Аппроксимируемость свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Г-Гь ОД

| О О (''• • Г-1Л1

«-. и ¿..¿.I ¿JLJ

Азаров Дмитрий Николаевич

АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП С ОДНОЙ ОБЪЕДИНЕННОЙ ПОДГРУППОЙ НЕКОТОРЫМИ КЛАССАМИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наух

Иваново 2000

Работа выполнена в Ивановском государственном университете на кафедре алгебры и математической логики.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор МОЛДАВАНСКИЙ Д.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ДУРНБВ В.Г.

кандидат физико-математических наук, доцент КЛЯЧКО A.A.

Ведущая организация - Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого.

Защита состоится 2000г. в часов в

аудитории 204 на заседании диссертационного Совета К. 113.27.01. в Ярославском государственном педагогическом университете по адресу: 150000, Ярославль, Республиканская ул., 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан пЖ"

Ученый секретарь диссертационного Совета ШЕНДЕРОВСКИЙ В.Г.

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена исследованию аппроксимируемости свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп.

Пусть К. - абстрактный класс групп. Говорят, что группа G аппроксимируется классом К, если для любого элемента д группы G, отличного от 1, существует гомоморфизм </> группы G на некоторую группу из К такой, что gip ф 1. Группы, аппроксимируемые классом Т всех конечных групп и классом Т? всех конечных р-групд называются соответственно финитно аппроксимируемыми и аппроксимируемыми конечными р-группами.

Класс всех групп, аппроксимируемых классам С, будем обозначать через дК. В частности, через r!F и rTp будем обозначать класс всех финитно аппроксимируемых групп и класс всех групп, аппроксимируемых конечвгыми р-группами.

К числу наиболее важных алпроксимационных свойств группы, наряду с аппроксимируемостью классом относится также и аппроксимируемость классом К относительно сопряженности. Говорят, что группа G аппроксимируется классом К относительно сопряженности, если для любых не сопряженных между собой элементов х и у группы G существует гомоморфизм <р группы G на некоторую группу В из К такой, что элементы х<р и yip не сопряжены в группе В. Группа, аппроксимируемая относительно сопряженности классом Т всех конечных групп называется группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Хорошо известно, что свободная группа финитно аппроксимируема. Более того, свободная группа аппроксимируется классом Tv относительно сопряженности для любого простого числа р (см. напр. [11 с. 47).

Многие алппроксимационные свойства групп наследуются свободными произведениями групп. К числу таких свойств относятся финитная аппроксимируемость, аппроксимируемость конечными ^-группами, а также финитная аппроксимируемость относительно сопряженности (см. напр. [15],[11]).

Наряду с изучением алпроксимационных свойств обычных свободных произведений, на протяжении последних четырех десятилетий велись достаточно интенсивные исследования аппроксимадионных свойств свободных произведений групп с объединенной подгруппой.

Эти исследования в немалой степени стимулировались тем обстоятельством, что свободное произведение с объединением двух групп, обладающих данным аппроксимационным свойством, может, вообще говоря, и не обладать этим свойством даже в случае, когда данное свойство наследуется обычными свободными произведениями групп.

Пусть

<7 = (Л*5; П,К,(р)

- свободное произведение групп А и В с подгруппами Я и К, объединенными относительно изоморфизма (р.

Наиболее продуктивным направлением изучения адпроксимацион-ных свойств группы С? оказалось исследование этих свойств при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители А и Я, объединяемые подгруппы Я и К и изоморфизм ¡р. Из нескольких десятков результатов, относящихся к этому направлению и доказанных в разное время, мы здесь приводим только некоторые утверждения, наиболее значимые для дальнейшего изложения.

В 1963г. Г.Баумслаг [4] доказал, что С € д^, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. А,В 6 д^и |Я| < со.

2. А, В - конечно порожденные нильпотентные группы и Я - циклическая.

3. А, В - свободные группы и Я - циклическая.

В 1980г. Д.Дайер [9] доказала, что финитная аппроксимируемость относительно сопряженности групп А и В наследуется группой С? в случае, когда \Н\ < со. В той же работе устанавливается, что условия 2 и 3 достаточны для финитной аппроксимируемости относительно сопряженности группы в.

В [8] Д.Дайер установила, что (? € дГ, если А, В - почти полициклические группы и Я - циклическая.

Критерий финитной аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с произвольной объединенной подгруппой найден в [13].

В 1964г. Хигмен [12) получил критерий аппроксимируемости конечными ^группами свободного произведения двух конечных р-групп с объединенной подгруппой. В [10] получено достаточное условие аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух свободных групп с циклическим объединением.

Различные адпроксимадионные свойства свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой исследовались также в [5]-[7], [15]-[18].

В работе Ширвани [14] рассматривается свободное произведение любого (возможно, бесконечного) числа групп с одной объединенной подгруппой. Для такого свободного произведения доказывается критерий финитной аппроксимируемости при условии, что свободные сомножители удовлетворяют нетривиальному тождеству.

Многие из перечисленных выше результатов, относящихся к свободному произведению двух групп с объединенной подгруппой, могут быть без труда распространены на случал древесного произведения конечного числа групп. Тем не менее, вопросы, касающиеся аппрок-симациоштых свойств древесного произведения любого числа групп, изучены в значительно меньшей мере по сравнению с аналогичными вопросами для случая свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Нам представляется весьма актуальным изучение различных аппроксимациониых свойств свободного произведения любого числа групп с одной объединенной подгруппой, как наиболее важного частного случая древесного произведения групп.

