Абелевы группы без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Сибирского Отделения Российской Академии Наук

На правах рукописи

ФОМИН Александр Александрович

ЛБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ КОНЕЧНОГО РАНГА С ТОЧНОСТЬЮ ДО КВАЗНИЗОМОРФИЗМА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Новосибирск 1992

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор МИХАЛЕВ А. В.

доктор физико-математических наук, профессор ПАЛЮТИН Е. А.

доктор физико-математических наук, профессор ЯКОВЛЕВ А. В.

Ведущая организация: Томский государственный университет им. В. В. Куйбышева.

Защита состоится г. в ^.г/...часов

на заседании специализированного совета Д 002.23.01 по цри-су;кдешпо учен011 степени доктора наук в Институте математики СО Российской Академии наук (630090, Новоснбпрск-90, Университетский проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических паук . , СКОСЫРСКИЙ в. г.

гил

- общая характеристика работы

- •* •«

Актуальность темы. Теория абелевых групп является одной из ваяние ветвей современной алгебры. Особое место в ней занимает теория абелевых групп без кручения конечного ранга, у истоков которой в 30-50 гг стояли Л.С.Понт-рягин , А.Г.Курош [21 , А. И. Пальце в [з} , Л.Я.Куликов [4] , Р.Бэр [51 и др.

В современной теории абелевых групп без кручения конечного ранга переплетаются идеи и методы линейной алгебры, теории .чисел, теории групп, модулей, юлец, категорий, представлений. С другой стороны сама теория абелевых групп во многом является источниюм идей для смегкных облаете!: алгебры. Широкая применимость абелевых групп в различных ч областях математики является одной из причин интенсивного развития теории абелевкх групп в последние.годы (см. [6-8]) , причем наибольшее число публикаций приходится на группы без кручения конечного ранга.

Значительным событием в теории абелевых групп без кручения конечного ранга явилось открытие Б.Еонссоиом [9] в 1959 г. понятий квазигомоморйизыа и квазиизоморфизма, а тагасе его теорема об однозначности квазипрямых разложений в категории квазигогомэр^измов абелевых групп без кручения конечного ранга и примеры аномальных прямых раэлозений,-

Тогда яе чуть позже Р.Еъшэкт :: Р. Пирс в совместной статье £ю] , отказавшись от принципа классификации с точностью до изоморфизма в пользу прищипа классификации с точностью до квазиизоморфизма, дали удовлетворительное описание абелевых групп без кручения ранга 2 с точностью до квазиизодарфизма. Эта работа послужила началом серьёзных исследований абелевых групп без кручения ранга 2, в библиографии диссертации приводится более 40 наименований публикаций по группам ранга 2.

Описание с точностью до квазиизомор^изма абелевых ( групп без кручения ранга 3 было получено автором ["34"} в 1989 г. Вскоре [35, 36^ удалось распространить этот результат на абелевы группы без кручения произвольного конечного ранга, что и составляет осношок результат предлагаемой диссертацди. Применение его к группам рангй 2-дает упомянутое выше описание Бьммонта-Пирса .

Словность и богатство класса абелевых групп без кручения конечного ранга подтверждается большим числом глубока результатов, связанных с этим классом групп, доказывается как математический факт результатом А.В.Яговдева

о "дикости" задачи классификации с точки зрения теории представлений и наглядно проявляется в данной диссертации. Отметим некоторые наиболее интересные направления современных исследований в классе абелевых груш без кручения конечного ранга.

- Группы ранга 2. Эти исследования тесно связаны о теорией чисел £12^ .

- Кольца эндоморфизмов и квазиэндомэрфизгов. Группы как шдули над этими кольцами. В нашей стране этими вопросами занимается П.А.Крылов и Томская алгебраическая шгола.

- Аномальные прямые разложения. В настоящее время имеется глубоко продвинутая теория, созданная усилиями Б.Ионссона, А. Корн ера, Е.А.Благовещенской и А.В.Яковлева

'-. Группы Батлера. Это направление развивается в ■ основном на Западе. Недавно получено описание с точностью до квазЕизоиор^изма этих груш при пошца некоторых инвариантов £153 .

