Золотые пропорции в структуре и оптических характеристиках апериодических самоподобных систем

Грушина, Наталья Владимировна

Золотые пропорции в структуре и оптических характеристиках апериодических самоподобных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Грушина, Наталья Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Золотые пропорции в структуре и оптических характеристиках апериодических самоподобных систем»

Автореферат диссертации на тему "Золотые пропорции в структуре и оптических характеристиках апериодических самоподобных систем"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

00340 (

ГРУШИНА Наталья Владимировна

ЗОЛОТЫЕ ПРОПОРЦИИ В СТРУКТУРЕ И ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ АПЕРИОДИЧЕСКИХ САМОПОДОБНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.04.05 - оптика

1 0 ЛЕК 2009

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

003487483

Работа выполнена на кафедре оптики и спектроскопии физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Д.ф.-м.н., профессор Короленко Павел Васильевич

Д.ф-м.н., профессор Козарь Анатолий Викторович (Физический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова)

Д.ф-м.н., ведущий научный сотрудник Веремейчик Тамара Федоровна (Учреждение РАН Институт кристаллографии им. A.B. Шубникова)

Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН

Защита состоится «24» декабря 2009 года в 13:00 на заседании диссертационного Совета Д.501.001.67 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991 ГСП-1 Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, физическая аудитория им. Р.В. Хохлова

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан «¿¿О » ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.67 кандидат физико-математических наук,

доцент // / А.Ф. Королев

/%>

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

В настоящее время отмечается возросший интерес к феномену Золотого сечения. Наряду с анализом различных форм проявления Золотого сечения и соответствующих ему Золотых пропорций в искусстве, живой и неживой природе все большее внимание уделяется его эвристическим возможностям. Можно привести много примеров, когда указанный феномен стал ориентиром при обнаружении и изучении новых явлений и эффектов в физике. Так, известен факт использования представлений о Золотом сечении при открытии структуры фуллеренов. К свойствам Золотого сечения приходится обращаться при изучении сценариев перехода динамических систем к детерминированному хаосу, а также при анализе некоторых фундаментальных уравнений в термодинамике и теории элементарных частиц. Важную роль сыграли ассоциации, связанные с Золотым сечением, при исследовании и интерпретации свойств квазикристаллов, обнаружение которых кардинально изменило взгляды на природу и различие живой и неживой материи.

Существует ряд работ, в которых одномерная модель квазикристалла и связанные с Золотым сечением числовые последовательности Фибоначчи используются для построения нового типа оптических элементов: апериодических дифракционных решеток и многослойных структур. Несмотря на то, что в этих работах затронут ряд актуальных вопросов, важных как в общетеоретическом, так и практическом отношениях, в них не нашли освещение некоторые важные аспекты. Так, остаются неизученными общие закономерности, связывающие признаки самоподобия в структуре оптических элементов с соответствующими характеристиками формируемых ими световых полей. Неясно, в какой степени свойства оптических устройств, построенных с использованием принципа Золотого сечения, уникальны по сравнению с иными апериодическими структурами. Недостаточно проработанными остаются вопросы о практическом использовании свойств такого рода оптических структур, связанных, в частности, с целенаправленным изменением их характеристик и точностью изготовления.

отметить разработку вертикальных лазеров на квантовых ямах и квантовых точках, в которых обратная связь обеспечивается с помощью многослойных структур, а также создание нового класса логических элементов на основе фотонных кристаллов, действующих по принципу управления светом при помощи света. Кроме того, сохраняет актуальность проблема совершенствования уже известных оптических элементов, таких как дифракционные решетки, интерференционные светофильтры и зеркала.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Основной целью данной диссертационной работы является поиск на примере дифракционных решеток и многослойных структур общих физических закономерностей, определяющих связь между геометрией апериодических оптических элементов, отражающей принцип Золотого сечения, и свойствами взаимодействующих с ними световых волн.

Кроме того, цель работы включает решение ряда вспомогательных задач. Среди них: 1) сравнение характеристик оптических элементов, построенных на основе различных апериодических закономерностей; 2) оценка устойчивости свойств апериодических элементов к возмущению их параметров; 3) анализ возможностей практического использования особенностей апериодических структур для совершенствования элементной базы оптических устройств.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Структура оптических элементов с Золотым сечением и самоподобными признаками находит отражение в характеристиках прошедшего излучения, которые обнаруживают фрактальные свойства, сочетающиеся с Золотыми пропорциями. При этом коэффициент скейлинга положения экстремумов оказывается равным коэффициенту Золотого сечения, а проявление Золотых пропорций носит многочастный фрактальный характер подобно тому, как это имеет место в многочисленных природных объектах и произведениях искусства. В графическом представлении зависимости оптических характеристик от параметров элементов подчиняются определенному геометрическому инварианту, на основе которого реализуются самоподобные структуры с Золотыми пропорциями.

2. Среди разнообразных апериодических оптических элементов наиболее близким аналогом устройств Фибоначчи с точки зрения

проявления самоподобных свойств являются дифракционные решетки и многослойные структуры, построенные с использованием числового ряда Серебряного сечения.

3. Самоподобные оптические свойства многоэлементных апериодических устройств Фибоначчи практически не зависят от параметров отдельных элементов, а определяются прежде всего законом их чередования. Они проявляют также достаточно высокую устойчивость к случайному возмущению их геометрических параметров и изменению условий наблюдения.

4. Существуют возможности улучшить с точки зрения практического использования характеристики многослойных структур Фибоначчи. В частности, путем внесения линейного тренда в оптические толщины слоев можно реализовать эффект широкодиапазонного отражения излучения как по углам, так и по частотам. При этом обеспечивается высокая чувствительность фазы отраженной волны к малым изменениям параметров слоев. Перспективным также представляется использование многослойных структур в качестве многоканальных оптических переключателей.

ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ

Достоверность результатов обеспечивается тщательной проработкой и тестированием методик расчетов, многократностью проведения при разных условиях численного моделирования изучаемых явлений и эффектов, отсутствием противоречий между полученными результатами и фундаментальными физическими законами, а также хорошим согласием с экспериментальными данными.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНА ЧИМОСТЬ

1. Установленная связь между фрактальными характеристиками апериодических оптических систем и прошедших их световых пучков может быть использована при оценке качества их изготовления.

2. Существуют возможности расширения оптической элементной базы путем использования устройств Фибоначчи. Особенно перспективными представляются возможности улучшения характеристик интерференционных фильтров, зеркал, модуляторов фазы, оптических переключателей и некоторых других типов оптических элементов.

НОВИЗНА РАБОТЫ

Впервые на основе численного моделирования установлены общие для дифракционных решеток и многослойных структур

Фибоначчи закономерности, определяющие связь их геометрии с самоподобием характеристик прошедшего излучения. Показано, что наблюдаемое самоподобие тесным образом связано с многочастным проявлением Золотых пропорций, характерных для целого ряда произведений искусства и природных объектов. На основе развернутого сравнительного анализа оптических свойств апериодических устройств установлено, что характеристики систем Фибоначчи не являются абсолютно уникальными. С точки зрения формы проявления самоподобия они оказываются весьма близкими к соответствующим характеристикам систем, построенных путем использования числового ряда Серебряного сечения. Сформулирован ряд новых предложений по улучшению параметров и применению устройств с самоподобными оптическими характеристиками.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА

Все изложенные в диссертационной работе оригинальные результаты получены автором лично, либо при его непосредственном участии.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ

Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры оптики и спектроскопии физического факультета МГУ; а также на следующих конференциях: международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2007» (Москва, 2007); «Ломоносовские чтения» (Москва, 2007, 2008, 2009); международная конференция «Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)» (Moscow, 2009); 3 всероссийская молодежная школа-семинар с международным участием «Инновационные аспекты фундаментальных исследований по актуальным проблемам физики» (Москва-Троицк, 2009).

Основной материал диссертации отражен в 13 публикациях (из них 5 статей, 6 тезисов и аннотаций докладов в материалах международных и российских конференций, один препринт и учебное пособие). Перечень публикаций приведен в конце списка литературы.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация изложена на 115 страницах. Она состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы из 145" наименований, содержит 66 рисунков, 3 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ

Во введении содержится обоснование актуальности выбранной темы, излагаются цели диссертационной работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, приводятся сведения об апробации результатов работы и о публикациях автора.

