...-адические и L-функции мотивов и модульных форм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

и 0 3 9 3!

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ Й

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ' ГОСУДАРСТЕЗШЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.754

доьжровски андхва

^ -АДИЧЕСКИЕ -ФУНКЦИИ мотивов и мод/ллрных ФОШ .

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

- *

Автореферат

диссертации яа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре выстой алгебра механико-математического факультета '»Лоскоеского государственного университета • имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-гматематических наук,

доцевт A.A.Панчишкив. Официальное оппоненты - доктор физико-математических наук,

С.Ы.Воронив,

кандидат физико-математических наук, ст.в.с. Ы.А.Щ>асыан Ведущая организация - Математический институт им. В.'А.Стеклова

РАН

Згг.ита диссертации состоится 1992г. в

16 час 05 мин. на заседании специализированного совета Д 053.С5.05 при Московском государственном университете им. U.В.Ломоносова по адресу: II9399, ГОД, Москва, Ленинские горы, МГУ, аудитория 14-08.

С диссертацией ыокно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этакЬ .

Автореферат разослан "(С '-' 1992т.

Ученый секретарь специализированного

совета Д 053.05.05 доктор физико-математических наук

В.Ы.Чубариков

I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

• 1 С I; ' >

- -—Шоцмвт и актуальность исслодоечния

Кубота и Лаолольдт1^ в 1934г. построили р-адичасхи,} аналог дзата-.рункции Римана. С тех пор класс [¿-¿ункц'-зй, допуска;-э-щих ^-адичаские варианта, постоянно расширяется. Удаюсь построить -р-адическиа аналогии для дзета-функции Дадэкннда сполпе вещественных числовых полой (Сарр) , для L-радон Дирихле таких полей (Дэлинь-Рибв), для L -рядов Гекко ими:.!их ксадрат-ичшх расширений Еполне Естественных числовых полой (Катц), кгя рядов Гекко, связанных с (обыкновенными) гильбертовыми иодуляр-ны«в формами (Ю.И.Машш), для свертки двух гильбертовых .модулярных форы (Ми Вин Куапг), .для симметрического КЕадрата параболической формы над полем рациональных чисел {А..А.Иаичиакин:, Ымидт), для стандартных дзета-функции форм модулярных Зихеля (А..А.Пая-чишкин).

Иуоя в виду эти примеры и .другие частша случаи, Xoyic а Пэр-рев-Риу^слогли в 1988г. сформулировать общуа гипотезу о сущест-■ вовании- ограниченных -р -одических мер ( f> -адическнх L -функ-дай), связанных с -р -обыкновенными критачзекима мотивами Hat полем рациональных чисел. Однако, они не смогла дать критерия существования ограниченных мер, связанных с мотивами: во многих случаях, когда мотив -допустим и не -j? -обыкновенный, мох- • но построить ограниченную -^-адическую L -функцию. Кроме того, вполне загадочным остагался обдий случай не -обыкновенных мотивов.

Ii Ku-botd. Т., UeojsoU-t НАМ. Е-Гке aitsc!ia Theorie <W Zeia.-

- werfe // J. rcl^e. «tv^ew. M¿dk. 2.14/-215* C'l 9$ 4) ^Э'З ,

2) CocCfe, J. o„ ^c L- fiLnctiohs // SeW^ В„^UUi, 1987-00 , №. 70-1 , M+eris^e m--f76 (1 300) М-5Ч.

В диссертации найден ответ на эти вопросы и приведены конструкции р-здичэских ¿(-функций, дополняющие вышеупомянутый список и доцтвервдащио сформулированные автором гипотезы.

Цель работы. Изучение возмокности распространить на класс критичэских не -обыкновенных мотивов конструкции (Ь-адачас- . ких ь-функций, попытки найти критерий существования ограниченных мор, связанных с мотивами и приведение конфетных конструкций в случае модулярных форм.

Метопа исследования. В работа используются метода р-ади-чоского анализа и диофантовой геометрии, а также ряд специальных конструкций. _

Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие!

