Замкнутые g-структуры, определяемые многомерными три-тканями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. ЛЖАВАХИШВИЛИ

ШГЛЕХОВ Александр Михайлович

УДС 514.763.7

замкнутые ^-структуры, шредошише мюгаетшми три-тканяш

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Работа выполнена на кафедре общей и прикладной алгебры и геометрии Калининского государственного университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Г.Лумиств,

доктор физико-математических наук, профессор А.Д.Оншцик,

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Рыжков.

Ведущая организация: •

Казанский государственный университет им.В.И.Ульянова-Ленина

Защита состоится "_"_;_ 1990 года в_чао,

на заоедании Специализированного совета Д 057.03.05 при

Тбилисском государственном университете по адресу:

380043 Тбилиси 43, ул. Университетская 2, ТГУ, Механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тбилисского государственного университета.

Автореферат разослан "_" 19 года.

Ученый секретарь

Специализированного совета

Д 057.03.05 " . />

У/е./'Ск^.с^/ доцент М.М.Ленишвили

- I -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ткани на гладком многообразии представляют собой один из основных объектов изучения в локальной дифференциальной геометрии. Им посвящено большое количество работ, содержащих фундаментальные результаты. 2-ткани, т.е. два семейства линий на поверхности в однородном пространстве, изучаются с точностью до преобразований фундаментальной группы объемлющего пространства или с точностью до изгибания поверхности. Однако с точностью до группы всех диффеоморфизмов 2-ткани представляет собой тривиальный объект - декартову сеть. Поэтому позже стали рассматривать ткани, составленные из К- семейств линий при к >2, и более общие конструкции - /с-ткани, образованные слоения?® различной, вообще говоря, размерности, на гладком многообразии. Три-ткани выделились как самостоятельный объект изучения благодаря своим естественным и глубоким связям с другими разделами математики, в первую очередь - с теорией квазигрупп. Первые работы по три-тканям относятся к концу 20-х годов нашего века (В.Бляшке, Г.Томсен, К.Рейдемейстер, Г.Бол, Черн). Первоначальная проблематика теории трл-тканей определилась тем замечательным обстоятельством, что всякому условию замыкания на три-ткани И/ фигур определенного вида, образованных слоями этой ткани, отвечает некоторое тождество, выполняемое в соответствующей координатной квазигруппе. Этот факт привел к концепции три-ткани как семейства луп - так называемых ¿Р-изотопов координатной квазигруппы (В.Д.Белоусов, Ацел, М.А.Акгазис). Соответствие между условиями замыкашш на три-ткани IV и тождествами в ее координатных лупах представлено в табл. I. Здесь вертикальные, горизонтальные и наклонные линии изображают слои трех слоений, образующих ткань IV ; 2 а Х-Ц - умножение в произвольной координатной лупе £р

Таблица I

Тип ткани Вик фигур замыкания Тождества, выполняемые в коорданат-вых jrraax Тензорная zd-рактерисroed

Т V V N \ ху-ух (xy)Z - х(уг) а-о ê

ß ч ^ V \ (ху)г-х(уг) ê~0

% \ \ \ (XX)у х(ху) (x(yx))z - х(у(хг)) "-¿fax,*)

(ху)у-х (у у) х((уг)у) «

(г/у)(х\гПг/я:#)г

M в^в^в» (ху)(гх)*х([уг)х) €шлеа

H 0 fe 2 8 Х - X-X.SC ВЫ ê"О

три-гкаял, определенное как на рис Л; знаки \ и / означает, соответственно, левую я правую обратные операции для умножения ( • ): ** % ,

х(х\г)з? •

Таким ойраз ом, в теории тканей вн-Рис.1. далились два направления: "алгебраичео-

кое" в "геометрическое". Дяя первого объектом исследования стали так называемые /с-сети или абстрактные ¿с-ткави, "слоями" которых служат множества точек, связанные лишь отношением инцидентности. Многие результаты, подученные для абстрактных тканей (Рейлемойстер, Брак, В.Д.Белоусов, Ацал, Пиккерт я др.), переносятся я на геометрические ткани (образованные гладкими слоениями на гладком многообразии), при условии, что фигуры замыкания считаются достаточно малыми, а координатные квазигруппы и лупы заменяются на локальные координатные квазигруппы и лупы. С другой стороны, свойства геометрических тканей определяются как инцидэ-птностной так и дяфференциалько-геометрическов структурой. Если некоторое свойство геометрической ткани определяется только ее инцидзнтяостяой структурой, то, следуя традиции, мы называем его алгебраическим, во втором случае - геометрическим.

Оказалось (Бляшке, Томсен), что для двумерных три-тканей перечисленные в табл.1 условия замыкания совпадают. Поэтому теория абстрактных три-тканей имеет адекватный геометрический аналог только для три-тканей, заданных на многообразии размерности 2%, где 1>1, Это обстоятельство и послужило, в частности, поводом для рассмотрения многомерных тканей. Работами Черна, Бляшке и Боля в этом направлении заканчивается первый, "окотеский" этап развития теории тканей.

Возраждение геометрической теории тканей началось в 50-е года. Сначала появились работы по тензорной теории /С-тканей на поверхностях (А.Е.Либер, В. И. [Пуликовский, А.А.Дадаян). Однако классические тензорные методы не дали возможности далеко продвинуться в изучении многомерного случая. Современный этап исследований в этой области был подготовлен созданием модного аппарата дифференциально-геометрических исследований Картава- Финиьсова-Лапте-ва-Васильева. Внешним стимулом для исследования три-тканей послужил возраставдий интерес математиков и физиков к неассоцаа-тивнш лупам и нелиевш алгебрам. Об атом свидетельствует, в частности, появление в 1955 г. статьи А.И.Мальцвва /I/.

Новый атад открывается работами М.А.Акивиса /2/ и /3/. В /3/ получены структурные уравнения три-ткани в симметричной инвариантной $ojwe; саределены важнейшие типы три-тканей - изоклишше и трансверсально-геодезические; дана характеристика последних в •' терминах инвариантно присоединенной к три-ткани связности Г , называемой теперь связностью Черна. В /2/ обобщается понятие канонических координат первого рода, известных в теории групп Ли, на случай произвольной аналитической лупы. Развитие этих идей привело к целому ряду замечательных результатов, отраженных в обзорах ВЦНИТИ за ^972-87 гг.

