Аналитические свойства некоторых классов предгауссовских случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА Г Г Б у '

; а № '998

І

на правах рукопису

Лівійська Ольга Іванівна

УДК 519.21

АНАЛГГИЧШ ВЛАСТИВОСТІ ДЕЯКИХ КЛАСІВ ПЕРЕДГАУССОВИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ-1997

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського університету ім. Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор КОЗАЧЕНКО ЮРІЙ ВАСИЛЬОВИЧ

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

факультету менеджменту та маркетингу Національного університету України "Київський політехнічний інститут"

СОЛНЦЕВ СЕРГІЙ ОЛЕКСІЙОВИЧ

кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри військової кібернетики Київського інституту Сухопутних військ

ОЛЕШКО ТЕТЯНА АНАТОЛІЇВНА

Провідна організація:

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України

Захист відбудеться " С<. _______199^р. о / Ч -6'Ааптп в ауд. № ‘і'а? на

засіданні Спеціалізованої вченої ради К 01.01.21 при Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського університету ім. Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58, к.Ю).

Автореферат розісланий "Д-У " ___1997р.

Вчений секретар Спеціалізованої ради

О.О. Курченко

і

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення аналітичних властивостей випадкових процесів є однією з провідних тем теорії ймовірностей. Тому інтерес до цієї тематики привертає увагу багатьох відомих вчених.

Дослідження в цьому напрямі були започатковані Колмогоровим А.М. У 1937 році він вперше знайшов загальні умови вибіркової неперервності з ймовірністю одиниця випадкових процесів. Вінер Н. ще в 1932 році досліджував аналітичні властивості процесів, що можуть бути зображені у вигляді випадкових тригонометричних рядів з незалежними членами. В 60 - 70 роки з'явилось багато досліджень з цієї тематики. Це пов'язано з тим, що результати в цьому напрямку знаходять широке застосування. Вони використовуються в різних розділах теорії випадкових процесів, наприклад, при дослідженні розподілів числа виходів випадкових процесів та полів за фіксований рівень, в статистиці випадкових процесів, в теорії статистичних випробувань, в теорії стохастичних диференціальних рівнянь, в сучасній квантовій теорії поля, статистичній радіофізиці, метеорології тощо.

Слід відмітити роботи Ядренка М.Й. та Скорохода А.В., в яких вивчаються аналітичні властивості випадкових полів в евклідовому просторі та на компактах у гільбертовому просторі, та роботи Бєляєва Ю.К., в яких вивчаються аналітичні властивості гауссових випадкових процесів.

Вивченню розподілу супремумів гауссових процесів присвячені роботи Бєляєва Ю.К., Пітербарга В.І., Бермана С.

В 1967 році Дадлі P.M. використав поняття метричної ентропії і отримав свого відому ентропійну умову неперервності гауссових випадкових процесів.

До кінця 60-х років в основному вивчались аналітичні властивості гауссових процесів. В кінці 60-х років з'явився ряд робіт, в яких вивчались аналітичні властивості більш широких класів випадкових процесів, ніж гауссові. На основі поняття субгауссової випадкової величини, яку ввів Кахан Ж., Козаченко Ю.В. ввів поняття субгауссових випадкових процесів та вивчив умови неперервності траєкторій та деякі інші властивості цих процесів.

Передгауссові випадкові процеси вперше були введені в 1974 р. в роботі Булдигіна В.В. та Козаченка Ю.В. Загальні умови обмеженості та неперервності передгауссових випадкових процесів були знайдені в роботах Дмитровського В.А. В 1980 році в роботі Булдигіна В.В. та Козаченка Ю.В. було показано, що простір

субгауссових величин є банаховим. В роботах Козаченка Ю.В. були досліджені аналітичні властивості та розподіли супремумів випадкових процесів з просторів Орлича. Аналітичним властивостям випадкових процесів в деяких просторах Орлича присвячені також роботи Коно Н. В цих роботах були вперше знайдені умови неперервності траєкторій цих процесів.

