Аддитивные задачи со степенями простых и натуральных чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ШВА I. Леммы.

ШВА П. Аддитивные задачи с простым слагаемым.

§ I. Эквивалентность проблемы улучшения остаточного члена в тернарной проблеме Гольдбаха и теоремы Зигеля.

§ 2. Представление натуральных чисел в виде:

I П-i

§ 3. Два аддитивных представления для всех больших натуральных чисел.

ШВА Ш. Аддитивные задачи со степенями простых чисел.

§ I. Представление нечетных натуральных чисел в виде: НО

П + ф

§ 2. О представлении натуральных чиоел в виде:

Актуальность исследования.

В современной теории чисел значительное место занимает проблема аддитивного.представления натурального числа в виде степеней простых и натуральных чисел.

Для изучения этой проблемы применяются элементарные методы ( не использующие теорию функций комплексного переменного), аналитические методы ( основанные на применении теории функций комплексного переменного), метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Перечисленные методы,взятые каждый в отдельности, естественно,не являются универсальными. Например, самый мощный из них, метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова, открывший широкие возможности в аддитивной теории чисел, позволил успешно решить тернарную проблему Гольдбаха, а в отношении бинарной, - он дал существенно меньше: "почти представимость" четных чисел в виде суммы двух простых нечетных чисел.

Для решения некоторых тернарных задач требуется привлечение дополнительных соображений. Как и в работе Ю.В.Линника [15], мы привлекли дополнительные соображения к методу тригонометрических сумм И.М.Виноградова, но другие.

Новые представления и оценки тригонометрических сумм по простым числам H.L. Моа^от&г^ и R-C. Уаи-д/иа-п /16/ используются нами во второй главе, теорема Зигеля о границе области, свободной от нулей L -функций - в третьей главе.

Актуальность исследования состоит в том,что в диссертации применение метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова распространяется на некоторые нерешенные ранее аддитивные задачи. В результате исследования получены новые тернарные представления, новые оценки исключительных множеств ( см.раз-дел"Введения" "Структура диссертации", стр. 8 ).

Все леммы, используемые в тексте диссертации, доказываются в первой главе, или приводятся их строгие формулировки, а доказательства даются в ссылках на литературу.

Путь исследования во второй главе аналогичен тому, который применен в работе H.L.Morvtgombty и R.C.Vavp/uzafjb]ч так например, нами доказаны и используются леммы 31, 32, которые подобны соответствующей лемме 5.5.

В третьей главе нами, помимо теоремы Зигеля, доказаны и используются леммы 20 и 23, которые существенны для оценки главных членов представлений, рассматриваемых в этой главе.

Цель исследования

1. Получить новые представления натуральных чисел.

2. Получить новые, по сравнению с известными, оценки исключительных множеств.

3. Выявить взаимосвязь двух классических проблем теории чисел ( проблемы уточнения остаточного члена в тернарной проблеме Гольдбаха и теоремы Зигеля).

Пояснения к терминологии, использованной в настоящей диссертации.

В данной работе мы используем классификацию аддитивных задач и терминологию, введенную Ю.Блинником £14), а также вводим новый термин: задачи, "пограничного с бинарным типа".

Пусть в аддитивной задаче участвуют более двух слагаемых, и она заключается в представлении чисел в виде: fjj где пробегают независимо некоторые последовательности чисел. Объединим суммы чисел в (А) в новые слагаемые так., чтобы получилось уравнение вида (В): n р., (£)

Допустим,что различных и различных jS достаточно много, а именно:

Z 1> CfeyN*'* Г /> С (с) ■ л/*~е. ы^А/ ^f/V

Допустим также, что как ,так и хорошо распределены в отрезках арифметических прогрессий, с разностью, медленно растущей вместе с длиной отрезка. Система чисел р может быть сравнительно "редкой", но дробные доли ftyj должны дать возможность получить хорошую оценку суммы

Z exfi , где 6

I - система малых интервалов отрезка /0,1 ] в методе три-л гонометрических сумм И.М.Виноградова.

Задачи, в которых такое сведение от (А) к (В) возможно, Ю.В.Линник называет "тернарными", а задачи, в которых оно невозможно - "бинарными". Целесообразность такой классификации Ю.В.Линника обоснована возможностью единого подхода к решению тернарных задач и отсутствием такой возможности при решении бинарных задач.

Пусть теперь в задаче (А), которую мы предполагаем являющейся тернарной, убирается какое-либо слагаемое ,после чего задача становится бинарной. Если при удалении любого слагаемого задача (А) переходит из тернарной в бинарную, то мы.предлагаем назвать такую задачу задачей "погранич ного о бинарным типа".

Примерами таких задач могут служить следующие: представить каждое число П>п0 в видах: M+i

В настоящее время первые две задачи в общем виде еще не решены. Последние две - решаются положительно в § 2 второй главы настоящей диссертации.

Рассмотрение задач пограничного с бинарным типа интересно тем, что эти задачи близки к задачам бинарным, а все бинарные задачи представляются весьма трудными.

Структура диссертации.

Диссертация изложена на 140 страницах машинописного текста и включает введение, три главы, список литературы (42 источника).

1. Бухштаб А\А. Теория чисел. М., "Просвещение", 1970.

2. Виноградов И.М. Метод тригонометрических cyj.i\i в теории чисел. М., "Наука", I97I .

3. Виноградов И.М. Представление нечетного числа суглмой трех простых чисел. ДАН СССР, 15(1937), 291-294,

4. Виноградов И.М. Избранные труды. Изд-во АН СССР, М., 1952.

8. H.J)cLven.pod^ Mudi:f>€iccitct/e /Vum£e% TAeozi^,

9. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. М., "Наука", 1975.

10. Линник Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Изд. ун-та. Л., I96I . - 138 -

11. Лииник Ю.В, Складывание простых чисел со степеням одного и того же числа. Мате?л.сб., 32(74), 1(1953).

12. W^mvmQ^vi (^ Montaom-e^W/^-L. ) ЮСУП (1975), 354-370.

13. Прахар К. Распределение простых чисел. М., "Мир", 1967. 57(1953), 66-74.

14. Прахар К. (PrO^ofw/t К.) U6e>i ^ / J P^coS€mt VOm, 57(1953), II3-II6.

20. Хуа-Ло-Ген. Аддитивная теория простых чисел. Тр. Мат. ин-та АН СССР, 22(19^7).

21. Хуа-Ло-Ген. Метод тригонометрических су?дм и его применения в теории чисел. Изд-во "Мир", М., Т9б^.

23. Чудаков Н.Г. О плотности совокупности четных чисел, непредставимых как су»лма двух нечетных простых ИАН СССР, (1939), 25-39.

25. Шнирелъман Л.Г. Об аддитивных свойствах чисел. Ростов н/Д, Изв. Донец.политехи, ин-та, IA.2-3 (1930), 3-28.

26. Бухштаб А.А. Новые результаты в исследовании проблемы Гольдбаха-Эйлера и проблемы простых чисел близнецов. ДАН, 162, ^(1965), 735-738.

27. Постникова Л.П. Тригонометрические су^ шы и теория сравнений по простому модулю. М., МГПИ, 1973.

28. Дашкевич A.M. Одна аддитивная задача со степенями простых чисел. '^ Теория чисел". Воронежский гоо.пед.ин-т. Воронеж, 1980, т . 201. - 1^ 0 -

30. Дашкевич A.M. О представлении натуральных чисел в ви- де: /г -рч- YL п- . Сб. "Исследования ПО теории чисел". Саратовский гос.универс. Саратов, вып.8, 1979,