/I/. Мальцев А.И. Аналитические лупы // Мат. сб. - 1955.-Т.36. - » 3. - С.569-575.

/2/. Акивис U.A. О канонических разложениях уравнений локальной аналитической квазигруппы // ДАН СССР. - 1969. - T.I88. -* 5. - С.967-970.

/3/. Акивис U.A. О три-тканях многомерных поверхностей // Тр.геом. сем. / Ин-т научн.информ. АН СССР. - 1969. - Т. 2. -С. 7-31.

В последние годы исследования ведутся по трем направлениям. Изучается а) специальные классы тканей; б) опрэдожемые го,ш диф-ферешдаально-гоометрическшз структуры, в частности, аффинные связности; в) локальные свойства ткани с помощью ее координатных луп. При этом теория тканей успешно взаимодействует с теорией гладких луп и одулей, развиваемой у нас школой Л.В.Сабинина, а за рубежом М.Киккавой, К.Штрамбатом, К.Хофманом и др.

В современной геометрической теории ¿¿-тканей естественным образом выделяются 3 основные проблемы: проблема ранга, проблема грассманизуомости и алгебраизуемости тканой, и проблема характе-ризащи три-тканей» обладающих заяшутой ^-структурой. Первая проблема (восходящая к Бляшке) нетривиальна при 3 и состоит в отыскании и классификации тканей определенного (в частности, максимального) ранга. Ей посвящены статьи Черна и Грп®и-тса семидесятых годов, в также цикл работ В.В.Гольдберга (19821987). Отметим еще недавние работы Е.В.Ферапонтова, в которых понятие ранга ткани применяется для исследования дифференциальных уравнений гидродинамического типа. Проблемы грассманизуеыос-ти и алгебраизуемости возникли как многомерное обобщение двух известных задач номографии I) охарактеризовать класс функций, допускающих представление номограммой из выравненных точек и 2) выделить в этом классе подкласс, для которого кривые, составляющие номограмму, принадлежат одной кубической кривой. (Заметим при этом, что если решение последней задачи дастся красивой теоремой £рафа-3ауера, имеющей и многомерный аналог (В.П.Боцу, 1974), то первая при 2 = 1 до сих пор не имеет удовлетворительного решения). Проблема здесь состоит в нахождении тензорных условий и геометрических свойств, характеризующих класс многомерных грассмашзуемгес и алгебраизушых три-тканей. Ее ре-

шениб (для ¿¿-тканей при U>3 ) дано в работах М.А.Акивиса, Черна и Гриф$итса, В.В.Гольд5орга.

Проблема описания и исследования замкнутых -структур, определяемых три-тканями, есть основной предает изучения в данной диссертации. Как мы увидим, эта задача обнаруживает глубокие связи три-тканей с различными алгебраическими структурами. Прежде чем продолжить, напомним, что вся излагаемая теория носит лекальный характер, т.е. мы рассматриваем три-ткань И/ в некоторой окрестности текущей точки ¿t-мерного гладкого многообразия М Внутри этой окрестности 1 -мерные слоения Х^ , eis ltZ,i , образующие три-ткань W , являются расслоениями. Базы расслоений обозначим Х^.

На многообразии М , несущем три-ткань W , однозначно определены I) ^ -структура специального вида, со структурной группой & = G-L (t, R) , называемая нами ^-структурой, и 2) а^инная связность Г (Черна). Структурные тензоры структуры üj^) и называются соответственно тен-

зором кручения и кривизна ткани IV , и через них выражаются структурные тензоры связности Черва. В терминах связности Г и ^-структуры описываются многие свойства ткани (Черн, М.А.Акивис, П.Надь). Еще в 1936 г. Черн установил, что ткани. 7\ R , Н характеризуются тензорными равенствами, указанными в табл.1. Соотношения на тензор б для тканей В , ßt,

СМ найдены в 1971 г. (М.А.Акшзис, А.М.Шелехов). Достаточность

этих тензорных условий была показана В.И.Федоровой только в

1 Работы по глобальной теории пеаней только по/шляются. Нам известны всего три статьи в этом направлении: Нишимори (1981)# Надь П. (1987).

1978 г.

В 1975 г. в /4/ был констатирован следующий важный факт: структура, определяемая тканями Т, Я , М, В , является замкнутой ^ -структурой порядка 1,2,2,3 соответственно ( ^-структура назнвается замкнутой порядка /с , если ее структурные тензоры порядка 5 , где 5 > К, выражаются через тензоры порядка не выше К). Ъ связи о этим возникла проблема: является ли замкнутой -структура, определяемая тканями Н , - наиболее широким классом тканей из перечисленных в табл. I? Напомнил, что ткани И представляют особый интерес еще потому, что их координатные лупы сохраняют одно из вашейших свойств группы Ли: для каждого направления в единице существует одномерная подгруппа. Для четырехмерных тканей И указанная проблема была решена положительно В.П.Бону (1984). Однако для многомерных тканей Я требовался иной подход, поскольку приведенное В.П.Боцу доказательство невозможно распространить на случай произвольной размерности: соответствующие уравнения запиоанн т в специальном каноническом репере, существенно учитнващем чвтнрехмерность.

Замкнутость -структуры, определяемой тканями И , доказана нами в 1985 г. Таким образом, оказалось, что все известные классы тканей, определяемые тождествами коммутативности, ассоциативности, "ослабленной" ассоциативности (т.е. альтернативности и моноассощютивности) обладают замкнутой ^-структурой. Как видно из последних двух столбцов табл.1, естественное развитие этих результатов приводит к следующим задачам, также рассмотрен/4/. Акивис М.А. О замкнутых & -структурах на дифференцируемом многообразии // Проблемы геометрии. Т. 7 / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. - М., 1975. - С. 69-79.

- а -

иод в диссертации: I) указать тождества ,обобщающие тождество ыо-иоассоциативноста и приводящие к замкнутости -структуры} 2) найти наиболее общие условия на структурные тензоры ткани W, также приводящие к замкнутости.