Булдигін В.В. та його учні досліджували передгауссові процеси дробового ефекту. Виявилось, що умови неперервності, обмеженості з ймовірністю одиниця супремумів цих процесів істотно кращі ніж в загальному випадку. Результати цих робіт були узагальнені на більш широкі класи передгаусових процесів. Булдигін

В.В. та Козаченко Ю.В. запропонували поняття переднорми Ф©г означення якої наведемо нижче, а також ввели клас Ф-передгауссових випадкових процесів.

Означення. Якщо £={!;(0, *е7} - передгауссовий випадковий процес, для якого виконуються умови:

про цей процес говорилося, що характеристики передгауссового процесу Е, підпорядковані переднормі Ф, якщо знайдуться такі константи у > 0, р £ 1, такі,

де Ф(/^)=Ф(^(0Ч(і))-

Клас таких називається Ф-передгауссовим. В термінах метричної ентропії були знайдені умови обмеженості та отримані оцінки розподілу супремума Ф-передгауссових процесів.

Після цієї та інших зазначених робіт виникла задача дослідження більш широких класів передгауссових процесів, а саме передгауссових процесів Ці) з класу (Ь). Зокрема, до такого класу входять випадкові процеси з класу 8иЬф(П). Постало, зокрема, питання: як впливає співвідношення між функціями <р та } на властивості цих процесів.

т>геТ) І. $єГ} сЕ;

БирФ^О) < 00, вир ф(ф) -Е,(і)) < оо,

Мета роботи: Вивчення передгауссових випадкових процесів з класу

(Ь), знаходження умов обмеженості з ймовірністю одиниця, вибіркової

з

неперервності з ймовірністю одиниця, та оцінок розподілу супремумів цих процесів. Дослідження умов, за яких процеси дробового ефекту є передгауссовими та належать класу (Ь).

Наукова новизна: в роботі введено передгауссові випадкові процеси з

класу (Ь) та отримано такі результати:

• знайдено умови обмеженості з ймовірністю одиниця випадкових процесів класу (Ь) та оцінки розподілу супремуму випадкових процесів з класу (Ь);

• знайдено умови вибіркової неперервності з ймовірністю одиниця передгауссових процесів з класу (Ь);

• знайдено умови, за яких процеси дробового ефекту є передгауссовими ■. процесами з класу (Ц;

• досліджено аналітичні та інші властивості предгауссових процесів дробового ефекту класу (Ь).

Одержані результати мають теоретичне значення та можуть застосовуватися у галузях, які базуються на дослідженні випадкових процесів, наприклад, в статистиці, радіотехніці, теорії автоматичного управління.

Апробація роботи: матеріали дисертації доповідались на конференціях молодих вчених механіко-математичного факультету Київського університету, на наукових семінарах кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики Київського університету, на IV міжнародній науковій конференції пам’яті академіка М. Кравчука (Київ, 1995).

ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертація складається із вступу та чотирьох розділів. Загальний обсяг роботи - 108 сторінок друкованого тексту. Бібліографія містить 53 найменування.

У вступі наводиться історичний огляд і формулюються основні результати дисертації.

В першому підрозділі першого розділу даються основні необхідні відомості з теорії просторів Орлича та теорії передгауссових випадкових величин, означення переднорми Ф(/) та класу (Ц передгауссових випадкових процесів, а також приклади передгауссових процесів з класу (Ь).

Означення 1. Випадкова величина ); називається передгауссовою, якщо

існують такі константи Яо > О, С > 0, що \/|л| < Хо

[ Х2С21

Еехр{Х£} 2 ехр|—^—І, (1.1)

Множину всіх передгауссових випадкових величин, заданих на ймовірнісному просторі {П, Р], позначимо через Р^(П).

Означення 2.Випадковий процес 4 = {4(0> ^є7} називається передгауссовим (4 = {£,(/), г є 7} є Рг£(П)), якщо V/ є Т випадкова величина 4(0 є Р^(0).

