Зависимость собственных частот от формы области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ТбШМССЮЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УШВЕгаТГЕТ

На правах рукописи ГК0РГАД32 МАЙЯ ГЕОРГИЕВНА

ЗАВИСИМОСТЬ СООСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОТ ФОРМЫ СШАСТИ

01.01.03 - Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученной степени кандздата физико-математических наук

Тбилиси - 1ЭЭЗ

Работа выполнена в , Московском институте инженеров железнодорожного транспорта и.Грузинском научно-исследовательском центре информатизации.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук проф.

А.Д. Мышкис

Официальные оппоненты: кандидат физико-матемтических наук проф.

И.Карцивадзе

докггор физико-математических наук проф. С. Харибегаивили

Защита дисертации состоится -Ж— 1ЭЭЗ Г. в —/-А— часов в большой аудитории физики второго корпуса Тбилисского государственного университета на заседании специализированного совета ( КМ 01.01.СИ 1-5)

С диссертацией моасно ознакомиться в научной библиотеке Тбилисского государственного университета по адресу: 380043, Тбилиси, Университетская,2. ^

Автореферат разослан "12-"' — 1993г.

Ученый секретарь . '

специализированного совета ■ кандидат физико-математических наук

доцунт 0 (Ц-и^Г.р--'^. ' 0.И.НА1ЕТВЛРВДЗЁ

- ?- .

Общая характеристика работы

Алтуальность темы : Изоперкметричэскиа задачи о выбора области, для которой какоо либо из собственных значений заданной линейной эллиптической краевой задачи достигает локального экстремума, возникли в механике еще в XIX веке.

Классическая задача о влиянии форы колеблющейся среды на частота ее нормальных колебании изучалась многими авторами: Релей, Кран, Псхлиа, Cere, Л. Пёйн, Г. Пойа X. Вайнбергер, Дж. Брэнде, Н.Врие, Г. Хайл, М. Проттер. Ее полное решение весьма трудно не только в общем случае, ко и для самых простых форм.

В 1987 г. А. С. Братусь и А.Д.Мышкис развили метод исследования экстремальных свойств собственных значений ( краевой задачи для линейных самосалряхенных положительно определенных эллиптических операторов относительно малого изменения границы области с сохранением ее объема. Это привело к общей схеме исследования ,. даицей возмохность, в частности, рашать вопрос о наличии или отсутствии экстремума нормальной частоты с заданным номером относительно упомянутых деформации при сохранении меры области. Они рассмотрели лишь самые простые примеры / простые и двукратные собственные значения 1 краевой задачи для опратора Лапласа, в круге, а также простые собственные значения II краевой задачи там хе/ Отметим, что рассмотрение однэдараметрических изменений границы, а также некоторое требование невырожденности атого изменения приводят к тому, что экстремум в уромянутой работе л дальнейших работах этих авторов понимается в более слабом, лысле, чем обычно.

•Аналогичное ис<годование. И и III краевых задач для'

- S-.

оператора Лапласа было проведено в работе 1989 г. тех sa авторов. Здесь дополнительным источником осложнений послужила кеобходшость переноса краевого условия 1I или III рода с исходной границы области на измененную границу. В качестве примера рассмотрены простно собственные значения II краевой задачи для оператора Лапласа в круге. Наконец, в 1992 г. A.C. Братусь и А.Д. Мышкис исследовали экстремальное свойство отношения первых двух собственных значений 1 краевой задачи для оператора Лапласа при калом изменении границы плоской области; в качестве примера опять был рассмотрен круг. Таким образом, общий мэгод предлогенный Л.С.Братусш и Л.Д. Мишшсом, был ими применен к весила ограниченному числу коккрятнчм задач, а именно, к сагам простш задачам рассматриваемого типа. Стала штгуальной проблема -показать возможность применения метода к болео слсиьы задачам: краевым задачам в варе; задача:,! с собственными значениями кратности вше чем два; кратным собственным значениям для 11 краевой задачи, '¿ги задачи и стали предметом рассмотрения в настоящой диссертации.

Актуальным такжо было показать возможности применения данного катода к задачам, но связанным с оператором Лапласа. Для этого была избрана задача о частотах малых плоских изгибных колебаниях предварительно искривленного тонкого однородного сторгня.