Имеются такке к другие нащ явления исследований, ' однако наиболее актуальной задачей, в теории айелевых груш без рфучения конечного ранга является задача нахседенкя удобных способов задания групп этого класса. В диссертация как раз е предлагается принципрально еовнй способ задания

групп с точностью до квазиизомор^изыа при помощи так называемых (ÍC1 s... 'сГ^ ") -пространств и развиваются новые методы исследования этих групп, близкие к методам линейной алгебры.

Всё вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной.

Цель работы. I. Разработать новые методы изучения абелевых групп без ^учения конечного ранга и новый способ задания этих групп с точностью до квазиизоглорфизма.

2. Применить эти методы к изучению класса групп с одним f-адическим соотношением £32] , который содержит в качестве подклассов многие ранее изучавшиеся классы групп или двойственные к ним, в частности, содержит класс групп-без кручения ранга 2.

Общая методика исследований. В диссертации используются методы и вдеа теории абелевых групп, теории колец и модулей, теории категорий, топологические методы, методы линейной алгебры и теории чисел. Разработанные в диссертации методы близки к методам линейной алгебры, применение этих методов сводит многие теоретико-групповые вопросы к теоретико-числовым.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами данной работы можно считать следующие.

1. Теорема об эквивалентности категории квазигото-морфззмов юредуцированных абелевых групп без кручения конечного ранга с фиксированным типом Ричмена

^ ... ^Тт, и категории С ti ,..., 'C'm.) -пространств /теорема 11.8.3/.

2. Результаты третьей главы о группах с одним *2Г-адическим соотношением: описание сервантных подгрупп л фактор-групп по ним, в частности множеств типов з котипов, гольца квазиэндоморфизмов и группы квазигомэ-морфизшв, решётки сервантных вполне характеристических

подгрупп и псевдоирколя, реаение юпроса о квазипрямых ^ разложениях, описание сервантно свободных групп.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях по теории абелевых групп в ШГУ, в Томском и Санкт-Петербургском университетах, в Институте математик! СО РАН, в раде пединститутов, а также во многих алгебраических центрах, в которых ведутся исследования, широко' использующие теорию 'абелевых групп. Кроме того, результаты диссертации могут использоваться при чтении специальных курсов для'студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались ка IX, X и П Всесоюзных симпозиумах по теории групп в Москве, в 1384г., в Гомеле в 1986 г., в Свердловске в 1989 г., на ХУШ к XIX Всесоюзных алгебраических конференциях в Кишиневе в 1985 г. и Львове в 1987 г., на У1 Симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей во Львове в' 1990 г., на Международных алгебраических конфе-. ренциях: посвященной А.И.Мальцеву в Новосибирске в 1989 г. и посвященной А.К.Ширшову в Барнауле в 1991 г., на . Ыальцевских чтениях в Ивановском университете в 1989 г., на 2-й Сибирской школе по .алгебре и анализу в Томске в 1988 г., на конференции по Проблемам чистой и прикладной математики, организованной институтом им.В.А.Стеклова в Туле в 1988 г., а таюхе неоднократно обсуздались на алгебраических семинарах в МИГУ, в МГУ, в Институте математики СО АН РАН, в Томском и Санкт-Петербургском университетах. Результаты диссертации опубликованы в 9 статьях и вЮ тезисах докладов в [21-Зд] .

Объём к структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, каждая из которых :разбита на восемь параграфов, и списка литературы, содержащего 98 наименований, и занимает 261 страницу машинописного-'текста.

содержание диссертации

Отображение множества всех простых чисел в шожество {оо , 0 > 1, 2.,... j- называется характеристикой к обозначается (^f) • Двз характера стшл (М-р") п (-k ) считаются эквивалентны,'.и, если линь для

конечного т.зюяества простых чисел р и только тогда, когда УПр и '¿р конечны. Класс эквивалентности характеристики Ct^lp) называется типом /Бэра/ и обозначается

Г(пРУ1 . ,

Пусть. р - простое число. Обозначит«! через ¿L-\_p J, "К = О > 4 ,2.,,.. , кольцо, вычетов по модулю р*- , и через Ж-Ср^) ~ коль1® талых р -адическпх чисел. Для • данного типа /V~ ZC алгебру над полем рациональ-

них чисел __ QKgnZLCp^)

будем называть нольшм ^Г-адических чисел. Важный частный случай:^ ф^-у

- кольцэ универсальных чисел.

