Аналитические методы расчета неоднородных оптических волноводов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Г Л А В А I. МОДЕЛИ НЕОДНОРОДНЫХ СЛОЕВ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ

ТЕОРИИ СЛОИСТЫХ СРВД.

§1.1. Исходное уравнение

§ 1.2. Метод построения математических моделей неоднородных слоев

§ 1.3. Гипергеометрическое уравнение Гаусса и обобщенные распределения Эпштейна-Эккарта и Пешля-Теллера

§ 1.4. Модели неоднородных слоев в рамках обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта

§ 1.5. Модели неоднородных слоев в рамках обобщенного распределения Пешля-Теллера

ГЛАВА II. ВОЛНОВОДНЫЕ СВОЙСТВА НЕОДНОРОДНЫХ СЛОЕВ

§ 2.1. Волноводные слои в рамках обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта

2.1.1. Слой в переходной области двух диэлектриков

2.1.2. Слой в приповерхностной области диэлектрика

2.1.3. Волновод с непроницаемыми стенками

§ 2.2. Волноводные слои в рамках обобщенного распределения

Пешля-Теллера.

2.2.1. Волновод с $ -образным распределением диэлектрической проницаемости

2.2.2. Слой в приповерхностной области диэлектрика

2.2.3. Волновод с непроницаемыми стенками

§ 2.3. Об определении профилей диэлектрической проницаемости приповерхностных оптических волноводов

Г Л А В А III. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

В ТЕОРИИ КАНАЛЬНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

§ 3.1. Исходное уравнение

§ 3.2. Вариационный метод разделения переменных. Анализ некоторых аналитических методов расчета в рамках вариационного подхода

§3.3. Сопоставительный анализ аналитических методов расчета волноводов на конкретных примерах

3.3.1. Волноводы прямоугольного сечения

3.3.2. Модель градиентного волновода .ИЗ

Неоднородные диэлектрические волноводы находят ныне все более широкое применение в таких быстро развивающихся областях прикладных исследований, как волоконная и интегральная оптика, ближайшей целью которых является создание широкополосных,слабо подверженных внешним воздействиям^оптических систем связи и обработки информации .

Современная технология, основывающаяся на использовании процессов термо- и электродиффузии, ионного обмена, эффузии и других ¡7-14] , позволяет получать волноводы с низкими световыми потерями в диэлектриках с электро-, акусто-, нелинейно-оптическими свойствами. Благодаря этому стало принципиально возможным -создание на основе неоднородных волноводов высококачественных интегрально-оптических устройств передачи и обработки информапотребность в надежных, по-возможности простых, аналитических методах расчета электродинамических характеристик неоднородных волноводов, без знания которых оказался невозможным расчет и оптимизация интегрально-оптических устройств.

Под расчетом диэлектрического волновода подразумевается решение граничной электродинамической задачи при заданном виде зависимости диэлектрической проницаемости £ волновода от пространственных (поперечных) координат ( х и у ). Данная задача не поддается строгому аналитическому решению в общем виде. Поэтому для ее решения используются численные подходы, основывающиеся на применении вариационной процедуры Релея-Ритца (см., например, [94,98,99] ) и приближенные [95-97,100,102], сводящие анализ того или иного волновода к расчету планарных волноводов. Численные подходы позволяют рассчитывать электродинамические характерисции, закодированной в оптическом излучении

Возникла тики разнообразных волноводов с практически любой требуемой точностью, но реализация их требует больших затрат машинного времени ЭВМ. Поэтому численные подходы применяются преимущественно для получения некоторых реперных данных, служащих для контроля точности относительно простых приближенных подходов.

Оптические волноводы относят к слабонеоднородным средам, описание электромагнитных свойств которых проводится в рамках обычного скалярного волнового уравнения [91,94] . В его рамках отмечавшиеся выше приближенные подходы ¡95,96,100,102] выглядят как методы приближенного разделения переменных X и ^ , основанные на замене исходного распределения £ ( X, ^ ) приближенным £(Х,1^)=£(Х,у)-<-£(х,у)-. Последнее представляет собой приближенное разложение б(х,^) в ряд Тейлора в окрестности точки (Х,у) . Отличие методов заключается в выборе этой точки, а точнее ортогональных сечений Х=х и ,в которых 6 (X, у )=

