Асимптотическая формула в проблеме Варинга-Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова механико-математический факультет

На правах рукописи

005003248

Рахмонов Фируз Заруллоевич

Асимптотическая формула в проблеме Варинга-Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

/ ^

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 ДЕК 2011

Москва - 2011

005003248

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Чубариков Владимир Николаеви

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гриценко Сергей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Постникова Людмила Петровна

Ведущая организация: Тульский государственный педагогический

университет им. Л.Н. Толстого

Защита диссертации состоится 16 декабря 2011 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математическ факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О.Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация является исследованием в аналитической теории чисел, относящаяся к области аддитивной теории чисел. В аддитивной теории чисел изучаются вопросы о представлении некоторой последовательности натуральных чисел суммой ограниченного количества слагаемых заданного вида, и исторически первыми примерами подобных задач стали:

• тернарная проблема Гольдбаха (1742 г.) о представлении нечетных чисел суммой трех простых слагаемых;

• проблема Эйлера (1742 г.)(или бинарная проблема Гольдбаха) о представлении четных чисел в виде суммы двух простых;

• теорема Лагранжа о представлении натуральных чисел суммой не более четырех квадратов натуральных чисел;

• проблема Варинга1 (1770 г.) являющаяся обобщением теоремы Лагранжа, которая утверждает, что последовательность, образованная фиксированной степенью п чисел натурального ряда, образует в нем базис конечного порядка G(n), т.е. что каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде

+ + ... + хпт = N,

где х\, Х2,...,хт — натуральные числа и количество слагаемых г не превосходит фиксированной величины G(n), называемой порядком базиса последовательности {а;™}, или функцией Харди;

• поставленная в начале 19-го века проблема о том, что фиксированная степень п простых чисел р при любом натуральном п образует базис конечного порядка V(n) в натуральном ряде. Вновь постановка этой проблемы появилась в работе П.Эрдёша2. Другими словами, предполагалось, что каждое достаточно большое натуральное N может быть представлено в виде

N = pn1+pl + ---+pnk,

где pi,p2, ■ ■ - ,Рк — простые числа и к < V(n). Данная задача называется проблемой Гольдбаха - Варинга, поскольку обобщает, с одной стороны, проблему Гольдбаха о представлении числа суммой простых чисел, а с другой стороны — проблему Варинга о представлении числа суммой степеней натуральных чисел.

'Waring Е. Meditationes algebraica«. Cambridge. 1770.

2Er.düSHP. On the easier Waring problem for powers of primes. I. // Proc. of the Cambridge Phil. Soc., January 1937, V. XXXIII, Part I, p. 6-12.

• теорема Эстермана 3 о представлении натурального числа N > Лг0 в виде р! + р2 + т2 = Аг, Р1 и р2-простые числа, т-целое число.

И.М.Виноградов4'5 в 1937 г. создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Он обнаружил, что суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм (решето Виноградова), хорошие оценки которых могут быть получены с помощью метода оценок двойных сумм и средств, не имеющих какого-либо отношения к теории функции С(а) или Ь-рядов (метод сглаживания двойных сумм). Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы

р<х

Полученная оценка для S{a,x) в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях, позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде

N = Р1+Р2+Р3,

следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

В том же 1937 г. И.М.Виноградов с помощью указанного соображения с последующим применением метода Г.Вейля получил оценку суммы

<?'(/) = £ е (Др)), № = amtm + am-itm~l + ... + ait,

р<Х

Ю.В.Линник6 с помощью идей Г.Харди и Д.Литтлвуда, применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей L- рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической суммы S(a,x). Тем самым Ю.В.Линником было дано новое доказательство теоремы И.М.Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха). Н.Г.Чудаков7 также предложил подобный метод исследования тригонометрических сумм S(a, х) с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение которой в свою очередь основывается на распределении нулей L-рядов Дирихле в критической полосе.

3EsterMANN Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London

math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.

4Виноградов И.М. Избранные труды. - M.: Изд-во А.Н OLOF, 1!Ш.

«Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. - М.: Наука, laio. Шинник Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Мат. сборник, 1946, т.

19'7Чуда1'овТН.Г. On Goldbach-Vinogradof' s theorem // Ann of Math.,1947, 48, p.515-545.

