Задачи пластического течения дилатирующих сред при плоской деформации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

□0305315Т

На правах рукописи УДК 533.3.539.74

Федулов Борис Никитович

ЗАДАЧИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ДИЛАТИРУЮЩИХ СРЕД ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007 г.

003053157

Работа выполнена на кафедре теории пластичности механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Е.В. Ломакин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор P.A. Васин

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.А. Пелешко

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится 16 февраля 2007 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д.501.001.91 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан я_!_[__» января 2007 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д.501.001.91, доктор физико-математических наук, профессор

!/ С.В. Шешенин

1 Общая характеристика работы

Актуальность. В механике деформируемых твердых тел наиболее известны и широко используются такие критерии пластичности как критерий Треска и критерий Мизеса. Существует же достаточно большой класс материалов, для которых данные критерии не согласуются с экспериментами. Данные материалы, как правило, являются микронеоднородными — имеют трещины, поры, включения и другие особенности структуры. Такие материалы будучи достаточно хрупкими в обычных условиях при больших гидростатических напряжениях могут проявлять пластические свойства и наоборот при большом всестороннем растяжении материал в обычных условиях пластичный может проявить свойства, достаточно близкие к хрупким. Деформирование таких материалов может сопровождаться необратимыми объемными деформациями.

Основные свойства материалов, которые рассматриваются в данной работе — это отсутствие "единой кривой "для зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций и несправедливость обычно принимаемых гипотез об упругой сжимаемости материала и пластической несжимаемости. Для многих материалов диаграммы зависимости интенсивности деформации от интенсивности напряжений при простом растяжении, сжатии, сдвиге, двухосном сжатии и других видах нагружения различны, причем расхождение диаграмм может быть весьма значительным. Такими свойствами обладают некоторые композиционные материалы, конструкционные графиты, чугун, бетон, некоторые полимерные материалы, конструкционные стали, керамические материалы и другие.

Приведенные свойства материалов, выявление которых невозможно с использованием классических подходов, заставляет вводить в критерии и определяющие соотношение новые параметры, которые характеризуют вид напряженного состояния в деформируемой среде.

В данной диссертационной работе за основу взят критерий пластичности,

предложенный в работах Ломакина Е.В.. Такой критерий включает в себя зависимость пластических свойств от вида напряженного состояния в достаточно общем виде. При выборе конкретных видов зависимостей от параметра вида напряженного состояния возможно получение известных критериев пластичности используемых в механике сыпучих сред, а также для моделирования пористых сред. В работе анализируется степень влияния чувствительности среды к виду напряженного состояния при пластическом деформировании^

Исследованию свойств, рассматриваемых в диссертации материалов и соответствующих определяющих соотношений, посвящены работы многих авторов: Аннин Б.Д , Быков Д.Л., Гвоздев А.Е., Грин Р. Дж., Друккер Д., Ивлев Д.Д., Кийко И.А., Макаров Э.С., Матченко Н.М., Мор О., Надаи А., Никитин Л.В., Паферов В.М., Прагер В., Райе Дж.Р., Ревуженко А.Ф., Рыжак Е.И., Соколовский В.В., Толоконников Л.А., Ульченков В.Э., Шемякин Е.И., Ширко И.В..

Цель работы. Целью работы является анализ пластического деформирования среды с учетом зависимости свойств от вида напряженного состояния. Сравнение результатов для сред с различной степенью чувствительности к виду напряженного состояния на примерах ряда задач, решение которых строится при помощи жестко-пластической схемы решения. Выяснение качественных и количественных отличий с решениями, полученными при отсутствии влияния на пластическое деформирование вида напряженного состояния. Второй основной целью работы было построение численных упруго-пластических решений для определения целесообразности использования жестко-пластической схемы решения при определении предельных нагрузок для такого класса материалов.

Достоверность основных положений и выводов определяется использованием строгих математических подходов механики деформируемого твердого тела, хорошим соответствием результатов исследований характеристик предельного пластического состояния тел, полученных с помощью аналитических и численных методов,

удовлетворением полученных решений энергетическим требованиям и условиям теорем о предельной нагрузке, совпадением полученных решений в частных случаях с известными решениями.

Научная новизна.

• Получены решения задач пластического деформирования с учетом вида напряженного состояния и дилатансии среды.

• Проанализированы качественные и количественные различия в решениях при учете влияния на пластическое деформирование вида напряженного состояния и в отсутствии него.

в Для всех рассмотренных задач получены аналитические выражения для предельных нагрузок через параметры геометрии и степени чувствительности среды к виду напряженного состояния.

• Проведено сравнение решений, полученных аналитически при помощи жестко-пластической схемы решения, с численными решениями для упруго-пластических сред с зависимостью характеристик деформирования от вида напряженного состояния.

Научно-практическое значение. Результаты работы могут быть использованы во всех отраслях промышленности, где используются пористые, гранулированные микронеоднородные материалы, такие как графиты, чугун, бетон, некоторые полимерные материалы, конструкционные стали, керамические материалы и другие. Конкретные рассмотренные примеры решения задач имеют непосредственное отношение к механике деформирования горных пород, геологическим и строительным расчетам.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, были обсуждены на научно-исследовательском семинаре кафедры теории пластичности МГУ под руководством проф. Е.В. Ломакина, научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости МГУ под руководством проф. И.А. Кийко, научно-исследовательском семинаре

кафедры механики композитов МГУ под руководством проф. Б.Е. Победри, научно-исследовательском семинаре кафедры газовой и волновой динамики МГУ под руководством акад. Е.И. Шемякина, Ломоносовских чтениях МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2006), Международной конференции "Advanced problems in mechanics" (St.Petersburg, 2006.), IX Всероссийском съезде по теоритической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в семи работах.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 99 наименований. Работа изложена на 177 страницах машинописного текста без приложений и содержит 82 рисунка.

2 Краткое содержание работы.

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дан обзор существующих подходов к описанию закономерностей деформирования сред, в которых процессы сдвигового и объемного деформирования взаимосвязаны, сформулированы цели исследования.

В ГЛАВЕ 1 проведен анализ определяющих соотношений и уравнений, полученных на основе закона пластического течения, ассоциированного с условием пластичности, представленном в следующем обобщенном виде:

= = (1)

Здесь £ = и/сто — параметр вида напряженного состояния, характеризующий в среднем соотношение между нормальными и касательными напряжениями в точке сплошной среды, а = 1/Зстй — среднее нормальное напряжение, cr0 = у/3/2StJS,j — интенсивность касательных напряжений, StJ = atJ — a8i3 Не нарушая общности, можно принять, что при чистом сдвиге (£ = 0) значение функции /(0) = 1. Тогда к = \/3т3, где ts — предел текучести при сдвиге. При произвольном виде напряженного состояния параметр £ принимает значения в диапазоне от —оо(равномерное трехосное сжатие) до оо(равномерное трехосное растяжение).

Принимая различные аналитические выражения для функции /(£), для данного критерия пластичности можно получить некоторые из известных условий пластичности для гранулированных, пористых и поврежденных сред. Если принять функцию /(£) в виде линейной функции

/(0 = 1 + (2)

то придем к обобщению критерия Кулона-Мора. Можно также получить условие пластичности Грина, если принять функцию /(£) в виде

т = ч/гт^ё (з)

При /(£) = 1 условие (1) совпадает с условием пластичности Губера - Мизеса ег0 = к.

Принимая ассоциированный с условием (1) закон течения ё,} = к'дР/дсг,], в случае жестко-пластического тела получим связь между скоростями деформаций и напряжениями

¿^ = л'[1/зкт,+ттвь/ц, =до - то,

Ы = 1/ЗЛ2(С) + 3/2А2(0).

(4)

Функции А(£) и Л(£) и их производные связаны соотношениями А(£) +

ел(О = /(О.А'(О + «А'(О = 0.

В случае плоской деформации ¿33 = ё13 = ё23 = О и, воспользовавшись соотношениями (4), можно выразить напряжение <733 через оп,<т22,012 и исключить его из условия пластичности (1). В результате получим

„ _ 2 Л(0 _ Л2(011/2 „ „ „ Л(0

50 - у/Щ\Ы - сг22)2+4а?2]1/2, 5 = 1/2((7Ц + а22). Вводя параметр С = З/Бо, с помощью (5) можно выразить через

с = К + 1/9Л(0/А(0][1 - 1/9Л2(0/А2(0]1/2. (6)

Равенство (6) определяет взаимнооднозначное соответствие между £ и £ при выполнении условий

ЗА(0>|Л(0|, Л'(0> 0.

Параметр £ и напряжение So можно выразить через 5. Тогда известные формулы для напряжений в случае плоской деформации могут быть представлены в виде:

<711 = 5- kF(S) sin 20, £722 = S + kF(S) sin 20, <712 = kF(S) eos 20, (7)

где 5 = 1/2(<7ц + (722), 6 — угол между осью Х\ и направлением площадки, на которой действует максимальное касательное напряжение.

При нахождении аналитических решений краевых задач с использованием представлений (2) - (3) в случае условий плоской деформации задача сводится к решению системы уравнений:

5.1 -kF'(S)(S,i sin 26» - 5,2 cos20) - 2kF(S)(0acos2O + 0,2sin20) = 0,

(8)

5.2 +kF'(S)(S,1 cos20 + 5,2sin20) - 2fcF(5)(0,isin20 - 0,2 cos 20) = 0. Для случаев (2) - (3) F(S) представляется в следующем виде.

F(S) — m[C~l — S/k), m = УзС/л/9 - С2, в случае /(£) = 1 +

^(5) = 0 ~ PS2/k2, (3 = а/(l+a/9), в случае /(0 = л/l + af 2.

(9)

Параметры С и a для данных видов зависимостей /(£) представляют собой степень поврежденности среды, пористости или степень чувствительности материала к виду напряженного состояния.