ПЕРВАЯ ГЛАВА

В первой главе, дан литературный обзор свойств феномена Золотого сечения (ЗС). ЗС и связанные с ним Золотые пропорции чаще всего ассоциируются с геометрической задачей деления ! отрезка н.а две неравные части в таком соотношении, когда большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей части. Величина этих отношений равна иррациональному числу

Ф = (1 + л/5)/2 = 1,618 , называемому коэффициентом ЗС.

Кратко рассмотрены различные формы проявления ЗС в природных объектах, в произведениях искусства, в физических системах и явлениях, представляющих ценность с точки зрения научных исследований. Показано, что проявления Золотых пропорций чаще всего носит многочастный фрактальный характер. Его можно обнаружить в структуре человеческого тела, в формах животных и растений, памятниках архитектуры, в скульптуре, живописи, художественной литературе, музыке и поэзии. Сказанное иллюстрирует рис. 1., приведенные на нем стрелки характеризуют присутствующие на изображениях Золотые пропорции.

Рис. 1. а - Главное здание МГУ; б - Агесандр «Афродита Милосская».

В обзоре рассмотрена также группа вопросов, относящаяся к анализу эвристической ценности феномена ЗС. Обращается

внимание на то, что ассоциации, связанные с ЗС, сыграли важную роль при открытии структуры фуллеренов, при изучении и интерпретации свойств квазикристаллов, обнаружение которых кардинально изменило существовавшие взгляды на различие живой и неживой материи, при анализе сценариев перехода динамических систем к детерминированному хаосу. Математическая модель, описывающая апериодическую структуру квазикристаллов, нашла применение и в оптике.

Одномерная модель квазикристалла (рис. 2) может быть использована для построения нового типа оптических элементов: апериодических дифракционных решеток (ДР) и многослойных структур (МС). Такие решетки и структуры имеют разнообразные практические применения. Одновременно указанные элементы являются удобным средством для исследования физических эффектов, связанных с формированием самоподобных световых структур.

—•—•—•-•-#-•—•-•-•—• • >л:

5 I 18 1 18 18 1 I 8 I 8

Рис. 2. Структура одномерного квазикристалла.

Все вышеприведенные объекты (математические структуры, природные объекты, произведения искусства) обладают одним общим свойством: свойством самоподобия (фрактальности). При этом присутствующие в них Золотые пропорции реализуются в многочастной форме. Выполненный анализ литературных данных показывает, что остается открытым вопрос о существовании общих закономерностей, характеризующих форму проявления Золотых пропорций в объектах различной природы. В последующих главах этот вопрос рассмотрен применительно к световым структурам, формирующимся при прохождении излучения через апериодические оптические элементы.

ВТОРАЯ ГЛАВА

Во второй главе с учетом литературных сведений, изложена схема построения ДР Фибоначчи и подробно рассмотрены особенности дифракции на них световых волн.

Чередование элементов решетки определялось суммационным принципом Фибоначчи. В качестве таких элементов в случае амплитудных решеток можно рассматривать ширины щелей или

расстояния между ними; в случае фазовых решеток - высота, наносимых на подложку штрихов. В общем случае фигурировали два вида элементов: А и В.

Процедуру построения последовательности {АВ} можно также осуществить путем объединения блоков элементов, определяющих различные структурные уровни п. При начальных блоках 5й=В,

=А, блок &„ удовлетворяет рекурсивному правилу: 5Я =5„_,5'„_2

(для п>2). Это правило совпадает с алгоритмом построения последовательности Фибоначчи, где каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих.

Анализ поля дифракции световой волны на ДР Фибоначчи осуществлялся в контексте общей проблемы прохождения излучения через фрактальные объекты. Однако проведение этого анализа требовало учета некоторых особенностей геометрии ДР, которые в строгом смысле не являются фрактальными объектами. Присутствующие в них элементы самоподобия проявляются опосредованно. Так, если рассмотреть последовательность порядковых номеров элементов А, то при увеличении всех ее членов в Ф раз она переходит в последовательность индексов для В. Это указывает на наличие самоподобия, сочетающегося с Золотыми пропорциями, в структуре решетки. При этом коэффициент самоподобия оказывается равным Ф.

Для расчета поля дифракции световых волн, прошедших амплитудные решетки Фибоначчи с изменяющейся шириной щелей, использовался метод суммирования световых пучков, распространяющихся от отдельных элементов решетки. Поле дифракции в дальней зоне характеризуется выражением

ЛГ + Г

тт <,п >

п=О

¿Л

, К + 1 к-

Здесь N - число щелей в решетке, к - пространственная частота,

О<к<К, К - число значащих точек, г = л/—Г, А, 5 -

масштабирующие множители, йп - ширина я-ой щели, Ьп

определяет положение п-ой щели. Считалось, что ширины щелей значительно уступают размерам непрозрачных зон, количество щелей равно N = 500. Рассчитанное для этих параметров

распределение амплитуды поля дифракции приведено на рис.3,а. Для сравнения на рис. 3,6 показана картина дифракции света на периодической решетке.

Анализ графиков показывает, что основное отличие решеток Фибоначчи от обычно применяемых периодических решеток состоит в наличии в поле дифракции системы дополнительных пиков, положение которых соответствует принципу ЗС. Так, дополнительные максимумы £> и Е, делят в соответствии с ЗС расстояние между максимумами А и В. Максимумы Е и О находятся в точках ЗС между максимумами £> и Е и т.д. При этом структура дифракционных максимумов в интервале АВ подобна структуре максимумов в интервалах ВЕ и ГО. Дробление самоподобных фрагментов может происходить до бесконечности при соответствующем увеличении числа щелей.

\Лд{к) 1

та:фа|)

Б Е

О iLjilil.il

ГС

АI I и NI

о.г А В

\ЛгДк)\

тах()^га|) с 0 л

Рис. 3. Картина дифракции на амплитудной решетке, а - решетка Фибоначчи, б - периодическая решетка.

Расположение максимумов обладает высокой степенью устойчивости. Расчеты полей дифракции на ДР Фибоначчи (как амплитудных, так и фазовых) с другими размерами и конфигурацией отдельных элементов показали, что и для них сохраняется указанная выше закономерность расположения дифракционных пиков при условии выполнения принципа Фибоначчи для чередования двух типов элементов решеток.

Таким образом, можно утверждать, что самоподобие в структуре ДР Фибоначчи, сочетающееся с Золотыми пропорциями, находит отражение в структуре поля дифракции световых волн. При этом скейлинг положения дифракционных пиков характеризуется

коэффициентом Ф. Скейлинг же в общей конфигурации дифракционных пиков определяется коэффициентом г = 4,2.

Расчеты показывают, что ширина дифракционных пиков решетки Фибоначчи, как главных, так и дополнительных, совпадает с шириной пиков периодической решетки с той же площадью штрихов. Следовательно, решетки Фибоначчи обладают той же самой разрешающей способностью, что и периодические решетки.

Характерные для решеток Фибоначчи особенности

распределения амплитуды

световых колебаний в поле дифракции устойчиво проявляются и при изменении в широких пределах расстояния г от решетки до плоскости, в которой рассматривается картина

дифракции. Формирующиеся уже на

расстояниях г < от

решетки размера Ь дифракционные максимумы, хотя и обладают значительной шириной,

расположены в точках 3С. В этом можно убедиться, анализируя графики (рис. 4), которые определяют структуру поля дифракции на амплитудной ДР Фибоначчи с бесконечно узкими щелями. Г рафики рассчитывались по формуле

А(х) = АV , * = ехр< г—л/(х~х„)2 + г2 1,

^{х-хп)г+Г2 1 ^ I

хп - координата щели. Считалось, что число щелей N = 78, длина волны А, = 10~2(х2-х,). Размеры решетки соответствуют области изменения поперечной координаты (в количестве значащих точек) х от 0 до 110.

Отдельно был рассмотрен вопрос о точности воспроизведения Золотых пропорций в дифракционных картинах. Для этого

НИ a

0 1 НИ

-300 -300 -100 0 100 200 300 400

ó о'—-L

400 _-200 0 200 400_600

ИИ

кмлмз.

-IODO -500

500 1000

НИ

-2000 -1000

000 2000

НИ

О -*ооо -гооо

2000 4000

Рис. 4. Структура поля дифракции на разных расстояниях от решетки: 2=10 250 (а); 2=25 000 (б); 2=50 000 (в); 2=100 000 (г); 2=200 000 (д).

рассчитывались поля дифракции для решеток с различающимися значениями геометрических параметров. Расчеты показали, что отклонения в значениях соответствующих пропорций не превышали 1%, что говорит о высокой степени воспроизводимости ЗС в картинах дифракции.

