Абсолютная устойчивость нелинейных систем управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

Р Г Б ОД р0ссииская академия наук

2 опт 1335

на правах рукописи

РАПОПОРТ Лев Борисович

АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: 01.oi.il - Системный анализ и автоматическое

управление

автореферат Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Институте проблем управления Российской Академии Наук

Официальные оппоненты:

доктор физ.-иат. наук, проф. Н.А.Бобылев, ИПУ РАН, доктор физ.-мат. наук, проф. А.Г.Леонов, С-ПГУ, доктор физ.-мат. наук, проф. А.М.Формальский, НИИМех МГУ Ведущее предприятие:

Институт системного анализа (ИСА РАН)

Защита состоится "с' /О в /^^асов

на заседании диссертационного совета Д002.68.03 Института пробле управления по адресу: 117806, Москва, ул. Профсоюзная, 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ Автореферат разослан 03 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук Ар-о С.А.Власов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность тематики: Развитие теории абсолютной устойчивости началось в 40-е годы в работах А.И.Лурье и М.А.Айзермана, которые ввели в теорию автоматического управления рассмотрение систем, имеющих неполное описание. Первоначальная постановка задачи предполагала устойчивость замкнутой системы, состоящей из известной стационарной линейной части и неизвестного нелинейного регулятора в обратной связи. Такая постановка была продиктована тем, что во многих прикладных задачах регулирования описание управляющих элементов известно лишь с точностью до принадлежности некоторому классу, обычно определяемому так называемыми "секторными" условиями, устойчивость одновременно всех систем рассматриваемого класса получила название абсолютной устойчивости. Постепенно теория абсолютной устойчивости выделилась в отдельное направление, существующее на стыке теории автоматического управления и теории дифференциальных уравнений. По мере развития теории увеличивалась область применимости ее результатов. Оказалось, что к рассмотрению систем с неопределенностью приводит желание погрузить конкретную систему в более широкий класс систем. Огрубление результатов при этом окупается единообразием методов исследования.

В последнее время интерес к теории абсолютной устойчивости усилился в связи с развитием более общего подхода, называемого робастной устойчивостью, и предполагающего неопределенность описания объекта управления. Неопределенность может быть параметрической и непараметрической, стационарной и нестационарной. По существу, задача робастной устойчивости при параметрической нестационарной неопределенности и задача абсолютной устойчивости при нестационарных нелинейностях очень

близки, поскольку сводятся к асимптотической устойчивости селекторно-линейного дифференциального включения (СЛДВ).

Как и для любого развитого научного направления, для теории абсолютной устойчивости характерно наличие устоявшихся методов исследования, набора задач, решаемых этими методами, и более сложных задач, этими методами не решаемых, либо решаемых частично (в смысле только достаточных условий)

Первоначально для исследования абсолютной устойчивости использовался аппарат функций Ляпунова. Затем были получены частотные критерии, по виду напоминающие те, которые традиционно использовались в линейной теории регулирования. Связь между двумя подходами устанавливается частотной теоремой Якубовича-Калмана-Попова. Для систем со стационарными нелинейностями используются Функции Ляпунова из класса Лурье-Постникова. Необходимые и достаточные условия существования такой функции с отрицательно определенной производной в случае одной нелинейности даются частотным критерием В.М.Попова, имеющим ясную графическую интерпретацию. Попытки расширить этот критерий на многомерный случай (т.е. на случай систем со многими нелинейностями) приводят к задаче • о знакоопределенности квадратичной формы в конусе, заданном квадратичными ограничениями специального вида. Традиционнодля решения этой 'задачи использовался прием, называемый я-процедурой, и дающий только достаточные условия знакоопределенности квадратичной Формы при квадратичных ограничениях. Лишь при одном ограничении в-процёдура дает необходимые и достаточные условия в силу теоремы о "неущербности г-процедуры" при одной связи. Вто же время использование только достаточных условий существенно ; ограничивает эффективность как алгебраических, так и частотных критериев. Существуют примеры, показывающие, что отличие областей

абсолютной устойчивости, полученных на основе Б-процедуры, от областей абсолютной устойчивости, построенных на основе полного решения задачи о знакоопределенности квадратичной формы в конусе, может быть как угодно большим, таким образом эта задача представляется весьма актуальной.

Задача абсолютной устойчивости системы управления с несколькими нелинейными нестационарными нелинейностями эквивалентна задаче асимптотической устойчивости некоторого СЛДВ. Поэтому логично рассматривать именно последнюю задачу, поскольку к ней сводится также и задача робастной устойчивости при параметрических нестационарных возмущениях. Для такой задачи известны необходимые и достаточные условия, которые формулируются в терминах существования функции Ляпунова из класса кусочно-линейных функций, либо из класса Форм четной (и заранее неизвестной) степени. Проверка таких условий возможна только с помощью трудоемких расчетов на ЭВМ. Это дает возможность решить вопрос об асимптотической устойчивости того или иного конкретного дифференциального включения, но не решает задачи о параметризации области устойчивости в терминах коэффициентов системы. Поэтому чрезвычайно актуальна задача построения такого подхода, который давал бы конструктивные необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости селекторно-линейных дифференциальных включений.