Для приведенных видов зависимостей /(£) при некоторых ограничениях на параметры С и а система (8) является гиперболической и возможно построение решений методом характеристик. Также для данных видов зависимостей /(£) возможно интегрирование соотношений вдоль характеристик и построение аналитических решений. В общем случае

уравнения характеристик и соотношения вдоль них имеют вид: <1x2 _

(1X1

-cos 20 ± VI -fc'2F2

-kF' + sin 20 2 kFdO

= 0.

VI - к2Рп

Для зависимости /(£) = 1 + С£ уравнения характеристик и соотношения

вдоль них имеют следущий вид:

dx2 — cos 20 ± у/1 — тп2 \/1 — т2

dxi

m + sin 20

2т

ln(l - СТ) ± 0 = const. (И) к

Если функция /(£) представлена /(£) = л/1 + а£2, то уравнения (10) имеют

вид

з + /з

/3

¿Х2 dx i

arcsin

cos20=fc ^/(1 —/35/fc)2/[3(l — ¡3S2/k2)\ (]S/ky/3(l - (3S2/k2) + sin 20

PS

3 к

arcsm

kyj 3(1 - (iS2/k2)

20 = const.

(12)

Также в данной главе показывается, что можно получить систему уравнений для скоростей

(«1,2 + v2,i) tg 20 + v1:1 - v2,2 = 0, (z>i,i + v2i2) cos 20 + (vlt2 - v2,i)kF' = 0.

(13)

При этом характеристики системы уравнений (13) для скоростей совпадают с характеристиками уравнений для напряжений.

В ГЛАВЕ 2 для критерия пластичности (1) и конкретных видов зависимостей /(£) = 1 + и /(£) — \/1 + рассматривается аналитическое решение различных задач, при помощи жестко-пластической схемы решения.

Рассматривается задача о растяжении полосы, ослабленной угловыми вырезами (Рис.1). Полоса растягивается при помощи силы Р. Величина

скорости растяжения полосы вдали от вырезов предполагается равной V, берега вырезов свободны от нагрузки. Глубина вырезов предполагается хотя и произвольной, но достаточно глубокой, в противном случае предлагаемый вид пластических областей, представленный на рисунке 1, может не реализоваться.

Рис. 1: Растяжение полосы, ослабленной угловыми вырезами.

В данной задаче для зависмости /(£) — 1 + и для предложенных форм пластических областей восстанавливается поле напряжений в области СШММ, используя которое находится значение предельной нагрузки:

где 1рп - угол между нормалью к границе выреза и осью а^.На рисунке 2 изображено несколько зависимостей предельной нагрузки деленной на А; и на 2Л от С для разных углов надрезов. Таким образом, видно, что предельная нагрузка падает с ростом значений С для всех углов вырезов и не учет введенных здесь свойств в критерий может достаточно сильно изменить

~— ехр(-(2т/ч/1-т2)[тг + </>„])] , (14)

1+771

результат. Для этой задачи построено поле скоростей, причем в данном

Рис. 2: Предельная нагрузка деленная на к и 2Л в случае (2) где а) <рп — -тг/2, б) <рп = -тг/2 - тг/10, в) <рп = -тг/2 - 2тг/10, г) у>„ = -тг/2 - Зтг/10,д) <Рп = -тг/2 - 4тг/10, е) <рп - -7Г.

случае это удалось сделать аналитически и построенное поле скоростей непрерывно.

В случае зависимости /(£) = \А + а£2, используя постоянство параметров 5 и в на границе вырезов, возможно найти выражение для 5 на срединной линии ОМ после чего получить выражение для ег22. Такая последовательность действий при условии гиперболичности системы позволяет определить значение предельной нагрузки. На рисунке 3 приведена зависимость предельной нагрузки от параметра /3 = а/(1 + а/9) для различных значений параметра геометрии (рп.

Следующий рассмотренный пример — это задача о растяжении полосы с круговым отверстием. Полоса, приведенная на рисунке 4, растягивается силами Р со скоростью V", границы отверстия свободны от нагрузок. При этом, также как и ранее, предполагается достаточно большой размер выреза,

Рис. 3: Предельная нагрузка деленная на к и 2h в случае функции /(£), представляемой выражением (3): а) <р„ = —7г/2, б) <рп = —гг/2 — 7т/10, в) <р„ «= -7г/2-2тг/10, г) <р„ = -тг/2-Зтг/Ю, д) <¿>„ = -7г/2-4тг/10,е) у>п = -тг.

то есть радиус кругового отверстия достаточно велик по сравнению с общей шириной полосы. Рассматривается вариант линейной зависимости критерия пластичности от параметра вида напряженного состояния В данной задаче существует несколько возможностей построения линий характеристик системы (8). Поскольку круговой контур отверстия свободен от нагрузок, то к нему может прилегать осесимметричная область логарифмических спиралей — ABC, а к свободным прямолинейным боковым границам — поле одноосного растяжения ECD. Положение точки С не определено однозначно, это означает, что можно построить множество решений, меняя положение точки С на срединной линии и уменьшая или увеличивая тем самым области спиралей или одноосного растяжения.

Для устранения данной неоднозначности находится значение предельной нагрузки для произвольного положения точки сопряжения областей и, воспользовавшись утверждениями экстремальных теорем, осуществляется выбор координаты для этой точки.

Формулу для предельной нагрузки в данном случае можно представить в виде

™ „ Г' к Г 1 -ш /р\-2т/(1-тЛ Г*2к ГП л

Уд с[ Т+ш(л) Г+ЧгСТ^ (15)

Минимальное значение Р достигается при минимально возможном значении радиальной координаты точки сопряжения р*, т.е. при р* = Я. Это означает, что область с логарифмическими спиралями отсутствует и выражение для предельной нагрузки представляется следующим образом:

Р= (16)

О 1 + тп

Полученное в данном решении поле напряжений, можно распространить на все тело, продолжив его вдоль оси Х2 нулевым напряжением о22 в ослабленном сечении. Таким образом, получим статически допустимое значение предельной нагрузки, которое совпадает с (16). Таким образом, полученное решение является полным, как и в случае известного решения данной задачи с использованием критерия пластичности Губера-Мизеса.

В качестве еще одного примера рассматривается задача о растяжении полосы с вырезами с круглым основанием. Геометрия приведена на рисунке 5. Вырезы, как и ранее, предполагаются произвольными, но достаточно глубокими. Границы вырезов свободны от нагрузок. Рассматривается критерий пластичности в виде (2). Построение поля характеристик здесь возможно двумя способами и выбор одного из них зависит от ширины ослабленного сечения, или от значения параметра И, и значения материальной константы С, входящей в критерий пластичности. Первый

Рис. 5: Вариант решения только с логарифмическими областями, вариант решения состоит только из двух логарифмических областей (Рис. 5).

VI?

Гу6в£кМмвс

только лоприфмичеом» линии характеристик

I I I I »1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

О 0.2 0.4 0,6 0.8 1

Рис. 6: Условие выбора вида решения.

Условие, когда такое решение возможно:

(17)

Стоит отметить, что в условие (17) включено значение <р, которое является функцией параметра С. Таким образом, в отличии от решения на основе критерия пластичности Губера-Мизеса, данное решение отличается тем, что условие выбора типа решения зависит не только от геометрических параметров , но и степени чувствительности пластических свойств материала к виду напряженного состояния. Значение предельной нагрузки в случае решения, основанного только на логарифмических областях,

р - - «1+№<->'<-»> - Чр^^-ц!-

На рисунке 7 представлены графики зависимости Р/кЯ от С для различных к. Данное выражение верно только в случае выполнения условия (17) для С и к.

Рассмотрено также решение, когда условие (17) не выполнено и множество параметров С и к лежит в заштрихованной области слева

Рис. 7: Предельная нагрузка, деленная на к, в случае только логарифмических областей для конкретных Л.

от линии, приведенной на рисунке 6. В данном случае предлагается рассмотреть возможный вид характеристик, представленный на рисунке 8. Область ВЕРС состоит из линий параллельных логарифмической спирали ВС и прямых линий исходящих из ВС под углом <р, как продолжение семейства а характеристик области СС'В.

Рис. 8: Вариант решения с дополнительными построениями. Для значения предельной нагрузки в данном случае получаем следующее

выражение: 2 кЯ

Р =

а - 1 + (0(*»-Ч/(»-1> - Л (т~1)2 V у (тп + 1)(3тп

+

+ 1

где

(т+1)(Зт-1)_ - [^ехр (-(2т/х/Г^) [|])] [Л/Д+ 1 - а], (18)

На рисунке 9 в случае Я = 1 приведены зависимости предельной нагрузки, деленной на & и на Я, от параметра С для различных значений параметра к.

Рис. 9: Предельная нагрузка, деленная на к, в случае решения с дополнительными построениями для конкретных Л.

Таким образом, получено решение задачи о растяжении полосы с вырезами с круглым основанием. Отличием от классического решения в данном случае является более сложное условие выбора вида решения (17), а также построение полей характеристик. Здесь переключение с построения решения в виде только логарифмических спиралей к решению с более сложным построением поля характеристик зависит не только от одного геометрического параметра Л, а еще и от параметра С определяющего свойства материала. По сравнению с решением в случае критерия Губера-Мизеса при к > 3.81 для достижения предельного состояния необходимо вовлекать в пластичность значительно большие области тела.

Рассмотрена задача о клине под действием одностороннего давления (Рис. 10).

Рис. 10: Клин под действием одноосного давления.

На линии ОБ действует равномерно распределенное давление р, граница клина АО свободна от нагрузок. Угол раствора клина 27 предполагается достаточно большим, чтобы в представленном на рисунке 10 поле характеристик существовала область с центрированным полем ОВС.

В случае критерия пластичности с зависимостью от параметра вида напряженного стояния в виде (2) значение предельного давления выражается следующей формулой:

2т

к Г 1 +т

,(27-тг/2)

(19)

ТП1

На рисунке 11 представлены зависимости предельного давления для конкретных углов раствора клина 7.