Любое /£Г-адкческое число сi €<&(?:) представляется в виде oL- tC<g)(olp') , где О6 (£l , о, р пробегает шохество всех простых чисел. р -высотой элемента oip€2£-( p^fyiазывается наибольший, показатель степени простого числа р .

для которого оLp делится на р г в кольце если о/р= О , то -ixp = rvi.p . Набор р -высот (-Lp) элементов otp по всем простым числам р образует . характеристику, которая определяет тип £ (_ ) , называемый типом f-адичесюго числа oL

В первой главе диссертации доказывается многочисленные свойства универсальных и 2Г"-адических чисел, из которых определяющим является сюйстю Т~6> в теореме 1.4.7: ^-адическое число oL является делителем Т-адичесюго числа ß> тогда и только тогда, когда ^ . При ушоаешш ^адических чисел

их типы складываются. Кольца ^-адичееккх чисел имеют

простую теорию делимости, похожи на евклидовы кольца» являет ся ассоциативными и коммутативными кольцами, как правило имеют большое число идемпотентов, всегда имеют континуальную мощность, любой юнечнопорождённый идеал в кольце ^-адических чисел является главным. Кольца ^-одических чисел являются такяе модулями над кольцом универсальных чисел 1К и векторными пространствами над полем рациональных чисел

Пусть теперь задана конечная последовательность типов < ... й 'Е'гу^ I обозначим через /М ' прямую су,.шу /К -модулей

В § 7 перш Л главы каждому конечномерному над (22 подпространству Ы модуля //^1 , рассматриваемого как векторное пространство над (Ы, , ставится в соответствие некоторый тип, называемый дефектом этого пространства. Ваяен случаи, когда дефект пространства (Л . равен нулевому типу, то есть типу С( О 3 с?,..)! . дх0 равносильно тому, что пространство • порождает /М как ¡К -модуль, то есть /М = ( •

В § 8 первой главы определяется категория , ..., ^т.")-пространств. Объектам;; этой категории являются конечномерные над СО, подпространства с-нулевым дефектом модуля //И . Если

и И У" - объекты данной категории, то ыорфызмы из . Ы в 1/~определя-ются следующим образом:

/Иох(иЛУ) = и:.1/ = -О €ы /М IV» 1Гси}

Умножение мор^измов определяется как их уклонение в кольце эндоморфизмов ¡К-модуля //И

Пусть абелева группа без 1фучения А , юнечного ранга УХ- содержит свободную подгруппу /- Tbro.se ранга. Тогда периодическая группа /4 / раскладывается в пря- ■ мую суъ-щ пррмарнызс компонент •

А/р ~ Ф©. .©г^^о)/

где прямые слагаемые - либо примарные циклические группы, либо группы типа р00 . Можно считать, что по таз ат ели степени у каядого простого числа р расположены в порядке возрастания 0 ^ ... 4 ^ с>а . Эти последовательности по всем простым числам Р индуцируют последовательность типов С((.1р)] ^ • • • 4 С( • которая не зависит от выбора свободной подгруппы рг и . называется типом Ричмена группы А • Несколько первых Боровских типов в типе Ричмена могут оказаться нулевыми, то есть он дазет иметь вид

о^...^ о < ... < ^ .

В этом случае последовательность ... ^ С ^

называется приведённым типом Ричмена группы А

Делимая оболочка группы гомоморфизмов Ноги. (А}12>) абелевых групп без кручения конечного ранга, то есть группа Ноуп(АJ ВЗ , называется группой квазигомоморфизмов из Д в В , её элементы называются квазигомоморфизмаыи. Категория квазигомоморфизмов кагого-либо класса абелевых -групп без кручения конечного ранга -это категория, объектами которой служат группы данного .класса, а морфизмами - квазигомоморфлзмы этих групп.

