Алгебраическая К-теория некоторых однородных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ОЕТЕРБУРГаСЙ! ГОСТДЛРСТШйМ! УНИВЕРСИТЕТ

Па правах ргкоппои

1ШШ Иван Александрович

ШдаЛИЧЕСКЛЯ К-ТЕОИН НЕКОТОШХ ОДНОРОДЕН МНОГООБРАЗИЯ

01.01.05 - натематичеокая логика, алгебра и теория чиоел

Автореферат

даосертащш яа еоиоканпе ученой отепеня доктора физико-математячеокгос наук

Санк т-Латербург-1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Мате-шгачоокого шотитуга ии.В.А.Стеклова Российской Академия наук (Е(Ш).

Официальные оппонент:

доктор физико-иатематыческшс наук профаосор А. С.Меркурьев доктор физико-магемаппооких наук профеооор А.В.Мшсалев доктор физико-математических наук профоосор В.И.Якчввскпй

Ведущая организация: Математцчеысий ннотитут имени В. А. Ст ендова РоосяйокоИ Академии наук

Защита ооогоигоя 1995 гожа в //

чаоов на ааоедашш дассерт&шонногб совета Д 063.57.29 по зас[ита диооертащгИ на сшскашт ученой отопени доктора фгзико-датадатичеоких наук в Санкт-Петербургском государственном университете.

Адрео ооввта: 198504, Санкт-Петербург, Старый Потергоф', Библиотечная пл., 2, Математико-мехадаческнй факультет (ИсЯУ.

Защита состоится яо адресу: 191011, Санкт-Петербург, набережная реки Фонтанки, 27 (ПОШ), вал 311,

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ш.Горького по адреоу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан ^ ИС&дуО, 1995 года.

Ученый сзкроггрх. дисоортащюнного совета Д 063.57.29 доцент

С.Ы.АнаиьевскиИ

Цель работы. В диссертация вычисляется алгебраические К-грушш оледущих классов алгебраических многообразий: (а) однородных проективных многообразий (и шс форм); (в) одноовязных полупростих алгобранческюс груш; (о) главных однородных пространств над такими группами. Ответы даются в терминах K-груш полупростшс конечноморных алгебр. В частости, доказывается, что группы Гротевдика алгебраических векторных расслоений на таких многообразиях являются свободными абелевыми группами конечного ранга.

Актуальность теш. С одной отороны, многочисленные приложения пионерских вычислений Д.Квиллена (1972) п Р.Суона (1936) показали, насколько ваана точная иН(5орыадая о К-груп-пах однородных многообразий. С другой сторона, общеизвестная в топологии роль вычислений А.Борелем обычных когомологий того ке класса многообразна (над R и С ). Наконец, повышенный интерес к этой темз спецпалпстов из смезшых о К-тео-рией областей алгебры, - всс это указывает на актуальность темы. '

Научная новизна. Для многообразий всох грех указанных выше классов построены полупростые конечномерныо алгебры и изоморфизмы, отоздеотвляивде К-груплы этих многообразий о K-группами построенных алгебр. Ранее аналогичные результаты были известны лашь для неособых квадратичных гиперповерхностей л форм обычных грассшшпшнов (в классе (а)), для форл специальной линейной и симплектичеокой групп и для всех рао-щепшк групп (в классе (в)), для главных однородных пространств над специальной линейной и сш.шлекгической группами (в классе (с)).

В работе развиты дна новых метода вычисления алгебраических K-групп: I) разложение диагонали шш "мотивный подход", П) 'Принцип расщепления". Первый яз этих методов является "классическим" для других теорий когомологий, но в К-теории ранее не применялся. Название второго указывает на его родотвеннооть классичоскому пршщгпу расщепления из топологической К-теорпп (в обоих случаях преследуется цель -

упростить отруктурнув группу посредством подходящей замены базы расслоения (не обязательно векторного)).

Практическая ценность. Вычисления, проделанные в работе, могут быть применена для получения точных формул редукции индексов простых центральных .алгебр при расширении скаляров, для вычисления различных инвариантов алгебраических многообразий, (групп Пикара, керазветвленных когомологий, К-когомологий и др). Развитые методе могут быть использованы дая вычислений алгебрапчоокпх К-групп других классов многообразий (например, многообразий Шткфеля-Уитни).