О 0.2 0.4 0,6 о.8с

Рис. 11: Предельное давление, деленное на к, для конкретных углов 7. Рассмотрен также случай, когда /(£) представлена в виде (3). Для

18

Р/к

2.5 2

Р/к

2.5 2

1.5

У = ЯЯ-ГО20

Р/к

г

1.5

Р/к

г

1,5

У~П2-Ъ№20

0 0,05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 0.05 0.1 0.15 0,2 0.25 0 0.05 0.1 0,15 0,2 0,25 0 0,05 0,1 0.15 0.2 0.25

Р Р Р Р

Рис. 12: Значение предельного давления деленного на к для /(£) в виде (3).

этого случая зависимости предельного давления р от параметра степени чувствительности к виду напряженного состояния приведены на рисунке 12 для различных углов раствора клина.

Из приведенных результатов, видно что результат зависимости предельного давления от параметров степени поврежденности среды качественно разный. Дано объяснение этим эффектам.

В ГЛАВЕ 3 рассматривается общая структура современных прочностных конечноэлементных программ на примере системы АВАС^иБ. Показывается общая схема получения нелинейных уравнений в случае включения в модель физической и геометрической нелинейности. Подробно разбирается способ встраивания модели физически нелинейного материала, описанного пользователем. В качестве примера такого материала рассматривается изотропная упруго-пластическая модель материала с критерием пластичности (1) в случае линейной зависимости (2) от параметра

В ГЛАВЕ 4 на основе построенной подпрограммы для выбранной модели материала строятся численные решения задач, рассмотренных в главе 2, но с учетом упругих деформаций и незначительного упрочнения. В качестве свойств материала для решения задач использовались следующие значения:

Е = 200000, V = 0.3.

Конечноэлементная программа АВАС^иБ всегда работает в безразмерных величинах, выбор единиц измерения для модуля Юнга, автоматически

определяет единицы измерения для результатов и моделируемой геометрии. Можно считать, что модуль упругости и предел текучести задаются в единичных напряжениях.

В данном случае параметр к не является постоянным, а представляет собой функцию параметра упрочнения, в качестве которого использовалась

упрочнения представлялась в виде кусочно линейной, проходящей через точки

Во всех рассматриваемых задачах: расчет происходил всегда с помощью объемных восьми узловых полностью интегрируемых элементов; во всех моделях для получения правильной постановки задачи плоской деформации использовалось условие симметрии относительно плоскости моделируемого сечения; перемещения прикладывались всегда только по нормали к границе, так что перемещения вдоль границы возможны; расчет производился в геометрически линейной постановке; начало системы координат располагалось в центре сечения рассматриваемого образца.

В качестве первого примера рассмотрено численное решение задачи о растяжении полосы, ослабленной угловыми вырезами (Рис. 1). Постановка задачи аналогична постановке в рассмотренном ранее аналитическом решении. В расчетах задавались нормальные перемещения верхней и нижней границ тела. Предельная нагрузка определялась как суммарная сила реакции в направлении оси Хг- При этом, так как сечение имеет две линии симметрии, то моделировалась только четверть геометрии с соответствующими условиями симметрии на узлах модели. Параметры геометрии выбирались следующие: ширина 2Л = 2, рассмотрены два значения углов вырезов 27 = 0 и 27 = п/2.

Из результатов расчета видно, что процесс формирования пластических областей и сами области пластичности в предельном состоянии существенно отличаются от областей, рассмотренных в аналитическом решении. Данный факт свидетельствует о том, что кинематически возможное аналитическое

эквивалентная пластическая деформация ер1

Функция

Л(0.0) = 200, £(9.0/104) = 220, Ц2.2/103) = 225.

решение, построенное с использованием метода характеристик, по своей форме отличается от численного решения, в котором учитываются упругие деформации и незначительное упрочнение материала.

На рисунке 13 показан характерный вид пластических областей в предельном состоянии. Видно что срединная область полосы остается упругой.

р/2кь

1.8

1.4 1,2 1 0,8

\ •••• Численно*ращение (ТИ/4)

--Аналитическое решение (1^4)

Численное решение —— Аналитическое решение (>0) - Статически вомюкное решение

Рис. 13: Область пластичности.

О 0.2 0,4 0.6 0,8 1 1,2 1,4

с

Рис. 14: Предельная нагрузка.

Проведен анализ соответствия значений нагрузок, отвечающих предельному состоянию, полученных путем численного решения упруго-пластической задачи и на основе аналитического решения. На рисунке 14 изображена зависимость предельной нагрузки от значения константы С. Видно, что различие полученных значений предельной нагрузки велико при малых параметрах С, при этом начиная со значений С > 0.5 расхождение существенно меньше.

Данный факт можно объяснить с точки зрения экстремальных теорем о значении предельной нагрузки. В аналитическом решении для полосы, ослабленной угловыми вырезами, было построено кинематически возможное решение, которое дает оценку значению предельной нагрузки сверху. Если построить статически возможное решение, то оно даст оценку снизу. В аналитическом решении на линии ослабленного сечения можно задаться постоянным полем напряжений <722 = Р/2Н и продолжить это поле в

область всего тела, тем самым получим статически возможное решение. На рисунке 14 штриховая линия отвечает статически возможному значению предельной нагрузки. Видно, что полученные на основе численных расчетов значения предельной нагрузки, лежат между значениями, полученными аналитически.

Рассмотрено численное решение задачи о растяжении полосы с круговым отверстием. Постановка задачи аналогична рассмотренной ранее аналитически. Предельная нагрузка находилась как суммарная сила реакции на узлах границы. Учитывая симметрию, моделировалась только четверть сечения. В качестве параметров геометрии выбраны следующие: половина ширины полосы h = 2 и радиус отверстия R = 1.

На рисунке 15 штрихами показана пластическая область в момент достижения предельного состояния для значения параметра С = 0.5. На рисунке 16 представлена зависимость значений предельной нагрузки от параметра С, полученная численно и аналитически.

Сравнивая формы пластических областей, изображенных на рисунке 4 и рисунке 15, приходим к заключению, что кинематически возможное поле скоростей в аналитическом решении существенным образом отличается от численного решения. В то же время предельные нагрузки в обоих решениях

х,

Рис. 15: Область пластичности.

0 0,2 0,4 0,6 0.8 1 1,2 1,4

С

Рис. 16: Предельная нагрузка.

имеют близкие значения.

Рассмотрено также численное решение задачи о растяжении полосы, ослабленной вырезами с круговым основанием. Ограничимся рассмотрением случая, когда в аналитическом решении удавалось построить пластическую область в виде только логарифмических спиралей, то есть выберем ширину ослабленного сечения достаточно малой, чтобы удовлетворить условию (17). В качестве параметров геометрии выбраны следующие: радиус основания R = 1 и ширина сечения 2h = 2.

На рисунке 17 штрихами показана пластическая область в момент достижения предельного состояния для значения параметра С = 0.5. На рисунке 18 представлена зависимость значений предельной нагрузки от параметра С, полученных численно и аналитически.

х,

2.4

♦ ♦♦ Численное решение -Аналитическое решение

О 0,2 0,4 0.6 0,8 1 1,2 1,4

с

Рис. 17: Область пластичности. Рис. 18: Предельная нагрузка.

Представленные на рисунке 18 результаты свидетельствуют о том, что предложенное аналитическое решение, являясь кинематически возможным, достаточно хорошо приближает значения предельной нагрузки для всего рассмотренного диапазона значений параметра С.

В работе проведен анализ соответствия значений предельных нагрузок, полученных аналитически при помощи жестко-пластической схемы решения, и численно с использованием упруго-пластической модели

материала, а также приведены иллюстрации, демонстрирующие поля напряжений, деформаций, перемещений и характер формирования пластических областей.

3 Основные результаты и выводы

1. На основе решения конкретных задач исследованы некоторые закономерности пластического деформирования сред, в которых процессы сдвигового и объемного деформирования взаимосвязаны и пластические свойства которых зависят от вида напряженного состояния. При этом использован критерий пластичности, представленный в соответствующем обобщенном виде и учитывающий зависимость предела текучести от параметра, представляющего собой отношение гидростатической компоненты напряжения к интенсивности напряжений. На основе ассоциированного закона пластического течения в рамках рассмотренного критерия пластичности оказалось возможным учесть необратимое изменение объема.

2. Для условий плоской деформации в рамках жестко-пластической модели материала решение задач сведено к решению системы уравнений в частных производных. Такая система, при некоторых ограничениях на зависимость от параметра вида напряженного состояния в критерии пластичности, является гиперболической, и получение решения возможно методом характеристик. В рамках таких условий для некоторых видов зависимости характеристик пластичности от параметра вида напряженного состояния были рассмотрены конкретные задачи: растяжение полосы, ослабленной угловыми вырезами; растяжение полосы с круговым отверстием; растяжение полосы, ослабленной вырезами с круглым основанием; клин под действием одностороннего давления. Во всех задачах были выделены характерные особенности, связанные с включением

в критерий пластичности параметра вида напряженного состояния. Были получены аналитические выражения для значений предельных нагрузок в зависимости от параметров геометрии и степени чувствительности свойств среды к виду напряженного состояния.

3. Установлено, что значения предельных нагрузок для всех рассмотренных задач существенным образом зависят от степени чувствительности среды к виду напряженного состояния и отличаются от значений, полученных в предположении о несжимаемости материалов и инвариантности пластических свойств к условиям нагружения. Это свидетельствует о том, что оценка значений предельных нагрузок без учета изменения свойств материала при различных видах напряженного состояния, реализуемого при нагружении, может привести к существенной ошибке.

4. При получении аналитических решений задач использовалась жестко-пластическая схема решения, что упрощает граничные условия для определения пластических областей . Пренебрежение упругими деформациями приводит к некоторой неточности, которую достаточно сложно оценить. Чтобы провести такую оценку были получены численные решения задач. В численных решениях использовалась упруго-пластическая модель материала. В качестве критерия пластичности использовался критерий с линейной зависимостью от параметра вида напряженного состояния. Численное моделирование проводилось в конечноэлементной программе АВАС^иЭ. Для реализации упруго-пластической модели была написана специальная подпрограмма, подключаемая при расчете и отвечающая за связь между деформациями и напряжениями.