Далее, поскольку теория тканей может быть адекватно изложена в терминах их координатных луп, то следующая проблема связана со строели&м последних. Вернемся в табл.1. Каноническое разложение группы Ли (ряд. Кэмпбелла-Хауодорфа) определяется, как известно, ео коммутатором. То же самое справедливо и для луп Муфанг (Мальцев, 1955). Но группы Ли и лупы Муфанг являотся координатными лупами тканой R и М , соответственно. Возникла гипотеза (Акивис,1983), что специфическое свойство локальных аналитических луп,являющихся координатными лупами тканей с замкнутой ^-структурой, состоит в том, что их каноническое разложение вполне определяется струей конечного порядка. Заметим, что аадача об ; отыскании луп с таким свойством в классе луп со степенной ассоциативностью была поставлена еще Холмсом и Сейглом в /5/.

Решение перечисленных проблем наталкивается на значительные трудности, как принципиальные, так и вычислительного характера, вызванные, в частности, недостаточной развитостью математического аппарата теории тканей. Необходимо было предварительно а) описать строение дифференциальной окрестности произвольного порядка многомерной три-ткаяи; б) доказать сущоотвовшшо введенных Ы.А.Акивисом канонических координат в произвольной аналитической лупе; в) установить связь между каноническим разложением коорди-

/5/. НоЫи У. Р., Setzte. A.A. AnaiyUc И-spaces, Ca^geSP-HausctoTf JoiMuta, cW аШыхаЬШ atyefoas//Paci/ic 'j. Man. - mo. - v. 9i- w - л

натных луп ткани со структурными тензорами высших порядков соответствующей этой ткани ^-структуры. Эти задачи также рас-

Еще одна важная проблема заключается в том, чтобы определить на три-ткани тепзорные поля, связашше с окрестностью порядка

К>3 и допускающие описание в терминах координатных луп ткани. Актуальность этой задачи вытекает из следумцих соображений. Успех в изучении геометрии тканей на уровне дифференциальной окрестности третьего порядка достигнут благодаря двум обстоятельствам, на которые было указано выше. Во-первых, каждый из классов тканей может быть охарактеризован особым строением тензоров кручения и кривизны, л и 4> . Во-вторых, эти тензоры имеют ясный алгебраический смысл: они определяют, соответственно, главную часть "отклонения" от коммутативности и ассоциативности в координатной лупе ¿р. ткани:

элементов. В результате получается, что каждой из перечисленных в табл. I классов имеет три характеристики: условие замыкания, алгебраическое тождество и тензорное равенство. Наприлер, ткани Я характеризуются тем, что на них а) замыкаются фигурн В , б) их коордиватвые лупы ассоциативны; в) тензор кривизны ррлон нулю. То же самое можно сказать и о других классах.

Чтобы развить аналогичную теорию в дифференциальной окрестности порядка 5 при 5 >3 , нужно возникающие в этой окрестности тензоры С типа ( § ) - хсовариантные производные

сматриваются в диссертации.

тензора кривизны £ - связать с некоторый алгебраический тождеством в координатных лупах, причем искомые тождества должны содержать не менее чем S переменных. В диссертации мы решаем эту проблему полностью при S=4 и частично для любого s . В итоге, с помощью на£дешшх тождеств удалось классифицировать ткани в окрестности четвертого порядка. Анализ условий замыкания, соответствующих новым классам тканей, выявляет общую природу поставленных в разное время задач, связанных о изотопической инвариантностью некоторых тождеств в лупах (Брак-Пейда,1956; Л.Сабинин, 1987), и позволяет дать их решение.

В теории квазигрупп и луп хорошо известны так называемые G -лупы, (т.е. лупы, изоморфные всем своим изотопам) и эластичные лупы, определяемые тождеством Легко устанавливает-

ся, что аналитические лупы Нуфанг входят в тот и другой класс. Но вопрос в том, существуют ли аналитические немуфанговы G-лупы и немуфанговы эластичные лупы, сохраняющие это свойство при изотопии, оказался веоьма непростым, я оставался до настоящего времени открытым. Обе задачи в диссертации решены положительно.

Перечисленные проблемы представляются нам актуальными и содержательными. Построенный в диссертации для их решения аппарат позволяет также решать и другие задачи теории тканей. В ходе исследования удалось разрешить, в частности, ряд чисто алгебраических проблем. Сюда относятся упомянутая задача Брака-Пейдаа, описание свойств тканей £ , определяемых тождеством эластичности, некоторые классификационные теоремы из § 2 гл. 6. Помимо этого доказано существование немуфанговых аналитических £-тканей и тканой В ; классифицированы шоствмерние ткани £ , т.е. найдены все Т1«хмер1ше изотопически инвариантные решения функционального уравнения XI/. х - "х- ух в классе аналитических немуфанговых

луп; описано строение некоторых важных специальных классов шестиугольных тканей, а также ткане£, допускающих регулярные инфините-зилалыше автотопии. Данная в диссертации классификация тождеств порядка 4 длины Щ Ц% {2 в локальных аналитических лупах, несомненно должна привести к чисто алгебраической их классификации. Способ исследования аналитических луп с помощью оператора 3 (гл. 6) явным образом допускает широкое обобщение. Последние вопросы имеет, как нам кажется, самостоятельное значение. Изложенные в диссертации методы при родхододей модификации могут быть использованы для решения аналогичных задач в теории ¿/-тканей при £¿>3 , и соответствующей игл теории ¿/-квазигрупп.

Цвль работы - создание аппарата для исследования глубоких свойств дафференциально-геометрвческих структур, в первую очередь многомерных три-тканей, и решение ряда актуальных проблем геометрического и алгебраического характера в теории тканей, основанное на использование этого аппарата.

Научная новизна - все основные результаты новы, некоторые частные случаи отдельных утверждений были известны ранее.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения перечисленных выше дифференциально-геометрических структур, и могут быть применены в других разделах геометрии.

