Алгебры овошенной суперсимметричной квантовой механики: деформации и топологические индексы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

российская академия иду к ' м^шмлтичюскии институт ¡ш.в.л.сткклоил

; с А11 KT- петер су р гс кое ОТДЕЛЮ! пнз

На :tp;mu.:< рукописи УДК 517 4- Г>11.SÍ

ИЛЬИНСКИЙ Кир ял1:! Никопасп-.п

ЛЛГЕПРЫ ОЕОШ.ЕШЮИ < "VIH р < ; ! I M M ET P î PI t i O ¡i

Ii ПА i ¡ТО ВОЙ M1 : X' A ПИКИ: ДЕФОРМАЦИИ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ

(iU.OL.tr>. -- иатсизлга-чппка»! фипика)

Длторяфср.ч.т диссертации на соиска.Ь2<? учеыой стслоя! коядядата '{|:г:эико-|.;.чтемчл\и vocicх rrti.vK

слнкт-иетербург

1 шл

РаботавыпокЕсиа в лаборатории математических проблем статистической физики Саяхт-Петербургского отделения Математического института. ям.В.Л.Стекпова Российской Л к дешги ааух.

Паучипй руководитель: доктор фиоико-ыатеиатк'чсо-

ких ггаук Попов 13.11.

Официальные oiruoneitTu:

до KT op ф и и н ко- ы ате и ат а ч с с-ккх наук Матвеев В.15. к андидат ф п о «ко-и arc м а.ти -ческих наук Ктиторов С.Л.

Ведущая орган.иоаи,ЕА:

Саккт-Петсрбургский госу-¿г а.р ci Í3 с zir и £ ун iiiK'pciíTci' г. С анкт- Петер бу р г

Занята состоится пЦ" optiya.& ígoit в IS часов на [заседания стециализироваииого совета Д.002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении: Математвческого института :ш, В.Л.Стскноаа Российской Академик паук. (г.Санкт-Петербург, наб. ¡.'.Фонтаны, д.27, коми.311).

С диссертацией иожяо ознакомиться в библиотеке ПОМП.

Автореферат разослал "13" (р-Х lSÍ&r

Ученый секретарь спецяалипироиаиного совета доктор фии.-натсм.наук профессор

Л.П.Осколков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Су и ер сип метр«'! I г ад КЕантопяя теории является аппаратом, удобным длл построения аналиоа. з бесконечномерном пространстве (1]. При отом сунерснммстрпчнып га-и.члътонп&и Н свшал! с супероарядон С}, играющим роль оператора. Дирака на пространстве поте-ть, соотно/иенмем П ~ С}2, Идея подобного рассмотрения, нриидд.чоклгцэя 3. Виттену [2, 3, 4], была фактически реализована, в работах А.Джаффе с сотрудниками [5, 6, 1). В «тих работах исследовался случай, когда супср-саотенццал / жвлвется гошточмаяшой функцией боронного гюзд. Однако аиаляо сулере.аммечпячннх теорий поди, н лнклеа любых воаимодействующих сястем с бесконечным часлом степеней свободы, является хранив сложны». Поэтому леопходама "ягоора-торня", в которой можно было бы па более простых примерах увидеть уже найденные качественные эффекты, свойственные сложным сяс-темам.

Кроме того, суперсимметричная квантовая механика пожог акл-оатьсн полезной при формировании нового вогллда на "старые" конечномерные оада.чп. Примером воонихновеннз тагого иопого взгляда может служить работа [4], в которой получены кдассячс-С1яе неравенства Морса, используя суперспмметрячность оператора Лапласа на дифференциальных форыах л работа [7], и кото-рож подучена георема Атьи-Уингерадня классических *ям»ае»го», причем расяичиым компаексаы отвечают раалячные супер симметричные Ш1В0ЛЮДИИ. Это пок^ывае" так же важность и статна интгшднв сулерсимметричного гамильтониана, отмечавшейся в [8]. Именно инволюции определяют тот множитель, с которым число иояь-код входит в андехс, а свойство их антихоммутацви с супероарядоы приводит к топологвчесюй устойчивости инпскса.