Также был изучен вопрос об устойчивости картин дифракции света на решетках Фибоначчи к различным случайным возмущениям их структуры. Использовались два варианта рандомизации характеристик решеток: случайное «перемешивание» положения определенной части образующих элементов и смещение в некотором диапазоне по случайному закону каждого из элементов решетки. Показано, что структура поля дифракции обладает высокой степенью устойчивости к возмущениям. Даже в тех случаях, когда высота дополнительных дифракционных пиков с усилением рандомизации оказывалась сопоставима с уровнем шумов, их положение практически не изменялось.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА

В третьей главе изучение проблемы прохождения излучения через самоподобные апериодические структуры распространено на МС Фибоначчи.

Как и решетки Фибоначчи, МС Фибоначчи строились на основе апериодической последовательности {АВ}. Для этого каждому элементу последовательности ставился в соответствие слой с определенным показателем преломления. Например, элементу А -слой с большим показателем преломления АГтах, элементу В - слой с меньшим показателем преломления //т;п.

С помощью матричного метода определялась зависимость коэффициентов пропускания МС Фибоначчи с диэлектрическими слоями от величины фазовых набегов в слоях. Фазовые набеги в отдельных слоях считались одинаковыми. Поведение коэффициентов пропускания апериодической системы принципиальным образом отличается от аналогичных зависимостей для периодической системы. В апериодической системе по мере увеличения числа слоев растет количество зон (запрещенных зон) с близким к нулю пропусканием и количество четко выраженных пиков в центральной области графиков. При этом целая система пиков формируется в области, где периодическая система практически не пропускает свет. Расположение запрещенных зон самоподобно и

сочетается с Золотыми пропорциями (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость коэффициентов пропускания периодической (пунктир) и апериодической (непрерывная линия) МС из 144 слоев от фазовых набегов в отдельном слое. Ытт = 1,46, Ытзх = 2,35.

Наличие самоподобных признаков в спектрах доказывается их сравнением с растянутыми модификациями. Так кривая пропускания МС из 233 слоев, растянутая в 4,9 раз по оси абсцисс (рис. 6,6) подобна изначальной (рис. 6,а).

3 (I) л

Рис. 6. Графики зависимости коэффициента пропускания от величины фазовых набегов, а - изначальный, б - растянутый.

Подобие спектров пропускания, относящихся к разным структурным уровням, имеет место, если сравниваются системы с уровнями генерации 51,, и 8п+6 (если п = 6к и п-6к + 3, к = 1,2,3...); а также и (если п=Зк + 1 и п = Зк + 2).

В ходе расчетов было установлено, что самоподобие и Золотые пропорции присущи также зависимости коэффициента пропускания МС Фибоначчи от числа слоев и распределению интенсивности света по слоям. При этом отклонения пропорций от «золотых»

величин составляют 3-4%, что немного уступает решеткам.

Таким образом, существенная особенность МС Фибоначчи состоит в проявлении самоподобия не в одной, а в целой системе оптических характеристик. При это скейлинг положения экстремальных точек определяется коэффициентом Ф.

Также была рассмотрена группа вопросов о влиянии поглощения в материале слоев и случайных возмущений геометрии МС

Фибоначчи на самоподобные А ИРСЕ В характеристики. Это позволило

определить критический набор (а) параметров.

Было проведено сравнение структуры графиков,

определяющих характеристики МС Фибоначчи, с картиной поля дифракции света на амплитудной ДР Фибоначчи. Результаты сравнения

приведены на рис. 7.

Общий вид представленных графиков, а также положения сопрягающих их вертикальных реперных линий несомненно указывают на определенную схожесть в их поведении. Вертикальные линии проведены через ряд экстремумов, находящихся в точках ЗС. Положение вертикальных линий характеризуют точки

(Точки £> и Е делят в соответствии с ЗС расстояние между точками А и В. Точки ^ и О находятся в точках ЗС по отношению к отрезку £>£.) Хорошо видно, что анализируемые оптические структуры имеют самоподобный характер. Структура максимумов в интервале АВ подобна структуре максимумов в интервалах ИЕ и

1 ?50

Рис. 7. Характеристики систем Фибоначчи, а - картина дифракции на амплитудной ДР (200 щелей); Ъ - зависимость коэффициента отражения МС из 233 слоев от частоты излучения (^¡„=1,46, ^шах=2,35); с - зависимость коэффициента отражения МС от числа слоев ТУ; г/- распределение интенсивности света по слоям МС (/'-номер слоя).

Это дает основание говорить о существовании некоторого геометрического инварианта, на основе которого реализуются самоподобные структуры с Золотыми пропорциями при прохождении света через системы Фибоначчи. Данный результат уточняет применительно к оптическим системам известные ранее формы реализации ЗС в разнообразных физических объектах и процессах.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА

Четверная глава посвящена исследованию оптических свойств модифицированных систем Фибоначчи, отражающих суммационный принцип построения обобщенной последовательности Фибоначчи и числового ряда так называемых Металлических сечений.

На основе численного моделирования показано, что системы, построенные на основе обобщенного ряда Фибоначчи, не обладают в полной мере самоподобными признаками. В то же время оптические элементы, отражающие структуру числового ряда Серебряного сечения, проявляют свойства близкие к свойствам элементов Фибоначчи. Блоки элементов ряда Серебряного сечения обладают следующей структурой: = А, ¿>2 = ,

= ^^^ , £4 = ^¿'з^ и т.д.

В данной главе проанализирован также эффект широкодиапазонного отражения излучения от МС. Этот эффект связан с возможностью обеспечить высокий коэффициент отражения К световых волн при всех углах падения и в достаточно широком спектральном интервале.

Применительно к МС Фибоначчи в узких диапазонах частот проблема эффективного отражения излучения отсутствует. Если центральные частоты этих диапазонов известны, то не представляет большого труда изготовить соответствующую МС. Расширить спектральную область полного отражения и уменьшить зависимость от контраста показателей преломления слоев можно путем внесения линейного тренда в оптическую толщину слоев. При наличии такого тренда фазовые набеги в слоях описываются выражением фу. = ф, + -1), где ] - номер слоя, - фазовый набег в

первом слое, к - коэффициент. При оптимальной величине А: удается значительно расширить область с практически полным отражением.

Дополнительно расширить спектральную область с высоким Я можно путем увеличения числа слоев МС.

При проведении расчетов было обнаружено, что для достижения широкодиапазонного отражения линейное изменение толщин можно заменить на ступенчатое изменение. Такой вариант приводит практически к тому же самому результату, но гораздо проще

реализуется технически.

В ходе характеристик

1 2К

А :

; (о) 1 1 г 1

Рис. 8. а - спектр отражения от МС Фибоначчи из 55 слоев, б- изменения фазы отраженной волны.

изучения МС

Фибоначчи с трендом толщин слоев было установлено, что в спектральном диапазоне, характеризуемом высоким Л, формируются области с ¡^ резким изменением фазы отраженного сигнала. Их наличие позволяет

использовать МС

Фибоначчи в качестве модуляторов фазы. На рис. 8 показан спектр отражения от МС Фибоначчи с 55 слоями, сопряженный с графиком изменения фазы отраженной волны. Из рисунка видно, что эти области находятся в пределах диапазона практически полного отражения. Точка А на графике изменения фазы соответствует наиболее крутому участку. Если эту точку использовать в качестве рабочей, то при изменении толщин слоев на 0,1%, изменение фазы отраженного сигнала может превосходить значения равного к.

ПЯТАЯ ГЛАВА

В пятой главе обсуждаются вопросы практического применения апериодических систем. Уникальные свойства решеток и МС Фибоначчи указывают на перспективность их использования для создания новых и совершенствования известных оптических элементов и устройств. Они нашли применение в селективных волноводных устройствах, в системах компрессии импульсов и преобразованиях частоты оптического излучения. Дополнительные возможности применения МС Фибоначчи дает перенесение на них

концепции одномерных фотонных кристаллов, использующейся, в частности, при создании оптических переключателей и быстродействующих логических ячеек для вычислительной техники.