Апробашу работы. Результаты работы докладывались: на У Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии (Самарканд, 1972), УП Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии (Минск, 1979), УШ Всесоюзной научной конференции по современным проблемам дифференциальной геометрии (Одесса, 1984), IX Всесоюзной геометрической конференция (Кишинев, 1988), У1 Прибал-

тийской конференции по современным проблемам дифференциальной гсо-иетрив к их приложениям (Таллин , 19£4),школе-семинаре по алгебраической геометрии (Ярославль, 1985), Всесоюзной геометрической школе по теории дифференциально-геометрических структур (Черновцы,

1987), Всесоюзной школе по неассоциативной алгебре (Новосибирск,

1988), Международной конференции, посвященной памяти А.Хаара (Будапешт, 1986), Международной конференции по геометрии тканей (Сегед. 1987), Международной конференции по дифференциальной гесмет-рии и ее приложениям (Дубровник,1988); семинарах : по тензорному анализу и его приложениям (рук.С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, О.В.Ман-туров, Л.В.Сабинин, В.В.Трофимов), по геометрической теории дифференциальных уравнений (рук. А.М.Виноградов),по геометрии и топологии (рук. А.С.Мщенко, Ю.П.Соловьев), по группам Ли и теории инвариантов (рук. Э.Б.Впнберг, А.Л.Онщик, В.П.Попов), по компьютерной геометрии (рук. А.Т.Фоменко, Е.Г.Скляренко) Московского государственного университета им. Ц.В.Ломоносова, семинаре кафедры геометрии (рук. А.П.Широков) Казанского государственного университета им. ВЛ1.Ульянова-Ленина, семинаре кафедры алгебры и геометрии (рук. Ю.Г.Лумисте) Тартусского государственного университета, семинаре кафедры геоме^ии Белорусского государственного университета им. В.И.Ленина (рук. В.И.Ведерников, А.С.Феденко),' а также неоднократно, по мере получения результатов, на семинаре по классической дифференциальной геометрии (рук. С.П.Новиков, Л.Е.Евтушик, М.А.Акевис, В.Ф.Кириченко, Н.Ы.Остиану, В.В.Ршсков) Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, . семинаре по геометрии (рук. М.А.Акивис) Московского института стали и сплавов.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 20 работы, список которых приведен в конца реферата.

Сггтсттта и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, двух приложений, списка литературы и изложена на 300 страницах машинописного текста. В диссертации 28 рисунков и 9 таблиц. Список литературы содержит 81 наименование отечественной и зарубежной литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В § I гл. I приведены структурные уравнения многомерной три-ткани IV , заданной на 2% -мерном аналитическом многообразии И, с1 им И <=■ • и найдено их д»Мсренциальное продолжение. Подробно обсуждается строение дифференциально-геометрического объекта пятого порядка (ДГ0С5) ) ткани; выписаны все соотношения, связывающие его компоненты. Эти результаты используются в § I гл. 2 при доказательстве замкнутости ^-структуры, определяемой многомерной шестиугольной три-тканыо. Сообщаются известные свойства связности Черна, а также дается определение ^^-структуры, индуцированной три-ткапью.

В § 2 описывается строение ГГО произвольного порядка три-ткани IV . Поскольку екм М- 2% , то всего имеется 2* тензоров С

вС

порядка 5 +3 - ковариантных производных (относительно связности Черна)порядка £ от тензора кривизны ё :

(2)

ЧС ~ С со + С со 1 и * и *■ '

РСя С ср + С со ...

1 Л2. *■

Здесь ( со , со ) - базисные формы на // , оС - мультмшдекс, состоящий из чисел I и 2, V - оператор инвариантного дифференцирования в связности Черна. Тензоры С связаны различными

»у.

сорит,ш соотношении, шгшяздпх из зашкалил свстомн (Я) , в си-

лу которых все 2 тензоров С , принадлежащих дифференциальной окрестности порядка &+3 , могут быть выражены через 5+1 из них, названных основными (теорема 1.1). В леммах 1.2 в 1.3 перечисляются те альтернации тензоров С порядка £+5 , которые принадлежат ЕГО меньшего порядка, т.е. Ж0(£+•£). Эти результаты существенно используются в гл.2 при нахождении аналитических условий, характеризующих замкнутые ^ -структуры. Здесь же выясняется геометрический смысл тензоров ^ , которые

входят в конечные соотношения, связывающие тензоры ткави.

В § 3 дается геометрическая характеристика указанных конечных соотношений. Она заключается в том, что на главном расслоенном пространстве неголономных р-кореперов над базой первого или второго расслоения ткани V/ существуют последовательности иодрасслоений, определяемые системами форм £ со , где об = = (¿,2,...,2) или С со , где £ = (¿, , *) (теорема 1.6).

Вторая глава посвящается общей теории замкнутых ¿¡^-структур, определяемых многомерными тканями. В § I доказывается один из основных результатов диссертации, а именно

Теорема 2.1. -структура, определяемая шестиугольной 2г~ мерной три-тканью И/ при I , является замкнутой структурой четвертого порядка.

Второй параграф гл. 2 носит вспомогательный характер. В нем доказаны леммы 2.8 - 2.14, вытекающие из соотношений на тензоры ткани, полученных в гл. I. В этих леммах указаны условия, достаточные для того, чтобы тот или иной тензор ткани оказался принадлежащим ДГО меньшего порядка. Типичны* предложением такого рода является, например, лета 2.9:

Если сЬи ** к ■ • и* **... ^ € ®то (<*+/>),

Опираясь на эти леммы, мы находим а § 3 гл. 2 аналитические условия, при которых ^ -структура ткани Ш оказывается замкнутой (теоремы 2.15-2.19). Например, в § 4 гл. 4 существенно используется

Теорема 2.16. Если

то ¿^-структура будем замкнутой ^-структурой порядка

Как показывают рассуждения, проведенные в § 3 гл. 2, указанный в теореме 2.16 порядок замкнутой ^"ц/-структуры является точным в том смысле, что из условий на тензоры, приведенных в этой теореме, не вытекает» что порядок меньше чем 2оС.

В § 4 гл. 2 рассматривается пример - восьмимерная алгебраическая три-ткаяь, определяемая детерлинантной гиперкубикой проективного пространства Р* . Ее можно интерпретировать тагже на пучках коллинеаций плоскости Р . Эта шестиугольная ткань специального вида представляет особый интерес в силу .своей связи о проективной геометрией. Комбинируя метод внешних форм и метода конструктивной геометрии, мы получаем полное описание рассматриваемой ткани (теорема 2.20). Вычислены также компоненты ее тензоров кручения и кривизны.