5. В работе были проведены расчеты для различных значений коэффициента, характеризующего степень чувствительности свойств среды к виду напряженного состояния. Для конкретных значений данного параметра продемонстрированы поля напряжений

и распределение эквивалентных напряжений и деформаций при увеличении нагрузки. Показан процесс формирования пластических областей и поля перемещений в момент реализации предельного состояния. Получены также значения предельных нагрузок для разных значений характеристик материалов.

6. На основе сравнительного анализа численных расчетов с аналитическими решениями установлено, что форма пластических областей в решениях, полученных с учетом упругих деформаций, значительно отличается от рассмотренных в аналитических решениях. При этом значения предельных нагрузок укладываются в оценки, получаемые из экстремальных теорем.

7. В задаче о растяжении полосы, ослабленной круговым вырезом, в которой было получено полное аналитическое решение, значения предельных нагрузок практически совпадают с результатами численного расчета для всех рассмотренных значений параметра чувствительности среды к виду напряженного состояния. Аналогичный результат был получен в задаче о растяжении полосы с боковыми вырезами с круглым основанием в случае малой ширины ослабленного сечения. Значения предельных нагрузок во всем рассмотренном диапазоне значений характеристик материалов получились достаточно близкими к результатам, полученным численно, расхождение значений не превышало 9%.

8. Построение численных решений, с одной стороны, позволяют верифицировать соответствующие аналитические решения, полученные с использованием жестко-пластической схемы, а с другой стороны, вместе с аналитическими решениями, демонстрируют возможный способ учета изменения механических свойств материалов в зависимости от вида напряженного состояния и необратимого изменения объема среды.

Основные публикации по теме работы

1. Ломакин Е.В., Федулов Б.Н.. Предельное состояние полосы с угловыми надрезами из материала с зависящими от вида напряженного состояния свойствами. В кн.: Упругость и неупругость. М.: ЛЕНАНД 2006. С. 188-194.

2. Ломакин Е.В., Федулов Б.Н. Растяжение полосы с угловыми надрезами из материала с зависящими от вида напряженного состояния свойствами. Конф. Ломоносовские чтения. Тезисы докладов. М.: МГУ. 2006. С. 110.

3. Федулов Б.Н.. Предельное пластическое состояние полосы с отверстием из дилатирующего материала. Вестник Московского университета. Сер. Математика. Механика. 2007 (принята в печать).

4. Федулов Б.Н. Предельное состояние и пластическое течение дилатирующих сред. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Том III. Н.Новгород: НГУ. 2006. С. 210

5. Федулов Б.Н.. Растяжение полос из дилатирующего материала. Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2006. №6/1(46). С. 167-175.

6. Федулов Б.Н.. Растяжение полос с надрезами из материала, пластические свойства которого зависят от вида напряженного состояния. Деп. в ВИНИТИ 06.10.2006, № 1209-В2006.

7. Lomakin Е. V., Fedulov B.N.. Deformation and limit state of solids with stress state dependent plastic properties. Conf. Advanced Problems in Mechanics. St.Petersburg: IPME RAS. 2006. P. 58.

Подписано в печать \0, С Формат60x84/16. Усл.печл.

Тираж ДО 0 экз. Заказ О Ъ Отпечатано в Отделе печати МГУ

1 Теория пластического течения д и л а т и р у ю щ е й среды сзависящими от вида н а п р я ж е н н о г о состояния свойствами

1.1 Опрсдоляющио уравнения

1.2 Осноиныо {'оопюнюния для ус^чоинй HJiocKori д(ч})()рмации

2 Аналитическое ренгение конкретных задач

2.1 Рас1яженис нолосчл оачабленной угловглми вырезами

2 Полоса с KpyioBF.iM ()1верс1ием

2.3 Рас1яжение иолосы с вырезами с круглым основанием

2.4 Клин иод дсисчвнем односюроЕНкмо давле[Н1я

3 Численные методы ренюния з а д а ч д л я унруго-пластическихд и л а т и р у ю щ и х тел

3 Мсм од конечных элсчкмпов

3 Лл1 оригм ностро(М1ия мисченною решения

3.3 Численное интегрирование уравнений пла('1ичнос1 и

4 Построение численных решений задач

4.1 Рас яжение нолосы ослабленной угловыми вырезами

4 Полоса с круюиым огпсрстном

4 Рас ижснно нолосы с вырезами с круглым основанном 147Вывод1)1 161Снисок ли1ора1уры

