Задачи с нелокальными краевыми условиями для дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1ЧЕРШВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ 1М. Ю. ФЕДЬКОВИЧА

ГОЙ ТЛРАС ПЕТРОВИЧ

УДК 517556+511.2

ЗАДАЧ! 3 НЕЛОКАЛЬШШИ ГСРАЙОВИМИ УМОВАМИ ДЛЛ ДИОЕРЕНЩАЛЬНИХ РШНЯПЬ

13 ЧАСТШШИМИ ПСШДНИГ.152

01.D1.02 - дтгфсрепщ'ялыа рЬззшшя

АВТОРЕФЕРАТ дисертыи! па эдобуття паукового ступеяя кгадмдата ф13~:го-:?2те.'!аттпгг: пдув

Чернила - 1953

Дисертац1ею с рукопис.

Робота мкокака у ваддал! мзтематично! физики I петитуту прикладних проблем кехашки 1 математики 1м. Я.С Шдстригача HAH Укра5ки.

Ндукоокм KepiuniiK - доктор ф!зико-иатематичних наук, професор ПТАШНИК

0<$п(дйт опопспти: доктор фгзико-матекатичюсс наук, професор 1ВАСИШЕН

Проюдда устапова - НАЩОНАЛЬНИЙ ТЕХШЧНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ

УКРА1НИ ("Кшвеький паттехтчиий институт"), кафедра вшдо! математики № 1, м. Кшя.

спеадалЬосаио! мгиэ! радн К 70.051.02 у Чершвещжому державно чу ушверситетп tu Ю. Федькссача еа одресош: 274012, u. чериец), кул. Ушвгрситетська, 28, катека-тичкяй факультет.

3 юзсертац!сю шхяоа озкабодагкся у uayicoidfl б1бл1отец1 Черншецького - ■ужа.вжго укдорсжтету Ы КХ Федьковяча (274012, u. Черты?, пул. Л. Укражхн, 23).

БОГДАН ЙОСИПОВИЯ, 1нститут прикладних проблем механ!ки i математики iu. Я.С Шдстригача HAH У крайни, заюдувач шддалу математично! физики.

СТЕПАН ДМИТРОВИЧ, Чертвецький держа вний ушверситет iu. Ю. Федьковича, оашдусач кафедри матекаткчного моделювання;

кандидат ф^зико-математич'юсс наук, старший науковий айвробтгак НИТРЕБИЧ 31НОВ1Й МИКОЛАЙОВИЧ, Держа вний университет "Лышюька пол1техшка", доцент кафедри обчислювально! математики i програцуваши.

Захает «¿дбу деться '¿О" lI f-C^bilQ 133g р. 0 7 7 Годиш на заадашп

А*тор*ф«рат роз5славай « /Г» 1083 р.

ВчекаА секретер

счгса! рада _

Садов"яп А-М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА POEOTÎÎ

АПТУАЛЫПСТа ТЕШЬ Iirrepec до гагач з келокзлыкмя ispaflocjosi уетгакя для даферашцалыс« piaaraa Í3 пастйшяпги noxtooœx та диференц!алыю-опера-тортос piEiLua зукэзлекяЯ гас потребаки сагалъга! Teopil крайсвих садач, «к i ti широким практичном гастосуЕзнияи (катеиаткчиа С1олог1.ч, ф!знга плазкм, прсцееа пифут!, колксага., сале- та еологоперенссу a грунтах тощо).

Вперше пелекальт крайой умовя, ща узагалыазюгь укаю» пср1одачт»сг1, зустр!-часко а одязй з poSit О.О. Десна (1983 р.). Загалыга сзгачекня та класиф1Еац»я кело-калысос крапоакх задач були яаш АЛЛ. Наоушевим (XS85 р.). У роботах С.О. Деа1га, АХ. Мамяка, В.К. Рокакка було ктавоалеио, н*о для багатыяс дкферг!2Йалыпсх pícimHb S3 частшшимм поздними а дэгасих областях коргкпэ постаногга cpaSoEol задач! итоклига лише при залучекк! нелокалыоя укса.

Задач! з налоплл11ЕН1и tcpaSoaiiaí уиомгми для дяфереи^алчссс. piniigxa fa таьтиюпши пшйдаими та етферс!вдалы:э-опсратср1з« pîsrnna сивчалксь у роботах Я.О. Баракецького, A.A. Бервзсйського, A3, Шцадзе, D.M. Еорок. О.О. Дейт, С.Д. ЕЯдельгага, Ti. Kiiypajns, LH. Kkirb, В.П. Лапре:геука, СЛ. Лаереквка. A.A. Макарова, В.А. Малггичяо, Î.LL Мопйчука, 10.0. Митрсяольеькгго, З.М. Ннтребкча, O.K. Роканка, OJL Скубачесськсго, Л.В. Фардягслн, MX. Щгаиуксса, M.ÍL 10р>!ука та üi, да, в симптому, сидЗлей регулярй сяпадая садач, щэ ¡ипдючають noray 1ялкя зиамгвгенйв, або SKcioM3iK4iK> гаклздзкггьсл унэгя гпдэкрсмлекоЫ йд пуля кзлгас asatnaiBsnda, ш,э габезпгчуе розз'язкЗеть casvrt. Одгаг педсгалмй npaßod задач! для загальккх дяференнЗаляих оперзтор!з 1з •астккнгтея пааЗдгсия с, кагал!, теггрект-icnst, а пигзки про îx рсзз'язгйгть у Сагатъсх стадах по^ягакг э проблем» галмх этамеикяйв.