Цель диссертационного исследования

Пусть (Од)дел - некоторое семейство групп. И пусть для каждого Л € Л Н\ - подгруппа группы бд. Предположим также, что для каждой пары £ А существует изоморфизм <рдм : Яд —+ Ям, причем для любых Л, /х, и 6 Л выполняются следующие условия: Ч>\\ = Ч>\,I = Ч>\цЧ>,11> = Пусть

С = (<7д(А € Л); Ыры = Н {к е Яд, А,// 6 Л))

- группа, порождаемая элементами всех групп (А € Л) и определяемая определяющими соотношениями этих групп, а также всевозможными соотношениями вида: /мрдд - /г, где к е Яд, А,/л Е А. Хорошо известно, что каждая группа (7д естественным образом вложима в группу (7, и если отождествить бд с соответствующей подгруппой группы (7, то для любых различных € Л

СЛ П = Яд = Я„.

Обозначим через Я подгруппу группы (?, совпадающую с каждой из этих подгрупп Яд. Будем говорить, что группа в является свободным

е

произведением групп Од (А £ Л) с сдной объединенной подгруппой II (и считать, когда это удобно, группы С?а подгруппами группы <?).

Целью данной работы является изучение некоторых алпроксима-ционных свойств группы О и, в первую очередь, аппроксимируемости группы О некоторыми классами конечных групп. Наряду с финитной аппроксимируемостью, а также аппроксимируемостью конечными р-группами в работе рассматривается и более универсальное свойство - аппроксимируемость классом Тт> всех конечных 7>-групп, где V - непустое множество простых чисел. Кроме того, исследуется нильпотентная аппроксимируемость группы в и финитная аппроксимируемость относительно сопряженности. Все перечисленные аппроксимационные свойства группы С исследуются при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители 0\ и объединяемую подгруппу Я.

Научная новизна результатов

Все доказанные в работе результаты являются новыми.

Ряд результатов данной работы представляет собой обобщения некоторых из перечисленных выше теорем Г.Баумслага, Д.Дайер и Хигмена, относящихся к случаю свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой, на случай свободного произведения £? любого (возможно, бесконечного) числа групп Сд с одной объединенной подгруппой Н. Вместе с тем, многие из доказанных в работе результатов, касающихся аппроксимационных свойств группы С, являются новыми даже для случая свободного произведения двух групп с объ-единанной подгруппой.

Методы исследования

Основополагающие методы исследования финитной аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой были разработаны Г.Баумслагом [4] и нашли свое дальнейшее развитие в работах многих авторов (см.напр. [7], [9], [14], [19], [20]). Ряд технических приемов, используемых в настоящей диссертации, можно рассматривать как модификацию упомянутых выше методов Г.Баумслага.

Теоретическое и практическое значение работы

Полученные в работе результаты, а также методы их доказательства могут найти дальнейшие применения в исследованиях по данной теме.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на:

1) Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997г.)

2) Алгебраическом семинаре под руководством А.Л.Шмелькина и

А.Ю.Ольшанского (МГУ, 1997г.)

3) Семинаре по теории групп под руководством Д.И.Молдаванского

(ИвГУ, 1994 - 1999гг.)

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в восьми публикациях. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и изложена на 102 страницах. Список литературы содержит 32 наименования.

Обзор содержания диссертации

Пусть, как и выше, С? - свободное произведение групп (7д (Л € А) с одной объединенной подгруппой Я.

В первой главе работы предполагается, что Н - конечная подгруппа. При этом ограничении для группы (7 получены критерии финитной аппроксимируемости, аппроксимируемости конечными р-группами, а также критерий финитной аппроксимируемости относительно сопряженности.

Одна из приведенных выше теорем Г.Баумслага утверждает, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых групп с объединенной конечной подгруппой является финитно аппроксимируемой группой. Аналогичный результат получен ДЛайер для финитной аппроксимируемости относительно сопряженности. Следующие две теоремы, доказанные в первой главе, обобщают эти результаты:

Теорема 1, Пусть |#| < ос и для каждого X 6 Л Сд 6 ¡¿Г. Груша С? 6 яТ тогда л только тогда, когда для каждого А € Л существует нормальная подгруппа 1}\ конечного индекса груши тривиально пересекающая Яд, и такал, что индексы [Сд : СГд] ограничены в совокупности.

Теорема 2. Пусть |#| < оо и все финитно аппроксимируемы относительно сопряженности. Группа С финитно аппроксимируема относительно сопряженности тогда и только тогда, когда для каждого А € Л существует нормальная подгруппа Уд конечного индекса группы С\ такая, что индексы [вд : Уд] ограничены и для любых элементов Н, к Е Я, не сопряженных в б, элементы М7д и Шд не сопряжены в Од/Уд при любом Л € Л.

Как отмечалось выше, Хигменом получен критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух конечных р-групц с объединенной подгруппой. В первой главе доказывается критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения С? любого числа групп Сд € дТр с одной объединенной конечной подгруппой Я. В основе этого результата лежит следующая конструкция, предложенная Д.И.Молдаванским:

Пусть р-простое число. И пусть для каждого А 6 Л {/д - нормальная подгруппа конечного р-индекса группы Сд. Семейство (Уд)дел называется р-совместимым, если для каждого Л Е Л существует последов ательность

их = их0<ихх <---<Удп=<?д

нормальных подгрупп группы (7д с факторами порядка р такая, что для любых г' € Л изоморфизм переводит множество пересечений

на множество пересечений

и„„ П Н„, • • • , П Н„.

Упомянутый выше критерий гшпроксимируемости группы С? конечными р-группами имеет следующий вид:

Теорема 3. Пусть |Я| < оо и для каждого А е Л С?д 6 Группа. <7 е тогда и только тогда., когда для каждого Л 6 Л существует нормальная подгруппа II\ конечного индекса группы С\ такая, что И\ П II = 1, индексы [6'л : £/д] ограничены и семейство (г/л)Аел р-совместимо.

С помощью теоремы 3 в первой главе устанавливается следующий результат:

Теорема 4. Пусть V - непустое множество простых чисел и для каждого А € Л (7\ - нильпотентпая группа, причем (Уд 6 нТт>-И пусть Я - конечная циклическая или конечная центральная подгруппа группы С. Тогда следующие четыре условия равносильны:

1. бея^.

2. С € кТ.

