Актуальные проблемы нелинейной теории трещин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДЛРСТВЕШШЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах руганной

ЛОСЕВА Ирина Мечиславовиа

Л KT У АЛЬ HU К ПРОБЛЕМЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ТРЕЩИН (ПЛОСКОЕ НАПЫЛЁННОЕ СОСТОЯНИЕ)

01.02.04. - механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ дinitieргпции на соискание ученой степени кандидата физико-математичеикнх наук

САНКТ-ПЕТЕРБУГГ 199 Р

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

НаучинА руководитель: доктор фиэико-катематических наук,

профессор ЧЕРНЫХ Климент и (1 ®еодосьеиич

Официальна: ошюнипм:

доктор физико-математических наук, профессор ГЕТН1ЮВ Сергей Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент СЬМЙЮВ Борис Николаевич

организация:

Институт проблем шлт.нсгсдетт ГАИ

¿шшпп состоится " //" __199;' г. в" /У "

чьа з.чсенании Специализированного совета II 053.57.13 по 1Г(тсум,чсш!П ученой степени кандидата физико-математических ипук ь Санкт-Петербургском государственном университете по

г.Слп;:т-Потсрбург, Старый Петергоф, Библиотечная пл.

С диссертацией можно ознакомиться в ¡кучной библиотек« UÜÓÍ7 lio адресу: г. Санкт-Петербург, Университетская наб.,д.7/9.

Аьторефорат разослан " $" Л_1992 г.

Уч.1ный секретарь слз^лапкзированного совета К 0u3.57.I3 Нарбут'Ы.А.

!■!• М'' - 3 -

I

"м I. ОШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■.к .р'.ацг.З 1

"ТЛ. Актуальность теми. Прочность реальных твёрдых тел существенным образом зависит от наличия в их структуре различного рода дефектов, обуславливающих концентрацию напряжений. В результате высокой интенсивности напряжений в окрестности верпины трещины наступает или пластическое течение материала, или распространение хрупкой трещины. Изучение этих явлений и определение предельно допустимых внешних нагрузок представляет большой научный и практический интерес.

За последние десятилетия устоялись основные представления, гипотезы и концепции теории разрушения. Однако, основные результаты теории трещин получены либо на базе линейной теории упругости, либо геометрически линейной теории пластичности, имеющих в сетей основе предположения о малости деформаций и поворотов. В та же время, наибольиий интерес представляют окрестности особых точек Св нашем случае - концы трещин), в которых зти предположения заведомо нарушаются. Развития нелинейной теории также требу ет и широкое применение в народном хозяйстве конструкционных материалов с нелинейными механическими свойствами (высокопластические металлы, полимеры, резина и т.д.), для которых необходимо учитывать при расчёте конструкций большие повороты и дефортции.

Наиболее важным в практическом приложении нелинейной теории является поиск аналитических и численных решений соответствующих нелинейных краевых задач, исследование влияния учёта геометрической нелинейности на характеристики напряжбнно-дефор-тровннного состояния.

1.2. Цель' работы. Целью работы является:

-.исследование с учётом геометрической, нелинейности особенностей напряжённо-деформированного состояния плоскости (плоское напряжённое состояние) из несжимаемого модельного материала в окрестности сингулярной точки;

- выявление "в чистом виде" влияния геометрической нелинейности при больших деформациях на характеристики предельного напряженно-деформированного состояния;

- построение нриблил:ёичого аналитического решения задачи о рютяйгении бесконечной плоскости с щямолпнейнш рчч^.'зои из не сжим нем ого пел ин еПно-уп ругого м ате | >ийпп ;'

- сопоставление полученных теоретических результатов с экспериментальными данными, опубликованными в литературных источниках,. по разрушению материалов, а тагске проведение авторских экспериментов на образцах из резина.

1.3. Научная новизна: ■

- для линейного материала специального вида получены точные аналитические решения для линейной и геометрически нелинейной постановок задач; сопоставление этих решений дало возможность выявить влияние геометрической нелинейности в чистом виде;

- с использованием метода наложения малых деформаций на большие получено приближённое анш!итическое решение физически и геометрически нелинейной задачи о растяжении плоскости с разрезом.