Ранее рядом авторов ( Лэмб, Гартог, Демидовнч) .были исследованы частоты нормальных колебаний для стержня, имеющего вид отрезка прямей или дуги окружности, при различшх граничных условиях. В частности, Лэмб показал, что при перехода от прямолинейного стержня со свободными концами к сторана той зге длины, изогнутому но дуге : окружности большего радиуса : все собственные частота понижается. Естественно возник вопрос о

шшянии на частоппл 'колейаний малого. добавочного искривления произвольно изогнутого стержня. Этот вопрос также изучается в диссертации.

Цель работы: Цалыо представленной диссертации является развитие и пркиеканиа упомянутого метода исследования локальных ' экстремальных свойств собственных значений с заданным номером при малая изиенонии границы области, сохраняющем меру ( т.е. обьем, шюпдць или длину) этой области.

Общая методика исследования : В рабсгте используются меггода

i '

классического математического анализа, а также теории дифференциальных и интегральных уравнений и математической физики. Систематически принимаются сферические функции и функции Бесселя.

Научная новизна и практическая ценность: В диссертации получены следующие ноэые результаты. '

- Исследовано поведения простых и трехкратных собственных значены оператора Лапласа с краазыяи условиями I рода для трехмерного шара при малом изменении границы с сохранением объема. Огмеггим, что поведение трехкратных собственных значений ранее вообще не рассматривалась, и требовала существенного видоизменения методики.

-Исследовано поведения простых собственных значений оператора Далласа для тара и двукратных собственных значений для круга оператора Лапласа с краевым условием 2-го рода.

- Исследовано поведение собственных значений в задаче о малых колебаниях при добавочном искривлении и»вгилого стержня

Все основные результаты диссертации носят конструетивный характер* Полученные в, ней результаты могут быть использовании в разных сферах как фундаментальные . • •

- iO-

Апробация работа : Результаты ; диссертации дооадывалгсь:

1. на ыездународной конференций "Задачи со свооодными границами в механике сплошной среды" ', 1991, - Новосибирск;

2. на летней математической школе " Современные методы в теории краевая задач" Воронез, 1992 г;

3.' на заседаниях семинара МШГГ но

дифференциальным уравнениям и смежным вопросам ( руководитель проф. А. Д. Иышкис) ;

Публикации_: Основные результата диссертации опубликовала в [1-61.Статьи I 4 , 5 3 написаны совместно с научным руководите^ А.Д.Еышкисоа; шу принадлежат постановка задачи к указания во ео решении.

Обьеа и структура работы : Диссертация состоит из "введения, . tpox .глаз в списка литературы. Обедай. осьеы Ui" страниц

иазинотасного текста. Скисож литературы содерзит 29 наименовании.

*

Содержание paoerru

В Нарвой глава .рассматривается условия этстршуыа в спектральной изоперидагрической', задаче для ' оператора Лапласа с краевые условием первого рода. Изучается поведения простых и трехкратных собственна» значений для шара.

Пусть s> <= R3 вар радиуса R с границей S. Paccuorpisi задачу на собственные значения :;

IV

- &U = MJ • ( в D ), U = О ( на S ).

Известно, что задача (1) для произвольной конечной области D имеет последовательность 4xt>"=| собственных значений, и

эответствувщуп последовательность tUt)l>4 собственных гнкций, которые мсапю считать удовлатворяйцики условии . тгонормирования.

Пусть область D зан'енена на область tf с поверхностью S® зичем отклонение S* от s по внешней нормали h рвано ,. ;: . й - + ... '■■ '.}.; \ \в е<>0 - малый параметр, а ? ,г>, ...: S —> R заданные эстаточно гладкие функции. Обозначим через i - е й порядке ^убывания собственное значение задачи (1). для области D° Тогда inñ k¿ было, простым собственным значением задачи , (1) /;-• , то. ; эзмохны . разложения зелйчины х* и соотватствупцэП пронормированной собственнойфункций /U^fx) tófcroy.

эедставдения: ' •""•. '". >

xf- f íit+ С \ + 0( € *) : V;'

uf( x ) - Ut( x ) + * x ) + x ) + O ( (4) Допустим, что для задачи (1) в шаре D j-e по счету простое эбственное 'имеет в общей последовательности собственных значений жоторый номер t. Тогда - / .' .'■:■■■'■'*' -■'.