Оскільки простір Р^(П) є лінійним, то прирости ^(г)—Е,(.ї) є Р^(Г2), /,і є Т. Означення 3. Нехай функціонал Ф(4), заданий на просторі передгауссових випадкових величин Р^(П), задовольняє таким умовам:

1) Ф(4)>0,4 є Рг§(£2), 2) Ф(0) = 0; 3) Ф(-4) = Ф(4). 4 є Рг£(П), 4) існують такі константа с>0, норма р(4), 4єР^(Г2), і множина ЕсР^(П), що р(4)£сФ(4), 4єЕ, при цьому норма р така, що як тільки р(4„) -> 0, то 4„ -> 0 за ймовірністю. Такий

Я->00 И-»«>

функціонал називається переднормою.

Розглядаємо передгауссовий випадковий процес £ = {£(0> <є7}, узгоджений з переднормою таким чином:

«(») ,*є7}и{ЙО-№).*.*єГ)сЕ; вир ф(4( 0) < ю, вир Ф(4( г) - 4М) < ®.

І€ Т і,гєТ

Тоді функція Ф(г,5) = Ф(40) -4(0) наслідує властивості функціоналу Ф, тому Ф(/,ї) можна розглядати як деякий аналог структурного відхилення на Т, що мажорує напівметрику р(г,5). Позначимо ентропію через Яг,(я)=1піУф(Т,е), де А^Т,е)-найменша кількість куль {ь^Т: Ф(г,.ї)<є} радіусу є>0, що покривають Т.

Означення 4. Передгауссовий процес | = (4К0і1 є 7] належить до класу (Ь), якщо існує переднорма Ф, для якої виконуються умови:

Е ехр{^(г)і < ехр{ф(ХФ(г))}, 0<Х<у~^;

Еехр{Ц,(г) - 4(л)} 5 ехр}ф(>.ф(г,і))}, 0 < X <

де ф, / - певні функції Орлича, а саме монотонно неспадні опуклі монотонні функції, такі, що/(0)=0, ф(0)=0.

Вводиться функція /(«) на півосі [0,°о), яка визначається таким чином:

/(“) = /(и)і якщо /(и) (гд— для достатньо малих и, і /(«)=—^—, £3>0,

£ («) % («)

. І , . Фн,(и) , „ ,

якщо }\и)<—^— для достатньо малих и, де ^и) --------------------------, ф' ' - функція,

g (м) “

обернена до функції <р на півосі [0,ж).

Теорема 1.7. Нехай і; = {4(0> їєТ}є Р^П) - сепарабельний на метричному просторі (Т,р) процес (де р - напівметрика, задана у властивості 4 функціоналу Ф(4)), належить класу (Ь) з функціями Орлича/та ф - такими, що при |х| < х0,

х0 > 0, ф(лг) = х2І2, і пов'язаними таким чином: /(«)>—^—, або /[и)<,—^—

г Ы g Ы ..

при достатньо малих и; нехай 0</><1 та 0<у4о<1 - деякі константи. Покладемо є0 =їирФ(/).

ІеГ

Вимагаємо виконання умов:

I сій

»7И)(і/Яф(є0м))

<00,

і для довільного г > 0

т— 7(и)

ІІШ-^-------- <00.

/(а/г)

0)

(2)

Тоді Ух>0 виконуються нерівності:

р{іпГф)<-х};;1/(х),

(3)

Би

Гє7*

•рЙОІ>*}

т )

< 2£/(*),

г/М =

1, 0<х<у,(/>),

Гі(р)**<їіМ+ї20>).

ехр] -ф*

(4)

ехр{-хД,+Л2}, х>пЫ + У2Ы.

де

А;(Сео) )[ йи ].ф(~1і(71~1>(яа,(е0и))/яф(е,к))

, л 7.7'-і>(і/явМ)+. 7<-°(я*(в,«))/я,(в0»)

с =

и / \ 1 /(“)

"-/‘-“(і/яЛв.»))’ л'(Се°'=^.1и£Ж7сд

/ ^ Ео'і{р) I \ є0 (і-Лєо)

„ (і-і?)(і-л) „ (і-Л)еоГМр) Г(і-Д>)є0

л..) 7Ы и \ Л«.) .