3. Для каждого Л € Л существует нормальная подгруппа Уд конечного индекса группы С\, тривиально пересекающая Н, и такая, что индексы [С?д : Уд] ограничены.

4. Для каждого А 6 Л существует нормальная подгруппа Vд конечного V-индекса группы тривиально пересекающая II, и такая, что индексы [бд : С/д] ограничены.

Во второй главе на свободные сомножители и объединяемую подгруппу Я накладываются следующие ограничения:

(а) Все Сд - конечно порожденные нильпотентные группы, причем полициклические ранги групп <7д и порядки их конечных частей ограничены в совокупности.

(б) Объединяемая подгруппа Я является бесконечной циклической и строго содержится во всех свободных сомножителях (?д, причем |А| > 2.

При этих ограничениях во второй главе получены критерий аппроксимируемости группы (7 классом Т-р, где V - непустое множество простых чисел, а также критерий аппроксимируемости группы & конечными нильпотентными группами. Формулировкам этих ре-зальтатов предпошлем некоторые предварительные замечания и обозначения.

Пусть выполняются условия (а) и (б). Для каждого Л £ Л обозначим через пд индекс подгруппы Я в своем изоляторе в группе Од. Хорошо известно, что мд - конечное число (см. напр. [8], лемма 4.5).

Обозначим через <2 о подгруппу аддитивной группы рациональных чисел, порождаемую всеми дробями вида 1/пд, где Л 6 Л. Пусть П -множество всех простых чисел р таких, что группа р-ичных дробей

содержится в Яо- В случае, когда множество П не пусто, через т будем обозначать порядок подгруппы Я по модулю пересечения всех нормальных подгрупп конечного П-индекса группы С?. Как показано во второй главе, т - конечное число.

Далее, через Л обозначим один из порождающих элементов подгруппы Я. Пусть V - непустое множество простых чисел. Через С будем обозначать группу Р-ичных дробей.

Сформулируем теперь критерий аппроксимируемости группы б конечными Р-группами, являющийся центральным результатом второй главы.

Теорема 5. Пусть выполняются ограничения (а) и (б). Если П ф 0, то группа в € яР-р тогда и только тогда, когда фо < Яр и для каждого А £ Л нормальное замыкание элемента Ьт в группе является группой без П-кручения. Если же П = 0, то группа в € кТу> тогда и только тогда, когда Яс, < Ят •

В частном случае, когда V - множество всех простых чисел, данный результат представляет собой критерий финитной аппроксимируемости группы С? и обобщает приведенную выше теорему Г.Баум-слага о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклической объединенной подгруппой.

В другом частном случае, когда V — {р} - одноэлементное множество, сформулированный результат позволяет доказать следующий простой критерий аппроксимируемости группы б конечными р-группами:

Теорема 6. Пусть выполняются условия (а) и (б). И пусть р -простое чясло. Группа £? £ дТр тогда и только тогда, когда числа пд ограничены и являются степенями числа р.

Сформулируем еще одно следствие из теоремы 5.

Теорема 7. Пусть выполняются условия (а) и (б) и все Од являются грушами без кручения. Группа С £ щЗ-р тогда и только тогда, когда (?<? < Яр.

Далее, через Рн будем обозначать класс всех конечных пильпо-тентных груцп. Во второй главе доказан следующий критерий аппроксимируемости группы С? классом Г^:

Теорема 8. Пусть выполняются ограничения (а) я (б). Тогда следующие гри условия равносильны:

1. ОекТм.

2. Существует простое число р такое, что все п\ являются степенями числа р а подгруппа, высекаемая в Н пересечением всех нормальных подгрупп конечного р-шдекса группы О, лежит в центре группы С.

3. Существуют простые числа р и д такие, что £ € и !РП).

В третьей главе предполагается, что все С\ - свободные группы и Я = {Ь) - неединичная циклическая подгруппа. Для каждого Л £ Л через п\ обозначим наибольшее целое положительное число такое, что уравнение = Л разрешимо в группе

Как доказал Г.Баумслаг, свободное произведение двух свободных групп с циклической объединенной подгруппой финитно аппроксимируемо. Следующее утверждение, доказанное в третьей главе, в некоторой степени дополняет этот результат Г.Баумслага:

Теорема 9. Пусть |Л| < оо, все Сгд - свободные группы и Я - неединичная циклическая подгруппа. Тогда группа С аппроксимируется конечными разрешимыми группами. Более того, группа С аппроксимируется конечными разрешимыми V-группами, где V - непустое множество простых чисел, содержащее все простые делители произведения всех чисел п\ (Л € Л).

Это утверждение можно рассматривать и как результат, обобщающий и дополняющий следующую теорему, доказанную Гилденхъюзом [10):

Пусть Р - свободное произведение свободных групп Л и Я с бесконечной циклической объединенной подгруппой Я = {К), тип- наибольшие целые положительные числа такие, что уравнения хт = Ь, и уп = Л разрешимы в группах Л и В соответственно. Если числа т и п являются степенями одного и того же простого числа р, то Г £

Найденное Гилденхъюзом достаточное условие аппроксимируемости группы Р конечными р-группами не является необходимым. Это вытекает из следующего критерия аппроксимируемости группы (7

конечными р-группами и нильпотентными группами, доказанного в третьей главе:

Теорема 10. Пусть все С\ - свободные группы, Н - нееоиничная циклическая группа и А - конечное множество. Тогда

1. Если все п\, за исключением, быть может, одного, равны 1, то С € для любого простого числа р.

2. Если же среди чисел пд хотя бы два отличны от 1, то С? € д/"я тогда и только тогда, когда все пд являются степенями числа р.

3. Груша б аппроксимируется нильпотентными группами тогда и только тогда, когда С € цТр для некоторого простого числа р.