Длл постороення более сложных, чем мндигс Блэтсна, индексов длл суперсимметричных гаыильтонаанон, естественно рассма гри-вать на раду со стандартной инволюцией (-1)'"' МРУП'е (допоя-нигельные) кньолюцни, готорые бы опреце^лв ра/июженим пространства состояний и влса, с юторыми неоОходямо брать чи-. ела ноль-мод для достижения топологической ус! ойчиности новых

индексов. Поэтому представляется актуальным обобщить понятие алгебр суперсимметричной квантовой механики и перейти к алгебрам обобщенной суперсимметриченон квантовой механкгл (GSQM - алгебры) со мнопша ннвотоцккмп {г;}, которые лпбо коммутируют, либо антотоммутируюг между собой п ап тиком-мутируют с супероарядом СЦ.

Цель работы. Целью работы является введение алгебр обобщенной супер симметрия (СБС}М) со многими инволюциями, описание структур их реализация, введение на основе этого новых топологических индексов, саманных с дополнительными инволюциями, а также установление ездой СЭС^М-алгебр с деформациями алгебры расширенно суперсимметрячной квантовой механики.

Научная ноагона. и практяческаа ценность. В длссертадаи по-

лучены следующие основные результаты:

1. Введены алгебры обобщенной супер симметричной квантовой механики и описана структура их представлений;

2 Вьедены связанные с СЗС^М- алгебрами топологические индексы;

3. Построена супер симметричные квалтовые гамильтонианы на римановых поверхностях с произвольным мероиорфным су-перпатенциалом;

4. Показало что оти квантовые гамильтонианы являются вЗСЗМ-

гаипкьтоппангши н вычислены СЭрМ- индексы; *

5. Построена ^ефориадия расширенной супер симметричной -квантовой механики на основе q- суперподевого формалнома

н продемонстрировала слазь с СБф-М-аягебрами;

Полученные результаты позволяют «¡зфекгивно использовать дополнительные дискретные симметрии супер симметричных квантовых гамильтонианов и получать с их помощью новые теоремы об индексе.

Апробация работы. Результаты работы докладывалась на научных семинарах IIOMH и в процессе работы семестра им.II.И.Лобачевского ММЙ им. Эйлера (Сашх - Петербург 1992).

Публикации. Результаты ¡гиссертадви опублкховантл » изтл работах, приведенных в конце автореферата.

Структура н объем работы. Диссертация состоит ira впеденшГ, трех глав, оажптения и трех приложений и содержит 117 страниц машинописного теиста. Бнблиогр&фйа включает 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ведении приводится хратюе описание кр;угаэадаг1, рассматриваемых в диссертации, дается о6«on литературы, формулируется цель работы н дается кратюе положение структуры диссертации по главам.

В первой главе введены и исследованы алгебры обобщенной суперспммстрнчной талтовой механики. В параграфе 1 обсуждается мотивация введения дополнительных суперсямметричных ин-везпоцин. ii параграфе 2 алгебра супсрсимметричной квантовой механика переписывается в форме, более удобной для дальнейшего обобщения. В параграфе 3 вводятся алгебры обобщенной (в уиком смысле) суперсимнетри'шой квантовой механики со многими коммутирующими инволюциями

Q = Q+, П = т+ = г"1, =

IÏ = Q2, [Я,g] = О \И,г,\ = J, t,j = 1,2,

н описывается структура их реалноадяй. В параграфе 4 приводятся примеры обобщенно суперснмметрнчных квантовых гамильтонианов. В одном но примеров рассматривается евлоь обобщенной (в узком смысле) суперсимметрии и расширенной суперсим-метрнн. На основе этого рассмотрения вводится понятие алгебр обобщенной (в широкой смысле) суперспмметричной хвантопой механики с несюлыими попарно коммутпр. югцими или антиком-мутяруклцимя ннволюцьлма сак обобщенно расширенно супер-симме i рнчнай квантовой механики и обобщенной (в уагом смысле)

&

• суперсимметрнчной квантовой механкзш. йспольоул дополнительные инволюцнн, я параграфе 5 дад обобщенно суперсиеmстри ч-ных гамильтонианов строятся топологически устойчивые индексы:

Утверждение 5.1 GSQM- индексы

md(ll,rit) = Sr{П, cr?"), Vf > 0.

