Аддитивные задачи в алгебраических полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Теорема о среднем значении тригонометрической суммы по гауссовым числам.

§1.1. Формулировка основной теоремы, фундаментальные свойства среднего значения тригонометрической суммы.

§1.2. О простых в прогрессиях.

§1.3. Вспомогательные утверждения.

§1.4. Основное рекуррентное неравенство.

§1.5. Доказательство теоремы .>.

ГЛАВА И. Оценка сумм Г. Вейля на малых дугах.

§2.1. Формулировки теорем.

§2.2. Сведение нелинейной системы сравнений к линейной системе неравенств.

§2.3. Оценка максимальной кратности пересечения областей.

§2.4. Доказательства теорем.

Глава III. Общая оценка сумм Г. Вейля.

§3.1. Разбиение области изменения коэффициентов многочлена на классы. Вспомогательные результаты

§3.2. Оценка суммы Г. Вейля на I классе.

§3.3. Оценка суммы Г. Вейля на II классе.

Глава IV. Асимптотическая формула для аналога интеграла И. М. Виноградова

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Здесь нами получена асимптотическая формула при Р —> оо для аналога интеграла И. М. Виноградова, то есть асимптотическая формула для количества решений системы уравнений где неизвестные . ,\k, /ii,. ,fik — целые числа из поля Q[i] (элементы кольца гауссовых чисел Щг]), причем NAS := |AS|2 < Р, N/ia < Р, s = 1,., п.

Эта асимптотическая формула основана на оценках тригонометрических сумм Г. Вейля по гауссовым числам. Центральным моментом.этих оценок является аналог теоремы о среднем И. М. Виноградова для гауссовых чисел. Полученная нами теорема, с одной стороны, является обобщением теоремы о среднем Виноградова в поле рациональных чисел (см. [7]-[8],[6],[10] -[13],[18]), а с другой стороны, она представляет собой специфический частный случай двумерной теоремы о среднем ([1]-[5]). Двумерная теорема о среднем имеет дело с многочленами, степень которых по каждой переменной не превышает п и, следовательно, этот многочлен имеет порядка п2 коэффициентов. Здесь же мы рассматриваем многочлен с комплексными коффициентами и поэтому имеем 2п независимых в вещественном смысле коэффициентов. В работе обобщается метод Виноградова при этих условиях. В случае, когда коэффициенты являются вещественными, полученный нами результат практически совпадает с известными результатами И. М. Виноградова (см. [8]).

Отметим, что дальнейшее развитие метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова получил в работах Хуа JIo-Кена [17], Ю. В. Линника [18], А. А. Карацубы ([10]-[13]), Н. М. Коробова ([14],[15]), Г. И. Архипова ([3] - [6]), С. Б. Стечкина [20], В. Н. Чуба-рикова ([24]-[28]), О. В. Тыриной [21] и др.

В полях алгебраических чисел метод тригонометрических сумм оказался полезным при выводе асимптотических формул в аддитивных задачах варинговского типа с помощью кругового метода Харди-Литтльвуда-Рамануджана в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова. Первые исследования в этом направлении провел К. JL Зигель в середине 40-х годов XX столетия ([39], [40]). Эти исследования были продолжены Т. Татудзавой ([42],[43]) и О. Кёрнером [35]. В этих работах впервые появляется теорема о среднем для сумм Г. Вейля в полях алгебраических чисел. После появления р -адического метода А. А. Карацубы доказательства теоремы о среднем, И. Еда ([31], [32]) получил теорему о среднем с параметрами, отвечающими результату Виноградова в случае поля рациональных чисел.

К. JI. Зигель выдвинул гипотезу о том, что количество слагаемых Gk(ti) (аналог функции Харди в проблеме Варинга для поля алгебраичеких чисел К) не зависит от поля К. Например, он доказал [41] , что пяти квадратов достаточно для представления любого целого числа в поле алгебраических чисел К. По существу, после использования метода Виноградова, здесь необходимо доказать положительность особого ряда и особого интеграла проблемы Варинга. Исследования в этом направлении были проведены Б.Берчем [30].

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Первая глава "Теорема о среднем значении тригонометрической суммы по гауссовым числам" состоит из пяти параграфов.

В §1.1 приводится формулировка теоремы о среднем, а также некоторые простые фундаментальные свойства числа решений системы диофантовых уравнений. А именно верна

Теорема 1.1. Пусть п, к, г — натуральные числа. Тогда, при к ^ пт, Р ^ 1 для числа Х{Р; п, к) решений системы (*) имеет место оценка

X = Х(Р; n, k) ^ п2п52*(120 к)2птР2к~5, где w 2 2 1n iv к = х(т) = 4п2т + пт2.

В §1.2 получены теоремы о попадании к простых чисел из арифметической прогрессии в промежуток (ж, 2х] при ж, превосходящем некоторую величину, зависящую от А; и разности прогрессии. Эти результаты в дальнейшем применяются при доказательстве теоремы.

