Три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ПИДЖАКОВА Любовь Михайловна

ТРИ-ТКАНИ С КОВАРИАНТНО ПОСТОЯННЫМИ ТЕНЗОРАМИ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2009

003476437

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и геометрии Тверского государственного университета Научный руководитель

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кириченко Вадим Федорович доктор физико-математических наук, профессор Степанов Сергей Евгеньевич

Ведущая организация

Защита состоится 8 октября 2009 года в 14ч ЗОмин на заседании диссертационного совета Д 212. 081. 10 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужи-на, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина: Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан Л С^СиппЛОб>9г

доктор физико-математических наук, профессор Шелехов Александр Михайлович

Научный консультант

доктор физико-математических наук, Толстихина Галина Аркадьевна

Чувашский государственный педагогический университет

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Липачев Ё.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория три-тканей — сравнительно молодой раздел дифференциальной геометрии. Впервые три-ткани начали изучать в 1926-1928 годах участники Гамбургского геометрического семинара под руководством известного математика XX века Вильгельма Бляшке. Они определили различные типы конфигураций на криволинейной ткани и показали, что каждой конфигурации соответствует некоторое алгебраическое тождество. Результаты этих исследований были опубликованы в [7], библиографию см. в [6]. В 1936 году появилась работа С. Черна [15], в которой он методом внешних форм Э. Картана изучает геометрию многомерных три-тканей, образованных тремя семействами r-мерных поверхностей в 2г-мерном пространстве.

Следующий этап в исследовании многомерных три-тканей связан с развитием метода внешних форм в работах С.П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, A.B. Васильева и других российских математиков [8], [9], [14]. В 1969 году была опубликована работа М.А. Акивиса [1], в которой записаны структурные уравнения многомерной три-ткани и определены важнейшие специальные классы тканей. Далее последовала серия работ по теории тканей как самого М.А. Акивиса, так и его коллег и учеников: В.В. Гольдберга, A.M. Шелехова, А.Д. Иванова, Г.А. Клековкина, В.В. Тимошенко, B.C. Болодурина, Г.А. Толстихиной и многих других. К настоящему времени в данной области получен целый ряд фундаментальных результатов, которые отражены в обзорах и монографиях [2| -[6], [13], [16], [17].

Основные исследования ведутся по трем направлениям:

1) изучение специальных классов тканей, определяемых специальными соотношениями на тензоры кривизны и кручения; .

2) исследование дифференциально-геометрических структур и аффинных связностей, определяемых тканями;

3) изучение локальных свойств тканей с помощью ее локальных координатных луп.

Одной из основных проблем теории тканей является проблема классификации. Каждый класс тканей характеризуется особым типом канонически присоединенной к ткани аффинной связности (связности Черна) [б]. В терминах связности Черна были даны тензорные характеристики известных тканей: трансверсально-геодезических, изоклинных, Томсе-на (Т), Рейдемейстера (Я), Бола (В), Муфанг (М), шестиугольных (Я) и других.

Исследование специальных классов тканей, один из которых рассмотрен в диссертации, имеет важное прикладное значение. Так, физические приложения теории тканей связаны с тем обстоятельством, что три-ткань представляет собой геометрический аналог локальной гладкой квазигруппы или лупы, вообще говоря, неассоциативной. Возможности применения квазигрупповых идей в различных областях теоретической физики (теория поля, общая теория относительности и др.) проанализированы, в частности, в [11]. Оказывается, что практически все возникающие в физике структуры, связанные с квазигруппами и лупами, в определенном смысле близки к группам Ли. Поэтому представляет интерес изучение тканей, наиболее близких по своим свойствам к групповым. Такими являются и рассматриваемые три-ткани с

ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения. Таким образом, тема исследования является актуальной.

Цель диссертационной работы. В настоящей работе рассматриваются три-ткани на 2г-мерном дифференцируемом многообразии, тензоры кривизны и кручения которых ковариантно постоянны в связности Черна. Такие ткали мы обозначаем И/У. Цель работы состоит в исследовании алгебраических и геометрических свойств три-тканей И/У.

Основные задачи исследования:

- найти общий вид структурных уравнений тканей IVх7 и характеризующие их тензорные соотношения;

- исследовать дифференциально-геометрические структуры, индуцируемые тканью IVх7 на многообразии М;

- найти структурные и конечные уравнения некоторых специальных многомерных тканей

- описать основные свойства и исследовать геометрическое строение четырехмерных тканей ЪУ^.