В третьей главе приводятся необходимые для изучения замкнутых ¿^-структур сведения о локальных аналитических лупах, в честности, о координатных лупах ткани. В § I доказано существование канонических координат в произвольной аналитической лупе О, (теорема 3.1), введенных другим способом в /2/. Далее дается но-

вое определение касательной алгебры три-ткшш W . в /6/ была введены так называемые касательные WK -алгебры ткани, операции в которых определялись с помощью тензоров CL , é и ковариант-ных производных С тензора В ткани IV . В данной диссер-

aí

тации предлагается еще один способ определения касательной алгебры ткани - с помощью форм, входящих в каноническое разложение ее координатных луп. Каноническое разложение координатной лупы ткани W ( р£М) есть тейлоровский ряд функции et-у , записанный в канонических координатах /2/:

__оа /

Х-Ц » х + у + А(сс, й) + J5T Л

° V в к

где 2}tj€(¿ , X=(z'J - канонические координаты в , А(х,у)~

4 , A íhJ?.

к *>m -- "-у--

и Л - многочлены степени К- , однородные как по ¿H так

е, _

и по у . При этом формы Л(Х,У) удовлетворяют соотношениям

(4)

Поскольку канонические координаты определены с точностью до

линейного преобразования /2/, то форлы А , Л степени 2,3

е,»»

входящие в разложение (3), определены инвариантно на лупе Q . Поэтому они задают в касательном пространстве лупы набор поли/6/ Akivis Н. A., Sbetekliov A.M. U, ¡u i weis of 3-ueis atid SutafgeiiaS cf Ceca? afye tras //Acta ШЬ

Нинд, - {<388. - S2, - ZCF~2li.

линейных операций арности 2,3 ... . При изменении р> получаем поля форм, совокупность которых до порядка Н, вклотительпо составляет по определению касательную Ак-алгебру ткани IV ; при кас<з получим касательную Л-алгебру. Операции в Л-ачгебре связаны между собой простыми соотношения»,«!, а именно, они симметричны по каждой из серий переменных 5: и у и кроме того удовлетворяют условиям канонизации (4).

В § 2 гл. 3 доказано одно из основных утверждений дисссрта-чим -теорема 3.2 об эквивалентности Л^- и ^-алгебр три-ткани, причем эквивалентность понимается в том смысле, что опоравдш первой алгебры выражаются через операции второй и обратно. Далое показывается, что и другие касательные алгебры ткаяя, определяемые пучком присоединенных к ней инвариантннх связностей, также эквивалентны Л -алгебре.

Теорема 3.2 означает, что коэффициенты канонического разло:ш-ния координатной лупы ткани IV выражаются через значения тензоров ткани И/ в точке р и обратно. Отсюда вытекает теорема 3.5: каноническое разложение координатной лупы ткани IV с замкнутой -структурой порядка К. вполне определяется отрезком этого разложения до /с-го порядка включительно. Как следствие получаем, что аналитическая три-ткань IV с замкнутой

^^-структурой порядка /<- вполне определяется конечным набором постоянных - структурных констант ее или ^-ал-

гебры. Лэлее доказывается теорема 3.6: всякая аналитическая три-ткань IV, имеющая формальное касание третьего порядка с групповой тканью, является тканью Муфанг.

Третьй и четвертый параграфы гл. 3 имеют вспомогательный характер. В § 3 коваризлтные производные С и £ тензора кривизны ткани вычисляются через производные четвертого порядка от

функции ткани Н Х-у. . Затем получено выражение дня тензоров £ и С в точке р многообразия М через коэффициенты тейлоровского разложения координатной лупы Ер . В § 4 найдены аналогичные выражения для вторых ковариантных производных тензора ё . Полученные формулы используются в гл. 4, где анализируются тождества в лупах, приводящие к замкнутости ¿^-структуры.

В § I гл. 4 устанавливается вид первых к членов тейлоровского ряда следующих функций, заданных на локальной аналитической лупе ф : для слова ... Хь) при К=2. ; для слов

ху. 2 и Х'уг при К^А ; для всевозможных слов длины 4 от четырех переменных цри К*4 . Кроме того, с помощью соотношений, полученных в гл. 3, разности (¡су.г)1- (х- уг)1 вычисляются с точностью до четвертого порядка включительно для координатной лупы Ер ткани V/ , и выражаются затем через тензоры этой ткани.

Результаты применяются в § 2, где рассматриваются три-тканв с эластичными лупами (ткани £ ). указывается, что I) ткани £ составляют подкласс средних тканей Боля В^ и 2) их тензоры кручения и кривизны связаны соотношением £(у> а(х,у)уо (теорема 4.6). Поскольку тождество эластичности ху. X - х-ух не является универсальным, то в координатных лупах абстрактных тканей £ выполняется также соответствующее ему универсальное тождество, более сильное, чем тождество эластичности. Поэтому координатные лупы ткани £ обладают некоторыми дополнительными (в сравнении с эластичными лупами) алгебраическими свойствами. Согласно приведенной теореме 4.6 в них выполняется тождество

яг™ <?Л т еОтсюда вытекает, что в координатных лупах аналитических тканей £ ассоциативны троГжй элементов вида X , у , 2 , где сс. и 2 принадлежат одной одномерной под-

группе. Далее идут классификационные теоремы. В предложении 4.7 доказывается, что класс изоклшшых тканей В совпадает с классом изоклинных тканей Я . Показано, что четырехмерных ткаяей В , отличных от групповых, не существует. Затем рассматриваются тествмервыэ ткани В (предл.4.8-4.10). Шестимерные ткани 8т (напомгшм, что ) классифицированы

В.И.Федоровой по виду двухвалентного тензора . Используя

ее работы, мы показываем, что существуют лишь две шестиыернш ткани В , не являющиеся муфанговнми.