ф'(х) = ви^ху-ф^)) - перетворення Юнга-Фенхеяя функції <р(у), <?(х) - це. така >>0

функція, що ф(х) = }д(и)с!и.

Якщо функції ф та } пов'язані таким чином, що Ди) = ,1 , де

«(«) =

, замість умови (1) вимагаємо збіжність інтегралу

І Д»(є0н) ,

J . —ггС?«<с

»Ф (Д>(є0и))

Тоді має місце твердження теореми 1.7, де ¥(р) має такий вигляд:

ґ. . ГМ*.) /|)ї ДрМ

1+пш —-------,1 і’ ШГГ?....Vм

. . Л ,/0ф1 11 Яф(є0и

В другому розділі отримані оцінки розподілу супремуму приростів передгауссового процесу з класу (Ц та умови його вибіркової неперервності з ймовірністю одиниця.

Теорема 2.3. Нехай 4 = {4(0> *єТ}є Ргб(П) - сепарабельний на метричному просторі (Г,р) процес (де р - напівметрика, задана у властивості 4 функціоналу Ф(4)), належить класу (Ь) з функціями Орлича ] та ф - такими, що при |х| < Хд,

Хд > 0, ф(х) = х2/2, і пов'язаними таким чином: /(«) і—^—, або /(«) 5 ^—

1 £ (и) g («)

при достатньо малих и, 0</?< 1 та 0<Ло<І - деякі константи. Покладемо

є0 = 5ирФ(ї). ит

Вимагаємо виконання умов (1) та (2).

Тоді процес 4 = {4(0> *є7] с вибірково неперервним з ймовірністю одиниця,

і Ух>0 та для довільного е>0, такого, що 0 < Є й Ео, виконуються нерівності:

їіір (ф)-ф)) > х

Ме7*

ф(м)<

р\ іп£ {ф)-ф))<-х\їІУ{х,є),

Ме7*

(Ф(Г^)<Б J

(б)

5ир |ф)-Е,Ы!> X

МєТ

Ф(г,і)<8 ,

;2И'(х,є),

1, 0<х<Уз(р,є),

/*0-/>)*/> 2(3-/>)Є>

ехрі -ф‘

-чї|(р»є)г, г3(/),є)^х<Уз(дє) + у4(/7,е), (7)

ехр{-хК3 + Д4), л- > У3(р,е) + у4(і7,е), ^(р.є) = тах

^;(Се) > сій ^Н*М/1~ЧУНФЫ))

, А ’/0/(-"(і/Яф(єи))+0 ЯфЫ^-'^/Я^Ы) °

де

С = Бир

• //-» \ 1 7(")

г, Д7(Сє)= — вир-

оіікі /н)(і ІНф{ги))' * Се^^/ІиІСе)’

Гз(мє) = у-%Ч'(Ає), Ді-я

2(з-р)Е

(і-рГ

Г2е (і-Л)]

7(є0),

+ч,,и<

_ ^-/(і-л) И /Мі-л)

3 (3-/»)7(є) ’ 4 і. р/(г) )

■у(.е)МІ-АІ ^’е) />7(е) ’

ф'(х) - Бирід:^ — ф{>’)) - перетворення Юнга-Фенхепя функції ф(у), ?(х) - це така

у>0

функція, що ф(х) = 1 д{и)(1и.

В першому та другому розділах кращі умови в термінах метричної ентропії та найкращі оцінки розподілу супремуму приростів отримуються тоді, коли

^ > , \ ф(-1)(«)

функції ф та/пов язані таким чином, що <;■ . , де ди) =-.

?' » “

В першому та другому підрозділах третього розділу, застосовуючи твердження першого та другого розділів, отримані оцінки розподілу супремумів для передгауссових процесів з класу (Ь) у випадку; коли функції <р та / мають вигляд:

їх2, |х|<1

фМ = і „і,. . (9)

[х1, И>1, 2,

уР

/(*)=—.дер^ і,у>0. (Ю)

Теорема 3.3. Нехай процес 4(0> * є Т- передгауссовнй р-сеперабельний випадковий процес, який належить класу (і), де функція ф має вигляд (9), функція /має вигляд (10), переднорма

Ф(/,5) = Ш-^)Г ІУ (П)

де -1|. І - деяка переднорма в просторі Р/£(П), Р й 1, та у> 0 - деякі константи.