Методы исследования. Теория тканей тесно связана со многими областями современной математики (теорией связ-ностей, теорией расслоенных пространств, классической и проективной геометрией, алгебраической теорией групп, теорией групп Ли и т.д.), потому в ней используются разнообразные методы, применяемые в этих областях. Большинство основных результатов в этой теории получены методом внешних форм и подвижного репера Картана. Этот метод используется и в настоящей работе. Рассмотрения имеют, в основном, локальный характер.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Найдены структурные уравнения 2г-мерных тканей Wv и соотношения, связывающие компоненты тензоров кривизны и кручения таких тканей.

2. Доказано, что многообразие, несущее ткань Wv, является (локальным) однородным пространством, а ткань W/V — G-тканью. Описана структура этого однородного пространства.

3. Найдены структурные и конечные уравнения единственной негрупповой четырехмерной ткани Wv, описаны ее алгебраические и геометрические свойства.

4. Найдены структурные и конечные уравнения единственной изоклинной ткани Wv.

5. Исследованы три-ткани Wv с тензором кривизны минимального ранга. Найдены уравнения некоторых специальных три-тканей Wv с тензором кривизны минимального ранга.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, являются теоретическими. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей и по некоторым разделам физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на геометрических семинарах кафедры функционального анализа и геометрии ТвГУ (рук. проф. A.M. Шелехов), кафедры геометрии МПГУ (рук. проф. В.Ф. Кириченко), на Международной конференции "Геометрия в 0дессе-2008"(19-24 мая 2008 г., Одесса).

Публикации. Основные результаты диссертации опуб-

ликованы в пяти статьях.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 104 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, включающих 11 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 27 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается общая характеристика работы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, приводятся основные результаты.

В первой главе излагаются сведения из теории многомерных три-тканей, необходимые для дальнейшего изложения.

В первом параграфе приведено определение многомерной три-ткани, записаны ее структурные уравнения и соотношения, связывающие основные тензоры ткани.

Второй параграф посвящен известным специальным классам многомерных тканей, которые будут использованы в дальнейшем (изоклинные,.изоклинно-геодезические, Л-ткани, ткани с симметричным тензором кривизны). Здесь же приводятся тензорные условия, характеризующие эти классы три-тканей.

В третьем параграфе дано определение три-ткани Ц?^ -основного объекта изучения в диссертационной работе. Так обозначены ткани, тензор кручения а = (о®^) и тензор кривизны Ь = (Цк£), г, к, I = 1, г, которых ковариантно постоянны относительно канонической аффинной связности Черна: V« = 0, УЬ = 0.

Ткани У/^ мы рассматриваем с точностью до локальных диффеоморфизмов на базах слоений ткани. Тройка таких преобразований называется изотопическим преобразованием или изотопией [5].

В третьем параграфе записаны тензорные соотношения, характеризующие рассматриваемый класс тканей. Доказана

Теорема 1.8. Тензор кручения а = (о^) три-ткани удовлетворяет тождеству Якоби Оуь;а\т\е\ ~ ее тензор кривизны Ь =

= симметричен по всем нижним индексам, и эти

тензоры связаны следующими соотношениями:

пт к1 — л* Ьт — п*- Ьт — П

u'jkmpq тк ]рд u'jmukpq ~ и)

г/п 1Л ш г.% _ш и I I,т гл

и]ЫитрЧ изрд°тке ~ крц зтИ. ~г

п® Ьт 4- лг Ит — П тк урц + "уггЛрд ~ и-

Отметим, что ткани с вполне симметричным тензором кривизны исследовались в [18], они обозначены Тв. Более подробно в работе [12] изучались четырехмерные ткани этого класса.

Полученные тензорные соотношения интерпретированы в терминах касательной И7-алгебры ткани. Напомним [6], что в касательном пространстве Те единицы е всякой координатной лупы £(х,у) три-ткани, связанной с точкой (х,у) многобразия М, несущего три-ткань IV, можно ввести две операции - бинарную и тернарную:

Ы = а*(х, у)?г}к, ЫУ = Ъ)ке(х, у)?г,кС1,

£,г], С € Те. Эти операции называются соответственно коммутатором и ассоциатором и обозначаются А и В соответственно. Коммутатор и ассоциатор связаны обобщенным тождеством Якоби:

и образуют вместе \¥-алгебру или алгебру Акивиса [б].

Таким образом, с тканью связано расслоение Ж-алгебр, которое называется У/-алгеброй ткани IV. В дальнейшем для краткости будем писать вместо аг-к(х, у) и т.д., подразумевая, что все функции рассматриваются в текущей точке (ж, у) многообразия М, несущего три-ткань V/.

Рассмотрим оператор Ъ = Ь(£,г}) = (&*•(£, ??)), определенный следующим образом:

где г] - произвольные векторы из Те. Доказаны следующие утверждения.