1. В терминах ыногоугольвиков Ньютона и Ходка определен -^-инвариант мотива , обобщающий классический .инвариант Хаосе эллиптической кривой.

2. В терминах -^-инварианта Ър, найдева общая формулировка ги- • потезы о существовании £-адиЧеских Ь-функций умеренного роста, связанных с критическими мотивами,, .обобщающая результаты Коутса и Пэррэя-Риу.

3. Найден критерий существования ограниченных мер» связанных с-мотивами.

4. Наедена конструкция £>-адической ¿»-функции для гилтбертовой модулярной формы, обобщающая конструкцию Ю.И.Ыааана в. -^-обыкновенном случае.

5. Конструкция А.А.Ланчкшкина -^-адичоских симметрических квадратов модулярных форм над полем рациональных чисел распространена на не -р-обыкноввнный случай-

Все основные результаты: диссертации являются ноеыми.

Практическая и теоротическая ценность работы. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в диофантовой геометрии и -р-адическом анализа.

Апробация работа. Основные результаты диссертации докладывались и обещались на специальных ^семинарах по моду.гярным формам и -р -адическим L -функциям ка$едры высшей алге'Ьры -механико-математического .факультета МГУ и иеждународкой конференции по алгебре в г.Барнауле (1991г.).. г_

Публикации. Основные результаты диссертации содергчтся в работах автора 1-1 , спйсок'которыхпредстаЕлонв конце ре»«- ' рата. ' ' - '

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, ая- -ти глав и списка "литературы, со^ёрвавдго 39 .наименований. Ойъем диссертации 99 страниц. ' •

ОСНОВНОЕ СОДЖАМЗ РАБ ЛИ.

Во введении приедены мотивировки а кратксе- описание осьов-вых результатов диссертации.

Параграф I главы I содернвт сведения-по теории уотагас над числовыми полями. В 5 2 глз£ы I приведен вариант гипотезы Делает о периодах над.вполне Еещестгенным полем. Пусть мотив над

вполне вещественным полем р с коэ£1идаевтамв в поле Т . 5*е7р - все вещественные влокения поля " F , S^ - норма-

лизованная (по Коутсу) L-функция мотива M ;

ГиПОтезг.(МодифицироЕат>зя гипотеза о критических точках) 1.2.4. ■

Пусть (Л критичен е 5=0 . Тогда существует константы

определенные по модули Т* такие, что -если /м\ с

а(*.,м) (ю м) < • тт с ^^м) ,

тогда для любого целого числа m и характера Гекка конечного порядка у, таких, что кри-гичен в S«0 . в

£<г&) вуаеы f

В § Ь глаЕН I приведены результата по теории гильбертовых модулярных форм и операторам Гекке', необходимые для конструкций главы 5. Здесь toes подробно,рассмотрены едертка Галкина и пробные произведения (структура их L-рядов). § 4 глава I содер-еит необходимые- для -эпической конструкции сведения по -р--адичоскшграспределениям и допустимым мерам.

В главе 2 более подробно рассмотрев случай мотивов ыодуляр ннх фору. В § I главы 2 приведены замечания па-доводу конструкции иотлвов- оллаитическ;;х д:одуллрныхфор.^, .приведенных в послед изо врэ.'лч Янясаво« в Шолло:,!. § 2 главы 2 содераат гипотетическо описаний котива M(-f) г^гьбертогоЛ иодулярной $ор.\ш -f : оаидае

ся, что M¿f)ub-ear eqc W^-f * где Оч*--»-^ - тип -f , "t, - и»а

'i

ранг 2 над заданным вполне вещественным полем F , предписанно разложение Ходжа и систему представлевзй Галуа построенной неда но Ечазиусси, рогазским, : Тэйлором в други.мз.' Известно, что данная система представлении являемся мотпввой в том смысле, что появляется как подпрздетавлвние этальных.когоырлогий гладкого е собственного 'алгебраического многообразия над F

В § 3 главы 2 вычислены разложения Ходжа для конкретных те пов мотивов, связавнвх о:модулярными формами, тензорного произведения, тройного произведения, симметрической степени.

