Алгоритмы исключения неизвестных, основанные на теории многомерных вычетов, и их компьютерная реализация тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Он

б ОН] ь^

На правах рукописи

ОСЕТРОВ А ТАТЬЯНА АЛЕКСАНДРОВНА

АЛГОРИТМЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ, ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ ВЫЧЕТОВ, И ИХ КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-1593

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор В. И. Быков ,

доктор физико-математических наук, профессор А. М. Кытмапов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М. В. Ноской,

кандидат физико-математических наук, доцент В. М. Трутнев.

Ведущая организация Вычислительный центр СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится Л$)иР 1996 г. в /'*>

часов на заседании дисс.йртационко1Х) совета К 064,61.01 в Красноярском государственном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярском государственного университета.

Автореферат разослан 1996 1

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук ^ Е. К. Лейнаргас

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1. Актуальность темы.

Тематика диссертации связана с активно развивающимся » последнее время новым направлением п математике — компьютерной алгеброй многочленов,, лежащей на стыке алгебры, математического анализа я программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состояний. Эти запросы инициируют появление новых теоретических результатов в области анализа систем нелинейных алгебраических уравнений. Внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения.

Нелинейные системы алгебраических уравнений возникают в различных областях знания. В частности, в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний и множествах определенного вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры многочленов: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы, построения систем треугольного вида, эквивалентных данной системе. Такие вопросы, естественно, требуют развития методов работы с, аналитическими выражепиями на ЭВМ.

1.2. Цель диссертации.

— Разработка алгоритмов исключения неизвестных из систем нелинейных алгебраических уравнений:

— со стандартной старшей однородной частью;

— со старшей однородной частью треугольного вида;

— невырожденных.

— Компьютерная реализация в системах компьютерной алгебры MAPLE и REDUCE полученных алгоритмов.

1.3. Методика исследования.

В основу исследования положены методы компьютерной алгебры и теории функций комплексного переменного.

1.4. Научная повизна.

— Разработаны алгоритмы исключения неизвестных, основанные на теории многомерных вычетов для систем нелинейных алгебраических уравнений:

— со стандартной старшей однородной частью;

— со старшей однородной частью треугольного вида;

— невырожденных.

— Дана компьютерная реализация алгоритмов исключения неизвестных из систем нелинейных алгебраических уравнений, нахождения числа действительных корней и результантов по разным группам переменных.

— Полученные методы апробированы на системах уравнений, возникших в химической кинетике, разреженных системах уравнений.

1.5. Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на :

— XII Международной конференции по химическим реакторам "Химреактор — 12" (Ярославль, 1994);

— Всероссийской школе "Компьютерная логика, алгебра и интеллектное управление. Проблемы анализа устойчивости развития и стратегической устойчивости" (Иркутск, 1994);

- Международной конференции "Математические методы в химии и химической технологии " (Тверь, 1995);

— International Conference by Advanced Matematics, Computations and Applications (Novosibirsk, 1995);

— Международной конференции " Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 1996);

— городском семинаре по теории функций (г. Красноярск);

— объединенном научном семинаре Вычислительного центра СО РАН (г. Красноярск).

1.6. Публикации.

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

1.7. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из 71 наименования. Общее число страниц диссертационной работы — 121. в том числе 37 страниц — приложение.

2. Содержание работы

Введение содержит краткий обзор работ по теме исследования и основные результаты диссертации.

В первой главе приводятся математические сведения, теоремы и формулы, на которых основана диссертационная работа. Глава состоит из двух параграфов. Первый параграф посвящен основным методам исключения неизвестных из систем п нелинейных алгебраических уравнений и обзору литературы по данной теме. Он содержит известную теорему Сильвестра об исключении неизвестных из систем двух нелинейных алгебраических уравнений. Приведена классическая схема исключения неизвестных из систем и нелинейных алгебраических уравнений. Данный метод неэффективен для компьютерной реализации вследствие быстрого роста размерности определителей матриц Сильвестра, вычисляемых в процессе исключения.

В последнее время появились Солее аффективные для компьютерной реализации методы — это метод Дж. Мозеса и метод базисов Гребнера, принадлежащий Б. Бухбергеру. Также как и. классическая схема исключения неизвестных они приводит систему к треугольному вида, по уже ис содержат лишних уравнений.