Цель данной работы состоит в разработке метода исследования абсолютной устойчивости систем управления со стационарными нелинейностями, свободного от недостатков, характерных для й-процедуры, а также конструктивных необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости селекторно-линейных дифференциальных включений.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены на основе методов функций Ляпунова, методов линейной алгебры (включая разработанный автором метод анализа знакоопределенности квадратичной формы в конусе), теории дифференциальных включений, Функционального анализа, геометрических методов нелинейного анализа.

Научная новизна.

1. Решена задача о знакоопределенности квадратичной формы в конусе в различных постановках.

2. Получены необходимые и достаточные условия существования функции Ляпунова вида "квадратичная форма плюс сумма интегралов от нелинейностей" в задаче абсолютной устойчивости систем управления со стационарными элементами. Ранее для этой задачи были известны только достаточные условия.

3. Получен частотный критерий, основанный на" необходимых и достаточных условиях существования функций Ляпунова" вида "квадратичная форма плюс сумма интегралов от нелинейностей".

4. Разработанный подход к анализу знакоопределенности "квадратичной формы в конусе применен к ряду задач механики с целью получить более.полное их решение.

5. Для задачи об устойчивости СЛДВ исследованы свойства границы области асиптотической устойчивости,

6. Поставлена задача о поиске необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости СЛДВ в терминах отсутствия периодических решений. Дано конструктивное решение этой задачи для двумерных и трехмерных СЛДВ.

7. Рассмотрены системы с инвариантным конусом. Установлено существование периодических решений СЛДВ с инвариантным конусом вблизи границы области асимптотической устойчивости в л-мерном

случае. Установлен алгебраический критерий асимптотической устойчивости. Показано, что с помощью нелинейного преобразования Брокетта для любого ..селекторно-линейного. дифференциального, включения можно построить включение, эквивалентное исходному в смысле асимптотической устойчивости, и имеющее инвариантный конус.

Практическая ценность. Развитые-в работе подходы позволяют получить критерии, удобные для применения при исследований абсолютной устойчивости систем автоматического управления.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах ИПУ РАН, ИСА РАН, СПГУ, на шестнадцати всесоюзных, всероссийских и международных конференциях, в т.ч. на "Workshop on Robust Control VSLT94" (Италия, 1994) и на "33rd Conference on Decision and Control" (США, 1994).

Структура диссертации. Диссертация состоит из шести глав, разделенных на две части, заключения, списка литературы, содержащего 144 названия. Изложена на 205 страницах машинописного текста. 1

В первой части рассмотрена задача о знакоопределенности квадратичной формы в конусе и задача абсолютной устойчивости систем со стационарными нелинейностями.

В первых двух главах ставится и р'йпаётся задача о знакоопределенности квадратичной формы ~ (КФ) в конусе С в различных постановках. Изложение начинается'со случая КФ а(х)=х'Ах, где xtfp, А - симметрическая вещественная матрица, штрих означает транспонирование. Если а(х)>о при то КФ а(х) и матрица / называются условно положительными (УП) в конусе с.

Сначала рассматривается выпуклый многогранный конус

С = = {xcr"| х^о, i=i,...,n}, (V)

Обозначим N={i,2,...,п} и для любого подмножества IsN через а(1) обозначим матрицу, полученную из а вычеркиванием строк и столбцов с индексами, не принадлежащими множеству I. Пусть ра -число положительных собственных значений КФ а(х). Если КФ а(х) не является положительно определенной, то р<п-1 и найдется вектор

а

у, доставляющий КФ неположительное значение.

Леша 2.2.1. Пусть у - какой-нибудь (любой) вектор, удовлетворяющий условию а(у) * о. Для УП матрицы А в fP+ необходимо и достаточно, чтобы матрицы A(N\{i}) (i=i,2, ...,п) были УП в и вектор у имел компоненты разного знака.

Леша 2.2.2. Если р<п-1, то для уп матрицы а в я"

^ а ▼

необходима и достаточна УП матриц A(N\{i}) (1=1,2,...,п) на

Эти две леммы позволяют решить задачу об УП матрица А в

конусе я^ индуктивным.понижением размерности.

Определение. Матрица а называется минимальной, если det МО

и все матрицы A(N\{i}) (i=i,...,п) положительно определены.

Через А... обозначим алгебраические дополнения элемента а., в 'j ij

матрице а. Различные необходимые и достаточные условия УП А в fij дают следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Для УП матрицы А в я" необходимо и достаточно выполнения одного из трех условий:

а) матрица а положительно определена;

б) все матрицы A(N\{i}) условно положительны в и среди них есть хотя бы одна не являющаяся положительно определенной;

в) матрица а минимальна и среди чисел AnJ, Afí2,...... ар

есть хотя бы одно отрицательное.

Теорема 2.2.2. Для УП матрицы А в конусе я^ необходимо и достаточно положительности.ее диагональных элементов и выполнения одного из двух условий:

а) матрица А положительно опеделена;

б) все минимальные подматрицы матрицы А имеют среди алгебраических дополнений своей последней (для определенности) строки по крайней мере одно отрицательное.

