.

Милославский А.И. О дестабилизирующем воздействии малого демпфирования на абстрактные неконсервативные системы. Успехи математических наук, 1986, т.41, вып.1.

Цель работы. I. Получить результаты о суммарной алгебраической кратности спектра в открытой правой полуплоскости для квадратичных пучков неограниченных операторов.

2. Исследовать критические значения некоторых параметров, при которых задача теряет устойчивость.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.

I. Получены достаточные условия на коэффициенты некоторых Квадратичных пучков операторов, позволяющие вычислить количество неустойчивых точек спектра,и, в частности, утверждать неустойчивость нулевых решений соответствующих дифференциальных уравнений.

'¿. Получен критерий устойчивости для одного класса дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. На основе этого критерия указаны достаточные условия, обеспечивающие устойчивость равновесного положения трубопровода при протекании через него жидкости с переменной скоростью.

3. Получены результаты о дестабилизирующем воздействии малого демпфирования на абстрактные неконоервативные системы. Эти результаты используются в задаче о малых колебаниях прямолинейного консольного трубопровода.

Приложения, результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по спектральной теории пучкэЕ операторов. Они могут быть также использованы для исследования задач теории упругости и гидродинамики.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по теории несамосопряженных операторов (руководители - А.Г.Костюченко, А.А.Шкаликов, С.А.Степин) в

в Московском университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора , список которых приведен в конце авторефе-

рата. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве,нет.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 6 параграфов, списка литературы, содержащего 41 наименование. Общий объем диссертации Ш4 страницы. Нумерация такова: первая цифра указывает номер параграфа, а следующее за ней число - порядковый номер утверждений в параграфе.

Обозначения. Через ^(Н) обозначается множество замкнутых операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве И , а через множество компактных операторов в И • Через

D(A) обозначается область определения оператора А , считается, что DCA) плотна в H • Положим (5С1_)(б"(А)) - спектр пучка L (оператора А ); N(L) . - число собственных значений пучка L СА) , лежащих на правой полуплоскости

ЯеХ > О } ; kl__(A) _ число отрицательных собственных

К ч

значений оператора А . Через W ЦоД] обозначается Соболев-

ci

ское пространство функций на отрезке L°.> l^J .

СОЯЗКЕАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются постановки рассматриваемых задач и сформулированы основные результаты'работы.

13 первой главе рассматриваются свойства собственных значений некоторых квадратичных пучкоЕ, а также задача об определении

числа неустойчивых частот для прямолинейных трубопроводов. В частности, получены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть для квадратичного пучка операторов

выполнены следующие

условия:

1) Ае Щ\А), Л в (Е^сн), АгА* а> - а. i , а. > о ,

причем собственные значения <ЯК оператора А , упорядоченные по возрастанию, удовлетворяют неравенствам

а± £ «я-д < • • < <: ...

2) вал€ ^о СИ) и для всех ОСА)

Тогда для любого /2> такого, что О |2> < р> , где

М

|аа|

К =

имеет место равенство N(.1-^) — П. >

Теорема ¿. Пусть операторы А в В удовлетворяют условиям I) и 2) теоремы I, и, кроме того, спектр пучка симмет-

ричен относительно вещественной оси, и для собственных значений оператора Л справедливы неравенства

4 < <о

Тогда для любого ^ такого, что

о < в < ? = -

имеет место равенство N ( 1— = п . Теорема 3. Пусть для пучка

операторы А , Ь и С удовлетворяют следующим условиям

1) Ae А^^оДН), А = А*, А>-о.х,а>о,

2) Б е <0(Н), 6А" е G^CH) , DCA) о ЬСЬ) ,

и для любого вектора %-е. DCA) R-eCb^^-) О >

3) с е <всн) , сдле ^(И) , 1>СА)о ьс.с) ,

и для любого Чг DCA) (C-ty , > О . Тогда справедливо равенство

KJ ( L^) = М-СА) .

Теорема 4. Пусть для пучка L ^ QCK) операторы А и Ь удовлетворяют условия!« I) и 2) теоремы 3, и существует Э0 > О такое, что при о < р. < спектр б" С L^ Q ) не пересекается с мнимой осью.

Тогда при о с р < имеет место равенство

W(Lp^) = ÎM_(A) .

Во втором параграфе рассматривается задача о малых колебаниях прямолинейного вязкоупругого трубопровода, находящегося в вязкой внешней среде и несущего установившийся поток несжимаемой жидкости :

"¿w*^ + (I)

Эх+ôt ^t axat зх.* ъх*

в) U1 = и'| « (з,

'ТС. = 0 'х-О Л.