У роботах LO. Бобкха, ILM Задзрежге!, ЕС. te-riia, JLL Кстрхзппко!, D.Î.L lTa,ii-гдук, Б.Й. Птзск-п я сбластяг, кр с дгг-артсгкм добутгзм йдр'-зяа га rep, яоел^джу-sajn'.a кгриулярй скпадкз аадач э палоталяпхма д^з-ж^тч уиомма (п^з узагаль-гаоють укает пср^дкчкзсг!) га кетягн»»' скаяя Í гля írf:d.1i:xx гшербол^чнзсс, пдраб&тчгасг та бозтклпкг рЬткп» i сиетги pimjna доеЬтыяго

порядку ai стзлпим та сбитая sa t 'ггеф^сягаш!; Одгрясай угпЕЯ одкззлзчкз! розз'яяю«! гадач у шииые сс5олсгсьг.ш; сросгоутз аагиспззго та безмгжисго порядив, Догедеиэ кгтричи тЕерпкгюет про сщпса гвязу гзл?з ssstîsccnda, çni сякскаеггь при побудои рсзз'язяа розтллдугаЕзэс задач; пря щеку сягсрястогуютьсл рсзульг-ти

та катод» «ютргав! теорН чисел, розроблеш акад. ВТ. Ссрикджукои, а також отрикан! у суюсклх роботах ВЛ Беркика та £хЙ. Пташняка.

Дока дисертащя, тса продоккуе вяазакий иапрямэк дослвдженъ, присвячгна сипчгшш саддч г агяок&яивит даэточгмьшз! крайосими уковами за вищленою згакняо С та деяггига« умоЕйии га (уюш пгр^одичиосп, укоси типу укав

Д1рЬслв, пгдокалый ееоточксе! уьагя) для лиайних та слабконатгайюсс диферешраль-(ссс р1&кянь 1 систем ришдоь 1з часткшоши поэтдниия еисокого порядку я заашшми га х коефодснтаки у цклищргЕт.рос областях з доалывши обмеженхыи ссносаым.

¡зз-азоз' ровото з наувовшш прогоамаодх вдаеашз, темами

Результата двсертацп отрикан! а ра&ках кжсиаиня бюдасетна! теми "Розребка фушздогалыэ-опсрагорщя кг?од5а дослщженпя та псбудоЕИ рсзв'язгав нейласичних задач для диферекц!альимх рЬеняс. а частикакии псапдииии" (Кз дсрж. реестраци: 013317033341) та проекту Дергкаагюга фовду фуида иенгальюос досл!джеиь "Досл1джвшя корвхтыэ] роза'ютост) та Еластнвегтей розв'кзгав нгкласмчшос крайошсс задач для лип'йюос 1 нелШйикх р^Ешаа ¡з частишкки похвдмиз!" (№1.4/305).

МЕТА 1 ЗАД&Ч1 ДОСЛЩЯЕЕННа Зваходженяя у коя коректносп у р^зщгх фуюсц!отльщас просторах аалдч а валакальнягга крайоаики указами для лйпйшгх та налЫйких рдатш. 1 сзстеи рш!.ш 1з частикюгшгпс&Лдкию! ет столики та ишшяш! га г 1сосф1ц1ситама & ббгггжешос цшйндрхчю-с: областях. Конструктивна побудопа роэ-в'юп> задач. Доведения тьерджень котркчкого характеру про ыдкхн знизу калкх зшмошиие, »ца Ехникаатъ при поОудой рсзз'гале резглядушиих гадач.

НАУКОВА ПОШ£ЗЯА, 0ДЕР21АЯШ: РЕЗУЛЬТАТОВ. У дисертацп »стали подальшай рэзеиток 1дг1 та мэтоди доелдашви у моща каректюо: крайоькх задач для днферегаральких ршиао. Ь часткшсшя паядакьек, розроблеш в роботах БЛ. Пт£1згасх2 та йсго учшв, стосоиа загалыашкх клаов р^пшшь та областей. У робот) шерше гстаыоалет уизгга ¡сну салют, сдикаст! та каперершяп залежиосп ад прасих стаи р1гяжэ. ! праЕгсс чистки храбошсс уиоз реза'нзгпв садач г нелокальными уггзааха га. Емд}лс!1сео г для: 1) лиЗДюсх гглербатчкхх та безткпшсс р1к[ЯхЬ 1

сг.стси р^Еляо. та слабконслшШыях штегро-диферетзальких р1скяш. и частиниими ссопдгаку а з^шгазс! га 2„...,х, ксеф1щс:гга1.:к у дозлькШ сЪшгжгкШ цкл1ндричшя с^--иг<1 & унзсакх типу укоа Д^рссле на П С1Ч1пД соверзга; 2) л^шЯгаос сл1птичю1Х ргшяиь 31 сталк>а Еогфапрситаиа у ердиоеутю^у 13 гатшшепш д^оточкогмшз унэаа-км ¿л з'йшез х; 3) слаБговзлтШхкх Нпербшпчцюс ршплиь слсояого порядку 1а

площиш у клас1 фуккщЯ, 2я-пер1одичшос за просторосою координатою. При цьому покапано, що роза'ютйсть цих задач с пастШкои йдзюага параметра областей та коефЩата р!внянъ.