Предложение 1.1. Операторы вида Ъ(£,г)) являются дифференцированиями бинарной алгебры А.

Предложение 1.2. Операторы Ь(£,г]) являются дифференцированиями тернарной алгебры В.

Следствие. Операторы вида Т]) являются дифференцированиями УУ-алгебры ткани .

Предложение 1.3. Векторы а(£, т]) входят в правое ядро тернарной алгебры В.

Предложение 1.4. Область значений производной алгебры А! входит в правое ядро тернарной алгебры В, определяемой тензором Ь.

В этом же параграфе проведена канонизация репера и доказана

Теорема 1.10. Пусть А — бинарная алгебра три-ткапи Wv, А! — ее производная алгебра. Три-ткань Wv является групповой тканью, если сНпъ4' = г. Если dimA' = р < г, то ткань Wv является полупрямым произведением групповой подткани W размерности р и фактор-ткани Wv /W, которая является изоклинно-геодезической тканью с кова-риантно постоянным тензором кривизны.

Напомним [6], что изоклинно-геодсзическими называются три-ткани, для которых aljk = 0.

В четвертом параграфе первой главы изучено строение многообразия М, несущего три-ткань Wv. Как следует из определения ткани Wv, многобразие ткани является локальным редуктивным пространством специального вида, а связность Черна — его канонической связностью. Мы находим соответствующую однородную структуру GjH\ структурные уравнения группы Ли G и ее подгруппы Я (Теорема 1.12).

Далее доказана

Теорема 1.13. Ткань Wv является G-тканью, определенной на однородном пространстве G/H.

(G-тканями называются ткани, которые допускают транзитивную группу автоморфизмов.)

Во второй главе доказывается существование единственной негрупповой четырехмерной изоклинно-геодезической ткани Wv и рассматриваются ее свойства. Такая три-ткань обозначена W4V.

В 2.1 доказано, что адаптированные реперы ткани W4V можно выбрать так, что ее тензор кривизны будет иметь

единственную ненулевую компоненту Ь2п, которую можно привести к единице. Тогда структурные уравнения четырехмерной ткани И^ запишутся в виде:

<1ш1 = 0, йи?

1 1

<Ы1 = 0, ¿и?

2 2

(кЯ = а»1 А а;1.

1 1 2

Доказана

Теорема 2.2. Существует единственная (с точностью до изотопии) негрупповая четырехмерная три~тканъ с ковариантно постоянным тензором кривизны и нулевым тензором кручения. Многообразие ткани является однородным пространством С/Н, где с\vrnG = 5, &1тН = 1. Уравнения ткани приводятся к виду:

г1^1!«1, г2 = и2 + и2- ^(и1)2. (0.2)

Здесь С — некоторая пятимерная группа, структурные уравнения которой есть уравнения (0.1), Н — одномерная подгруппа группы (7, определенная системой уравнений ш1 = 0,

и/ = 0 . 2,

Во втором параграфе найдены уравнения изоклинных поверхностей три-ткани У/'ь и уравнения конуса Сегре, образованного касательными плоскостями к изоклинньш поверхностям в некоторой точке Мо•

В третьем параграфе путем интегрирования структурных уравнений найдены конечные уравнения пятимерной группы С, определяющей ткань и уравнения инволютивного

= со А и>?, 1 1

2 1

(0.1)

автоморфизма, определяющего симметрическую структуру. Записано действие группы G на себе, как группы преобразований, а также ее действие на четырехмерном многообразии M. Здесь же найдены структурные уравнения алгебры А и доказаны

Теорема 2.4. Пятимерная алгебра Ли А группы G, определяющая три-ткань W^, является нилъпотентной алгеброй типа д5)4 [10].

Теорема 2.5. Всякая пятимерная антикоммутативная алгебра, удовлетворяющая условиям:

А' = {е3, е4, е5}, Аг s [А'А] = {е3, е4}, Я4 = [[А'А\А] = 0,

является алгеброй А (5*5,4).

Здесь же показано, что группа G может быть получена расширением одной абелевой группы с помощью другой абелевой группы. Для этого был найден вид гомоморфизма ip : G\ AutGo/IntGo, где G0 и G\ — абелевы группы.

В четвертом параграфе изучается симметрическая структура многообразия M = G/H, несущего три-ткань . В частности, найден в явном виде соответствующий инволю-тивный автоморфизм группы G. В 2.4 структурные уравнения однородного пространства M мы записываем в каноническом виде, то есть как структурные уравнения соответствующей канонической аффинной связности.

В 2.5 рассматриваются так называемые А-свойства ткани

W?.