Нехай є0 = вирФМ, та 0<Ло<1, 0<р< 1 - деякі константи.

іеТ

( Я 1

Нехай для к = шіп^Р,-—-у

}(н(є0и))^ <оо. (12)

0

Тоді для довільного х > 0 виконуються нерівності: р|$ир4(0 > лг| 5 и,(х), і = 1,2,

р|іпГ£{0 <-х\^и,{х),і= 1,2, (13)

р|5ир|4(г)|>х[^2ї/,(х), і = 1,2,

гєГ (1-р)

де за умови ---------< В в правій частині (13) стоїть ІГ\(х) = тіп (^і(х), Жг(х)),

єо

(1-Р)

за умови ---------£ В в правій частині (13) стоїть 1/і(х).

єо

т(х) =

1, хє(о, х,),

1(М’

ехр'

ехрі-

2

(і~р)

І (1-Р) )

М/’) - ^є[х„х2),

Г (М

М/>) +2 [• ^є[л2іх),

Щл-) =

1, х є [о, х,), (і-р)

ехр'

ехр'

-5

~Лр)

q-1

, хє[х„х2),

ехрі -Б

Г (1 -р)

ВдЕ

2(1 -р)ч\

иі{х) =

1, х є (о, X,),

І(І-Р)Я

ехр4

ехрі -Б

*ф,.4

*Р(р) = у ^шах

А у{СЕ0)

11

', хє

[х3,0°),

(14)

(15)

(16)

(17)

„ (і-р)(і-Л0)у „ (ї-і)2*(і-р)* в-------------->о=“ -

А*

Л/(Сє0)=(Сє„)'сС = їир «{//^(єоі/))

К

Теорема 3.6. Нехай виконуються умови теореми 3.3.

Б

0

У

Тоді процес 4(0. І є Т с вибірково неперервним з ймовірністю одиниця, і для довільного х>0 та для довільного є > 0, такого, що 0 < є <є0, виконуються нерівності:

вир ф)-ф)>х

їир ф)-^)<-х ІдеГ

.ФМ<8 .

вир ІЕ£г) — £(^)| > д;

/,іеГ

<Г,М,/=1,2,

^2Ж((х,є),»=1,2,

(18)

О-/»)

де за умови —-— < В, в правих частинах (18) стоїть РГі(х,є) = тіп(1У;(х,є), и2(х,г))\

0-р)

за умови--------£ ІЗ, в правих частинах (18) стоїть ^і(х,є).

1, хє(о, х,),

г'м) 1

(19)

№

1_л„ 2(3-р)е,

(з-/>)2

и2(Х, Е) =

І, хє(о,х,), ' 0-р)

ехрі —

Л'-43

ч ,

ехр‘

ч А1 - Р) .

3-І

&-р)г <Ь2ІІ

Л-рУЇ

■, хє[х„х2).

хє

[х2,со),

(20)

ехрі -Я,

2(3-р) гі}-р)2

*.м

Аг(з-/>)У

' Ді-^4 ]

; [х2,оо),

де

И'гСх.є) =

1, хє(о, Л|),

гЬ-рУ

ехрі —

(_ Ф-р) є

ехр] -В,

хЛ ^•Ч'і(ле)

дЛз-р)

V

А-рГ

д: є [х,, лг3), х є [х3,оо),

(21)

т,ив)=

_„-х

у '“шах

Я,=

(А7(Сс) } 1 ,1

(з-/>)(і-^4о)г

(І -рУ '

1(я(ен))^</н+^г-|(я(єи))

(22) (к-і)(?-і)

1 Іи, (23)

С = зир и(н(єи))^, Д у(Се) = (Се)*-1, к = тії! [3,-^—І, ОіиЯ 1 \ Я~ */

* _^3-^е ( . 3(3-,). , .