Сформулируем теперь центральные результаты третьей главы, доказанные для свободного произведения любого числа свободных групп с циклическим объединением. Через 7п(Сгд), как обычно, будем обозначать п-в. член нижнего центрального ряда группы

Теорема 11. Пусть для каждого А 6 Л (7д - свободная группа конечного ранга и ранги групп бд ограничены в совокупности. И пусть И - яеедяничная циклическая подгруппа. Тогда

1. Если все пд, за исключением, быть может, одного, равны 1, то С £ цТР тогда и только тогда, когда существуют целые положительные числа п и з такие, что уравнение

х= /17„(Сд) (*)

не разрешимо в группе 6д/7п((?д) при любом Л 6 Л.

2. Если среди чисел пд хотя бы два отличны от 1, то £7 6 цТр тогда и только тогда, когда все пд являются степенями числа р и существуют целые положительные числа п и з такие, что уравнение (*) не разрешимо в группе С?д/7„(Сд) при любом А € Л.

3. Если хотя бы одна из групп С\ не циклическая, то в € я-?7« тогда и только тогда, когда С 6 для некоторого простого числа V-

4. Пусть все Сд - циклические и хотя бы для двух \,ц € Л (?д ф Н ф вр. Группа в 6 л^ы тогда и только тогда, когда все пд являются степенями одного и того же простого числа.

В четвертой главе получен следующий критерий аппроксимируемости классом Т-р группы С при условии, что все Сд - абелевы группы:

Теорема 12. Пусть все бд - абелевы группы, |Л| > 2 и для каждого А 6 Л&'д ф II. Группа С 6 цЗ~р тогда и только тогда, когда для каждого А € Л Сд/ Я € я-Яр и

П =

где Т7 - множество всех целых положительных V-чисел, II„ - подгруппа группы Я, порожденная множеством

и (СпхПН).

Л6Л

С помощью этой теоремы доказываетя следующее утверждение:

Теорема 13. Пусть все <3д - абелевы группы, |Л| > 2 и для каждого А £ Л Сд ф Н. И пусть для каждого р € V р - периоды групп т((7д/Я) конечны н ограничены в совокупности. Группа С? € цТ-р тогда ш только тогда, когда для каждого А е Л &д € д^р и Сд/Я е

Кроме того, в четвертой главе доказывается следующий результат:

Теорема 14. Пусть Л. - конечное множество и Я - циклическая подгруппа. Групп а <7 € я^, если выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:

1. Все С\ являются конечными расширениями ограниченных разрешимых групп.

2. Все являются конечными расширениями групп, аппроксимируемых ограниченными разрешимыми группами без кручения.

Понятие ограниченной разрешимой группы введено А.И.Мальцевым ¡2]. Так как любая полициклическая группа является ограниченной разрешимой, то приведенное утверждение обобщает и дополняет отмеченный выше результат Д.Дайер о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух почти полициклических групп с циклической объединенной подгруппой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лиидан Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир. 1980.

2. Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен, зал. Иван. гос. пед. ин-та. Иваново, 1958. т. 18. № 5. с. 49 - 60.

3. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. 1968. т. 12. № 1. с. 3 - 36.

4. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. v. 106. p. 193 - 209.

5. Baumslag G. On the residual nilpotence of certain one - relator groups // Communs Pure and Appl. Math. 1968. v.21. № 5. p. 491 - 506.

6. Bo lev J. The free products of residually finite groups amalgamated along retracts is residually finite // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. v. 37. № 1. p. 50-52.

7. Brunner A., Burns II., Solitar D. The subgroup separability of free products of two free groups with cyclic amalgamation // Contemp Math. 1984. v. 33 p. 90 - 115.

8. Dyer J. On the residual finiteness of generalized free products // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. v. 133. JnE: 1. p. 131 - 143.

9. Dyer J, Separating conjugates in amalgamated free products and tfiViV-extensions // J. Austral. Math. Soc. 1980. v. A29. № 1. p. 35-51.

10. Gildenhuys D. One-relator groups that are residually of prime power order // J. Austral. Math. Soc. 1975. v. A19. p. 385 - 410.

11. Grunberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. v. 7. p. 29 - 62.

12. Higman G. Amalgams of p-groups //J. Algebra. 1964. v. 1. p. 301 -305.

13. Rapt is E., Varsas D. The residual finiteness of HNN-extensions and generalized free products of nilpotent groups. A characterization // J. Austral. Math. Soc. 1992. v. 35. № 3. p. 408 - 420.

14. Shirvani M. A convers to a residual finiteness theorem of G.Baumslag 11 Proc. Amer. Math. Soc. 1988. v. 104. № 3. p. 703 - 706.

15. Stebe P. A residual property of sertaan groups // Proc. Атет. Math. Soc. 1970. v. 26. p. 37 - 42.

16. Stebe P. Conjugacy separability of certain free products with amalgamation // Trans. Amer. Matn. Soc. 1971. v. 156. p. 119 - 129.

17. Tang С. Y. On the subgroup separability of generalized free products of nilpotent groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. v. 113. № 2. p. 313 - 318.

18. Tretkoff M. The residual finiteness of certain amalgamated free products // Wath Z. 1973. № 2. p. 179 - 182.

Публикации автора no теме диссертации

19. Азаров Д.Н. О финитной аппроксимируемости свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Сиб. матем. журнал. 1997. Т. 38 № 1. С. 3 - 13.

20. ' Азаров Д.Н. О нильпотентной аппроксимируемости свободных произведений групп с циклическим объединением // Матем. заметки. 1998. Т. 64 № 1. С. 3 - 8.

21. Азаров Д.Н. Аппроксимационные свойства свободных произведений нильпотентных групп с циклическим объединением // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фадцева: С.-Петербург. 1997. Тездокл. С. 153.

22. Азаров Д.Н. Финитная аппроксимируемость некоторых свободных произведений групп с циклическим объединением // На-учн.труды Иван.гос.ун-та. Математика. Вып. 1. Иваново 1997. С. 4-10.

23. Азаров Д.Н. Финитная аппроксимируемость свободного произведения ограниченных разрешимых групп с циклическим объединением // Научн.труды Ивал.гос.ун-та. Математика. Вып. 2. Иваново 1999. С. 3-4.

