Задачи предельного равновесия дилатирующих тел в условиях плоского напряженного состояния тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

На правах рукописи

Мл

005050054

Мельников Андрей Михайлович

Задачи предельного равновесия дилатирующих тел в условиях плоского напряженного состояния

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2013

Москва - 2013

005050054

Работа выполнена на кафедре теории пластичности механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: члеп-корр. РАН, д. ф.-м. н.,

профессор, Е.В. Ломакин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

A.B. Звягин к. ф.-м. н.,

старший научный сотрудник,

B.А. Пелешко

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится /'sw'w 2013 г. в ^ часов на заседании дис-

сертационного совета Д.501.001.91 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, главное здание МГУ, механика-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, Ц этаж).

Автореферат разослан «_ _ 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.91,

доктор физико-математических наук, профессор

С.В. Шешенин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Основными критериями пластичности, используемыми при расчете на прочность различных конструкций, являются критерии Мизеса и Треска. Хотя данпые изотропные критерии во многих случаях являются достаточными для использования в качестве критериев предельного состояния материала при простом нагружепии, их использование обусловлено скорее относительной простотой их численного и аналитического применения и экспериментального определения параметров, чем соответствием реальному поведению материала. На практике же свойства мпогих, в том числе изотропных, материалов демонстрируют различпые отклонения от свойств, предсказываемых теорией, опирающейся на данные критерии. Простейшим примером такого отклонения является различие пределов пластичности при растяжеиии и сжатии. Для таких материалов не выполняется гипотеза "единой кривой", согласно которой зависимость эквивалентного напряжения от эквивалентной деформации остается одинаковой для любого соотношения между компонентами тензора напряжений. Зависимость пластических свойств от папряженного состояния может быть вызвана различием внутренних процессов, происходящих в материале при различных напряженных состояниях. В процессе пластического деформирования материала может происходить образование дислокаций и иных микродефектов, раскрытие или закрытие микротрещин и иные процессы, влияющие на прочность материала. Тип этих процессов, а также соотношение между ними зависит от вида напряженного состояния. Хотя подобная зависимость более характерна для пористых материалов, она, в меньшей степени, проявляется и у металлов, прошедших обработку. Как можно более точный учет такой зависимости важен при расчете работы конструкций под действием экстремальных нагрузок на границе предела прочности материала. На протяжении XX века было раз-

работало множество критериев для учета асимметрии пластических свойств материала. Различные проблемы, связанные с поведением таких материалов рассматривались в работах С.Е. Александрова, Б.Д. Аннина, Ф. Барлата, Г.А. Гениева, Д. Друккера, Б.А. Друянова, И.В. Кучеренко, М.Н. Матчен-ко, А.Ф. Никитенко, В.Н. Николаевского, A.A. Трещева, Н. Флека и других. Описание некоторых из возможных подходов к моделированию свойств таких материалов приведено в обзоре литературы.

В данной диссертации рассматриваются свойства материалов, поведение которых может быть охарактеризовано на основе обобщенного критерия пластичности, предложенного Е.В. Ломакиным для дилатирующих сред.

Целью диссертационной работы является изучение поведения материалов, пластические свойства которых описываются обобщенным критерием, в условиях плоского напряженного состояния, вывод определяющих соотношений для плоского напряженного состояния, исследование влияния чувствительности свойств материалов к виду напряженного состояния на их прочностные характеристики, аналитическое решение различных задач для общего и частного вида зависимости свойств материала от условий нагруже-ния и сравнение полученных аналитических решений в рамках упруго-пластической модели с результатами численного решения задач для упруго-пластического материала, полученными с помощью метода конечных элементов.

Рассмотрены задачи об определении поля напряжений в окрестности углового выреза, растяжении полосы, ослабленной угловыми или круговыми вырезами, о поле напряжений в окрестности кругового отверстия в пластине из жестко-идеально пластического материала.

Научная новизна Результаты, выносимые на защиту:

• Выведены уравнения для напряжений и скоростей перемещений для ди-латирующего материала в условиях плоского напряженного состояния

и исследованы их свойства. Показана связь выведенных уравнений с исследованным ранее случаем плоской деформации.

• Описаны некоторые виды полей характеристик и выведены уравнения, описывающие их форму для общего случая зависимости свойств материала от вида напряженного состояния, которые в частных случаях такой зависимости могут быть решены аналитически.

• Построены кинематически возможные решения задач о плоскости с полубесконечным разрезом, о растяжении полос, ослабленных угловыми или круговыми вырезами с определением полей напряжений в окрестности круговых и угловых вырезов для обобщенного критерия пластичности, характеризующего зависимость свойств материала от вида напряженного состояния. Приведены примеры данных решений для критерия Друкера-Прагера.

• Проведено сравнение получепных решений с численными решениями аналогичных задач для упруго-пластического материала.

Практическая значимость. В диссертации получены кинематически допустимые решения нескольких задач определения напряженного состояния в окрестности вырезов для дилатирующих тел и показано, в целом, хорошее соответствие между этими решениями и численными решениями аналогичных задач для упруго-пластического материала в ряде случаев. Полученные результаты могут быть использованы для предварительной оценки предельной нагрузки и для определения полей напряжений в окрестности концентраторов напряжений в задачах плоского напряженного состояния для тел,Б свойства которых зависят от вида напряженного состояния. Кроме того, полученные уравнения для полей напряжений могут быть использованы для построения решений других подобных задач, для тел другой формы или для

материалов с критерием пластичности, отличным от рассмотренного. Достоверность полученных результатов определяется применением строгих математических методов для получения теоретических решений, а также соответствием решений, полученных с использованием различных методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Ломоносовские чтения. Секция механики. 1G-25 апреля 2009 года, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова.

• Современные проблемы газовой и волновой динамики. Международная конференция, посвященная памяти академика Халила Амедовича Рах-матулина в связи со столетием со дня его рождения. 21-23 апреля 2009 года. Москва. МГУ им. М.В. Ломоносова.

• Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. Москва, 20-21 января 2011 года.

• X всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 года.

• Тайваньско-Российский Симпозиум "Deformation and Fracture in Technological Processes", 28-30 мая 2012 года, Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

и на научно-исследовательских семинарах:

• на научно-исследовательском семинаре кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН Е.В. Ломакина,

• на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри,

• на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [1-3], 1 статья в рецензируемом международном периодическом издании [4], 1 статья в сборнике трудов конференицй [5] и 3 тезиса докладов [6-8].

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 139 страниц, из них 126 страниц текста, включая 63 рисунка. Библиография включает 118 наименований на 13 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В обзоре литературы приводится обзор работ, посвященных исследованию пластических свойств материалов с различными поведением при различных напряженных состояниях. В обзор включено несколько вариантов обобщенных критериев пластичности, формулировка которых включает некоторую функцию от параметра вида напряженного состояния, которая может быть выбрана на основе каких-либо предположений, либо определена экспериментально. Проводится обзор как изотропных так и анизотропных критериев пластичности. Кроме того, приведен обзор некоторых моделей упрочнепия, которые могут быть использованы вместе с описанными критериями пластичности.