V'[ К ' (-й2- j' r- X

г,е,*>) - сферические координата с цс прем в центре иара ). ' ' " Пусть далее мы от D переоли к области D® с поверхностью S-, соответствии с формулой (2) . Мы будем гфвдарлагатау? ^ змена области является невырсаденной :» т!ё. не Сводится, эчностыо до величин, малых по сравнению се, к двшюнию.Для эра это означает, что кф 0 , и.что центр тяжести области можно читать неизменным. Кроме того; ' будем предполагал, что при эреходе от D к 0е обьем области сЬхран?ется. . ; '

Последнее условие равносильно выполнении

последовательности равенств

f ids «О , J- ( ч + J- к2 )dS = О В ■ 8 Н

Условие ко сохранения центра тгхести равносильно тому„ что

Г гй5 .0 , Г ( ч + Л. ) г йБ «"о (б) в в ; 2Н

Невыписанные равенства (5) и (б) включают все Солее

далекие коэффициенты разложения М*).

Подставка разложений (3) и (4) в задачу И) для 0е приводит

к краевым задачам для функций ^ и 1Г4 :

(ВС )

«U

Л-"3-й'« ' (Has)

(Т)

( в D ).

a v;

о п

«■и

, 2 on J( 2 ^ ^ +. V* )dX ®,о

t ?

on

¿7) ( KJL S ),

D

(8)

После преобразовании из (7) получаем

j( ifр

dS

Из этого выражения вытекает, что. « о. •

Теорема 1. На D любое простое собственное значение

стационарно относительно малого изменения области веда (2) сохраняющего обьем. . , •

Аналогичноо преобразование равенств (8) приводит к формуле

г * А Г» \ 1 «Ч » * U. I

• J - in l«n 2 an on J "

G аомощьа разлсегерия по сферически» функций' получаем .

■м«»»" * ' • - .

, jai g ,L- {n + 2, w,. 4 •.

J R4 п.» 2n+1 l J (» Л

«о-* < en].

гда J - функция Бессаля, a Cni>( - коэффициента разложения ^укщии ? з ряд по сферически функциям.

Исследовании знака числа, заключенного и фигурные скобки, зрааодйг, к следующему утверждению: ■.

Теорема 2 . Все, начиная со второго, просты^ гоЗственнме значения оператора '. Лапласа с краевым. условием -первого * гола для трехмерного шара, при изменениях области' с сохранением ее ашзг гру&гй * (т.е. распознаваемый по квадратичнш членам) .южальный mauiaxc.-''-.-. -..'■•

Что. кеспотся первого собственного значения, для нее ^шгшана; следующая теорема: .-' - • '•.•. '

Теорема 3. Первое собственное значение оператора \ Тззяаса с краевым условием первого рода для трехмерного шара при safca валом изменении области, вида (2), сохраняющего обьем, :гкст ¡атизнуа, 'распознаваемый цо квадратичным членам. '' - :' .. Стмёгла, ■ ■ что первые простые собственные значения ииеэт ic-spa: .... ■;

Рассютркд теперь трехкратное собственное' значение . .v, Y адачнП). Зто означает, ,что: '. •''.' -

V. < хл

Тогда, как известно

ч

НН"

где есть, к-1» по счету положительный нудь функции Бесседя

2 (__„ „ . я1пх *

_ Г-соо X +

■ *ГпТГ 1 х

За соответствующую систему ортонормированных собственных функщя можно принять •"

Ц-

/з оы Рк г

2 81п Рк И /7 Я

л л

2 в!п /; и

УмГ л Л

2 в1п Гт и

СОЗ <9

в1п « СОЗ Р .

31л в 3111 Р

Пусть, мы от 0 переели к, области & с поверхностью по формуле (2) .сохраняя предположения о функциях ? ,т> . Как и ранее, будем продпологать, что центр тяжести области 1/ находигся в начале координат . и при этой замене обьем области не меняется.

Обозначим через а' , х*+> , х. , собственные значения измененной задачи, взятые в порядке их неубывания. Из теорий, возмущения линейных операторов известно, что' трехкратное собственное значение расцепляется на три однозначные ветви/ допускающие представление ■.-,

в (<• '+ «V + 0( л* ) у 1,2,3) (9)

Пусть -х* - шт 1х'*,х",х"}, х. >к как — оставшееся из х к

тах {х»е,х",хм), тогда

(Два.или даже все

■9

т(зи значения , х* (, г кроме того.прн'.ем, что аналогично

могут совпадать друг с другом.) V возможны разложения для ортонормированиях собственных функций...