Георема 2.2.3. Для УП матрицы А ъ я" необходимо и достаточно УП всех матриц А(ы\{т}) а=1,...,п) в и выполнения по крайней мере одного из ниже перечисленных условий

с/ег А({1,г})<0, йеГ А({1,2,3})*0, ... йег А(Ы\{п})<0,

А>0,

А *<(), ...,Ап п .<0.

П1 п,п-1

Наибольший интерес для теории абсолютной устойчивости представляет задача УП КФ а(х) на конусе вида

С = {х*Гр\ (х Ь*о)(х'Ц)>0, 7=1,...,т}. (2)

Именно к такой постановке сводится задача, о существовании функции Ляпунова из класса Лурье-Постникова (квадратичная форма плюс сумма интегралов от нелинейностей).

Будем предполагать, что выполнено условие 3 *0: (х Ь^)(х ,...,/». Назовем множества

(хь1)=о}, (хь\)=о}, а=1,...,т)

гранями конуса с. Некоторые из граней могут состоять из единственной точки (0).

Как и ранее, через р„ обозначим число положительных

а

собственных чисел квадратичной формы а(х).

Лемма 2.3.1. Пусть у - какой-нибудь вектор, удовлетворяющий условию а(у)= * о. Если р*п-1, то для условной положительности

а

КФ а(х) на конусе с необходимо и достаточно УП а(х) на гранях конуса и чтобы у*с.

Лемма 2.3.2. Пусть р<п-и Тогда для условной положительное-

3

ти КФ а(х) на конусе с необходимо и достаточно УП а(х) на гранях конуса с.

В дальнейшем индуктивное применение этих двух лемм используется для получения как алгебраических, так и частотных критериев абсолютной устойчивости.

Пусть а и в - симметрические п*п матрицы, a е fP. Рассмотрим задачу об УП матрицы оа=лнгв в конусе (1). Пусть isN, n(i) -число индексов в I. Обозначим через r(i) множество тех значений о, при которых матрица Qa(D положительно определена и через р(I) - множество тех а, при которых Qa(U УП в рГ^1^. Очевидно, что r(i)sp(i). эти множества являются открытыми интервалами.-г(1)=(гл (l),r2(l)), P(I)=(P1(I),P2(1))

Теорема 2.4.1. Пусть иы. Для выполнения условия <кр(I) необходимо и достаточно выполнения одного из трех условий:

а) «с/-2т;

б) для всех 7'еГ выполняются условия

« « (p,(l\{i)),p2(l\{i})), а * (г^(1),г2(П), и хотя бы для одного, i^l а « fr, (I\{iQ}),Г2(I\{7о}));

в) матрица Qa(D минимальна и какой-нибудь (любой) вектор у'о, удовлетворяющий условиям y'Qa(l)y^o имеет компоненты разного знака. ..

Из теоремы 2.4.1 получены рекуррентные соотношения для последовательного определения значений Рк^> к=1,2, UN.

В заключение второй главы рассмотрен общий случай УП лежанд-ровой КФ в конечногранном конусе.

В третьей главе рассмотрена система Лурье "

х = Ах + txp, a s с'х, (3)

xeRs, <р,ocr"1 а - постоянная вещественная матрица размера sxs, ь и с - постоянные вещественные матрицы размера s*m. Нелинейная часть

системы состоит из m нелинейных блоков и описывается нелинейной вектор-функцией <p=q>(a), причем Функции фi(о) удовлетво-

ряют секторным условиям

4>j(oi)(kiai-9i (а{))Ю, 1 = 1,... ,т (4)

Для решения задачи абсолютной устойчивости системы (3) в классе N(k) вида (4) применяется функция Ляпунова вида

m а ^

v(x) = x'Lx +Y, ei l Vjte) <*»> (5)

i = 1 О

где L- симметрическая матрица, a е. -скаляры. Отрицательность производной Функции (5), вычисленной в силу системы (з) при условии (4) приводит к задаче об УП КФ

q(z) = -(Ах + £хр/ (2LX + c8cpj (6)

в конусе, заданном условиями

h^z) = <р. (kjC.x - <р.)*0, i=1,...,m. (7)

Обозначим n=s+m. Применение s-процедуры приводит к задаче о положительной определенности КФ

m

S(z,т) = q(z) - £ ; = /

при некотором подходящем выборе параметров т ;.>0. Применение частотной теоремы приводит к многомерному критерию Попова, в основе которого лежит частотное условие

n(io) = Relia ew(ia) + т(W(ia) + к'1 B)J > О, « е (-<•,•») (8) где Re[2] = 1/2(Z + Z*), W(ia) = с (A-iaE)~1 b, i=/(-1), £ - единичная матрица соответствующего размера, т= diag(-г...,r ), к= =diag(k1,...,km).

В силу ущербности s-процедуры при нескольких связях, указанное условие дает только достаточные условия существования функции Ляпунова (5) с отрицательно определенной производной при m>i. Для получения необходимых и достаточных условий воспользуемся индук-

тивнш понижением размерности на основе лемм 2.3.1, 2.3.2. Пусть М={1 ,г,... ,т} и для произвольного

А(М

t0)=(A +1 к.ь.с.), шо)=а .с.с'.).

UM0 icUo

Теорема 3.1.2. Для УП КФ (6) в конусе (7) необходимо и ■ достаточно выполнения условий

V L(Mq)A(Mq) + A(MQ) L(MQ) < о,

v MjSM, sign det A(U^) = sign det A.