Бинарная проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Лучший современный результат, наиболее близко подходящий к доказательству этой проблемы, принадлежит Дж.Р.Чену8. В этой знаменитой работе он доказал, что каждое четное число N представимо в виде

p + P2 = N,

где Р2-простое число или произведение двух простых чисел.

В XIX веке проблема Варинга была доказана для отдельных значений п, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в XX веке. В 1909 г. эту проблему решил Д.Гильберт9, тем самым он установил существование функции G(n).

В 1938 г. Хуа JIo Ген10, пользуясь оценкой И.М.Виноградова для тригонометрических сумм с простыми числами, доказал асимптотическую формулу для числа представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов простых чисел и показал, что особый ряд этой формулы больше абсолютной положительной постоянной при N = 5(гвоой4). Тем самым Хуа Л о Ген доказал, что всякое достаточно большое натуральное число N = 5(mod2A) является суммой пяти простых квадратов.

А в 1948 -1956 гг. И.М.Виноградов, используя вместо метода Г.Вейля свой метод тригонометрических сумм, доказал общую теорему об оценке суммы S'(f) ■ С помощью этой теоремы и упрощенной верхней границы в теореме о среднем нашел асимптотическую формулу в проблеме Гольдбаха - Варинга, о том, что каждое достаточно большое натуральное N может быть представлено в виде

N=pn+pn + ... + pi

где PuP2, ■ ■ ■ ,Рк - простые числа.

В асимптотической формуле И.М. Виноградова вопрос о положительности особого ряда а — а(к\ N), то есть вопрос о существовании функции V{n) и ее верхней оценки в зависимости только от значения параметра п до 2009 г. оставался открытым и, следовательно, проблема Гольдбаха - Варинга в полном объеме до самого последнего времени оставалась нерешенной.

8Chen J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes // Kexue Tongbao, 1966, v. 17, p.385-4386.

9Гильберт Д. Избранные труды. Т.1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. ~М.: Изд-во "Факториал 1998. - 575с.

10НЬ'А L.K. Some results in the additive prime number theory // Quart J Math (Oxford), 1938, 9: 68-80

В.Н.Чубариков11'12'13,14 создал теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, являющуюся дальнейшим развитием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова, и решил проблему Гильберта - Камке в простых числах. В.Н. Чубари-ков указал арифметические условия, позволяющие свести эту проблему к исследованию разрешимости в р - адических числах при всех р < 2п некоторой системы уравнений варинговского типа. Использование подобных арифметических условий разрешимости позволили ему полностью решить и проблему Гольдбаха - Варинга. Он доказал:

Теорема (В.Н. Чубариков15). Пусть п> 2 - фиксированное натуральное число, Р1,Р2,.--»Рк - пробегают значения простых чисел, превосходящих 2п. Тогда существует функция V{n) такая, что при k < V(rij для всех достаточно больших N имеет место представление

N =рп1+рп2 + ---+р1 Более того, справедливы неравенства

п + М(п) < V(n) < M (ri) + G i(n) - 1,

Gi{ri) < 4nlnn + 161nlnn + 8n,

!2 П Pa+1i если n ~ четное;

p< 2n

О, если n - нечетное,

где функция a = a(n,p) определяется из соотношения ра\\п, (р-1) | п.

Цель работы. Целью работы является изучение поведения тригонометрических сумм с простыми числами, точное вычисление и оценка снизу особого ряда, а также их приложение в асимптотической формуле для количества представлений натурального числа в виде суммы пяти квадратов

сдвинутых простых чисел.

Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе

• методы L - рядов Дирихле, методы Ю.В. Линника и Н.Г.Чудакова, основанные на плотности нулей L - рядов Дирихле в критической полосе;

"Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // ДАН СССР, 1984, т.278, №2, с.302-304.

1гЧУБАРИКОВ В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, сер. мат., 1985, т.49, №5. с. 1031-1067.

13чубариков В.Н. Об одновременном представлении натуральных чисел суммами степеней простых чисел // ДАН СССР. 1986, т.286, №4. С.828-831.

14Чубариков В.Н. Многомерная аддитивная задача с простыми числами // ДАН ЬЬЬГ. issu,

т.290, №4, с.805-808.