Доввдек! поп кетричт теореки про оц1кха зкизу калюс зтамгкнкпв, з mas Еипливзе одиозкзчга розв'кзшсть рсзгллдутвсс задач для кайже ccix (йдноекэ t-dpa Лебега) ксефвдс>гг1п piEiusn. та парамгтр!в областей. Конструктива) побудгтап! формул:! для розз'язк!в задач у еигляз! p.irfa за систекзия ортогидлызс: фуняц1й, кк1 Moscta сикористати при розв'яза1ш1 копярепгие задач практики.

ПРЛ1ГПГШЕ ЗНАЧЕНИЯ ОДОТКАЯИХ ГЕЗУЛЪТАТТЗ. Дисертацдя кае теоретичиий характер. Ii результата тхиуп згайти саетссузаияя прм пяэтегай кошфопг.ж задач практики, гатекатичпяки кзделíebi ктах с розгляцут! в ida иелокальгё крайоа задач1,

ОСОБЦСШЙ ВПЕСОП ЗДОБУЗАЧА, OcjMEid результат:« rocepTaigl отрицай автором cairocTiñi-:o. У cyiácraoc роботах [1,2,5-3] ВЛ. Птагаику гзле::сять постановка задач, передбачешм та акзл!з одеряэннх результат!!!, а у erani [Í] D.M. Пал11ду8 довела теорему едякосп розз'язку (reopeia I) та побудугэлз фортльтаЗ рсзз'/соа резглязувакэ! задач! для одзкзр^днзго piscina.

АП?ОВАДШ РОБОТ?! Результате яоайякал булл оярклидтей га:

- МЬшародгёЛ катекатичнЫ понферекцЯ, приезячшйЯ natffrtf Ta¡í» Гага (ЧершгдЗ, 1334 р.),

- ВсеуграйгеьгаЗ тукогЛй гопфгргпд?! "Рсзрсбга та г^стссутлг^п татгттнчхея методзв в гаукоЕО-теснгакх дгегадм'.еэта:", прзегячейЯ 70-р1чтг) tía для гароякеяая профсеора ILC. Kasmcpcixoro (Дьйп, 1525 р.), ,

- eesdrapas кзлодкх ечггзпе IiKrnyiy гркпязяют грс*л?я кяайкя i гатекатяки i» Я.С Шдетригача HAH УкраЬяг, пряязязсягс: патгят1 згл-:?-:г-з Я.С. ГПдггрягача (Льпв, 1995, 1905 рр.),

- сспфереш$1 "HerfiöÄid проблем:! даийгу" 1030 р.),

- МЬккародгйЯ кенферсяпЛ "НглоЕЗЯыЗ ергй«1 п.т-'Л 1 cnspfcrjrd срсблека tiTs-катмчпо! С5олоп1,1лфоргагяги 1 (Pcá.% Елльт-г, 1558 р.?,

- Ммепародшс: гонферспгвяг Jwsd asajiiäкз ti lípas^yr-i (Кшв, 1S9S, 1SD7 рр.).

- МЪкетродгзЯ кояфсргкзП "Hc.'áníüd якфвретйаяыЗ pitnnrsw з часгакцца» псводкимн" (Кк5з, 1937 р.).

- МшаароднШ конференцП "Асикптотич1П та raricm метода в теори нелшйних коли-ваиь" (Kmîb, 1997 р.),

. sa ода ни ЛыЗеського юського семдару з дафереицшльних piciiraib (1997 р.).

ПУВЖЕАЦЙ. Осковн! результата дисертацп опу&ткован] у 6 статтях (у наукових 'журналах - 4, у ЫНрниках наукових праць - 2) та 3 тезах кпжиародних конференхуй. Список цих роб!т подано в Kitatf автореферату.

СТРУКТУРА ДКСЕРХАЦй Дисертац^йка робота складаеться 3Î вступу, перел^ку уцоЕЮсс позначен!, 5 розд!л!в,'висновк1в та списку латератури, що гастить 130 найме' кувань. Загалышй обсяг роботи 140 еторШок.

ОСНОВНИЙ 3MICT РОБОТИ Надап вякористовуватимеиэ тай позначешш:

ЕР . р-виюрний ййсний еаыйдщ проспр; Z+ - множика точок Rp з цхлими неыд'ем-

шиа координата &вг, Х={х{—хр)еЛр, (t,x) = {t,x{,...jp) [q\=q{+...+qp,

GcVlp - обмгжеш область 1з косеть гладкою кежею ÔC; • Q = {(,t,x): t e(0,î), х eG} ;

елшткчкай в G оператор з досить гладкими ксефщснтаии Рц(х)>0 та q{*)iû, (Х,(а), feeN} - погка ортонэрмосака в ¿i(G) система власиих функций задач!