В методах [95,96, Юо], развитых для планарных волноводов конечной ширины (1 ( £(Х,у) = £(*>0) при ¿/2 ), одно из сечений фиксировано (¡¡-0) » а другое Х=х выбирается либо проходящим через центр волноводной области ¡95] , либо касательным к линии поворота анализируемой моды [9б] , либо из условия минимизации поправки к постоянной распространения анализируемой моды в первом порядке теории возмущений [юо] . Все три подхода являются асимптотически точными, т.е. приводят к результатам тем более точным, чем выше степень локализации анализируемых мод или чем больше ширина (1 анализируемого волновода. Вместе с тем по точности описания слаболокализованных мод выигрывает метод [юо] , приводящий к результатам [101] , находящимся в лучшем согласии с известными численными и экспериментальными данными. В работе [102] данный метод обобщен на случай расчета оптических волноводов диффузионного типа, характеризующихся функцией распределения скачка диэлектрической проницаемости в виде произведения ^(х) • Дисперсионные кривые для эллиптического волокна гауссова профиля диэлектрической проницаемости, рассчитанные этим методом [юз] , практически не отличимы от ре-перных [94] . Это свидетельствует не только о высокой точности подхода, развитого в работах [Ю0,Ю2] , но и о существовании оптимального метода приближенного разделения переменных в волновом уравнении, не связанного с конкретным видом диэлектрической проницаемости £(Х,у) . Задача поиска такого метода являлась одной из решаемых в настоящей работе.

Использование методов приближенного разделения переменных позволяет свести расчет оптического волновода к решению задач типа Штурма-Лиувилля .г , у (]>(*), (0.1) где I и I - постоянные, связь мезду которыми подлежит установлению. Следующий шаг состоит в решении уравнения (0.1), которое пока еще не решено в общем виде, несмотря на широкую распространенность в физике. К решению уравнения (0.1) сводится анализ планарных оптических волноводов [22-25] , исследование распространения электромагнитных и упругих волн в слоистых средах [2б] , расчет стационарных состояний некоторых квантовомеханических систем [27-29] .

Наиболее общим и относительно простым подходом к решению уравнения (0.1) является использование так называемого ВКБ -приближения [зо] . Данный подход хорошо зарекомендовал себя в решении задач расчета многомодовых планарных оптических волноводов [зо-зб] . Дисперсионное ВКБ-уравнение лежит в основе вол-новодного метода восстановления профилей диэлектрической проницаемости £(Х) приповерхностных волноводов [37,38] , получаемых диффузионными методами. Однако точность ВКБ-приближения ухудшается при переходе к маломодовым волноводам и оно практически не применимо для расчета одномодовых волноводов, представляющих наибольший интерес для прикладных целей.

Распространенным подходом к расчету маломодовых волноводов является использование модельных распределений £(*) для аппроксимаций профилей диэлектрической проницаемости волноводов. В его рамках исследуемый волновод разбивается на слои, в пределах которых профиль диэлектрической проницаемости аппроксимируется отрезком той или иной модельной зависимости 8(к) , допускающей строгое аналитическое решение уравнения (0.1). Задача расчета сводится к согласованию известных решений на границах слоев. В качестве модельных распределений &(Х) используются постоянное (кусочно-постоянная аппроксимация ¡39] ) либо линейное (кусочно-линейная аппроксимация ¡40] ). Точность расчетов повышается с увеличением числа разбиений, но при этом растет и объем вычислений, которые проводятся на ЭВМ. Число разбиений можно уменьшить без потери точности путем использования многопараметрических моделей £ (X) , например, трехпараметрических параболического и экспоненциального распределений, нашедших широкое применение для моделирования профилей диффузионных планарных волноводов ¡41-4б]. Использование многопараметрических распределений позволяет порой ограничиваться двумя разбиениями (например, воздух-волновод-ная область с параболическим профилем-подложка ) или вообще одним (например, воздух-волноводная область с экспоненциальным распределением 6(Х) , спадающим к проницаемости подложки

42] ). При этом очевидно упрощается расчет оптического волновода и становится элементарным,когда его профиль удается аппроксимировать в целом одной модельной зависимостью . В качество ве примера можно назвать распределение Эпштейна или Эккарта, использующееся в целом для аппроксимаций профилей диэлектрической проницаемости волноводных слоев в р-п - переходе инжекционных лазеров [47-50] . Число физически приемлемых распределений £(*),описывающих сразу всю волноводную структуру и при этом допускающих известные аналитические решения задачи (0.1), ограничено. К таким £(Х) можно отнести известные в литературе [26-29] распределения Эпштейна или Эккарта, Пешля-Теллера, Морса или биэкспоненциальное, Кратцера и параболическое. Все эти распределения принадлежат к классу зависимостей £(Х) , допускающих решение уравнения (0.1) в функциях гипергеометрического типа. Наиболее полный перечень таких распределений с применением их в квантовой механике приведен в работе [б9] . Представляется естественным, с одной стороны, применить известные в квантовой механике результаты к расчету оптических волноводов, а с другой стороны выяснить:исчерпываются ли известными распределениями £ (X) все физически приемлемые зависимости, допускающие решение задачи (0.1) в известных функциях. Соответствующее рассмотрение проведено в настоящей работе.