В механике дсформируем1)1х чнердых тел наиболее ИЗВССТНЕЛ И Н1И[)ОКОиснол1>'5ук)И'я чакио крии'рии нласгнчносги как крн1срнй Треска икршерий Мнзсса. CyHteciByer же допаточно бол1)Н10й класс ма1е1)иалои,для K()iopF>ix данные крихерии не согласую 1ся с экснеримен1ами. Данныема1ериалы яиляюи'Я микронеоднородными — имеют Т1)ен1,ины, Hopi.i,вк:ночения и дру1ие особенносрн С1рук1уры. Такие маюриалы будучидоскиочно х[)ункими и обычн1.1х у^ювиях нри бо;Н)НН1х 1'и/1рос1агическихнанряжениях Moi'yr нроявлягь нлас1ические свойс1ва и наоборот н[)ибольнюм BceciopoiHievi рас1яжении ма1ериал в обыч1Н)1х усювияхнлас1ИЧ1н>и1 можег нрояви1ь свойства достаючно близкне хрунким.Деформи1)ование чаких маи'риалов может сонровождаться необра1и\н^1миобье\нн.1ми деформациями. Э ю т эффект нолучил название дшинансии ивиервгле жснеримеиишьно был обнаружен Рейнольдсом [95] и Н1к)являе1ся11аиболее ярко в деформировании СЕЛнучих сред.Основные сво[1С1ва материшгов, ко1О{)ые рассматриваю 1ся вданной работе зю oicyiciBHe "единой кривой"для зависимостиuc/K/iy ин1енсивнос1ью напряжении и интенсивное!ью деформации инеснраведливос1Ь обглчно иринимаемглх гиноим об унругой сжимаемостиL^'ia и иластической несжимаемое! и. Для М!10!Ч!х ма!ери1и!овзавиеимос!И ин1е!1сивности деформа!1,ии от !п!!енсив!1ости4нанряжсннй нри н[)ое1ом рс1С1ЯЖснии, сжатии, едви1е, двухоеном сжатиии других видах нагружсч1ия различны, причем расхождение диаграммможет быт1> весьма чиачиюльнос. Такими свойствами обладают нокоюрыскомно5ицио1ПИ)1е мачоришнл, конструкционные графи 1Ы, чугун, бсюн,некоюрые HOJHiMcpin^ e ма1еришн.1, к()нс1рукционные С1али, керамическиеMaiepHajHji и другиеПриведенные свойепш маи'риалов, выявление коюрЕлх нево5М()жн() сиснользованием классических подходов, зас1авляет вводи Т1> в к[)И1ериии оиределяюнще С()()1нон1ение новые HapaMeipFH, ко1()1)ые харамери^уютвид нанряженн()1 о сосюяния в /1,еформируемой среде. Одно и^ иервыхисследовании ыкою [юда на примере деформирования сыиучих сред сделалК. Кулон ен1,е в 1773 юду.Проспле и наглядные нредсывления об э(1)фек1ах изменениям('ханических свойс1в чакою рода сред ири [)си}личных видах пагруженпянродемонс1рированы в pa6oiax y^jnna |97-99|. Цел1> данных работ соеюяла визучении сжимаемосп! юрных нород нри дейсити Bceciopoinieio сжа1ия, ачакже модуля IOnia и ко)(})(1)ициен1а Пуассона при сжатии в зависимосхи откопцен1рации ipen^ni. Есчи предположиiF>, сле;;уя [97-99], ч ю ма1ериал TCjiaнзо1ропп1лй, идeaJП)Hoyи[)yгий, '1ре1цины ориентирован1>1 случайным образоми расположенI.I па досхаючном рассюянии друг от дру1а, чюбы можнобыло нренебречь их взаимным в.П1янием, то ecTF> случа!! досчаючно мшюйк()нцен1 рации ipeni,nH, ю чакой мачериал ыкже обладает изохроппЕлмпсв()йс1вамп. Весь обьем чела можпо р^избиП) па ()бье\П51 - ячейки содержапц1екаждый только одпу трепцтпу, и [кмпая задачу чо.чько для одной яч(Н1киможно получить ()С1)едненпые харак1ерис1ики для ijceio обьема. П{)ионределении своисчв UIKOIO Maiepn^ia можно рассма1[)нва1ь 1ренцп1ы в5виде В1)11яну1ых ^;ин1нсондов вран|,ения.При рассмотрении lejia, coдepжaн^eю 1ренц1ны с нулевым расхождеЕнюм6e[)eioB, для ')(|)фек1ивного модуля обьечнюю расн1иреиия К^ в ус;ювияхилоскою наиряженною сосюяния нолучаем еледуюи1ую формулу [97|'К^ К [ "^ " 3(1-21/) у"J 'где К \\ V — моду;н. обье\нк)го сжа1ия и ко)ф(})ициент Пуассона cиJЮHIнoгoматерншга, / средняя нолудлииа треицн!, v - средний обьем выделенныхячеек тела. Опюнк'ние t^fv характеризует концеи1рацию трещин в теле.При деис1вии всесюроннею сжа1ия трен1,ины закрЕлты, и отЕюсиЕелЕ>Е1оеиеремеи1ение береюв [завЕЮ ЕЕулЕО. В эюм случае модулЕ) ')с{)фективЕЕОЕообЕ>емною сжашя К щ\\о\\ мо/Еулю ()бЕ>емЕЕ()ЕЧ) сжатия маи'ришЕаК- = К. При одноосном рас1ЯжеЕН1и нроисходит 1)аскрЕ)11ие бо;нлЕЕИЕЕСЕЕ5а треищн,id ИСКЛЮЧеЕ1ИеМ ТреЕЕЦНЕ, ОриеЕЕИЕрОЕШЕЕЕНЛХ Е}ДОЛЬ ЕЕаЕЕраЕЗЛеЕЕИЯ ДеЙС1ВИЯнагрузки При ) ю м мо^1уль ЮЕна ЕЕри расЕяжении п ус1Е0виях ЕЕЛОСКОЕХ)1ЕанряжеЕ1ЕЕ0Е0 сосюяЕЕНя oиpeдeJIяelcя ВЕлражением_L-iгде Е — модуль ЮЕна в СЕЕЛОИЕЕЮМ мaтepиaJEe.Данный пример демопстрирует нрпро^;у зависимости харак1ерис1икмаи'риача от вида напряженною сосюяния Далее бу;|ут нриводи1ьсяпримеры подходов уже более б.чизких к нластнчпоси!. Дос1аючно близок7к Н[)одыдун1ему кршерий равновесня сынучнх с[)ед сфо[)мулированныйКулоном, о важнос1и работ коюрою уже уноминшюсь.|Г„| = ЩрСц 'Г к, \1)где носюянные р и к назьншюи'я, как нравило, угол суюго трения исцепка COOIBOHTBOHHO, 'ОЮГ криюрнй огличаеи-я ог исно.чыуемо1о ранее'iojH>Ko НШ1ИЧИ0М сценкн. Такой к{)И1ерий как нравило н^иываюг гнно1езойМора-Кулона. Соо1ве1С1вуюн1,им обобн1,ением данною кри1ерия являе1сяС1едуюн1,ее усювие теченияС() + С(Т = к, (2)где С и к ЯВЛЯ101СЯ ноложи1ельными конс1ан1ами для каждой 'ючкнсред1>1, а = (Тц/З — сродноо нормачьноо нанряжо1Н1о, <7о =— инюнсивносгь Kaca'iojHiHbix нанряжоини, гдо Sij = Oij — adijдевиаюр 'имгзора нанряжонии. Данное у(х.ч()вио, обоби1,онно HCHOJH»зовалосьв pa6oiax Д Друкко1)а и В. П[)а1е1)а нанболее ишенсивно, и в современноевремя досиючно часю модель нлас1нчносгн с данным крн1ерием теченияназываок'я мoдeJП>IO нлас1нчносги Друккера-Пра1ера. Дшюе в данной pa6oie')1ог крнюри!! везде 6y/i,ei' на:зыва1ься кри1ерием Ку;юна-Мора. К чакомувиду соо1ношения нриишо мною авюров [И, 52, 53, 61, 69, 83] .В pa6oie Р. Дж Грина [21] уа/ювне нласпрнюсгн для норнсплхмаюришюв нринимшчось в виде2 I 2 гз 2 t't\(TQ-\-a(T = (ic7^, [Л)гдо (Ts нродол 1екучес1Н ма1ериш1а илогной (j)ii3bi н[)и рас1яженнн,коэффициенты а и /i 'зависели от иорисгосги среды. Резу.чьтатЕл Гринаиснользовшнюь для анш1иза нроцосса нлас1ическою деформнрованняиористою лис1а в условиях н;юскою нанряженного сосюяния с цо.чыо8онределения влияния иорнсюсхи иа форму и[)едельи()10 KOHiyi)aнлас1ичносги [37]. Рассмо1реиы чакже различные м()ди([)икации моделиГрииа для уир()чняюнц1хся мачериалов [23, 51, 55, 62] .В рабо1ах [85, 8G] оиисьитеи'я моде.'н> для исследования иласшческоюдеформирования чу1уиных \iaiepHajiOB. В качес1ве крии'рия иредлагае1ся15d'a)б)в)Рис. 3- Рас1ЕЕиринЕ1ая моде;ЕЬ Друкора-Г1раЕе[)а- а) линейЕ1ый криюрий, б)1'инерб()личсский критерии, в) кри1ерий в обобн1;енной оксЕЕОнсЕЕЕщальЕюйформе в плоскости сто - (т.Параметр ef предсишляет собой 'жвнвалешные пластические деформациив случае 1)ас1яжения, функция гтДе '^) онроделяе1ся из оньпа на растяжение,анш1О1ично, для сжашя определяйся ad^^J'). На рисунке 4 нока^шно каксостыкую1ся две данные функции в нлоскости «то и а нри prLijHPiHbix 9 .ffiРис. A: К[)И1ерий модели чугунной средЕЛ в нлоскос1И OQ - а.Аналогично нреды;1ун1,им моделям иснользустся чеория нлас1ическо1о'ючения и в качестЕК* нои'нциала, 'ык же как и ранее, Н1)едла1ае1ся функцияотличная от кри1ерия, но сос1авная чакже как и крии'ри!!. Свя^ь междуде(})ормациями и напряжениями слгде HOieini,Haji G может принимать два ВЕ>фажепия Gt HJHI GC В зависимое!Иот характера нанряженпою состояния, функции Gi и Gc определяютсяследуюнцЕми условиями:при — <т ^ —.о17область сжатияРие. Б: П()1енциси'1 модели чу1у1И10й средгл в илоскосчи GQ - а.Таким обрагюм Gt ')io значения HoieiH^iajia в условиях рапяжения, а Gcсоо11Ю1СГЕ«мнк)сжагня, нереход между функциями гладкий, Gt иредсывляегИ'} себя уравнение )ллинса в нлоскосги сто - сг (рисунок 5), где иараме1р а ecibeHHe между нолуосями и оирсделяеи'я и j •)ксне[)имен1ов.Еще один нодход нолучил отражение в рабоых Гурсона |84], н досшючноиснользус1ся иримени1е.чьно к норисгым мсиишам Крн1ериннласгичносги нредскшлялся в wuviyioineM видегде функция / зависит от норнеiосiи среды Значение / = О оп5ечаетсосюянию oicyiCTBHio нор или HOJHiocibio HJioiHOMy Ma'iepHfuiy, значение / =1 означает, чю мачерн^ш н()лн()С1ыо исчериал возможность нести нагрузку.Во всем мноюобра'зии расемогренных нодходов наглядно иоказанатенденция введения в онределяюн1,ие еоопюн1ения нараме1ров виданаиряженного сосюяння. KCJHI НОНЫЫГЬСЯ сдела1ь какие-либо вьнзодыили обобн1,ения, то еюнг огменпъ, чю во многих pa6oiax носгзященпыхэкенернменым и их а1Гсин1зу де.таеюя В1лвод о мшюй и.ти не'значииччьной20'ШИИСИМ0С1И МОХСШИЧССКИХ хлрак101)ис1ик or парамогра подобия д('ииа1О[)оинапряжения В илп, чю 'южо самое, ог napaMCipa Лоде ц„ В силу эюговыберем cjKViyion i^e кри1ерии плас1ичпосгпао -I- Са = А:кри1е[)ий, коюрый мы будем далее пазыватЕ) крп1е1)ий Кулопа-Мора илп'1 ипа Кулопа-Мора,3 + П(Т'^ =кри1ерий, KOiopi.ni дш1ее будет именовап.ся крн1ерий Грипа,Э10 соогпоп1еиия будем пазываП) моди(})ицпровап1П)1М njni иросюкри1ерием Гу1)сопа. 11оп1>11аемся ироиес1П песложпый С1)анпи1ельпыйапа^'пи приведеппых крп1ериеиКрии'рий Гурсопа вьп'лядиг наверно паиболее сшожпым, в еюВ1>1ражение входит [инерболпчсч'кий коеппус, даппая ({)ункцпя мешая и в{)а-и1ожении эюй функции в ряд Тейлора буду! учас1вова1ь юлько четныеcienenn аргумент. /I,oriaio4no eeiecujeinio унроети1ь данное выражение ипренебречь членами ра,}ложенпя со степенями вын1е и равными чегверюй.PaccMoipHM, нанример, просю одпооспое рлсмяжепие, югда огногпеппе(г/аг будет примерно равпым 1/3, учп1ывая, чю коэффпциепгы r/i иг/2 обглчпо порядка единицы, ю а1)гумент гиперболического косинуса вчетверюй (ченени будет равен прпмерно (1/2)', nocuie чею, ecjni учестьен1е множи1ель 1/4! п ({)упкцпю порисюсти / равпую, нанрпмер, вначале паг1)ужепия 0.04. То ecib очевидно, что влияпие С1еиеией CTapnieдвух в рагзложеппи гинерболпческого косинуса незначи1ельно. В pa6oie21[72], в коюрой paccMaipuBciciCH численное инюгрнрование luiaciи рассматриваемся в качос1вс примера соопюшеиия Гурсопа, функцияcosh(a") н[)0С10 зам(М1яЛс1сь на 1 +х'^/'2. При чакой замене соопюшсния (6)11срснин1у1ся в ало;;у1()1цой фо1)мс.(7)Чонорь сравним иолучепнос В1>1раж('нио с криюриом, Н1)одло/кспн1)1м ГриномЛорко замсгиП), ч ю соогнонюния Грина и Гурсона имеют одинаковуюнриро;;у. Можно paccMaipHBdib иолучсиный резулыат, как нримернредс'1авл(М1ия коэффициенюв а и /i для coouioHieiHui Грина.Предсггшим тенерь образец, нанримс^) цилиндрический сплоннюи,коюрый расчяриЕшк)!'. При эюм в качестве граничных условий испольчуюхсяне{)еме1цения, и \\ы (У1едим за реакцией сил, возника1он1,их на каждом Hiaieнаг1)ужения образца. И носгроим качесгве1Н10 диаграммы пересчиынноюс силы реакции напряжения и деформации иолуче1нюй с данных онриложеннрлх перемещениях. То ecib диаграмму аи - £\i (рисунок 8).Зависимое 1Ь, получеппаи при помопщ со()1нон1епий Грипа шт Гурсона,долыне будет ос1ава'1ься унруюй, но имеет ючку нерегиба HJHI .максимум,иосле Koiopoio образец начнет '1ерят1> несун1ую снособнос1Ь и диа1раммабудет снижа1ься. Э ю обьясняется рабоюй функции /, коюрая изначшн.побыла дос1аючно ма.ча, а при иоявлении рас1ягиваюп1,пх нанряженияхначинает увеличива1ься с ростом новых нор и дава'11> бо.чьп1ую возможное!ьвлия1Ь на крихерий пластичпос1И ппвариап1у а, 1акже ко)(1)(|)пцпепт прпа г в (7) начинает умепьнииься. По шк как нанряжения в пачаче процессанагруже1П1я не умен1)1па101ся, э ю засшвляет нарамец) (Тг уве.чичиваться, но22больпшм значениям ат соответствуют все большие значения эквивалентнойпластической деформации и, как следствие, мы получаем снижениесопротивления образца пластическому деформированию.Зависимость, полученная при помош,и соотношений Кулона-Мора, нрипостоянном коэффициенте С, начнет пластическое течение несколько раньшенри растяжении в силу присутствия гидростатики в критерии. Далеедиаграммы пересекутся в некоторой точке, но тем не менее, диаграмма будетвсе время возрастать в отличии от критериев Грина или Гурсона. ДалееРис. 8: Сравнительные диаграмы растяжения/сжатия для критериев Гурсонаи обобш,енного Кулона-Мора.допустим, что образец сжимается, по тем же правилам, что и растягивался,и мы имеем возможность наблюдать диаграмму аи - ЕЦ. Тогда зависимость, полученная при помош;и моделей Гурсона илиГрина, будет похожа на обычную диаграмму, полученную классическимисоотношениями Мизеса. Это объясняется тем, что механизмы образованияпор в данном случае работают по другому. Параметр fgr будет даватьнаоборот отрицательный вклад в образование пор, так как он зависит отдилатансии. Второй же источник нор fnud не уснеет заработать эффективно,а для этого надо набрать достаточно большие деформации близкие к ггдг,23ири ко1О[)ых досгираои'я максимум роема fnnd, но учиплиая, ч ю б.чаюдарявюрому e^ 'iai^ tieMOMy но1)И('1ос1И норгл нропо 'залечиваюICH, 'Ю eeii> наоборотисчезаю!', эю нрон'юйдег не быстро Ири эюм сюиг отметить, ч ю кри1ерийилас1ичнос1и BF)IHOJHIHICH ирн iex же напряжениях, ч ю и нри расчяжении.Э ю обьясняои'н чем, чю гидросматика входит в крнк'рии через четныефункции.Завн('имос1ь, нолученная н[)и номонщ соотнонк'ния Кулона-Мора, вусловиях сж^1тня будо1 отличаться от зависимое!ей Грина и Гурсона чем,ч ю нарамеф а, вxoдян^ин в крихерий линейно, ср<'1зу oipeaiHpyeT на 'ю, ч юнроисходит сжатие, он нросю будет офица1е;н>ным и будет расчи ио меренаг[)ужения, ч ю и ириведет к более нov^нeмy вынолнению кри1е1)ия. Ириэюм сама диаграмма унрочнення будет расти круче, чем ири HCHOJH>'JOBaHHHкри 1ериев Грина, Гурсона и Ми jeca, но разница нри э юм у диаграмм КулонаМора и Ми^еса будет .чине{н1ая с коз(1)фициен'юм - С/3 Н1)и одинаковглхHapaMeipax унрочнения.Сюит О1овори'11>ея, чю в данном нримере И1)еднолагш1ось, ч юзависимость функций, вводянщх нараме1р уирочнеиня в крн1ерий, чакимикак зависимость а г от, наиример, иараме1ра е''', хоть и нолагаеи'я досыючно()бн^eй, но все же MOFIOIOHHO возрас1а1()Н1,ей, и условие рае1яжения с контролемнеремен1,еиий важно для демонеi рации лока.чьно1О максимума в диаграммеГурсона и ['рина нри расгяженнн, иначе обрсиец иросто рги«)рве1ся иосле'ючки максимума./1,аннЕ>1й иример иллккчрирует дна нодхода учеы влияиия видананряженною состоя1Н1я в снлониюй среде на нроцеес нлас1ическо1оде(1)ормировання. Оба нодхода реа^чнзованы с учеюм среднею напряженияа, но включение (чо в.чия11ия на критерий чекучести в данном случае было24В1>н1о.чнено сун10Г1В(ми1о {)си1ил\п1 снособами. В иервом случае - эюноведенно функции /, коюраи но раиюму реагирует на pa3iH)ie деформации,во вюром случае э ю нросю '}нак нараме1ра а При эюм сюиг огмеипь,410 С001Н01Н0НИЯ Кулона-Мора в огличие ог соопюнгений Грина и Гурсонасмоделировшн1 разные нреде;И)1 чекучесгн на расгяженне и сжа1ие, тодопаючно ха[)ак1ерно для сред, о коюрых идет реч1> в данной pa6oieЕсли 1)ассматриваг1> 01И1санные нодходы, нолучивнк'е свое рагзвигие вoiHO('HiejH)HO недавнее время, чо все они, laK и;н1 иначе, ближе либо ксооиюн1ениям Грина, либо Кулона-Мора, .чибо являю1ся их комноиищейKfiK, нанример, модель чугунных сред [85, 86], коюрая в качестве крии'рияначала чечения иснользуег нрн расчяжении фактически условие КулонаМора, а в облас1и сжагня — ')io нросю условие Мизеса. При ')юм но1е1П1,иш1,выбранный для новедения чечения, очеиь наноминаег модели 1'ринаили Гурсона. Сюиг 01меги1ь, чю да1ниле модели дейс1ви1е;Н)Н0 нангли01ражение в современном инженерном ми{)е. Их .можно обнаружип, ужевс1роенными в извесшые конечноэлемен пиле сиею'.мы, снецналиг 5иру10Н1,иееяна высоко нелииейн1.1х нроцессах, чаких как MSC.Marc н ABAQUS. В даннойpa6oie BHHMaiHie будет сосредаточено на соотнонюниях Кулона-Мора и вменьн1ей ситени Грина ирнмени1е;И)Н0 к задачам нлоскон де(})ормации ибудет онираться, в основном, на рабо1Ы Ломакина К В. [35, 36, 41-47, 90[,1акже будут HeH0jn)30BaHbi ре5у;и>ча1ы работ [G6-68].