Апробация работы. Результаты диссертации составляли содержание пленарных докладов на Международных конференциях по алгебраической.К-теории в Обервольфахе (1993) и в Парике (1594), на конференциях по квадратичным формам в Асконе (1991), в Санта-Барбаре (1992), в Лшани (1994), в Билефель-де (1994), на алгебраическом семинаре кл.Д.К.Оадцеева в ПОШ, на алгебраическом семинаре в ЫИАНе, на семинарах университетов Парше УП, Орсэ п др.

Объем работы. Дисоертация содоряит Ш страниц машинописного текста, состоит из введения и двух глав, разделенных на параграф. Библиография содержит 47 наименований.

Краткое содержание 'диссертации

Б первой главе вычисляется к-группы проективных однородных многообразий. К этому класоу многообразий относятся провктпвныэ пространства (и их формы), неособые квадратичные гиперповерхности в проектаваш пространство (и их форш), ■ граосманавы многообразия всех к-морннх линейных подпроот-ранотв фиксированного п. -мерного линейного пространства (и их формы), лагранлевы многообразия всех к -мерных линейных подпространств данного а -мерного квадратичного пространства, на которых Фоша тождественно равна нулю, й др.

Первый пршвр таких вычислений - теорема А.Гротендака (доказанная одновременно оо введением понятия К-груш). Эта

теорема утверздает, что причем базноем слу-

жат тензорные отепенп (от нулевой до (п-1) -й) линейного тавтологического раослоения на Д.Квиллен в работе по основаниям высшей алгебраической К-теории распространил это вычисление на старшие К-грунпн и, более того, вычислил К-грушш форш проективного пространства (многообразия Севери-Брауэро алгебры ). Ответ: К#(2ВП)^К1((Р)© К*(!>)©... ... ® .Если Г> - алгебра матриц порядка ъ ,

то ее Н-группы равш 1С-группш поля Р , и мн получаем К-тео-рлв проективного пространства. Р.Суон распространил это вычисление на неособые проективные квадратичные гиперповерхности. Он доказал, что Кч(.Ху)~ Кн(С,,(<р)) где С0(у) - четная часть алгебры Клиффорда квадратичной формы <р . В 1989 г. автор диссертации и независимо М.Левин, В.Шринивас и Д.Уэйман шчиолшш К-грулш внутренних форм граосиеновшс многообразий:

ЛСК«№-К) '

где оЬ пробегаот все диаграмм Юнга из прямоугольника кЧм-к) , и где (=¿1- количество клеточек в диаграмме Юнга

Основным результатом Главы I является следующая (см.12.4) Теорема I. Для каждого однородного проективного многообразия X. существует некоторая полупростая Г -алгебра А н элемент обеК0(Х, А"'') такие, что гадоморфхау умножения на «с

У* К#(А)—!>к*(х)

является изоморфизмом.

Гомоморф! змы согласованы о расширениями скаляров, о произведением многообразий и о локальными коэффициентами. Более точно,

(1) Кл(Ае')^;>К),(Хр) поородством умножения на для любого расширения полей Е/Р ,

(2) К,(А,® (Х1« Хь ) посредством ,

(3) К* (А®3) Э) посредством умножения на

о£ для любой конечномерной полупростой алгебры .

Эти свойства штекают на точной формулировки .теоремы I, приведенной в 12.4.1 (см.Теорем 1У ниже). Чтобы получить более конкретное представление о теореме I, рассмотрим следующие

Примеры. Пусть Оу^, $ ~ пео°сбое квадратичное пространство размерности Zn■ , пусть Ж=(-1)п'гп~1)/г-- зна-, ковый дискриминант (¿ор;.ш у . Пусть к - полоаитольное целое число, строго меньшее п. Обозначим через й0( алгебраическое многообразие, точки которого - это шокество всах к -мерных подпространств V/ пространства , на которых форда у тождественно равна нулю. Пусть