24. Азаров Д.Н., Иванова Е.А. К вопросу о нильпотентной аппроксимируемости свободного произведения с объединением локально нильпотентных групп / / Там же. С. 5-7.

25. Азаров Д.Н., Молдаванский Д.И. Аппроксимируемость сверхразрешимых групп конечными р-груплами // Там же. С. 8 - 9.

26. Азаров Д.Н. Финитная аппроксимируемость и другие аппроксимационные свойства свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Иваново. 1999. 55 с. Деп. в ВИНИТИ 28.04.99 № 1371 - В99.

АЗАРОВ Дмитрий Николаевич

АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ СВОБОДНОГО ПРОИЗВВДЕНИЯ ГРУПП С ОДНОЙ ОБЪЕДИНЕННОЙ ПОДГРУППОЙ НЕКОТОРЫМИ КЛАССАМИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

. Лицензия ЛР 020295 от 22.11.96. Подписано в печать .2000. Формат 60 х 841/1б- Бумага писчая. Печать плоская. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,76. Тираж 100 экз.

Ивановский государственный университет 153025 Иваново, ул. Ермака, 39

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. О свободном произведении групп с одной объединенной конечной подгруппой

§ 1. Основные результаты первой главы

§ 2. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой корневым классом групп

§ 3. О свободном произведении конечных групп с одной объединенной подгруппой

§ 4. О свободном произведении групп с одной объединенной конечной подгруппой

ГЛАВА 2. О свободном произведении конечно порожденных нильпотентных групп с одной циклической объединенной подгруппой

§ 5. Основные результаты второй главы

§ 6. Некоторые замечания о конечно порожденных нильпотентных группах

§ 7. Об отделимости подгрупп конечно порожденных нильпотентных групп

§ 8. О свободном произведении конечно порожденных нильпотентных групп с одной циклической объединенной подгруппой

§ 9. О нильпотентной аппроксируемости некоторых свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой

ГЛАВА 3. О свободном произведении свободных групп с одной циклической объединенной подгруппой

§ 10. Основные результаты третьей главы

§11. Предварительные замечания

§ 12. О свободном произведении конечного числа свободных групп с одной циклической объединенной подгруппой

§ 13. О свободном произведении свободных групп с одной циклической объединенной подгруппой

ГЛАВА 4. О свободном произведении некоторых разрешимых групп с одной объединенной подгруппой

§ 14. Основные результаты четвертой главы

§ 15. О свободном произведении абелевых групп с одной объединенной подруппой

§ 16. О свободном произведении ограниченных разрешимых групп с одной циклической объединенной подгруппой

Актуальность темы

Пусть К - абстрактный класс групп. Говорят, что группа G аппроксимируется классом /С, если для любого элемента д группы G, отличного от 1, существует гомоморфизм (р группы G на некоторую группу из К такой, что gip ф 1. Группы, аппроксимируемые классом Т всех конечных групп и классом Тр всех конечных р-групп называются соответственно финитно аппроксимируемыми и аппроксимируемыми конечными р-группами.

Класс всех групп, аппроксимируемых классом /С, будем обозначать через rK,. В частности, через цТ и &FV будем обозначать класс всех финитно аппроксимируемых групп и класс всех групп, аппроксимируемых конечными р-группами.

К числу наиболее важных аппроксимационных свойств группы, наряду с аппроксимируемостью классом К, относится также и аппроксимируемость классом К, относительно сопряженности. Говорят, что группа G аппроксимируется классом К относительно сопряженности, если для любых не сопряженных между собой элементов х и у группы G существует гомоморфизм <р группы G на некоторую группу В из К такой, что элементы х<р и уср не сопряжены в группе В. Группа, аппроксимируемая относительно сопряженности классом Т всех конечных групп называется группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Хорошо известно, что свободная группа финитно аппроксимируема. Более того, свободная группа аппроксимируется классом Тр относительно сопряженности для любого простого числа р (см. напр. [5] с. 47).

Многие апппроксимационные свойства групп наследуются свободными произведениями групп. К числу таких свойств относятся финитная аппроксимируемость, аппроксимируемость конечными р-группами, а также финитная аппроксимируемость относительно сопряженности (см. напр. [21],[16]).

Наряду с изучением аппроксимационных свойств обычных свободных произведений, на протяжении последних четырех десятилетий велись достаточно интенсивные исследования аппроксимационных свойств свободных произведений групп с объединенной подгруппой. Эти исследования в немалой степени стимулировались тем обстоятельством, что свободное произведение с объединением двух групп, обладающих данным аппроксимационным свойством, может, вообще говоря, и не обладать этим свойством даже в случае, когда данное свойство наследуется обычными свободными произведениями групп.

Пусть

С?= (А*В;

- свободное произведение групп А и В с подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма (р.

Наиболее продуктивным направлением изучения аппроксимаци-онных свойств группы С? оказалось исследование этих свойств при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители А и В, объединяемые подгруппы Н и К и изоморфизм ср. Из нескольких десятков результатов, относящихся к этому направлению и доказанных в разное время, мы здесь приводим только некоторые утверждения, наиболее значимые для дальнейшего изложения.

В 1963г. Г.Баумслаг [9] доказал, что С € цТ, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. А, В е яТ в. \Н\ < оо.

2. А,В - конечно порожденные нильпотентные группы и Н -циклическая.

3. А,В - свободные группы и Я - циклическая.

В 1980г. Д.Дайер [14] доказала, что финитная аппроксимируемость относительно сопряженности групп А и В наследуется группой С? в случае, когда |Я| < оо. В той же работе устанавливается, что условия 2 и 3 достаточны для финитной аппроксимируемости относительно сопряженности группы

В [13] Д.Дайер установила, что С Е кТ, если А, В - почти полициклические группы и Н - циклическая.

Критерий финитной аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных ни ль потентных групп с произвольной объединенной подгруппой найден в [19].