§ 4 главы 2, кроме напоминания результатов Шимуры•и Гаррео -Харриса о. периодах модулярных форм, тензорных, и тройных произз

дений, содержит проверку гипотезы о периодах для симметрической степени .мотива гильбертовой модулярной формы С..!-типа а вичисле- -ние периодов для тензорной степени мотива гильбертовой ,\;одулярвой формы. Результат в случав- тензорной степени обобщает вычисления Блазиуса^. Доказуемые результаты удается получить благодаря тому, что удается записать симметрическую степень (в случае формы- С;.!-типа) в виде прямой су/".а мотивов ранга 2 и I, отвечав- • щим "скрученным" модулярным формам и характерам Гекке. В случае тензорных степеней вычисления удается свести к симметрическим степеням и воспользоваться обобщенной леммой Делпня, позволяющей выразить :пераоды симметрической степени в терминах периодов исходной модулярной формы•

В глаЕе 3 определен класс мотивов Ходаа-Ввтта и введено а изучено понятие р -инварианта мотива ¿р.. В §§ 1-2 главы 3 введена понятия мяогогоульников Ходеэ а Ньютона мотива. Напомним пх определения, в частном случае мотивов над О, . ¡.'.ног^уголь-

• - ^

яик Ходжа строится ло рззлоаению Ходаа: пусть М ® С М ^

• . В • И *

• тогда вершинами многоугольника Ходха Рн 60 , являются точки

Vil J

т.е. .длина горизонтальная наклона I равна -kC'.j)-

Для определения многоугольника Ньютона рассмотрим локальней

-многочлен Ц(М,ХУ"4 = U Ьлф)Х + ¿¿Ф X1 .

•р -многоуольник Ньютона Р^бО мотива М - это по определению выпуклая оболочка точек Q. , i-01 L . Цусть ¿+(М) — - размерность прлс-части относительно заданной инволюции на реализации Бетти. Здесь приведены вычисления дня мотива гильбертовой модулярной ¿ормы и

BUs:« A^endUe \ь Orlaof VAlWs cf certain "tehSor fjrcAu-tfc' L-^u.hcticiv // Invert. 30 в 9 Й 7 ) 1 3 f- <1 8 8

ого симметрической степени, для тензорного и тройного произведения модулярных форм. В § 2 главы 3 Еведено еще двашкных понятия: мотив называется -обыкновенным., если многоугольники Ньютона и Ходка совпадают, мотив называется -допустимым, если

В § 3 главы 3 ВЕедейо понятие мотива Ходка-Витга: М называется мотивом Ходка-Витта, если максимальное "Ньютон-Ходк-разло-коиие" (т.е. такое, использующее все точки перегиба многоугольника Ньютона леаащие на многоугольнике Ходжа) является разложением состоящим из "атомов" следующих двух типов:

(а) простой наклон Ходжа

Нькотсн

ЪоЪ*

(б) существуют точно два очередные наклона Ходка и многоугольник Ньютона (па этом отризке) леаит над многоугольником Ходя?, но совпадая с ним (за исключением крайних точек).

Сладуывдя тооро;.:а является обобщением и переформулировкой замечательной тоорегы Катда4^:

Теорема 3.2. Пусть М^, (А^ - мотивы над Р . М<©Мг является мотивом Ходка-Витта тогда и только тогда, :согда один из них яеляотся -р-обыкновенным и другой является Ходяа-Витта.

Как следствие мокно получить нетривиальные примеры .-^-допустимых мотивов: М= М^)®Ь\(<£) t *£ -примитивные модулярные'формы над ИЗ, еосов ^>С , £ ^-обыкновенная.

В § 4 главы 3 введен фундаментальный £ -инвариант мотива

V

4) КоДге К/.М. Ок е-р £к ^.гсЛи^

г г

где Г^Д - целая часть числа се .

Доказывается неизменность при окручивании: 'Ъ.у, является обобщением классического инварианта Хассе эллиптической кривой в том смысле, что он различает обыкновенный и суперсингулярный случаи.