Е-РЧ^] /(Ьг-сО и пусть С„(у) - четная алгебра Клиффорда форш у . Тогда

г кде)ефК,СС,(/,

где а = 2«. С,, , С = •

где - биномиальные коэффициенты. Если Е ■= Г » Р , то

шогообразиа соотоит из двух компонент связнос-

ти, скааем, С0+Ск.,у) и йОТи,, у} и К-теория этих многообразий задастся следуоцими изоморфизмами

Если СД> 6) - простая центральная алгебра степени 2.П, с сзмллоктической инволюцией 6 , то обозначим через

йР (2,к, А) многообразие, точки которого - это правые идеалы 1 алгебры А такив, что = й

Xе. ] =о . Тогда имеет место изоморфизм

К,(СР(*к, А))а К^Р)^ © К*(А)*,

где ГД0 ^ -

целая часть.

Другие примори рассматриваются в § 10 Главы I. Перейдем сейчас к изложения метода первой Главы. Мотивннй подход. Основан ira наличии естественного гомоморфизма K0(x»Y)—>Hem-(K)(Ck'),K#(Y)) , что позволяет рассматривать элементы K,CX»Y) как операторы K,(X)~*K,(Yl . Сформулируем ключевую лемму (см.Глава I, 6.5)-. Ключевая лота. Пусть Y - гладкое проективное многообразие и А - конечномерная полупростая алгебра над F . Если Лв К, (Y, А0|>), jjeKofY, А) удовлетворяют соотношениям

(») K0(Y*Yb

(*й) ^ (ot®p^> =[ A3 л Кв(А,р® А) . Тогда гомоморфизмы

у? ■ К„(У)-^К,(А) О

являются взаимно-обратными изоморфизмами.

По существу вся Глава I посвящена нахождению алгебры А ' и элементов об п р для проективных однородных многообразий. Б некоторых частных олучаях эту проблем можно решить, используя явную конструкцию резольвенты диагонали.

. Рассмотрим сойчас общую задачу. Пусть G - одпоовязная F-расщепленная алгебраическая группа, и пусть 9 - ее параболическая подгруппа, и G/P . Известно, что -проективное.'Пусть R(G) ', R(P) - кольца представлений СиР , пусть ( Т) V KfC^S") - группы Гротендшю G -одаородных векторных расслоений на S" и &» & . Пусть 2 - центр группы G? и пусть Ç = G/Z ~ (фактор-группа. Т.к. Z тривиально действует на , то

к,® с у»?)« ©к® (У-у, тс),

R(Ê>) = ©R^(P) , R.(G) = © R*.fe) : где % пробегает вое характеры группы Z . Более.того,

Определение. Будем элемент аейСР) называть однородным, если он прлнадледит одному из слагаемых Й^СР). Справедливы следу идя о фундаментальные факты

(1) КвсС5')гЯСР)еК(с:)н'

(2) К? СЯв^К^^вКв^кУ)

(3) существует однородный базис а_д,.. Щ-модуля к(В) . Сейчас ш готовы построить Д , и р . Выберем однородный базио , -. •, ^ ' £(<3)-иодуля КС £>) . Обозначим через а£ (¿"I,.. .тп>) соответствуете по (I) элементы

К? (3") . Теперь (2) позволяет найти е Г)

такие, что ^ ас 0 = И в К® (У«?) . Изоморфизм

К^ (Зг)ай(Р) согласован с разлсаешими по характерам, поэтому аг. - однородны. Поэтому и -8; - однородны, причем а; И ^ , как и СОд! принадлежат тривиальному характеру. < Теперь шберем VI е Кср^Сб) - нетривиальное представление и положим А; = Тогда

^¡Ы^С^А:), причем

следовательно, в К® (з^У") • Полоким

Тогда выполнены соотношения (Н)' АВ^вС^З в

<**>' в .К?(ДТ«рА).

Если сейчас р - любой коцикл со значениями в (лСР*) и X - форма ¿Г , осотвегствупцая ¡~ , то окручивая А, и с помощью р , получаем

(к)" в К/Х-Х),

ш" л к, Са(Г)*г®гагг)) •

Таким образам. Ключевая лемма доставляет основную теорему Главы I.

Теорема П. Наддай однородный бавно сц,. ..> а№ йСб) -мо,нуля. задает алгебру А= Пи элементы

л. I обладающие оледущш свой-

ством. Для любого к -коцикла ^ оо значениями в 5СР) гомоморфизма

являются взашно-обратнши изоморфизмами.