Наконец, абелева группа без кручения называется тор едуциро ванной-, если она не содержит циклических прямых слагаемых.

Вторая глава посвящена доказательству основного результата диссертации, который формулируется следующим образом.

ТЕ0РЫ.1А 11.8.3. Категория квазкгомоморфизмов кореду-цированных абелевых групп без }фучения конечного ранга с приведённым типом Ричмена ^ ^ ,,, ^ эквивалент-

на категории 5 —пространств..

В § I третьей главы доказывается, что категория квазигомоморфизмэв абелевых групп без кручения конечного ранга с типом Ричмена ... ^ эквивалентна

категории квазигошморфизшв абелевых групп без 1фучения и конечного ранга с типом Ричмена О^б^- <5^ ^ об'1_ /теорема III. 1.1/. ^

Далее в третьей главе изучается класс груш

без зфучения конечного ранга с одним £~-адическим соотношением, то есть групп, тип Ричмена которых имеет вид ... ^ О < П? .В силу теоремы III.1.1 к

этому классу сводятся группы без кручения ранга 2. Кроме того, большинство ранее изучавшиеся групп без кручения конечного ранга либо сами являются группами с одним

"С-адическим соотношением, либо двойствены им в смысле двойственностей Уорфшща [1б] , Арнольда [17] , автора [27, 29] , Винсонхалера-Уиклесса £18] . Именно, к классу групп с однитл £~-адическим соотношением сводятся следующие классы групп: класс (5 -групп Мёрли ¿Дэ"} , класс связанных групп Дюбуа£13] , класс специальных груш Ричмена [20] , класс сервантных подгрупп аддитивных групп колец целых р-адическпх чисел [5~\ , класс сервантно свободных групп [2&] , класс групп со свободными подгруппами бесконечного индекса £22Д , масс групп без кручения со счётным числом подгрупп ¿37, 38^ , ухе упомянутый класс групп без кручения ранга 2.

По основной теореме 11.8.3 каждой коредуцкрованной группе с одним '¿Г-адическим соотношением А соответствует конечномерное над Ф- подпространство (Л алгебры

^-адических чисел Ш. . Дефект подпространства

¿А алгебры (£1 совпадает с типом подпространст-

ва (Л , то есть с типом наибольшего общего делителя любых 'сГ-адкческих чисел 1 , ... , . составля-

ющих базис пространства С\ .

В третьей главе центральной является теорема III.3.8, описывающая сервантные подгруппы юредуцированной группы . А ранга П. с одним "2~-адическим соотношением и фактор-группы по ним. Любому подпространству \Г. ^ост-ран ства. И , соответствующего груше А по основной теореме, ставится в соответствие сервантная подгруппа й,

группы Р\ . Причём , если У~= -к и-

тип ал= (г , то ранг

А/& ёг ^ и соответствующие этим группам под-

пространства пространств (¿1(6') и (О. С(Г) вычисляются. Соответствие н> является анти-

изоморфизмом решётки подпространств пространства (А на решётку сервантных подгрупп группы А />-г~

Если коредущрованная группа Д класса задана по основной теореме пространством 1А С О. ('С) ,. то кольвд квазкэндоморфизмов этой-группы изоморфно гольцу Ы ' 1А • Иными словами, множество ■ "^адических чисел о£. ,. для которых о^ (А С. (А , образует под- . кольцо кольца Ш. (*£) , изоморфное кольну квази-

эндоморфизюв группы Д /теорема 4.1/. В частности, кольцо КВИЗИЭНДОМОрфПЗГОВ такой группы'коммутативно.