При создании оптических переключателей на основе МС Фибоначчи следует воспользоваться нелинейными эффектами. Их можно реализовать, изготовляя отдельные слои из материалов, показатель преломления которых увеличивается под действием интенсивного излучения. Учитывая, что увеличение разности показателей преломления слоев приводит к уширению запрещенной зоны и, в общем случае, к смещению спектров как целого, присутствие таких слоев в многослойной ячейке позволяет изменением интенсивности управляющего светового пучка управлять прохождением через МС Фибоначчи пробных сигналов сразу по нескольким каналам. Характерная для МС Фибоначчи трансформация спектра пропускания при подаче на нее управляющего сигнала показана на рис. 9 Верхняя стрелка определяет значение частоты управляющего сигнала, нижние стрелки определяют частоты пробных сигналов. Из рисунка видна высокая эффективность управления переключением пробных сигналов на целом ряде частот.

Рис. 9. Графики зависимостей коэффициента пропускания МС Фибоначчи из 110 слоев от частоты излучения в отсутствие управляющего сигнала (кривая черного цвета) и при его включении (кривая серого цвета). N„¡„ = 1,45, N = Ч 3

Весьма перспективной областью для применения апериодических оптических элементов является оптика лазеров. В качестве таких элементов могут выступать многослойные диэлектрические зеркала оптических резонаторов, являющихся атрибутом многочисленных типов лазеров. В данной главе показано, что переход к апериодическому чередованию слоев в покрытиях

зеркал позволяет трансформировать полосу генерации с целью селекции отдельных генерируемых частот. Подбором показателей преломления слоев, их числа или переходом к другому виду апериодической последовательности можно обеспечить нужное положение пиков и осуществить селекцию требуемых частот генерации. Дополнительные возможности оптимизации состава генерации появляются, если использовать в резонаторе лазера комбинацию периодического многослойного зеркала и апериодического зеркала, в котором чередование слоев осуществляется по принципу Фибоначчи Апериодические многослойные отражающие системы могут оказаться весьма полезными при создании лазеров с вертикальными микрорезонаторами. Подбирая апериодический закон чередования слоев в многослойном отражателе можно обеспечить требуемый спектральный состав лазерного излучения.

Таким образом, бурное развитие оптики фотонных кристаллов, ее тесная связь с исследованием МС, включая их апериодические модификации, указывают на открывающиеся широкие возможности качественного обновления с их помощью элементной базы разнообразных оптических устройств.

ВЫВОДЫ

1. Разработаны способы расчета, обеспечивающие сопоставление в широком диапазоне параметров структуры и оптических характеристик дифракционных решеток и многослойных систем, геометрия которых определяется суммационным принципом Фибоначчи.

2. Установлено, что связь структуры рассматриваемых оптических элементов с Золотым сечением и самоподобными признаками находит отражение в свойствах прошедшего излучения, которое обнаруживает фрактальные признаки, сочетающиеся с Золотыми пропорциями. Оценка коэффициента скейлинга по положению экстремальных точек оптических характеристик показала, что он равен коэффициенту Золотого сечения Ф = 1,618. При этом графики оптических характеристик элементов подчиняются определенному геометрическому инварианту, на основе которого реализуются многочастные самоподобные структуры с Золотыми пропорциями. Примечательно, что этим многочастным структурам можно найти

аналоги в строении разнообразных природных объектов и произведений искусства.

Произведено сравнение оптических характеристик дифракционных решеток, построенных на основе обобщения суммационного принципа Фибоначчи. Расчеты картин дифракции света на решетках разных типов показали, что самоподобие положения и конфигурации дифракционных пиков наблюдается лишь в решетках, построенных на основе Золотого и Серебряного сечений. При этом коэффициенты скейлинга положения пиков (коэффициент 0) и их конфигурации (коэффициент г) для решетки Фибоначчи равна 0 = Ф и г = 4,2, а для решетки Серебряного сечения - 0 = г = О12. где 012 = 2,41 коэффициент Серебряного сечения. Осуществлено сопоставление оптических свойств многослойных структур, отличающихся типом используемого суммационного принципа. Установлено, что лишь многослойные структуры, построенные на базе ряда Серебряного сечения, подобно системе Фибоначчи, имеют оптические характеристики, в которых признаки самоподобия по положению и конфигурации экстремумов сочетаются с Серебряными пропорциями. Этот факт ставит под сомнение часто встречающийся в литературе тезис об уникальности свойств объектов и систем, построенных по принципу Золотого сечения. Близость характеристик дифракционных решеток и многослойных структур, отражающих принципы Золотого и Серебряного сечений, можно объяснить тем, что они обладают более высоким уровнем структурного самоподобия по сравнению с другими апериодическими элементами.

Фрактальный анализ спектров пропускания апериодических многослойных структур показал, что их фрактальная размерность слабо реагирует на увеличение числа слоев, оставаясь близкой к 1. В то же время спектры сингулярности обнаруживают заметное уширение, расширяясь от нуля (34 слоя) до 0,54 (233 слоя). Это указывает на мультифрактальность спектров пропускания при большом числе слоев.

Численное моделирование показало, что самоподобные оптические свойства элементов Фибоначчи весьма устойчивы к возмущениям их структуры. Так, в частности, случайное «перемешивание» положения 10-ти процентов щелей в дифракционной решетке или слоев в многослойной структуре не приводит к существенным

изменениям в их оптических характеристиках.

7. Осуществляя несложную модификацию геометрии систем Фибоначчи, можно внести заметные изменения в спектры пропускания и отражения излучения. В частности, путем внесения линейного тренда в толщины многослойной структуры можно реализовать широкодиапазонное отражение как по углам, так и по частотам световых волн от многослойной структуры. При этом появляется возможность эффективной модуляции фазы отраженной волны путем слабого изменения оптической толщины слоев.

8. Существует возможность расширить области использования оптических элементов Фибоначчи. В частности, применение многослойных зеркал Фибоначчи в лазерных резонаторах может улучшить их селективные свойства; наличие в спектрах пропускания элементов Фибоначчи системы запрещенных зон позволяет работе некоторых типов оптических переключателей и фильтров придать многоканальный характер. Установленные в данной работе свойства и характеристики оптических элементов можно использовать при оптимизации их параметров.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Н.В. Грушина, К.А. Девятилова, Ю Мин. Особенности дифракции света на решетках Фибоначчи. // Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2007". Секция "Физика". Физический факультет МГУ. 2007. с. 132-133.

2. Н.В. Грушина, П.В. Короленко, М.С. Маганова. Фрактальные структуры и «Золотые» пропорции в оптике. // Сборник тезисов докладов научной конференции «Ломоносовские чтения 2007» Секция физики. Подсекция Оптика и Лазерная Физика. Москва, апрель, 2007, с.5-8.

3. Н.В. Грушина, П.В. Короленко, П.А. Пересторонин. Фрактальные структуры и "Золотые" пропорции в оптике // Препринт физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, 2007, № 6, 58 с.

4. Н.В. Грушина, A.M. Зотов, П.В. Короленко, А.Ю. Мишин. Оптические свойства одномерных апериодических систем // Сборник тезисов докладов научной конференции «Ломоносовские чтения 2008» Секция физики. Подсекция Оптика и Лазерная Физика, Москва, апрель, 2008, с.5-7.

. Н.В. Грушина, П.В. Короленко, С.Н. Маркова. Особенности дифракции света на оптических решетках Фибоначчи II Вестник Московского университета. Физика. Астрономия. 2008. №2. с.40-43. . Грушина Н.В., Зотов A.M., Короленко П.В., Мишин А.Ю. Оптические свойства одномерных апериодических систем // Сборник тезисов докладов научной конференции «Ломоносовские чтения 2009» Секция физики. Подсекция Оптика и Лазерная Физика, Москва, апрель, 2009, с.12-14.

. Н.В. Грушина, A.M. Зотов, П.В. Короленко, А.Ю. Мишин О Золотом сечении и самоподобных структурах в оптике II Вестник Московского университета. Физика. Астрономия. 2009. №4. с.47-51. . N.V. Grushina, P.V. Korolenko, A.Y. Mishin, A.M. Zotov. Broad omnidirectional band of reflection from Fibonacci one-dimensional photonic crystals // Progress In Electromagnetics Research Symposium Abstracts, Moscow, Russia, August 18-21, 2009, p.829. . N.V. Grushina, P.V. Korolenko, A.Y. Mishin, A.M. Zotov. Broad omnidirectional band of reflection from Fibonacci one-dimensional photonic crystals // PIERS Proceedings, Moscow, Russia, August 18-21, 2009, p.1788-1792.

10. Н.В. Грушина, А.М.Зотов, П.В.Короленко. "Золотое сечение" в оптике // Физическое образование в вузах. 2009. т.15. №3. с.63-72.

11. П.В. Короленко, Н.В. Грушина. Золотое сечение и самоподобные структуры в оптике. М.: Книжный дом «Либроком», 2009. Учебное пособие. 136 с.