15ЧубаРИКОВ В.Н. к проблеме Варинга-Гольдбаха В. Н. Чубариков // Доклады Академии наук. - 2009. - Т.427, Na, с. 24-27

• метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова;

• метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических сумм и интегралов;

• круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• изучено поведение тригонометрической суммы с простыми числами

5т(а; = А(п)е(а{п + к)т),

п<х

когда а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем и устанавлена ее связь с плотностными теоремами для нулей £-рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы;

• получена оценка сверху для модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами 5г(а;х, 1), когда а приближается рациональным числом с большим знаменателем;

• исследован особый ряд

4 (о,,)=1 \(тм)=1 /

асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р + 1 и найдено арифметическое условие, при выполнении которого этот особый ряд больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от ЛГ;

• доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р + 1.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах по аналитической теории чисел под руководством Г.И.Архипова и В.Н.Чубарикова на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова, на VIII Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященная 190-летию П.Л.Чебышева и 120-летию И.М.Виноградова в Саратове, 12-17 сентября 2011 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы, включающего 38 наименований. Объём диссертации составляет 95 страниц компьютерной вёрстки в редакторе математических формул ЖГеХ.

Содержание диссертации

Во введении излагается история вопроса и приводится краткий обзор результатов, связанных с темой диссертации. Также во введении формулируются основные результаты диссертации и кратко описывается ее содержание.

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов и посвящена исследованию поведения тригонометрических сумм с простыми числами вида

S4a;®,fc) = X>(n)e(a(n + fc)m),

п<х

а = - + A, (a, q) = 1, |А| < у, 1 < Q < т, q Чт

тп- фиксированное натуральное число.

Первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах.

Во втором параграфе этой главы изучается поведение тригонометрических сумм с простыми числами Sm{a]x,k), когда а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем и устанавливается его связь с плотностными теоремами для нулей L-рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

Определение. Пусть с>2,в<1иВ>1 абсолютные постоянные, Т > Т0 > 0, Н>Тв, тогда оценка вида

£[JV(а,Т + Н,Х) ~ Ща,Т,Х)] « (qTf^HlnqTf (1)

х:

называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей Ь - рядов Дирихле по модулю <7.

Теорема 1.1. Пусть х > х0, т > хт~' ехр(1п°'76х), > (В + 3)(т + 1) - произвольное фиксированное число, к-фиксированное натуральное число,

I ехр(— 1п41па;), если д < (1пх)ь, = \(1пг)в+3, если д > (1па:)ь.

Тогда справедливо равенство:

X

5т(а; х, к) = I е(Х(и + к)т)Ли + Дт(<7, х).

2

г> / \ ^ Т?! ^ \Стп{х,я)\ Дт(д, х) «: хГ(д, х) шах--г-г—.

\modq </3(д)

Доказательство теоремы 1.1 основывается на дальнейшем развитии методов работы Ю.В.Линника6 и Н.Г.Чудакова16, в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы.

ЪЪ&п Тао17 доказал, что соотношение (1) имеет место при с < 8/3, 9 < 1/3 и В < 216. Поэтому из теоремы 1.1 получим следующие безусловные результаты:

Следствие 1.1.1. Пусть т > хт~1 ехр(1п0'76 х), д < х* ехр (- 1п0'70 х), Ь > 220(ш + 1), тогда для остаточного члена теоремы 1.1 справедлива оценка:

Дт(д,ж) «

Следствие 1.1.2. Пусть д > (1пя)ь тогда при выполнении условий следствия 1.1.1 справедлива оценка:

\Зт{а-х,к)\<хд-^(Ых)в+\

В третьем параграфе первой главы получена оценка сверху для модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами

16Chudakov N.G. On the difference between two neighboring prime numbers // Mat. Sb., 1,1936, 799 - 814.

1tzhan Tao, On the mean square of Dirichlet L-functions // Acta Math Sinica, 8(1992), No 2, pp.204224.

Зт{а;х,к), т = 2, к ~ 1, когда а приближается рациональным числом с большим знаменателем.

Теорема 1.2. Пусть х>х0>0, а-вещественное число, а = \ + {а, д) = 1, д > 1, Щ < 1, тогда

х, 1) = Л(п)е(а(п+1)2) « (яд"* + + х1<?*) Ь = Ь д®,

п<х

Доказательство теоремы проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова, и ее основу составляют леммы 1.15 и 1.16 об оценке двойных тригонометрических сумм от квадратичного многочлена.