Предложен численный метод для построения области абсолютной устойчивости в пространстве параметров k=(kf,...,к У на основе условий теоремы. В качестве одного из примеров рассмотрена система

*Г ~22-,х1 + хг * + °-9<f2(o2),

хг= ~5х1 ~ гх2 °г 2х2' °2~ °-6х2'

О&» .(о .)о .<к -о2., i=1,2.

1 I 1 ' 0.7 -0.13

Расчеты на ЭВМ показывают, что значения L =

-0.13 1.21

01=в2=0-42 гарантируют абсолютную устойчивость при любых положительных значениях кг. Применим к этой системе многомерный критерий попова (8). Имеем

1

W( jo )=

-v>2+24. 1 ia+49.2

305.2+121<л 9 91. 56+3. 6ш 2.7

Строки матрицы и; линейно зависимы. Учитывая, что к'1-о (поскольку проверяется выполнение критерия Попова при к^=кг=*>), получим, что для ф1 =-о.з, ф2=/ условие <р*п(ю)<р>о нарушается. Поэтому критерий Попова для данной системы не выполняется для достаточно больших значений кл и к2 ни при каком выборе свободных параметров

т . и в .. 1 1

п. Рассмотрим, теперь„частотные условия, устанавливающие необходимые и достаточные-условия;, существования Функции Ляпунова вида (5) с отрицательно^определенной производной. Чтобы не загромождать изложение будем считать, что столбцы матрицы с линейно йё зависимы. В диссертации рассмотрен общий случай. Пусть и это симметрическая матрица размера гпыгт

I. Г в .

(9)

где блоки У,Т,в имеют размер тт. Пусть и(у,ч>) это КФ с этой матрицей, <ц,<р

Теорема з.з.1. Пусть матрица / не имеет чисто мнимых собственных значений и пара {А,Ь} стабилизируема. Тогда для существования матрицы с,' обеспечивающей УП д(г) вида (6) в конусе (7) необходимо и достаточно, чтобы КФ и(ч>,<9) была УП в конусе ч» 1=1,...,т, и для любых значений и« (-»,•») выполнялись бы условия

х(ю) = Не [¿авиаи)] - ОГ(1а)+К~' 1<*)+К~1) +

+ 2Яе[Т (У/Ца)+К~1)] - в >0. (10)

Здесь е=(Иад(в^,... ,вт), Пв 2 = ^(2+2*).

Интересно отметить, что применение б - процедуры эквивалентно выбору квадратичной формы и(ч>,у) частного вида; т

и(ч>,ч>) = £ ¿"-гтч»т.<р1. + е(ч2. + <р*)], (11)

1 = 1

где т^о - свободные параметры и в>о - как угодно малое положительное число. Частотное условие (ю) при этом эквивалентно (8).

Для подмножества м^м определим матрицы и(М0) размера т<т, полученные из матрицы и вида (9) вычеркиванием строк и столбцов с индексами и 1+т при »«м\мо.

Теорема з.з.г. Пусть для квадратичной формы и(щ,<р) выполнено

частотное условие (Ю) при всех <oefТогда для УП К4> и(ч>,<р) в конусе hi ,ф->о, необходимо и достаточно вьшолнения условий:

(а) для любого подмножества WQSW (включая uQ=e и uq=u) матрица О(мо) положительно определена;

(б) все главные миноры матрицы w(o)+k~1 положительны; в случае в7.=о, i=i,...,m, условие (б) излишне.

' ' Для сравнения областей абсолютной устойчивости, получаемых

применением теорем 3.3.1, 3.3.2 с критерием (8) рассмотрен пример (приведенный в диссертации) на котором виден существенный г, выигрыш нового критерия по сравнению с критерием Попова.

В заключение главы з рассмотрены задачи абсолютной устойчи-,,. .вости систем управления с суперпозицией нелинейных элементов и абсолютной устойчивости систем управления с дифференцируемыми нелинейностями. Получены критерии более сильные чем те, которые могут быть получены с применением s-процедуры.

В четвертой главе развитый ранее аппарат анализа УП КФ в ' конусе применяется для анализа некоторых задач устойчивости механической природы. В частности, рассмотрена задача устойчивости равновесия механических систем с неудерживающими связями.

Пусть ... ,Qn) это вектор обобщенных координат; функ-

ция Лагранжа имеет вид l=tz~u, где

Г2 = Tz(q,'q ) = 1/2 QA(q)q , П = a(q)

матрица-функция A(q) и функция п(я) являются аналитическими в некоторой области D пространства я". Будем предполагать, что движение системы стеснено неудерживающими идеальными связями вида я^о, 1=1,2,...,m, imn. В соответствии с принципом виртуальных перемещений в положении равновесия системы выполняется неравенство

' <>П

Далее рассматриваются системы, у которых в положении равновесия связи реализованы, но реакции связей равны нулю. Это, разу-

мется, частный случай систем с неудерживанлцими связями. В диссертации приведены примеры таких систем.

Теорема 4.2.1. Если в положении я*-(о,..., о, д* ......я*)*о

/77т 1 п

Функция п (ч/имеет строгий локальный минимум в области 7=/,...,т, фО, то это положение устойчиво по Ляпунову.