Целью работы является исследование возможностей строгого аналитического решения волноводной задачи для планарных неоднородных волноводов и последующее развитие приближенных аналитических методов расчета оптических волноводов канального типа.

В соответствии с поставленной целью в работе получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту.

I. Установлено, что из класса зависимостей 6 (X) , допускающих решение задачи Штурма-Лиувилля (0.1) в гипергеометрических функциях Гаусса, требованию независимости £(А) от параметров I и

Распределения Эпштейна и Эккарта представляют собой различные формы записи одной зависимости £ (х) (см. § 1.4 настоящей работы). h задачи удовлетворяют только два пятипараметрических распределения

W" Щг " -f + "ПГc4f -Т-W.2) о.з)

Показано, что (функции (0.2), (0.3) содержат все известные в литературе модели £(Х) , удовлетворяющие указанному требованию и допускающие решение задачи (0.1) в функциях гипергеометрического типа.

II. В рамках распределений (0.2) и (0.3) проанализированы волноводные свойства слоев: в переходной области двух диэлектриков; в приповерхностной области диэлектрика; с $ - образным распределением диэлектрической проницаемости, а также неоднородных волноводов с непроницаемыми стенками.

III. Предложен метод восстановления профилей диэлектрической проницаемости маломодовых (в том числе и одномодовых) приповерхностных оптических волноводов. Эффективность метода проиллюстрирована на примерах определения профилей ионно-обменных приповерхностных волноводов.

IV. Развит вариационный метод приближенного разделения переменных в задаче о направляемых модах канальных оптических волноводов, обеспечивающий оптимальное сведение данной задачи к одномерным задачам Штурма-Лиувилля. Установлено, что метод является аналогом известного в квантовой механике приближения самосогласованного поля Хартри-Фока. Проведен сопоставительный анализ различных методов расчета канальных волноводов на примерах волноводов прямоугольного сечения и эллиптических волокон гауссова профиля диэлектрической проницаемости.

Диссертация состоит из данного введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 104 наименований. Работа содержит 16 рисунков, I таблицу и 106 страниц машинописного текста. Всего пронумеровано 136 страниц.

Первая глава посвящена исследованию возможностей расширения класса моделей неоднородных слоев в электромагнитной теории слоистых сред, в § 1.1 система векторных уравнений Максвелла для слоистой среды сведена к независимым скалярным уравнениям для двух типов волн. Показано, что анализ собственных волн слоистой среды подразумевает решение одномерных задач Штурма-Лиувилля типа (0.1). В § 1.2 изложены общие соображения относительно методики построения физически приемлемых зависимостей £(х) , допускающих решение уравнения (0.1) в известных функциях. Общие соображения § 1.2 реализованы в § 1.3, где построены пятипараметричес-кие распределения (0.2), (0.3), допускающие решение уравнения (0.1) в гипергеометрических функциях Гаусса. В § 1.4 проведен анализ распределения (0.2) с целью выяснения возможностей использования его для моделирования неоднородных слоев и прежде всего волноводных слоев в непоглощакхцих средах. Показано, что оно приводит к трем различным четырехпараметрическим моделям непоглощающей непрерывно-слоистой среды, одной из которых является известная модель Эпштейна или Эккарта. В этой связи распределение (0.2) названо обобщенным распределением Эпштейна-Эккарта. Показано, что частными или предельными случаями (0.2) являются также известные трех- и двух- параметрические распределения Морса, Кратцера, Хюльтена, Вуда-Саксона, экспоненциальное, параболическое, линейное, принадлежащие к классу зависимостей £(х;,допускающих решение уравнения (0.1) в функциях гипергеометрического типа. В § 1.5 проведен аналогичный анализ распределения (0.3). Приведены его частные и предельные случаи, наиболее общим из которых является четырехпараметрическое распределение Пешля-Тел-лера. В этой связи (0.3) названо обобщенным распределением Пеш-ля-Теллера.

Вторая глава посвящена анализу планарных оптических волноводов, моделирующихся распределениями (0.2) и (0.3) и разработке метода определения профилей диэлектрической проницаемости мало-модовых приповерхностных волноводов. В § 2.1 получено строгое аналитическое решение задачи Штурма-Лиувилля для обобщенного распределения Эпштейна-Эккарта. Проанализированы волноводные слои в переходной области двух диэлектриков, в приповерхностной области диэлектрика и некоторые другие, моделирующиеся распределением (0.2). Приведены предельные переходы, сводящие найденные решения задачи (0.1) для распределения (0.2) к известным в литературе решениям для распределений Морса, Кратцера, параболического и некоторых других. Дана физическая интерпретация предельных переходов. В § 2.2 решена задача Штурма-Лиувилля для обобщенного распределения Пешля-Теллера. Проанализированы волноводные слои с 5 -образным распределением диэлектрической проницаемости и - в приповерхностной области диэлектрика, а также некоторые другие, моделирующиеся распределением (0.3). Приведены предельные переходы, сводящие решения задачи (0.1) для распределения (0.3) к решениям для распределений Морса, параболического и некоторых других предельных случаев (0.3). Дана физическая интерпретация предельных переходов. В § 2.3 изложен волноводный метод восстановления профилей диэлектрической проницаемости ма-ломодовых приповерхностных оптических волноводов. Эффективность метода проиллюстрирована экспериментальными примерами.