В 1964г. Хигмен [17] получил критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух конечных р-групп с объединенной подгруппой. В [15] получено достаточное условие аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух свободных групп с циклическим объединением.

Различные аппроксимационные свойства свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой исследовались также в [2], [10]-[12], [21]-[24].

В работе Ширвани [20] рассматривается свободное произведение любого (возможно, бесконечного) числа групп с одной объединенной подгруппой. Для такого свободного произведения доказывается критерий финитной аппроксимируемости при условии, что свободные сомножители удовлетворяют нетривиальному тождеству.

Многие из перечисленных выше результатов, относящихся к свободному произведению двух групп с объединенной подгруппой, могут быть без труда распространены на случай древесного произведения конечного числа групп. Тем не менее, вопросы, касающиеся аппрок-симационных свойств древесного произведения любого числа групп, изучены в значительно меньшей мере по сравнению с аналогичными вопросами для случая свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Нам представляется весьма актуальным изучение различных аппроксимационных свойств свободного произведения любого числа групп с одной объединенной подгруппой, как наиболее важного частного случал древесного произведения групп.

Цель работы и ее научная новизна

Пусть (^а)а€Л ~ некоторое семейство групп. И пусть для каждого Л € Л Яд - подгруппа группы (7д. Предположим также, что для каждой пары А,^ € Л существует изоморфизм (р\^ : Яд —► Я^, причем для любых Л, /х, V 6 Л выполняются следующие условия: <Рал = idнx, = <р\р(рр„ = <РПусть а = (<?а(л € Л); Лу>Ам = л (л е Ял, А,м е л))

- группа, порождаемая элементами всех групп 6а (А е Л) и определяемая определяющими соотношениями этих групп, а также всевозможными соотношениями вида: = /г, где к 6 Ял, А,/2 6 Л. Хорошо известно, что каждая группа Сд естественным образом вло-жима в группу С?, и если отождествить Од с соответствующей подгруппой группы ¿7, то для любых различных А,д € Л

П Сц = ЯЛ = Нц.

Обозначим через Я подгруппу группы 6?, совпадающую с каждой из этих подгрупп Яд. Будем говорить, что група О является свободным произведением групп Ста (А 6 Л) с одной объединенной подгруппой Я (и считать, когда это удобно, группы Сд подгруппами группы С).

Целью данной работы является изучение некоторых аппрокси-мационных свойств группы С и, в первую очередь, аппроксимируемости группы С некоторыми классами конечных групп. Наряду с финитной аппроксимируемостью, а также аппроксимируемостью конечными р-группами в работе рассматривается и более универсальное свойство - аппроксимируемость классом Т-р всех конечных Р-групп, где V ~ непустое множество простых чисел. Кроме того, исследуется нильпотентная аппроксимируемость группы и финитная аппроксимируемость относительно сопряженности. Все перечисленные аппроксимационные свойства группы С исследуются при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители Сд и объединяемую подгруппу Н.

Ряд результатов данной работы представляет собой обобщения некоторых из перечисленных выше теорем Г.Баумслага, Д.Дайер и Хигмена, относящихся к случаю свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой, на случай свободного произведения G любого (возможно, бесконечного) числа групп с одной объединенной подгруппой Н. Вместе с тем, многие из доказанных в работе результатов, касающихся аппроксимационных свойств группы (7, являются новыми даже для случал свободного произведения двух групп с объединанной подгруппой.

Краткое описание работы

Пусть, как и выше, (7 - свободное произведение групп С\ (А € Л) с одной объединенной подгруппой Н.

В первой главе работы предполагается, что Я - конечная подгруппа. При этом ограничении для группы С получены критерии финитной аппроксимируемости, аппроксимируемости конечными р-группами, а также критерий финитной аппроксимируемости относительно сопряженности.

Одна из приведенных выше теорем Г.Баумслага утверждает, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых групп с объединенной конечной подгруппой является финитно аппроксимируемой группой. Аналогичный результат получен Д.Дайер для финитной аппроксимируемости относительно сопряженности. Следующие две теоремы, доказанные в первой главе, обобщают эти результаты:

Пусть |Я"| < оо и для каждого А € Л С?л € лТ. Группа (7 Е вТ тогда и только тогда > когда для каждого А 6 Л существует нормальная подгруппа II х конечного индекса группы Сд, тривиально пересекающая Нх, и такая, что индексы [С?а : IIх] ограничены в совокупности.

Пусть \Н | < оо и все Сх финитно аппроксимируемы относительно сопряженности. Группа финитно аппроксимируема относительно сопряженности тогда и только тогда, когда для каждого А € Л существует нормальная подгруппа 11\ конечного индекса группы £д такая, что индексы [&а : ^а] ограничены и для любых элементов 1г,к £ Н, не сопряженных в О, элементы К11\ и ких не сопряжены в О\/11\ при любом Л € Л.

Как отмечалось выше Хигменом получен критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух конечных р-групп с объединенной подгруппой. В первой гла-ве доказывается критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения (7 любого числа групп Сг\ £ вИ~р с одной объединенной конечной подгруппой Н. В основе этого результата лежит следующая конструкция, предложенная Д.И.Молдаванским:

Пусть р-простое число. И пусть для каждого Л 6 Л 11\ - нормальная подгруппа конечного р-индекса группы С\. Семейство (Цд)а€Л называется р-совместимым, если для каждого Л (Е Л существует последовательность иХ = иХо<иХ1<.<.<иХ;х=0Х нормальных подгрупп группы (7 а с факторами порядка р такая, что для любых £ Л изоморфизм (р^ переводит множество пересечений

П Ям, • • • , ип Ям на множество пересечений и„0 п #„, • • •, и^^ П #„.