В § 3 гл. 4 рассматриваются ткани, определяемые правильными тождествами длины 4. Легко доказывается, что если в них все 4 переменные различны, то соответствующие ткани являются групповыми (предложение 4.11). Ткани, определяемые тождествами типа Боля, т.е. тождествами длины 4 с тремя различными переменными, могут быть только тканями типа В& , Вг , М или X? (теорема 4.12). В случае, если тождество длины 4 содержит всего одну переменную, то определяемая им ткань есть ткань Н (теорема 4.13). Тождества длины 4 с двумя различными переменными перечислены в таблице 2, их всего 50. Как доказано в теореме 4.Х4, некоторые из соответствующих этим тождествам классов тканей совпадают с известными классами - В^ , и М ,

В § 4 гл. 4 вводится важное понятие тождества порядка к. о одной переменной, обобщеннее тождество моиоассоциативности ¡Сг-х - аг-Я:* • Предварительно доказывается ряд предложений о строении тейлоровского ряда слова 3(х) от одной переменной в аналитической лупе О. (•) . Члены этого ряда получаются из соответствующих форм тейлоровского разложения функция сс у (см. (3) ) отождествлением и умножением на некоторые

целочисленные коэффициенты (характеристики), зависящие от ско-

бо\шоё структуры слова S(x) , то есть от расстановки скобок в произведении X X-... -X (теоремы 4.15, 4.16). Тождество Si(x) (х) называется тождеством порядка /с , если слова Si (ее) п Sz(x) * рассматриваемые в произвольной лупе, имеют одинаковые тейлоровскно разложения до порядка к. включительно. Основной результат этого параграфа (и один из основных в диссертации) есть тоорема 4.19: если в координатных лупах ткали W выполняется К-i независимых тождеств порядка к с одной переменной, то -структура этой ткани является замкнутой

-структурой порядка 2 К .в заключении параграфа перечисляются слова длены 5 и показывается, что существуют тождества длшш Б с одной переменной порядка 3.

В § 5 детализщ>уется теорема 4.15, а именно, устанавливается точный вид тейлоровского разложения слова с одной пе-

роменной до пятого порядка включительно (предложения 4.21 и 4.22). С помощью этих результатов удалось в /?/, /8/ сравнить на ЭВМ тейлоровские разложения всех слов длины до 12, и выяснить, что тождеств порядка 4 шеехся: 6 длины 10, 58 длины II и 298 дайны 12. Jatee в § 5 излагается классификация тождеств с одной переменной порядка к , специально приспособленная к задаче классификации замкнутых -структур. Вводятся отношения эквивалентности, игнорирующие несущественные свойства слов. В резуль-

/7/. Биллю* В.А., Шелехов A.M. О классификации тождеств от одной переменной в гладкой локальной лупе // Ткани и квазигруппы. -Калинин,1987. - С,24-32.

/¡3/. Бгоигаг В.А., Шелехов A.M. Классификация тождеств длины 12 порядка 4 с одной переменной в локальной аналитической лупе // Б печати.

тате остается одцо тождество длины 10,7 длины II и 19 длины 12.

В § 6 гл. 4 мы показываем, как с помощью фордул, полученных в гл. 3, находить тензорные условия, соответствующие тождествам порядка 3 и 4. В частности, найдено тензорное условие для отмечеп-ного выше тождества длины 10 порядка 4.

В пятой главе исследуется сзязь между двумя классами тканей: тканями с замкнутой ¿^-структурой, и тканями, допускающими нетривиальную группу автотопий. В § I обсуждается понятие авто-топии три-тканей и квазигрупп. В одной стороны, автотопия трп-ткани IV определяется как тройка биеций, заданных на базах

расслоений , образующих эту ткань. С другой сторо-

ны, автотопия есть точечное биективное преобразование множества М (на котором задана ткань V/ ), сохраняющее слоения этой ткани. В § I перечисляются известные свойства автотопий, и ,в частности, регулярных автотопий, которые одно из слоений ткани оставляют неподвижным.

Поскольку геометрические ткани определяются локально, к ним применимо понятие локальной автотопии, которая задается тройкой локальных диффеоморфизмов. Локальные автотопии геометрической ткани являются автоморфизмами ее ^-структуры и связности Черна (предложение 5.2). Если локальная автотопия ткани, задав-ной на многообразии М , оставляет неподвижной точку р из М , то соответствующий этой автотопии локальный диффеоморфизм у многообразия М обладает следующим свойством: касательные

/1^-алгебрн координатной лупы £р инвариантны относительно линейного преобразования (предложение 5.4). Далее опи-

сывается строение грассмановых тканей, допускающих нетривиальные автотопии. Они характеризуются тем, что определяющая их тройка гиперповерхностей инвариантна относительно некоторой под-

1руппы (т проективной группы. Рассмотрены три примера таких тканей.

В теоремах 5.6 и 5.7 обобщаются для локальных аналитических луп известные свойства группы Ли. Доказано, что всякий автоморфизм локальной аналитической лупы 0, , отнесенной к каноническим координатам, есть линейное преобразование, являвшееся автоморфизмом касательной алгебры этой лупы. Отсюда вытекает, что I) группа автоморфизмов лупы 0. изоморфна группе автоморфизмов ее касательной алгебры; 2) произвольная локальная аналитическая лупа а не допускает нетривиальных автоморфизмов. Более того, показано, что и произвольная лупа с ассоциативностью степеней также не допускает нетривиальных автоморфизмов.

В §2 рассматриваются &-ткани, т.е. ткани, координатные лупы которых являются лупами. Описан способ нахождения подкласса £ -тканей в заданном классе тканей (предложения 5.8 -5.10, 5.13); найдены уравнения шестимерной немуфанговой 6-ткани, являющейся тканью Е , с несимметричной матрицей оУ (предложение 5.11); получены структурные уравнения произвольной 6 -ткани и с их помощью доказано, что если группа 6- , порождающая $ -ткань, является полупрямым произведением своих подгрупп И1, . то соответствующая & -ткань есть ткань ¡2 . Тем самым обобщается известное утверждение, что всякая ткань К реализуется на прямом произведении НХИ , где А - группа Ли.