В третьей главе рассмотрены вопросы расчета электродинамических характеристик канальных оптических волноводов. В § 3.1 система векторных уравнений Максвелла для двумерно-неоднородной среды, слабонеоднородной в одном из направлений, сведена к независимым скальным уравнениям для двух типов волн. Показано, что расчет канального оптического волновода подразумевает решение двумерной задачи Штурма-Лиувилля. В § 3.2 изложен вариационный метод приближенного разделения переменных в данной задаче, обеспечивающий оптимальное сведение ее к одномерным задачам Штурма-Лиувилля типа (0.1). Метод является аналогом известного в квантовой механике приближения самосогласованного поля Хартри-Фока. Дана трактовка некоторых распространенных подходов к расчету канальных оптических волноводов как методов приближенного разделения переменных в двумерной задаче Штурма-Лиувилля. В §3.3 проведен сопоставительный анализ различных методов расчета на примерах волноводов, характеризующихся фикцией распределения скачка диэлектрической проницаемости в виде произведения ^(х)-^(^). Рассмотрены волноводы прямоугольного сечения и модель градиентного волновода,близкого к эллиптическому волокну гауссова профиля.

Показано, что на классе известных методов приближенного разделения переменных вариационный метод является оптимальным, то есть приводит к результатам,наиболее полно согласующимся с известными численными данными.

В заключении приведены основные результаты настоящей работы.

Материалы работы докладывались на I Всесоюзной конференции по радиооптике (Фрунзе, 1981 г.), III Всесоюзной конференции "Волоконно-оптические линии связи" (Москва, 1981 г.), Мезедуна-родном конгрессе по прикладной оптике (Прага, 1981 г.), УН Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Львов, 1981 г.), Международной конференции и школе "Лазеры и применения" (Бухарест, 1982 г.), УН Белорусской конференции молодых ученых по физике (Могилев, 1982 г.) и опубликованы в работах

Работы ¡51-53,72,104] написаны в соавторстве с Гончарен-ко A.M., Карпенко В.A. (a [l04] - Сотским А.Б.), которые принимали участие в постановке задач и анализе полученных результатов. Работа ¡7б] выполнена в соавторстве с Войтенковым А.И., которому принадлежит экспериментальная часть работы. В обзорном докладе [iÖ] автором написана теоретическая часть, касающаяся вопросов моделирования профилей диэлектрической проницаемости планарных оптических волноводов. Работы [73-75] выполнены автором самостоятельно.

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю лауреату Государственной премии БССР, академику АН БССР, доктору физико-математических наук, профессору, заслуженному деятелю науки БССР Гончаренко A.M. за первоначальную постановку задачи, подцержку и постоянное внимание к работе. Автор искренне благодарен лауреату Государственной премии БССР, кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику Карпенко В.А. за поддержку и плодотворное сотрудничество, а также кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику Сотскому А.Б. за полезные обсуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Установлено, что из класса зависимостей £(Х),допускающих строгое решение задачи Штурма-Лиувилля

I2сод) в гипергеометрических функциях Гаусса, требованию независимости от параметров к и к задачи удовлетворяют только два пятипара-метрических распределения: обобщенное распределение Эшптейна-Эк-карта

Ш= ^ - -V + "^ТГ ьЧ*тг)+ т(0-2) и .обобщенное распределение Пешля-Теллера е(х>=«3-е,-б4+е,4Ь1(?-8аь-)+£.-си1г0Г^т1). (о.з)

2. Показано, что распределение (0.2) приводит к трем различным четырехпараметрическим моделям неоднородных слоев в непогло-щающих средах, одной из которых является известная модель Эпштей-на или Эккарта. В этой связи (0.2) названо обобщенным распределением Эпштейна-Эккарта. Показано также, что частными или предельными случаями (0.2) являются известные трех- и двухпараметричес-кие распределения Морса, Кратцера, Хюльтена, Вуда-Саксона, экспоненциальное, параболическое, линейное. Установлено, что в целом распределение (0.2) пригодно для моделирования неоднородных вол-новодных слоев в переходной области двух диэлектриков и в приповерхностной области диэлектрика, а также неоднородных волноводов с идеально непроницаемыми стенками.