В первой главе приводится описание рассматриваемого в диссертации критерия пластичности для изотропных материалов определяющие соотношения для жестко-пластического тела, свойства которого задаются данным критерием. Обобщенный критерий пластичности задается соотношением:

ДОо-о = к, (1)

где £ = ег/его — параметр вида напряженного состояния, также известный как параметр трехосоности (ratio of triaxiality), а — |<7,< — среднее напряжение, а о = SijSij — интенсивность касательных напряжений, SYj = Oij — a5,j — девиатор напряжений, к — константа материала. Параметр f характеризует отношение гидростатического напряжения к интенсивности сдвиговых напряжений и принимает все действительные значения в общем случае. Функция /(£) характеризует чувствительность свойств материала к виду напряженного состояния, выполняя роль коэффициента, связывающего поверхность пластичности Мизеса с поверхностью пластичности рассматриваемого критерия. Функция /(£) необходимым образом предполагается положительной и может быть определена экспериментально. Например, можно, исходя из эксперимента на чистый сдвиг, принять /(0) = 1, тогда к будет равняться

интенсивности напряжений при достижении предела пластичности в эксперименте на чистый сдвиг (к = %/Зг5). В этом случае для остальных значений параметра £ функция /(£) будет равняться отношению л/3т8 к интенсивности напряжений для данного типа напряженного состояния. Принимая закон течения, ассоциированный с условием (1), получим соотношения для скоростей деформации имеют вид:

лю=т А(0=/к)-гт л'=я/Х(о, (2)

3 "' 2

Функции А(£) и Л(£), а так же их производные связаны соотношениями:

А(О+«л(о = ко, А'СО+то=о. (з)

Из соотношений (2) могут быть выведены соотношения для скорости объемной деформации:

ё" = ГЛ(0/А(0, (4)

здесь ер = — величина объемной пластической деформации, Г = \J\e-ijhj = Ь'Х(0 — интенсивность скоростей сдвиговых пластических деформаций, еу = е1^ — ер6ц — девиатор пластических деформаций. В силу этого предполагается, что А(£) > 0. Предельная поверхность определяемая критерием (1) является невогнутой при выполнении условия /(0 > 0.

Дан вывод соотношений теории пластичности для случая плоского напряженного состояния, рассматриваемого в данной работе. В силу равенства нулю одного из трех главных напряжений, область изменения параметра вида напряженного состояния £ ограничена:

141 ^ | (5)

Для упрощения рассмотрения случая плоского напряженного состояния в водится обозначение 5 = (о"ц + 042)¡2 — плоский аналог среднего напряжения. Для жестко-пластического тела из критерия пластичности (1) следует, что связь среднего напряжения и параметра вида напряженного состояния взаимно однозначная, так как:

= з/(б-шо з кт .

4 2 по 2яю' и

При выполнении условий, наложенных выше на функцию /(£), данное выражение положительно для всех значений параметра Напряжения при этом могут быть найдены по формулам:

ап = 5- кЕ(Я)тп21р, <т22 = 5 + №(5) <х12 = Щ5) соэ 2<р.

(7)

где (р — угол между направлением оси х\ и нормалью к площадке, на которой действует максимальное касательное напряжение, а выражение для функции F(S) имеет вид:

т ~ ж~ттг" (8)

С учетом введенных выше обозначений, система уравнений равновесия для жестко-пластического тела примет вид:

5д - й^(5)(5,1бтЪр - 52соэ2<р) - 2к¥{8){у±соъ2ч> + <р,28т2<р) = О, 52 + ^^(5)(5,1 соз2у> + 5,2 8ш2!р) - 2кР(Я) (¡рл вт2р - <р,2соз2у>) = 0.

(9)

Штрихом обозначена производная по среднему напряжению 5. Система уравнений в частных производных (9) содержит две неизвестные величины — среднее напряжение 5 и угол уз. Система (9) является гиперболической при |&.Р'(5)| < 1. Производная функции ^(5), определенной уравнением (8) стремится к бесконечности при стремлении параметра £ к ±|. Следовательно,

10

для любого допустимого вида функции /(£) существует диапазон напряжений, в котором система уравнений равновесия не является гиперболической. В случае гиперболичности системы (9), уравнения для характеристик и соотношения для величин переменных вдоль них имеют вид:

йх-і х — соэ2!^ ± \/1 ~ к2Г'2 2кРйу

Здесь а и ¡5 — индексы, обозначающие семейства характеристик гиперболической системы уравнений (9). Как видно из этих соотношений, угол между характеристиками в общем случае зависит от вида напряженного состояния для любой зависимости пластических свойств от вида напряженного состояния, а сами характеристики не являются линиями скольжения. Если ввести угол ф, зависящий от вид напряженного состояния, следующим образом:

ап2ф = -кР', сое2ф = \/1 - к2Ра, (11)

то, пользуясь соотношениями вдоль характеристик (10), можно найти угол между характеристиками:

и = 2 (12)

Таким образом, в случае плоского напряженного состояния угол между характеристиками зависит от напряженного состояния даже при отсутствии зависимости критерия текучести от напряжений. Кроме того, в данной главе рассматриваются основные свойства напряжений в случае гиперболичности системы уравнений равновесия и выводится система уравнений для скоростей перемещений:

(«1,1 + «2,2) соз2<? + /гГ^Жг + «ад) = 0,

(13)

«1,1 - «2,2 = -(«1,2 + «2,1) tg2(р.

Тип данной системы совпадает с типом системы (9). В случае гиперболичности систем уравнений их характеристики также совпадают. Вдоль характе-

риетик системы (13) выполняются соотношения Гейрингер: йуа — УзСІїра — 0, ¿Уд — = 0.

Здесь уа и V/} —скорости вдоль соответствующих семейств характеристик, г>з и «4 —нормальные к характеристикам компоненты скорости:

Щ ~ {уІІ — УаСОвш)! ^ПШ, Уі = (урсоэси — уа)/віпи), Ш = <Р[) — іра. (15)

Несмотря на различие постановок задач в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния, выведенные уравнения по форме совпадают с уравнениями для случая плоской деформации, выведенными Е.В. Ломакиным и Б.Н. Федуловым, с той лишь разницей, что в случае плоской деформации отсутствуют ограничения па значение параметра £ и функция ^(5) имеет вид:

«г/<п_ 1 V ^^^ (161

т" Тъ~1ШГ'

Таким образом, дальнейшие выкладки можно рассматривать как развитие теории для случая обобщенной плоской задачи теории пластичности, тип плоской задачи при этом определяется формой использованной функции Р.