,_^і-р)2 ,и) 2“Ді-р)3 ЛМ2 ,и)’ +Д1

еН

(1-/0

Т%{р,ї), х:

(3-р)(і -Л)гТ‘ , (3-р)е

д=

я-1 ? л

, (і-/»)е'

* /О-*)*

2_

<Н

Іл(з-р)*в';

В першому та другому підрозділах третього розділу також отримані оцінки

/(«)=■

супремумів, коли

тобто коли Дії)

2^х*-‘, 05x^2,

1

г. де Ж«) =

2

■ х > 2,

«,-,)(«)’ - « ...

В третьому підрозділі третього розділу отримані оцінки розподілу

супремумів предгауссового процесу з класу (Ь), коли <р(и) = —, 1 <?£2, а функція

/має вигляд (20).

В четвертому розділі дисертації отримані умови, які накладаються на кумулянти випадкової величини 4> при яких вона є передгауссовою і належить до класу (L).

Означення 5. Випадковий процес Х = {А"(0> <є7}, який має вигляд стохастичного інтегралу

X{t) = ]g{t,s)dr(s), (24)

-*0

де ti(j), іє(-оо,оо) - центрований стохастично неперервний сепарабельний процес з незалежними приростами без гауссової компоненти, a te.T, /є(-оо.оо) -

невипадкова функція, така, що для довільного і є R g, = (g(f,s), jeR)c -Lj(R) , називається узагальненим процесом дробового ефекту, породженим процесом t)(s) та функцією відгуку g(f,s). Кумулянти узагальненого процесу дробового ефекту визначаються так:

Kfc(JT(t)) = J xklidx) Ig*(M)rfi,

—ТО -«Я

K*Wr)-J(i))= І х'1 п(dx)](g(r,г)-g(І,т))krfx,

—cO —«3

де Il(dx,dx) = dxTl{dx) - міра Леві процесу г|(і).

Далі вводяться такі функціонали:

5,(Е) = S.PK • ВМ = sup^^^bM., fi(4) = max(BiK).52ft)),

де Д к > 0, к = 2, т -1, а> 1 - деякі константи.

Тоді буде справедлива така нерівність: < Д2В(е). Отже функціонал

В© є переднормою.

Наступна теорема четвертого розділу дає умови, яким повинен задовольняти наведений вище процес дробового ефекту, щоб він був передгауссовим, і належав класу (L).

Теорема 4.4. Нехай X(t), ГєГ = [0, і]*- наведений вище процес дробового

ефекту (24), сепарабельний на (Т,р), і задовольняє таким умовам:

1) VjeT,V/cS2

Us,

r)|fc t£y < со,

2)

3)

sup

їі-ті* n(rfx) = 2<co,

існують такі константи K, h і така функція о(Л), о(Л)І0, h—>0, що sup sup |g{r,T)-g{i,-t)|<o(A),

*еЛ р(м)<Л tjzT

де

з(л) =

МІТ

, у > max

(т - 2)а

т — \

, т є N, т>. 2, <х>1.

Тоді процес Х(і) є передгауссовим, і виконуються умови:

і) sup£(r) <оо, supi?(f,i) <оо,

__ _ Д'

2) процес ф) = X{t) / 2С , де константа С = 2/

c"'~J r|fc!'rm!(l-c)

класу (L) з функціями (р та/, де функція ер має вигляд

„2

<р(«) =

w

, |и|5І

, належить до

(25),

u І \

——, |ц>1, т є N, т>2, . 2

а функція

Д«)=

‘ тг 1

7’ с<г

(26)

3) має місце збіжність інтегралу

1(яа(є0и))^</я <оо, к=шіп|а,

т-1 т-2

Наслідок 4.5. Якщо процес дробового ефекту (25) задовольняє умовам теореми 4.4, то процес 4(0 = Х(і) / 2С задовольняє умовам теорем 3.3 та 3.6 з переднормою В, отже для нього можно побудувати оцінки розподілу супремуму та супремуму приростів, і процес є вибірково неперервним з ймовірністю одиниця.

Авторка висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Юрію Васильовичу Козаченку за постановку задачі, постійну увагу, цінні поради та зауваження при виконанні даної роботи.