Пространство (А является модулем над колырм ~ (А ' Ы . Вполне характеристические сервантные подгруппы группы А - это те и только те сервантные подгруппы, которые по теореме 3.8 третьей главы соответствуют -подмодулял' ¿-модуля Ц

/теорема 4.3/. Эта теорема даёт описание решётки сервантных вполне характеристических подгрупп группы Д »' . . которая дуальна решётке -подмодулей -модуля Ы . -В частности, псевдошколь группы /\ , то есть сервант-ная оболочка суммы минимальных сервантных вполне характеристических подгрупп группы /\ , соответствует по, теореме 3.8 пересечению максимальных -подмодуле»! -модуля 1Л . Если, например, пространство 1Л само является под коль шм кольца '¿Г-адических чисел, то псевдоцоколь группы Д соответствует радикалу Дкекобсопа гольца [А /следствие 4.4/. Интересные примеры таких . групп приведены в § 4 третьей главы /пример '4.11/.

По теореме 4.9 третьей главы разложимость. горедуци-рованной группы Д £ ^^ в квазипрямуто сумму равносильна наличию нетривиального идемпотента в кольцо И'. 1А ,

что в свою очередь равносильно существованию ненулевых типов iT и Ч3 . удондетворяющих условиям:

. I. б"7\ч> = о и fw^-t

2. В прямом разложении //^-модуля ÖQi'C") = (0.(6") © CQ. i'tp) имеет место равенство

U- (ип(0.(6*))ав(иnez(ч)).

В § 5 третьей главы вычисляется группа квазигомомэр-([изадв из группы без кручения А ранга IV с типом Ричыена (5^ ... , <Г, ^ в группу без ^учения ранга hx. с типом Ричыена V, . . ., У , Ч5 • Теоремы 5.1 и 5.2 приводят задачу к общему случаю, когда Ч' и 'ZT^ У . Общий случай рассмотрен в теореме 5.5. Соответствующие по основной теореме группам А и /Ь пространства_U и V. редуцируются к подпространствам (А и V одного и того же кольца <ß.£V) .где •V - С-С^ЛЧ^^ fcV V) - У7 . При этом размерность" -к пространства M ш:;;ет быть меньше размерности /^пространства LÀ . Тогда группа кваз иго гага р£нз мо в из А в ß изоморфна группе

s-.trtCri-'lc) / —Г .

_ _ (Si ф Си :V),

где U : V - группа по сложению V -адических чисел оI , удовлетворяющих условию: о( \J~ С. i\

Результаты § 5 прямо применимы к группам без круче. ния ранга 2 и полностью решают вопрос о вычислении групп квазигошморйизмов этих групп. Такае в § 5 вычисляются группы квазигомоморфизмов'групп примера 4.II.

В § 6 описываются сервантно сюбодные группы, то есть группы, у которых лк}бая собственная сервантная подгруппа свободна. Оказывается /теоремы 6.3 и 6.4/, что каздая такая_группа является коредуцированной группой класса Çf~L для некоторого типа '¿Г , и свойство

V/ о

сервантнон свободности равносильно обратимости любого

ненулевого "2Г-адического числа, входящего в соответствующее прзстранство.,

В этом ке параграфе даётся описание более узкого класса групп, у которых любая подгруппа бесконечного индекса сюбодна /следствие 6.6/. К приведённым выше условиям добавляется условие атомарности типа /б" , то есть в этом случае гольцо 'б'-аднческих чисел совпадает с шлем уз-адическах чисел для некоторого простого числа р . В заключение параграфа приводится без доказательства теорема 6.7, полученная совместно с С.В.Рыч-говым£з7, 38] и дащая полное описание абелевых групп с не более чем счётным' числом подгрупп.

В § 7 рассматриваются абелевы группы без кручения ранга 2. Для того, чтобы задать с точностью до квазиизоморфизма произвольную группу А -ранга 2 с линейно независимой систешй элементов Хх ,УА > достаточно указать пару типов б"' С /тип Ричмена/ и пару взаимно про сткх ('Т- О-адичесюа чисел о1 К группа?,! ранга 2 применимы все результаты третьей главы, при этом формулировки как правило упрощаются. Например, разложимость группы ранга 2 в квазипрямув сушу сервантных оболочек элементов )(1 и X равносильна условию - О .В этом же параграфе строится пример анизотропной группы ранга 2, такие группы были отбыты Р.Бьюмонтом и Р.Пирсом в Ск>!1 . ,