Во второй главе приводится решение нескольких задач теории пластичности для обобщенного критерия пластичности (1) в случае гиперболичности системы уравнений равновесия (9) как в общем случае, так и в случае частного вида зависимости свойств материала от вида напряженного состояния — для критерия Друкера-Прагера. Первой рассмотрена задача об определении напряженного состояния в окрестности вершины полубесконечного разреза в удаленном поле растягивающих напряжений, нормальных к его поверхности. В зависимости от критерия пластичности возможно построение как непрерывного так и разрывного поля напряжений. Соответствующие поля характеристик показаны на рис. 2. В обоих решениях использованы два

I \ 1' х2| | |

XI

I I І І І І

Рис. 1. Полубесконечпый разрез в поле сил растяжения

типа полей характеристик — поле прямолинейных характеристик, в котором реализуется равномерное напряженное состояние, и центрированный веер характеристик, в котором прямолинейны характеристики только одного семейства. Стоит отметить, что напряженное состояние в вершине разреза в обоих типах решения определяется неоднозначно. Напряжения на поверхности разреза равны нулю, следовательно в прилегающей области (Туї = ап = 0, что в терминах переменных, входящих в уравнения равновесия (9), означает:

ц> = 5 = ^(5). (17)

В силу симметрии, на липии положительной полуоси Ох\ (рис. 2) сдвиговые напряжения стіг равны нулю, следовательно ір = Т7Г/4. Поля характеристик решения должны соединить эти два граничных условия. Так как при любом критерии пластичности угол между характеристиками зависит от напряжения, для построения веера прямолинейных характеристик необходимо построить уравнения тангенциального семейства характеристик в зависимости от параметра вида напряженного состояния для обобщенного критерия пластичности. Для вывода системы уравнений, определяющих веер прямолинейных а—характеристик, введем вспомогательную полярную систему координат (г, в) с началом в центре веера. Пусть некоторая ¡3—характеристика

(а). Характеристики для непрерывного поля напряжений

А

О

О x^

(б). Характеристики для разрывного поля напряжений

Рис. 2. Примеры построения полей характеристик в задаче о растяжепии плоскости с линейным разрезом

проходит через точку (го, 0 о) в полярной системе координат. Уравнение линии, проходящей через точку (го, во) и образующей угол и) с радиус-вектором, описывающим точку характеристики имеет вид

Угол и> — это угол между характеристиками, определенный уравнениями (11) и (12). Этот интеграл может быть вычислен для произвольного вида функции с учетом зависимости среднего напряжения £ от угла наклона а—характеристики:

Заметим, что в случае, когда система уравнений (9) становится параболической, знаменатель уравнения (19) обращается в ноль, следовательно, с помощью центрированного веера характеристик, вообще говоря, не всегда возмож-

(18)

г-г0

F(S(0)) у/Т^ЩЩв))

(19)

но соединить границу разреза с положительной полуосью оси Ох].

Связь между средним напряжением 5 и углом наклона а—характеристики можно получить, воспользовавшись соотношением для угла наклона а—характеристики (10),

¡Л/.-г" + глрп _ 1

а = #й = - # = -ш-7===г(1з. (20)

Уравнения (19) и (20) образуют систему уравнений, задающую¡3—характеристику параметрически, в зависимости от параметра 5.

Аналогично можно определить центрированный веер прямолинейных /3—характеристик. В этом случае угол в равен углу наклона /3—характеристики, и закон его изменения имеет вид:

рР/7" ц.ргг'г _ 1

Я = ^ = + = - 2кЕу/1_к2р,2 43. (21)

Уравнение, описывающие зависимость радиуса от напряжения остается тем же, что и в предыдущем случае. Система уравнений, параметрически задающая а—характеристику, состоит из уравнений (19) и (21).

В случае, когда построение непрерывного решения невозможно, можно построить разрывное поле напряжений, подобное показанному на рис. 2, б, где ОВ — линия разрыва напряжений. На линии разрыва непрерывны нормальное и касательное к линии разрыва напряжения. Положение линии разрыва и скачок тангенциальной компоненты напряжений находится из соотношений для напряжений вдоль характеристик (10) и условия пластичности (1). Возможность построения непрерывного либо разрывного решеиия определяется использованным критерием пластичности.

Построенное решение естественным образом может быть расширено и на его основе можно построить решения задач о напряженном состоянии в окрестности углового выреза в поле сил растяжения, а также о предельном состоянии полосы с угловыми вырезами.

\ /

/ \

Рис. 3. Плоскость с круговым отверстием под действием равномерной растягивающей нагрузки

Другой подход к решению задач теории пластичности продемонстрирован в решении задачи о нахождении поля напряжений при всестороннем растяжении бесконечной плоскости с круговым отверстием, свободным от напряжений (рис. 3). Эта задача также может рассматриваться как задача о предельном состоянии кольца под действием всесторонней равномерно распределенной по внешнему радиусу нагрузки, при этом напряжение на внешнем радиусе кольца является предельным значением напряжения, при котором кольцо полностью переходит в состояние пластичности. В этом случае задача становится одномерной (остается только зависимость от радиуса) и уравнение равновесия принимает вид:

В силу симметрии касательные напряжения <хто равны нулю, следовательно у = б Ч- | и уравнение равновесия принимает вид:

= 0.

(23)

йг г

Уравнение равновесия имеет решение:

где 5о — среднее напряжение при г = Гц. В диссертации показано, что данное решение стремится к напряженному состоянию, характеризующемуся значением параметра |£| = |, т.е. в случае плоского напряженного состояния значение параметра, получаемое при решении данной задачи, выходит за пределы области гиперболичности системы уравнений равновесия (9) для произвольного критерия пластичности в форме (1). Используя решение уравнения (24) в задаче о кольце, можно найти радиальное напряжение на внешнем радиусе, при котором кольцо переходит в состояние пластичности. Для этого необходимо в уравнение (24) поставить значение г, равное внешнему радиусу кольца.

Рассмотрены примеры решения приведенных выше задач для критерия Друкера-Прагера, получаемого из выражения (1) при /(£) = 1 + Параметр £ в пластической области может быть выражен через среднее напряжение Б:

< = <25>

При этом среднее напряжение 5 находится в пределах

<26»

Функция в этом случае может быть явно выражена через среднее напряжение:

= - 1

Система уравнений (9) для напряжений становится параболической при

- Л (28)

9 — АС2 у 2\/9^С2 ) >

Уравнения (10) для характеристик и соотношения вдоль них могут быть проинтегрированы. Для сокращения записи введем обозначения:

9 5 6 С ,опЧ

а ~ 3=к + 9^4^' (29)

17

Рис. 4. Непрерывное поле характеристик в задаче о растягиваемой полосе при С = — 1, г = тг/4

В этих обозначениях уравнения (10) для характеристик принимают вид:

^ = : - (зо)

Соотношения вдоль них имеют вид:

________ +

2 л/За+Т агсБІп —-5 4- агсвіп - --

. а + в(1 + і)

— агсБіп- д ц: 4ір — сопвЬ.

{а + а)у/1 + і

(31)

Основным отличием данных уравнений от случая, рассмотренного в работах Е.В. Ломакина и Б.Н. Федулова является зависимость фyнкцииF от среднего напряжения, отсутствовавшая при плоской деформации.

На основании данных уравнений приведены примеры решения описанных выше задач. Для задачи о растяжении полосы с угловыми вырезами (рис. 4) построена зависимость предельной нагрузки (нагрузки, при которой центральное сечение целиком находится в области пластичности) от угла выреза и параметра С, определяющего чувствительность пластических свойств среды к виду напряженного состояния (рис. 5). Кроме того для каждого зна-

Рис. 5. Изменение коэффициента усиления (отношение предельной нагрузки в о полосе с угловыми вырезами к предельной нагрузке в полосе ширины 2к без выреза) в зависимости от угла выреза и коэффициента С

чения угла выреза найдено значение параметра С, разделяющего области построения разрывного и непрерывного решения. Построение неразрывного поля напряжений в задачах о растяжении плоскости и полосы с угловым вырезом величины 23 возможно для параметров С и лежащих выше линии, изображенной на рис. 6.