Существование немуфавговых <9-тканей дает основание ввести понятие р -замкнутой (параметрически замкнутой) -структуры;обобщающее понятие замкнутой ^-структуры (§2). Тот факт, что (г-ткани обладает транзитивной группой автото-лий, позволяет сформулировать гипотезу А : для к&тутого класса

три-тканей существует такое натуральное Л , что ткани этого класса, содержащие более чем ( Л~/ )-параметрическое семейство автотопий, входят в класс тканей с р -замкнутой структурой. В § 3 гл. 5 мы проверяем гипотезу А. при п={ , рассматривая строение тканей, допускающих регулярные инфилитезималыше автотопии. Их геометрические свойства перечисляются в теоремах 5.16 и 5.17. Теорема 5.17 содержит основной результат параграфа: в ней доказывается, что одномерная подгруппа координатной

лупы Рр , где Ц, - векторное поле, задающее регулярную инфи-нитезимальную автотопии, принадлежит ядру этой лупы. Лалее рассматриваются автотопии и, в частности, регулярные инфшштозималь-ные автотопии грассмааовых тканей (предложения 5.18, 5.19). Строение грассмановых тканей последнего типа полностью описано в теореме 5.20. Согласно ей такие ткани задаются гиперплоскостью и двумя конусами с общей вершиной. Поскольку в остальном конусы произвольны, то -структура в этом случав не обязана быть замкнутой. Таким образом, для грассмановых тканей число П , фигурирующее в гипотезе А, должно быть больше единицы.

Как уже отмечалось, все свойства три-тканей, определяемые ДГО третьего порядка, интерпретируются в терминах их координатных луп. В шестой главе мы углубляем эту интерпретацию применительно к ДГО четвертого и более высокого порядка.

В § I гл. 6 рассматриваются операторы

определенные на лупе Ц, (•) , где ¿^ , - левый и правый сдвиги. Они появились в алгебраической теории луп, но использовались и при исследовании аналитических луп. Наиболее глубоко

они изучены Л.В.Сабининым в /9/. Используя результаты гл. 3, мы вычисляем тейлоровские разложения функций , , о

точностью до четвертого порядка включительно (лемма 6.1). В произвольной лупе операторы „ , и и ^ не являются

Х»Э О V

автоморфизмами. Их отклонение от автоморфизма мы оцениваем элементами вида

Разлагая последние в ряд Тейлора, получаем в качестве главной части разложения инвариантные формы (тензоры)

и В случае, если ¿2 есть координат-

ная лупа ^ ткани И/ , эти формы просто выражаются через тензоры Л , £ , С и С ткани. Поскольку тензоры ¡С , % , М имеют указанную выше алгебраическую интерпретацию, их можно принять в качестве основных тензоров, определяющих геометрию диф-. ференциальной окрестности четвертого порядка. С помощью тензоров '

X % % ъ М вводятся - уже через умножение в координатной лупе - новые операции арности 4 в касательной И^-алгебре ткани IV . Тождества, характеризующие касательную алгебру в этом базисе операций, принимают симметричный вид.

В § 2 гл. 6 проведена классификация тканей с помощью новых тождеств, вытекающих из результатов § I. Тканями , и называются ткани, в координатных лупах которых выполняются соответственно тождества

4- К^Ш-е; ^ ^(рлУе; А* • ^

/9/. Сабинин Л.В. О геометрии луп // Ыатем. заметки. - 1972. -Т.К. - К 5. - С.605-616.

Другие классы тканей получатся либо отождествлением в этих равенствах двух, трех или четырех пере/легших, либо более сложгпяд способом. Например, ткани (и) определяются тождеством

Класс тканей, на котором выполняются сразу два условия зшика-нил - &е(и) и 0&(т-1) , где , являются тканями Боля

(теорема 6.4). Отсюда вытекает теорема 6.5, дащая решение проблемы Л.В. Сабинина: класс одуэюй, в котором изотопически инвариантно тождество правой геометричности

есть класс правых тканей Боля. Далее рассматриваются ткани, определяемые тождеством

^ ^ (Ю-

и доказывается, что они являются тканями В (теорема 6.6). Отсюда вытекает,, в частности, что многообразие луп, в котором изотонически инвариантно тождество или Аъ (см. (5) ), есть многообразие групп. Таким образом, рассмотренные в /10/ специальные лупи (составляющие подкласс в многообразии луп, определяемых тождеством Аг (А^), все изотопы которых также являются специальными лупами, суть группы. Аналогичный характер имеют теоремы 6.7 п 6.8. Из них, в частности, следует, что три-ткани, в координатных лупах которых функции вида Ех х являются автоморфизмами, есть левые ткани Боля.

/10/. вгиск. Я., Раф ¿. ¿оар Н^е Сни<л ма/>/>1у те аЛоыогрЬш»:// Аиь. ИМ. - №&.- V. 63. -и*. -/>. Зол-223.

Б § 3 гл. 6 результаты, полученные в §§ 1,2,распространяются на дифференциальные окрестности более высокого порядка. Введено понятие оператора, близкого к тождественному, который обобщает рассмотренные выше операторы у, и . Необходимые для дальнейшего свойства введенных операторов формулируются в вида лемм 6.9 - 6.12. Пусть </ - некоторый диффеоморфизм лупы 0, . Отклонение у от автоморфизма в ¿2 можно оценить так, как это сделано выше для операторов £х и . В /9/ рассматривает-

ся другой способ - оценка проводится при помощи функции S ,

»т

а проводится пр определяемой равенством

(В /9/ вместо $ употреблялся символ л? ). Возникает оператор Э: а хЩ^О. Щ/О, , такой, что в (щ у)*> Лей-ствуя оператором Сабинина Я на функции, близкие к тождественным, получим функции того же вида (леммы 6.13, 6.14). Основной результат параграфа - теорема 6.16, где доказывается,,что действуя оператором Э на функции, тейлоровский ряд которых имеет вид

4>(х, л) я X + А fc *) + *)+•■•,

(6)

где CU, X,a¿ € <2 , и запись А (х , а) озна-

А "С+С

чает, что шогочлен Л содержит X в степени С , мы по-

о i+i

лучим функцию Чту, того же вида:

В § 4 гл. 6 доказанные в предыдущем параграфе теоремы применяются к функциям ¿. и %ж ч . Показывается, во-первигс, что

для каждой из шве ряд Тейлора имеет вид (6) (теорема 6.19). Многократное применение оператора ¿> к функциям и ,, при- _ 'о '0

ведет к последовательности тензоров л. и Я. , ,

/С )с

(Хз- Я в $, X, Ла^ ), которые связаны о дифференциальной окрестностью порядка таани IV . Тензоры ¿С п Я характеризуют отклонение от автоморфизма некоторого многочлена, выражающегося в конечном счете через к+3 различных элемента лупы ¿2 с помощью операций умножения, левого и правого деления. Если 0, - координатная лупа £0 ткани IV , то тензоры ¿С

гт> *

и Я выражаются через основные тензоры ткани, вычисленные в точке р . Точную формулу при К>{ получить очень сложно, однако в теореме 6.23 доказывается, что, с точностью до знака и тензоров С порядка меньшего чем к+ 3 , тензоры и & совпадают с соответствующими ковариантннми производными С порядка к+3 .