3. Показано, что распределение (0.3) приводит к трем различным четырехпараметрическим моделям неоднородных слоев в непогло-щающих средах, одной из которых является известная модель Пешля-Теллера. В связи с этим (0.3) названо обобщенным распределением Пешля-Теллера. Показано, что предельными случаями (0.3) являются распределение Морса, параболическое, экспоненциальное, линейное. Установлено, что в целом распределение (0.3) пригодно для моделирования волноводных слоев с £ -образным распределением диэлектрической проницаемости, слоев в приповерхностной области диэлектрика, а также неоднородных волноводов с идеально непроницаемыми стенками.

4. Проведено исследование волноводных свойств, перечисленных в I и 3 волноводных слоев. Исследования выполнены в рамках обобщенных распределений Эпштейна-Эккарта и Пешля-Теллера. Получены' строгие аналитические решения волноводной задачи и показано, что полученные решения содержат в себе, как частные и предельные случаи, решения волноводной задачи для слоев Морса, Кратцера, параболического и других. Установлена неоднозначность связи спектра эффективных показателей преломеления мод, удерживаемых волновод-ным слоем на фиксированной длине волны излучения, с параметрами профиля его диэлектрической проницаемости.

5. Предложен и проиллюстрирован экспериментальными примерами волноводный метод восстановления профилей диэлектрической проницаемости приповерхностных оптических волноводов (с максимумом диэлектрической проницаемости на границе волновод-воздух).

6. Развит вариационный метод приближенного разделения переменных в задаче о направляемых модах канальных оптических волноводов, квантомеханическим аналогом которого является метод самосогласованного поля Хартри-Фока. Предложена аналитическая схема расчета модовых характеристик волноводов, характеризующихся функцией распределения скачка диэлектрической проницаемости в виде произведения ¿Дк) »^(Ц) С х , ^ - декартовые координаты). Простота и точность метода проиллюстрирована на конкретных примерах.

1. Джаллорензи Т.Г. Исследования и техника систем оптической связи. Волоконная оптика. - ТИИЭР, 1978, т. бб, № 7, с.29-72.

2. Гончаренко A.M., Дерюгин JI.H., Прохоров A.M., Шипуло Г.П. О развитии интегральной оптики в СССР. ЖПС, 1978, т. 29, № б, с. 987-997.

3. Ботез Д., Херсковиц Дж.Дж. Компоненты оптических систем связи: обзор. ТИИЭР, 1980, т. 68, № б, с. 57-107.

4. Дерюгин JI.H. Возможности, ограничения и проблемы развития планарной волноводной оптики. Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника, 1982, т. 25, № 2, с. 4-20.

5. Гончаренко A.M. Некоторые итоги и проблемы развития интегральной оптики. ЖПС, 1982, т. 37, № б, с. 965-971.

6. Андрушко JI.M., Вознесенский В.А., Панфилов И.П. Современное состояние и перспективы развития оптических интегральных схем. Зарубежная радиоэлектроника, 1983, № II, с. 60-72.

7. Аникин В.И., Горобец А.П., Половинкин А.Н. Исследование распределения показателя преломления в плоских оптических волноводах, изготовленных с помощью твердотельной диффузии и ионного обмена. ЖГФ, 1978, т. 48, № 4, с. 797-804.

8. Золотов Е.М., Киселев В.А., Плехатый В.Н. Определение характеристик оптических диффузионных волноводов. Квантовая электроника, 1978, т. 5, if» II, с. 2376-2382.

9. Гончаренко A.M., Редько В.П. Получение и исследование тонкопленочных оптических волноводов. В сб. Проблемы современной оптики. Минск: Наука и техника, 1980, с. 34-41.

10. Войтенков А.И., Гончаренко A.M., Могилевич В.Н. и др. Получение и исследование пленарных волноводов для устройств интегральной оптики. В кн. Тезисы докладов I Всесоюзной конференции по радиооптике. Фрунзе, 1981. - 274 с.

11. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир, 1980. - 656 с.

12. Половинкин А.Н. Исследование многослойных плоских оптических волноводов для схем интегральной оптики. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Москва, 1981. - 289 с.

13. Штейнгарт JI.M., Пахомов А.Г. Измерение методом эллипсо-метрии эффективных параметров поверхностных слоев, получаемых облучением плавленого и кристаллического кварца ионами бора. -Весц1 АН БССР, сер. ф1з.-мат.навук, 1981, № I, с. 105-108.

14. Редько В.П., Штейнгарт Л.М., Сорока В.И., Арцимович М.В., Малько А.И. Оптические S -волноводы в кристаллическом кварце, полученные при помощи облучения ионами гелия. Письма в ЖГФ, 1961, т. 7, вып. 5, с. 927-930.

15. Гончаренко A.M., Редько В.П. Введение в интегральную оптику. Минск: Наука и техника, 1975. - 152 с.

