Аппроксимация множеств в банаховых пространствах и ее приложение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Г^ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И

V' V

,, РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И.ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

БОРОВКОВ ИГОРЬ НИКОЛАЕВИЧ

АППРОКСИМАЦИЯ МНОЖЕСТВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЕ

OI.OI.OI. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт - Петербург 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета имени А.И.Герцена

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент А.И.Плоткин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г.Я.Арвшкин кандидат физико-математических наук Е.А.Рисс

Ведущая организация: Мурманский педагогический

институт

15

Защита состоится " 16 " ноября 1994 г. в 16 часов на заседании диссертационного Совета К ИЗ.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Российском государственном педагогическом университете им. А.И.Герцена ( 191186 , г.Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, кор. I , ауд. 209 )

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан " " ¿¿¿[цЛ 1994 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

И.Б.Готская

ОБЩАЯХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена некоторым вопросам ап-роксимации шаров в банаховых пространствах и её приложению, свя-анному с решением некоторых вариантов проблемы Хоффмана-Лорген-ена о совпадении двух вероятностных борелевских мер на сепара-ельном банаховом пространстве, принимающих одинаковые значения а семействе 3 всех шаров.

При решении проблемы Хоффмана-Лоргенсена для семейства ша->ов единичного радиуса в конкретных банаховых пространствах ¡.А.Рисс было установлено наличие в некоторых бесконечномерных ¡ространствах свойства аппроксимации малых шаров шарами фиксиро-анного ледиуса (пространства, обладающие этим свойством, назы-агатся К - пространствами). При этом под аппроксимацией множеств ообще понимаем следующее:

А =» йлклА.. £д(х) = X д(х) для любого х е X А .

Наличие в банаховом пространстве свойства аппроксимации [алых шаров шарами фиксированного радиуса позволяет сводить дока-ательство свойства Хоффмана-Лоргенсена для семейства шаров еди-ичного радиуса'К'доказательству этого свойства для семейства ма-ых шаров, а именно: если в банаховом ^ - пространстве X вы-юлняется свойство Хоффмана-Лоргенсена для семейства малых шаров, 'о это свойство выполняется и для семейства шаров единичного ра-,иуса.

Отметим один вариант, теснс связанный с аппроксимацией ша-юв шарами: совпадают ли две вероятностные борелевские меры, оп-еделенные на сепарабельном банаховом пространстве, если извест-:о, что они принимают равные значения на всех шарах с центрами некот наперед заданном множестве А ? Из теоремы Прайсса Тишера следует, что если А всюду плотно, то ответ на этот во-рос положителен. В случае же, когда А не является всюду плот-ым множеством, естественно возникает вопрос: можно ли для произ-ольного шара В в'рассматриваемом пространстве найти аппрокси-ирущую 0 последовательность шаров, центры которых прг'чадлежат ножеству А ? Положительный отпет на этот вопрос и непрерыв-ость конечной меры относительно введенного предельного перехода

позволяют заключить, ч^о меры в этой случав совпадают.

Цель исследования состояла в изучении круга вопросов, связанных с аппроксимацией шаров шарами. Все вопросы аппроксима ции предлагаемой работы сводятся к изучению двух основных.

Первый вопрос заключается в следующем. Д/сть О - некото^ рое семейство выпуклых открытых множеств. Какие множества содержатся в ^ ?

Второй вопрос заключается в исследовании возможности для произвольного шара В - пространства найти аппроксимирующую В последовательность шаров, центры которых принадлежат некоторому наперед заданному множеству А . В случае когда А полупространство встает вопрос о возможности "отделения" центра аппроксимируемого шара от центров шаров аппроксимирующей последовател1 ности некоторой гиперплоскостью. В этом случае гиперплоскость называется проницаемой. Если же полупространство Р содержит лишь конечное число центров любой последовательности, аппроксимирующей шар с центром из X \ Р , то граница полупространства Р - гиперплоскость "ЭР - называется жесткой.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

1. Для любого шара В банахова - пространств ожно найти аппроксимирующую В последовательность шаров, це.__ры которых принадлежат некоторому наперед заданному нормальному конусу.

