Алгоритмы статистического моделирования для решения системы уравнений Смолуховского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

о ¿к..

У I

V,

(/ ,

г

V?- "

У

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 519.676

Колодко Анастасия Алексеевна

АЛГОРИТМЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СМОЛУХОВСКОГО.

01.01.07 - вычислительная математика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ д.ф.-м.н., профессор К.К. Сабельфельд

НОВОСИБИРСК - 1999

Содержание

Введение 4

1. Стохастические модели процесса коагуляции и система уравнений Смолуховского. 12

1.1. Обзор методов решения уравнений Смолуховского..... 12

1.1.1. Метод прямого статистического моделирования (метод типа Берда)..........................................13

1.1.2. Весовой метод..............................................14

1.1.3. Метод типа Нанбу........................................16

1.2. Метод типа Нанбу для уравнений Смолуховского с учетом процесса дробления..............................................17

1.2.1. Описание метода..................... 18

1.2.2. Исследование сходимости метода. .......... 19

1.2.3. Обобщение на случай уравнений с постоянным источником мономеров..................... 51

1.3. Решение уравнений Смолуховского со случайными коэффициентами............................. 54

1.4. Решение пространственно неоднородных уравнений Смолуховского.............................. 57

1.4.1. Случай постоянного источника мономеров...... 60

1.4.2. Случайное поле скоростей............... 62

2. Численные результаты. 65

2.1. Сравнительный анализ эффективности стохастических методов решения уравнений Смолуховского.......... 65

2.2. Статистическая структура решения уравнений Смолуховского со случайными коэффициентами............ 71

2.3. Процесс коагуляции в развитом турбулентном потоке. . . 78

2.3.1. Постановка задачи.................... 78

2.3.2. Модель поля скоростей................. 81

2.3.3. Случай однородного начального распределения. . . 82

2.3.4. Случай линейных начальных условий......... 83

Заключение. 89

Литература 90

Введение

Модели процессов коагуляции, основанные на использовании кинетических уравнений Смолуховского, широко используются для изучения процессов, происходящих в различных дисперсных средах. Область их применения включает в себя большое количество различных отраслей науки: физику, химию (изучение процессов полимеризации [50]), медицину, биологию, астрономию (исследование образования звезд и планет). Особенно активно уравнения коагуляции Смолуховского используются при исследовании атмосферных явлений, связанных с формированием аэрозолей: изучение процесса образования облаков и осадков, анализ различных загрязнений (пыли, смога и др.) [19, 17, 18, 45, 8, 26].

В основе этих моделей лежит следующая достаточно простая схема поведения частиц. Предполагается, что каждая частица имеет некоторый размер: содержит определенное число структурных единиц. Частицы перемещаются в пространстве за счет движения содержащей их среды и броуновского движения. Оказавшись в достаточной близости, частицы сталкиваются, образуя с некоторой вероятностью частицу, размер которой равен сумме их размеров. Кроме того, частица размера / может распасться на частицы размера г и з так, что 1+3 = I.

Уравнения Смолуховского описывают поведение концентрации частиц различных размеров и выглядят следующим образом [16, 3, 24]:

Х^ + х) ' х) = £>1Джщ(£, х)-

- ^{Кипт - Иищ+г) + х);

г>1

^ + х) • х) = ДДвгц(*, х) +

X) {КцЩЩ - Щщ) - ^{Кцщщ - Яцщ+[) + ^(г, ж), / > 2;

^ 1+]=1 ¿>1

(0.0.1)

п,(0, ж) = п[?\х), /> 1. (0.0.2)

Здесь х) - концентрация частиц размера /; х) - скорость движе-

ния среды, в которой находятся частицы; D/ - коэффициенты диффузии частиц; коэффициенты К^ пропорциональны вероятности столкновения частиц размера г и j] коэффициенты Rij характеризуют вероятность распада на частицы размера i и j; i7} - интенсивность источника /-меров.

Для решения пространственно однородных уравнений

dni(i) , ,

д. = - ¿^{Кцщщ - Кцщ+1); ot ¿>1

= I J2 (KijUiUj - RijUi) - J2(Knnini - Ru^i+i), I > 2;

Cft Z i+j-i г>1

(0.0.3)

n/(0) = ni0), />1 (0.0.4)

известны следующие результаты, касающиеся его существования и единственности.