Найдено аналитическое решение задачи о растяжении плоскости с круговым отверстием. Уравнение (24) в случае критерия Друкера-Прагера принимает вид:

, г 3\/3 . /9-4 С2

1п — = —. агсэт

г0 2\/9 - 4 С2 Зг/З

: агсэт

/9 - 4С2 /5 6С \\ _ V 9 \к+9-АС2))

. /3 + 4С\

2\/9 - 4 С2

(32)

+

1, (( 9 \2 / /3 + 4СЧ 2

Соответствующие этому решению напряжения приведены на рис. 7. Построено

с

Рис. 6. Значение половины угла выреза 5, отделяющее область, в которой возможно построение непрерывного поля напряжений в окрестности углового выреза, от области в которой возможно построить только разрывные решения

решение задачи о предельном состоянии полосы симметричными круговыми вырезами. Для сравнения приведены, полученные в работах Е.В. Ломакина и Б.Н. Федулова решения аналогичных задач для случая плоской деформации.

1,5 - /

0,5

О

1

— ат/к, С = -0.5

— ст6/к. С = -0.5

— аг/к, С = 0.0

— по/к, С = 0.0

— а, /к, С = 0.5 ~а0/к,С = 0.5

О

5

10

15

20

Рис. 7. Напряжения в осесимметричпой задаче о растяжении плоскости с круговым отверстием при различных значениях коэффициента С

В третьей главе проводится сравнение полученных аналитических решений для критерия Друкера-Прагсра с численными решениями для упруго-пластического материала, полученными методом конечных элементов в программе Со(1е_Аб1ег. Для моделирования поведения жестко-пластического материала использован материал с большим модулем Юнга и пренебрежимо малым упрочнением. В задаче о напряженном состоянии в окрестности углового выреза продемонстрировано близкое соответствие форм пластической области с формой полей характеристик. Сравнение напряжений на горизонтальной линии симметрии со значениями из аналитических решений показывает, что данные величины весьма близки (рис. 8).

Хорошее соответствие было также получено при моделировании задачи о растяжении плоскости с круговым отверстием (рис. 9).

В задачах о растяжении полос с угловыми и круговыми вырезами полученные поля напряжений и области пластичности существенно отличаются от полей, полученных в рамках жестко-пластической модели, в силу наличия в

1.4

55 16

в

I* 16

л 2

--С = -0.5

-С = 0.0

--С = 0.5

<-РЕМ С = -0.5

1-РЕМ С = -0.5

к-РЕМ С = 0.0

л

6

Рис. 8. Сравпение напряжений гт22 в задаче о напряженном состоянии в окрестности вершины углового выреза на линии симметрии, полученных в результате численного решения с теоретическими

центре полосы упругой области. Значения предельной нагрузки, полученные при численном решении задачи, меньше значений в аналитических решениях, представленных в предыдущей главе для кинематически возможных полей.

Так как полученные аналитические решения большей части задач (кроме центрально симметричной задачи о растяжении плоскости с круговым отверстием) нельзя рассматривать как точные решения, поскольку в них и не учитывалось влияние напряженного состояния в жестких областях, то решения, полученные методом конечных элементов, в той или иной мере могут отличаться от них. Аналитические решения задач о растяжении полос и о напряженном состоянии вблизи углового выреза являются кинематически возможными, поэтому различие в значениях предельной нагрузки для растяжения полосы с угловыми вырезами и наличие упругих областей в задачах о растяжении полос с угловыми и круговыми вырезами вполне ожидаемы. При этом аналитическое решение хорошо описывает поле напряжений и форму пластических областей в окрестности угловых и круговых вырезов для

о

1

2

З

4

5

6

7

КЕМ а,!к

■¡Та/к

КИМ аР/к

Рис. 9. Сравнение аналитического решения задачи о растяжении плоскости с круговым отверстием с численным решением для случая С = 0.5

произвольных значений параметра С.

В Заключении в заключении приводится обзор основных результатов диссертации:

1. Для исследуемого критерия пластичности выведены основные уравнения и соотношения для случая плоского напряженного состояния.

2. Рассмотрены случаи гиперболичности и параболичности системы уравнений равновесия. В условиях гиперболичности системы уравнений равновесия найдены уравнения характеристик для скоростей и напряжений и исследованы соотношения вдоль них. Исследованы основные свойства полей напряжений в области гиперболичности уравнений.

3. Проведен сравнительный анализ решений для условий плоского напряженного состояния и плоской деформации дилатирующих тел.

4. Получены уравнепия для построения центрированного поля прямоли-

нейных характеристик и поля характеристик в центрально симметричной задаче.

5. Построены решения задач о полях напряжений в окрестности углового выреза, в растягиваемой плоскости с круглым отверстием, а также в растягиваемых полосах с угловыми и круговыми вырезами для общего случая зависимости свойств материала от вида напряженного состояния, а также для критерия Друкера-Прагера.

6. В рамках критерия Друкера-Прагера проведен анализ влияния чувствительности пластических свойств материалов к виду напряженного состояния на величину возникающих напряжений и предельных нагрузок. Продемонстрировано заметное влияние параметра, определяющего чувствительность свойств материала к виду внешних воздействий, на характер получаемых решений.

7. Проведено сравнение аналитических решений различных задач, полученных в рамках модели жестко-пластического тела с решениями аналогичных задач для упруго-пластического материала, полученными методом конечных элементов. Показано, что численные и аналитические решения задач для полей напряжений в окрестности вырезов весьма близки и аналитические решения могут быть использованы для оценки величины напряжений в этих случаях. В некоторых задачах о растяжении полос с вырезами аналитические решения дают верхнюю оценку предельной нагрузки, но при определенных значениях механических и геометрических параметров они могут быть использованы с достаточной степенью точности.

Список публикаций

1. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Пластическое плоское напряженное состояние тел, свойства которых зависят от вида напряженного состояния // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2, № 2. С. 48-64.

2. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Задачи плоского напряженного состояния тел с вырезами, пластические свойства которых зависят от вида напряженного состояния // Механика твердого тела. 2010. № 6. С. 123-135.

3. Мельников А. М. Плоское напряженное состояние полосы из материала, свойства которого зависят от вида напряженного состояния // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. С. 2352-2353.

4. Lomakin Е. V., Melnikov А. М. Limit plastic state of notched stripes with Stress state dependent properties // Deformation and Fracture in Technological Processes. Key Engineering Materials. 2013. Vol. 528. Pp. 79-88.

5. Ломакин E. В., Мельников A. M. Растяжение пластины с разрезом, пластические свойства которой зависят от вида напряженного состояния // Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина (Москва, 20-21 января 2011 года). М.: Изд-во МГУ, 2011. С. 172-177.

6. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Плоское пластическое течение сред, чувствительных к виду напряженного состояния, в окрестности надрезов // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. Апрель 2009 года. Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2009. С. 107.

7. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Пластическое течение дилатирующих сред в условиях плоского напряженного состояния // Современные проблемы газовой и волновой динамики. Тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти академика Халила Амедовича Рахма-тулина в связи со столетием со дня его рождения. 21-23 апреля 2009 года. Москва. МГУ им. М.В. Ломоносова. 2009. С. 63.