Справедливо также утверждение, обобщающее теорему Ляпунова '' Георема 4.2.2. Если в положении д*=(о,...,о,д* ,,...,д*

щт 1 П

функция п(я) не имеет локального минимума в области я^о, 7=/,...,т, фо, и отсутствие минимума устанавливается членами второго порядка в разложении п(я) по степеням я в окрестности а*, то положение я* неустойчиво.

Рассматриваются системы, у которых функция п зависит не только от координат в, но и от параметра а, принимающего значения из области я числовой оси, причем, положение я*- является равновесием для любых значений а«я. Примеры* приведенные в диссертации именно таковы.

Рассматриваемая задача состоит в получении условий на. параметр а, при выполнении которых положение равновесия системы будет устойчиво в соответствии с теоремами 4.2.1, 4.2.2. Обозначим х=я-я* и представим функцию п(д,а) в виде ,

и(д,а) = П(д*,а) + 1/2 Ч(*>*> + Р(*.<*)

для любого а я, где д(х,а) - квадратичная форма относительно пел

ременных *7- с коэффициентами, зависящими от а, и \р(х,а)\/]х{ -*0 при |х|->о. для любого а«я. Ограничимся случаем линейной зависимости П(я,а) ОТ а. Тогда

Я(х,а) = (х,Ах) + а(х,Вх) представляет собой пучок квадратичных форм, где дне - симметрические матрицы. Далее считается, что т=п.

Имеет место следующее утверждение.

Лета 4.2.1. Для существования у функции й(ц,ч) в точке а* строгого локального минимума по области рГ+ п о необходимо, чтобы д(х,аро при хея^, и достаточно, чтобы д(ж,а)>о при

Таким образом задача устойчивости сведена к рассмотренной в гл.2 задаче об УП пучка КФ в неотрицательном конусе. С использованием результатов гл.2 получены рекуррентные соотношения для определения открытого интервала тех значений а, при которых Форма <7(х,а) условно положительна в я".

В диссертации приведено численное решение одного из примеров.

Также рассмотрены задачи об асимптотической устойчивости систем при внутреннем резонансе четвертого порядка и об устойчивости Эйлерова стержня при неудерживающих связях.

Перейдем к содержанию второй части.

Задача абсолютной устойчивости системы управления с несколькими нелинейными нестационарными элементами

* = Ах + ¿кр, а = с X, ч>=ф(г,о) (12)

в классе

^Pi(t,o j-q>i(t,ai))iO, i—1,...,m (13)

эквивалентна асимптотической устойчивости нулевого решения линейной нестационарной системы т

х = Ах + £ и.(1)в.х, (14)

1 = 1

равномерной по ^ к в классе и(к) измеримых вектор-функций и(-) = (и^-),... ,ит(-)У, От .а Нк ^

Рассмотривается несколько более общая постановка динамической системы, которая описывается селекторно-линейным дифференциальным включением вида

* С F(x), F(x) = (Ах: А е А = Со{Ау ...,Aq}}, (15)

где х с ff, со обозначает выпуклую оболочку. Выпуклый многогранник А в /72-мерном пространстве вещественных (п*п;-матриц определен вершинами A-, i=\,г,...,q. СЛДВ (15) эквивалентно совокупности линейных нестационарных систем

я я

х = Z ui(t)Aix- схи4(г)<1, £ ut(t) = 1, (16)

7=J i=1

где функции и .(t) измеримы. Класс таких Функций обозначен и. Область в Са«п2 ^-мерном пространстве наборов матриц {л^........а^} ,

для которых система (16) абсолютно устойчива в классе и, будем называть областью абсолютной устойчивости и обозначать через 6; б есть открытый конус.

Через bnd(e) обозначим границу 6 и с Не) = е и bnd(e) - замыкание .

Определение. Набор матриц } невырожден, если для

матриц Ai (i=i,... ,<г) не существует общего инвариантного подпространства.

Через хц(t,xQ;A) обозначим решение системы (16), соответствующее функции и(-) и начальному условию *ц(0, xQ;A)=xQ,

г(т,хп:Л) = тах |х ,,(г,хП;А)\. ° u(-)eu u °

Теорема 5.2.1. Пусть набор {А^,...,Aq}*bnd(e) невырожден. Тогда:

(а) функция v(xq;A), определенная условием v(x ;А) = lim sup r(-x,xQ;A),

,выпукла, положительна для »о и принимает только конечные значения для ограниченных

(б) для любого х0*о существует такая функция что для

всех выполняется условие

= тах у(хиа,хо;Л);А) = у(х0;А)

При этом для почти всех по (а именно, для тех t, для которых существует производная по времени г = х^а ,х0;А)) выполняется условие

-----= 0, г = Х-(Т,Х ;А),

аг

где ву(-)/эг есть производная от функции уС-; по направлению Рассмотрим множество

Б = {х: у(х;А)=\},

которое является границей выпуклой области в={х: у(х;А)* 1}. Очевидно, что з гомеоморфно (п-1^-мерной сфере. Утверждение (б) теоремы 5.2.1 означает, что для каждого в существует такая функция ~й(-)еи, что вся траектория х-а,хо;Л) принадлежит Э.

Для {Ау,... ,Ац}*Ьпс1(б) обозначим через \ вектор (г.^ ,...