Лемма 1.15. Пусть М > 1 и N > 1 произвольные положительные числа, М < N , МЫ < х, ат и Ъп функции натурального аргумента такие, что

•с-л о „ 4са + 4с;, + 9 Ы2«М^, £ Ы2«АГЬСЬ, С! = -2—§-.

М<т<1М К<п<

Тогда справедлива оценка

£ ат ^ Ь»е(о(™+1)2) « ^^ + + +

М<т<2М N<"52*

тп<1

Лемма 1.16. Пусть М > 1 и N > 1 произвольные положительные числа, М<И, МИ < х, ат функция натурального аргумента, |ат| < 1п т. Тогда для суммы

№ = йт е(а(тп + 1)2)

М<т<2М

тп<х

справедлива оценка

IV < ((МЛГ)д"* + (МЛ0*Мз + £6-5.

Теоремы 1.1 и 1.2 являются уточнением соответствующего результата И.М.Виноградова для тригонометрической суммы 5'(/) соответственно для многочленов вида /(п) = (п + к)т и /(п) = (га + I)2.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию особого ряда

«=1

5

' а(п + 1)2\ | ( aN

(а,,)=1 \(п,,)=1

6 д

Суть этого исследования заключается в следующем:

в показано, что особый ряд 6 = 6(ЛГ) абсолютно сходится, является вещественным числом и равен бесконечному произведению по простым числам р функций

а=1

• найдены точные значения числовых рядов З^р, ./V), из которых следует арифметическое условие, при выполнении которого особый ряд 6 = б(ЛГ) больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N.

Теорема 2.1. Справедливо соотношение

в(Ю = ТТЯр ю = I если м =

если N ф 0(шос/4),

где с(]У) - абсолютная положительная постоянная, зависящая только от N, и

с(Л0>2П(1- 10

р>7 ч ^

Основу доказательства теоремы 2.1 составляют теорема 2.2 о точном значении ряда Эг(2, Лг), ее следствие 2.2.1 об оценке снизу Эг(2, ЛГ) при ог<12(Ы) > 2 и теорема 2.3 о точном значении ряда Э^р, ЛГ) со своими следствиями 2.3.1, 2.3.3, 2.3.5, в которых соответственно получены оценки снизу для 7(р, М) при р > 7, Э^З, ./V) и У(5, Ы).

Теорема 2.2. Пусть ог(12(Ю = /3, огй2(Н . 2"* - 5) = Ч, тогда

справедлива формула

если ¡3 < 1; 1.505-1)+з если Я>2 и ¡3 - четное, 7? ф 2;

Эг(2, ЛГ)

0,

26 15

_ + -

7 28

26 13

7 28

26 15

_ + 28

^ 7

• четное, г] = 2;

Следствие 2.2.1. При огс*2(^) > 2, справедливо неравенство ч 26 13\/2 ^ 13,, /х. ^ 65

Теорема 2.3. Яустг. р - нечетное простое число, огд,р{М) = /3, тогда справедлива формула

У(р,ЛГ) = 1 + Ф(р, Л0 + ^(Р» ДГ)>

ф(р, дг) = - 5) - 10еррср(^ - 3)-

—5р2ср(Лг - 1) + 5р5р(АГ _ 4) + 10ер<*р(ЛГ _ 2)р2 + 6Р№

о, , 0 =

1 N а

р-нечет

р рь-р

** Л ±±3)!-) + 1 + ^ет

ч (р-1)4(рЗ-1) V " Р1^-2^4/ (Р "

Следствие 2.3.1. При р > 7 справедливо неравенство

Следствие 2.3.3. Справедливо неравенство

^(3, ЛГ) > 1 - 2~4.

Следствие 2.3.5. Справедливо неравенство

ко

Э-(5,Л0> 1-21<г

Доказательства теорем 2.2 и 2.3 в свою очередь опираются на точное значение тригонометрической суммы Ф(о,ра), которое найдено соответственно в леммах 2.2, 2.3, 2.4 при р = 2 и в леммах 2.7, 2.8, 2.9, 2.10 при р > 3.

Третья глава диссертации посвящена выводу асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р+1:

N = (Р! + I)2 +{р2 + I)2 + (р3 + I)2 + (Р4 + I)2 + (Р5 + I)2,

и нахождению арифметического условия, при выполнении которого особый ряд задачи больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N.