где коэффициенты р , неотрицательны.

После подстановки и. О, х) = е, Сэс) приходим к следующей спектральной задаче::

в (I), (2) ((3))

+ + (4)

- =- = ^"С0 = 0, (5)

Для \3- такого, что < «сОгх+ОТТ. положим

р Г=" У ( ^ иУ)

1 V (^^иМ^ТС5-)5-) ) > . /_(ап-стиа.)4(СЗ.П5-- апчр-п:3--/)^^ \

Теорема 5. Пусть ПТС< \9- < (71+ 4.-) ТС и О 4 ? < ?. , гу^й, ы = = О .. Тогда задача (4), (5) имеет ровно П собственных значений, лежащих в правой полуплоскости ЯеК >0^5 .

Теорема 6. Пусть < ^ + > ¿Ь;

о(= = О . Тогда при О ^ < X задача (4),(6)

имеет ровно собственных значений, лежащих в правой полуплоскости

Во второй главе изучается устойчивость нулевого решения следующего дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве Н :

+ и V \t-vu ^ + сА0+ А.ит^ (7)

04 >0 ; Ъ &С<Ъ-<0 ;

ид О) - и 0 > исо) ^ и± . (8)

Области определения операторов В^Ш , ^(О, А0 и А^О^) включают в себя область определения оператора Е>0 . Обозначим

АО) = А0 -г A^C-t) •

Предположим, что оператор ACt) сильно непрерывно дифференцируем на Ь(в0) при t>, о , и через А(-Ь) обозначается его производная (см, [б] , стр.210).

Предположим, что при операторы bOJ BdCb), Б C-t")^ АС-0

удовлетворяют условиям

1) V- в* , ^е С^си), ьо > ьох , Ь0> о ,

2) Оператор AC-V) сильно непрерывно дифференцируем на D(Bo), причем АО) < О^

3) А0 = А* ; А0 ъ CXJ В0 j а> о ^

4) ^А0 > А^С^) >0 ; Х> О дач любых t>o;

5) Оператор B^C-t) симметричен положителен на , причем

- Чг.

|1 Ь±C-t) Ь0 Ц < С± 0 Ct > О 'для любых -Ъ > О ^

6) Оператор C-t) кососимметричен на .причем

11 Ьо LU II < ^ Cj > О для любых О .

Решением задачи (7),(8) назовем дважды непрерывно дифференцируемую функцию U(-t) такую,, что UGOG. DCb0) , U.Ot) е. D (6Q), при этом функция B0U.Gt) непрерывно дифференцируема, а уравнение (7) тождественно удовлетворяется на полуоси [о,/*-00) и выполнены условия (8). Устойчивость нулевого решения (7),(8) понимается по норме - !\UU% (AoV^-jU.) .

Теорема 7. Пусть все условия D-6) выполняются.Допустим, что

[б] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. ¡'Л., "Наука", 1967.

для любых Ц0& в(Ьс) , Ц^в ^СВ^) существует единственное рсшонйо уравнония (7), (0).

Тогда нулевое решение уравнения (7) устойчиво. 3 четвертом параграфе рассматривается уравнение динамического равновесия прямой упругой трубы, через которую протекает поток жидкости {[2] :

Рассматривается случай, когда труба закреплена шарнирно

Ш = и"| = и.1 = =0 3 (10)

а также случай, когда труба закреплена жестко

и.1 = и'| = и! = и'/ - 'О .

]Х = 0 1 Х.-0

В начальный момент

исо,х)=и0 , Сссо.хо = Ы± . (12)

Пусть УЗ^^ТС , Ь-ТГ4 для случая (10), а для случая (II) -\5-. <д"ТС к Ь является наименьшим положительным корнем

'г

уравнения

С0Т слДГь" = ± .

Устойчивость положения равновесия задачи (9),(10) ((II)) понизь **

мается по норме 1|\ЛИ1 - (/Чо^и^ >

гдо Доа . и" , а (. , -)о , II • 1\0 -

скалярное произведение и норма в пространстве С°->1) .

(II)

Теорема 8. Пусть \К*) имеет вид \J-CV) = параметры Ь >0 удовлетворяют одному из следующих

условий

I) ос. Ь + & ">4. . -к. > Л >

(^с + осЬ)- С(К^Ь)а'-'1бЬ]1/г<д.Л< С(с + *Ь) + [с«+о1Ь)а'-^Ь]/1/а'.

Тогда существует такая константа &0 > О , что при о <. & ^ ^о нулевое решение задачи (9), (10) (или (II)), (12) устойчиво.