Согласно [17], три-ткань W называется А-тканью, если каждая ее координатная лупа £(а, Ъ) является А-лупой. Это означает, что в лупе £(а,Ь) операторы ¿¿tV = L~y о Lx о Ly,

гх,у = Нх о Ях о Я^1 и тх>у — Ьх 1 о Яу 1 о Ьх о Яу являются автоморфизмами (здесь Ьх и Их — операторы левого и правого сдвигов в лупе соответственно). Три-ткань IV называется сопряженно замкнутой, если всякая ее координатная лупа является сопряженно замкнутой лупой, то есть композиции левых и правых сдвигов в лупе вида ЬхоЬуоЬ~1, В~хоЯуоЯх являются левым и правым сдвигами соответственно.

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.6. Три-ткань И^ является А-тканью.

Теорема 2.7. Три-ткань М^7 является сопряженно замкнутой тканью.

Третья глава посвящена специальным классам три-тка-ней с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения.

В первом параграфе рассматриваются ткани IVv с тензором кривизны минимального ранга, то есть с тензором кривизны следующего строения: Ьг-и — //б^ф. Для такого тензора в силу его симметричности по нижним индексам получаем:

Щи = А-М* (0.3)

Доказана

Теорема 3.2. Структурные уравнения три-ткани У/*7 с тензором кривизны минимального ранга, компоненты тензора кривизны которой имеют специальное строение (0.3), могут быть приведены к следующему виду:

¿и1 = 0, ей/ = ш1 Л 4 + 2+ ¿V Л <А 1 1 1 1 1 1

¿о;1 = 0, (Ь1 = и1 ЛиА — 2a.IV Л и? - Д^ Л ¿Д

О ' О О А 1л! О О о П7

М = су А ы\ = г,к = 2,г,

причем сКт, о* - постоянные и выполняются соотношения сЫ = 0.

Эк

Ткани с тензором кривизны минимального ранга, для которых с— = 0, мы назвали специальными тканями

]К

. Показано, что структурные уравнения таких тканей приводятся к следующему виду:

йш1 = 0, йш1 = О, 12

в/Л = О)1 Л ш\ + ¿тШ1 Л шк. 11 1 1 , \ , , (0.4)

сЫг = о;1 А - с\?и1 А оА 2 2 1 1к2 2

= с{и1 Л о;1.

1 1 2

Доказано, что специальные ткани IVх7 определены на однородном пространстве М = О/Н, сйтС? = Зг—1, сНтЯ = г—1, причем Н является абелевой группой.

В первом параграфе третьей главы найдены также конечные уравнения для двух типов специальных многомерных три-тканей. Во-первых, рассмотрены ткани, для которых матрица ^с®-^ имеет диагональный вид, то есть сг~ ф 0, а все остальные элементы равны нулю. Для таких тканей записаны структурные уравнения и доказана

Теорема 3.3. В некоторых локальных координатах уравнения специальной три-ткани Ис диагональной матрицей приводятся к следующему виду:

г'=х1+у\ ¿ = ^Ог1)3 + 1(х1)2у1)'-

Семейство таких тканей зависит от г — 1 постоянных с\~.

ъ

Во-вторых, рассмотрены специальные ткани, для которых матрица (^¿г) имеет вид:

/А 1 0 ... (Л

О А 1 ... О

О 0 0 ... А

(0.5)

Доказана

Теорема 3.4. В некоторых локальных координатах уравнения специальной ткани И''57 с матрицей (0.5) приводятся к следующему виду:

г1 = хг + у\ г2 = ж2 + у2_с2(^у1;

2!

г3 = х3 + уг - у2хх - ( с:

г4 = х4 + у4 - у3хг + у2-

}(хГ ,20т1)3

2! С 3!

X1)2 (Ах1)2

2! V 2!

У ,

Д\3

3!

+ с

4!

V V I Т Г—1 1 I

2 — аг + 2/ — у х + у

.(X1)2 .^гсх1)»

-1^1 I „.г-г^1)2 , / 1 \г—2„,2 2

2!

- • • ■ + (-1 Г¥

(г-2)!

- с

— с

\ 2! 3! г!

Семейство таких тканей задается набором г — 2 постоян-

Во втором параграфе рассматриваются изоклинные три-ткани с ковариантно постоянными основными тензорами (ткани .Напомним [6], что изоклинные ткани характеризуются специальным строением тензора кручения:

а)к = - ¿гм

Используя этот факт, мы доказываем следующее утверждение.

Теорема 3.5. Тензор кривизны изоклинной три-ткани ИЛ0У является тензором минимального ранга.