Теорема 3.1. Для числа ^(Л", 1) представлений N суммою пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р+1 справедлива асимптотическая формула:

31п5 Лг 1п6ЛГ )■ {2)

где 6(АГ) - особый ряд абсолютно сходится и справедливо соотношение

_ Г с(Лг), если N = 0(то(14);

если N ф 0(той4),

с(Л0 >2Д(1 10

р>7 х ^(Р)

Следствие 3.1.1. Существует такое N0, что каждое натуральное число Ы, N > Щ, N = 0(той4) есть сумма пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р 4- 1.

Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди - Литт-лвуда - Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Основу доказательства составляют теорема 1.1 о поведении суммы

п<х

когда а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем, теорема 1.2 об оценке сверху модуля квадратичной тригонометрической

суммы с простыми числами 32(а; х, 1), когда а приближается рациональным числом с большим знаменателем, и теорема 2.1 об арифметическом условии, при выполнении которого особый ряд задачи б(ЛГ) > с(Лг), где с(АГ) - абсолютное положительное постоянное, зависящее только от N.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору В.Н.Чубарикову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации

1. РАХМОНОВ Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами. // Вест. Моск. ун-та. сер.1, математика, механика. 2011 г., №3, стр. 56-60.

2. РАХМОНОВ Ф.З. Исследование особого ряда в проблеме Варинга-Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами // Дискретная математика, 2011 г., т.23, №4, стр. 3-23.

3. РАХМОНОВ Ф.З. Асимптотическая формула для проблемы Варинга-Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами // "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", Тезисы докладов VIII Международной конференции посвященной 190-летию П.Л. Чебыше-ва и 120-летию И.М. Виноградова, Саратов, 12-17 сентября 2011 г., стр. 64-65

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 07.11.2011 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ 470.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к.

Обозначения.

Введение

1 Оценка тригонометрических сумм с простыми числами

1.1 Известные леммы.

1.2 Оценка тригонометрических сумм с простыми числами на множестве первого класса.

1.3 Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами.

2 Исследование особого ряда в проблеме Варинга—Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами

2.1 Формулировка результатов.

2.2 Вычисление 9(2,

2.3 Вычисление ЛГ), р > 2.

2.4 Вычисление <5(ЛГ) и ее оценка снизу.

3 Асимптотическая формула в проблеме Варинга—Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами

3.1 Основная теорема

3.2 Оценка вспомогательных тригонометрических сумм с простыми числами.

3.3 Доказательство основной теоремы 3.1.

Настоящая диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих ее содержание, является изучение поведения тригонометрических сумм с простыми числами и вывод асимптотической формулы для количества представлений натурального числа в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел.

И.М. Виноградов [1]-[12] создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Он обнаружил, что суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм (решето Виноградова), хорошие оценки которых могут быть получены с помощью метода оценок двойных сумм и средств, не имеющих какого-либо отношения к теории функции или Ь-рядов (метод сглаживания двойных сумм). Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы

Полученная оценка для 5(а, х) в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде N — Рг + Р2 + Рз 5 следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

В 1937 г. И.М.Виноградов с помощью указанного соображения с последующим применением метода Г.Вейля получил оценку суммы = Ее (/(р))' = ++ • • •+

Ю.В.Линник [13]-[18] с помощью идей Г.Харди и Д.Литтлвуда [19]—[20], применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей Ь - рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической суммы х). Тем самым Ю.В.Линником было дано новое доказательство теоремы И.М.Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха).

Н.Г. Чудаков [21]-[22] также предложил подобный метод исследования тригонометрических сумм ¿>(а, х) с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение которой в свою очередь основывается па распределении нулей ¿-рядов Дирихле в критической полосе.

В 1938 г. Хуа Ло Геи [23], пользуясь оценкой И.М.Виноградова для суммы £>"(/), при п = 2, доказал асимптотическую формулу для числа представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов простых чисел и показал, что особый ряд этой формулы больше абсолютной положительной постоянной при N = 5(тос124:). Тем самым Хуа Ло Ген доказал, что всякое достаточно большое натуральное число N = Ь(то(12А) является суммой пяти простых квадратов.