1Х(х) = -Щх), =

feefi) - cisnodwa система власних звачекь; для них справедлив* асииптотичга

OUÎK5M

сок2'* ¿Xticlk2/p, 0<сс*с{,1геN; (1)

C'(ZJ) - Птлзтпв npcrrip фукзщШ v(i), нгперерысос разом з yciiwa поздними до геркдху Г ЕХЯ&ЧЗЯ В BSBZlSnÛik вЗлзеп г вор мою

- адсоадкаЗ Ьалу праспр сггтср-фуютя2; - Êaixaxia npccrip фунх-

jjfl Ц«)з взршэ»

- 6aiaxiB npocrip вектор-фушсцШ u(tyx)=(u¡(t^),...^tK(t^))a нормою

« = .....

У встуш дисертацП розкрито стан наукою! проблеии, обгрунтоЕЗна аиуальйсть тематики дисертацп, сформульовага кета та задач достижения.

У ntjsiarry роздал дако короткий сгляд литератур и, пов'пзато! з тегатикоа дисертацп, а в другояу - обгрунтовакэ ek5¡p гапрямку досл5да1е»а. та вмкладекэ загальцу методику розв'язання розглядуваюсс у дасертац11 задач.

Третш роздал "Задач» з иелокалькнки деоточкоеими умогаки для лшШнкх дяфе-ренщалышх ргвшшь \з часткгашки noxinjmim" пркевлчекхй досл1д:кгкшэ келокалыих крайопих гадзч для гшер5ол1Ч1»сс, едштичгсиг: та безткпких piшопа si столики та зкзшшми за х коеф'ндагтамд у щьтндричюое областях. Вставзгленз класичиу всрект-ш'сть цкх задач для тайнее bcíx (пдкоснэ (йри Лебега) ccirrcpis, склздгюгх 1з параметров задач! Ка приклад! безткшюго оператора si skíkjcíííji са х коеф!.к;сита:г<1 показано, як результата дослщжешм розглядусаюк у poEori лЫЗтас' задач перево-сяться из Еипадок, коли лшйний оператор збурений иал5шй!ста 5нгегро-дкфереа-щальним доданком.

У {3.1 в обласп Q досгадакуеться гагата

Z hß(-i)3

J*2sí2n J<2n

V«(f,*)

1

t-T'

(2)

(3)

(4)

да aj ей, cq zO, c„ =], b,p eC, jie-C\{C},' оператор P - строго ппср6ал5чяка за Пет-ровсыдем.

Роза'нзок задач! (2Н4) шукаягэ у емгллд! ряду

б

о

"('.*)= 2 "i Wtto. (5)

kx¡

кетккий <uieu ксого задавольнпс ушей (4).

Теорваза 3.L Для едюист! розв'язку saaa4i (1)-(3) у простор! С2"(g) необядно i досить, що5 вяклтукшксь укзся:

(Д.*еЛ) j = lr..,n, (G)

• m

де - додатвЗ кореш ршетння ^п2"' =0.

Як:цо то nepisKOffri (6) вяконуатьсл для adx \¡. еЛ; якщз ж то для викокання KspiBaocreS (б) иго{Ьадвд i досить, що5 шдпошдно справдокувались укови (УХк еЛ, VmeZ)

Припустимо, KP виконуються укози (6),(?). Той спраьедлиш наетупш твордження.

Теореиа 2.2. Еехай ¡¡i{#i i похай функцп .Дгд) та М,...,2п, Еадоволькяють уиаая

At,x)eC^UU). tfifif.x^O.^OJ.....[h0l2\ (8)

ÇlW^'^ l = l^iixj^O, n=0J....,[hi/2l (9)

да h0=[3p/3]+2, k¡ ¡=[3p/2]+l+l, .....2л. То» для дольних чисел Т, с,-, by¡ icwryc

сдакяй рсзз'язок гадач! (2)-(4), який калгжить простору C2n(Q) i неперерагю задгаспъ ад фуккцШ ДЛл) i çj (*), ,2i.

Теорема 2Л. Hesaä f пехай $сиуготь кодатга стал! А/ та у та ri, що для ecíx (cpia esäirssszaro чггла) сзачвкь в Л Еикоцукггься BepsBHocri

(/- ^cpíü^tj^ i ЛО.;т, J=i,...,n. (10)

Яевд фукхци J\tji) i задаззлыиать умогя (8)Д9), да ^ = [3p/2]+2(y + Í),

Л; = [ípí2l+2i+l+i, то для дральяах biß icisyc сдакий розз'кзок задач1 (2у

(4) э простору C^ß), язогй Егперс-ргаэ саяеяснть Eis фуюара Д/^т) i <?/ (i), /=•/,•■■ ,2л.

Допояоно (теорема 3.4), що для кайжв сох (пдютно ьерк Лебега п П) чисел Т та для йоезльшж фжсоканих ц(!)1Н) 1 1=0.1,...,п, 1:ср1ЕНост1 (10) пжонуться при -р*р/2 для них (крш екнлешяго числа) отчет. А* еЛ.

У §3.2 результат попергдньегэ параграфа порг!:зсягг>гя сятадзк Сгзтипяого диферепц&лыюго рЬнягаи пагалыпшого екглязу я ¡гкЬввиги Есефвдаг?й!.:и (ля л1:зЛ-ного, тгк 1 збуреного нгтгйРлглы $нтегро-дифс-ргщ1алы:км оператором). Тут синаята иеобхотйсть г.икор:!сташш таких простор'.в:

я" - \<;(х)е 12(су. ф)=?кхк(х), Ък^ -2"„,Ыегр{5*в)<®}. Я.