и

и' + г.у1 + сг Я> +0 ( Са)

№1,2,3) (10)

примем возможно почленное дифференцированно два раза.

Функции и' являются собствонныш» функциями в Б , поэтому

О' - С{ и и„ , (--1,2,3)

где С^ е к - некоторые постоянные, зависящие от возмущения (2)

и связанные равенством (С| )*+ (С^)"+ )' = 1, вытекахшм из нормированное™ и' .

Подсташшя разложения (9) и (10) в (1) получаш, что > »

это корни уравнения

в и

V, < * " 5

к ♦ р ♦ *

5п

(Ш (а(С) - р I ). О и

где

Э п

< р.Я »1,2,3 )

в • '

рд - производная по внешней нормали к Б

Вычисления показывает, что

i - ¡личико» мирнча

, т.е. по г .

2/>

2 <' 3(' <*

а о г I 3 1

2 6 ?' ' -V 6 < *

«V ■г г ж о х>

3..«* .' 6 «» -6 г4 - <*

.« « "' гг. г га

5В

Исследование ссОственных значы 'лй этой матрицы приводит к сладущеыу утверждению:' .

Теорема = 4. Если для трехкратных собственных значении оператора Лапласа с краемам условием первого рода из чисел ?*0 , г»| <гжг (гг п0 крайней' мере1, одно не равно нулю ( ккг.я-

¡¿оХсициенти разложения функции « по сферическим функциям). Тогда при возмущет; (2) границы области Ю с сохранением еп обьеыа минимальное собственное значение имеет при * =■ О острый

махешуа, иаксшзальное - острый минимум, а оставшимся третья -иинкмакс.. ;

Если - - «¡¡, - к\г * О, то р1 = = V = О.

я

' Переходим к рассмотрений величин и , и , к , которые прздставлявт собой собственные значения матрицы /»(С) + г{п) 6 к4** , где

Ío О | в V4 1 а1 и 1

в п I О П 2 от? J

г « и. в и,

гм(1)> ] _ в п

л п

Обе матрицы г(п) и Р(К ) симметрические, причем

2 л?

Г{ ч >- —;

Б й

г 2 чао + 5 чоо 3

3 <г Б 6

Тогда, как матрица я(?) гмеет гораздо болев грамоздкий вид. С учетом 4юрыулы

получаем след матрицы Р{К) + г <п) :

ТД/»«) + у (о)]-К«),

где Г - функционал, определенный довольно громоздким выражением, Таким образом,значение и4 ■ +V + ка определяется выбора» функции С . Если она выбрана, то с помощью подбора функций п мояено сделать \>л , ия- равным любым

значениям с заданной суммой. Исследование функционала ) приводит к следущему угеврвдешго: > - '

Теорема 5 .Если для трехкратных собственных значении

-1 f-

нсратсра Лапласа с краевым условием первого рода

0 t коэффициенты разложения ункции г по сферическим функцгям). Тогда при возмущении (2) раницы области D с сохранением ее обьема собственные начекия ( за исключением х4 ) гаеот при «¡ - 0 нинге«акс.

Экстремальный характер собственного "качения х4 остается не ияененным. Отметки, что первые трехкратно собственные значения меят номера: х. = х„ » х , х_„ = х.= х__

г а 9 4 3 4 зя se v

Во второй главе рассматриваются экстремальные задачи для

ростого собственного значения в шаре и для двукратного

обственного значения в круто для оператора Лапласа с краевыми

слсвиями 2-го рода.

Пусть De &а- шар радиуса R с поверхностью S.

ассмотрим задачу на собственные значения:

- a U = х и (□ D), „о (на S ), (11)

о п

50 п- направление вношней нормали. Для ноо J -о по счету ростов собственное значение равно (индекс ¿ здесь тезе указывает орядковый номер простого собстенного значения в общей эследовательности всех собственных значений задачи (11) ).