Отеки особо, что для того случая, когда -коцикл р, скручивапдий , ледит в самой односвязной группе С , имеет место каношгаескяй изоморфизм ксхлец

Поэтому каздш! базис о^,..., а^ йСС) -модуля К(Р7 задает изоморфизм К^р^^К'.С?^)) градуированных абелевшс групп. Этот частный случаи выглядит как прямое обобщение одной теоремы .Л тья и Хирцебруха, утвервдащей, что в олучае Г- <Е имеет место изоморфизм колец

Рассмотрим подробнее факты (1)-(3), сформулированные шае. Отметш, во-первых, что и&оморфязм К^('Зг)в Р> индуцирован переходом от раослоешя Е к его слои над точкой ее 3" , соответствующей нейтральному элементу е группы б (см.§1). Изоморфизм Ш^вКСС)* называется теоремой Питти (1974); Существовании однородного базиса ' ЙЙ)-модуля ЙСР) на обязаны Теореме Стейнберга (см.2.10). Наиболее интереоным из утверздений (1)-(3), на наш взгляд, является утверждение (2) выше, которсз есть не чт иное, как формула Кшнета. Ин доказываем (2) в § В. При этом используется

глуйокая теорема Хулсеркера (см.8.1), утверпдаюцая неооо-бость R(C)-6íinnneiiHc3 бсрш

> RCC)

Используется разлозодио Брюа, Лемма 7.1 и определения ыогишой категории из § 6.

Алгебры вида А (г) описываются конструкцией Титса (§ 3). Класс а груше Брауэра зависит только

от Я , причам «ь-> CA^C^-fleBrí Р) задает гомоморфизм Титса

Hem ("2, О —'>Bfíp'.

§5 II, 12 посвящены распространетю теореш П на случай произвольной формы X многообразия ST . Для этого необходимо шеть базис RCCl -модуля RfP) ' не только однородный, но и AntCDyiw -инвариантный, где Au-t(v^) - группа автоморфизмов Диаграммы Лишшна группы G . Оосмулирожа основной теоремы по существу не отличается от формулировки Теоремы П.

• Вторая глава по свячена К-теории одлослязннх долупроотнх алгебраических груш и главных одаородних пространств над такиш rpynnai.ni. Простейший по формулировке результат - это олодуицая (см.5.2)

Теорема Í. Шеот место канонические изоморфизмы

K.fOs'Z, K.(X)--Z.

Более того, для любой конечномерной простой алгебры Т> канонические гомшорфизми

K„(D1->K,(G,D), K.CD)— К.(Х,ТЭ)

является изоморфизмами.

Следствие I.

1) Кольца PCS] я PCX] факториальны (хорошо извест-.ниВ факт);

2) Естественный гомоморфизм Ьг(И—*BrÍF(X))

инъективен;

3) Если1 Ъ - тело центральное над Р , го и -

тело. F°°

Первым примера.! таких вычислений явились следующие замечательные результаты Л.Суслина и независимо 1.1.Левша. Они доказали, что для любой простой центральной Р -алгебры А имеет моото изоморфизм градуированных абелевых груш

где оуьмлрованио ведется по всем яоследовательностш i...<t,.<dejА . Каколоц, ШЛовин доказал, что

K„(G) = "почти внеЕшяя алгебра над K,(F*)

поровденная элементами С^З,. .

где соответствует фундаментальному пред-

ставлению л,-: G —- ) группы G (сейчас G рассып*).

Мы сгрош (см.9.1, 9.2) по кавдому неприводимому представлению «t: G —>CL(v) элементы Cjff)]еK/GCf), A([-)'f) , где A = E«<f(V) . Когда «С пробегает фундаментальные представления jll,. .. ,cLn группы Q , тогда получается набор элементов «t4 ({-),..., ¿^.(р) . Для каадой последователь^ " ности l<ij<... <£(,,< и- ( tt(G) ) тлеется элемент

<Vr>-• •ü Vr>e

где Aj-^^-A^Cj-)®. .. . Первый из двух основ!Шх

результатов главы П - это (ом.3.1 п 9.3)

Теорема П. II К„_ГСАМ)

для любого ¿-коцикла f оо значениями в Р) , прячем на 1чл слагаемом гомоморфизм задан правилом и. ¿^(р&и

Более того, для любой конечномерной полупростой F -алгебры X) шоет место издаор^зм

i 1

Второй основной результат Главы П утверждает (ом.5.1 п 9.7) аналогичный изоморфизм (о теш se алгебра;-,ni) для любого главного однородного пространства "X над группой CCf) , где f снова принимает аначения в G(P).