топологически югеаркаитны, если к - нечетное число.

Утверждение 5.2 Обобщенная (в уоком смысле) супер симметрия на гильбертовом пространстве H может быть редуцировала s обобщенной (в уохом смысле) супзрсимметрии на подпространство Н.

Дм тажях суперсимметричных редужщщ определяются GSQM-иидехсы, которые тоже сказываются топологичеехг; стабильны.

GSQM-iî)îa«'cli даются выражениями в виде некоторого суперследа. Это позволяет написать ддл них представления в виде континуальных интегралов, км это было сделано [9] дня индексов классических ешпштвгческгос комплексов.

Во второй главе рассмотрены N=4 суперспммстрячные га->.ги:",го1Ш"1.чы с мероморфньшн суперпохснцлашшн ira аомгшт-ных римановых поверхностях как достаточно простой, но нетривиальный геометрический пример СЗС^М-гамнльтонлакоЕ. В параграфе 1 приводится обоор лягермури по сулер симметричной квантовой механике с мероморфшдм суперштенциалом. Б параграфе 2 построена сулерсигшс.грдчиая квантовал мехавжа с произвольным мерешорфньш супер потенциалом на рпманапых поверхностях, которые рассматриваются я&к кодеровы миогообраоия, еввлвдошс на бсоюшчностн и полюсах суяериотищнапа. Много-обр&опе шшывается евклидовым пабесконечности в точха-к ..,гп, если существуют такие открытые окрестности Од точех г,- и диффеоморфизмы ф{ окрестностей Од \ {г;} в открытые множества СВ[К {и е С u |> Ri} на комплексной паосхоста, что па каждом Оц метрика есть прообр-т еьхлидозвой ыотрнза на СВп. посредством 4ч. Тахио многообраоия уже иошшкеш при рассмотрении cyfiepcuMMGTpu'Utux теорий, & именно нрк построении суперсимметричной теории р;»гхе?наа ¡8].

fi

Длл мероморфного суперпотчнциала. fiz) на Ми (. полюсами н точках ,гч} ç \fu определяется су1.'е]>и:ц>яд Q? на гладких

дифференциальных формах с компакпшм со отношению к бесконечностям (т.е. несахпагмпцкнцнм точек бесконечное!ей) носителем ЛC(/U)s- 9 \*{М\,М = jVf0\{2i,...,?»} как деформированный ы о

оператор Долъбо

Qc = ду = Л +■ V , где <) - ftdzA и V - Ц&Лхл.

lîpïf этом самосопряженный суперозряд тсортг С? имеет вид:

Q+ = Qf , Q-я (Q?y = (Q-*y , Q=-cr^Q-

Супериарядм + оэмкпутм п пмеют плотные области определения DiQ*) , АС(М) С D(Q*). Кроме того 0.

В параграфе 3 уводятся 1,г - шгомолпгпп, порожденные супер нарядом Ov н доказывается липло! теоремы Ходжа: Теорема 3.3

1. (ИтЫк(Л(У)) < го , Л(и) = Q--

2t Существует самосопряженный компактный оператор G па A2(^f) такой, что

Л,( M) = Кег{Цу)) фQ+[Q 'СЛ/))© Q'G{Q+Л-ДМ)J оСновыпансь на Лемме 3.2:

Лемма 3.2 Оператор Д(У) имеет компактную резольвенту.

В параграфе <1 описывается структура лространггиа ноль-мод суперспмметртгчного гамильтониана и нычнснястся индекс Ннгтена по отношению к стандартной инволюции (-1)*-": •

Теорема 4.3 Индекс Виттена длл (улерсимметричного гамильтониана. П — ¿i(V') относительно стандартной ииволюшш равен числу критических точек с.уиерлоч-«!«цп;>яа /(-) (г. учетом их кр^г-ЬОС.ТП) со минус.