Выводы

Многочисленные эксперимешальные данные свидетельствуют о юм, мю харакюристики пластическою деформирования многих материалов завися г

0 г вида напряженною состояния. На основе анализа механическою поведения сред, содержащих микремрещены и другие дефекты сфуктуры несложно ус1ановигь причины такой зависимоеiи и выявим» характерные особенности деформирования данных сред.

Процесс пластического деформирования для paccMoiрепного в данной рабою класса материалов сопровождав юн дилатансией, и характер изменения обьемной деформации зависит не только от уровня напряжений, но также и or соотношения между компонентами напряжении. Так, например, в условиях равномерного трехосного сжатия большинство маюриалов ведут себя как линейно упругие тела, но как только одна из компонент оишчна or двух других, наблюдаются значиюльные

01 клонепия or линейного закона. Таким образом, выводы о конкрешых свойствах рассматриваемых сред, например, таких как упругая сжимаемость, невозможны на основе ре1улыатов эксперимента реализующего только одни частный вид напряженною сосюяпия.

В рабою использован подход, описывающий пластическое деформирование тел с учетом зависимосхи механических свойс1в or условий ширужения. Рассмо1ренный способ построения определяющих соотношений основан на включении в кршерий пласшчносчи нарамсчра вида напряженного еосюяния В качестве такою параметра использовано отношение гндроста1Ической компоненты напряжения к ишенсивности напряжении, коюрый получил название трехосностн напряженного сосюяипя. При использовании для нос i роения соотношений между напряжениями и деформациями ассоциированного закона пласхическою течения, в рамках paccMOipennoio кршерия пластичности оказалось возможным учесть необра i и мое изменение объема, чю весьма характерно для рассматриваемою класса сред. Задаваясь конкрешои зависимостью от параметра вида напряженною состояния можно из обобщенной формы кршерия получин> известные критерии пластичности, используемые при описании i ранулированных, поврежденных и сыпучих сред

Для условий плоской деформации в рамках жес1ко-пластической модели маюриала решение задач сведено к решению системы уравнений и частых производных. Такая cucie.Ma, при пекоюрых ограничениях па зависимость от параметра вида напряженною еосюяния в кршерии пластичности, является пшерболической, и получение решения возможно методом характеристик.

В рачках ыких условий для некоюрых видов зависимое!и от параметра вида напряженного еосюяния были рассмотрены конкрешые задачи. Для задачи о расчяженпи полосы, ослабленной угловыми вырезами, был проведен анализ кинемагнчеки возможного ноля скоросюй для илас in ческою предельною состояния и определены ноля напряжений и деформаций Получено аналитическое выражение для значений предельной нагрузки в зависимости от величины углов выреза, а ыкже сюисии чувствительное in пластических свойств материала к виду напряженною состояния.