8. Lomakin Е. V., Melnikov А. М. Limit plastic state of notched stripes with stress state dependent properties // NSC-RFBR. Taiwan-Russia Symposium. Russian Academy of Sciences. A. Yu. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics. Deformation and Fracture in Technological Process. Book of Abstracts. 28-30 May 2012. Moscow, Russia. 2012. P. 21.

Подписано в печать:

13.02.2013

Заказ № 8145 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Объем: 1,5усл.п.л. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

Обзор литературы.

1. Изотропная пластичность.

2. Анизотропная пластичность.

3. Модели упрочнения.

Актуальность работы. Основными критериями пластичности, используемыми при расчете на прочность различных конструкций, являются критерии Мизеса и Треска. Хотя данные изотропные критерии во многих случаях являются достаточными для использования в качестве критериев предельного состояния материала при простом нагружении, их использование обусловлено скорее относительной простотой их численного и аналитического применения и экспериментального определения параметров, чем соответствием реальному поведению материала. На практике же свойства многих, в том числе изотропных, материалов демонстрируют различные отклонения от свойств, предсказываемых теорией, опирающейся на данные критерии. Простейшим примером такого отклонения является различие пределов пластичности при растяжении и сжатии. Для таких материалов не выполняется гипотеза "единой кривой", согласно которой зависимость эквивалентного напряжения от эквивалентной деформации остается одинаковой для любого соотношения между компонентами тензора напряжений. Зависимость пластических свойств от напряженного состояния может быть вызвана различием внутренних процессов, происходящих в материале при различных напряженных состояниях. В процессе пластического деформирования материала может происходить образование дислокаций и иных микродефектов, раскрытие или закрытие микротрещин и иные процессы, влияющие на прочность материала. Тип этих процессов, а также соотношение между ними зависит от вида напряженного состояния. Хотя подобная зависимость более характерна для пористых материалов, она, в меньшей степени, проявляется и у металлов, прошедших обработку. Как можно более точный учет такой зависимости важен при расчете работы конструкций под действием экстремальных нагрузок на границе предела прочности материала. На протяжении XX века было разработано множество критериев для учета асимметрии пластических свойств материала. Различные проблемы, связанные с поведением таких материалов рассматривались в работах С.Е. Александрова, Б.Д. Аннина, Ф. Барлата, Г.А. Гениева, Д. Друккера, Б.А. Друянова, И.В. Кучеренко, М.Н. Матчен-ко, А.Ф. Никитенко, В.Н. Николаевского, A.A. Трещева, Н. Флека и других. Описание некоторых из возможных подходов к моделированию свойств таких материалов приведено в обзоре литературы.

В данной диссертации рассматриваются свойства материалов, поведение которых может быть охарактеризовано на основе обобщенного критерия пластичности, предложенного Е.В. Ломакиным для дилатирующих сред.

Целью диссертационной работы является изучение поведения материалов, пластические свойства которых описываются обобщенным критерием, в условиях плоского напряженного состояния, вывод определяющих соотношений для плоского напряженного состояния, исследование влияния чувствительности свойств материалов к виду напряженного состояния на их прочностные характеристики, аналитическое решение различных задач для общего и частного вида зависимости свойств материала от условий нагруже-ния и сравнение полученных аналитических решений в рамках упруго-пластической модели с результатами численного решения задач для упруго-пластического материала, полученными с помощью метода конечных элементов.

Рассмотрены задачи об определении поля напряжений в окрестности углового выреза, растяжении полосы, ослабленной угловыми или круговыми вырезами, о поле напряжений в окрестности кругового отверстия в пластине из жестко-идеально пластического материала.

Научная новизна Результаты, выносимые на защиту:

• Выведены уравнения для напряжений и скоростей перемещений для ди-латирующего материала в условиях плоского напряженного состояния и исследованы их свойства. Показана связь выведенных уравнений с исследованным ранее случаем плоской деформации.

• Описаны некоторые виды полей характеристик и выведены уравнения, описывающие их форму для общего случая зависимости свойств материала от вида напряженного состояния, которые в частных случаях такой зависимости могут быть решены аналитически.

• Построены кинематически возможные решения задач о плоскости с полубесконечным разрезом, о растяжении полос, ослабленных угловыми или круговыми вырезами с определением полей напряжений в окрестности круговых и угловых вырезов для обобщенного критерия пластичности, характеризующего зависимость свойств материала от вида напряженного состояния. Приведены примеры данных решений для критерия Друкера-Прагера.

• Проведено сравнение полученных решений с численными решениями аналогичных задач для упруго-пластического материала.

Практическая значимость. В диссертации получены кинематически допустимые решения нескольких задач определения напряженного состояния в окрестности вырезов для дилатирующих тел и показано, в целом, хорошее соответствие между этими решениями и численными решениями аналогичных задач для упруго-пластического материала в ряде случаев. Полученные результаты могут быть использованы для предварительной оценки предельной нагрузки и для определения полей напряжений в окрестности концентраторов напряжений в задачах плоского напряженного состояния для тел, свойства которых зависят от вида напряженного состояния. Кроме того, полученные уравнения для полей напряжений могут быть использованы для построения решений других подобных задач, для тел другой формы или для материалов с критерием пластичности, отличным от рассмотренного. Достоверность полученных результатов определяется применением строгих математических методов для получения теоретических решений, а также соответствием решений, полученных с использованием различных методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Ломоносовские чтения. Секция механики. 16-25 апреля 2009 года, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова.

• Современные проблемы газовой и волновой динамики. Международная конференция, посвященная памяти академика Халила Амедовича Рах-матулина в связи со столетием со дня его рождения. 21-23 апреля 2009 года. Москва. МГУ им. М.В. Ломоносова.

• Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. Москва, 20-21 января 2011 года. X всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 года.

• Тайваньско-Российский Симпозиум. "Deformation^and Fractur.ein Technological Processes", 28-30 мая 2012 года, Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН и на научно-исследовательских семинарах:

• на научно-исследовательском семинаре кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН Е.В. Ломакина.

• на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри,

• на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [14, 17, 21], 1 статья в рецензируемом международном периодическом издании [79], 1 статья в сборнике трудов конференицй [18] и 3 тезиса докладов [15, 16, 78].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 139 страниц, из них 126 страниц текста, включая 63 рисунка. Библиография включает 118 наименований на 13 страницах.

Основные результаты диссертации:

1. Для исследуемого критерия выведены определяющие соотношения для плоского напряженного состояния.

2. Рассмотрены случаи гиперболичности и параболичности системы уравнений равновесия. В условиях гиперболичности системы уравнений равновесия найдены уравнения характеристик для скоростей и напряжений и исследованы соотношения вдоль них. Исследованы основные свойства полей напряжений в области гиперболичности уравнений.

3. Проведен сравнительный анализ решений для условий плоского напряженного состояния и плоской деформации дилатирующих тел.

4. Получены уравнения для построения центрированного поля прямолинейных характеристик и поля характеристик в центрально симметричной задаче.

5. Построены решения задач о полях напряжений в окрестности углового выреза, в растягиваемой плоскости с круглым отверстием, а также в растягиваемых полосах с угловыми и круговыми вырезами для общего случая зависимости свойств материала от вида напряженного состояния, а также для критерия Друкера-Прагера.