В § 8 приводится обзор результатов автора, не . вошедших в основной текст диссертации. Большей частью они касаются различных двойственностей, имеющихся в классе абелевых групп без кручения конечного ранга. Без доказательства приводится аналогичная теореме 3.8 третьей главы теорема 8.1 для групп, имеющих тип Ричмена вида-

О-^.-.^О^б'^'С . Эта теорема, в частности, даёт описание сервантных подгрупп групп ранга 3 и (¿актор-групп по ним. Тагае в этом параграфе'указывавдся некоторые возможные пути дальнейших исследований. " •

Основными результатами диссертации являются теорема 8.3 йторой главы и теоремы 3.8' к 5.5 третьей главы.

ЛИТЕРАТУР!

■ I. Понтряпш Л.С. 1hl lIvLOzy öf iopobqkal сот^лЛа-titf-L crf Maik. .

2. Курош Л.Г. A-iVnt/ii^e -bx%iorï$xÙL aii&oU. Gn<j>ptn Vom ètuUide* Rm^/ZAm. 4 Maik. №4. tf 32. P. HS-2oi.

3. Мальцев A.И. Абелевы группы конечного ранга без кручения// ¡Латем. сб. 1938. Т.4. С.45-68.

4. Куликов Л.Я. Обобщенные пршарные группы // Труды Моск. ыате;л. об-ва. 1952. T.I. С. 247-326. 1953. Т.2. С. ' 85-167.

5. 6мл. ß. dibtuKA QJlOUpb vJiihul dU-mtnh öf Jirult

6. {.'¿¡шина А.П. Абелевы группы. В кн. : Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1979. Т.17. С. 363.

7. ¡'¿шипна A.II. Абелевы группы. В кн.: Итоги науки и техник:. Алгебра. Топология. Геометрия. 1985. Т.23. С. 51118. •

8. Крылов П.А. Кольца эндоморфизмов и структурная теория, абелевых групп. Томск. 1991. Диссертация.

S. "Зопллсп ß; On diizcd dkcom-pûbiiionb df io'cbicK aMian Qïouv>// MaU.Scc^ ¿6П. V. S". P. 130-1Г.7. P. Ш-ЪП. •

10. betuimchi R.A., Риясек.Ъ. ToiaIoyi free. cfioup о f га*1 Ыо // . favt. MdL So с. i3U. О,

■P.i-U.

11. Яковлев A.B. К проблеме .классификации абелевых групп без кручения конечного ранга // Зап. научи.'сем, ЛОМИ АН СССР. 1976. Т.57. С. I7I-I75.

12. Xidoib Ъ. UT. Apf>ùcAÎi0V> о/ anol£ii(L ttunv-

4ея HutctM- -6о ike â-A^cfu- -fypdeh ef -ioxiîon. ■f-ш. aèe&ûa &иэиу>'/ГРийш .¿МЫшг P. S3-É5. 1366. P.

13. Didoii. 3), uf. Coi'JS>i\ft ОЛоирА, ь-acLс

. Lnie^iu // Pu&t M fi. де&гесЯъ.т?. \r. ilR я-я.

14. Благовещенская Е.А., Яковлев A.B. Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения (/ Алгебра и анализ. 1989. T.I, № I. С. III-I27.

15. ЬхпдЦЪМ.,\[№оЛаЬлС. Jrnicouarj.^ fax а

chcjS) of -fousion- fixe aJUfian Физиръ// Ръос. /¡ггия

16 ijhnJü/pIR.S Homctrwiphiim mdcLauh fot ixruion ftu moup//Ma.tt.Z.LMZP.LM- ioo. .

17. ЪМ. A dualib {сг moimi lojivlk dt-. йдп qiöuptiffimlt гaA//№{itl№kim.m.P.il-lS.

18. Vuv>oMui C.t \JJccMm bf. DuatiHib -"M io\-bion-fae. aidtan a^f* &f fruit c//<J.A&i<m. .

19. A/ia&(j C. £, Tl\t d<xwifiCA-kcv\ of axlbux

cla\w> of fotAton-fat o&dtian ахвиръ//й\Ы$.с 3. Ma-iL УАо^ъ.Р.М-е^

20. (Ис1\*а.а F. A c&w> cda wl L -huton. -flM QJIoua^ // SlucUtb of omIoxtl Фюииу,. Pcüut.