Основные алгоритмы диссертации основаны на подифнциропанном методе исключения неизвестных, идея которого припал Н'жит Л. Д. Айзенбергу. В отличие от ранее известных алгоритмов этот метод шинолякт получить результант по одной из переменных, не приводя систему к треугольному виду, тем самым исключив промежуточные преобразования.

Нахождение результата состоит ь вычислении степенных сумм одной из координат корней системы и применении рекуррентных формул Ньютона. Рассмотрим одну нз простейших систем уравнений. Она назнана н диссертации системой со стандартной старше!! однородной частью:

Ш = V* +<?,(*) = 0. , - 1.--. Г'.-. (1)

где г = (^1,..., 6 С", <3,(г) — полиномы степени (по совокупности переменных) строго меньше Ау, к, £ N, ) = 1,... Система (1) имеет конечное число корней в С" и их число равно £ = кф* ■ ■ ■ к„ по теореме Бсзу. Пусть Л — произвольный полином степени К. Обозначим через Эй смененную сумму корне!) системы (1) следующего вида:

5Д = £ Ж»),

где Е{ — множество корней системы (1) и С", причем каждый корень считаете:» столько раз, какова его кратность.

Основываясь на теории многомерных вычетои, Л. А. Айзенберг получил формулу для нахождения степенной суммы 5«, не нычисляя самих корней:

£ (_i)IHl£CT

RA-

- I ... -1

*■ \

(2)

где q — (с>т,... ,<*„) — мультииндекс. ||о|| = о, + - • • + а„, Д — якобиан системы (1), а 2Н — линейный функционал, сопоставляющий многочлену Лорана (стоящему в квадратных скобках формулы (2)) его свободный член.

В конце пара1-рафа приведены формулы для нычисления степенных сумм 5л для Солее общих систем уравнений: систем со старшей однородной частью треугольного вида и невырожденных систем. Алгоритмы вычисления коэффициентов результанта, полученные в диссертации, базируются на данных теоремах и рекуррентных формулах Ньютона и формулах Варинга.

Во втором параграфе приведен обзор литературы по системам компьютерной алгебры и подробно описаны системы HAPLE и REDUCE, использовавшиеся для компьютерной реализации разработанных п диссертации алгоритмов.

Вторая глава посвящена построению алгоритме« нахождении результанта для систем нелинейных алгебраических уравнений специального вида. Она состоит из трех параграфов.

Параграф 3 содержит алгоритм исключения неизвестных из систем со стандартной старшей однородной частью вида (1). Он состоит в следующем. Задается система уравнений вида (1) и фиксированный полином R = Я(г1:. .. ,г„), относительно степеней которого будут вычисляться степенные с.уммы корней

л

системы (1)

= SR,, i = 1,----L, L = A'i fc2 ■•■<:„.

Пусть Л' — степень полинома Л. Тогда степенная сумма корней системы относительно полинома

А'х>

в силу лшкИности функционала SK, есть

1Н!=о

где = S0J.....„„ — степенная сумма монома га = г"1 ■ • ■ Поэтому дли вычисления S^' достаточно вычислить т.е. степенные суммы соответствующих мономов.

Степенные суммы мономов Sa, где 0 < rv, < А',- — 1. i = 1,... , п, будут вычисляться но формуле (2). Вычисление степенных сумм Sa, где какое-либо о, > к„ производится путем понижения степени мономов по формуле:

J = 1.....П.

Как показано в\з. путем данной замены моном произвольной степени может быть представлен в виде линейной комбинации мономов, у которых степень по каждой переменной Zj строго меньше kj, j = 1,...,п. Коэффициенты искомого результанта вычисляются по формулам Ньютона. Компьютерная реализация данного алгоритма написана на языках MAPLE и REDUCE. В §3 приведено описание этих программ, а сами программы можно найти в приложениях 1 и 2.

В заключите этого параграфа, приведен пример нахождения результанта для системы вида (1), состоящей из двух уравнений ipcibeii ciciiemi с произвольными буквенными коэффициентами. Данный метод позволяет находить результанты для систем невысокой степени.