0. В рамках критерия Друкера-Прагера проведен анализ влияния чувствительности пластических свойств материалов к виду напряженного состояния на величину возникающих напряжений и предельных нагрузок. Продемонстрировано заметное влияние параметра, определяющего чувствительность свойств материала к виду внешних воздействий, на характер получаемых решений.

7. Проведено сравнение аналитических решений различных задач, полученных в рамках модели жестко-пластического тела с решениями аналогичных задач для упруго-пластического материала, полученными методом конечных элементов. Показано, что численные и аналитические решения задач для полей напряжений в окрестности вырезов весьма близки и аналитические решения могут быть использованы для оценки величины напряжений в этих случаях. В некоторых задачах о растяжении полос с вырезами аналитические решения дают верхнюю оценку предельной нагрузки, но при определенных значениях механических и геометрических параметров они могут быть использованы с достаточной степенью точности.

Заключение

Основным объектом исследования данной диссертации являлось исследование поведения материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния в условиях плоского напряженного состояния. В качестве условия пластичности использовался предложенный Е.В. Ломакиным обобщенный критерий, примениимый для достаточно широкого класса изотропных материалов. В работе проведено исследование определяющих соотношений для данного типа материалов применительно к случаю плоского напряженного состояния. В рамках модели жестко-пластического тела построены уравнения для определения напряженного состояния для нескольких типов полей характеристик уравнений равновесия для общего вида зависимости пластических свойств материала от напряженного состояния. Эти поля напряжений были использованы для построения кинематически возможных решений различных задач предельного состояния как в общем случае, так и для частного вида критерия пластичности. Проведено сравнение полученных решений с конечно-элементным решением аналогичных задач для упруго-пластического материала. Продемонстрировано достаточно близкое соответствие между аналитическими решениями и численными расчетами на основе упруго-пластической модели при описании напряженного состояния в окрестности вырезов. В некоторых задачах о полосах с вырезами, находящимися под действием растягивающей нагрузки аналитические решения могут быть применены лишь для верхней оценки предельной нагрузки, хотя для больших значений радиуса кругового выреза в задаче о растяжении полосы с симметричными круговыми вырезами аналитические и численные решения весьма близки.

1. Аннин Б. Д., Жигалкин В. М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: издательство СО РАН, 1999. С. 342.

2. Гениев Г. А. К вопросу обобщения теории прочности бетона // Бетон и железобетон. 1965. №2. С. 16-19.

3. Давиденков Н. Н. За и против единой теории прочности // Вестник инженеров и техников. 1947. № 4. С. 121-129.

4. Друккер Д. Определение устойчивого неупругого материала // Мхани-ка: Периодический сборник переводов иностранных статей. 1960. № 2. С. 55-70.

5. Друянов Б. А. Прикладная теория пластичности пористых тел. М.: Маш-ностроение, 1989. С. 168.

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / Под ред. Б. Е. По-бедря. М.: Изд-во "Мир", 1975. С. 271.

7. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. Москва: Изд-во АН СССР, 1963. С. 270.

8. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. Москва: Наука, 1969. С. 420.

9. Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1979. С. 208.

10. Кучеренко И. В. Никитенко А. Ф., Резников Б. С. Предельные нагрузки при неупругом деформировании элемнтов конструкций // Известия вузов. Строительство. 2009. № 6. С. 83-90.

11. Кучеренко И. В., Никитенко А. Ф., Резников Б. С. Предельное равновесие тел в случае плоского напряженного состояния с использованием обобщенного критерия прочности // Известия вузов. Строительство. 2010. № 8. С. 12-20.

12. Ломакин Е. В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния // Механика композитных материалов. 1988. № 1. С. 3-9.

13. Ломакин Е. В. Пластическое течение дилатирующей среды в условиях плоской деформации // Механика твердого тела. 2000. № 6. С. 58-68.

14. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Пластическое плоское напряженное состояние тел. свойства которых зависят от вида напряженного состояния // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2, № 2. С. 48-64.

15. Ломакин Е. В., Мельников А. М. Задачи плоского напряженного состояния тел с вырезами, пластические свойства которых зависят от виданапряженного состояния // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 77-89.

16. Ломакин Е. В., Федулов Б. Н. Пластическое деформирование полос из материала с зависящими от вида напряженного сотояния свойствами // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. № 4(54). С. 263-279.

17. Мельников А. М. Плоское напряженное состояние полосы из материала, свойства которого зависят от вида напряженного состояния // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. ч. 5. С. 2352-2353.

18. Никитенко А. Ф. Коврижных А. М., Кучеренко И. В. Единый (обобщенный) критерий прочности материалов. Сообщение 1 // Изв. Вузов. Строительство. 2006. № 11-12. С. 4-11.

19. Никитенко А. Ф., Коврижных А. М., Кучеренко И. В. Единый (обобщенный) критерий прочности материалов. Сообщение 2 // Изв. Вузов. Строительство. 2006. № 11-12. С. 4-11.

20. Николаевский В. Н. Механические свойства грунтов и теория пластичности // Итоги науки и техники/ Механика деформируемого твердого тела. 1972. № 6. С. 85.

21. Победря Б. Е. Численные метды в теории упруготи и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. С. 366.

22. Трещев А. А. Рависимость предельного состояния конструкционных материалов от вида напряженного состояния // Известия вузов. Строительство. 1999. № 10. С. 13-18.

23. Федулов Б. Н. Задачи пластического течения дилатирующих сред при плоской деформации: Кандидатская диссертация / МГУ им. М.В. Ломоносова. 2006.

24. Федулов Б. Н. Растяжение полос из дилатирующего материала // Вестник СамГУ. 2006. № 6/1(46). С. 167-174.

25. Фридман А. М., Ануфриев Ю. П., Барабанов В. Н. Исследование разрушения углеграфитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния // Проблемы пластичности. 1973. № 1. С. 52-55.

26. Alexandrov S., Barlat F. Modeling axisymmetric flow through a converging channel with an arbitrary yield condition // Acta Mechanica. 1999. Vol. 133. Pp. 57-68.

27. Alexandrov S., Lyamina E. Flow of pressure-dependent plastic material between two rough conical walls // Acta Mechanica. 2006. Vol. 187. Pp. 37-53.

28. Altenbach H., Zolochevsky A. A generalized failure criterion for three-dimensional beaviour of isotropic materials // Eng. Fract. Mech. 1996. Vol. 54. Pp. 75-90.

29. Armstrong P. J. Frederic C. O. A mathematical representation of the multiaxial Bauchinger effect: Tech. rep.: CEGB:Report RD/B/N 731, 1966.

30. Ashton M. D., Cheng D. C. H., Farley R., Valentin F. H. H. Some Investigations into the Strength and Flow Properties of Powders // Rheol. Acta. 1965. Vol. 4. Pp. 206-217.

31. Barlat F., Becker R. C., Hayashida Y. et al. Yielding description for solution strengthened aluminum alloys // Int. J. Plast. 1997. Vol. 13. Pp. 385-401.