Упомянутый выше критерий аппроксимируемости группы С? конечными р-группами имеет следующий вид:

Пусть \Н\ < оо и для каждого А 6 Л (?д 6 Группа С? €

В.Т-Р тогда и только тогда, когда для каждого А (Е Л существует нормальная подгруппа IIх конечного индекса группы такая, что ихП Н — 1, индексы [<7а : их] ограничены и семейство (?7а)а€Л Р~ совместимо.

Во второй главе на свободные сомножители Сд и объединяемую подгруппу Н накладываются следующие ограничения: а) Все Сд - конечно порожденные нильпотентные группы, причем полициклические ранги групп Сд и порядки их конечных частей ограничены в совокупности. б) Объединяемая подгруппа Н является бесконечной циклической и строго содержится во всех свободных сомножителях (?д, причем |Л| > 2.

При этих ограничениях во второй главе получены критерий аппроксимируемости группы Ст классом Т-р, где V - непустое множество простых чисел, а также критерий аппроксимируемости группы О конечными нильпотентными группами. Формулировкам этих резальтатов предпошлем некоторые предварительные замечания и обозначения.

Пусть выполняются условия (а) и (б). Для каждого Л € Л обозначим через п\ индекс подгруппы Н в своем изоляторе в группе Хорошо известно, что п\ - конечное число (см. напр. [8], лемма 4.5). Обозначим через (¿с подгруппу аддитивной группы рациональных чисел, порождаемую всеми дробями вида 1/пд, где Л € Л. Пусть П -множество всех простых чисел р таких, что группа р-ичных дробей фр содержится в (¿а- В случае, когда множество П не пусто, через т будем обозначать порядок подгруппы Н по модулю пересечения всех нормальных подгрупп конечного П-индекса группы Как показано во второй главе, т - конечное число.

Далее, через /г обозначим один из порождающих элементов подгруппы Н. Пусть V - непустое множество простых чисел. Через С}-р будем обозначать группу Р-ичных дробей.

Сформулируем теперь критерий аппроксимируемости группы О конечными V-группами, являющийся центральным результатом второй главы.

Пусть выполняются ограничения (а) и (б). Если П ф 0, то группа С 6 цТт тогда и только тогда, когда С}с < и для каждого А Е Л нормальное замыкание элемента Нт в группе (?д является группой без П-кручения. Если ж.е П = 0, то группа О Е яТ-р тогда и только тогда, когда < Ят><

В частном случае, когда V - множество всех простых чисел, данный результат представляет собой критерий финитной аппроксимируемости группы О и обобщает приведенную выше теорему Г.Баумслага о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклической объединенной подгруппой.

В другом частном случае, когда V = {р} - одноэлементное множество, сформулированный результат позволяет доказать следующий простой критерий аппроксимируемости группы С? конечными р-группами:

Пусть выполняются условия (а) и (б). И пусть р - простое число. Группа (7 £ яТр тогда и только тогда, когда числа п\ ограничены и являются степенями числа р.

Далее, через ^ будем обозначать класс всех конечных нильпотентных групп. Во второй главе доказан следующий критерий аппроксимируемости группы О классом Гм:

Пусть выполняются ограничения (а) и (б). Тогда следующие три условия равносильны:

1. С Е RJ:N^

2. Существует простое число р такое, что все п\ являются степенями числа р и подгруппа, высекаемая в Н пересечением всех нормальных подгрупп конечного р-индекса группы С, лежит в центре группы (7.

3. Существуют простые числа р и ц такие, что С €

В третьей главе предполагается, что все (?д - свободные группы и Н = (к) - неединичная циклическая подгруппа. Для каждого Л 6 Л через п\ обозначим наибольшее целое положительное число такое, что уравнение хпх = К разрешимо в группе Сд.

Как доказал Г.Баумслаг, свободное произведение двух свободных групп с циклической объединенной подгруппой финитно аппроксимируемо. Следующее утверждение, доказанное в третьей главе, в некоторой степени дополняет этот результат Г.Баумслага:

Пусть |А| < оо, все Сд - свободные группы и Н - неединичная циклическая подгруппа. Тогда группа О аппроксимируется конечными разрешимыми группами. Более того, группа <7 аппроксимируется конечными разрешимыми V-группами, где V - непустое множество простых чисел, содержащее все простые делители произведения всех чисел п\ (Л Е Л).

Это утверждение можно рассматривать и как результат, обобщающий и дополняющий следующую теорему, доказанную Гилденхъ-юзом [15]:

Пусть .Р - свободное произведение свободных групп А я В с бесконечной циклической объединенной подгруппой Н — (/г), тип- наибольшие целые положительные числа такие, что уравнения хт — h и уп = h разрешимы в группах А и В соответственно. Если числа m и п являются степенями одного и того же простого числа р, то G G rTv.

Найденное Гилденхъюзом достаточное условие аппроксимируемости группы F конечными р-группами не является необходимым. Это вытекает из следующего критерия аппроксимируемости группы G конечными р-группами и нильпотентными группами, доказанного в третьей главе:

Пусть все G\ - свободные группы, H - неединичная циклическая группа и А - конечное множество. Тогда

1. Если все п\, за исключением, быть может, одного, равны 1, то G G rTv для любого простого числа р.

2. Если же среди чисел п\ хотя бы два отличны от 1, то G £ rTv тогда и только тогда, когда все п\ являются степенями числа р.

3. Группа G аппроксимируется нильпотентными группами тогда и только тогда, когда G G rTv для некоторого простого числа V

Сформулируем теперь центральные результаты третьей главы, доказанные для свободного произведения любого числа свободных групп с циклическим объединением. Через 7w(Gx), как обычно, будем обозначать п-й член нижнего центрального ряда группы G\.

Пусть для каждого Л G Л G\ - свободная группа конечного ранга и ранги групп G\ ограничены в совокупности. И пусть H - неединичная циклическая подгруппа. Тогда

1. Если все па, за исключением, быть может, одного, равны 1, то G G rJ~p тогда и только тогда, когда существуют целые положительные числа nus такие, что уравнение hln{Gx) (*) не разрешимо в группе G\/yn(G\) при любом Л G Л.