В $ 4 описан алгоритм исключения неизвестных из систем со старшей однородной частью треугольного вида. Данный алгоритм состоит п следующем. Задается система уравнений в виде:

M = + + J = 1,....«. (3)

к=1

где <,?;*(') — однородные полиномы степени kj - 1, a Qy(i) —- полиномы степени не выше kj — 1 и фиксированный полином R — R(zi, ..., г„), относительно степеней которого будут вычисляться степенные суммы корней системы (3) i = 1,...,Л, L = к^к2---к„. В силу сказанного выше степенная сумма может быть представлена в виде линейной комбинации степенных сумм Sa мономов г", входящих и полином Л'. Степенные суммы мономов Sa, где О < Q, < к{ — 1, г —- 1,... . 71, вычисляются по формуле из теоремы Циха, которая по сути дела такая же, что и формула (2), с той лишь разницей, что вместо Qj нужно подставить полиномы Rj = f, - г*', а множество индексов, по

которому ведется суммирование в (2) существенно увеличится, а именно, если степень полинома R по переменному Zj равна т, я общая степень R есть К, то суммирование в (2) ведется по наборам г» из параллелепипеда

cr = {а = (о|,..., г*„) : 0 < «1 < А", 0 < а2 < fc](||m|| + 1) - т, --2,... ,0 < aj < fc, • • ■ fc,_,(IH| +■ 1) - к2 ■ ■ • + 1) -

-h---kj„1(m2 + 1)-----^-¡{mj -2 + 1) - (ni>-i + 1 ),j = 3.....n},

||m|| = mj H-----h m„.

При вычислении степенных сумм S„, где какое-либо и, > к,, производится понижение степени мономов путем замены из системы (3) следующего вида:' к J-1

*=1

В $4 показано, что путем данной замены моном произвольной степени может быть представлен в виде линейной комбинации мономов, у которых степень по каждой переменной z} строго меньше kj, j = 1,...,п. Коэффициенты искомого результанта вычисляются по формулам Ньютона. Компьютерная реализация данного алгоритма написана на языках MAPLE и REDUCE. В§4 приведено описание этих программ, асами программы можно найти в приложениях 3 и 4.

В конце данного параграфа приведен пример нахождения результанта для системы двух уравнений вида (3) с произвольными буквенными коэффициентами. Степени уравнений равны, соответственно, 3 и 2. Данный метод позволяет находить результанты для систем вида (3) невысокой степени.

Параграф 5 содержит алгоритм нахождения результанта для систем вида (1) и (3) с помощью "замораживания" одной из переменных. Опишем содержание алгоритма для систем вида (1). Сначала задаем систему уравнений (1) в виде;

/, = z*'+£?,(*,,...,*„+,) = О, j = 1,----п + 1. (4)

Переменную

^■»»+1 замораживаем и прбдст&.влясм систсму в видб!

Si = z)> + Q,(z,z„+1) = О, j = 1,... , n, (5)

где z — (zi,.. ,г„) 6 С". Полином в последнем уравнении системы (4) берем в качестве полинома R:

Система (о) является системой со стандартной старшей однородной частью при любом фиксированном zn)_Поэтому она имеет L = fciAvfcn корней, зависящих от zn+1. Обозначим их г(|> — z(l>{2„+i), / = 1,..., L. Применяя к системе (5) и полиному Я алгоритм из f 3, получаем степенные суммы Sjj' = ), i =

1,... , L. Эти степенные суммы являются полиномами по г„ч |. Коэффициенты

G, = Ct,(z„+j), > = I,..., L. вспомогательного результанта находим по формулам

(И

Ньютона. Они являются полиномами от zn4i. Коэффициент Gi — П fi(2„+i)

i=i

следовательно, является нужным нам результантом системы (4) по переменному гп+|. Степень этого результанта Gl равна М = ■ • • поскольку число

н

корней первоначальной системы равно М. Старший коэффициент R полином«' Gl равен (-•1)к,кз' к". Этот утверждение доказывается в § 5

Данный алгоритм применим и к системе со старшей однородной частью пре угольного вида (3) от п + 1 переменной, поскольку первые п уравнений iwfl системы также имеют треугольный вид по г„. В треугольной системе ко-

эффициент при старшей степени в полиноме О/ может быть отличен от ±1, но обязательно является константой, отличной от нуля.

Компьютерная реализация данного алгоритма для систем со стандартной старшей однородной частью и старшей однородной частью треугольного вида была написана в системах MAPLE и REDUCE. В } Ь приведено описание MAPLE программ. Сами MAPLE-программы можно найти в приложениях 5 и 8. соответственно. Тексты REDUCE-программ приведены в приложениях 6 и 9, соответственно. В этом же параграфе приведено описание REDUCE-программы для на хождения результанта разреженных систем со стандартной старшей однородной частью. Текст программы находится в приложении 7.