Как и в первом параграфе, мы специализируем репер ткани И^ и находим ее структурные уравнения. Доказана

Теорема 3.6. Изоклинные ткани с ковариантно-постоян-ными тензорами кривизны и кручения (ткани М/д7,) существуют. Этот класс тканей допускает такое семейство адаптированных реперов, в которых тензор Ь имеет вид Ь\п = //, причем величины цг являются постоянными, а все остальные компоненты равны нулю. Структурные уравнения ткани приводятся к следующему виду:

йи1 = 0, (Иш1 = О, 12

сЬг = о;1 А ш\ +С01 А 1 1 1 1 1

ди? = со1 А иА - со1 А о/, 2 2 1 2 2

<Ы - /и1 и1 А ш1, 1 1 2

Путем интегрирования структурных уравнений ткани }¥$ найдены ее уравнения в некоторых локальных координатах

(Теорема 3.7):

г1=х1 + у1, г7 =еу\х7+у1+х1у1). (0.6)

В этом же параграфе отмечен следующий факт: несмотря на то, что для ткани выполняются тензорные соотношения

Ат • ¿тЩ + С^тк = (^-7)

характеризующие четвертую дифференциальную окрестность Лт-ткани [17], эта ткань не является Л т-тканью. А именно, используя уравнения ткани И^7 (0.6), мы показываем, что оператор тХ)У (см. выше) не является автоморфизмом в координатной лупе ткани И^. Таким образом, доказана

Теорема 3.8. Тензорные соотношения (0.7), характеризующие дифференциальную окрестность четвертого порядка Ат-тканей, не являются достаточными для того, чтобы произвольная три-ткань была Ат-тканью.

Список литературы

[1] Акивис, М.А. О три-тканях многомерных поверхностей/ М.А. Акивис// Тр.геом.сем. ВИНИТИ АН СССР.- 1969.Т. 2,- С. 7-31.

[2] Акивис, М.А. Дифференциальная геометрия тканей/ М.А. Акивис// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.— 1983.- Т. 15 - С. 187-213.

[3] Akivis, М.А. Algebraic aspects of web geometry/ М.А. Akivis, V.V. Goldberg// Comment. Math. Univ. Carolin.— 2000 -41(2).- P. 205-236.

[4] Akivis, M.A. Differential geometry of web, Chapter 1 in Handbook of Differential Geometry/ M.A. Akivis, V.V. Goldberg// Elsevier .Science B.V.- 2000.- P. 1-152.

[5] Акивис, M.A. Основы теории тканей/ M.A. Акивис, A.M. Шелехов// Калинин, 1981 — 88 с.

[6] Akivis, M.A. Algebra and Geometry of Multidimensional Three-Webs/ M.A. Akivis, A.M. Shelekhov// Kluwer Academic Publishers — Dordrecht; Boston; London, 1992.— xvii+358 pp.

[7] Бляшке, В. Введение в геометрию тканей/ В. Бляшке// М.: ГИФМЛ- 1959,- 144 С.'

[8] Васильев, A.M. Теория дифференциально-геометрических структур/ A.M. Васильев// М.: Изд-во МГУ, 1987 — 190 с,

[9] Лаптев, Г.Ф. Основные инфинитизимальные структуры высших порядков на гладком многобразии/ Г.Ф. Лаптев// Труды геометрического семинара.— М, 1966.— Т. 1.— С. 139-189.

[10] Мубаракзянов, Г.М. Классификация вещественных пятимерных алгебр Ли/ Г.М. Мубаракзянов// Изв. вузов,— 1963.- № 3.

[11] Нестеров, А.И. Квазигрупповые идеи в физике/ А.И. Нестеров// Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике: Труды института физики.— Тарту, 1990 — Т. 66.— С. 107— 120.

[12] Толстихина, Г. А. О четырехмерных тканях .с симметричным тензором кривизны/ Г.А. Толстихина// Ткапи и квазигруппы.— Калинин, 1981.— С. 12-22.

[13] Толстихина, Г.А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей/ Г. А. Толсти-

хина// Современная математика и ее приложения.— 2005.— Т. 32,- С. 29-116.

[14] Фиников, С.П. Метод внешних форм Картана/ С.П. Фиников// М., 1947.

[15] Черн, С.С. (Chern S.S.) Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R,2r/ C.C. Черн// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.- 1936.- 11(1,2).— P. 333-358 (Zbl. 13., p. 418.)

[16J Шелехов, A.M. Дифференциально-геометрические объекты высших порядков многомерной три-ткани/ A.M. Шелехов// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.— 1987.— Т. 19.- С. 101-154.

[17] Шелехов, A.M. Классификация многомерных три-тканей по условиям замыкания/ A.M. Шелехов// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.- 1989.- Т. 21,- С. 109154.