В главе 4 ©¿.эрмулирована гипотеза о -р-адическнх Ь -функциях критических мотивов в терминах -инварианта и дан критерий существования ограниченных мер, связанных с мотивами. В § I глэеы 4 фор мируется следующая

Гипотеза (критерий существования ограниченных мер):

Предполоким, что мотив М Ъ-допустим. Тогда для каздого

~ № £4=(е0>1Г)е существует -аналитическая функция Ь^

на "Эб Ивуп ^^ Ф-^ » такая, что

(О для Есех (кроме монет быть конечного числа) пар 751

таких, что мотив критичен в и

имеем

где А^С ) - некоторый р -мнокитрль,

СО если Мк, = 0 , то функция голоморфна и ограничена на

; в противном случае существует конечное поданохостео 5 с и целые положительные числа , 5 такие, что ^

функция tî с^ю'кю^ * ui m

голоморфна ц ограничена на Э?^ ..

(ш) Фуншцм lia 00 является преобразованием Меллина ограниченной меча* .

Это а есть как раз обобщение главного результата кз работы Коутса2^.

В § 2 главы 4, в терминах введенного -инварианта "fv^ формулируэтся общая гипотеза о -f>-адичесхих L -функциях критических мотивов: Основная гипотеза 4.2.1.

Для любого £в %"ft F существует Cj, - ана-

литическая функция Ьф^ на ^такая, что:. (() для эсех (кроме, ыокет быть, конечного числа) пар €

таких, что мотив МбОС^О ' критичен

в t-o и €.«>г » e^^'f^)** . имеем ,

Ц, У--Ï^^TT^ * —-

GO)* ™ Afc.M)

k к / ^

(il) если M ' =0 < , то функция Ьф) голоморфна на j

в противном случае существует конечное подмнокество и целые положительные числа , такие, что "V^^ qj^

функция .

• ТТ iw-^r^u^)

v"J голоморфна на ое^

(jli) голоморфная функция из С'О имеет тия преобразованием Меллина ^-допустимой меры,.

и является

[Ь/У.при ^ ^ Л (ширина критической полосы) ус-

юеия , Л) определяют функции 1-1ф) Одвозначяо.

В этом параграфе тоае сформулирована гипотеза о ^-одическом функциональном уравнении:

Гипотеза 4.2.2. Существует натуральная инволюция на кольце-псевдомер такая, что:

л См) - тМ- р- СмЩ

где Ёырааазтся в терминах периодов мотивов

М , МЧ?)

в ковстсыг в. функциональном уравнении для комплексной Ь-к/нкции.

•В § 3 главы 4 .приведена примеры ^-допустимых' мер, извест-ша в литературе а построенные автором в диссертации. Глава 5 посвящена конструкциям допустимых кар. В § I глави 5 приведена конструкция -|>-здической " Ь-^уш:-ции для гильбертовой иодулярной формы.- Дусть £ - примитивна: параболическая форма-векторного веса ^—»'■Ц,} относительно гильбертовой модулярной группы вполне вещественного л->-ля Р * Пусть - соответствующий Ь-ряд.

Г.Шимура доказав гипотезу,о периодах .для . В § I главы 5 построена {> -адическая . 1_. -функция типа о (и^У интерполирующая специальные значения Ь'($',-'?^)Ув'--'кРвтичвсквх'-<гоч'сах>'г^

V ^« ¿(ДО) ;-* -М^Л] ■.'

Архимедова часть конструкции основана на методе Ранкина: рассматривается свертка с подходящим рядом Эйзенштейна скалярного веса, определяется семейство комллекснозначных распределений параметризованных весом этого ряда Эйзенштейна и используется интегральное представление Ранкина .для свертки. Далее применяется оператор следа и оператор голоморфной проекции.(выше упомянутый ряд Эйзенштейна является неголоморрной функцией), теория

■ Аткина-Ленера (которая позволяет выразить распределения в виде " конечной комбинации коэффициентов Фурье подходящих форм) и тон. кий анализ явных разложений Фурье. Неархимедоэа часть основана