Ш8.Р. 32?-

Работы автора по теме диссертации

21. Фомин A.A. Абелевы группы, у которых любые подгруппы бесконечного индекса свободны // ХУП Всесоюзн. алг.кпнф. Тезисы сообщ. 1983. Минск. С. .200.

22. Фомин A.A. Абелевы группы со. свободными подгруппами бесконечного индекса и их кольца эндоморфизмов // Мат ем. заметки. 1984. Т.36, 152. С. 179-187.

23. Фомин A.A. Двойственность в некоторых классах абелевых групп без ^учения конечного ранга.// IX Всесоюзн. сиг.ш. по теорш групп. Тезисы докл. 1984. М7 С. 161.

24. Фомин A.A. Абелевы группы со свободными сервакт-нкми подгруппами // IX Всесоюзн. скмп. по теории групп.

' 1984. М. С. 162.

25. Фомин A.A.1 Аналог факторно-делкмкх инвариантов Бьюыонта-Пирса. ХУШ Всесоюзн. алг. нэнф>. Тезисы сообщ. Т.2. 1985. Кшлшёв. С. 238.• '

26. Фомин A.A. Сервантно свободные группы // Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Томск, ^н-та. 1986. Вып.6. С. 145-164.

27. Фомин A.A. Двойственность в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга //■ Сиб.матем. ж. I9Ö6. Т.27, Ji 4. С. II7-I27.

28. Фомин A.A. Абелевы группы без кручения, близкие к группам ранга 2 // X Всесоюзн. сиш. по теории групп. Тезисы докл. 1986. Гомель. С. 241.

29. Фомин A.A. Инварианты и двойственность в неюторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга// Алгебра и логика. 1967. Т.26, Jfc-I. С. 63-83.

30. Фомин A.A. Алгебры квазиэндоморфизюв неюторых абелевых групп без кручения конечного ранга // XIX Всесоюзн. алг. юнф. Тезисы сообщ. Ч.2..1987. Львов. С.293-294.

31. Фомин A.A. О модуле • ^-соотношений абелевой группы без кручения конечного.ранга // Проблема чистой и прикладной математики. Тула: Приокск. ншш. изд-во. 1988.' С. 54-58.

32. Фомин A.A. Абелевы группы с одним С-адпческкм соотношением // Алгебра и логика. 1989. Т.28, Ji-I, С. 83104.

33. Фомин A.A. Абелевы группы с двумя Т-адически-ми соотношениями // XI Всесоюзн. сиш. по теории групп. Тезисы докл. 1989. Свердловск. С. 122. ;

34. Фомин A.A. Абелевы группы без кручения ранга 3 // Ыатем. сб. 1989. T.I80, 3 9. С. II55-II70.

35. Фомин A.A. Абелевы группы без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма // Мездународн. юнф. по алгебре. 1989. Новосибирск. С. 128.

36. /ÖlVlÜt/)./}, Iki CfiÀtnoïa O^ÇUiXVt-lvOkvtOtwô^/iôiiM^ of aidiez1 -¿отлеои fui tyloufo affiniLt4AnJ://Pcoc~Jflil>M. Covrf. Cn Afytha $омп.А.Ма£сыг.~No\ïoti(iuU№ .'Шиьр. ML.№M.

37. Рычков C.B., Фомин A.A. Абелевы группы со счётным числом подгрупп // У1 Сим. по теории колец,, алгебр и модулей.Тезисы сообщ.. 1990. Львов.. С. II0-III.

- lé -

38. Рычков C.B., Фомин Л.Л. Абелевы группы со счйтнш числом подгрупп // Абелевы группы и t.» дул п. Томск: Из^д-ю Томск, ун-та. IS9I.

39. Фомин A.A. Группы гог.юшрфизюв некоторых абеле-вых груш без кручения конечного ранга // Международн. иэнф. по алгебре. Сб. тезисов. 1991. Барнаул. С. 125.