32. Barlat F., Ledge D. J. Brem J. C. A six-component yield function for anisotropic materials // Int. J. Plast. 1991. Vol. 7. Pp. 693-712.

33. Barlat F., Lian J. Plastic behavior and stretchability of sheet metals, Part One: A yield function for orthotropic sheets under plane strain condition // Int. J. Plast. 1989. Vol. 5. Pp. 51-56.

34. Barlat F., Maeda Y., Chung K. et al. Yield function development for aluminium alloy sheets //J. Mech. Phys. Solids. 1997. Vol. 45. Pp. 1727-1763.

35. Billington E. W. Generalized isotropie yield criterion for incompressible materials // Acta Mechanica. 1988. Vol. 72. Pp. 1-20.

36. Briinig M. Nonlinear analysis and elastic-plastic behavior of anisotropic structures // Finite Elements in Analysis and Design. 1995. Vol. 20. Pp. 155-177.

37. Burzynski W. Studium and hipotezami wvtezenia: Ph.D. thesis / Akad. Nauk Techii. Lwow. 1928.

38. Cazacu 0. Ionescu I. R., Yoon J. W. Orthotropic strain-rate potential for the description of anisotropy in tension and compression of metals // Int. J. Plasticity. 2011. Vol. 26. Pp. 887-904.

39. Cazacu O., Plunkett B., Barlat, F. Orthotropic yield criterion for hexagonal closed packed metals // Int. J. Plast. 2006. Vol. 22. Pp. 1171-1194.

40. Cazacu O., Stewart J. Analytic plastic potential for porous aggregates with matrix exhibiting tension-compression asymmetry //J. Mech. Phys. Solids. 2009. Vol. 57. Pp. 325-341.

41. Chen W. F. Plasticity in Reinforced Concrete. New-York: McGraw-Hill, 1982. P. 474.

42. Chen W. F., Mizuno E. Nonlinear Analysis in Soil Mechanics: Theory and Implementation. New York: Elsevier Science Publishing Company Inc., 1990. P. 661.

43. Coulomb C. A. Essai sur une application des regies des maximis et minimis a quelquels problemesde statique relatifs, a la architecture // Mem. Acad. Roy. Div. Sav. 1776. Vol. 7. Pp. 343-377.

44. Deshpande V. S., Fleck N. A. High strain rate compressive behaviour of aluminium alloy foams // International Journal of Impact Engineering. 200. Vol. 24. Pp. 277-298.

45. Deshpande V. S., Fleck N. A. Multi-axial yield behaviour of polymer foams // Acta mater. 2001. Vol. 49. Pp. 1859-1866.

46. Drucker D. C. Limit analysis of two and three-dimensional soil mechanics problems // J. Mech. Phys. Solids. 1953. Vol. 1. Pp. 217-226.

47. Drucker D. C-, Gibson R. E., Henkel D. J. Soil mechanics and work hardening theories of plasticity // Trans. Am. Soc. Civ. Eng. 1957. Vol. 122. Pp. 338-346.

48. Drucker D. C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis for limit design // Quarterly of Applied Mathematics. 1952. Vol. 10, no. 2. Pp. 157-165.

49. Freudental A., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physik. Bd. VI. Elastizität und Plastizität / Ed. by S. Flügge. Springer, Berlin, 1958. Pp. 228-433.

50. Gao Z., Zhao J.; Yao Y. A generalized anisotropic failure criterion for geo-materials // Int. J. Solid Struct. 2010. Vol. 47. Pp. 3166-3185.

51. Gudehus G. Elasto-plastic constitutive equations for dry sand // Archives of Mechanics. 1972. Vol. 24(3). Pp. 151-169.

52. Guowei M., Iwasaki S., Miyamoto Y. Plastic limit analyses of circular plates with respect to unified yield criterion // Int. J. Mech. Sei. 1998. Vol. 40(10). Pp. 963-976.

53. Han L. H., Elliott J. A., Bentham A. C. et al. A modified Drucker-Prager Cap model for die compaction simulation of pharmaceutical powders // International Journal of Solids and Structures. 2008. Vol. 45. Pp. 3088-3106.

54. Hashagen F., de Borst R. Enhancement of the Hoffman yield criterion with an anisotropic hardening model // Comput. Struct. 2001. Vol. 79. Pp. 631-651.

55. Hershey A. V. The plasticity of an isotropic aggregate of anisotropic face-centered cubic crystals // ASME J. Appl. Mech. 1954. Vol. 21(3). Pp. 241-249.

56. Hill R. A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic materials Proc. Roy. Soc. London. 1948. Vol. 193. Pp. 281-297.

57. Hill R. Theoretical plasticity of textured aggregates // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1979. Vol. 85(1). Pp. 179-191.

58. Hill R. The mathematical theory of plasticity. Oxford: Clarendon Press. 1998. P. 366.

59. Hoek E., Brown E. T. Empirical strength criterion for rock masses //J. Geotech. Eng. 1980. Vol. 106(9). Pp. 1013-1035.

60. Hoek E., Brown E. T. Underground Excavations in Rock. London: Institution of Mining and Metallurgy, 1980. P. 536.

61. Hoek E., Brown E. T. The Hoek-Brown failure criterion a 1988 update // Proc. 15th Canadian Rock Mech. Symp. 1988. Pp. 31-38.

62. Hoffman O. The brittle strength of orthotropic materials //J. Compos. Mat. 1967. Vol. 1. Pp. 200-206.

63. P. 7 w t? a rronovoliryarl ratmp -inoln an // aq1\/tt? t a- • ± i. ^v^n^i 0.11/jou iow ox u^io j iAviva uotuiun j / i Lk; ivi o. -fLJ^^l.vy I . IXVUiWl u » » •

64. Mech. 1972. Vol. 39(2). Pp. 607-609.

65. Hutchinson J. W. Plastic stress and strain fields at a crack tip // J. Mech. Phys. Solids. 1968. Vol. 16. Pp. 337-347.

66. Karafillis A. P. Boyce M. C. A general anisotropic criterion using bounds and a transformation weight tensor // J. Mech. Phys. Solids. 1993. Vol. 41(12). Pp. 1859-1886.

67. Kotsvos M. D. A mathematical description of the strength properties of concrete under generalized stress // Mag. Concrete Res. 1979. Vol. 31(108). Pp. 151-158.

68. Krieg R. D. A particular two-surface plasticity theory //J. Appl. Mech. 1975. Vol. 42. Pp. 641-646.

69. Kurtyka T., Zyczkowski M. Evolution equations for distortional plastic hardening // Int. J. Plast. 1996. Vol. 12. Pp. 191-213.

70. Lade P. V. Elasto-plastic stress strain theory for cohesionless soil with curved yield surface // Int. J. Solids Struct. 1977. Vol. 13(11). Pp. 1019-1035.

71. Lade P. V. Modeling failure in cross-anisotropic frictional materials // Int. J. Solid Struct. 2007. Vol. 44. Pp. 5146-5152.

72. Lade P. V., Duncan J. M. Elastoplastic stress-strain theory for cohesionless soil // J. Geotech. Eng. 1975. Vol. 101(10). Pp. 1037-1053.

73. Lade P. V., Musente H. M. Three-dimensional behavior of remolded clay // J. Geotech. Eng. 1978. Vol. 104(2). Pp. 193-208.