В задаче о растяжении полосы с круговым 01верстиеч удалось построить полное решение, то есть получип> ючное значение предельной шнрузкн

При нос 1 роении решения задачи о рас!яжеиии полосы, ослабленной выре?ами с круглым основанием, обнаружена характерная особенность условия выбора вида решения, основанною только на областях образованных Л01арифмическими спиралями или решения, включающею значшельпо большие обласш иластичносги деформируемою тела. В условие выбора такою решения оказалась включенной (ченень поврежден нос i и или чувепшюльноаь пластических свойств маюриала к изменению вида напряженною сосюяния среды, коюрая, в свою очередь, зависит от еюнени поврежденноеiи материала

Рассмотрена задача о клине иод деиепшем односюронпею давления. PaccMoipen случай тупого угла раствора клипа

Во всех рассмотренных задачах получены аналитические выражения для значений предельных нагрузок, в зависимости от юометрических парамефов и значений парамефов характеризующих cienenb чувствшельности илас1ичсских свойств материалов к виду напряженного сосюяния. В результат устиовлено, чю значения предельных нагруюк для всех рассмотренных задач существенным образом зависят от степени чувствительности среды к виду напряженного сосюяния и оглнчакнея от значений, полученных в предположении несжимаемости маюриалов и инварашносги пластических свойав к условиям пагружения. Это свидетельствует о том, чю оценка значений предельных нагрузок без учета изменения свойсчв маюриала при различных видах напряженною сосюяния, реализуемою при пагружеиии, может иривес1и к существенной ошибке

При получении аналитических решений задач использовалась жеегкопластическая схема решения. Пренебрежение упругими деформациями, как следсмвие, упрощает граничные условия для пластических обласюй рассматриваемых чел. С этим факюм связана харакюрнан неединственность получаемых аналитически решений. При эюм утверждения экефемальных чеорем приводят к единственности только в значении предельной нагрузки. Таким образом, нет каких-либо оснований у!верждать, чю при сфемлении модуля Юны Е к бесконечноеiи, можно получшь соответствующее аналшнческое решение, чо есть пренебрежение упругими деформациями приводит к пеючпопи, коюрую досыточно сложно оценить Для обоснования применимости построенных чаким образом решений необходимо накапливать эксперимешальную базу или получать упрую-шпимические решения. Ччобы оценшь чакого рода погрешность, в данной рабою были получены численные решения задач, для коюрых в рамках жеечко-иласгичеекою подхода получены апалшические решения. В численных решениях использовалась унруго-нласчичсская модель материала. В качестве криюрия пластичпосчи использовался критерий с линейной зависимостью от параметра вида напряженною сосюяния. Численное моделирование проводилось в коиечнозлементнои щхлрамме ABAQUS. Для реализации упрую-пласгической модели была написана специальная подпрограмма, подключаемая при расчече и отвечающая за связь деформаций и напряжений.

В рабою были проведены расче!ы для различных значений кочффициента, харакюризующеч о еюнень чувствительности свойств среды к виду напряженною состояния. Для конкретных значений данною параметра продемонстрированы ноля напряжений и распределение 'жвивалентных напряжений и деформаций при увеличении нагрузки. Показан процесс формирования пластических облаоеи и ноля перемещений в момент реализации предельного состояния. Получены также значения предельных нагрузок для разных значений характеристик материалов

На основе сравнительною анализа численных расчеюв с аналитическими решениями установлено, чю кинематика в решениях, полученных с учетом упругих деформаций, зиачшельно отличается от предложенной в апалшических решениях. При ном значения предельных нагрузок укладывакнея в оценки, получаемые из экстремальных теорем Необходимо отмепи'ь, чю в задаче о расчяжении полосы, ослабленной круговым вырезом, в ко юрой было получено полное аналитическое решение, значения предельных нагрузок практически совпадают с результатами численною раечеы для всех рассмотренных значений параметра чувствшелыюсти среды к виду напряженною состояния. Также необходимо выделип> задачу о растяжении полосы с боковыми вырезами с круглым основанием в случае малой ширины ослабленною сечения. В данной задаче было построено кинематически возможное апалишческое решение, при эюм значения предельных nai рузок во всем paccviaiрепном диапазоне значений параметров маюриалов получились достаточно близкими к результатам, полученным численно, расхождение значений не превосходило 9%.

Таким образом, можно утверждать, чю построение численных решений, с одной стороны, позволяют верифицировать соответствующие аналитические решения, полученные с использованием жес1ко-илас1ической схемы, а с другой сюропы, вместе с аналитическими решениями, демонстрируют возможный способ учема изменения механических свойств маюриалов в зависимости от вида напряженною соеюяния и необратимою изменения обьема среды.

1. Айпбипдер С. В., Алексис К. И., Тюшиш Э. Л., Лака М. Г., Свойства полимеров при высоких давлениях, М/ Химия, 1973, 190 с

2. Айпбипдер С. Б., Jlam М. Г., Майоре И. 10., Влияние гидрос1атическою давления па механические свойства полимерных материалов, Механика полимеров, 19G5, .Y° 1, с G5-75.

3. Айпбипдер С. В., Тюиипа Э. JI., Цирг/ле К. И., Свойсчва полимеров в различных напряженных сосюяниях, М. Химия, 1981, 232 с

4. Apxjmiowin Р. А., Марков К., Разрыхление и разрушение плас1ичееких чел, Весчник Ленингр. ун-ia, 1977, .V0 7, с. 111-116.

5. Агахи К. A., Kijmei^oe В. II., К теории пластичности маюриалов, учитывающих влияние гидросхагичеекот давления, В кн.: Упругость и иеупруюсть, выи. 5. М.: Изд-во МГУ, 1978, с. 46-53.

6. Бере.шн А. В., Строков В. И., Барабанов В. //., Деформируемость и разрушение изохронных графиювых махериалов, В кн.: Конехрукцнонпые махериалы на основе углерода, вып. 2, М/ Мехаллургия, 1976, .V» 2, с 184-188.

7. Бобряков А. II., Ревуженко А. Ф., Однородный сдвиг сыпучего маюриала Дилатанстия, Физ-техп. проблемы разр. полезных ископаемых, 1982, № 5, с. 2,3-29.

8. Бобряков А. П., Ревуженко А. Ф., Шемякин Е. Е., Однородный сдвиг сыпучею маюриала. Локализация деформаций., Физ.-iexn. проблемы разр. полезных ископаемых, 1983, N° 5, с. 17-21.

9. Боткин А. И., О прочности сыпучих и хрупких материалов, Изв. ВНИИ Гидрснехиики, 1940, т.26, с. 205-236.

10. Быков Д. J., Об пскоюрых меюдах решения задач теории пластичности, В кн.: Упруюси, и неунругоегь, выи 4. М.: Изд-во МГУ, 1975, с. 290-298.

11. Вакуленко А. А., Литое Ю. Н., Чебанов В. М. , О разрыхлении cipyKX'ypi.i и прочности полимерных материалов, Докл. АН СССР, 1967, т. 175, .V 3, с. 539-541.

12. Верещагин Л. Ф., Шапочкин В. А , Влияние гидрос1агическою да1зления на сопротивление сдвшу в твердых телах, Физика металлов и металловедение, 1960, т. 9, вып. 2, с. 258-264.

13. Вялое С. С., Прочность и ползучесть маюриалов, неодинаково соирошвляющихся сжашо и рас1яжению, В кн. Реоло1 ические «опросы механики юрных пород. Алма-Ата: Изд-во АН Каз.ССР, 1964, .V0 4, с. 2046.

14. Вялое С. С., Реологические основы механики грунтов, М.: Высшая школа, 1978, 447 с.

15. Гаорилов Д. А., Определяющие уравнения для нелипеиных тел, неодинаково eonpoi являющихся расчяжению и сжатию, Докл. АН Укр ССР Сер. А Физ-матем. и техн. науки, 1980, .V» 3, с. 37-41.

16. Генки Г., К теории пластических деформаций и вызываемых ими и мак'риале осыючных напряжений, В кн.: Теория пласгичноеш. М : Изд-во иноеiр. лиг. 1948, с. 114-135.

17. Гольденблат И. И., Копнов, В. А., Кршерии прочности и пластичной и консфукциопных материалов, М : изд. Машиностроение, 1968, 192 с.

18. Горооой В. А., Асатпуряп А. III., Теоия пласчичностиг пористых сред с конечными деформациями, Докл. АН Укр.ССР. Сер. А. Физ-Maie.vi и техн. науки, 1981, 5, с. 39-42.

19. Грин Р.Дм'., Теория пластичности пористых тел, Механика. Сб нерев. М.: Мир, 1973, .V» 4, с. 109-120.

20. Дощипский Г. А., Мидуков В. 3., Головепко В. С., Корниенко П. А., О построении диаграмм исчинных напряжений при испьпании пористых спеченных маюриалов., Проблемы прочности, 1974, .V0 12, с. 36-39.

21. Дудукалепко В. В., Смыслов А. К). , К теории деформирования груша с пористой (чруктурой, Жури, прикл. механики и техн. физики, 1980,6, с 122-127.

22. Жуков А. А/., Механические свойсхва сплава МА2 при двухосновм расхяжепии, Изв. АН СССР. Огд-нис техн. наук, 1957, № 9, с. 56-G5

23. Жуков А. М., Свойства сплава Д16Т при расчяжении с кручением, Инженерный сборник, I960, т. 29, с 55-62.

24. Жуков А. М., Упругие, прочностные и деформационные свойства некоюрых полимеров, Механика композитных махериалов, 1984, Л'° 1, с. 8-15.

25. Зенкевич О., Меюд конечных jjiomciiiob в технике, М.: Мир, 1975, 541 с.

26. Зенкевич О , Чаш И., Меюд конечных племенюв в теории сооружений и в механике сплошных сред, Нью-Йорк, 1967. Пер. с англ. М.: Недра, 1974 . 240 с.

27. Ивлев Д. Д., Выковцев Г. И., Теория упрочняющегося пластическою тела, M.-JI: Наука, 1971, 231 с.

28. Ивлев Д. Д., Мартынова Т. Я., К теории сжимаемых идеально нласчических сред, Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, вып. 3, с. 589-592.

29. Ивлев Д. Д., Теория идеальной пластичное!и, М.: Наука, 1966, 231 с.

30. Ильюшин А. А., Пласгичшнчь, М.: Гос. изд-во технико-гсоритич. лит., 1948, 376 с.

31. Качанов Л. М., Основы теории iijuicihmhoci и, М. Паука 1969г.

32. Ковальчук Б. И., О деформировании полухрупких чел, Проблемы прочиоеч и, 1982, .\г° 9, с. 51-57.

33. Ковардакова А.Ю, Ломакин Е.В., Пласчический изгиб полос из маюриала свойсхва коюрого завися г о г вида напряженною еосюяния, Механика твердою чела. 1995. No 5.

34. Ковардакова А.Ю, Ломакин Е.В., Пластическое течение при изгибе полос из маюриала чувепшюлыюго к виду напряженного еосюяния, Механика твердою тела. 1994. No 5.

