Алгебры, удовлетворяющие кососимметрическим тождествам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи УЖ 512.55, 512.57

ЗУБРИЛИН Константин Анатольевич

АЛГЕБРЫ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ КОСОС1ШЕТРЙЧЕСКИМ ТОЗДЕСТВАМ

Специальность 01.01.06 - "Математическая логика, алгебра и теория чисел"

Автореферат • диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре высшей алгеоры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Ю.П.РАЗШСЗЮВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор С.В.ПЧЕЛИНЦЕВ

кандидат физико-математических наук, в.н.с.

В.Т.МАРКОВ

Ведущая,организация: Институт математики Сибирского отделения РАН

Зашита диссертации состоится 1994гI,

в 16ч. 05 мин на заседании диссертационного совета Д 053.05.05. при Московском государственном университете по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аул. 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

.Автореферат разослан

££ НО&ИрЛ

1994г.

Ученый секретарь диссертационного совета Ж 053.05.05,

профессор' , .

В.Н.Чубариков

Актуальность теш. Общеизвестна взаимосвязь между структурой алгебры и ее тождествами. Достаточно вспомнить теорему Брауна- Ке-мера - Раэмнслова о радикале конечно порожденной PI-алгебры. Наряду с тождествами алгебр все более активно рассматриваются тождества представлений, или слабые тождества [1].

Одним из важных классов тождеств являются кососсмметричес-кие то:гдества, среди которых можно выделить тогсдества Капелли произвольной сигнатуры, слабые тождества Капелли пар (представлений) алгебр произвольной сигнатуры и стандартные лиевы тождества.

Впервые тождества Капелли были введены в рассмотрение Ю.П.Размысловнм в связи с решением проблемы радикала;конечно порожденной Р1-алгебры [2] (см. также [3]). ■

Важной структурной характеристикой алгебры является представимость. Основы теории представимости были заложены А.И.Мальцевым в 1943 г. [4]. В работах Ш.Амидура [5], Л.Смолла [б],

1. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989. ........ "

2. Размыслов Ю.П. О радикале Джекобсона в PI-алгебрах// Алгебра и логика. 1974. т.13. КЗ. с.337-360.

3. Размыслов Ю.П. Алгебры, удовлетворявшие тождественным соотношениям типа Капелли// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. т.45. М. с.143-166

4. Мальцев А.И. 0 представлениях 'бесконечных алгебр// Ма.тем. сборник. 1943. т.13. £2-3. с.263-286.

5. Amitsur S.A. A non-commutative Hilbert basis theorem and subrings of matrices// Trans. Auer. Math. Soc. 149(1970), p. 133-142.'

6. Small L.W. An example in PI-rines// J. Algebra, 17(1971), p.434-436..

К.Прочээи [7], Р.Ирвинга [8] были предприняты попытки найти достаточные условия для представимости конечно порожденной ассоциативной алгбры, удовлетзоряюшэй всем тождествам. некоторой (матричной алгебры. Представимость ассоциативных Р1-алгейр к их многообразий изучалась А.3.Ананьиным, В.Т.Марковым. Представимости неассоциативных алгебр посвящены работы М.В.Зайцева (алгебры и супералгебры Ли), С.В.Пчелинцева (альтернативные алгебры), К.Прочези (алгебры со следом) .

Представимость в |п-меряой алгебре влечет выполнение тозк-дзотв Капзлли порялкат+1, обратноэ не верно.

Структурная теория алгебр конечной сигнатуры, удовлетворяющих тождествам Капелли, над полем нулевой характерисики построена Ю.П.Размысловш [3], в том числе получено обобщение классических результатов Голдш [9,10] о структуре нетеровых ассоци-.ативных полупервичных алгебр и их колец частных на случай полупервичных алгебр конечной сигнатуры, удовлетворяющих тождествам _ Капелли. ... ' ...

.7. Procesi C. Rings with . polynomial identities. Dekkef, N.ï.,1973.

8. Irving R.S. Affine Pi-algebras not embeddable in matrix rings// J. Algebra, 82(1983), p.94-101.

9. Goldie A.W. The structure of prime rings under ascending ' chain conditions// Proc. Lond. Math. Soc., 8(-1958),.p.589-608.