- прогпр фугаацй \'(Г,дг), 2::з!ачо:зсс 1 кэпзрсркс« п с5л1гп §, гсп для кеяенего /е[0,7] галеяать простору Б", ) = Дг

У п.3.2.1 а облзел б досддасусться задача

см), (П)

,/=£>1=0

-«¿М 1-0. г=/.....(12)

г = 0,!,...,Ь-!, (13)

да еС, )г о С\ {0}; гл тип оператора Р оСмккскь к-г какл.греться.

Позгачккэ через А—>;зрс!п р1сютп:я

(14)

гаЗ для спрогдегсгя еяклядох кажлтнкег» попарно рк-пг-г-о тз Еотзгег-г.'С! ад »удя ,тля Л* с Л. 51 структур» (14) гкпликшгь гаН ецмея!

ь/х^лйсл^. а>0, я*ел,у = /,...,я. ' (15)

Для сдиносН розв'яэку задач! (11)-(13) у простор! С^^Ц)) необидно 1 досить (теорема 3.5), щоб вико ну вались уиови:

(х4еЛ) ;-ц«р(т]у(х4)г)*о, ]= (16)

При виконанм умов (16) справедлива кастуши теорема.

Теорема 3.6. Нехай !снуютъ додатн! стал! пц.щ,!¡лз там, що для встх (крш сгончекного числа) зкачень еЛ виконуються нергвиос-п

[/-це^п/Х^Г^^АТ^еч^НИеп^Яг), /=1.....п, (17)

.....<18>

9=' Я*/

i нехай I С1 - стал! з оцшок (15) 1 (1) шдпоевдю.

"Года для дойльюя ¡1 1 ¿¿д ¡снус единий розв'язок задач! (11)-(13), якнй належить

простору С^^(Й) ! неперервно залежить шд функцп

Доведено, що нер1Вкосп (17) виконуються для иайже вс!х (шдносно шри Лебега в В) чисел ТХ) ! для довмьних Ц » Оу, при У1>р/2, а нер)еносп (18) справдасуються

для каЛже вс1х (шдноево ы!ри Лебега в простор! В.^"^')) вектор!в, складених ¡з дайских та уядосс части» коефщотв а]г ршняння (11) при ъЦп-1)(р/2+к{п-3)У2 (теорем* 3.7 1 ЗЛ).

У п. 3.23 розглядасться задача з умовами (12Д13) для ргвняння

(15)

о

до оператор Р той с&ияй, ио у р!внянк! (ИХ « бС\{0},

функщя визначека 1 неперервна в обласН дхС, а при ф!ксо&аюсх ¡у тал ежить

простору ЗрЛ/р, р >ЗаТс1, функщя Р(Г,х,п) визкачеиа ! неперервна в облает!

,г) та задовольиле в тй умову Лшшиця за упма компонентами вектора а, 5(и°,г)={иЦ,х)еС<пЖц2): и"(Г.х) - розв'язок задач! <11>-(1Э>.

За умов однозначно! розв'язност! незбурено! задач1 (коли с=С), тебто задач! (11)-(13), задачу (12),(13),(19) заедено до екшЕалентного 5й Нггсгро-диферекщалькото р1з-няння, ¡снування та ¡снування единого розв'язку якого для досить калих зиачеиь Н встановлюеться на осное) принцишо нерухомо! точки Шаудера та Качч10П0лл5-Багаха (теореми 3.9 1 3.10).

У $3.3 га приклад елттичного оператора з1 сталими коеф^грситаю, акяЯ с частинним випадком оператора Р (коли показана можлшастъ коректна!

постановки задач з нелокальниии умовами вигляду (12), коли за зкЬсгаю х задан! крайош у моей, загальгагт тж у моей (13).

У прямокутгай облас-п ): 1е(0.Т),хе(0/)} розгллдзсться задача

{20)

еРи(г,х)

в"

-ч— —

аг*

I'о

= ф<, (*)> <¡=0.1.2.3, (21)

1(«т

X) - 2 «м —Г" + £ Р« .,

п=с ® ___ 1*=0 а

= 0,1=1...,4, (22)

г=1

де цеС\{0}, ей , а умови (22) - ре1улярга.

Розв'язок задач! (20)-(22) шукаемо у К1гляд1 ряду «(?,*) = ^З^ыПО"! С1). ЯЪ(*), * еК, - власш фугасцй задач! У(г/?(х) = Х*Г/(х), М//(х) = 0, ] = 1,...,4 , кеж»-ну власних значень пко! позтачиая через А =

Позначная: ьз^, /=1Г..,4, - кореш четвертого степеня а (-7); Во - проспр функцШ

ЧЫ'Т.ыУкШ*). дляязсюс Ы*)!^ 5>0.

При викогакнЗ умов сдикост! розв'гагу задач! (20)-(22) (теорема 3.11), Я1П подабга до умов (б), справедлиае таке твердагекяя.

Теорема 2.12. Нехан ¡снують додатш стал! М та у так!, що для сох (кр^м

сганченкого числз) згачеиь Я^ е Я викоцуються нер]ЕК0сп

^-^(ю^фт? «р(-1Мг), у = (23)

Якщо Д1,х) сС[{0,Т],В0), ОЗТН, Ер, р>2ТН, то к!гус еданий розв'пзок

задач! (20)-(22), пкай !;але;!;ить простору С''(П) та непереркно залечить ид фунхцШ Да) 1 <?,(*).