§1.3 состоит из некоторых необходимых лемм, включая лемму Линника о количестве решений некоторой системы сравнений.

§1.4 содержит вариант основного рекуррентного неравенства Ка-рацубы (см.[22]) в форме, аналогичной соответствующему неравенству в случае рационального поля.

§1.5 посвящен доказательству теоремы о среднем методом математической индукции при помощи рекуррентного неравенства, полученного в предыдущем параграфе.

Вторая глава "Оценка суммы Г.Вейля по гауссовым числам на малых дугах" посвящена выводу оценки тригонометрической суммы в малых окрестностях рациональных гауссовых чисел, наименьшее общее кратное знаменателей которых превышает некоторую положительную степень длины интервала суммирования. Эта оценка зависит от результата теоремы о среднем и от оценки кратности пересечения указанных выше окрестностей. Введем некоторые обозначения. Мы рассматриваем тригонометрическую сумму вида где qs G С, А £ Z[i], Sp£ = 2Re£. На самом деле, в силу периодичности экспоненты, можно без ограничения общности считать, что а := (<*i,., а„) 6 Пп = ([0,1] х [0, — г])п. Всюду далее принято обозначение v — -. п

Положим Lk = P"fc/2, к = 1,. п и rs = р(*-°>5)/2, з = 1,., п. Представим коэффициенты многочлена /(А) = апХп + • • • + ctiA в

NA<P виде

08 . Os

Ois = — + |-j ) s I *£s\Ts где (3s,xs G Z[«], НОД(&,*,) - 1, 0 < |xs| < re> G C, |0e| < 1. Возможность такого представления основана на принципе Дирихле (п объектов в п + 1 ячейках) и является содержанием отдельного утверждения в тексте диссертации. Пусть So — наименьшее общее кратное чисел Х2, ., >сп.

Определим для ц G Щг] область П(/х) С С71 следующим образом:

ОД = {т? G П„ : \\Ъ - Г, (/*) || < \LsP~p, s = 1,., п} , где ГД//) — коэффициенты разложения разности /(Л + /i) — по степеням Л, ||£|| — расстояние от ( 6 € до ближайшего узла целочисленной решетки, ар — величина понижения в оценке тригонометрической суммы по малым дугам (см. ниже формулировку теоремы). Тогда верна следующая

Лемма 2.3.4 (о пересечении областей). Пусть д,//о £ Щ}]> п ^ 3, Р — натуральные числа, причем Р ^ 81(2те)16п. Тогда, если NEo ^ p0,5-o,2i/^ то flля q — кратности пересечения областей N/zs < Р с фиксированной областью f2(po)> N/iо < Р, верно неравенство:

G < 125й8пр0,5+0,4*

Центральным моментом данной главы является следующая

Теорема 2.2. Пусть п ^ 3 и ts = (\/P)s~0'5, для s = 1 ч- п . Каждое можно представить в виде

Р. , 9S as = — +

S Ts где ft, G Z[i], НОД (ft, xs) = 1, 0 < |xs| ^ rs, 9S G C, ^ 1, s = 1,., те. Пусть Но — наименьшее общее кратное чисел >С2,. — удовлетворяет условию NSo > Р0-5-0'2" и пусть р = 7, k = 8n2(lnn + 1, 5 In Inn + 4,2). к

Тогда Е

Sp/(A) С = 28пЧ11(п(гг+1)1п| + 1).

NA<P

Глава третья " Общая оценка суммы Г.Вейля" состоит из трех параграфов. Здесь также всюду применяется обозначение v = ^ при п ^ 4.

В §3.1 дано разбиение на классы точек единичного 2п - мерного куба 11^ = ([0,1] х [0, —которому без ограничения общности принадлежат коэффициенты многочлена в экспоненте. А именно, точка а принадлежит первому классу, если

1) as = £ + С , где ф8уи8) = 1, 0 < \(3S\ < W, Щ* < P~s+V, s = 1,., п.

2) Для S = НОК [xi,., хп] выполняется условие NH < Pv.

Все остальные точки Пп принадлежат второму классу. Далее здесь же показано, что область первого класса состоит из непересекающихся (при п ^ 4) 2п -мерных (в вещественном смысле) окрестностей рациональных комплексных чисел с малыми знаменателями. Такое представление множества точек первого класса применяется затем в четвертой главе при получении асимптотической формулы аналога интеграла И. М. Виноградова. В этом же параграфе приведены необходимые для дальнейшего оценки кратных тригонометрических интегралов ( [24], [25] ), оценки рациональных тригонометрических сумм в алгебраических полях [37], и леммы из анализа рядов Фурье [2].