2. Для любого шара банахова - пространства можно найти аппроксимирующую этот шар поел«' довательность шаров, центры которых принадлежат любому наперед заданноцу полупространству, с одер жащему центр аппроксимируемого шара.

3. В пространстве С\0;П всякий шар можно алпроксимирова! (парами, центры которых принадлежат любой; наперед заданной гиперплоскости. ' !

Из этого утверждения, очевидно, следует, что всякая гиперплоскость в пространстве С\0;13 является проницаемой.

Таким образом, для совпадения двух вероятностных борелев-ских мер на пространстве СЮ;П достаточно, чтобы они принимали одинаковые значения на всех шарах с центрами из некото, о полупространства.

4. Замыкание семейства шаров единичного радиуса и приставе С[0;1] содержит множества, являющиеся шяртли н некото-эквивалентных нормах.

5. В пространстве С [0;П доказано существование проница-с гиперплоскостей.

6. Доказано существование как жестких, так и проницаемых грплоскостей в'пространстве ■

7. В пространстве , !р>1 , всякая гиперплоскость явля-I жесткой.

Общие методы исследования. Основной идеей большинства дока-¡льств является применение различных модификаций основных кон-гкций аппроксимации малых: шаров г конкретных банаховых прост-:твах. Кроме того; используются некоторые факты из геометрии особых пространств. .

Теоретическое и практическое значение исследования.

1) I'::; (ены некоторые сзойства аппроксимации шаров как в кон-•ных банаховых пространствах, так и в общем случае.

2) По^"чены результаты по аппроксимации шаров, '"»энолякнцие 1ТЬ ивко.^мв варианты проблемы Хоффмана-Лоргенсеиа.

Апробация работы. Полученные п работе результаты докладина-. на городском семинаре по геометрии банаховых пространств (г. :т-Петербург), на городском семинаре по математическому анали-г. Таганрог), на Герценовских чтениях (Р1Т1У им. Л.И.Герцена).

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, пяти .графов и списка'литературы. Общий объем работы - 82 страницы, иография насчитывает126 наименований.

Содержание работы.

В первом параграфе "Аппроксимация множеств в банаховых про-нствах" вводится основное понятие - предел последовательности еств и рассматриваются некоторые свойства вводимого предельно-ерехода, неоднократно используемые при доказательство фактов ппроксимации шаров. Здесь же рассматривается важный пример: ел последовательности полупространств в произвольном нормиро-

ианном пространстве. Доказывается, что если выпуклое открытое множество Р является пределом последовательности полупространств в нормированном пространстве X , то Р является либо некоторым полупространством, либо Р = 0 , либо Р « X В заключении этого г...;:аграфа вводится понятие неприлипающих Т- свойства которых существенно используются при доказательстве жесткости всякой гиперплоскости в пространстве dp.I^-p^o^ . Доказывается, что если -^А-Ло - последовательность выпуклых открытых множеств и А. , то неприлипающими являются все

точки пространства, за исключением границы множества А„.

Второй параграф посвящен аппроксимации шаров шарами. При этом рассматривается два случая: ограниченность и неог ничен-ность последовательности радиусов аппроксимирующей пос. дователь-ности шаров. Для случая ограниченной последовательности радиусов доказывается, что в С. - пространстве центры шаров аппроксимируй ющей последовательности можно выбрать на сфере, центр которой совпадает с центром аппроксимгруемого шара, или, при определенных условиях, в некотором подпространстве. Далее приводится достаточное условие для того, чтобы пространство, обладающее свойством аппроксимации шаров шарами с неограниченно возрастающими радиусами, являлось R - пространством. Кроме того, во втором параграфе доказывается, что всякое равномерно гладкое пространство не обладает свойством аппроксимации шаров иарами с неограниченно возрастающими радиусами. В заключении этого параграфа доказывается, что для всякого шара - пространства можно найти аппроксимирующую этот шар последовательность шаров, центры-которых принадлежат внешности любого наперед заданного нормального конуса.