Доведено, шр ощк:и (23) справдасуються для тГг.кг ю±с (адносио мзри Лебега

ь К) чисел Т>0 та для дошльюое фгксосаких ц при (теорема 3.13).

У четЕгртову резтл! "Нелокальт крайоы задач! для систем .тгайнкх диферен-цшинкх ршвип, ¡з часткюыкя пиядтши" результат« §3.2 узагальнюються на випад-кн Л1№ЙЮ1Х сиетги ршава ш знЬшпии за XI,...¿с? коеф;ц5с;ггам;1.

У {4.1 с озлзст! дзсетджусться задача

-X--= = У.....т, (24)

ам г»;

г=01=0

-»—¿г-(-0 ■

= <?>;(*). = (25)

г-Г'

£^(/,^=0, /> = ./,-Л-/,У=/.....я, (20)

» ^.^сС.ц6С\{0).л/+...+Ля,=Л. Розгля-

»сться тагай клав састга (24), для касс кореш = Л—,л, риигааш

ас<[п^5уг-/1;г(П,Я(;}| =0, да - символ Крокекера, задопальнязоть укгопл

-рЬЯ* ¿Леп^А^а, а. еИ, р >0, .....п, (27)

длл елх (ггр1м с!П!Пош:ого числа) з;:ачень X/. еЛ, що дозиаляе встаноглти класичну коректтсть задач!, коли функцп /та <рл(х) належать просторам гладких фуикщй.

Розв'язок задач! (24)-(26) шукаемо у вягляда разу (5), п яхому

и{1,х) = сс\(щк,х),...ла{1,х)), щ(0 = со\(ик1{1).....О).

Теорема 4.1. Для сдиност! роза'лаку задач! (24)-(26) у простор'1 ~С(Пг21^ (&) необидно 1 яосить, щоб для г.с1х е.\ вясоиусалксь уу.звк:

<7 = Л...,я. *<>./=*.....л (28)

У припущекш, що укови (20) гикопуються для асйс Я^ еЛ, остановлена класнчка коректшсть задач! (24)-(2б), якщо для пах (кр1м сганчегеюго числа) згачень еЛ виконуються нер^носп

(29)

У=Л...,я, (30)

1*}

до т,,у.>0, а футсцП /у(Гд) та ф,9(.г) задоьольшвоть у;-ося вигляду (8),(9) (теорема 4.2).

ДосгденЛ метричщ твердакення про мо:клнысть вякешшш оцпюк (29),(30) (теоре-ни 4.3 та 4.4), з пких виплипае однозначна роза'пзшеть зздач1 (24)-(2С) длл кай:ке спх (гадпосно мри Лебега) чисел Т та для г.пйжв сах г,ектср1П, складен:« ¡з дЛсгаос та

улшссс частин коеф1ц?е!тв аЦ снстеми (24).

У §4.2 результати попередпьего параграфа поширега га пипадок безтишмх систем р1внянь ¡з зшшшки коеф1Ц1Ситами.

У облает! Q розглядасться задача

Л(г,*). Е =/<'.*)• (31)

г •М***

V.

е->и(1,х)

-ц

л7

= Ч<*). (32)

¿г«М)|аз=0. >•=£>,/.....[я/^-Л (33)

де /4^, 1 - катриц! розьор!в (ткт) 1 (птхт) 31 стал ими комплексними елементами,

Поэначиио через Л^X У = ^.....кореш р1вняння ^^0;

обмежеш, вигляду (27) на них не на кла лаемо. .

Теорема сдиносп розв'язку задач] (31)-(33) (теорема 4.4) формулюсться подабно до

теореии 3.5. Розв'кзок задач! (31)-(33) ¡снуе, якщо для мал их знамешттв

/-ц«р(цу(Х^)7*), ГцЧуС^(*•*))< ]**!,..,пт, справедлив! ощшси знизу вигляду яЧ

(17) та (18) идпоидно, а компонешк вектор-функщй ф(х) 1 Ли) належать просторам В®' 1 С([0.Т\В^' | а певннкн <2, азу ]-1;2. (теорема 4.5). Доведем твердження метрич-1юго характеру про оцднкн знизу схазаких малих зкаменник!в (теореми 4.6 та 4.7)

У п'ятому роздш "Задач! з нелокальними умоваим для нелпойких ппербол1чних р!внягп>" швчаються нелокальш за часом задач1 для слабконелЫйних гшербол1Ч1шх р1ыш!а внсоких порядгав з1 сталими коеф!ц!снтами на площиш у клап функций, 2х-першдичш1х за просторовош зшюгаю. Кр'т трудноодв, ям характер^ для л!шйних задач, тут виииклк >азс1 проблем, пов'язаш э калнш! зкамешгсеаьш.

У §5.1 в облает! £2= {(/,*): I с[0, Т],хеО), О - коло единичного радзуса, розглядасть-ся задача

„ , ч д^Ц.х) Муа(м)-

д-'и^х)

-ц

= О, J = OJ,...,n-У, (ЗЬ)

де л^З,13,7=/, £,(1еС\{0}, оператор Р- строго ппербол^чний за Петровським, функция А(.х,2) визначека в обласп С^ = (г,*) еО,\г\йг < °°К неперерервва в гай за I \ мае обмежет пох1дт за зганними л,г до четвертого порядку включно. Вигляд обласп О накладае уиову 2я-перюдичносп на фугащи и{Ьх) та Д1.хм(1,л)) за зюннсю х.