В третьей главе изучается устойчивость решения неконсервативных систем и устойчивость положения равновесия прямолинейного консольного трубопровода.

В параграфе 5 рассматривается задача на собственные значения для операторного пучка

м см - Лг1 + л + ре») ч-А^я1^ (13)

где А, С - вещественные замкнутые операторы в комплексном гильбертовом пространстве И , удовлетворяющие следующим условиям :

А) А = А*, А>0 ; А^^СИ),

Б) ЬА"1 £ е^СИ) , || В^И2- £ .М^ЦЧ Ьа1|ЬХ><Ъ

для всех ^еРСА) ,

для всех ^ е Ь С

, II А"* 1Г4 До. С^Л^-к

Положим сс 1Г II А"'1!!'1,

^ =

+

;

- 12 -Г ( Ь*

Теорема 9. Пусть операторы А ,В и С удовлетворяют условиям А), Б), Б) и О .

Тогда при о^ , О $ £> с Р' в правой полуплоскости

£Л1 пучок Мр уЛ^ не имеет собственных зна-

чений.

Перейдем к случаю с< = -к = о

Определение. Значение называется критическим для

пучка Мв С Л) , если С?) является наибольшим числом,

Р, "С

таким, что при о ^ < ^Л?) все собственные значения пучка лежат в загнутой левой полуплоскости ^ Л I , прячем

собственное значение, лежащее на мнимой оси, не имеет присоединенных векторов. Положим

= о-дм .

А с^) — А + лЯ-^С > а чеРез А _ оператор, сопряженный к оператору АС\>-) .

Через и ^О) обозначим собственные значения и

соответствующие им собственные векторы оператора Ас\9-) , а

через О. (,\5"-) собственные векторы оператора А С\5М . отвечающие ь __

собственным значениям «Х^С^). Положим

Предполагаем, что операторы А и С дополнительно удовлетворяют следующему условию :

Г) Существует константа > о такая, что при о $ <

спектр оператора А^) простой и все собственные значения вещественны, о ф бСАС^)} для всех \У- ^ О .

Утверждение I. Пусть операторы А и С удовлетворяют условиям А), В), Г) и условию с^лт Уи/г (АО)-./их) < ^ идя всех ° , .

Гогда ^ - ^ СО) .

Обозначим Р^ = Мт I Р.^Ю)] •

Теорема 10. Пусть операторы А , в и С удовлетворяют условиям А), Б), Б), Г) и условию < & цля любых О , > ° . .1усть, кроме того Ру > О .

Тогда > Р* •

В шестом параграфе изучается задача 'о малых колебаниях прямолинейного трубопровода:

на защемленном (х = о) и свободном концах выполняются.

краевые условия:

В начальный момент:

1ЛСо_,гО = , 'йСо,х)=и1 . (16)

После замены ^ приходам к спектральной задаче

^ + »V + = О ^ (17)

= ^со) = И'СО = у'"со =0 . (18)

- 14 -

Для этой задачи при о(>о. £>0 положим

4-/а,

= ^ -¿«-О ,

'/ = а 1а-

где <Х является наименьшим положительным корнем следующего уравнения

СК^ СсЛХ. = - 4. .

Теорема II. Пусть 0£\3-<\3-", О $ £>< . Тогда нулевое решение задачи (14),(15),(16) устойчиво.

! Обозначим через АС\Я) оператор ( + ^ сЛхл ' 0 °^ластью

определения

ОСАС^)) = £ И-1М е [.о, 11 , ^Со)= М'со) = Ч = У с

и через его собственные функции с собственными зна-

чениями . Обозначим

р= С ^ОЫ-^й-о^ ;

Б работе показывается, что •

Теорема 12. При О существует константа =

такал, что при о $ < р>0 нулевое решение задачи (14), (15), (К при о<--к=0 устойчиво, и справедливо неравенство

Ьт-^СЮ > Р* •

Р -5>0

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.Г.Костюченко за постановку задачи и внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

1. Нгуен Ван Лыонг. О динамической устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. Вестник МГУ. Сер.матем.мех. (сдано в печать).

2. Нгу.ен Ван Лыонг. О собственных значениях квадратичных пучков операторов. Вестник к1ГУ. Сер.матем.мех. ( в печати).

3. Нгуен Ван Лыонг. Спектральные свойства квадратичного пучка операторов. Успехи математических наук (сдано в печать).

4. Нгуен Ван Лыонг. О дестабилизирующем воздействии малого демпфирования на неконсервативные системы. Математические'заметки (сдано в печать).