В завершение параграфа приведены три примера. Первый пример — это пример нахождения результанта для системы вида (1), состоящей из трех уравнений пторой степени с произвольными буквенными коэффициентами. Второй пример — это пример нахождения результанта для разреженной системы вида (1), состоящей из трех уравнений с произвольными буквенными коэффициентами. Степени уравнений, соответственно, равны 5, 4 и 5. Третий пример — это пример нахождения результанта для системы вида (3), состоящей из двух уравнений третьей степени с произвольными буквенными коэффициентами. Приведенные примеры показывают, что метод "замораживания" позволяет находить результанты для систем более высокой степени и размерности чем в^З и 4.

Третья глава посвящена алгоритмам нахождения результанта для невырожденных систем нелинейных алгебраических уравнений. Она состоит из трех параграфов.

Параграф 6 содержит алгоритм нахождения результанта для невырожденных систем, основанный на теореме Кытманова. Данный алгоритм состоит в следующем. Рассмотрим систему вида:

fi=Pj + Qj = 0, j = l,...,n, (6)

где Р) — однородные полиномы степени k}, a Q} — полиномы степени строго меньше kj, j — 1,..., п.

Будем говорить, что система (С) невырождена, если система

Ъ = J = 1.....

имеет только одно решение точку 0. Известно, что невырожденные системы вида (6) характеризуются тем, что они имеют в пространстве С" конечное число корней и не имеют корней на бесконечной гиперплоскости П.

Число корней для невырожденных систем дает теорема Безу: число корней (G) с учетом их кратностей равно произведению степеней fci^ •' ■

Как и прежде, наша цель — нахождение результанта HES(Zj). Ilo теореме Гильберта о корнях найдется матрица (которую назовем матрицей перехода)

¿ = 1Ы1 и-к

составленная из однородных полиномов а¡к, такая, что

= j = i.....-

к=1

причем степени можно выбирать, не превосходящие числа A'l+fa-l-----Vkn — л.

По теореме Кытманова для любого многочлена R = 11(:) степени К

Ё *</ <-п(£Ч)!

S* = Е -------ОТ

к, ;->0 П

Е <■••■;<*

<j=i

« п.

где ay = E k'.i, A = E -A — якобиан системы (6), a SOT — линейный

8 = 1 ' J=1

функционал, сопоставляющий мног очлену Лорана [тг^т.. ] его свободный член.

Задаем фиксированный полином R = R(z) и вычисляем степенные суммы корней системы (G) = Sr<. i — 1 ,...,£, L = ktk2- ■ ■ k„. Далее вычисляем коэффициенты результанта Gj, j = 1,..., L, по формулам Ныотона.

Основная проблема в этом методе — нахождение элементов п^ матрицы перехода А. В §G подробно рассмотрен случай двух переменных. Дан алгоритм нахождения матрицы перехода Л и вычисления степенных сумм S^1, i = 1,... , L, по формуле (7). Этот алшритм работает, если мы рассматриваем последнюю переменную как параметр. В этом же параграфе описано содержание MAPLE-программы, вычисляющей результант системы (б) описанным выше способам. Текст программы можно найти о приложении 10. С целью иллюстрации работы программы в конце параграфа приведен пример нахождения результанта невырожденной системы двух уравнений второй сгенени.

Параграф 7 посвящен нахождению результанта для систем с конечным числом корней в С" методом введения дополнительного параметра. Этот алгоритм оказался более простым н применимым для компьютерной реализации, чем метод в 5 6. Данный алгоритм состоит в следующем. Рассмотрим систему алгебраических уравнений

Qj = 0, >=1,...,п, (8)

где Qj — полиномы степени строго меньше kj. Предположим, что система (8) имеет Ми корней в С" с учетом их кратпостей (в частности, система (8) может быть вырожденной). Рассмотрим вспомогательную систему уравнений

RQainA& JJ

(7)

Xz)> + Qj = 0, j=l,...,n.

(9)

При А = 0 система (9) превращается в систему (8). Пусть А ф 0. Перейдем от системы (9) к системе со стандартной старшей однородной частью

j = l.....п. (Ю)

Рассмотрим произвольный многочлен R степени т. Применим к системе (10) алгоритм исключения неизвестных из5 3. Найдем степенные суммы корней системы (10) относительно полинома R:

■S* =Sr(А), i = \,...,L, L = klk2.~kn.