Третий параграф посвящен изучению вопросов аппроксимации шаров в пространстве непрерывных функций. Здесь доказывается одно из самых сильных свойств аппроксимации, а именно

\Для всякого шара В пространства СЦ);1] центры шаров (к) аппроксимирующей В последовательности можно найти в любой наперед заданной гиперплоскости. Однако, как показано в работе, это утверадение может нарушиться если гиперплоскость заменить на некоторое подпространство беско-

юй коразмерности. Это объясняется тем фактом, что существуют :транства, не являющиеся R - щ остранствами. Кро-^ того, во юм параграфе при рассмотрении замыкания семейства 3 всех 'В единичного радиуса в пространстве С СО;II доказывается, семейство 3 содержит (кроме малых тарой) множества, явля-ся ша-ми в некоторых эквивалентных нормах. Отмстим, что при зател^стве всех результатов по аппроксимации üiapou в прост-тве С[0;П применяются различные модификации основной кон-кции аппроксимации малых шаров шарами единичного радиу~а, роенной Е.А.Рисс.

В параграфе 4 рассматриваются вопросы аппроксимации тарой остранстве С [0;13 непрерыино дифференцируемых на [0;ll ций. В начале показывается, что пространство С tO;Il явля-R - странством. Далее, доказывается утверж^, ие о воз-ости аппроксимации любого шара в С [0;П шарами, центры кок принадлежат некоторой гиперплоскости. Из зтого факта полусуществование в СЧ0;11 проницаемых гиперплоскостей. В за-знии этого параграфа показывается, что, как и в случае про— ¡ства непрерывных функций, замыкание семейства всех шаров очного радиуса пространства С [0;П не совпадает с семейст-эсех шаров, радиусы которых не превосходят единицу.

Наконец, пятый параграф посвящен вопросам аппроксимации ша-з пространствах tp , i ¿ р < оо .Здесь доказывается, что сание семейства шаров фиксированного радиуса совпадает с Ictbom шаров, радиусы которых не превосходят Т„ , т.е. ша-множество центров которых ограничено, можно аиироксимиро-только шары (тривиальный случай: аппроксимация пустого мно->а). Здось же доказывается, что и пространство сущест-

как жесткие, так и проницаемые гиперплоскости. Наличие про-мых гиперплоскостей в пространстве it обусловлено налпчи-этом пространстве свойства аппроксимации шаров шарами с не-иченно возрастающими радиусами. Для пространства ¿р , где , доказывается, что в этом пространстве существуют только ие гиперплоскости. Доказательство этого факта основывается м, что равномерно гладкое пространство не обладает свойст-ппроксимации шаров шарами с неограниченно возрастающими ра-

диусаыи, а также на слабой сходимости центров шаров аппроксимирующей последовательности к центру аппроксимируемого шара.

Публикации по теме диссертации

1. Боровков И.Н. О некоторых вариантах проблемы Хоффмана-Лоргенсена// РГПУ , Мин.образ. РФ.- СПб, 1993.- Рук.деп.в ВИНИТИ 14.01.93, » 67-Ь93.

2. Боровков H.H. О некоторых вопросах аппроксимации множеств в банаховых пространствах// РГПУ , Мин.образ. PD.- СПб , 1993.- Рук.деп. в ВИНИТИ II.I0.93, № 2557-В93.

3. Боровков И.Н. О некоторых свойствах гиперплоскостей в пространстиах СЮ; 13 и i.p // Межвуз.сборник научных трудов РГПУ им.А." перцена. "Качественная теория сложных сг ем" . -СПб.: "Образование".- 1994, С.10-16.