12. Грушина Н.В., Зотов A.M., Мишин А.Ю., Ю Мин. Апериодические многослойные структуры: свойства и применения II Краткие сообщения по физике, №12, 2009, 28-32.

13. Н.В. Грушина, А.М.Зотов, А.Ю.Мишин, Ю Мин. Апериодические многослойные структуры: свойства и применения // Сборник аннотаций III всероссийской молодежной школы-семинара с международным участием «Инновационные аспекты фундаментальных исследований по актуальным проблемам физики», Москва-Троицк, октябрь, 2009. с.21.

Подписано к печати /8. //.Off Тираж dOO Затаэ

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Грушина, Наталья Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

§1.1. Феномен Золотого сечения и его проявление в природе, искусстве и науке.

§ 1.4. Суммационный принцип Фибоначчи.

ГЛАВА II. ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЕТКИ ФИБОНАЧЧИ.

§2.1. Литературные сведения.

§ 2.2. Принцип построения.

§ 2.3. Структура поля дифракции.

§ 2.4. Устойчивость к возмущениям.

ГЛАВА III. МНОГОСЛОЙНЫЕ СТРУКТУРЫ ФИБОНАЧЧИ.

§3.1. Литературные сведения.

§ 3.2. Особенности структуры.

§ 3.3. Расчетная схема.

§ 3.4. Оптические характеристики.

§ 3.5. Влияние дисперсии и поглощения в материале покрытий.

§ 3.6. Устойчивость характеристик к изменению параметров.

§ 3.7. Оценка фрактальной размерности и спектров сингулярности коэффициентов пропускания.

§ 3.8. Геометрические инварианты в световых структурах.

ГЛАВА IV. СВОЙСТВА МОДИФИЦИРОВАННЫХ СТРУКТУР

ФИБОНАЧЧИ.

§ 4.1. Структуры на основе обобщения принципа Фибоначчи.

§ 4.2. Симметричные структуры.

§ 4.3. Проблема широкодиапазонного отражения.

ГЛАВА V. ВОПРОСЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертация по физике, на тему "Золотые пропорции в структуре и оптических характеристиках апериодических самоподобных систем"

Несмотря на то, что в этих работах затронут ряд актуальных вопросов, важных как в общетеоретическом, так и практическом отношениях, в них не нашли освещение некоторые важные аспекты. Так, остаются неизученными общие закономерности, связывающие признаки самоподобия в структуре оптических элементов с соответствующими характеристиками формируемых ими световых полей. Неясно, в какой степени свойства оптических устройств, построенных с использованием принципа Золотого сечения, уникальны по сравнению с иными апериодическими структурами.

Недостаточно проработанными остаются вопросы о практическом 3 использовании свойств такого рода оптических структур, связанных, в частности, с целенаправленным изменением их характеристик и точностью изготовления.

Последние вопросы приобретают особую актуальность в связи с новым этапом развития интегральной оптики, использующим достижения современных нанотехнологий. Среди них следует отметить разработку вертикальных лазеров на квантовых ямах и квантовых точках, в которых обратная связь обеспечивается с помощью многослойных структур, а также создание нового класса логических элементов на основе фотонных кристаллов, действующих по принципу управления светом при помощи света. Кроме того, сохраняет актуальность проблема совершенствования уже известных оптических элементов, таких как дифракционные решетки, интерференционные светофильтры и зеркала.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

2. Среди разнообразных апериодических оптических элементов наиболее близким аналогом устройств Фибоначчи с точки зрения проявления самоподобных свойств являются дифракционные решетки и многослойные структуры, построенные с использованием числового ряда Серебряного сечения.

ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ.

1. Установленная связь между фрактальными характеристиками апериодических оптических систем и прошедшими их световыми пучками может быть использована при оценке качества их изготовления.

2. Существуют возможности расширения оптической элементной базы путем использования устройств Фибоначчи. Особенно перспективными представляются возможности улучшения характеристик интерференционных фильтров, зеркал, модуляторов фазы и некоторых других типов оптических элементов.

НОВИЗНА РАБОТЫ.

Впервые на основе численного моделирования установлены общие для дифракционных решеток и многослойных структур Фибоначчи закономерности, определяющие связь их геометрии с самоподобием характеристик прошедшего излучения. Показано, что наблюдаемое самоподобие тесным образом связано с многочастным проявлением Золотых пропорций, характерных для целого ряда произведений искусства и природных объектов. На основе развернутого сравнительного анализа оптических свойств апериодических устройств установлено, что характеристики систем Фибоначчи не являются абсолютно уникальными. С точки зрения формы проявления самоподобия они оказываются весьма близкими к соответствующим характеристикам систем, построенных с использованием числового ряда Серебряного сечения. Сформулирован ряд новых предложений по улучшению параметров и применению устройств с самоподобными оптическими характеристиками. 6

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ.

Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры оптики и спектроскопии физического факультета МГУ; а также на следующих конференциях: международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2007» (Москва, 2007); «Ломоносовские чтения» (Москва, 2007,2008,2009); международная конференция «Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)» (Moscow, 2009); III всероссийская молодежная школа-семинар с международным участием «Инновационные аспекты фундаментальных исследований по актуальным проблемам физики» (Москва-Троицк, 2009).

Основной материал диссертации отражен в 13 публикациях (из них 5 статей и 6 тезисов и аннотаций докладов в материалах международных и российских конференций, один препринт и учебное пособие). Перечень публикаций приведен в конце списка литературы.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация изложена на 115 страницах. Она состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы из 145 наименований, содержит 66 рисунков, 3 таблицы.

Заключение диссертации по теме "Оптика"

выводы

1. Разработаны способы расчета, обеспечивающие сопоставление в широком диапазоне параметров структуры и оптических харакгтеристик дифракционных решеток и многослойных систем, геометрия зЕсоторых определяется суммационным принципом Фибоначчи.

2. Установлено, что связь структуры рассматриваемых оптических эле^^^гентов с Золотым сечением и самоподобными признаками находит отрагжение в свойствах прошедшего излучения, которое обнаруживает фразв-стальные признаки, сочетающиеся с Золотыми пропорциями. Оценка коэфс^зищиента скейлинга по положению экстремальных точек оптических харак~зг<еристик показала, что он равен коэффициенту Золотого сечения Ф =1,618. 1 JLjpxt этом графики оптических характеристик подчиняются определенному геометрическому инварианту, на основе которого реализуются много^эсастные самоподобные структуры с Золотыми пропорциями. Примечател&гзсо, что этим многочастным структурам можно найти аналоги в роении разнообразных природных объектов и произведений искусства.

3. Произведено сравнение оптических характеристик дифракционных решеток, построенных на основе обобщения суммационного принципа Фибоначчи. Расчеты картин дифракции света на решетках разных типов показ^-ли, что самоподобие положения и конфигурации дифракционных пиков наблЕ<1>дается лишь в решетках, построенных на основе Золотого и Серебряного с^е^ений. При этом коэффициенты скейлинга положения пиков (коэффициент <S>) и их конфигурации (коэффициент г) для решетки Фибоначчи равна (3> = Ф и г = 4,2, а для решетки Серебряного сечения — © = г = С\2 , где о^ — 2,41 коэффициент Серебряного сечения.

4. Осуществлено сопоставление оптических свойств многослойных сттз^'ук-тур, отличающихся типом используемого суммационного прЕзанздипа. Установлено, что лишь многослойные структуры, построенные на ба^зе ряда Серебряного сечения, подобно системе Фибоначчи, имеют опт^г^зсеские характеристики, в которых признаки самоподобия по положе:всипо и конфигурации экстремумов сочетаются с Серебряными пропорциямЕЗС- Этот факт ставит под сомнение часто встречающийся в литературе т&знс об уникальности свойств объектов и систем, построенных по пр^^ызципу Золотого сечения. Близость характеристик дифракционных решеток и многослойных структур, отражающих принципы Золотого и Серебряного сечений, можно объяснить тем, что они обладают более высоким уровнем структурного самоподобия по сравнению с другими апериодическими элементами.

5. Фрактальный анализ спектров пропускания апериодических многослойных структур показал, что их фрактальная размерность слабо реагирует на увеличение числа слоев, оставаясь близкой к 1. В то же время спектры сингулярности обнаруживают заметное уширение, расширяясь от нуля (34 слоя) до 0,54 (233 слоя). Это указывает на мультифрактальность спектров пропускания при большом числе слоев.