В §3.2 получена оценка суммы Вейля на первом классе, а именно верна

Теорема 3.1. Пусть а — точка первого класса Qi. Тогда имеет место оценка

5(а)| < 79n(r(S))S^P(N5)-I/. где т(Н) — количество делителей Н. Если, кроме того, положить s то при 5, лежащем вне квадрата [—1,1]2 на комплексной плоскости, для любого положительного е < v справедлива оценка

5(й)| < MS))1» Р((па)|«|)-"|ггщ«|+2).

В §3.3. получены оценки для остающихся точек единичного 2п -мерного куба:

Теорема 3.2. Пусть а — точка второго класса 0,2- Положим rs = (VP) , s = 1 -т- п. Представим as G в виде t\s 1 х, s где /3S)HS <Е Щ, НОДxrs) = 1, 0 < |xs| ^ т5. Пусть S = НОК [щ, Х2,., яп], So = НОК [х2,., нп]. Положим также v — —, г(С) — количество делителей гауссового числа Тогда п

1) Если N2 < Ри, то

5(Й)| < 9 • 220 гс10 (12h + 5) (т{Е))*& P1~vT; (2.1) Если NS > Pv, NS0 ^ P0-5-0-2", mo

S(d?)| < 2ыЧп(п(п + 1) In J + 1 )P1~P, p=\, k = 8n2(lnn+ l,51nlnn + 4, 2); k

2.2.1) Если NS ^ Pv, NH0 < P°-5-°-2l/, S0 Ф 5 (\Z0\ < mo

15(3)1 < 45 • 220 n10(96n + 40) (r(S0))^ P1"^;

2.2.2) Если N5 ^ Pv, NH0 < P°-5-°-2l/; H0 = 5, mo

3)| < 150 n (t(Z))^ P1-"2.

Глава четвертая "Асимптотическая формула для аналога интеграла И. М. Виноградова" посвящена выводу асимптотической формулы при Р -> оо, где Р — произвольное действительное число, для интеграла 2(Р, та, к)

II-If £ «/ J J 1ЧТ \ i

ОД]2 [ОДР е{тгг Sp ii/i)A4-----\-{xn—iyn)Xn)}

NA <P

2k dxidyi . dxndyn, где n, к — натуральные, Sp£ = 2Re£.

Пусть x{p) — характеристическая функция отрезка [0,1/2], то есть - / 1 ' еСЛИ 0 ^ Р < 2 ' ~ \ 0, если \ < р < 1.

Выполняется следующая

Теорема 4.1. Положим для п > 4 р := 8n2(lnn+1.5lninn+4.2), Г := [2n In /?-1] + 1. Тогда при любом фиксированном натуральном k ^ пт и Р —У оо верна следующая асимптотическая формула:

2(Р, n, А) = + 0(P2k-n-^-»), где pi := пр = 8n(ln7l+1,51inin7l+4,2); и (с учетом обозначения das = dxsdys при as G С, Cs = xs - iy8)

0 = jj .JJ \V{al,.,an)\2kdal.dan, m2 i2

V(<*i, .,<*») = Jj X (2|^|2) dady, £ = s + ty, 2» 2 J

00 a —

Nxi,., Nxw=l 0<|/9i | < I*!I, .,0<|/S„| ^ M НОД (А, = - = НОД (Д,,

77 mod

Заметим, что подобная задача над кольцом Z целых рациональных чисел известна как проблема Терри. В [1] получено решение

Введение. 10 этой задачи для кратных тригонометрических сумм с целыми числами.

В заключение автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. Н. Чубарикову за постановку задачи, внимание и помощь в работе, а также профессору Г. И. Ар-хипову за советы и полезные замечания и к.ф.-м.н. М. 3. Гараеву за полезные обсуждения.

1. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н., Теория кратных тригонометрических сумм // Наука, Москва, 1987.

2. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н., Лекции по математическому анализу // М.: Высшая школа, 1999.

3. Архипов Г.И., Кратные тригонометрические суммы и приложения: Дис. .канд. физ.-мат. наук. — М., 1975.

4. Архипов Г.И., Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы // Мат. заметки, 1975, № 1, стр. 143-153.

5. Архипов Г. И., Оценки двойных тригонометрических сумм //Тр. МИАН, 142 (1976), стр. 46-66.

6. Архипов Г.И., О среднем значении сумм Г.Вейля // Мат. заметки, 23(1978), № 6, стр. 785-788.

7. Виноградов И.М., Избранные труды // Изд-во АН СССР, 1953.

8. Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, // М.: Наука, 1980.

9. Виноградов И.М., Основы теории чисел // М.: Наука, 1965.

10. Карацуба А.А., Основы аналитической теории чисел // М.: Наука, 1976.

11. Карацуба А.А., Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 30 (1966), стр. 183-206.

12. Карацуба А.А., Метод тригонометрических сумм и теоремы о среднем: Дис. . доктора физ.-мат. наук, М., 1966.