1. Если существуют такие Ki, Ki и щ, что Vz, j и г > по имеют место неравенства

[(г-1)/2]

Kij < Кl(z + j), Е jRr-jj < к2 Г

j=n0

то для любого начального распределения, удовлетворяющего условию < оо существует решение уравнения (0.0.4), такое, что

г>1

£/n,(i) — const; Е < °° />1 />1

для всех значений t. Это решение единственно, если Vz, j R¡j = 0 или если существуют такие и а £ [0;|], что Vz,j и г > щ выполнены неравенства

[(г-1)/2] ,

Kij < Kz(ij)a; £ j1-^,, < Щ г . (0.0.5)

j=n0

Этот результат был получен Уайтом [48] для случая Щ = 0 и позднее обобщен на случай ненулевых коэффициентов дробления,

удовлетворяющих условию (0.0.5), в работе [23].

2. Если Щ = 0 и существуют такие К\ и К^ что

К^гз)1'2 < Кц < К2{гз),

то для решения уравнения (0.0.4) с любыми начальными условиями закон сохранения массы выполняется лишь на конечном временном интервале. □

Этот результат приводится, в частности, в [21].

3. Если Кц = гз и Щ — 0, то система (0.0.3) с начальными условиями

щ{0) = 8ц имеет решение, сохраняющее массу и удовлетворяющее

условию конечности второго момента ^ на временном интервале

/>1

[0; 1), причем это решение - единственное. □

Этот результат приведен в [3].

Аналитическое исследование уравнений Смолуховского является достаточно сложным. Точное решение известно лишь для задачи (0.0.3)-(0.0.4) с коэффициентами вида К^ = А+В{г-\-з) -\-Cij, = 0и начальными условиями = 5ц [3]. Поскольку это решение имеет достаточно сложный вид, приведем здесь лишь некоторые частные случаи, которые будут использоваться в дальнейшем:

(1) кг] = 1 т(1)= ((Ш)/_1 •

(1 + 0.5£)|+1'

(2) Кц = 0.5(г + з) щ{1) = - е-0-«)'-^^1-«-0");

11~2

(3) Кц = ч П1(1) = —г1-1е-н.

(0.0.6)

Следует отметить, что ядра коагуляции для реальных физических процессов имеют более сложный вид, поэтому происходит активное развитие различных численных методов.

Одна из основных проблем численного решения системы уравнений Смолуховского состоит в том, что для получения адекватной картины

реального физического процесса приходится учитывать частицы, содержащие достаточно большое количество структурных единиц (так, частица размером 1 микрон содержит порядка 109 — Ю10 атомов), т.е. размерность решаемой системы очень велика. Один из способов ее уменьшения состоит в разбиении частиц в классы по размерам и решении системы уравнений для классов [17, 18]. В [27, 8] эта идея легла в основу построения метода конечных элементов.

Описанный выше подход имеет ряд недостатков, например, необходимость хранения большого количества информации. С другой стороны, уравнения Смолуховского имеют очевидную вероятностную интерпретацию, поэтому для их решения широко используются различные стохастические методы, основанные на непосредственном моделировании процесса коагуляции [33, 9, 4, 37, 46, 32, 12, 13]. В основе этих методов лежит замена реальной физической системы частиц некоторой К-частичной моделью, в которой осуществляются столкновительные процессы. Процесс, происходящий в системе, описывается следующим образом: пара частиц размером Х{ и х^ образуют одну частицу размером Х{ + • По своей структуре и физическому смыслу уравнения Смолуховского являются аналогичными уравнениям Больцмана, поэтому при их решении естественным является использование хорошо развитого аппарата стохастических методов решения вторых. Приведем здесь некоторые известные методы.

Методы типа Берда. В методах типа Берда используется следующий подход. Рассматривается система N частиц. Частица с номером г задается точкой Х{ некоторого фазового пространства (пространство координат и скоростей в случае уравнений Больцмана, пространство размеров в случае уравнений коагуляции). Ее изменение производится дискретными временными шагами, размер которых выбирается порядка среднего времени взаимодействия частиц. Это позволяет предположить, что в течение одного временного шага происходит взаимодействие только одной пары частиц. Поэтому изменение системы состоит в выборе некоторой пары частиц и осуществлении их взаимодействия (изменении скоростей в случае уравнений Больцмана). Приведенный

метод для решения уравнений Больцмана описан в работе [2] и получил дальнейшее развитие в [14, 20, 1].