1.4. Практическая ценность результатов заключается:

- в получении картины разрушения при больших деформациях;

- в оценке влияния учёта геометрической нелинейности на характеристики напряжённо-деформированного состояния;

- в получении приближённого аналитического решения физически и геометрически нелинейной задачи для пластины.

Нц защиту выносятся следующие результаты:

- оценка влияния учёта геометрической нелинейности на характеристики напрляённо-деформированного состояния в окрестности конца трещины;

- уточнение критерия страгивания трещины при комбинированном (сложном) нагружении;

- выяснение "механизма излома" трещины при комбинированном нагружении для больших деформаций;

- приближённое аналитическое решение физически и геометрически нелинейной задачи методом наложения малых деформаций на большие;

- экспериментальная'проверка полученных теоретических результатов.

Апробация работы^

Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела (СПб университет), на 4-ой научно-технической конференции по методам расчёта изделий из вксокоэластичных материалов (г.Рига, 1986), на Э-ей Всесоюзной конференции по нелинейной теории,упругости Сг.Сыктывкар, 196?), на XXII (г.Новгород, 1990) и

-о -

ХХУ (г.Старая Русса, 1991) Всесоюзных семинарах "Актуальные проблемы прочности".

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах •

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации составляет 143 страниц. Список литературы содержит 126 наименований. Материал диссертации иллюстрирован рисунками и 4 таблицами.

2. СО;ЕКЛНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теми исследования, формулируются цели диссертационной работы и даётся кратки;! обзор работ в области теории трещин. Отмечаптся работы по вопросам близким к теме диссертации отечественных (Г.И.Баренблат, В.М.даль, М.Я.Леонов, . .Лихачёв, Е.М.Морозов, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Осадчук, В.В.Панасюк, В.З.Партон, С.В.Петинов, Г.ПЛерегтнов, Л.И.Слепян, К.Ф.Черных

и зарубежных (Д.Гриффите, Орован, Ирвин, М.Вильяме, М.Кассир, 1а.. йаПо, Г.Си, И.Сиеддон и др.) ученых.

3 главе I приведены необходимые зависимости нелинейной теории упругости в удобной для практического использования комплексной форме. Для выявления влияния геометрической нелинейности используется упругий потенциал

дающий возможность получить точные решения нелинейных краевых задач. Здесь х4ix., , ж- + - комплексные координаты материальной точки до и после деформации; £3* , Л, - константы материала (в то же время <э* - величина предварительного всестороннего (в плоскости) условного напряжения).

При принятом упругой потенциале имеют место следующие выражения для величин, характеризующих напряжинно-де.^ормиротпнное состояние тела:

•_ б -

г слог,ну с нпп ряжсния

истинные напряжения "линейные" напряжения

функции *?(£) = Эг/Эг; и определяется из ре-

шения соотистствуских краевых задач (из граничных условий).

Во 2-ой главе рассматривается эталонная задача о всестороннем растяжении плоскости с прямолинейным разрезом

ос^ & ) (рис.1) из материала, отвечающего уп-

ругому потенциалу (I). Для этой задачи имепт место гюничныэ условия и решение по нелинейной теории

где

В линейной- теории с'учётом предварительного напряжения имеет место граничное условие

из которого следует

V' а V?1О^ • •

2 к* ¿у» г •

Полученные решения позволяют сделать сравнительный анализ лмптотических выражений дпя: истинных напряжений

¿слоеных напряжений

^ ССГ ■ /МГгМ1-^ (2)

1) "липе^нх" напрптитшй

г?. № -г к - гоь г 1п"л

11 -1. ■ а

- О -

Сургестлишо, что для условных и линейных напряжений особенности горпадаят V -1/2). Истинные напряжения имепт более сильную особенность (-1). Кроме отого, в отличии от условных и "линейных" напряжений, истиннее напряжения зависят от констант материала. Асимптотические выражения "линейных" и условных напряжений опре-г.мяптел коэффициентами интенсивности напряжения СКИН) К^ и

К,

(

К, и

К,

). Условные л;е напряжения содержат не-

линеШпю г.омбшашш КЯН.

^ 411

О

-а

^ и5*

+ а X!

ИГз»

рМУ

г®

Х2 ^--ч^

/

\ У зс.

лк _^

Рис. 2

При растяжении плоскости (рис.1) усилиями

С>И « б* + б"( + ^ ,

в^ё^мСАб'^ евь2^ + ч ^¿-тГр) ,

^ оа £,со * <а! . \ .