ого-» »ниекс rtw»«wvac)tjd •iepiri i <.awaran>;.'»i!'! xapani «ps»n «te«; чар«»; <:р;гтиху Ол.ъ:ра ком на* гною жп.гооор и «■.тлп«*т. В1:".орч поль<ч,в :нУ.{>фе|'—1П1нл.!:> cv'.vpurr-'f UiV-h:

Дн И \< -.-¿<цП

В таком шде втот результат зваиется непосредственным обобщениям [5], [б]. Кроме того, этот фагт может служить иллюстрацией. кавестного принципа, согласно хоторому ноль-моды появляются благодаря либо топологически нетривиальной геометрической ситуации, либо сиигуиярностлм.

D параграфе 5 описываются дополнительные инволюции и вычисляются соответствующие индексы, испольоуж Теорему '1.3.

Так при дополнительных условиях на мероиорфный сунерпо-тенняал таких как условие клениовостм

7T*7=/(¿)

ели определенной четности, лояьлл ются дополнительные инволюции типа комплексного сопряжения и смены онаха. Топологические индексы, свяоанные с этими дополнительными инволюцшшн, вычислены в теоремах 5.2, 5.5, 5.7 и (замечаниях после теорем. В оаключепди параграфа 5 покеаано, что в случае GSQM симметричной системы с нечетным суперпотенциапом гамильтониан A(V) является не только суперснмиетричным, но и парасуперснм-метричкым, т.е. выполнены соотношения алгебры пар асу пер сен-иетрачиои явантовои механган (PSQM)[10, llj.

В третьей главе рассматриваются деформации алгебры расширенной суперсимиетрпчноя квантовой механики (ESQM). Они связаны с алгебрами рассматриваемыми г лервой главе. Если перейти ох набора инволюций обратно я набору супероарядов:

. - Qo = Q = ir,Q ■

то алгебра операторов будет иметь вид:

{<Эо,<М = 0 ,' {Q¡,Qj} « 26¡iQl или [<?¡,Q;] ~ 0 i,j « 1,... ,п

Это ничто иное tas деформация алгебры расширенной супер симметрии:

. {Q i,Q¡)= 26ц Н .

Третья глава- устроена следующим обраоом. В первом параграфе описывается евлоь GSQM- алгебр с деформациями ESQM-

алгебр и проводится обоор литерагуры. В параграфе 2 построен

»

q-cyт¡cpпoлeвoп формализм (т.е. введено поле, оаданное не на обычном пространстве - времени, а на q-¡\e<|)opмиp0вaшI0м суперпро-стралстве) и группа преобразований q- суперпространства. При »том локааано, что ото пространство можно рассматривать как градупрованхно- коммутативную алгебру. Это приводит к тему, что компоненты суперполя принимают виачения в белее шнрохен, но тоже градуирозашга-жоимутатшшой алгебре. В »том же параграфе используя метод, аналогичный стандартному сулерлоле-вому методу, строятся ч-суиерсимметричный лагранжиан и обсуждаются сохраняющиеся величины. После квантования полупенные б параграфе 2 сохраняющиеся величины становятся супер-оарздамн к удовлетворят"1 соотношениям; алгебры (¡-ЕЗШУ. В параграфе 4 обсуждается свяоь рассмотренной теория с парас.у-перстшетркчнон шланговой мехадшея [10, 11], однако делается ото не гак хаз в работе [12]. Описанный в параграфе 4 подход сгорев является обобщением л "ф копта схим" объяснением [13]. В параграфе 5 в хачестае простейшего примера рассматривается а-расшпренпыв суперсимметричный гармонический осциллятор. Используя этот пример в'качестве найодящего, в последнем параграфе формулируется к докалывается теорема об общем виде ^-расширенно суперсиимстричного гамильтониана. В частности, показывается, что расширенно супер симметричные гамильтонианы (ЕБрМ гайлльтонналы) обладают не 'тояъко ЕЗиБУ, но и цеяьш семейством симметрии' (о-ЕЗиЗУ), которые параметр яоу-зотез числом на единичной окружности. Кроме того, доказывается теорема о связи ЕЗрМ- и ларасупер симметричных гамильтонианов к показывается, что з-расшярешю супер сямметрачшло я ОЗС^М- гамильтонианы являются хак бы воанмно допошхяющнмц объс£ташг.

В оакточешгп сформулиропалш результаты диссертация я отмечены нсхоторис нерешенные оадачн, решение которых могло бы служить продолженной представленной дасеорт.шлокмн работы.