10..Goldie A.W. Semi-prime rings with maximum conditions// Proc. lond. Math. Soc., 10(1960), p.201-220.

В первой главе диссертации исследуется структура алгебр конечной сигнатуры, удовлетворяших тождествам Капелли, в модулярном случав, а также изучается препятствие для представкмостии таких алгебр.

В настоящее время в теории представлений активно изучаются • представления алгебр сигнатуры .ÇZ' в алгебрах сигнатуры ÇL .

Понятие тождества ассодиативно-лиевой пары Онло введено А.И.Кострикиннм [11,12]. Именно ассоциативно-лиевы пары и их тождества исследуются наиболее активно [1]. Ассоциативно-лиевы парн были применены Ю.П.Размысловым при доказательстве теоремы о базисе тождеств алгебры Ли над полем нулевой характеристики.

Структурная теория ассоциативно-лиевых пар и пар сигнатуры ^ конечного тиса над полем нулевой характеристики, удовлетворяших слабым тождествам Капелли, получена в работе Й.П.Размыслова [3].

Вторая глава диссертации обобщает результаты работы [3] на случая произвольного поля и произвольного нетерового кольца.

То, что в алгебре Ли полиномиальных векторных полей на прямой выполняется стандартное лиево тождество пятой степени -было замечено Г.Бергманом, Ю.П.Размысловым, -Е.А.Суменковым. В [13] Ю.П.Размыслов доказал, что в простых алгебрах Ли, удовлет-

11. Кострикин А.И. Кольца Ли, удовлетворяющие условию Знгеля//-Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. т.21. »4. с.515-540.

12. Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда// Изв. АН СССР. Сер. шт. 1959. т.23. JS1. с.3-24.

13. Размыслов Ю.П. Простые алгебры Ли, удовлетворяющие стандартному лиеву тождеству степени 5// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1985. т.49. КЗ. с.592-634.

е

воряющих стандартному тождеству степени 5, выполняются все тождеству алгебры Ли полиномиальных векторных полей на прямой -Тождества алгебры Iz изучались таете в [14]. Вопрос о Оазисе тождеств алгебры Ли W, остается открытым.

Б третьей'главе диссертации доказано, что всякое тождество

алгебры Wj. с точностью до некоторой степени нетривиального d.

фиксированного множителя, является слелствием стандартного лиева тождества пятой степени.

Цель работы. Структурная теория и исследование представимости конечно порожденных алгебр конечной сигнатуры, удовлетворяли«: тождествам Капелли, в модулярном случае и в случае произвольного нетерового кольца, структурная теория пар, удовлетворяющее ела-. Оым тождествам Капелли, исследование тождеств алгебры Ли полиномиальных векторных полей на прямой.

Методы исследований- Используются методы теории алгебр-с тождественными соотношениями и теории представлений. Применяются также комбинаторные методы и -некоторые результаты из теории графов.' Из. унддй ноБиЗКд...See основные рсзуяъТсгТК диссертации - новые. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в структурной теории алгебр, теории алгебр Ли с тождественными соотношениям и теории представлений.

Апробация.-' Основные результаты диссертации докладывались на 'Третьей Международной конференции по Алгебре (Красноярск, 1993г.), на "Научно-исследовательском семинаре по алгебре" под

14. Молев А.И. Об ^алгебраической структуре алгебры Ли векторных полей на прямой// Матем. сборник. 1987. т.184. #1. с.82-92.

рук. чл.-корр. РАН, проф. А.И.Кострикина и на семинаре "Избранные вопросы алгебры" под рук. чл.-корр. РАН, проф. А.И.Кострикина и проф. Ю.А.Бахгурина в

Публикадии. Основные результаты диссертации опубликованы в. работах, список которые приведен в конце автореферата. Обгем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав к библиографии (66 наим.), изложенных на 83 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В первой главе изучается структурная теория алгебр конечной сигнатуры, удсвлетворяших система тождеств Капелли, а также исследуется проблема представимости таких алгебр.

Дадим необходимые определения. Пусть Д - С -алгебра сигнатуры , где С - коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей. Говорят, что алгебра Д сигнатуры^ удовлетворяет системе тождеств Капелли порядка п., если всякий полином сигнатуры^, полилинейный и кососимметричный по некоторым и. своим переменным, является тождеством алгебры Д.