Для випадюв в£2 близью задач! вивчались багатька авторами (див., наприклад, бШлмграфш в [1]).

Позначимо через С*(Г,тХ £ 6 г, функцш 1р5на задач| ?(<//<# ,/£)у(0 = О, ' = =

У припущешц, що ряд

(2л)-< ЛСк([,х)щ{!Нх-^). (36)

14»

р1вномрио збтаеться в обласп ОхГ2 до деяко! функцП Д/^г.т,?), задача (34),(35) вводиться до еки валентно го 5й нелнпйного ¡нтегрального р1внян:!я

и(1,х) = е| (37)

О

Одне з централышх тець у параграф! займас доведения леми 5.1 про зб!жшсть ряд!в 13 !.п.таК1( згаменнкками. На осноп формул для функщй С^(/,гХ к еЪ, яза побудоваш конструктивно, та леми 5.1 показано, що при ШЗ ряд (36) р1пном5рно зб^гаеться в обласп С2х£2 для доольюсс Т.ец, _/=0,/,...,/г, якщо 1 для майже встх

(гадносно г.сри Лебега в В) чисел %{Г1(2я\ ]=1,...,п, якщо Н=Л Де Ч ,7=/,....л,- корет р1вняння =0.

За допомого» методу стискуючлх гадображенъ доведено кнуЕання единого розв'язку з класу С "(О) пггегрального рхвнлшш (37) (а, отже, 1 задач! (34),(35)) при досить малих значеннях И для майже встх чисел Я,Т/(2л), j=]....,■n. якщо !р|=/, 1 для довииних Т>0, а, /=0,/,..., л, якщо ¡¡.фг/ (теорема 5.1).

У §5.2 результата поперек!ього параграфа поширет на випадок задач! для нестрого ппербол1чного оператора ¡з вагалызшими грайоЕи;.;и умовами.

В облаеп О досл1Джусться здача

— ^ а'

)<31

&и«,х) й-

=о, 1=1,.:.,п, (зэ)

де с,сЕ, ¿>/1 еС, Ле^КФ.е,ц еС\{0}. Виглпд облает! £3 1 а клада с умову 2г,-пер!одич!:ост1 га фуккц!! и(Г.х) та х.

Позтчимз через со 1аЯ51лыву крапвсть характеристик оператора А

При пеыпсс укосах па фу|ссц!х>/{г,х.г) доведена теорем ¡снувакня та сдиносп роз-с'язку задач! (38),(39) при л-га ¿2 та доемть шж акачеииях ¡^ для доеммеих aj, ¿¡-,

яхщо Р^гЪ] е Т~' Ь|д|,/=Л...,л, та для гл ?;;•>-. е кис (шдзгосно к'фИ Лебега) чисел сязщо

ЬеЬл = Г"' ад, /££я.(тсзре*а 5.2).

ВИСЕОВКИ

У дисертацШюй роС<т розроблсио ыотодику досл!дакеш!я корскткост! у р1зшзс функщоиальнкх просторах задач з нслокалышки дмточг.озяни умоезки за ьвдлснсио

зиивю» Г та г.егзикк краЯосхки умякши » координатами ^......х, для лшШпюс

ппербол1Ч!ссс, елштичюж $ Есзткпних дифергвдалыпо: р'гмкиь 1 систем р'швпу, ¡з частишкии ПОХЩШШ:! 21 СТВЛИДО та за X косф'пйситаки С Ц!:Л!ИДрИЧ!П!Х

областях з доеыхыяэю ебмежепом олиазго, для Ссзтхптос нггегро-диферсич'.алыяо: р'штаа я швшвши за х коофвдеитаг.з:, а т&кояс для сдаСконелЫйнкх п.черСолчиих р!ыи!!1ь з! стали;,;;! коеф!ц!ситг!.ш на площпй. Встскоалел! умсси однозначно! розс'яз-посп задач та побудоьаш пата формула для 1х резв'кзгап. Догздек! кзы ыетркчга теорема про ощики зшззу ивлих ¡»¡амедаиязе, як! сгнкг-ають при досл!д:«с!аа та поСудои розв'язк!в задач.

СПИСОК ОПУБЛПСОВАНИХ ПРЛЦЬ

1. Го Я Т.П., Пташник В.Й. Задача з нелогАДЫшни угаваки для слабпонелнпйних rinep-болзчних pisiiraa // Укр. иат. жури - 1997. - Т. 49, Jft 2. - С. 18С-195.

2. Гой Т.П., Пташник Б.Й. Нелокалый крайсгЛ задач! для систем лЫЛних piEiwre. ¡з частмявизд пссядники 3i .asdisKKMM коеф!ц1с!!таки // Укр. мат. :кури - 1997. - Т. 49, Л'« П. - С 1478-1437.

3. Гой Т.П. Нелог-альга крайоса задача для диференздалыгаго piEiunnw ¡з частинннми поэтдгими четвертого порядссу // Е'.с.ч Лыаз. ун-ту. Сер. мшс-мат. - 19SS. - Вип. 43. -С. 81-87.