Конкретная форла этих результатов - творена 5.1 перечисляет ещв (см.5.4) и алгебры Ajf), t^if), ■ ■A*,(f) для всех простых, а затем и для всех полупростых алгебраических групп.' Приведем здесь список алгебр для классических групп.

(1) Если Gij-^SLi,

а « то

Vr^A, Vr>« А32, А9^'.

(2) Если G(f) = SpCn.(y)) Jim(f)*Zn-*l , то At<rhF, • • - , A^Cf)« F, AJr)=C0ty),

(3) Если G(f) = 8pin(<}.) , dùnC^zn , то W-r, AJr) = Г,. .., F, V/rl-Cfy), kfrKfy,

(4) Если GCf-bSpfe.^) , то

Vfb В, AJ^F, . . AJf)- В или F.

в зависимости от того ft - нечетно или четно.

(5) Если GSpOv(A, е) , где А - алгебра с ортогональной инволюцией 6 п dejiA) - четное число, то

Ах(гЬА, F, Àâ(j-)= А, ■ ••, A^.Jjfb А „л« F, АИ.ГС, Ал=с;.

В этом описке алгебр С,(у) , С,(<$.) - четные части алгебр Юшффорща квадратичнюс форм у и f , С^(ц-), С* (у.) простые компоненты алгебра Cety.) • а с„ f Сё ~ простые компоненты четно2 алгебры Клитйорда с„(А «О алгебры с ин-волавдей (А,б). '

"Принцип расщепления". Сейчас и» собирается сфор.1улиро-вать ооноввой технический прием Пшвн П. Пусть Az,.... •• • > At,- полупростие ишочншзрше F -алгебра и пусть Y -

многообразна над патом Р. Пуоть oiL с КпС> (У, Д^), т^е

Пуогь К,аЧТ) = К#(Т,А.), К^(Т) = Х/Т**Г) и пуоть С^ЗТ : К,(Т, Al)~> К,СТ«"У) задано пра-

вилом и. . Тогда имеет место (см.§ I)

Теорема ('Принцип расцепления"). Пусть Н - полупростая алкбранческая группа над F а 7С- главное однородное ■ И -пространство. Тогда следующие условия равносильны

(1) pL UJr : © К^Г££/Г)-»К^ГТ) - изоморфизм . для всех Т ,

(2) ¿U;L: Ф К,, (lge)~>к+(%) -пзомор-

¿»X c=i г

физм для всех расширений поле!! Е/Р таких, что ЖЕ)*/.

Это утверждение ре,дуцпруст (си.5 10) теорему Е к той ситуация, когда - i -ноцшиг р тривиален. В этом олучае

Поэтому в этом случае георема П совпадает о теоремой Левина. Это доказывает теорему П. Утверждение о К-теориц главных однородных пространств доказывается по этой ае схеме.

' РАБОТЫ АВТОРА ПО ТШЕ .Д1ССЕРТАЦШ

1. Панин И.А. Алгебраическая К-теорпя граосманновых многообразий и их скрученных дори. - OA и его прилож., 1989, Г.23, выл.2, с.71-72,

2. Панин И.А. Принцип расщепления и алгебраическая 1С-теория некоторых однородных многообразий, За п.научн.с емин.Л0Ш, 1991, т.198, 0.49-64.

3. panln I.A. On algebraic K-theory of generalized flag fibre bundles and some of their twisted forma, pp.21-46, in Algebraic K-theory (ed.A.A.Suslinl, Advances In Soviet Math., Vol.4', AMS, Providence, R.I., 1991.

4. Panin I.A. On algebraic K-theory of twisted flag varieties, K-Theory, 199$, Vol.8, no.6, p. 5ki-£ Й5".