[18] Шелехов, A.M. О три-тканях с симметричным тензором кривизны/ A.M. Шелехов// Сиб. мат. ж.— 1981.— Т. 22 - С. 210-219.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Пиджакова, Л.М. On properties of four-dimensional torsion-free three-webs with covariantly constant curvature tensor/ Л.М. Пиджакова, A.M. Шелехов// Webs and Quasigroups.— Tver, 2000.- C. 77-84.

[2] Пиджакова, Л.М. Об одном классе изоклинных три-тканей/ Л.М. Пиджакова//Изв. вузов. Математика.— 2008 — №11.— С. 60-67.

[3] Пиджакова, JT.M. Редуктивная структура, связанная с тканью Wv/ Л.М. Пиджакова// Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в 0дессе-2008".— Одесса, 2008,- С. 114.

[4] Шелехов, A.M. A remark on A-webs/ A.M. Шелехов, Л.М. Пиджакова// Webs and Quasigroups.— Tver, 1998-1999.— С. 71-75.

[5] Шелехов, A.M. On three-webs with covariantly constant torsion and curvature tensors/A.M. Шелехов, Л.М. Пиджакова // Webs and Quasigroups - Tver, 1998-1999 - C. 92-103.

Технический редактор A.B. Жильцов Подписано в печать 25.08.2009. Формат 60 х 84 Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 302. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63.

Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Краткое содержание диссертации

1 Структурные уравнения и основные свойства три-тканей с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения

1.1 Структурные уравнения многомерной три-ткани W

1.2 Некоторые специальные классы многомерных три-тканей

1.3 Структурные уравнения ткани Wv

1.4 Редуктивная структура, связанная с три-тканью Wv

2 Четырехмерные изоклинно-геодезические три-ткани Wv

2.1 Структурные и конечные уравнения четырехмерной изоклинно-геодезической три-ткани Wv

2.2 Изоклинная структура три-ткани W4V

2.3 Строение группы G, определяющей три-ткапь W

2.4 Симметрическая структура многообразия три-ткани W

2.5 Л-свойства три-ткани W^

3 Некоторые специальные классы многомерных тканей Wv

3.1 Три-ткани Wv с тензором кривизны мршимального ранга

3.2 Изоклинные три-ткани Wv

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Теория три-тканей — сравнительно молодой раздел дифференциальной геометрии. Впервые три-ткани начали изучать и 1926-1928 годах участники гамбургского геометрического семинара под руководством известного математика 20 века Вильгельма Бляшке. Они определили различные типы конфигураций на криволинейной ткани и показали, что каждой конфигурации соответствует некоторое алгебраическое тождество. Результаты этих исследований были опубликованы в [8], библиографию см. в [6]. В 1936 году появилась работа Черна [24J, в которой он методом внешних форм Э. Картана изучает геометрию многомерных три-тканей, образованных тремя семействами г-мерных поверхностей в 27-мерном пространстве.

Следующий этап в исследовании многомерных три-тканей связан с развитием метода внешних форм в работах С.П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, А.В. Васильева и других российских математиков [10], [17], [23]. В 1969 году была опубликована работа М.А. Акивиса [1], в которой записаны структурные уравнения многомерной три-тка.ни и определены важнейшие специальные классы тканей. Далее последовала серия работ по теории тканей как самого М.А. Акивиса, так и его коллег и учеников: В.В. Гольдберга, A.M. Шелехова., А.Д. Иванова, ГА. Клеков-кина, В.В. Тимошенко, B.C. Болодурипа, Г.А. Толстихиной и многих других. К настоящему времени в данной области получен целый ряд фундаментальных результатов, которые отражены в обзорах и монографиях [2] - [6], [21], [25], [26].

Основные исследования ведутся по трем направлениям:

1) изучение специальных классов тканей, определяемых специальными соотношениями на тензоры кривизны и кручения;

2) исследование дифференциально-геометрических структур и аффинных связностей, определяемых тканями;

3) изучение локальных свойств тканей с помощью ее локальных координатных луп.

Одной из основных проблем теории тканей является проблема классификации. Каждый класс тканей характеризуется особым типом канонически присоединенной к ткани аффинной связности (связности Черна) [6]. В терминах связности Черна были даны тензорные характеристики известных тканей: трансверсально-геодезических, изоклинньтх, Томсена (Т), Рейдемейстера (i?), Бола (J5), Муфапг (М), шестиугольных (Н) и других.