п,э íhj)- последовательность неотрицательных корней уравнения 3 h = h. Соответствующая нормированная собственняа функция равна:

Ut ( г.в.р) = -1----------1- зШ -А- г

/ 2 R 3ln hj г R (12)

Перейдем от D к области lf с поверхностью S* клещей эгвнениэ:

г = r + с ? 0>,<j) + с* г) (о,р) +.... (13)

la f i Ü и v заданные достаточно гладкие .функции, а Л 0 -

-

калый пара&эгр. Будем счкгать, что при этом переходе обьем области

сохраняется и-цантр тгасести области'на меняется.

* » , После подстановки разложения (3) и (4) в задачу (11) ,

получаза после соотвотствувдих преобразований задачу для 71:

- АУ1= \Ч + ^ и1 № О),

- <ли,4*)|*°Г4- -5-У- ? (на Б)

л п , в а1

| УЬВ 1«1В = О

В

Отсюда с помощью формулы Грина и пользуясь выражениями для «й и в*, получаем:

О в и о1 и, 1 а и - 1

и = ( и п --------< - ---А ^ - ------ .

1 ' 1 Й о г о г* В л в в •

о и _ •—-с^.аБ.

Л р

Подставив сща выражение (15,) для . и. и разложение с по сферическим функциям, получаем, что <= О . Таким образом, доказано, что имеет при ¿=0 стационарное значение.

Аналогично, рассматривая краевую задачу для *>1 , после громоздких преобразований получаем

-К*,.. №.)

V

. Г "1 Г £ __________________________

и 3 „«, >ПИ) - (п+1)

^ с ЛШ:?!! .1.« )2+ 1>* >*) (П-П)I

с

Таким образом, характер зависимости \ от с при *—>0 определяется знаком велимин

«„ п, — Ъ-У-1— - п - 1 (П=2,3,...)-

Комбинируя асимптотическую формулу для <*}п при п-»« и выражение а. приходим к окончательному утверждению :

ТЕ0РЕ.МА6: Каждое из простых собственных значений

- 1 3-

оператсра Лапласа с красим условием 2-го рода для пара имеет а Б относительно возмущений (13) границы стационарный минимакс.

Рассмотрим наконец , двойные собственные значения для круга. Мы будем считать тепорь, что Ос кг- круг радиуса И с границей Б. Рассмотрим задачу на собственные значения

.Сак известно, эта задача имеет простые и двойные собственные

(двукратные) значения: х.£ ( =0 ) < хг = ха < х^ = хд < хд <—»

'ассмотрим ¡¡нксо-либо двойное собственное значение, т.е. будем летать, что хс< < х1 = х1+1 < х1+г Тогда

де Ъгк есть к - й полсситгельный Нуль производной функции ессвля Соответствующие ортонормированные функции равны

р,р - полярные координаты на плоскости. Пусть теперь' как и [нее, мы от 0 перешли к области X? , граница Б* которой имеет шярное уравнение

е | г. | мало, а К ,г> - достаточно гладкие функции. Мы будем кгать, что этот переход сохраняет площадь и центр тягести расщ.

К

р

■ нвк Л; С »и т>

н

*«<р) + + о (я3) . <Н)

Обозначим собственные значения для области черэз х* и х*+1.Тогда ' ,

х^ ® ш1л { х1Л,х"> , шах I \1с,\гсу , (1*)

где

х1* = хь + * V + ¿а и1 + ОС**) (>1,2) (16)

собственные значения, на которые расщепится х^ х1+1 лри переходе от Б к 0е . Мы предположим, что аналогичное разложение справедливо также для собственных функций

и* С^ и1+4 + с V' + 0(*я) (Л=1,2)

и эти разложения допускают почленное дифференцирования После преобразований получен:

и4'1 - * + п*> <Ч*>/< <

Таким образом , если ( ?*„)*+ ( )* > О ,то в силу (13") и(1£) при достаточно малых | « | > а имеем х* < х. , х.

Ыы пришли к следующей теореме :

Теорема 7: Если для двукратных собственных значений оператора Лапласа с краевым условием второго рода из чисел ?2п и сгп пс крайней мере одно не равно нулю,( коэффициенты разложения функции к в рад Фурье) то при возмущении (14 ) границы круга сохранением его площади минимальное собственное значение имеет при в «О острий максимум, а максимальное - острый минимум.

Теорема 8: Если для двукратных собственных значений оператора Лапласа с краевым условием второго рода числа ?|п» клп и ( коэффициенты разложения функции с в рад Фурье) то при возмущении (й) границы круга с сох,лнанием его площади минимальное собственное значение имеет при осгрий максимум, а максимальное - острый минимум.