А в 1948 -1956 гг. И.М.Виноградов, используя вместо метода Г.Вейля свой метод тригонометрических сумм, доказал общую теорему об оценке суммы 5'(/). С помощью этой теоремы и упрощенной верхней границы в теореме о среднем он нашел асимптотическую формулу в проблеме Гольдбаха - Ва-ринга, о том, что каждое достаточно большое натуральное N может быть представлено в виде где Р1,Р2, • • • ,Рк — простые числа.

Если в асимптотической формуле И.М.Виноградова особый ряд а = а(к] А/") отличен от нуля, то из этой формулы при фиксированном значении к следует представимость достаточно больших натуральных чисел N суммою ограниченного количества слагаемых вида рп, то есть полное решение проблемы Гольдбаха - Варинга. Наименьшее число /с, при котором а — а(к; А/") > 0 обозначается символом У(п) [24] и называется функцией Виноградова. Эта функция подобна функции Харди - Литтлвуда С(п) в проблеме Варинга. Вопросы о существовании функции У{п) и ее верхней оценки в зависимости только от значений параметра п до 2009 г. оставался открытым и, следовательно, проблема Гольдбаха - Варинга в полном объеме до самого последнего времени оставалась нерешенной.

В.Н.Чубариков [24]—[27] создал теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, являющуюся дальнейшим развитием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова и решил проблему Гильберта - Камке в простых числах. В.Н.Чубариков указал арифметические условия, позволяющие свести эту проблему к исследованию разрешимости в р - адических числах при всех р < 2п некоторой системы уравнений варинговского типа. Использование подобных арифметических условий разрешимости позволили ему полностью решить и проблему Гольдбаха - Варинга. Он доказал

Теорема (В.Н. Чубариков). Пусть п > 2 — фиксированное натуральное число, Р1,Р2, ■ ■ ■ ,Рк ~ пробегают значения простых чисел, превосходящих 2п. Тогда существует функция У(п) такая, что при к < У(п) для всех достаточно больших N имеет место представление где функция а — а(п,р) определяется из соотношения ра\\п, (р — 1) | п. Первая глава диссертации посвящена исследованию поведения тригоно

Более того, справедливы неравенства п + М(п) < У(п) < М(п) + Сі (п) - 1,

Сі(п) < 4п\пп + 161п 1пп + 8п, ра+1, если п - четное; если п - нечетное, метрических сумм с простыми числами вида

Sm(a-,x,k) = ^A(n)e(a(n + A;)m), п<х а = - + Л, (а, q) = 1, |Л| < —, 1 < q < т, q qr и состоит из трех параграфов. В первом параграфе приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах.

Во втором параграфе этой главы изучается поведение тригонометрических сумм с простыми числами Sm{a\ х, к), когда а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем и устанавливается их связь с плотност-ными теоремами для нулей L - рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

Определение. Пусть с > 2, 9 < 1 и В > 1 абсолютные постоянные,

Т >Т0 > 0; Н >Т°, тогда оценка вида

YlW&T + H^-NfaT^x)] « (qT)^-a\lnqT)B (1) называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей L - рядов Дирихле по модулю q.

Теорема 1.1 Пусть х > xq, т > хт~с exp(ln0'76 х), q < х^ ехр (— In0,76 ж) , b > (В+3)(т+1) - произвольное фиксированное число, к - фиксированное натуральное число, ехр(— In4 In ж), если q < (Ina;)6,

F(q,x)=l

I (Ina:)-®4"3, если q > (Ina:)6.

Тогда справедливо равенство: X

Sm{a]x,k) = ^j^~ J eMu + kDdu + Rmfax). viq) 2

Rm(q, rc) <C xF(q, x) max

Xmodq ip{q)

Доказательство теоремы 1.1 основывается на дальнейшем развитии методов работы Ю.В.Линника [13] и Н.Г.Чудакова [28], в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы.

Zhan Тао [29] доказал, что соотношение (1) имеет место при с < 8/3, 0 < 1/3 и В < 216. Поэтому из теоремы 1.1 получим следующие безусловные результаты:

Следствие 1.1.1 Пусть т > хт~% ехр(1п0'76 х), д < ж* ехр (— 1п0,76 х), Ь > 220(т -Ь 1), тогда для остаточного члена теоремы 1.1 справедлива оценка: , ч ж) т

Ч>{<1)

Следствие 1.1.2 Пусть д > (1п.-г)ь7 тогда при выполнении условий следствия 1.1.1 справедлива оценка:

В третьем параграфе первой главы получена оценка сверху для модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами 5ш(сг, ж, к), т = 2, к = 1, то есть для сумм вида ж, 1) = ^ А(п)е(а(п + I)2), п<х когда а приближается рациональным числом с большим знаменателем.