к>2

ВИСНОВКИ

• в термінах метричної ентропії в роботі знайдено умови обмеженості з ймовірністю одиниця випадкових процесів класу (Ь) та оцінки розподілу супремуму випадкових процесів з класу (Ц;

• в термінах метричної ентропії знайдено умови вибіркової неперервності з ймовірністю одиниця передгауссових процесів з класу (Ь);

• отримано оцінки розподілу супремуму та супремуму приростів пЕредгауссових процесів з класу (Ь), коли функції ф та/ мають степеневий вигляд;

• знайдено умови, за яких процеси дробового ефекту є передгауссовими процесами з класу (Ь);

• досліджено аналітичні та інші властивості предгауссових процесів дробового " ефекту класу (Ь).

Одержані результати мають теоретичне значення та можуть застосовуватися у галузях, які базуються на дослідженні випадкових процесів, наприклад, в статистиці, радіотехніці, електроніці, теорії зв'язку.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Лівійська О.І. Про розподіл супремуму деяких класів передгауссівських випадкових процесів II Теорія ймовірностей та мат. статистика. 1993. - Вип. 49. стор. 145-154.

2. Козаченко Ю.В. та Лівінська О.І. Аналітичні властивості деяких класів випадкових процесів з простору Ргесіф(П) II Теорія ймовірностей та мат. статистика. 1994. - Вип. 51. стор. 90-97.

3. Лівінська О.І. Аналітичні властивості одного класу узагальнених процесів дробового ефекту // Вісник Київського Університету, 1997, №3. С. 45-53.

4. Лівінська О.І. Про вибіркову неперервність деякого класу передгауссових випадкових процесів // Тези доповідей четвертої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М. Кравчука. Київ, 1995.

С. 152

Лівінська О.І. Аналітичні властивості деяких класів передгауссових випадкових процесів. Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія

ймовірностей та математична статистика. Університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1997.

В дисертації отримані оцінки розподілів супремуму та супремуму приростів передгауссових випадкових процесів з класу (L), умови обмеженості процесів з ймовірністю одиниця, умови вибіркової неперервності цих процесів с ймовірністю одиниця; знайдені умови, за яких узагальнені процеси дробового ефекту є передгауосовими, належать до классу (L), вибірково непрервні з ймовірністю 1, і до них можна застосувати оцінки для розподілу супремуму та супремуму приростів»

Ключові слова: передгауссовий процес, сеперабельний процес, переднорма, узагальнений процес дробового ефекту, оцінка, супремум процесу, супремум приростів процесу, кумулянта.

Ливинская О.И. Аналитические свойства некоторых классов предгауссовских случайных процессов. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1997.

В диссертации получены оценки распределений супремума и супремума приращеннй предгауссовских случайных процессов из класса (L), условия ограниченности процессов с вероятностью единица, условия выборочной неперерывности этих процессов с вероятностью единица; найдены условия, при которых обобщенные процессы дробового эффекта являются предгауссовскимк, принадлежат классу (L), выборочно непрерывны с вероятностью единица, и к ним можно применить оценки для распределения супремума и супремума приращений.

Ключевые слова: предгауссовский процесс, сеперабельный процесс, преднорма, обобщенный процесс дробового эффекта, оценка, супремум процесса, супремум приращений процесса, кумулянта.

Livinska O.I. Analytical properties of some classes of pre-Gaussian random processes/ Manuscript. Thesis of dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.05 - theory of probability and mathematical statystics. Taras Shevchenko Kiev University, 1997.

Conditions for boundedness with probability 1, estimates for the distributions of supremum and supremun of increments of pre-Gaussian random processes from (L)

class, and conditions of sample-continuity with probability 1 are established. Also conditions for generalized schottky effect processes are founded, when these processes are pre-Gaussian, belong to (L) class, are sample-continuious with probability 1, and estimates of distributions of supremum and supremun of increments could be implemented to theses processes.

Key words: pre-Gaussian process, separable process, prenorm, generalized schottky effect process, estimate, supremum of process, supremum of increments of the process, semi-invariant.