Последняя глава диссертации посвящена исслодсваию влиянии '

-¡ti- - ■ :

малого добавочного искривления на частоты нормальны» колебаний тонкого однородного искривленного стеряня.

Выведено уравнение колебаний стержня в интвгро-дифференциальной

форме: '

I °

р J de- á*(<»(,t)COS[ii(g,t) - e(o-t,t)l + [ó(0ttt)l>SlAta(B>t)-

ct^.t)] } üot - tJ t«/(s,t) - 5'(a)] (Oí a ¿2) *

где а (я) угол поворота касательной к стервня в его свободном равновесном полсяении от точки з»0 до точка с лвбыи значениш 0 а а(зД) - аналогичный угол в момент t в процессе колебаний,. Ь- длина, стертая , а - длина дуги стергня, м>0 его йзгибная

secTKocTb, р - линейная плотность стэрзня. ' . '•

. . - ■• , '.V "• •:■'. -i"--

К зтоау уравнения надо присоединить граничные условия , ,

a (ОД) « 0 , ,t)-5 "\t)

Чтобы получить уравнений малых колебаний, полоаиа ' ,

a(g,t) « 5(а) + *(3,t) и проводе« линеаризации по Ф . йы

получаем линейную задачу: • • . ■

р 'v {о ,t)co3[5(a) - 5(о- )](í-naxí«»,8í)d<r - íV"(fl,t)

о '

v(0,t) ■»' 0 , v'(t,t) » О, О < 8.Í

Для нормальных колебаний *(a,t)= elw< U(s) получаем задачу на собственные значения: . , '.

- ir"(в) - \ J K(b,o) U(a) dо . (О s S s t), 0(0)-0,

р . " ',-'.• где обозначено

p v '■•'f ■ , .'■ .

\:= — , К(з,•/):=» coslS(s) - S(o)] (í-nax{tr,s}) .

Ядро К симметрическое и полохиткльно опредолвное; поэтому зтг-

задача имеет бесконечную последовательность собственных значений и ергомогм11ровА*и«х собственных функций. :

Пусть теперь стержень, получил какое добавочное , искслвление

д а(я) Ш в гцв) + «V (а) + где п{с) р О , г (а) ... -достаточо гладкие функции, а |«| мало.

Тогда счотая собственное значение прост?«, получаем

а в AUj(S) - « V( (я) + (з) ..,

Теорема 10,:. Для того, чтобы простое собственное значение \ имело для заданного искривленного стержня экстремум относительно малых добавбчных искривлений, необходимо выполнение равенства

J slr. te(a)-a(o')U«-BaK(ír,B)).UJ(o.) da -о Qía¿& °

Теорема 11. Для прямолинейного стержня первое собственное значение имеет относительно его .малых искривлений минимум, а все

остальные собственные значения- минимакс.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1.Гиоргадзв И.Г. О зависимости трехкратного собственного значения оператора Лапласа с граничным условием I рода для вара от малого изменения его границы при сохранении объема// Деп.в ВИНИТИ 01.04.92, ^ 1106-В92. г.Гиоргащзе П. Г. О поведении двукратных собственных значений . оператора . Лапласа с краевыми условиями 11 рода в круге при " маком , изменении его границы// Дел. в ВИНИТИ 06.04.93, 856 - В93. V;- '

J .Гиоргадзе И.Г. Нзопериметрическая экстремальная задача для простых собственны* значений второй краивоЯ задачи для оператора Лапласа в iaape// Доп. в ВИНИТИ 06.04.93. И 855

■¿.Гиоргадзе М.Г. Ншкис Д. Д. 03 одной задаче на изадеркиетричэскнП экстремум собственного значения// а. шчисл. иаггем. и ыатеа. физ.1991. Т.-31/ 7 с. 108Э -10Э1 5. Гиоргадзо а.Г. Кыикис А.Д. Шюскио изгибныа колебания

искривленного стервня//. В печати 'fc.Bratus A.S, Ciorffidss M.G. Myshkle A.D.// Influence of the body shaping on : the oscllation frequencies. . Йадународная конференция "Задачи со свободными границами га ШШШ^: соловкой среды",1991, Новосибирск,:" ABSTRACTS", Инег. Гидродинамики СОДН СССР. " •""