ва теории неархимедова интегрирования.-

Раннее подобная' конструкция над полем рациональных чисел приводилась Ы.М.Вишвком ' и была основана на теории модулярных символов. Случай -^-обыкновенных гильбертовых модулярных форм исследован Ю.И.Шяинны^.-

В § 2 1лавы 5 доказывается -J» -едвческое функциональное уравнение для -р -адической * -функции гильбертовой модулярной формы. Точнее, пусть -f £ Jf^(i.,ц/) '- параболическая

форм? у, - характер Гвккв ковечного порядка по модулю Ли. . Тоорема 5.2.1. , ku '

где '-0») " -адическая .L-Функция, построенная по форме .» - некоторая ховстанта.7

Дйя доказательства надо преобразовать "мотивнув" формули-

роазу основного результата из .§ I главы 5 с помощью архимедова

функционального уравнения й изучить поведение эйлеровских соыно

гетелй при переходе к "двойственному мотиву".

В § 3 главы 5 проверена освоения гипотеза из § 2 главы 4

Вишик U.M. Неархимедовы меры, связанные с рядами Дирчхле // . Мат. сб. т.99, 1976, 248-260.

^ Манин Ю.й. Неархимедово интегрирование и -адическиа

■ -функции 1аке-Ленглендса // УШ, т.31(1), 1975, 5-54.

в случае симметрической а тензорной степени мотивов типа. М(£) ~ где £- гильбертова модулярная форма СМ-типа. Существенным моментом является Доказательство следующей леммы:

Лемма 5.3.2. Цусть ^ (соответственно ) является -Ц -(соответственно ) допустимой мерой на Тогда

ЯЕЛЯ9ТСЯ ("Ц+^г) -Допустимой марой. Эта лемма позволяет доказать,, что рост построенной меры правилен* Случай тензорных степеней в этом случае сводится к симметрическим степеням.

В § 4. главы 5 конструкция А.А-.Панчилкинэ р -одических симметрических квадратов модулярных форм над полам раизонпльных чисел распространена на не -обыкновенный случай. Дусть -р--примитивнгя параболическая форма веса •{< относительно конгру-знц-подгруппы с характером Дирихле Ц/ по мо-

дулю- С , X характер Дирихле тоД /Ч .

Рассмотрим нормализованные [а -функциа & •

Теорема 5.4.0. Для любого целого числа с, с>-( , №е= 4Ср4существуют С^ -аналитические функции £ 0^) ! ^

/.2 сгЛ.и «Сй»)\

типа о ' ^ ) , антврполир..одие специальные зна-

чения . в критических точках, где

«Сф) > Р ф) ' ^сг^, рф) - обратные корни

локального -многочлена Гекка формы -(? . ^

Для доказательства записывается .цзета-Ь; нкц;:я -¿г в терминах свертки Ранкина М?,^,©^)} , где ©ф) ~ некоторый О -ряд полуцелого геса, и рассматривается интегральное представление для , б1^) . Неархимедова конструкция

основана на теории распределений и веархимэдовэго интегрирования.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.А.Панчиакнну за постановку задач и постоянное внама-

ние к работе.

Работы автора по теме диссертации:

1. Домбровски А. Допустимые мотивы и -р-адические Ь-функции . // Тезисы докладов по алгебраической геометрии и лримеяени- .

ям алгебры к геометрии, анализу и теоретической физике, Международная конференция по алгебре (Барнаул 20-25 августа 1991г.), Новосибирск, 1991, с. 52.

2. Домбровски А. -|з-адические Ь-функции мотивов и модулярные формы // Рукопись деп. в ВИНИТИ » 180-В92 от 16.01.92.

3. Домбровски А. Допустимые -адичаские -функции автомодных форм // Вастиик МГУ» сер.1. Математика. Механика, 1992, в печати. с

4. Домбровски А. Допустимые мотивы, -£>-адические Ь-функции и симметрические степени модулярных форм // Избранные вопроса алгебры, геометрии и дискретной математики (под редакцией А.И.Кострикнва, О.БЛупавова, С.П.Новикова), изд. МГУ, 1992, в печати.