16. Интегральная оптика / Под ред. Т.Тамира. М.: Мир, 1978. - 344 с.

17. Киселев В.А. Элементы интегральной оптики. Справочник по лазерам / Под ред. акад. А.М.Прохорова. М.: Советское радио, 1978, т. 2, с. 91-107.

18. Морозов В.Н., Плетнев В.А., Попов Ю.М., Смирнов В.Л. Интегрально-оптические элементы и устройства. Изв. АН СССР, сер. физ., 1980, т. 44, № 8, с. I65I-I669.

19. Alferhess R.C. Guided wave devices for optical com-, munication (Invited Paper). - IREE J. Quant. Electron., 1981, v. 17, N 6, p.'946-959.

20. Tien P.K. Giordmaine J.A. Integrated optics: the components. Bell Lab. Ree., 1981, v.59, N 1, p.8-13.

21. Войтенко И.Г. Исследование некоторых устройств интегральной оптики на основе ниобата лития. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Минск, 1982. - 168 с.

22. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974. -576 с.

23. Содха М.С., Гхатак А.К. Неоднородные оптические волноводы. М.: Связь, 1980. - 216 с.

24. Гончаренко A.M., Карпенко В.А. Основы теории оптических волноводов. Минск: Наука и техника, 1983. - 144 с.

25. Андрушко JI.H. Диэлектрические и неоднородные волноводы оптического диапазона. Киев: Техника, 1983. - 144 с.

26. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука,1973. 436 с.

27. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т.II.-М.: ИЛ, 1958. 886 с.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, т. III. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. - 752 с.

29. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике, т. I М.: Мир,1974. 341 с.

30. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ) М.: Мир, 1965. - 238 с.

31. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 455 с.32. -Gedeon A. Comparison between rigorous theory and. WKB-analysis of modes in graded index waveguides.-Opt.Commun.,1974, v.12,p.329-332.

32. Hartog A.H. , Adams M.J. On the accuracy of the V/KB approximation in optical dielectric waveguides.- Opt.and Quant. Electron.,1977,v.9,p.223-232.

33. Conwell E.M. WKB approximation for optical guide modes in a medium with exponentially varuing index.- J.Appl.Phys., 1975,v.46,No.3,p.1407-1410.

34. Ankiewicz A. Comparison of wave and ray techniques for solution of graded index optical waveguide problems.- Opt.Acta,1978,v.25,lTo.5»p.361-373.

35. Janta J., Ctyroki J. On the accuracy of \7KB analysis of the TE and № modes in planar graded index waveguides.- Opt. Commun.,1978,v.25,Ho.1,p.49-52.

36. Vassel M.O. Direct technique for calculating dielectric permitivity profiles from the distribution of mode indiced in waveguides.- J.Opt.Soc.M., 1975, v. 65,No.9,p. 1019-1 021.

37. White J.M., Heidrich P.E. Optical waveguide refractive index profiles determined from measurement of mode indiced.-Appl.Opt.,1976,v.15,No.1,p.151-155.

38. Suematsu Y., Furuya K. Propagation mode and Scattering loss of a two dimensional dielectric waveguide with gradual distribution of refractive index.- IEEE Trans.Microwave Theory and Technol.,1972,v.20,Ho.8,p.524-531.

39. Marcuse D. TE modes of graded-index slab-waveguides.-IEEE J.Quant.Electron.,1973,QE-9,p.1000-1005.

40. Kirchhoff H. Solution of Maxwell's equation for inhomo-geneous dielectric slabs.- Arch.Electron. Ubertragungstechn., 1972,v.26,lio. 12,p. 537-541.

41. Conwell E.M. Modes in optical waveguides formes by diffusion.- Appl.Phys.Lett.,1973,v.23,No.6,p.328-330.

42. Marcuse D. The effect 7 tl term on the modes of an optical squre law medium.- IEEE J.Quant.Electron.,1973,QE-9, p.958-960.

43. Stewart G., Millar C.A., Laubourn P.J.at el. Planar optical waveguides formes by silver ion migration in glass.-IEEE J.Quant.Electron.,1977,QE-13,p.192-200.

44. Griffiths G., Khan P.J. Analysis of planar optical waveguide fabrication by ion exchange in glass.- IEEE J.Quant. Electron., 1981 ,.QE-17,p. 529-535.

45. Yata A., Ilcuno H. Guides of parabolic-slab waveguide.-Electron.Lett.,1981,v.i7,No.3,p.115-1l6.

46. Nelson D.P., Mc Kenna I.J. Electromagnetic modes of anisotropic dielectric waveguide at'p-n junction.- J.Appl.Phys., 1967,v.38,p.4057-4060.

47. Гончаренко A.M., Гусак H.A., Карпенко В.А. Распространение волн вдоль неоднородного слоя. ЖПС, 1969, т. II, вып. I, с. 104-108.