6. Численное моделирование показало, что самоподобные оптические свойства элементов Фибоначчи весьма устойчивы к возмущениям их структуры. Так, в частности, случайное "перемешивание" положения 10-ти процентов щелей в дифракционной решетке или слоев в многослойной структуре не приводит к существенным изменениям в их оптических характеристиках.

7. Осуществляя несложную модификацию геометрии многослойной структуры Фибоначчи, можно внести заметные изменения в спектры пропускания и отражения излучения. В частности, путем внесения линейного тренда в оптические толщины слоев можно реализовать широкодиапазонное отражение как по углам, так и по частотам световых волн от многослойной структуры. При этом появляется возможность эффективной модуляции фазы отраженной волны путем слабого изменения оптической толщины слоев.

8. Существует возможность расширить области использования оптических элементов Фибоначчи. В частности, применение многослойных зеркал Фибоначчи в лазерных резонаторах может улучшить их селективные свойства; наличие в спектрах пропускания элементов Фибоначчи системы запрещенных зон позволяет работе некоторых типов оптических переключателей и фильтров придать многоканальный характер. Установленные в данной работе свойства оптических элементов Фибоначчи и их характеристики можно использовать при оптимизации их параметров и тестировании качества изготовления.

В заключение, хочу выразить благодарность моему научному руководителю профессору Павлу Васильевичу Короленко за ценные советы, обсуждение результатов, терпение и неоценимую помощь на протяжении всей работы.

Автор также признателен заведующему кафедрой оптики и спектроскопии, руководителю гранта ведущей научной школы (НШ -1949.2003.02) - профессору Виталию Васильевичу Михайлину, а также доценту Ольге Михайловне Вохник.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Грушина, Наталья Владимировна, Москва

1. Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. СП-б.: Питер, 2007, 320 с.

2. Коробко В.И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. — М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 1998, 373 с.

3. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. М.: Молодая гвардия, 1998, 238 с.

4. Тимердинг Г.Е. Золотое сечение. — М.: КомКнига, 2005, 88 с.

5. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. -М.: Наука, 1992, 192 с.

6. Стахов А.П. Золотое сечение, священная геометрия и математика гармонии. Сборник трудов Метафизика. Век XXI. Сост. и ред. Ю.С. Владимиров. — М.: Бином, Лаборатория знаний, 2006, 285с.

7. Петухов С.В. Метафизические аспекты матричного анализа генетического кодирования и золотое сечение. Сборник трудов Метафизика. Век XXI. Сост. и ред. Ю.С. Владимиров. М.: Бином, Лаборатория знаний, 2006, 285с.

8. Очинский В.В. К концепции золотой пропорции в естествознании. Сборник трудов Метафизика. Век XXI. Сост. и ред. Ю.С. Владимиров. — М.: Бином, Лаборатория знаний, 2006, 285с.

9. Stakhov A., Rozin В. On a new class of hyperbolic function // Chaos, Solitons & Fractals, v.23, №2, 2005, p.379-389.

10. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its Applications in Mathematics, Science and Engineering // Chaos, Solitons & Fractals, v.26, №2, 2005, p.263-289.

11. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers // Chaos, Solitons & Fractals, v.21, №5, 2006, p. 1162-1177.

12. Stakhov A., Rozin B. The "Golden" Algebraic Equations // Chaos, Solitons & Fractals, v.21, №5, 2006, p. 1415-1421.

13. Харитонов A.C. Структурное описание сложных систем // Прикладная физика, №1, 2007, с.5-10.

14. Кац Е.А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры: Родословная форм и идей. Изд. 2-е М: Книжный дом «Либроком», 2009, 296 с.

15. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991, 374 с.

16. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Учебное пособие. -Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1999, 140 с.

17. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.

18. ШредерМ. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Пер. с англ. под ред. А.В. Борисова. Москва, Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 560 с.

19. Волошинов А.В. Об эстетике фракталов и фрактальности искусства. В сб. "Синергетическая парадигма". Сост. и ред. В.А. Копцик. -М.: Прогресс Традиция, 2002, 496 с.

20. Смолли Р.Е. Открывая фуллерены // УФН, т. 168, №3, 1998, с.323-330.

21. КротоГ. Симметрия, космос, звезды и С60 // УФН, т. 168, №3, 1998, с.343-358.

22. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). — М.: Изд-во физ-мат. литературы, 2001, 296 с.

23. Попков В.В., Шипицын Е.В. Золотое сечение в цикле Карно // УФН, т. 170, №11, 2000, с.1253-1255.

24. Владимиров Ю.С. Метафизика. -М.: Бином. Лаборатория знаний, 2002.

25. Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J.W. Metallic phase with long-rangeorientational order and no translational symmetry // Physical Review Letters, v.53, №20, 1984, p.1951-1953.

26. Векилов Ю.Х. Что такое квазикристаллы // Соросовский образовательный журнал, №1, 1997, с.87-91.

27. Стивенз П.В., Гоулдман А.И. Структура квазикристаллов // В мире науки, №6, 1991, с. 14-22.

28. Пенроуз Р. Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законахфизики. М.: Едиториал УРСС, 2003, 384 с.104

29. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М.: Мир, 1993, 417 с.

30. Гратиа Д. Квазикристаллы // УФН, т.156, вып.2, 1988, с.347.

31. Корепин В.Е. Узоры Пенроуза и квазикристаллы // Квант, №6, 1987, с.2-6.

32. Socolar J.E.S., Steinhardt РJ. Quasicrystals I. Definition and structure // Physical Review B, v.34, №2, 1986, p.596-616.

33. Wilson N. Quasicrystals and fivefold symmetry. // Mphys Level. 3 Report, 2002/2003, p.37-43.34.de Spinadel V W. . The metallic means family and forbidden symmetries // International Mathematical Journal, v.2, №3, 2002, p.279-288.

34. TaoR. Extended states in aperiodic system // Journal of Physics A: Mathematical and General, v.27, №15, 1994, p.5069-5077.

35. E1 Naschie M.S. The theory of Cantorian spacetime and high energy particle physics // Chaos, Solitons and Fractals, v.41, №5, 2009, p.2635-2646.

36. Tanibayashi M. Diffraction of Light by Quasi-Periodic Gratings // Journal of the Physical Society of Japan, v.61, №9, 1992, p.3139-3145.

37. Fukushima К., Oono I. Fibonacci difraction grating // Mem. Fac. Educ. Kumamoto. Univ. Nat. Sci., №42, 1993, p.8-12.

38. Sah Y., Ranganath G.S. Optical diffraction in some Fibonacci structures // Optics Communication, v.114, №1-2, 1995, p.18-24.

39. Ferralis N., Szmodis A.W., Diehl R.D. Diffraction from one- and two-dimensional quasicrystalline grating // American Journal of Physics, v.72, №9, 2004, p.1241-1246.

40. Dallapiccola R., GopinathA., Stellacci F., Dal Negro L. Quasi-periodic distribution of plasmon modes in two-dimensional Fibonacci arrays of metal nanoparticles // Optics Express, v.16, №8, 2008, p.5544-5555.

41. Gopinath A., Boriskina S.V., FengN.-N., Reinhard B.M., Dal Negro L. Photonic-plasmonic scattering resonance in deterministic aperiodic structures // Nano Letters, v.8, №8, 2008. p.2423-2431

42. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. М.: Мир, 1970, 364 с.105

43. Kohmoto M., Sutherland В., Iguchi К. Localization in optics: quasiperiodic media // Physical Review Letters, v.58, №23, 1987, p.2436-2438.

44. Sendler E., Steel D.G. Propagation of optical radiation through nonperiodic media // Journal of the Optical Society of America B, v.5, № 8, 1988, p. 16361639.

45. Latge A., Claro F. Optical propogation in multilayered systems // Optics Communications, v.94, №5, 1992, p.389-396.

46. Gellermann W., Kohmoto M., Sutherland В., Taylor P.C. Localization of light waves in Fibonacci dielectric multilayers // Physical Review Letters, v.72, №5, 1994, p.633-636.

47. Hattori Т., Tsurumachi N., Kawato S., NakatsukaH. Photonic dispersion relation in a one-dimentional quasicrystal // Physical Review B, v.50, №6, 1994, p.4220-4223.

48. Vasconcelos M.S., Albuquerque E.L., Mariz A.M. Optical localization in quasi-periodic multilayers // Journal of Physics: Condensed Matter, v. 10, №26, 1998, p.5839-5849.