[ *у(х;А) 5 ' 1

К(х) = Агдтах < - : г = £ £ *.,-='» К (17)

* I- 92 1 = 1 1 = 1 >

А(х) = Со К(х). (18)

Лемма 5.4.1. Пусть набор М1,... невырожден. Если

функция у(х;1) дифференцируема в точке х, то л(х) = к (х). «

Для того, чтобы исследовать предельное поведение системы (16) при (а^ ,... .А^^ьпсКе), рассмотрим автономное дифференциальное включение

X E ~F(x;A) = f-n : л = £ Л^.Х, \<Ä(x)}, (20)

i = 1

которое в дальнейшем будем называть предельным.

Теорема 5.л.1. Пусть набор (ал,...,aq}*bnd(e) невырожден. Тогда для любого xQ>o найдется такое решение £(t) включения (20), что C(0)=xQ и для каждого ио выполняется условие v(t.(t))=v(xQ). Более того, существует такая функция Ъ(-)еи, что x-(t ,xo)=z(t) для всех t>o и ~u(t)eÄ(z(t)) для почти всех г>0.

Далее исследуются свойства гладкости функции v(x;A). Предполагаем гурвицевость всех матриц вида мА. Это означает в частности, что

Р <7

£ к^^х » о для всех х-о и схк.и, £ = 1, (21)

i=1 1=1

Теорема 5.5.1. Пусть набор (а1,...,aq}*bnd(e) невырожден.

Тогда если п нечетное и выполняется условие (21), то функция

v(x;A), существующая в силу теоремы 5.2.1, негладкая.

Теорема 5.5.2. Пусть набор {А^,... ,A^bnd(e) невырожден.

Тогда если л нечетное и выполняется условие (21), то найдется

такой вектор y*s, что функция v(x;A) в точке у негладкая и из у

исходит решение включения (20) типа инвариантного луча z(t)=Jsty,

ц<о.

Далее получены спектральные условия абсолютной устойчивости.

Обозначим р(ф) спектральный радиус матрицы и

Х(А) = Um sup max р(Ф (t,0;A)). (22)

t-»» u(-)eu u

Теорема 5.6.3. Пусть набор {A^,...,Aq} невырожден. Тогда величина v. (А) может принимать только одно из трех значений:

у. (А) = а при (a^,...,aq}<®, К (А) = 1 ПРИ (Ал ,.. . ,AQ}ebnd(G),

%(А) = * при (ал.....Ау)*сНе).

Пятая глава завершается исследованием связи предельного дифференциального включения со специальной гамильтоновой предельной системой.

В шестой главе получены новые необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости системы (16) в классе и или, что то же самое, асимптотической устойчивости СЛДВ (15). Условия формулируются в терминах существования или отсутствия периодических решений, соответствующих кусочно-постоянным управлениям, начнем с двумерного случая: п=г.

Леша 6.2.2. Функция \/(х;Л.) непрерывно дифференцируема. В связи с этим интересно сопоставить этот результат с теоремой 5.5.1. Обозначим

Теорема 6.2.2. Пусть набор {Ау,... ,А^Ьпс}(е) невырожден. Тогда существуют такие целые числа ,]г,...каждое из которых лежит в интервале Кухд, и такие числа т ,>о, т-1,...

что выполняется условие N

det(Г\ ехр(А. Т.)+Е) = О. 1 = 1 '

Теорема 6.2.3. Пусть набор {А^,..невырожден. Для того чтобы .выполнялось условие (а^ ,...* е необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие целые числа .......каждое

из которых лежит в интервале щ лд, и такие числа т¿о,

т=1,...,N, и ц>1, что выполняется условие N

сГеГЩ ехр(А. = О.

1 = 1 Ч 1

Теорема 6.2.4. Пусть набор {А},...,А } невырожден. Для того

чтобы выполнялось условие {л^,...,А^} е е необходимо и достаточно, чтобы для любых целых чисел ,]2,.. К; ,«7. и любых

чисел туо, ;'=»,...,«, и ц>> функция

N

,... = вхрСА ■ т .)цхЕ)

1 " 7 = / 3 7 1

не меняла знака.

Рассмотрим трехмерный случай: л=з. Множество в гомеоморфно двумерной сфере. Для предельного включения (20) на поверхности в дано обобщение теоремы Пуанкаре-Бендиксона и доказано существование периодического решения при {А^,... .А^^ЬпсКв ).

Теорема 6.3.1. Пусть набор {А^,... ,Ад}<Ьпд(б) невырожден и траектория £(•) включения (20), целиком лежащая в в, незамкнута. Тогда существует траектория т\(-) включения (20), которая принадлежит о-предельному множеству о^ для всех г>о и является замкнутой.

Далее для исходной постановки задачи абсолютной устойчивости (14) обозначим м это множество индексов {1,...,т}. Набор матриц Л={а^.....Ад}, 4=2?", определяется всевозможными матрицами

А(М) = А <<ibic'i' М 5 М.

Следовательно г -периодическое решение, существующее согласно

теореме 6.3.1 при условии {А^.....а^ Ьпд(е), имеет вид

1 1 лго; = ЛСП = П ехр(А(М.)т.), Т= £ т., (22)

1=1 ; 1=1 при некотором натуральном 7, числах -г >о и подмножествах

7=1,..,1, м-{1,... ,ю]. Подмножества м^ и отличаются на один

индекс, т.е.