48. Столяров С.Н. 0 влиянии поглощения на волноводные свойства слоев с переменными параметрами. Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1970, т. 13, № 5, с. 749-756.

49. Гончаренко A.M., Карпенко В.А., Столяров С.Н. Волноводные свойства р-п переходов и электромагнитная теория инжекцион-ных лазеров. Минск: 1970. - 96 с. (Препринт ИФ АН БССР).

50. Гончаренко A.M., Карпенко В.А., Могилевич В.Н. К теорииплоских неоднородных диэлектрических волноводов. Весц1 АН БССР, сер. ф1з.-мат. навук, 1979, № 3, с. 90-95.

51. Гончаренко A.M., Карпенко В.А., Могилевич В.Н. К вопросу о распространении волн в непрерывно-слоистых средах. В кн. Тезисы докладов 8-го Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Волны и дифракция. т.З - М.: I981,с.239-242.

52. Goncharenko A.M., Karpenko W.A., Mogilevich W.N. The bases of the theory for planar inhomogeneous waveguides.- International conference and school "Lasers and applications"- Bucharest, 1982,p.161-162.

53. Карпенко В.А. О сведении уравнений Максвелла к двум скалярным. Докл. АН БССР, 1983, т. 27, № 2, с. I29-I3I.

54. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. -М.: Наука. 1969. 191 с.

55. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. - 320 с.

56. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. - 576 с.

57. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции, т. I М.: Наука, 1973. - 273 с.

58. Аллахвердян Р.Г., Ораевский А.Н., Сучков А.Ф. Влияние волноводных свойств р-п перехода на генерацию лазерных диодов из арсенида галия. Физ. и техн. полупроводников, 1970, т. 4, № 2, с. 341-346.

59. Микаэлян А.Л. 0 диэлектрических волноводах. Selfoc Квантовая электроника, 1977, т. 4, № 2, с. 467-468.

60. Kawakami S., Nishizawa I. An optical waveguide with the optimum distribution of the refractive index with reference to wave from distorsion.- IEEE Trans.Theory and Technol.,1968, ЫТТ-16,p.814-818.

61. Kurtz C.N., Streifer W. Guided waves in inhomogeneous focusing media.- IEEE Trans,Microwave Theory and Technol.,1969, MTT-17,p.11-15.

62. Kumar A., Khular E.A. Perturbation analysis for modes in diffused waveguides with a gaussian profile.- Opt.Commun., 1978,v.27,No.3,p.349-352.

63. Chartier G., Collier P., Guez A., Janssand P., Won Y. Graded-index surface of buried waveguides by ion exchange in glass.- Appl.Opt.,1980,v.19,No.7,p.1092-1095.

64. Sharma E.K., Ghatak A.K. Exact modal analysis for buried planar optical waveguides with asymmetric graded refractive index profile. Opt. and Quant. Electron., 1981, v. 31» No 5, p. 429-432.

65. Войтенков А.И., Редько В.П. Определение параметров одномодовых диффузионных волноводов.-Квантовая электроника,1980, т. 7, № д, с. 2001-2003.

66. Золотов Е.М., Черных В.А. Об определении характеристик диффузных волноводов методом аппроксимирующих функций. Квантовая электроника, 1981, т. 8, с. 1830-1833.

67. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984. - 512 с.

68. Iufeld L., Hull Т.Е. The factorization method. Rev. Mod. Phys., 1951, v. 23, No 1, p. 21-68.

69. Натанзон Г.А. Исследование одномерного уравнения Шредин-гера, порождаемого гипергеометрическим уравнением. Вестник ЛГУ, 1971, № Ю, с. 22-28.

70. Натанзон Г.А. Общие свойства потенциалов, для которых уравнение Шредингера разрешимо в гипергеометрических функциях. -ТМФ, 1979, т. 38, № 2, с. 219-229.

71. Гончаренко A.M., Могилевич В.Н. 0 свойствах планарных градиентных волноводов. Докл. АН БССР, 1982, т. 26, № I,с. 31-34.

72. Могилевич В.Н. Волноводные свойства неоднородногослоя. - Весц1 АН БССР, сер. ф1з.-мат. навук, 1981, № 2, с. 121-126.

73. Могилевич В.Н. О неоднозначности связи спектра волновод-ных показателей преломления мод планарного неоднородного слоя с его параметрами. В кн. Тезисы докладов 7-й Республиканской конференции молодых ученых по физике. - Минск, 1982. - 42 с.

74. Могилевич В.Н. О неоднозначности определения профиля диэлектрической проницаемости планарного оптического волновода по спектру волноводных показателей преломления мод. ШС, 1982, т. 36, вып. 5, с. 827-831.