С-алгебра Д, где С - поле, называется представимой, если А как С-подалгебра вкладывается в некоторую конечномерную С-алгебру, где С - некоторое расширение поля С -

Структурная теория алгебр конечной сигнатуры над нетеровым кольцом С, уловлетворяших тождествам Капелли, представлена в следующих теоремах 1 и 2.

Теорема 1 содержит решение проблемы'"радикала". Теорема 1. Пусть в С-алгеОрв выполняются тождества Капелли некоторого порядка, и алгебра конечно порождена. Тогда в алгебре существует наибольший разрешимый, идеад, то есть идеал

Бэра алгебры [_, разрешим.

Структуру "кольца частных" полупервичной алгебры, удоалет-ворящей тождествам Капелли, описывает

Теорема 2. Пусть в С-алгебре Ь выполняются тождества Капелли некоторого порядка, и алгебра I. конечно порождена и полупервична.. Тогда центральное замыкание Мартиндейла алгебры является простой суммой конечного числа центрально замкнутых первичных алгебр, и множество минитльных первичных идеалов алгебры [_с конечно.

Понятие центрального замыкания Мартиндейла обобщает понятие полного кольца частных для полупервичного ассоциативного кольца. Приведем определение центрального замыкания Мартиндейла (3([.) полупервичной (^-алгебры Ь произвольной сигнатуры ^ - Пусть [)([_,} - присоединенная ассоциативная алгебра, ассоциированная с алгеброй и. Напомним, что 0(Ю£.Ег1с1с1 , и если алгебра Ь бинарная, то алгебра 0(Ь) называется алгеброй левых и правых умножений. Тогда (Ж)=Е1-, , где Е=Е|1<1[)^)^> , а Р - икъ ективная оболочка ОЩ -модуля Ь - В [1 ] доказано, что действие алгебры Е на' 0(1) -модуле (Ж) коммутативно, и мы можем продолжить все операции сигнатуры Й по линейности с алгебры I ка (ЖУ и наделить (Ж) структурой алгебры сигнатуры

Следующая теорема 3 показывает, что препятствием для представимости алгебры конечной сигнатуры над полем, удовлетворяющей тождествам Капелли порядка IV, является нильпотентный идеал ограниченного класса нильпотентности.

Теорема 3. Пусть в конечно порожденной С-алгебре !_,, где С поле, выполняются тождества Капелли порядка Ги-1. Тогда существу-

ет такой нильпотентный идеал X алгебры !_, что алгебра 1/1 представима и класс нильпотентности идеала не превосходит П-

В предлагаемой диссертации теорема 3 доказана для алгебр произвольной конечной сигнатуры, но этот результат является новым и для ассоциативных алгебр.

Теоремы 1 - 3 мы получили из теоремы ЗА. Именно доказательство теоремы ЗА составляет основное содержание первой главы. Теорема ЗА. Пусть С-алгебра 1- конечной сигнатуры удовлетворяет системе тождеств Капелли порядка Тогда существуют такие

коммутативная и ассоциативная С-алгебра ф с единицей и идеал 5 в ф-алгебре ф®^^ , что идеал ЗЛ !_, алгебры (_, нильпотен-тен класса не выше У\ и любой <5-подмодуль ф- в ф-модуле ^ Ф®„1-,/0 . где - конечно порожденная С-подалгебра

С-алгебры , тлеет конечное число образунщх; более то-

го, в С-алгебре ф существует конечно порожденная С-подалгебра такая, что ф -модуль <£>'• конечно порожден.

- В этой'теореме С" - произвольное коммутативное- и-'ассопиатив-ное кольцо с единицей.

Следующая теорема показывает, что оценка класса нильпотентности препятствия для представимости (идеала ) из теоремы 3 не может быть улучшена в классе алгебр конечной сигнатуры, а также в классе бинарных алгебр с двумя линейными операторами. Теорема 4. Пусть сигнатура^ состоит из ассоциативной бинарной операции и двух" унарных операций. Пусть алгебра 1_| над полем свободная алгебра сигнатуры ранга 1 многообразия, заданного системой тождеств Капелли порядка Тогда для всякого идеала _]_ алгебры {_, , класс нильпотентности которого меньше И , алгебра \_/\_ не предстаЕима.

Вторая глава содержит обобщение результатов первой главы на представления, удовлетворяющие слабым тождествам Капелли.