Mi + 1 = i}' ПрИ 10111

Mt+r = ui"{ii} при- iitMv

Теорема 6.4.1» Пусть пара /A,b} управляема, пара {А,с} наблюдаема и набор матриц {AJt...,A } = {Ар ),..., А(М)} удовлетворяет условию {АРУ;... ,A(M)}*bnd(e ). Тогда существуют .такое .натуральное 7, вещественные числа т7>о (i=i,..., 1 ) и подмножества ujt

удовлетворяющие условию (23), что выполняется условие 7

detfn ехр(А(М.) т ,J - Е) = О.

i=1 '

Теорема 6.4.2. Пусть пара управляема, пара М.с; на-

блюдаема. Для того, чтобы выполнялось условие {Ар),... ,А(М)) * 6 необходимо и достаточно, чтобы нашлось такое натуральное 7, вещественные числа т ¿о (i=i,... ,1 ), ц>г и подмножества м^, удовлетворяющие условию (23), что выполняется условие 7

tfeiCfl 6ХР(А(М.)т.) -ixE).= 0. i=1 1 1

Теорема 6.4.3. Пусть пара (А,Ь} управляема, пара (а,с} наблюдаема. Для того, чтобы выполнялось условие {АР),...,А(М)} е 6 необходимо и достаточно, чтобы для любого натурального 7, любых вещественных чисел тf>o (i=i,...,l), р>1 и подмножеств удовлетворяющих условию (23), функция

7

= det( П exp(A(M{) T.) - M Е) i=1

не меняла знак при е!_?Т)>о.

Пусть теперь т=1. Для этого случая доказано существование антипериодических решений на границе области абсолютной

устойчивости. Эти решения соответствуют периодическим управлениям, имеющим только два переключения на периоде.

Теорема 6.4.з. Пусть пара {А,Ь} управляема, пара {А,с) наблюдаема и пара матриц {А, А+кЬс } удовлетворяет условию {А, А+кЬс' }*Ьп<1(б). Тогда существуют такие вещественные числа т^о, т2>о, что выполняется условие

¿е1(ехр(Ат^ )ехр(А-г2) + Е) = О, А = А+кЬс'.

Теорема 6.4.4. Пусть пара {А,Ь} управляема, пара {А,с} наблюдаема. Для того, чтобы выполнялось условие {А, А} * е необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие вещественные числа т^о, т2>о, р>1 что выполняется условие

det(exp(A^^ )ехр(Ат2) + цЕ) = О.

Теорема 6.4.5. Пусть пара {а,ь} управляема, пара {а,с} наблюдаема. Для того, чтобы выполнялось условие {А, ~А} « 6 необходимо и достаточно, чтобы для любых вещественных чисел т^о, т2>о, Функция

= бе1(ехр(А-сл)ехр(Ат2) + \1Е)

не меняла знак при ^ +т2>о.

Теперь рассмотрим произвольное п. Будем предполагать наличие у системы (16) выпуклого острого инвариантного конуса с.

Теорема 6.5.2. Пусть сесть инвариантный конус системы (16)

и набор .....а^} невырожден в с. Если некоторые из матриц а i

имеют собственные числа в замкнутой правой полуплоскости, то {Аг... ,Ау} « 6 . Если все матрицы А^ ,..., устойчивы, то для {А^ ,...,Ау}*с1(6) необходимо И ДЛЯ {А^ ,...,Ау}*6 достаточно, чтобы нашлось такое натуральное I, целые У,,^ из интервала и числа т.>о такие, что выполняется условие

с/ег ГП ехр(А х.)-Е) = О. (24)

1 = 1 7

Чтобы показать, что требование существования инвариантного конуса не является ограничительным, рассмотрим конструкцию системы с инвариантным конусом, эквивалентную исходной в смысле абсолютной устойчивости. Мы будем использовать разновидность нелинейного преобразования Брокетта.

Введем в рассмотрение наряду с (16) систему р

к = У и.(й(А.Х V ХА'.), и(-)еи. (25)

Ь 7 I 1

Лемма. 6.5.1. Острый выпуклый ,конус с неотрицательно определенных матриц является инвариантным для системы (25). Системы (16) и (25) эквивалентны в смысле абсолютной устойчивости в классе и.

Теорема 6.5.3. Пусть набор {а;,...,А^} невырожден. Если некоторые из матриц а. имеют собственные числа в замкнутой правой полуплоскости, то М1,...>Ад}*5. Если все матрицы ,...устойчивы, то для {Ал,... ,Ау}*с1(в) необходимо, а для М1.....Ац№

достаточно, чтобы нашлась неотрицательно определенная матрица Х0, натуральное целые У1,,-..,1 ^ из интервала [1,а] и числа т ,>о

такие, что выполняется рацедество .....

и (.

X П вхр(А . т.; = П ехр(-А- т )Х .