74. Lode W. Versuche über den Einfuss der mittleren Hauptspannung auf das Fliessen der Metalle Eisen Kupfer und Nickel. // Zeitung Phys. 1926. Vol. 36.pn 01q0^q«/ J. kJ \J •

75. Lomakin E. V., Melnikov A. M. Limit plastic state of notched stripes with Stress state dependent properties // Deformation and Fracture in Technological Processes. Key Engineering Materials. 2013. Vol. 528. Pp. 79-88.

76. Matsuoka H., Nakai T. Stress-deformation and strength characteristics of soil under three different principal stresses // Proc. of Japan Society of Civil Engineers. Vol. 232. 1974. Pp. 59-70.

77. Michelis P. Polyaxial yielding of granular rock //J. Eng. Mech. Div. 1985. Vol. 111(8). Pp. 1049-1066.

78. Mogi K. Effect of the intermediate principal stress on rock failure // J. Geophys. Res. 1967. Vol. 72. Pp. 5117-5131.

79. Mogi K. Fracture and flow of rocks under high triaxial compression //J. Geophys. Res. 1971. Vol. 76. Pp. 1255-1269.

80. Mohr O. Welche Umstände bedingen die Elastizitätsgrenze und den Bruch eines Materials? // Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure Band. 1900. Vol. 44. Pp. 1524-1530.

81. Mroz Z. On the description of anisotropic workhardening //J. Mech. Phys. Solids. 1966. Vol. 15. Pp. 163-175.

82. Mroz Z. An attempt to describe the behaviour of metals under cyclic loads using a more general work-hardening model // Acta Mechanica. 1969. Vol. 7. Pp. 199-212.

83. Mroz Z. On generalized kinematic hardening rule with memory of maximal prestress // J. Mech. Appl. 1981. Vol. 5. Pp. 241-259.

84. Murrell S. A. F. The effect of triaxial stress system on the strength of rocks at atmospheric temperatures // Geophys. J. 1965. Vol. 10. Pp. 231-282.

85. Ottosen N. S. A failure citerion for concrete // J. Eng. Mech. 1977. Vol. 103(4). Pp. 527-535.

86. Pictrusczac S., Mroz Z. Formulation of anisotropic failure criteria incorporating a microstructure tensor // Comput. Geotech. 2000. Vol. 26. Pp. 105-112.

87. Plunkett B., Lebensohn R. A., Cazacu O. Barlat F. Anisotropic yield function of hexagonal materials taking into account texture development and anisotropic hardening // Acta Materialia. 2006. Vol. 54. Pp. 4159-4169.

88. Prager W. Strain hardening under combined stresses //J- Appl. Phys. 1945. Vol. 16. Pp. 837-840.

89. Pramono E., Willam K. Fracture energy-based plasticity formulation of plain concrete // J. Eng. Mech. Div. 1989. Vol. 115(6). Pp. 1183-1203.

90. Pramono E., Willam K. Implicit integration of composite yield surfaces with corners // Eng. Comput. 1989. Vol. 6. Pp. 186-197.

91. Roscoe K. H., Burland J. B. On the generalized stress-strain behaviour of 'wet' clay // Engineering Plasticity / Ed. by H. J. L. F.A. Cambridge at The University Press, 1968. Pp. 535-609.

92. Roscoe K. H., Schofield A. N. Thurairajah A. Yielding of clays in states wetter than critical // Geotech. 1963. Vol. 13. Pp.-,211-240.

93. Roscoe K. H., Schofield A. N., Wroth C. P. On the yielding of soils // Geotech. 1958. Vol. 9. Pp. 71-83.

94. Schellekens J. C. J. Constitutive relations and failure criterion for anisotropic composites: Tech. rep.: TU-Delft report no. 25-2-89-5-07, 1989.

95. Schlcicher F. Der Spannungszustand an der Fliebgrenze (Plastiz-itatsbedingung) // Z. Angew. Math. Mech. 1926. Vol. 6. Pp. 199-216.

96. Shield R. T. On Coulomb's law of failure m soils // .. Mech.Phys. Solids. 1955. Vol. 4(1). Pp. 10-16.

97. Soare S. Barla.t F. Convex polynomial yield functions //J. Mech. Phys. Solids. 2010. Vol. 58. Pp. 1804-1818.

98. Sridhar I., Fleck N. A. The multiaxial yield behaviour of an aluminium alloy foam // Jurnal of Materials Sciences. 2005. Vol. 40. Pp. 4005-4008.

99. Tresca H. Mémoire sur lécoulement des corps solides soumis à de fortes pressions // C. R. Acad. Sei. Paris. 1864. Vol. 59. P. 754.

100. Tsai S. W., Wu E. M. A general theory of strength of anisotropic materials // J. Comp. Mat. 1971. Vol. 5. Pp. 58-80.105. von Mises R. Mechanik der festen Körper im plastisch deformablen // Zustand. Göttin. Nachr. Math. Phys. 1913. Vol. 1. Pp. 582-592.

101. Willam K. J. Warnke E. P. Constitutive model for the triaxial behavior of concrete // Int. Assoc. Bridge. Struct. Eng. Proc. 1975. Vol. 19. Pp. 1-31.

102. Yoon J. H.; Cazacu O., Yoon J. W. Strain-rate potential based elastic/plastic anisotropic model for metals displaying tension-compression asymmetry // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2011. Vol. 200. Pp. 1993-2004.

103. Yu M. H. Plastic potential and flow rules associated singular yield criterion (in Chinese): Tech. rep.: Res. Report of Xi'an Jiaotong Univ. Xi'an, 1961.

104. Yu M. H. Brittle fracture and plastic yield criterion (in Chinese): Tech. rep.: Res Report of Xi'an Jiaotong Univ. Xi'an. 1962.

105. Yu M. H. Twin shear stress yield criterion // Int. J. of Mech. Sei. 1983. Vol. 25(1). Pp. 71-74.

106. Yu M. H. Advance in strength theory of material and complex stress state in the 20-th century // Applied Mechanics Reviews. 2002. Vol. 55(3). Pp. 169-218.

107. Yu M. H. Unified Strength Theory and its Applications. Berlin: Springer, 2002. P. 412.

108. Yu M. H. Generalized plasticity. Berlin: Springer, 2006. P. 447.

109. Yu M. H., He L. N. A new model and theory on yield and failure of materials under the complex stress state // Mechanical Behaviour of Materials-6 / Ed. by M. Jono, T. Inoue. Pergamon Press, Oxford, 1991. Vol. 3. Pp. 841-846.

110. Yu M. H., He L. N. Liu C. Y. Generalized twin shear stress yield criterion and its generalization // Chin. Sci. Bull. 1992. Vol. 37(24). Pp. 2085-2089.

111. Yu M. H. HeL. N., Song L. Y. Twin shear stress theory and its generalization // Sci. Sm., Ser. A, English edition. 1985. Vol. 28(11). Pp. 1174-1183.

112. Zienkiewicz O. C., Pande C. N. Some Useful Forms of Isotropic Yield Surfaces for Soil and Rock Mechanics // Finite Elements in Geomechanics / Ed. by G. Gudehus. John Wiley & Sons, Inc, New York, London, Sydney, 1977. Pp. 179-190.