По формулам Ньютона найдем коэффициенты результанта G'i = G,(А), i = !,...,£. Эти коэффициенты являются рациональными функциями иг А. Сам результант системы (10) относительно многочлена R будет иметь следующий вид:

RES - RES(А) =vuL + GiU)L""1 + • • • + GL_,w + G,.. Приведем коэффициенты результанта к общему знаменателю (но А), а затем последний отбросим. Приравняв А к нулю в оставшемся числителе, получим требуемый результант. Обоснование этого метода дано в § 7. К системе вида (8) можно также применить метод "замораживания" переменной. В параграфе приведено описание ЯНГОСЕ-программы, вычисляющей реэультадт системы (8) методом введения дополнительного параметра, тексг ее находится в приложении 11.

Последняя часть параграфа 7 посвящена приложениям. В качестве приложения были рассмотрены системы уравнений, возникающие в химической кинетике.

Для п — стадийного одномаршрутного механизма каталитической реакции система уравнений может быть представлена в виде

w,(z)=v,w, s= l,...,n, .

Цг) = 1,

где с, — стсхиометрическое число s-й стадии, w — наблюдаемая скорость реакции; п — число реагентов; L{z) — линейная функция. Система (11) является в общем случае нелинейной относительно г. Если wf записываются согласно закону действующих масс, то (11) — система алгебраических уравнений, где

w,(z) = b*z"'s = 1,...,п,

а а' — (al,...,a'n) и 8' — (/3J,... ,ß') — мультииндексы; za' = rj* Выполнены равенства ||а'|| — ||,ö'|| для всех s, кроме того, ранг матрицы Г = 1К-#Н*.-1 равен п-1.

Целью приложения янлиетсл нахождение результанта по переменной v>, которая является скоростью реакции. Было рассмотрено два примера. 1. Система

/, = b]Z* - b-izj - w = 0, h - - 6-2*3 - 2u> = 0, h = biZ2Z3 - b^3z'( - 2iü = 0,

f4 = zi + гг + г3 - 3 = 0.

Эта система невырождена, поэтому она имеет 4 корня и степень результанта RES равна 4. Текст MAPLE- программы, вычисляющей результант данной системы, приведен н приложении 12. Время работы программы — 80 сск. Ранее данная система была рассмотрена в диссертации М. 3. Лачмана. Он получил результант, используя модифицированный метод исключения для невырожденных систем, а матрицу перехода находил с помощью оазисов Гребнера, причем нахождение коэффициентов проводилось в интерактивном рржиме из-за исчерпания памяти. Наш способ позволил значительно сократить время и необходимую память.

2. Система

h = '->1*1 " 7 =

h — b-,ZiZ2 — fc-гг; — ?.w -■ 0. /з - bjz2z3 - Ь.3г? - 4и.' 0, Ii = + z2 + .-3 - 1 - 0.

В ^7 показано, что данная система вырождена и UMeei 4 корня. Вычисление коэффициентов результанта производилось с помощью REDUCE-нрофаммы в течении 30 мин. Нахождение наибольшего общего делителя коэффициентов результанта и сокращение на него последних производилось п системе MAPLE. Для этого потребовалось 3 мин. Коэффициенты результанта можно найти в приложении 15.

В \8 рассматривались вопросы,связанные с исключением неизвестных по разным переменным. Предположим, что. исключив из системы алгебраических уравнений все неизвестные, кроме первого, мы нашли первые координаты всех корней системы. Для нахождения остальных координат используется способ, принадлежащий Л. А. Айзенбергу, В. А. Болотову и А. К. Циху.

Рассмотрим невырожденную систему уравнений вида (6). Предположим, что ~i(Ai) различны. Тогда ¡,1 м

все нули RES{zt) .г1(1), RES(z, Введем полипом

и=1

м

п

7,= 1

*I<1>) = £

Тогда при t — 1

- 7-Пч) I

RES'iz,)^^

причем коэффициенты полинома удовлетворяют рекуррентным соотношениям:

/3-1

= У. GgSiB-g-Dc+c,,

<v=0

где

Cj = (0____,0, 1,0,. ..,0), j = 1.....71,

о

a .S(3_0_i)(14f) степенна» гумма монома rj г,.