2. Если среди чисел п\ хотя бы два отличны от 1, то G G rTp тогда и только тогда, когда все п\ являются степенями числа р и существуют целые положительные числа nus такие, что уравнение (*) не разрешимо в группе G\/"yn(Gx) при любом Л G Л.

3. Если хотя бы одна из групп G\ не циклическая, то G G rJ-"n тогда и только тогда, когда G G rTv для некоторого простого числа Р

4. Пусть все (Зд - циклические и хотя бы для двух А,д 6 Л Gд Ф Н ф Оц. Группа (? € д7"лг тогда и только тогда, когда все п\ являются степенями одного и того лее простого числа.

В четвертой главе получен следующий критерий аппроксимируемости классом Т-р группы (7 при условии, что все Сд - абелевы группы:

Пусть все Сд - абелевы группы, |Л| > 2 и для каждого А £ Л С\ ф Я. Группа Сг € лТ-р тогда и только тогда, когда для каждого А £д/Я € д^р и

ПЯ» = 1» пёР где V - множество всех целых положительных V-чисел, Нп - подгруппа группы И, порожденная множеством и (<?5 П я). а€л

Кроме того, в четвертой главе доказывается следующий результат:

Пусть Л - конечное множество и Я - циклическая подгруппа. Группа С € д?7, если выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:

1. Все Сгд являются конечными расширениями ограниченных разрешимых групп.

2. Все £гд являются конечными расширениями групп, аппроксимируемых ограниченными разрешимыми группами без кручения.

Понятие ограниченной разрешимой группы введено А.И.Мальцевым [7]. Так как любая полициклическая группа является ограниченной разрешимой, то приведенное утверждение обобщает и дополняет отмеченный выше результат Д.Дайер о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух почти полициклических групп с циклической объединенной подгруппой.

Здесь мы привели только некоторые результаты, доказанные в работе. Полные списки этих результатов, а также необходимые комментарии приводятся в начале каждой главы.

В работе используются некоторые хорошо известные свойства свободных произведений групп с объединенной подгруппой, связанные с понятием несократимой записи элемента (см. напр. [18], [6] с. 207236). Ссылки на другие используемые результаты приводятся по мере необходимости.

1. Горяга А.В. Пример конечного расширения ФАС-группы, не являющегося ФАС-группой // Сиб. мат.ж. 1986. т. 27. № 3. с. 203 - 205.

2. Залесский П.А., Тавгенъ О.И. Замкнутость орбит и финитная аппроксимируемость относительно сопряженности свободных амальгамированных произведение // Мат. заметки. 1995. т. 58. № 4. с. 525 535.

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука. 1972.

4. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука. 1967.

5. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир. 1980.

6. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука. 1974.

7. Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен, зап. Иван. гос. пед. ин-та. Иваново, 1958. т. 18. № 5. с. 49 60.

8. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. 1968. т. 12. X* 1. с. 3 36.

9. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. v. 106. p. 193 209.

10. Baumslag G. On the residual nilpotence of certain one relator groups // Communs Pure and Appl. Math. 1968. v.21. № 5. p. 491 - 506.

11. Boler J. The free products of residuaily finite groups amalgamated along retracts is residuaily finite // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. v. 37. № 1. p. 50 52.

12. Brunner ABurns R., Solitar D. The subgroup separabihty of free products of two free groups with cyclic amalgamation // Contemp Math. 1984. v. 33 p. 90 115.

13. Dyer J. On the residual finiteness of generalized free products // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. v. 133. № 1. p. 131 143.

14. Dyer J. Separating conjugates in amalgamated free products and HNN-extensioas // J. Austral. Math. Soc. 1980. v. A29. № 1. p. 35 51.

15. Gildenhuys D. One-relator groups that are residuaily of prime power order //J. Austral. Math. Soc. 1975. v. A19. p. 385 410.

16. Grunberg К. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. v. 7. p. 29 62.

17. Higman G. Amalgams of p-groups //J. Algebra. 1964. v. 1. p. 301 305.

18. Neumann B. An essau on free products of groups with amalgamations // Philos. Trans. Roy. Soc. of London. 1954. v. 246. p. 503 554.

19. Raptis EVarsas D. The residual finiteness of HNN-extensions and generalized free products of nilpotent groups. A characterization // J. Austral. Math. Soc. 1992. v. 35. № 3. p. 408 420.

20. Shirvani M. A convers to a residual finiteness theorem of G.Baumslag // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. v. 104. № 3. p. 703 706.

21. Stebe P. A residual property of sertain groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. v. 26. p. 37 42.

22. Stebe P. Conjugacy separability of certain free products with amalgamation // Trans. Amer. Matn. Soc. 1971. v. 156. p. 119 129.

23. Tang C. Y. On the subgroup separability of generalized free products of nilpotent groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. v. 113. № 2. p. 313 318.

24. Tretkoff M. The residual finiteness of certain amalgamated free products // Wath Z. 1973. № 2. p. 179 182.

25. Азаров Д.Н. О финитной аппроксимируемости свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Сиб. матем. журнал. 1997. Т. 38 № 1. С. 3 13.

26. Азаров Д.Н. О нильпотентной аппроксимируемости свободных произведений групп с циклическим объединением // Матем. заметки. 1998. Т. 64 № 1. С. 3 8.

27. Азаров Д.Н. Аппроксимационные свойства свободных произведений нильпотентных групп с циклическим объединением // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фадцева: С.-Петербург. 1997. Тез.докл. С. 153.

28. Азаров Д.Н. Финитная аппроксимируемость некоторых свободных произведений групп с циклическим объединением // На-учн.труды Иван.гос.ун-та. Математика. Вып. 1. Иваново 1997. С. 4- 10.

29. Азаров Д.Н. Финитная аппроксимируемость свободного произведения ограниченных разрешимых групп с циклическим объединением // Научн.труды Иван.гос.ун-та. Математика. Вып. 2. Иваново 1999. С. 3-4.