49. Huang X., Wang Y., Gong C., Numerical investigation of light-wave localization in optical Fibonacci superlattices with symmetric internal structure // Journal of Physics: Condensed Matter, v. 11, №39, 1999, p.7645-7651.

50. Huang X.Q., Jiang S.S., Peng R.W., Hu A. Perfect transmission and self-similar optical transmission spectra in symmetric Fibonacci-class multilayers Physical Review В //v.63, №24, 2001, p.245104.1-245104.9.

51. Peng R.W., Huang X.Q., QiuF., Liu Y.M., Hu A., Jiang S.S. Structural symmetry and optical properties of dielectric multilayers // Surface Review and Letters, v.10, №2-3, 2003, р.311-315.

52. Lusk D., Abdulhalim I., Placido F. Omnidirectional reflection from Fibonacci quasi-periodic one-dimensional photonic crystal // Optics Communications, v.198, №4-6, 2001, p.273-279.

53. Dong J.W., Han P., Wang H.Z. Broad omnidirectional reflection bandforming using the combination of Fibonacci quasi-periodic and periodic one106dimensional photonic crystals. // Chinese Physics Letters, v.20, №11, 2003, p.1963-1965.

54. Barriuso A.G., MonzonJ.J., Sanchez-Soto L.L., Felipe A. Comparing omnidirectional reflection from periodic and quasiperiodic one-dimensional photonic crystals // Optics express, v.13, №11, 2005, p.3913-3917.

55. Калитеевский M.A., Николаев B.B., AbramR.A., Brands. Зонная структура оптических решеток Фибоначчи как следствие дифракции света от них // Оптика и спектроскопия, т.91, №1, 2001, с.120-129.

56. NavaR., Agarwal V., delRioJ.A., Wang С. Light transmission in quasiperiodic multilayers of porous silicon // Journal of Non-Crystalline Solids, v.329, №1-3, 2003, p.140-143.

57. Agarwal V., Mora-Ramos M.E. Optical characterization of polytype Fibonacci and Thue-Morse quasiregular dielectric structures made of porous silicon multilayers //Journal of physics D: Applied physics, v.40, №10, 2007, p.3203-3211.

58. Ghulinyan M., Oton C., Dal Negro L., Pavesi L. Light-pulse propagation in Fibonacci quasicrystals // Physical Review B, v.71, №9, 2005, p.094204.1-094204.8.

59. Escorcia-Garcia J., Mora-Ramos M.E. Electromagnetic Modes in Hybrid Periodic-non-periodic Dielectric Porous Silicon Multilayers // PIERS Proceedings, Beijing, China, March, 2009, p. 1059-1062.

60. Escorcia-Garcfa J., Mora-Ramos M.E. Study of Optical Propagation in Hybrid Periodic/Quasiregular Structures Based on Porous Silicon // PIERS Online, v.5, №2, 2009, p.167-170.

61. Escorcia-Garcia J., Mora-Ramos M.E. Study on the infuence of the incidence direction on the photonic band gap in porous Si-based dielectric heterostructures // PIERS Online, v.5, №1, 2009, p.36^0.

62. Li H., Chen H., Qiu X. Band-gap extension of disordered ID binary photonic crystals // Physica B: Condensed Matter, v.279, №1-3, 2000, p.164-167.

63. MaciaE. Exploiting quasiperiodic order in the design of optical devices //

64. Physical Review B, v.63, №20, 2001, p.205421.1-205421.8.107

65. Aissaoui M., Zaghdoudi J., Kanzari M., Rezig B. Optical properties of the quasi-periodic one-dimensional generalized multilayer Fibonacci structures // PIERS Online, PIER 59, 2006, p.69-83.

66. Golmohammadi S., Morawej-Farshi M.K., Rostami A., Zarifkar A. Narrowband DWDM filters based on Fibonacci-class quasi-periodic structures // Optics Express, v.15, №17, 2007, p.10520-10532.

67. Albuquerque E.L., Cottam M.G. Theory of elementary excitations in quasiperiodic structure // Physics Reports, v.376, №4-5, 2003, p.225-337.

68. Furman Sh. A., Tikhonravov A.V. Basics of optics of multilayer systems -Edition Frontieres, Gif-sur-Yvette, 1992, 103c.

69. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1973, 720 с.

70. Путилин Э.С. Оптические покрытия. Учебное пособие по курсу «Оптические покрытия». СПб:СПбГУИТМО, 2005, 197 с.71 .Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1957, 503 с.

71. Burlak G.N., Diaz-de-Anda A. Optical fields in a multilayered microsphere with a quasiperiodic spherical stack // Optics Communications, v.281, №1, 2008, p.181-189.

72. Fernandez-Dominguez A.I., Hernandez-Carrasco I., Martin-Moreno L., Garcia-Vadal F.J. Transmission resonances through a Fibonacci array of subwavelength slits // Electromagnetics, v.28, №3, 2008, p. 186-197.

73. Feng W.-g., He W.-z., Xue D.-p., Xu Y.-b., Wu X. Reflection of soft x-rays and extreme ultraviolet from a metallic Fibonacci quasi-superlattice // Journal of Physics: Condensed Matter, v.l, №43, 1989, p.8241-8249.

74. Axel F., Terauchi H. High-resolution X-ray-diffraction spectra of Thue-Morse108

75. Pelster R, Gasparian V and Nimtz G. Propagation of plane waves and of waveguide modes in quasiperiodic dielectric heterostructures // Physical Review E, v.55, №6, 1997, p.7645-7655.

76. Vasconcelos M.S., Albuquerque E.L. Transmission fingerprints of quasi-periodic dielectric multilayers // Physical Review B, v.59, №17, 1999, p.11128—11131.

77. Chattopadhyay S., Chakrabarti A. Hidden dimers and their effect on the optical and electronic transmission in Thue-Morse aperiodic structures // Journal of Physics: Condensed Matter, v. 12, №26, 2000, p.5681-5689.

78. KroonL., LennholmE., RiklundR. Localization-delocalization in aperiodic systems // Physical Review B, v.66, №9, 2002, p.094204.1-094204.9.

79. Cheng S.-F., Jin G.-J. Extended nature of coupled optical interface modes in Thue-Morse dielectric superlattices // The European Physical Journal В -Condensed Matter, v.32, №3, 2003, p.291-296.

80. Liu Z., Zhang W. Bifucation in band-gap structures and extended states of piezoelectronic Thue-Morse superlattices // Physical Review B, v.75, №6, 2007, p.064207.1-064207.8.

81. DuleaM., Johansson M., RiklundR. Localization of electrons and electromagnetic waves in a deterministic aperiodic system. // Physical Review B, v.45, №1, 1992, p.105-114.

82. ZhangD., LiZ., Hu W., Cheng B. Broadband optical reflector an application of light localization in one dimension // Applied Physics Letters, 1995, v.67, №17, p.2431-2432.

83. Popov K.V., Dobrowolski J.A., Tikhonravov A.V., Sullivan B.T. Broadband high-reflection multilayer coating at oblique angles of incidence // Applied optics, v.36, №10, 1997, p.2139-2151.

84. Sibilia C., TropeaF., Bertolotti M. Enhanced nonlinear optical response of Cantor-like and Fibonacci-like quasiperiodic structures // Journal of Modern Optics, v.45, №11, 1998, p.2255-2267.

85. Macia E. Optical engineering with Fibonacci dielectric multilayers // Applied Physics Letters, v.73, № 23, 1998, p.3330-3332.

86. Southwell W.H. Omnidirectional mirror design with quarter-wave dielectric stacks //Applied optics, v.38, №25, 1999, p.5464-5467.

87. CojocaruE. Omnidirectional reflection from finite periodic and Fibonacci quasi-periodic multilayers of alternating isotropic and birefringent thin films // Applied Optics, v.41, №4, 2002, p.747-755.

88. Kim S.-H., Hwangbo C.K. Design of omnidirectional high reflector with quarter-wave dielectric stacks for optical telecommunication bands // Applied optics, v.41, №16, 2002, p.3187-3192.

89. Li J., Zhao D., LiuZ. Zero-n photonic band gap in a quasiperiodic stacking of positive and negative refractive index materials // Physics Letters A, v.332, №5-6, 2004, p.461-^468.

90. Abdelaziz K.B., Zaghdoudi J., Kanzari M., Rezig B. A broad omnidirectional reflection band obtained from deformed Fibonacci quasi-periodic one dimensional photonic crystals // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics v.7, №10, 2005, p.544-549.