Компьютерная реализации данного метода дапа в системе MAPLE. В §5 прим-депо описание программы Текст Программы можно найш н приложении 14.

Ви второй части парацмфл рассмотрена проблема определения числа действительных корней системы ни.-и (С) с действительными коэффициентами. Этот мешд заключается D следующем

1. Находим результат }<к\Ч(:\) -- RES1:i системы (С).

2. По формулам Ньншим находим стспеппыс суммы 5,,. ■

3. Строим матриц)' В вида

/

В =

м

^£1 ■Чга,

Я,

StM-

(jVi— l)ei Smc,

\ 5(М + 1)<., ... 5(2А} це, )

4. Находим ее определитель. Если он не нуль, то число вещественных корней системы (6) равно сигнатур«; квадратичной формы с данной матрицей В. Для определения сигнатуры квадратичной фирмы используем теорему Якобн. Пусть Д, = 1, £>, = 50 = М,

D2 =

И 5,

М

Si

S/u-i

5, 5>

Sm-I 5м

S-M-i

Если D^ -ф 0, } = 0,----М, то число различных вещественных корней ЯЕ5:,

равно М - 2К(£>0, Ои----Пм). где Дь О,_____1>л,) — число перемен знака в

ряде Вс, О],. .. , Г! и.

Компьютерная реализация данного метода дана в сислеме МАРЬЕ. В §8 приведено описание программы. Текст программы можно найти в приложении 13.

В конце параграфа приведем пример определения числа действительных корней системы трех уравнений с действительными коэффициентами.

3. Основные результаты диссертации

1. Разработаны алгоритмы нахождения результанта относительно произвольного полипома систем нелинейных алгебраических уравнений следующих видов:

— со стандартной старшей однородной частью;

— со старшей однородной частью треугольного вида;

— невырожденных.

2. Реализован метод ''замораживания" переменных для невырожденных систем и метол введения дополнигелышги параметра для нелинейных систем уравнений, имеют их конечное число корней г> С".

3. Разработанные алгоритмы применены к определению числа действительных корней системы с действительными коэффициентами.

4. Дана компьютерная реализация разработанных алгоритмов н сипемах компьютерной алгебры MAPLE и REDUCE.

5. Даны приложения методов диссертации к разреженным системам уравнений И к системам, возникшим в химической кинетике.

Работа частично выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 93-012-596.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Быков В. И., Кытмлппп А. М., Осетрова Т. А. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения // Вычислительные технологии. Сб. научных трудов. Новосибирск.. 1995. Т. ■!. № 10. С. 79 — 83.

2. Быков В. И., Кытманов А. М., Осетрова Т. А. Компьютерная алгебра многочленов и ее приложения // Компьютерная логика, алгебра и интеллектуальное управление. Проблемы .анализа устойчивости развития и стратегической устойчивости. Сб. трудов Всероссийской школы. Иркутск. 1995. Т. 3. С. 3G1 3GG.

3, Кытманов А. М., Осетрова Т. А., Быков В. И. Компьютерная алгебра многочленов и ее приложения в химической кинетике // Международная конференция "Математические методы r химии и химической технологии ". Сб. тезисов. Тверь. 1995. Ч. 1. С. 62

4, Bykov V. I., Kytmanov А. М-, Osetrova Т. A. Computer Algebra of Polynomials and its Applications // International Conference Advanced Matematics, Computations and Applications. Novosibirsk. June.20 — 24. 1995. Abstracts. P. GO.

i". Осетрова Т. A. MAPLE-процедуры для нахождения результантов систем нелинейных алгебраических уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Межвузовский сб. Красноярск. 1996. С. 164 — 175. С. Быкоп В. И., Кытманов А. М., Осетрова Т. А. Компьютерная алгебра многочленов и ее применение в химической кинетике // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. VI. Применение численных методов, геометрические задачи. Уфа: ИМ и ВЦ РАН. 1996. С. 26 —

Быков В. И., Кытманов А, М., Осетрова Т. А. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения // Докл. РАН. 1996.

31.

Подписано в печать

Бумага тип. 1

Усл. печ. л. 0,8.

Тираж 110 экз. Заказ 784.

Формат 60x84/16. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 0,9.

Редакционно-издательский центр Красноярского государственного университета. 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.