35. Кременский И. Г., Пластическое деформирование иорисюю лист, Изв. вуюв. Мапппккчроение, 1977, 4, с. 158-163.

36. Кутсцов В. Н., Агахи К. А., Построение маюриальных функций и численный меюд решения краевых задач с учеюм влияния гидросытичеекою давления, Изв. АН Аз ССР. Сер. Физ-юхн. и матем. наук, 1976, X» 5, с. 97-103.

37. Лаптев А. М., Уплощение иориешх изотропных материалов в условиях плоской деформации, Изв. вузов. Машиностроение, 1978, .V0 2, с. 158-162

38. Леонов М. Я., Паняев В. А., Русинко К. П., Зависимость между деформациями и напряжениями для полухрупких тел, Инженерный журн. Механика твердою тела, 1967, X" 6, с. 26-32.

39. Ломакин Е. В., Деформирование и разрушение сред, характеристики которых зависят от вида напряженною состояния, Дне. на соиск. уч. ст. док. ф.м.н., М.: МГУ, 1988.

40. Ломакин Е. В., Зависимость продельного сосюяния композитных и полимерных маюриалов от вида напряженною состояния, Механика композитных материалов, 1988, Xе 1, с 3-9.

41. Ломакин Е. В., Нелинейная деформация материалов, сопрошвление коюрых зависит от вида напряженною состояния, Изв ЛИ СССР., МТТ, 1980, 4, с 92-99.

42. Ломакин Е В., Определяющие соотношения деформационной теории для д ил а тирующих сред, Изв. РАИ. МТТ., 1991, .V» б, с 66-75.

43. Ломакин Е. В., Пластическое течение дилагирующей среды в условиях плоской деформации, Механика твердого тела, 2000, X2 6.

44. Ломакин Е. В., Федулов Б. И., Растяжение полосы с угловыми надрезами из маюриала с зависящими от вида напряженного сосюяния свойствами, Копф. Ломоносовские чюния. Тезисы, М.: МГУ, 2006. с. 110.

45. Макаров Э. С., Толоконников Л. А., Вариант построения теории пластичности дшширующей среды, Изв АН СССР, Механика твердого тела, 1979, Х° 1, с. 88-93.

46. Макаров Э. С., Толокоюшков Л. А., Плоские задачи теории плас1ичпос1и ортснропной /цитирующей среда, Изв АН СССР, Механика твердою тела, 1979, 5, с. 139-143.

47. Малинии И. II., Баталова О. А., Теория иласч ичносш материалов, различно сопротивляющихся расчяжению и сжанпо, Изв. вузов. Манппюстроение, 1979, № 12, с. 9-14.

48. Манукяи Н. В., Петросян Г. JI., Погосяи М. Э., Диаграмма деформирования норисюю маюриала, Изв. вузов. Машииосч роение, 1978, .Y»3, с 16-20.

49. Миролюбов И. II., К вопросу об обобщении теории прочное!и ок!аэдрических касательных напряжений на хрупкие маюрналы, В кн.: Тр. Ленингр. технол ин-ia, 1953, вып. 25, с. 42-52

50. Надаи А., Пласчичносгь и разрушение твердых тел, М: Изд-во unocip. лит., 1954, 648 с.

51. Новожилов В. В., О физическом смысле инвариашов, используемых в теории пласгичиосш, Прикладная матсмашка и механика, 1952, т 16, вып. 5, е. 615-619.

52. Пстросяи Г. JL, О теории иласчичносги порисчых тел, Изв вузов. Машинам роение, 1977, JY0 5, с. 10-13.

53. Пишренко Г. С., Лебедев А. А., Ковальчук В. И., Эксперимешальные основы теории плас1ичеекою деформирования мегаллов при низких темпера! у pax, В кн.: Нелинейные модели и задачи механики твердого тела. М.: Наука, 1984, с. 24-41.

54. Работное Ю. #., Механика деформируемою твердою тела, М.: Наука, 1979, 744 с.

55. Работное К). II., Ползучесть элемешов конструкций, М.: Наука, 1966, 752 с.

56. Рейне И. II., Мясищев А. А., Влияние гидропатического давления па сопротивление сдвшу при плоском пластическом течении, Изв. вузов. Машиностроение, 1977, .V0 3, с 140-143.

57. Салганик Р. Л., Механика тел с большим числом т рещип, Изв АН СССР Механика пзердоютела, 1973, .Vе 4, с. 149-158.

58. Серенсеи С. В., Об условиях прочности ир переменных нагрузках для плоскою и обьемною напряженного состояния, Ипж. сборник, 1941, т 1, .V 1, с. 3-12

59. Смыслов А. 10, К теории пластичности пористых тел, Изв. вузов. Машиностроение, 1980, .V0 4, с. 107-110.

60. Соколовский В. В, Сттика сыпучей среды, Гос. изд-во техн.-теор. лиюратуры, М 1954, 276 с.

61. Соколовский В. В., Теория пластичности, 3-е изд. М : Высшая школа, 1969, 608 с.

62. Толоконникое Л. А., О форме предельной поверхности изотропною тела, Прикладная механика, 1969, т. 5, вып. 10, с. 123-125.

63. Федулов В. II., Предельное состояние и пластическое ючение дилатирующих сред. IX всероссийский сьезд по теоретической иприкладной механике. Аннокщии докладов. Том III. Н.Новгород- ИГУ. 2006. с 210

64. Федулов В. #., Растяжение полос из дилашрующе! о материала, Вестник Самарскою юсударегвенною универсиют, Естественно научная серия, 2006, .V°6/l(46), с. 167-175.

65. Федулов Б. И., Растяжение полос с надрезами из маюриала пластические свойства коюрого зависят от вида напряженного сосюяния, Ден. в ВИИИТИ 06.10.2006, .Vе 1209-В2006.

66. Шкарбелис К. К., К вопросу прочности бе юна в условиях сложною напряженною состояния, Исследования но бстону и железобетону, 1958, .V» 3, с. 61-90.

67. ABAQUS theory manual, version 6.5.

68. Aravas N., Aifantis E. C., On the Geometry of Slip and Spin in Finite Plastic Deformation, International Journal of Plasticity, vol. 7, pp. 141-160, 1991.

69. Aravas N., On the Numerical Integration of a Class of Pressure-Dependent Plasticity Models, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 24, pp. 1395-1416, 1987

70. Aigyris ,/. //., Continua and Discontinua, Proc. Conf. Matrix Methods in Structural Mechanics, Wright Patterson Air Force Base, Ohio, Oct. 1965.

71. Aryyris ,/. //., Matrix analysis of three-dimensional elastic media-small and large displacements, J. A.I.A.A., 3, pp. 45-51, Jan 1965.

72. Argijris J. //., Triangular elements with linearly varying strain for the matrix displacement method, J. Roy. aero Soc. Tech. note, 69, Oct 1965.

73. Barlow J., Optimal Stress Locations in Finite Element Models, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 10, pp. 243-251, 1976.

74. Btrgan P. В., Homgmoe G., Krakeland В, Soreide T. //., Solution Techniques for Noil-Linear Finite Element Problems, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 12, pp. 1677-1696, 1978.

75. Bert C. W., faddy J. N., Meehenics of bimodular composite structines, In: Mechanics of composite materials Recent Adv. Proc. IUTAM Syrnp. Blacks-burg. Va, 16-19 Aug , 1982. New York e.a., 1983, pp 323-337

76. Cowj)er, G. It., Gaussian Quadrature for Triangles, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 7, pp 405-408, 1973.

77. Drucker, D. C., Prager W., Soil Mechanics and Plastic Analysis or Limit Design, Quarterly of Applied Mathematics, vol. 10, pp. 157-165,

78. Freudenthal A. M., The inelastic behavior and failure of concrete, In: Proc. First U.S.Nat Congr. Appl. Mech., Publ. Amer. Eng., New York, 1952, pp. 641-646.

79. Guibon, A. L., Continuum Theory of Ductile Rupture by Void Nucleation and Growth: Part I—Yield Criteria and Flow Rules for Porous Ductile Matorials, Journal of Engineering Materials and Technology, vol 99, pp. 2-15, 1977.

80. Lubhner, J., Oliver J.,Oiler S., On ate E., A Plastic-Damage Model for Concrete, International Journal of Solids and Structures, vol 25, no.3, pp. 229-326, 1989.

81. Lomakm E. V., Fedulov B. N., Deformation and limit state of solids with stress state dependent plastic properties, Conf. Advanced problems ш mechanics, IPME, HAS, St.Petersburg. 2006.

82. Matthies, II., Slianq G., The Solution of Nonlinear Finite Element Equations, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 14, pp. 1613-1626, 1979.

83. Menc'ticy, Ph., Willam K. </., Triaxial Failure Criterion for Concrete and its Generalization, ACI Structural .Journal, vol. 92, pp. 311-318, May/June 1995.

84. Nagttyaal, J. С, Parks D. M., Ricc J. II., On Numerically Accurate Finite Element Solutions in the Fully Plastic Range, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 4, pp. 153-177, 1977.

85. Nayak, G. C., Zicnkiewicz О. C., A Convenient Form of Invariants and its Application to Plasticity, Proceedings of the ASCE, Engineering Mechanics Division, vol. 98, no.St4, pp. 949-954, 1972.

86. Remolds 0., On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact, Philos Mag., Ser. 5, 1885, Vol. 20, N 127, pp. 469-481.

87. Tvergaard, V., Influence of Voids on Shear Band Instabilities under Plane Strain Condition, International .Journal of Fracture Mechanics, vol. 17, pp. 389 407, 1981.

88. Walsh J. В., The effect of cracks on the uniaxial elastic compression of rocks, J Geophys Res., 1965, Vol. 70, N 2, pp. 399-441.

89. WaMi J. В., The effect of cracks in rocks on Poissons ratio, J. Geophys Res., 1965, Vol. 70, N 2, pp. 5249-5257.

90. Walsh J. В, The effect of cracks on the compressibility of rocks, ,J. Geophys. Res., 1965, Vol. 70, N 2, pp. 381-389.