Говорят, что в паре (А,Ь) сигнатуры сад') выполняются слабые тождества Капелли порядка П., если' всякий полином сигнату-' РН полилинейный и кососимметричный по некоторым И. своим переменным, обрашется в ноль в алгебре А сигнатуры^ при подстановке вместо Есех своих переменных произвольных элементов из алгебры Ь сигнатуры

Определение. Назовем обеднение сигнатуры (сигнатуру (2,5? ) ) обеднением (сигнатурой) конечного типа, если алгебра А нетерова во всех парах ф-алгебр (. А, I) сигнатуры где ^-алгебра (_, конечно порождена как <3?-модуль, и $ - нетерова коммутативная и ассоциативная С-алгеОра с единицей, где С - основное кольцо.

Представлениями конечного типа являются представления алгебр Ли, (специальных) йордановых алгебр, тройных лиевых и суперлиевых систем в ассоциативных алгебрах.

Теорема 5. Пусть-в паре С-алгебр СА,!_.) ' сигнатуры конечного типа ) выполняются слабые тождества Капелли некоторого

порядка, и алгебра Ь конечно порождена. Тогда в алгебре А существует наибольший разрешимый-идеал, то есть идеал Бэра алгебры А разрешим.

Теорема 6. Пусть в паре С-алгебр ( А, Ц ) сигнатуры конечного 'типа (52,52') выполняются слабые тождества Капелли некоторого порядка, алгебра конечно порождена и алгебра А полупервична. Тогда центральное замыкание Мартиндейла О (А") алгебры Д является прямой суммой конечного числа центрально замкнутых первич-

шосалгеОр, и мнокестьо минимальных первичных идеалов алгебры А конечно.

В теоремах 5 и 6 сигнатура - конечна, и С - произвольное нетерово коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей.

Теоремы-5 и 6 доказаны при-помощи теоремы 7, которая обобщает теорему ЗА из первой главы.

Теорема 7. Пусть в паре С-алгебр (А;0 сигнатуры вы-

полняются слабые тождества Капелли порядка 11+4, и сигнатура .5}? конечна,С - произвольное коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей. Тогда существуют такие коммутативная и ассоциативная С-алгебра ф с единицей и идеал -алгебры Ф©^ А , что

идеал ЗП А алгебры А нильпотентен класса не выше. П и любой ф-подмояуль ф-в ф-модуле , где - конечно

порожденная С-подалгебра в С-алгебре L/Lf)'J • имеет конечное число образуклих. Кроме того, в С-алгебре 3? существует конечно порожденная С-подалгебра ¿Ь' такая, что Ф -модуль ф ■ [_,' конечно-порожден. •

Третья глава посвящена исследованию тождеств бесконечномерной простой алгеОвы Ли полиномиальных вектошшх полей на прямой

Ч- •

В настоящее время существует гипотеза, что все ТиХяеетБг этой алгебры Ли являются следствием стандартного лиева тождества степени 5. В русле доказательства этой гипотезы доказана Теорема 8. Пусть -р=0 - тождество алгебры Тогда существует такое натуральное К , что

.....О

является следствием стандартного лиева тождества степени 5, где, по определению,

[а/Ц,III sgn(6)QJ4i6(i)aJПГ^^ad1.

Множитель ;"Z> нетривиален, то есть, если

• ^=0 — тождество алгебры Ли то.р=0 также является

тождеством алгебры Ли Ч/..

1

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико - математических наук. Ю.П.Размаслову -за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Результаты первой и второй главы этого исследования получены при поддержке фонда PRO MATEMATlc А

Работы автора по теме диссертации

1. Зубрилин К.А. О тождествах алгебры Ли W,// Вестй. МГУ. Сер.

i

катем., механ. 1991. S3, с.74-77.

2. Зубрилин К.А., Размыслов Ю.П. Тождества Капелли и представления конечного типа// Третья Международная конференция по Алгебре. 23-28 августа 1993г. Красноярск. . Сборник тезисов, с.129-130.

3. Зубрилин К.А., Размыслов Ю.П. О нильпотентности препятствия для представимости алгебр, удовлетворявдих тождествам Капелли, и представлениях конечного типа// УШ. 1993. т.48. J£6. с. 171-172.