75. Войтенков А.И., Могилевич В.Н. Об определении профиля показателя преломления маломодовых волноводов. Квантовая электроника, 1983, т. 10, № 10, с. 2128-2130.

76. Колосовский Е.А., Петров Д.В., Царев A.B. Численный метод восстановления профиля показателя преломления диффузионных волноводов. Квантовая электроника, 1981, т. 8, № 12, с.2557-2568.

77. Парье 0., Сычугов В.А., Тищенко A.B. 0 восстановлении профиля показателя преломления в диффузионных волноводах. -Квантовая электроника, 1980, т. 7, № 9, с. 2028-2031.

78. Борисов В.И., Войтенков А.И. Определение параметров од-номодовых волноводов посредством изменения показателя преломления граничной среды. ЖГФ, 1981, т. 51, № 8, с. 1668-1670.

79. Хоменко В.Е., Липовский A.A., Александров H.A. Рефракционный метод измерения параметров планарных световодов. Приборы и техника эксперимента, 1981, № 3, с. 224-225.

80. Ulrich R., Torge R. Measurement of thin film parameters with a prism coupler.- Appl.Opt.,1973,v.12,No.12,p.2901-2908.

81. Гончаренко A.M., Карпенко В.А., Столяров Ю.Д. Распространение пучков света в тонкопленочных волноводах. Радиотехника и электроника, 1977, т. 22, № 5, с. 921-926.

82. Orta R. Gaussian beams in thin-films.-Alta Freg.,1978, v. 47,No.1,p.45-51.

83. Streifer W., Hardy A. Gaussian beam propagation in thin waveguides.- Appl.Opt.,1978,v.17,No.14,p.2134-2135.

84. Taylor H.P. Dispersion Characteristics of diffused channel waveguides.- IEEE J.Quant.Electron.,1976,v.12,No.12,p.748i752.

85. Wilkinson C.D.W., Walker R. The diffusion profile of stripe optical waveguides formed by ion exchange.- Electron. Lett.,1978,v.14,No.18,p.599-604.

86. Goldberg L. Int erf erome trie method for me sirring diffused channel waveguide-index profile.- Appl.Opt.,1981,v.20,No.20, p.3580-3588.

87. Аникин В.И., Горобец А.П. Исследование оптических по-лосковых микроволноводов, изготовленных методов твердотельной диффузии. Микроэлектроника, 1976, т. 5, № 2, с. 194-196.

88. Горобец А.П., Дерюгин J1.H. Дисперсионные характеристики оптического полоскового диффузионного волновода. Радиотехника и электроника. 1981, т. 26, № 3, с. 497-504.

89. Сычугов В.А., Тищенко А.В. Исследование диффузионных полосковых волноводов в стекле. Квантовая электроника, 1981, т. 8, № 4, с. 779-784.

90. Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н., Шатров

91. А.Д. Собственные волны диэлектрических волноводов сложного сечения (обзор). Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, № 7, с. 1245-1263.

92. Давыдов А.С. Квантовая механика.-М.: Н^ука, 1973, с. 347-353.

93. Слэтэр Дж. Методы самосогласованного поля для молекул и твердых тел. М.: Мир, 1978. - 655 с.

94. Knox R.M., Toulios P.P. Integrated circuits for the millimeter through optical frequency range.- Proc.of the Symp. on Submillimeter Waves,N.Y.,1970,p.497-516.

95. Hocker G.B., Burns W.K. Mode dispersion in diffused channel waveguides by the effective index method.?4-Appl.0pt., 1977,v.16,Ho.1,p.113-118.

96. Goell J.P. A circular-harmonic computer analysis of rectangular dielectric waveguides,- Bell Syst.Tech.J.1969, v.48,Ho.9,p.2133-2166.

97. Eyges L., Gianino P., Wintersteiner P. Modes of dielectric waveguides of arbitrary cross sectional shape.- J.Opt.Soc. Am.,1979,v.69,Ho.9,p.1226-1235.

98. Гончаренко A.M., Сотский А.Б. К теории трехмерных оптических волноводов.- Докл. АН БССР, 1979, т.23, №9, с.787-790.

99. Сотский А.Б., Столяров Ю.Д. 0 методах расчета гребенчатых оптических волноводов. ЖПС, 1980, т.33, вып.З, с.567-569.

100. Сотский А.Б. К теории неоднородных полосковых диэлектрических волноводов. Радиотехника и электроника, 1983, т.28,2, с. 221-229.

101. Сотский А.Б. Исследование электрооптических модуляторовдля интегральной оптики методом спектрального разложения полей.-Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Минск, 1983. - 166 с.

102. Гончаренко A.M., Карпенко В.А., Могилевич В.Н., Сотский А.Б. К теории канальных оптических волноводов. Докл. АН БССР, 1985, т. 29, № 2, с. 127-129.