Теория методов типа Берда для уравнений Больцмана приводится, в частности, в работах [13, 47] (доказательство сходимости к решению уравнений Больцмана при N —» оо) и [20, 1] (анализ ошибки). Метод Берда для уравнений Смолуховского описан в работе [13]. Там же приводится доказательство ассимптотической несмещенности оценки, построенной указанным методом для его решения, в предположении выполнения условия " молекулярного хаоса":

lim P2N\x 1,ж2) = дЦт p[N\xi) lim p[N\x2). (0.0.7)

YV—)• oo iv—>■ oo N—>oo

Здесь p\N\xi,..., xi) — совместная плотность распределения г частиц.

Методы типа Нанбу. Так же, как и в методах типа Берда, рассматривается система N частиц. Ее поведение в течение временного шага At моделируется следующим образом. Для каждой частицы вычисляется вероятность того, что она вступит в реакцию в течение времени At и осуществляется проверка: если реакция произошла, то выбирается ее "партнер", и в соответствии с выбором происходит изменение ее состояния (скорости в случае уравнений Больцмана и размера в случае уравнений Смолуховского). Подобный метод для уравнений Больцмана приводится в работах [35, 36]. Его обоснование дано в [22]. Метод типа Нанбу для уравнений Смолуховского приводится в [32].

При моделировании процесса коагуляции описанными выше стасти-ческими методами возникает проблема, связанная с уменьшением числа частиц в системе. Действительно, как видно из описания, после каждого столкновения частиц становится на одну меньше. Следствием этого является снижение точности. Один из способов решения данной проблемы состоит в следующем [12, 38]: моделирование процесса коагуляции осуществляется независимо для трех систем, содержащих в начальный момент времени по N частиц. После того, как количество частиц уменьшается в два раза, осуществляется объединение массивов.

Несмотря на то, что эта процедура не имеет строгого математического обоснования, ее физический смысл очевиден: при уменьшении

вдвое количества частиц производится увеличение в два раза рассматриваемой области за счет объединения пары объемов (переход от системы N частиц к системе частиц). В работе [32] вместо описанной выше процедуры объединения предлагается просто удваивать количество частиц каждого размера.

В [13, 12] описывается алгоритм, в котором количество модельных частиц остается неизменным. При этом в фазовое пространство состояний частиц вводится дополнительная переменная (вес частицы). В работе [13] приводится доказательство ассимптотической несмещенности оценки, построенной с использованием этого алгоритма, в предположении выполнения условия "молекулярного хаоса" (0.0.7).

Рассмотрим некоторые модели процесса коагуляции. Известно большое количество различных физических явлений, вызывающих столкновения и взаимодействия частиц. Среди них могут быть выделены, например, броуновские диффузионные процессы [49]; осаждение под действием гравитационных сил [38]; конденсация, химические реакции между полимерами [28]. В настоящей работе рассматривается коагуляция частиц примеси, вызванная турбулентным движением среды.

Саффман и Тернер [44] получили вид коэффициентов коагуляции Кц для пространственно однородной задачи (0.0.3)-(0.0.4) в предположении, что поле скоростей, в котором находятся коагулирующие частицы, является гауссовским и локально изотропным:

Здесь е — средняя удельная диссипация энергии, ь> — коэффициент вязкости, 7*1 — радиус мономера. Построенные коэффициенты являются усредненными по случайным флуктуациям поля скоростей. В работе [41] приводится вид коэффициентов коагуляции для мгновенной реализации случайного процесса

А « 1.3.

(0.0.8)

А= 1.3648

(0.0.9)

с точностью до 2.3%.

В более общем виде задача может быть сформулирована следующим образом [41]: определить, в каких случаях решение задачи (0.0.3)-(0.0.4) со случайными коэффициентами коагуляции К^ может быть приближено решением той же задачи с осредненными коэффициентами Кц = Е[/1"у]. Интерес представляют также случаи, когда их отличие настолько велико, что усредненное описание неприемлемо.

Более строгий подход к описанию процесса коагуляции в турбулентном потоке предполагает решение пространственно неоднородной системы уравнений Смолуховского (0.0.1). Среди моделей поля скоростей х) турбулентного потока широкое распространение получили стохастические модели, основанные на теории турбулентности Колмогорова [42, 31]. Таким образом, возникает необходимость решения пространственно неоднородных уравнений (0.0.1), где г>(£,ж) - случайное поле.

Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию алгоритмов решения системы уравнений Смолуховского. Ее основные задачи могут быть сформулированы следующим образом:

1) исследование сходимости метода типа Нанбу и его обобщение на случай уравнений Смолуховского с ненулевыми коэффициентами дробления и источником;

2) построение алгоритма решения уравнений Смолуховского со случайными коэффициентами;

3) построение алгоритма решения пространственно неоднородных уравнений Смолуховского;

4) сравнительный анализ эффективности метода типа Нанбу и метода типа Берда;

5) численное исследование моделей коагуляции в турбулентном потоке. Работа состоит из введения, двух глав и заключения.

В первой главе излагаются основные теоретические результаты работы.

В параграфе 1.1 приведено описание известных стохастических алгоритмов решения пространственно однородных уравнений Смолуховского без источника и учета процесса дробления (метода типа Нанбу, метода типа Берда и весового метода), а также сформулированы из-

вестные результаты, касающиеся их сходимости.

В параграфе 1.2 приведено обобщение метода типа Нанбу на случай уравнений Смолуховского с ненулевыми коэффициентами дробления и источником, сформулированы и доказаны теоремы сходимости данного метода.

В параграфе 1.3 приводится метод решения уравнений Смолуховского со случайными коэффициентами, в основе которого лежит рандомизация известных стохастических алгоритмов решения детерминированных уравнений.

В параграфе 1.4 приведен алгоритм решения пространственно неоднородной системы уравнений Смолуховского на основе построения прямых и сопряженных лагранжевых траекторий движения частицы в поле скоростей х).

Во второй главе излагаются основные результаты численного анализа.

В параграфе 2.1 приведены результаты сравнительного анализа эффективности методов Берда, Нанбу и весового метода, на основе которого сделаны выводы о целесообразности их применения в некоторых конкретных случаях.

В параграфе 2.2 приведено решение системы уравнений Смолуховского со случайными коэффициентами для некоторых представляющих интерес случаев, проведено его сравнение с решением той же системы с осредненными коэффициентами.

В параграфе 2.3 приведены результаты численного моделирования процесса коагуляции в случайном турбулентном поле скоростей и исследование влияния случайных флуктуаций поля скоростей на процесс коагуляции.

Глава 1

Стохастические модели процесса коагуляции и система уравнений Смолуховского.

1.1. Обзор методов решения уравнений С мо л у ховского.

Во введении были кратко перечислены некоторые известные стохастические методы решения системы уравнений Смолуховского в пространственно однородном случае при условии отсутствия источника и процесса дробления:

В данном разделе приводится более подробное описание этих методов, которое понадобится в дальнейшем при их сравнительном анализе (глава 2). Кроме того, сформулированы известные результаты, касающиеся их сходимости.

Отметим сначала известное свойство решения задачи (1.1.1)-(1.1.2), которое будет часто использоваться в дальнейшем. Наряду с (1.1.1)-(1.1.2) рассмотрим систему

д. = - 2^{КцП1Щ)]

ОТ ¿>1

(1.1.1)

щ(0) = -\ц ^ и, { — 1, . . . , ио, >Ь1\У) — и, I ^ (1.1.2)

3/1«

= - Е(*1.\Ш

дг

г>1

^ = \ Е нии - // Е I > 2

ОТ Л ¿>1

(1.1.3)

с начальными условиями

ЖО)=п}°>/«; l> 1. (1.1-4)

Здесь kij = n = ^ /nf^. л и />i

Решение п/(£) задачи (1.1.1)-(1.1.2) может быть выражено через решение /¿(i) задачи (1.1.3)-(1.1.4) следующим образом:

ra,(i) = nfi(nKnt). (1.1.5)

Это означает, в частности, что при рассмотрении методов решения задачи (1.1.1)-(1.1.2) можно, не ограничивая общности, считать выполненным условие

l>i(0) = l. (1.1.6)

г>1

1.1.1. Метод прямого статистического моделирования (метод типа Берда).

Рассмотрим некоторую систему N частиц. Будем считать, что каждая частица i задается своим размером /¿, который является целым числом из интервала [1, оо).

В начальный момент времени состояние системы задается соотношением

N

£ оцр

р-1— =п|0), г = 1,2,... LQ; L = N.

N

Пусть в момент времени Ьгк состояние системы описывается вектором (¿1,. .., /_£,). Найдем некоторое значение Ктах, такое, что

Состояние системы в момент времени определяется следующим образом.

1. Разыгрывается случайный размер временного шага Д£ с плотностью распределения

2ЛГ

рАг(х) = Аехр(-Лх); А = _ С1-1-7)

и вычисляется := % +

2. Разыгрывают