би ^ б1а~ <5 (1- ч) с« р

прямолинейный разрез ¿¿дет переходить в кривую с параметрическим заданием: по келинеЯ1[ой теории

00

А

по "линейной" теории

Т.е. учёт геометрической нелинейности влияет на форму деформированного разреза.

При деформации "косой" разрез принимает форму повёрнутого на угол 9 (рис.2) эллипса. Угол поворота и длина полуосей эллипса различны в линейной и нелинейной теориях. При несимметричном растяжении вераина трещины не является вершиной эллипса (рис.1-2), она.как бы "соскальзывает" по дуте эллипса. Для случая симметричного двухосного растяжения нелинейная теория даёт круг, а по линейной теории трещина переходит в вертикальный разрез ((4)-(5)).

В Э-ей главе анализируются основные критерии хрупкого разрушения, используемые в линейной теории. Основное внимание уделено комбинированному (сложному) нагружению типа 1 + 11, при котором, как бы, имеет место излом трещины. Показано, что применение критерия максимального окружного напряжения к рузульта-там, полученным по линейной ((З)) и нелинейной ((2)) теориям, приводит к различным результатом. В первом случае имеем систему критериальных уравнений •

которая позволяет найти езязь между Кх и Кк (рис.3), значение критической нагрузки (рис.4) и значений критического угла

По нелинейной теории получено критериальное уравнение

{

- "^Гс ' » а Фс т.е. страгивание

трещины происходит вдоль материального волокна ф О, продолжавшего трещину в недефор^ированном состоянии (рис. 1-2). Значения критической нагрузки приведены на рис.4. Показано, что наблюдаемый поворот трещины реализуется за счёт большого поворота окрестности вершины трещины. Так материальное волокно ф с0 поворачивается на угол ф . , который в вершше трещины сос тавляет . ц< = - алс^ / Для случая одноосного растяжения ( ^ =0) при 0*-—»0 - у = - , т.е. выполняется так называемое правило "большого па-тьца руки", согласно которому, трещина страгивается перпендикулярно направления действия силы (рис.1-2).

Б главе .ГУ рассматривается задача о всесторонним растякенли пластины с разрезом/ нелинейно упругий материал которой (несжйн», ■ емый и изотропный) отвечает упругому потенциалу

Предполагается, что в "бесконечной"- сплошной пластине, рак сягиваемой нагрузками и Рь ,' прилоаишпыни пц бесконеч-

ности, реализуется однородное (. (^зс^ , -

и - кратности удлинения) напряжённое состояние. Счи-

тается, что внесение разреза вноснт незначительное изменение • е-ото напряжённое состояние, и, ооотвстстиенно, ыо.. но использовать теорию наложения малых деформаций на сольане.

Вносимое разрезом возмущение характеризуется векторов & г = Ьзс». © 5. Ь'х^е^ - С учетом малости ото го вейтор! »нютем* ¡изризаицих уравнений физически и геометрически нсдинейн'Л! теории тонких пластин линеаризуется в ощестпосги адшцолнош нап рькенного состояния. Введение величии (1,1 -I,?)

^ ЭЛ; -йП, ' • ЪЬ . Ч

которые не зависят от и , для случая однородного

напряжённого состояния являются постоянными, являются частными производными от упругого потенциала по , , В = Л4Лг

н А= Л^ , взятыми с учётом того, что декорационное

изменение толщины находится из условия несжимаемости С-ГЦ^-Д^ Лг ), позволяет записать систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных для 8зс4 и 5> оса в ■ следующем>ч?иде

ф + ? ф ^^ + /ф з а п

Сб>

(Ф -г.д а ф\ +Ф +ф эг&дса._ п

Граничные условия на берегах разреза С \г толикна недеформи-рованной пластины):

= 0 при | ¿Д? а

При этих граничных условиях построено аналитическое реиение уравнений (б)

Коэффициенты С^ , ■ ( I , £ =1,2) выражаются через

Фд , и . Проекции векторов Т 4 на ось ,

а вектора на ось зса (вектор! усилий, действующих в сре-

динной поверхности пластины) определяптся из соотношений

Т..= 11

р + ф Э^яч ^ ф Э&гса ^ Эгс4 ч

( 1= 4,аУ

Проведён анализ полученного решения. Показано, при деформировании разрез переходит в эллипс с полуосями, длины которых зависят от материальных постоянных, входящих в упругий потенциал. При симметричном двухосном растяжении при больших деформациях разрез по своей форме должен бить близок к кругу, а при. одноосном растяжении при достаточно больших деформациях происходит "переориентация" осей эллипса. При двухосном растяжении возможно образование зои сжатия в малой окрестности вершины разреза, а при одноосном растяжении . -вдоль.всего разреза. Это, можно, как показано в работе, рассматривать как потерю устойчивости плоской формы равновесия пластины.