Исследование специальных классов тканей, одному из которых посвящена настоящая работа, имеет важное прикладное значение. Так, физические приложения теории тканей связаны с тем обстоятельством, что три-ткань представляет собой геометрический аналог локальной гладкой квазигруппы или лупы, вообще говоря, неассоциативиой. Возможности применения квазигрупповых идей в различных областях теоретической физики (теория поля, общая теория относительности и др.) проанализированы, в частности, в [19]. Оказывается, что практически все возникающие в физике структуры, связанные с квазигруппами и лупами, в определенном смысле близки к группам Ли. Поэтому представляет интерес изучение многомерных тканей, наиболее близких по своим свойствам к групповым тканям. Такими являются и три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения, изучаемые в настоящей работе. Таким образом, тема исследования является актуальной.

Цель работы. В настоящей работе рассматриваются три-ткани, образованные на 2г-мерном дифференцируемом многообразии тремя гладкими слоениями размерности г, каждые два из которых находятся в общем положении. Тензоры кривизны и кручения рассматриваемых три-тканей ковариантно постоянны в связности Черна. Такие ткани мы обозначаем Цель работы состоит в исследовании алгебраических и геометрических свойств три-тканей Wv.

Основные задачи исследования:

- найти обилий вид структурных уравнений тканей Wv и характеризующие их тензорные соотношения;

- исследовать дифференциально-геометрические структуры, индуцируемые тканью Wv на многообразии М;

- найти структурные и конечные уравнения некоторых специальных многомерных тканей

- описать основные свойства и исследовать геометрическое строение четырехмерных тканей Wv.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Найдены структурные уравнения 2?-мерпых тканей Wv и соотношения, связывающие компоненты тензоров кривизны и кручения таких тканей.

2. Доказано, что многообразие, несущее ткань PFV, является (локальным) однородным пространством, а ткань Wv — G-тканью. Описана структура этого однородного пространства.

3. Найдены структурные и конечные уравнения единственной негрупповой четырехмерной ткани Wv, описаны ее алгебраические и геометрические свойства.

4. Найдены структурные и конечные уравнения единственной изоклин ной ткани

5. Исследованы три-ткани Wv с тензором криврхзны минимального ранга. Найдены уравнения некоторых специальных три-тканей Wv с тензором кривизны минимального ранга.

Методы исследования. Теория тканей тесно связана со многими областями современной математики (теорией связностей, теорией расслоенных пространств, классической и проективной геометрией, алгебраической теорией групп, теоррхей групп Ли и т.д.), потому в ней используются разнообразные методы, применяемые в этргх областях. Болышшство основных результатов в этой теорирх получены методом внешних форм и подвижного репера Картана. Этот метод используется и в настоящей работе. Рассмотрения имеют, в основном, локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в др1ссертацир1, являются теоретршескимрг Они могут быть ргсполь-зованы при чтении спецкурсов в рамках специализацирг по геометррш тканей pi по некоторым разделам физрнш.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на геометрических семинарах кафедры функционального анализа и геометрир! ТвГУ (рук. проф. A.M. Шелехов), кафедры геомет-рирг МПГУ (рук. проф. В.Ф. Кр1рР1ченко), на Международной конференции "Геометрия в 0дессе-2008"(19-24 мая 2008 г., Одесса).

По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 104 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, включающих 11 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 27 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Акивис М.А. О три-тканях многомерных поверхностей/ М.А. Акивис// Тр.геом.сем. ВИНИТИ АН СССР.- 1969.- Т. 2.- С. 7-31.

2. Акивис М.А. Дифференциальная геометрия тканей/ М.А. Акивис// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.— 1983 — Т. 15 — С. 187-213.

3. Акивис М.А., Гольдберг В.В. (Akivis М.А., Goldberg V.V.) Algebraic aspects of web geometry/ М.А. Акивис, В.В. Гольдберг// Comment. Math. Univ. Carolin.— 41(2).- 2000,— p. 205-23G.

4. Акивис M.A., Гольдберг В.В. (Akivis M.A., Goldberg V.V.) Differential geometry of web, Chapter 1 in Handbook of Differential Geometry/ М.А. Акивис, В.В. Гольдберг// Elsevier Science B.V.— 2000.— p. 1-152.

5. Акивис M.A., Шелехов A. M. Основы теории тканей/ М.А. Акивис, A.M. Шелехов// Калинин.— 1981.— 88 с.

6. Akivis М.А., Shelekhov А. М. Algebra and Geometry of Multidimensional Three-Webs/ M.A. Akivis, A.M. Shelekhov// Kluwer Academic Publishers.— Dordrecht/ Boston/ London.— 1992.— xvii+358 pp.

7. Белоусов В.Д., Рыжков В.В. Геометрия тканей/ И.Д. Белоусов, В.В. Рыжков// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия.— 1972.- Т. 10.- С. 159-188.