1 = 1 ' 7 =1 "'7

Заключение и выводы

В результате проведенного в диссертации исследования можно сделать следующие выводы:

1: Применение полученных в работе критериев абсолютной устойчивости систем управления с несколькими стационарными не-

линейностями позволяет получить более точные оценки областей абсолютной устойчивости в пространстве параметров по сравнению с ранее извесными, использующими Б-процедуру. Вычислительные эксперименты показывают, что выигрыш может быть весьма существенным.

2. Инвариантная функция, существующая на границе области абсолютной устойчивости систем управления с нестационарными не'ли-нейностями, позволяет упростить исследование предельного поведения системы. С другой стороны показано, что свойства инвариантйой функции зависят от размерности фазового пространства и в нечетно-мерном случае эта функция является негладкой (если не выполнено утверждение гипотезы Айзермана).

3. Использование инвариантной функции имеет тот же смысл,' что и использование гладких первых интегралов в случае обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Для двумерных селекторно-линейных дифференциальных включений использование инвариантной функции (гладкой в этом случае) позволяет сформулированы условия асимптотической устойчивости в терминах отсутствия периодических решений специального вида. Условия устойчивости сформулированы в виде алгебраического критерия, зависящего от конечного (известного) числа параметров.

: 5. Для трехмерной задачи абсолютной устойчивости системы " управления с одним нелинейным нестационарным элементом получен тот же критерий, что и для двумерного случая. 1,1

6. Использование нелинейного преобразования Брокетта позволяет для любого селекторно-линёйного дифференциального включения построить эквиваленное в смысле устойчивости, и имеющее инвариантный острый выпуклый конус. Для последнего случая установлен алгебраический критерий устойчвости, зависящий от конечного числа параметров.

. По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Рапопорт л.Б. Устойчивость по Ляпунову и знакоопределенность ква ратичных форм в конусе // Прикл. матем. и механика. 1986. Т.50. Вып. 4. С.674-679.

2. Рапопорт Л.Б. О задаче абсолютной устойчивости систем управления несколькими нелинейными нестационарными элементами // Автоматика телемеханика. 1987. N 5. С. 66-74.

3. Рапопорт Л.Б. Знакоопределенность квадратичной формы при квадратичных ограничениях и абсолютная устойчивость нелинейных систем управления // Доклады АН СССР. 1988. том.298. N 4. с.822-826.

4. Зеленцовский А.Л., Рапопорт Л.Б. Достаточные условия существован] Функций Ляпунова из класса форм высших степеней в задаче об абсолютной УСТОЙЧИВОСТИ. А И Т. 1988. N 5. С. 178-183.

5. Рапопорт Л.Б. Об одном частотном условии абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными стационарными элементами // Автоматика и телемеханика. 1989. N 5. С. 34-42.

6. Рапопорт Л.Б. О задаче абсолютной устойчивости систем управления суперпозицией нелинейных элементов // Автоматика и телемеханика. 1989. N 12. С. 166-168.

7. Рапопорт Л.Б. Граница абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем и ее связь с построением инвариантных функций // Автоматика и телемеханика. 1990. N ю. С. 78-86.

8. ПятницкийЕ.С., Рапопорт Л.Б. Существование периодических движений и критерии абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем в трехмерном случае// Автоматика и телемеханика. 1991 . Л/5, С.68-79.

э. Пятницкий Е.С., Рапопорт Л.Б. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1991. N10. С. 63-73.

ю. Пятницкий Е.С., Рапопорт Л.Б. Периодические решения и граница асимптотической устойчивости селекторно-линейных дифференциальных включений. // Доклады АН СССР. 1991. Т.321. т. с.687-691.

11. Рапопорт Л.Б. Устойчивость равновесия систем с неудерживанлцими связями и знакоопределенность пучка квадратичных форм в конусе // Прикладная математика и механика. 1992. Т.56. л/4. С. 597-603.

12. Рапопорт Л.Б. Существование негладких инвариантных функций на границе области абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1993. N з. С. 109-114.

13. Рапопорт Л.Б. Антипериодические движения и алгебраический критерий абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем в трехмерном случае // Автоматика и телемеханика. 1993. N 7.

С. 38-54.

14. Рапопорт Л.Б. Антипериодические движения и критерий асимптотической устойчивости селекторно-линейных дифференциальных включений в двумерном случае // Автоматика и телемеханика. 1995. w 1. С. 56-63.

15. Rapoport L.B. Positive Definitness of a Quadratic Form under Quadratic Constraints and Absolute Stability of Nonlinear Control Systems. "3rd Colloquium on the qualitative theory of differential equations", Szeged, August 22-26, 1988.

16. Rapoport L.B., Tkhay V.N. Positive definitness of the quadratic form on the cone with finit number of facets // Wissenschaftliche Berichte der Technischen Hochschule Leipzig. 1989.Heft 3. p.p.51-52. 14th IFIP Conference on System Modelling and Optimization, Leipzig July 7, 1989.

17. Rapoport L.B. Asymptotic stability and periodic motions of selector linear differential inclusions, "Workshop on Robust Control VSLT94", Benevento, Italy, September 1994, pp. 13-18.

18. Rapoport L.B. Asymptotic stability and periodic motions of uncertain time-varying systems, "33rd Conference on Decision and Control" December, 1994, Lake Buena Vista, Florida, USA. pp. 851-852.

Из совместных работ в диссертации использованы результаты,

полученные автором.