В главе 5 даётся краткий обзор имеющихся экспериментальных данных по хрупкому и квазихрупкому разрушению различных материалов и их сопоставление с теоретическими результатам«, полученными по линейной и нелинейной теориям.

Характер разрушения при больших деформациях каасриала изучался автором в экспериментах на резиновые пластинах с разрезом. Основной целью экспериментов являлось качествннное подтверждение полученных теоретических реэультагое. Наряду с атим сделаны и количественные оценки некоторых характеристик напряжённо-деформированного состояния.

В работе дано описаний образцов и оборудования (для двухосного растяжения была изготовлена рамка, преобразующая одноосное растяжение в двухосное), излагается методика проведения экспериментов.

Были проведены эксперименты и на сплошных образцах (без разреза). Эти экспериментальные данные по двухосному и одноосному растяжению были обработаны с помощью метода взвешенных наименьших квадратов, что позволило определить упругие постоянные образца в используемом упругом потенциале для резинопо-добных материалов.

Основными экспериментальными результатами являются: кая при двухосном, так и при одноосном растякении образцов разрез практически принимает форм» эллипса; при растяяении ''косого" разреза наблюдается поворот эллипса и смещение вершины разреза по дуге эллипса (рис. 2), а траектория разрушения предмпр-дяет собой плавно изогнутую линию (излом огеутетьует).

Рис.3 Рис.4

Для случая одноосного растяжения образцов с нормальным разрезом эллипс переходит в окружность при относительных деформациях 50 %. Дальнейшее увеличение деформаций сопровождается "переориентацией" осей эллипса вплоть Сесли ранее не происходит разрушение) до фактического "охлопывания" разреза. В окрестности разреза часть пластины выходит из плоскости (образуется складка) сразу же после начала растяжения.

Разрушение некоторых образцов при одноосном растяжении наступает при относительных деформациях 2/2. %, а при двухосном - 10 %. Некоторые из испытуемых образцов .не разрушались ни при .. ттосном, ни при одноосном растяжении во всём диапазоне исследуемых деформаций (до 350 Й.

3 заключении формулируются основные результаты работы:

- показано, что учёт геометрической нелинейности оказывает существенное влияние на характеристики нааряжённого состояния

в окрестности конца трещины;

-с учётом нелинейности дано уточнение критерия страгивания трекины при комбинированном нагрукении;

- еля случая больших деформаций выяснен "механизм излома" трегчинн при комбинированном нагружении;

- в рамках теория, наложения малых деформаций на больике найдено приближённое решение физически и геометрически нелинейной задачи о растяжении пластины с разрезом для случая несжимаемого нелинейно-упругого материала;

- получено экспериментальное подтверждение основных тео-

ретических результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Колпак Б.П., Пралич И.М. Длинная мембрана при больших деформациях.- Труды I Всесоюзного симпозиума "Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика". Кутаиси, 1986, с.290-293.

2. Колпак Е.П., Пралич И.Ы, 0 динамическом поведении длинной мембраны из резиноподобного материала.- Статика и динамика гибких.систем. М., 1987,. С.178-186.

3. Лосева И.Ы. Одиночная нелинейная дпеклинация.- Тез. докладов 3-ей Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости. Сыктывкар, 1989, с. 29.

4. Лосева И.М., Черных К.Ф. Нелинейный критерий нормального отрыва.- Вестник ЛГУ, сер,1, 1991, №2, с. 79-82.

5. Лосева И.Й. "Ревизия" лин<$юго критерия разрушения.-Материалы ХХУ Всесоюзного семинара "Актуальные проблемы прочности", т.2, Новгород, 1991, с.26-28.

11П1Л "КУРС.1 .Зак.3-16СТ.-92.