Рассмотренный подход позволяет выделить в дифференциальной окрестности произвольного порядка некоторые классы тканей подобно тому, как это было сделано в 5 2 гл. 6 в окрестности четвертого порядка. Как показывает теорема 6.25 , получающиеся при этом весьма широкие классы тканей обладают замкнутой ^^-структурой.

В § 5 гл. 6 полученные результаты прилагаются к изоклинным

шестиугольным (алгебраизуемым) три-тканям, определяемым гиперку-

пи1

бикой проективного пространства " . Как показано, ^ -структура алгебраизуемых тканей является Р -замкнутой. Описана их касательная К^-алгебра (предложение 6.26) и проведана классификация в соответствии с § 2. Удалось описать геометрическое строение каждого из классов и охарактеризовать его с помощью некоторого тензорного равенства (предложения 6.27-6.30), что су-

вдственно усиливает теоремы 6.5, 6.6, 6.8 из § 2 (применительно к классу алгебраизуемых тканей).

СПИСОК РАБОТ HMEXOBA A.M. ПО ТЕЖ ЛИССЕРТАЦИИ

1. Юзлехов A.M. О три-ткаяях о частично симметричным тензором кргазпэны // Сиб.мат.ж. - 1981.- Т.22. - й I.- C.2I0-2I9.

2. Шелехов A.M. О три-ткавях, определяемых датерминантной поверхностью // Изв. вузов. Матем. - 1986. - Л 3. - С.84-86.

3. Шолохов АЛ.!. Д1$ференцнально-геоглетричвские объекты высших порядков многомерной три-ткани // Итоги науки и техники. Сер. "Проблемы геометрии* / ВИНИТИ АН СССР. - 1987. - T.I9. - C.IOI-154.

4. Шолохов A.M. О классификации многомерных три-тканей по условии зашкшшя // Итоги науки и техники. Сер. "Проблемы геометрии" / ВИНИТИ АН СССР. - 1988. - Т.21.' - С. 109-154.

5. Мелехов A.M. О трн-тканях и квазигруппах, определяемых де-терг.пшантной гипоркубикой // Геом. сб. - Томск, 1988. г Был. 29.-С.55-64.

6. Шолохов A.M. Тождества с одной переменной в лупах, эквивалентные моноасооциативности // Проблемы теории тканей и квазигрупп, - Калинин, 1985. - С.89-93.

7. Акивис М.А., Шелехов А. М. О канонических координатах в локальной аналитической лупе // Ткани и квазигруппы. - Калинин, 1906. - С. 120-124.

8. Шолохов A.M. О вычислении ковариантных производных тензора кривизны многомерной три-ткани // Ткани и квазигруппы. - Калинин, I9SG. - С.96-103.

9. Епллиг В.А., Шолехов A.M. О классификации тождеств от одной переменной в гладкой локальной лупо // Ткали п квазпгруп-

- 29 -

пн. - Калинин, 1987. - С.24-32.

10. Шелехов A.M. О касательной -алгебре многомерной три-ткани // Ткани и квазигруппы. - Калинин, 1988.- C.4-I6.

И. Slteitoikov A.M. Он Hie cfosed G--tiweiu7e associai boa Uxajjohae 3~wei //mfiewu-iiae QMd appÙcatioM / Рюс. con/etèut-e. 50u£tov*itc,

June mt.-Novi Sad, Î9S9, 323-зге.

12. Шелехов A.M. О замкнутых $ -структурах, определяемых ыногомервыми трз-ткаяяш // Калининский госуниверситот, Калинин, 1985. - 49 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.12.85, № 88I5-B).

13. Шелехов А.М. О фигурах замыкания и тождествах, определяемых в дифференциальной окрестности четвертого порядка многомерной три-ткани // Калининский госуниверситет, Калинин, 1987.- 7с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.11.87, № 8300-В87).

14. Шелехов A.M. Ô три-тканях с эластичными координатными лупами // Калининский госуниверситет, Калинин, 1987. - 7с. (Рукопись дел. в ВИНИТИ 2.12.87, № 8465-В87).

15. Шелехов АЛЛ. Об автоморфизмах локальных аналитических луп If Калининский госуниверситет, Калинин, 1987. - II о. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 2.12.87, tt 8466-В87),

16. Шелехов A.M. Об инвариантных тензорах аналитической лупы // Калининский госуниверситет, Калинин, 1988. - 29с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ 2.2.1988, » 887-В88).

17. Шэлехов A.M. О касательных алгебрах локальной аналитической лупы // Калининский госуниверситет, Калининi 1989. - 7о. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 2.01.89, » 8-В89),

18. Шелехов А.М. Об интегрировании замкнутых -структур// Калинин, Ш, 1989. - 21 с. - Бвбл. II. - Двп. в ВИНИМ 26.07.89, » 5031- В89. .....

- 30 -

19. Шелехов A.M. Тождества в Лупах, приводящие к замкнутым ¿^-структурам// Кадями, КГУ, 1989.- 9с.- Библ.II.- Деп. в

ВИНИТИ <¿9.09.89 Я 6066-В89.

20. Шелехов А.М. Автотопи* три-ткаяе! я геометрические <г-ткан*// Изв. вузов.Мат ем.- (принята к печати)«

Подписано в печать 29.12.89. ЕА-04645. Усл.печ.л.1,4. 3<*каэ /у Тираж 100 экз.

Огпечаганб'на рогапринге КГУ.