8. Бляшке В. (Blaschke W.) Введение в геометрию тканей/ В. Бляшке// М.: ГИФМЛ — 1959,- 144 с.

9. Bruck R.H., Paige L.J. Loops whose inner mappings are automorphisms/ R.H. Bruck, L.J. Paige// Ann. Math.— 63(2).— 1956,— p. 308-323.

10. Васильев A.M. Теория дифференциально-геометрических структур/ A.M. Васильев// M.: Изд-во МГУ.— 1987.— 190 с.

11. Васильева М.В. Группы Ли преобразований/ М.В. Васильева// Москва.— Моск. гос. пед. ин-т.— 1969.— 175 с.

12. Гольдберг В.В. (Goldberg V.V.) A classification and examples of four-dimensional isoclinic three-webs/ B.B. Гольдберг// Webs and Quasi-groups — Tver.— 1998-1999 — p. 32-66.

13. Goodaire E.G., Robinson D.A. A class of loops which are isomorphic to all loop isotopes/ E.G. Goodaire, D.A. Robinson// Canad.J.Math.— 34(3).- 1982.- p. 662-672.

14. Клековкин Г.А. Четырехмерные ткани с ковариантно постоянным тензором кривизны/ Г.А. Клековкин// Ткани и квазигруппы.— Калинин,— 1984.— С. 56-63.

15. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии/ III. Кобаяси, К. Номидзу// М.: Наука.— 1981,- Т. 2,— 416 с.

16. Ковальский О. Обобщенные симметрические пространства/ О. Ковальский// М.- 1984.— с. 240.

17. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитизимальные структуры высших порядков на гладком многобразии/ Г.Ф. Лаптев// Труды геометрического семинара.— М,— Т. 1.— 1966.— с. 139-189.

18. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных пятимерных алгебр Ли/ Г.М. Мубаракзянов// Изв. вузов.— № 3.— 1963.

19. Нестеров А.И. Квазигрупповые идеи в физике/ А.И. Нестеров// В сб. Квазигруппы и неассоциативиые алгебры в физике. Труды института физики Тарту,— 1990.— Т. 66,— С. 107-120.

20. Толстихина Г.А. О четырехмерных тканях с симметричным тензором кривизны/ Г.А. Толстихина// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1981.— С. 12-22.

21. Толстихина. Г.А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей/ Г.А. Толстихина// Современная математика и ее приложения.— Т. 32(2005).— С. 29-116.

22. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симмет-риями/ В.В. Трофимов// М.: Изд-во МГУ.— 1989.— с. 359.

23. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана/ С.П. Фиников// М.- 1947.

24. Черн С.С. (Chern S.S.) Erne Invariantentheorie der Dreigewebe aus г-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2rj C.C. Черн// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.— 11(1,2).— 1936.— p. 333-358. (Zbl. 13., p. 418.)

25. Шелехов A.M. Дифференциально-геометрические объекты высших порядков многомерной три-ткани/ A.M. Шелехов// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.— 1987.— Т. 19.— С. 101-154.

26. Шелехов A.M. Классификация многомерных три-тканей по условиям замыкания/ A.M. Шелехов// Итоги науки pi техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.- 1989.- Т. 21.- С. 109-154.

27. Шелехов A.M. О три-тканях с симметричным тензором кривизны/ A.M. Шелехов// Сиб. мат. ж.— 1981,— С. 210-219.Список публикаций автора по теме диссертации

28. Пиджакова Л.М., Шелохов A.M. (Pidzhakova L.M., Shelekhov A.M.) On properties of four-dimensional torsion-free three-webs with covariantly constant curvature tensor/ Л.М. Пиджакова, A.M. Шелехов// Webs and Quasigroups.— Tver.— 2000.— c. 77-84.

29. Пиджакова Л.М. Об одном классе изоклинных три-ткапей/ Л.М. Пиджакова// Изв. вузов. Математика.— №11.— 2008.— с. 60-67.

30. Пиджакова Л.М. Редуктивная структура, связанная с тканью W4/ Л.М. Пиджакова// Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в 0дессе-2008".— Одесса, с 19 мая по 24 мая 2008.— с.

31. Шелехов A.M., Пиджакова Л.М. (Shelekhov A.M., Pidzhakova L.M.) A remark on А-webs/ A.M. Шелехов, Л.М. Пиджакова// Webs and Quasigroups.— Tver.- 1998-1999.— c. 71-75.

32. Шелехов A.M., Пиджакова, Л.М. (Shelekhov A.M., Pidzhakova L.M.) On three-webs with covariantly constant torsion and curvature tensors/A.M. Шелехов, Л.М. Пиджакова // Webs and Quasigroups.— Tver.— 19981999,- c. 92-103.114.