13. Карацуба А.А., Среднее значение модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 37 (1973), стр. 1203-1227.

14. Коробов Н.М., Оценки тригонометрических сумм и их приложения // Успехи мат. наук, 13 (1958), № 4, стр. 185-192.

15. Коробов Н.М., О тригонометрических суммах // ДАН СССР, 245 (1979), № 1, стр. 14-17.

16. Кострикин А. И., Введение в алгебру j j М.: Наука, 1977.

17. JIo-Кен Хуа, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел.— М.:Мир, 1964.

18. Линник Ю.В., Оценки сумм Вейля по методу И.М.Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. мат., 6 (1) (1942), стр. 41-70.

19. Стечкин С.Б., Простое доказательство теоремы Чебышева о простых числах // Успехи математических наук, 23 (1968), вып. 5(143), стр. 221-222. "

20. Стечкин С.Б., О средних значениях модуля тригонометрической суммы // Тр. МИАН, 134 (1975), стр. 283-309.

21. Тирина О.В., Новая оценка тригонометрического интеграла ' И.М.Виноградова // Изв. АН СССР, 51 (1987), № 2, стр. 363-378.

22. Чандрасекхаран К., Арифметические функции. — М.: /Наука, 1975.

23. Чебышев П.Л., Полное собрание сочинений, Том 1, Москва, 1944 с. 191-207.

24. Чубариков В.Н., Об одном кратном тригонометрическом интеграле // Докл. АН СССР, 134 (1976),стр. 1308-1310.

25. Чубариков В.Н., О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат. заметки, 20 (1976), № 1, стр. 61-68.

26. Чубариков В.Н., Кратные тригонометрические суммы: Дисс. . канд. физ. мат. наук, М., 1977.

27. Чубариков В.Н., Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы // Мат. заметки, 23 (1978), № 6, стр. 799-816.

28. Чубариков В.Н., Об асимптотических формулах для интеграла И.М.Виноградова и его обобщений // Труды МИАН, 157 (1981), стр. 214-232.

29. Bertrand J., Memoires sur de nombre de valeur que peut prendre une fonction quand un у permute les lettres q'elle renserve // Journ. de l'Ecolle Politechnique, 188 (1845), 123-140.

30. Birch B.J., Waring's problem in algebraic number fields // Proc. Cam. Phil. Soc., 5 (1961), pp. 449-459.

31. Eda Y., On the meanvalue theorem in an algebraic number field // Jap. J. Math., 36( 1967), pp. 5-21.

32. Eda Y., On the Waring problem in an algebraic number field // Seminar on Modern methods in number theory, August 30 September 4 : at the Institute of statistical mathematics, Tokyo, 1971.

33. Erdds P., Uber der Primzahlen gewisse arithmetischer Reihen // Math. Zeit., 39 (1935), Heft 4, p. 473-491.

34. Hardy G.H., Wright Ё.М., Introduction to the theory of numbers // Oxford, Clarendon press, 1954.

35. Korner 0., Uber Mittelwerte trigonometrischen Zahlkorpern // Math. Ann., 147(1962), pp. 205-309.

36. Landau E., Einfiirung in die elementare und analytische Theorie der algebraischen Zahlen und der Ideale // G.Teubner, Leipzig und Berlin, 1918.

37. Loo-Keng Hua, On exponential sums over an algebraic number field // Canadian Journal of Mathematics, bf 3 (1951),No.l, pp. 44-51.

38. Ramanujan S., A proof of Bertrand's postulate // Selected papers of S.Ramanujan (G.H. Hardy etc., eds ), Cambridge, the Univ. press, 1927.

39. Siegel C.L., Generalization of Warings problem to algebraic number fields //Amer. J. Math., 66 (1944), pp. 122-136.Список Литературы 93

40. Siegel C.L., Sums of mth powers of algebraic integers // Annals of Mathematics, 46 (1945), No.2, pp. 313-339. //Amer. J. Math., 66 (1944) pp. 122-136.

41. Siegel C.L.; Additive Theorie der ZahlKorper, II,// Math. Ann., 88 (1923), pp. 184-210.

42. Tatuzava Т., On the Waring problem in an algebraic number field //Jour. Math. Soc. Japan, 10 (1958), No. 3, pp. 322-341.

43. Tatuzava Т., On the Waring problem in an algebraic number field // Seminar on Modern methods in number theory, August 30 -September 4 : at the Institute of statistical mathematics, Tokyo, 1971.

44. Козлов И.М., К оценке тригонометрической суммы Г. Вейля в кольце гаусовых чисел // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Тезисы IV международной конф., Тула, 2001, стр. 74-75.

45. Козлов И.М., Теорема о среднем в кольце гауссовых чисел // Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии": Тезисы докл. Межд. Конф., Алматы, 2000, стр. 87-88.