©

4. Гой Т.П. Задача з нелокальнпми умослки длл ршиппи з частmmsimt поэтдтис», збу-ренопз кглнййнзгм иггегро-днфсремйалыкя догшском // Математичт сгудп. Пращ ЛьЕ1псы:ого матем. т-са. - 1997. - Т. О, 1. - С. 71-70.

5. Гой Т.П., Пташник Б.Й. Задала з «елсхалыммн умоваки для слабко нелЫйпого ппербо.тчиого ртскяшщ cl сгалими мефодсгггаг.с! // Нелинейные краевые задачи математической физи:« и их гтрплс:иеетп. - К::сз: Ин-т математики HAH Украииы.-1996. - С. 74-75.

3. Гой Т., Пол^щук Вч Пташшнс В. Нелокальна деоточксгд крайова задача для rinep-бол!чиого piciiranm oi змШкями коеф^ентаки а. цвдЗпдрич'пй обласп // Матегатич-:ri метод:) в кзукоЕО-тсхйчксс дсс.т!~::с!п:гг„ - Кшв: 1н-т математики НАН Украши.-1995. - С. 62-70.

7. Гой Т.П., Пташник Б.Й. Задача о пелегалмимя укокигл для слабко нелЫйтаго ппср5ол1чкого р1в!шння // Матер^али ШостоТ Мпкнзр. тук. кокф. hi акаде?пка J.L Кразчукз. - K;;in: 1н-т глте.'-лткки НАН У!граи-П!. - 1997. - С. 103.

0. Goy Т.Р., Pte'hnyk B.Yo. The nonlocal boundary value problems tor one class of partial differential systems // Точи ЬЯншар. конф. "Аслмптотичт та raricm метода в тео-pii нелшйяих колипаш.". - Ки1в: 1н-т математики НАН Украпш. - 1997. - С. 63-69.

9. Ptashnyk Bohdan Yo, Goy Taras P. Nonlocal boundary value problems for quasilinear hyperbolic c-qv.aticr.s and systems // Book of abstract* cf International Cont. "Nonlinear partial differential equations". - Donetsk: Institute of Applied Mathematics of Ukraine National Academy of Science. - 1997. - P. 143-141.

Гой TJL Задач! а нелокальными крайовими умовами для диференщальних pimmm. la частннннми похгдними. - Рукопис.

Дисертащя на здобуття паукового стулекя кандидата физико-математических каук за спещальшстю 01.01.02 - дифсретцальт р^вняння. - Чергавецький державний университет iu. Ю. Федьковича, Чершвзд, 1988.

У дисертацП встановлега умови корект!к>сп крайовкх задач а нелокальними дво-точковмми умоваш! для лшйнкх та слабконелМйних решишь та систем pimwjib ¡3 час-тинники поэтдяиии в цшпндричних областях. Показано, що коректшсть розглядуваних задач с неспйкою шдаюско пара метр! в областей та■ косф1ц;с1тв р!внянь. Побудосан: розв'язки задач у вигляда ряшв за системзмя ортогональных функций. Доведен) iioci ыстричш теореми про ощнки знизу мал их экаменникгв, як! вшшкають при побудов! роав'язк1Е задач.

Клютое! слова: пперболэчю piKtmnw, безтипн) pirjunnw, слабконелшйш pimtfflnm, иелокальш крайош уитш, ел1пткч1Шй оператор, функц1я Ipiio, icuii зкамешшки, »ripa Лебега.

Гой Т.П. Задача с нелокальными краевыми условиями для дифференциальных уравнений в частных производных. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Черновицкий государственный университет ки. Ю. Федьковича, Черновцы, 19S8.

В диссертации установлен условия корректности краевых задач с нелокальными двухточечными условиями для линейных и слабонглингйных уравнений и систем уравнений в частных производных в цилиндрических областях. Показано, что корректность рассматриваемых задач неустойчива относительно параметров областей и коэффициентов уравнений. Построены решения гздач в виде рядов по системам ортого1Ш1Ьных функций. Доказаны ловце метрические теоремы об оценках снизу ьалых знаменателей, которые возникая)! ери поетрссшн решений задач.

Елючесис слоях гиперболический уравиния, бестипные уравнения, слабоиоли-иейиые уравнения, колокалысые краевые условия, эллиптический оператор, функция Грина, »алые знаменатели, кера Лебега.

Goy T.P. Problems with nonlocal boundary-value condition» for partial differential equations. -Manuscript.

Thesis for candidate's degree by speciality 01.01.02 - differential equations. -Chernivtsi State University named after Yu. Fedkovich, Chernivtsi, 1398.

The conditions of correctness of boundary-value problems with nonlocal two-point conditions for linear and weak nonlinear partial differential equations and systems in cylinder domains, are established in the dissertation. . It is shown that correctness of these problems is nonstable with respect. to parameters and coefficients of the equations. Solutions of a problems are constructed in the form of series of orthogonal functions. The new metric theorems on lower estimates of small denominators, which appear in the construction of a solutions,¿ire proved.

Key words: hyperbolic equations, typeless equations, weak nonlinear equations, nonlocal boundary-value conditions, elliptic operator. Green's function, Email denominators, Lebesque measure.