91. Lusk D., Placido F. Omnidirectional mirror coating design for infrared applications // Thin Solid Films, v.492, №1-2, 2005, p.226-231.

92. Lee H.-Y. Reflectance spectra of Si/Si02 Double-Period one-dimensional photonic crystals // Journal of the Korean Physical Society, v.49; №4, 2006, p.1450-1454.

93. Zaghdoudi J., Aissaoui M., Kanzari M., Rezig B. Optical properties ofperiodic and quasiperiodic one-dimensional photonic crystals: a comparison //

94. Proceedings of SPIE, Strasbourg, France, April, 2006, v.6182, p.61822J.l11061822J.12.

95. Тао В., Fu-Li L., Yu F. Transmission Properties of quasi-periodic Fibonacci one-dimensional photonic crystal containing negative permittivity / permeability material. // International Journal of Modern Physics B, v.21, №31,2007, p.5221-5229.

96. Shang T.-y., Zhang H.-y., Zhang Y.-p., Wang P., Yao J.-q. Omnidirectional single-negative gap and in Fibonacci sequences composed of single-negative materials. // Journal of Infrared, Millimeter and Terahertz Waves, v.28, №8, 2007, p.671-676.

97. Jiang L., Zheng G., Shi L., YuanJ., Li X. Broad omnidirectional reflectors design using genetic algorithm. // Optics Communication, v.281, №19, 2008, p.4882-4888.

98. Weber M.F., Stover C.A, Gilbert L.R., NevittT.J., Ouderkirk A.J. Giant birefringent optics in multilayer polymer mirrors // Science, v.287, №5462, 2000, p.2451-2456.

99. Pavesi L., Gaburro Z., Dal Negro L., Bettotti P., Vijaya Prakash G., Cazzanelli M., Oton C.J. Nanostructured silicon as a photonic material // Optics and Laser in Engineering, v.39, №3, 2003, p.345-368.

100. CojocaruE. Omnidirectional reflection from Sole-type anisotropic dielectric structures // Applied Optics, v.39, №34, 2000, p.6441-6447.

101. Abdulhalim I. Omnidirectional reflection from anisotrotic periodic dielectric stack// Optics Communications, v.174, №1-4, 2000, p.43-50.

102. Abdulhalim I. Analytic propagation matrix method for anisotropic magneto-optic layered media // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics, v.2, №6, 2000, p.557-564.

103. Cojocaru E. Birefringence dispersion in Sole-type anisotropic periodic bandgap structures // Applied optics, v.40, №7, 2001, p. 1090-1097.

104. Тихо нравов A.B. Многослойные диэлектрические зеркала при наклонном падении света // Оптика и спектроскопия, том.54, вып.2, 1983, с.366-371

105. Enoch S., Tayeb G., Maystre D. Numerical evidence of ultrarefractive optics in photonic crystals // Optics Communications, v.161, №4-6, 1999, p. 171— 176.

106. Ш.Васильев B.H., Беспалов В.Г. Информационные технологии, оптический компьютер и фотонные кристаллы. 2000 с.88-109.

107. ZhuS.-n., ZhuY.-y., QinY.-q., Wang H.-f., GeC.-z., MingN.-b. Experimental realization of second harmonic generation in a Fibonacci optical superlaticce of LiTa03 // Physical Review Letters, v.78, №14, 1997, p.2752-2755.

108. Chen Y.-b., Zhu Y.-y., Qin Y.-q., Zhang C., Zhu S.-n., Ming N.-b. Second-harmonic and third-harmonic generation in a three-component fibonacci optical superlattice // Journal of Physics: Condensed Matter v. 12, №5, 2000, p.529-537.

109. Сухоруков А.П. Оптика сверхкоротких импульсов // Соросовский образовательный журнал. 1997 №7 с.81-86.

110. MakaravaL.N., NazarovM.M., Ozheredov I.A., Shkurinov А.Р., Smirnov A.G, Zhukovsky S.V. Fibonacci-like photonic structure for femtosecond pulse compression // Physical Review E, v.75, №3, 2007, p.036609.1-036609.7.

111. Сборник статей под ред. Г. Хасса. Физика тонких пленок. T.I. Т.2. -М.: Мир, 1967, 343 е., 396 с.

112. Лебедева В.В. Экспериментальная оптика. (3-е изд.) М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994, 352 с.

113. Крылова Т.Н. Интерференционные покрытия. Оптические свойства и методы исследования. — Л.: Машиностроение, 1973, 224с.

114. Шмаков В.А. Силовая оптика. -М.: Наука, 2004, 318с.

115. Козарь А.В. Интерференционные явления в слоистых структурах и их112применение в задачах приема сигналов и диагностики неоднородных сред. Диссертация на соискание степени доктора физ.-мат. Наук. Москва. МГУ. Физический факультет. 2004.

116. Введение в интегральную оптику. Под ред. М. Барноски. М.: Мир, 1977, 367 с.

117. Хаус X. Волны и поля в оптоэлектронике. М.: Мир, 1988, 430 с.

118. Hiltunen М., Dal Negro L., FengN.N., Kimerling L.C., Michel J. Modeling of aperiodic fractal waveguide structures for multifrequency light transport // Journal of Lightwave Technology, v.25, №7, 2007, p. 1841-1847.

119. ErniD., SpuhlerM.M., FrohlichJ. Evolutionary optimization of non-periodic coupled-cavity semiconductor laser diodes // The 1997 International workshop on optical waveguide theory and numerical modelling, v.30 №5/6, 1998, p.287-303.

120. ErniD., FrohlichJ. Analysis and optimisation of non-periodic coupled-cavity laser diodes // Latsis symposium on computational electromagnatics, Zurich, Switzerland, September, 1995, p.248-254.

121. Васильев С.А., Медведков О.И., Королев Е.Г., Божков A.C., Курков А.С., Дианов Е.М. Волоконные решетки показателя преломления и их применения // Квантовая электроника, т.35, №12, 2005, с. 1085-1103.

122. Zhang J., Cao Y., Zheng J. Fibonacci quasi-periodic superstructure fiber Bragg gratings // Optik (in press)

123. Алферов Ж.И. Двойные гетероструктуры: концепция и применения в физике, электронике и технологии // УФН, 2002, т.172, №9, с. 1068-1086.

124. NavaR, Tagiiena-Martmez J., del Rio J.A., Naumis G.G Perfect light transmission in Fibonacci arrays of dielectric multilayers // Journal of Physics: Condensed Matter, v.21, №15, 2009, p. 155901.1-155901.7.

125. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику (От маятника до турбулентности и хаоса). М.: Наука, 1988, 368 с.

126. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991, 230 с.

127. МунФ. Хаотические колебания. Вводный курс для научных113работников и инженеров. Пер. с англ. -М.: Мир, 1990, 312 с.

128. Грушина Н.В., Короленко П.В., Пересторонин П.А. Фрактальные структуры и "Золотые" пропорции в оптике // Препринт физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, № 6, 2007, 58с.

129. Грушина Н.В., Короленко П.В., Маркова С.Н. Особенности дифракции света на оптических решетках Фибоначчи // Вестник Московского университета. Физика. Астрономия, №2, 2008, с.40-43.

130. Грушина Н.В., Зотов A.M., Короленко П.В., Мишин А.Ю. О Золотом сечении и самоподобных структурах в оптике // Вестник Московского университета. Физика. Астрономия, №4, 2009, с.47-51.

131. Grushina N.V., Korolenko P.V., MishinA.Y., ZotovA.M. Broad114omnidirectional band of reflection from Fibonacci one-dimensional photonic crystals // Progress In Electromagnetics Research Symposium Abstracts, Moscow, Russia, August 18-21, 2009, p.829.

132. Grushina N.V., Korolenko P.V., Mishin A.Y., Zotov A.M. Broad omnidirectional band of reflection from Fibonacci one-dimensional photonic crystals // PIERS Proceedings, Moscow, Russia, August 18-21, 2009, p. 17881792.

133. Грушина H.B., Зотов A.M., Короленко П.В. "Золотое сечение" в оптике // Физическое образование в вузах, т. 15, №3, 2009, с.63-72.

134. НЗ.Грушина Н.В., Короленко П.В. Золотое сечение и самоподобные структуры в оптике. М.: Книжный дом «Либроком», 2009. Учебное пособие. 136 с.

135. ГрушинаН.В., Зотов A.M., Мишин А.Ю., Ю Мин. Апериодические многослойные структуры: свойства и применения // Краткие сообщения по физике, №12, 2009, с.37-42.