Теорема 1.2 Пусть х > гго > 0; а-вещественное число, а — ^ + ф, (а, д) = 1, д > 1, < 1, тогда

32(а\х, 1) = ^Л(п)е(а(п + I)2) <С (5 + х™ Ь8, Ь = \riqx, п<х

Доказательство теоремы проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова [1], [2], [3]. Основу доказательства составляют леммы 1.15 и 1.16 об оценке двойных тригонометрических сумм от квадратичного многочлена.

Лемма 1.15 Пусть М > 1 и N > 1 произвольные положительные числа, М < N, МЫ < х, ат и Ьп функции натурального аргумента такие, что

Г |ат|2«МЬс% £ \Ъп\2 «С Л/ХСь, С1 = 4с* + 4О, + 9

М<т<2М ЛГ<п< 2ДГ

Тогда справедлива оценка а™ Ьпе{а(тп+1)2) МЫ + Лг1 + М~* + ^(МАГ)-*) Ьс\

М<т<1М к<п< 2М тп<х

Лемма 1.16 Пусть М > 1 и N > 1 произвольные положительные числа, М < N, МN < х, ат функция натурального аргумента, \ат\ < 1пт. Тогда для суммы

IV = ^ ат 52 е(а(тп + 1)2)

М<т<2М N <п<2М тп<х справедлива оценка

IV С ((МДГ)д-з + + х/АШ^) Ь5'5.

Теоремы 1.1 и 1.2 являются уточнением соответствующего результата И.М.Виноградова для тригонометрической суммы -£'(/) соответственно для многочленов вида /(п) = (п + к)т и /(п) = (п + I)2.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию особого ряда оо 9=1 а,д)=1 у(п,9) = 1

Суть этого исследования заключается в следующем:

• показано, что особый ряд & = (5(ТУ) абсолютно сходится, является вещественным числом и равен бесконечному произведению по простым числам р функций

• найдены точные значения числовых рядов ТУ), из которых следует арифметическое условие, при выполнении которого особый ряд & = (5 (ТУ) больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N.

Теорема 2.1 Справедливо соотношение где с(ІУ) - абсолютная полоэюительная постоянная, зависящая только от

Основу доказательства теоремы 2.1 составляют теорема 2.2 о точном значении ряда 3~(2, ТУ), ее следствие 2.2.1 об оценке снизу 3^2, N) при огс12 (ТУ) > 2 и теорема 2.3 о точном значении ряда 3(р,Ы) со своими следствиями 2.3.1, 2.3.3, 2.3.5, в которых соответственно получены оценки снизу для /У) сю если ТУ = 0(тос14); если ТУ ф 0(гаос£4),

N, и при р > 7, 5(3, ТУ), ^(5, ТУ).

Теорема 2.2 Пусть огд= ¡3, огс?2(Л^ -2 ^ — 5) = г), тогда справедлива формула

О, если (3 < 1;

26 15

--1---21-5(/31)+3, если В > 2 и В - четное, г? Ф 2;

7 28

26 13

----21-5(р-1)+3 если в>2 и (3 - четное, г] = 2;

7 28 г-н , ,

26 15 + — • 2-1,5^-1)+3 если ¡3 > 3 и ¡3 - нечетное.

Следствие 2.2.1 При огв,2(-/V) > 2, справедливо неравенство ^ „ч 26 13%/2 13,, 65

Теорема 2.3 Пусть р - нечетное простое число, огс1р(М) = (3, тогда справедлива формула

Ф(р, ТУ) = -г^ (—Ср(ЛГ - 5) - Ю^рсДУУ - 3)

-5р2Ср(М - 1) + - 4) + 10еЛ(ЛГ - 2)р2 + др(АГ)р3) ,

О,

Р5 ~Р

1(р,Ю = { р - I)5 (р - 1)5(р3 - 1) V р1'5^-1) у '

1 если ¡3 = 0;. если /3 > 1 - нечетное; (р-1)4(р3-1) (Р + 1)2 \ 1 + ер5р(Ю р1,Б(/9-2)+4 у (р 1)5р1,509-2) ' если /3 >2 - четное.