В приложениях собраны часта, не юшедгане в оснонпон тс*ст чтобы не прерывать основную шиш» положенш, но имеюсье т-

Р

ноередг.твешюе отношение < предмету. IVe, в приложения 1 описывается суперглшмьгрпчпаа квантовал цехаипка на о г {><-ше и на oc.Jioise отого доказываются леммы АЛ к А .2 главы 2. В приложении 2 обсуждаете* ьианол:нип физический смысл q- частиц, р&ссы&тршшодых в главе 3 и приложении 3 собрали формулы q- деформированной расширенной суперсиммотричнай ж рантовой иехалилн, не вошедшие в основной г tier главы 3 ио-оа csoeii гро-шю д*о<:ти.

По материалам дассертанки опубликованы следующие работы;

1. Борисов И.В., Ильнискиаг К.Н., Уодиа В.М.: Обобщенные алгебры суперсшшетричиои хвгштовой механшш., ТМФ т.94

т, (тз)

2. N.V.Borisov, K.N.iliiifiki, V.M.Uzdin: Generalized вирегвутте-try and new topological indexes for quantum GSQM- and ESQM-Hamiltoniaiis., Phys. Lett. A 169, 422-426 (1992).

3. K.N.Ilmsii, V.M.Uzdin: Quantum auperspace, q-exlended raper-eymaietry and paiasupersymmetric quaatum mechanics, Mod, Phys. Lett. A 8, N28, 2657 (1993)

4. N.V.Borisov, K.N.Ilmski, V.M.Uzdin: Quantum group particles and paraatatiatical excitations., PbyeLett. A 160,427-432 (1992).

5. K.N.Iliuski, V.M.Uzdia: Note to physica'sease of Quantum group particles., Phys Lett. A 174 17ft-181 (1993).

I^HTPtipyeMaa aerrepaTypai

{1] Jaffe A.r Heat Kernel Reclamation and Infinite Dimensional Analysis, in Cbmrtructjw Quantum Pieid Theory, Canadian Mathematical Proceedings, J.Feldman and L.Rosen, eds., Amer.Malh.Soc., Providence, l!>88.

(2) Witten K.: Dynamical Breaking of Supersymm^try., Nucl.iJhy9.B 188, 513-554 (1981)

)

[;ï] Wittcn B.: Constraints on supersyminctry breaking., NucI.Phys.B 202,25.-5-316 (1982)

[4] Witten E.: Sapmymractry and Mor-io Theory., J. DiiT. Geom.17, (>'0'l-f>92 (1982)

[5] .biffe A., Lesniev/sld A., Lev/enstein M.: Ground state structure in supersyinmetric quantum mechanics. Ami.Phys. 1 78, 313-329, (1987)

[6] .lafFe A., Ler.niewski A.: Sapersynmietric field theory n.nd infinite dimensional analysis., Proceeding of the 1987 CargTe sammer School, t' Hoofc,G. o.t ai.(cds)

[7] Alva,re.i>Gauine L.: Supersyrnmctry and the Aliynh-Singer Index Theorem., Corturmn.Mnth.Phys. 00, 161-173 (1083)

[S] Borisov N.V.. Mailer W., Schrnder 11.: Relative Index Theorems and Stipersymiwtric Scattering Theory., Com-mun.Math.Phys. 114,470-513,(1988).

['jj Cceotti S., Gira.rck'Ho L.,: Pnnctional measure, topology and dynamics] supersymrnctry breaking., Phys.LeU. 110 B, 3942 (1DS2)

[10] V.A.Rubnkov, V.P.Spiridonov, Mod.Phys. i.ett. A. 3, 1337 (198S).

[11] ,I.Becker;?, N.Debcrgh, Nacl. Pliys. B 340, 7G7 (1900).

[12] A.T.Filippov, A.P.Isacv, A.B.Kurdikov: Para^rassmann analysis and quantum groups, Mod.Pliys.Lett.A 7 2129

(am)

[13] J.Bcchcrs, N.Debergh, J.Phyn. A 21, 1,597 (1991).

5.1 0.93r. U:ik. 1(33-100 l'Tlî HK CH1ITR0, Mockohckhu rtp.26