Следствие 2.3.1 При р >7 справедливо неравенство зг(р,ло>1- 10 р2(р)

Следствие 2.3.3 Справедливо неравенство

Э~(3, ./V) > 1 - 2~4.

Следствие 2.3.5 Справедливо неравенство

Доказательства теорем 2.2 и 2.3 в свою очередь опираются на точные значения суммы Ф(а. ра), которые найдены соответственно в леммах 2.2, 2.3, 2.4 при р — 2 и в леммах 2.7, 2.8, 2.9, 2.10 при р > 3.

Третья глава диссертации посвящена выводу асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа N в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р + 1:

N = (Р1 + I)2 + (ра + I)2 + Срз + I)2 + (Р4 + I)2 + (Р5 + I)2, и нахождению арифметического условия, при выполнении которого особый ряд задачи больше абсолютной положительной постоянной, зависящей только от N.

Теорема 3.1. Для числа 1) представлений N суммою пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р-\-1 справедлива асимптотическая формула:

А ; 31п N \ 1п6ЛГ ) где &(Ы) - особый ряд абсолютно сходится, и справедливо соотношение

Следствие 3.1.1. Существует такое Щ, что касисдое натуральное число N, N > Ы0 N = 0(тос14■) есть сумма пяти квадратов сдвинутых простых чисел вида р + 1.

Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди - Литтл-вуда - Рамануджаиа в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Основу доказательства составляют теорема 1.1 о поведении суммы когда а приближается рациональным числом с маленьким знаменателем, теорема 1.2 об оценке сверху модуля квадратичной тригонометрической суммы с простыми числами 82(0:', х, 1), когда а приближается рациональным числом с большим знаменателем, и теорема 2.1 об арифметическом условии, при выполнении которого особый ряд задачи <5(іУ) > с(АГ), где с(Ы) -абсолютное положительное постоянное, зависящее только от N.

В заключении автор выражает глубокую благодарность профессору В.Н.Чубарикову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе. если N = 0(гпос14); если N ф 0(тое£4),

5ш(о;; х, к) = п< X

1. Виноградов И.М. Избранные труды. —М.: Изд-во АН СССР, 1952.

2. ВИНОГРАДОВ И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М:, Наука, 1980, 144 с.

3. ВИНОГРАДОВ И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976.

4. ВИНОГРАДОВ И.М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981.

5. ВИНОГРАДОВ И.М. Об одной общей теореме Варинга // Математический сборник, 1924, т.31, №3-4, с.490-507.

6. ВИНОГРАДОВ И.М. О теореме Варинга // Известия АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393-400.

7. ВИНОГРАДОВ И.М. Новое решение проблемы Варинга // ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341.

8. ВИНОГРАДОВ И.М. О верхней границе в проблеме Варинга // Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с. 1455-1469.

9. ВИНОГРАДОВ И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга // Труды Физико-математического института АН СССР, 1935, №9, с.5-16.

10. ВИНОГРАДОВ И.М. Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Труды МИАН, 1937, т.Ю, с.5-122.

11. ВИНОГРАДОВ И.М. Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Известия АН СССР, Сер. мат., 1951, т.15, №2, с.109-130.

12. ВИНОГРАДОВ И.М. К вопросу о верхней границе для С(п) // Известия АН СССР, сер. мат., 1959, т.23, N0 5, с.637-642.

13. ЛИННИК Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Математический сборник, 1946, т. 19, вып.1, с. 3-8.

14. ЧУДАКОВ Н.Г. On Goldbach-Vinogradof's theorem // Ann of Math.,1947, 48, p. 515-545.

15. ЧУДАКОВ Н.Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1947.

16. ЧУВАРИКОВ В.Н. Многомерная аддитивная задача с простыми числами // ДАН СССР. 1986, т.290, №4, с.805-808.

17. CHUDAKOV N.G. On the difference between two neighboring prime numbers // Mat. Sb., 1, 1936, 799 814.29. zhan tao, On the mean square of Dirichlet L functions // Acta Math Sinica, 8(1992), No 2, pp.204-224. '

18. ДЭВЕНПОРТ Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971.

19. ПРАХАР К. Распределение простых чисел.—М.: Мир, 1967.32. карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983, 2-ое изд.

20. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР, 1939, т.22, No 7, с.391 -393.

21. КОРОБОВ Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. — М.: Наука. 1989, 240 с.