Асимптотические разложения решений бисингулярных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Р Г 6 О А кафедра математической физики

т;;; юо!

На правах рукописи

СУШКО Валерий Григорьевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ БИСИНГУЛЯРНЫХ ЗАДАЧ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 1997 г.

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор ИЛЬИН A.M. доктор физико-математических наук, профессор БУТУЗОВ В.Ф. доктор физико-математических наук, профессор МАРТЫНЕНКО Ю.Г.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ — Обнинский институт атомной энергетики

Защита диссертации состоится </ 1997 г в 15:30 на засе-

дании диссертационного совета Д 053.05.37 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

kcenrjfyi

Автореферат разослан ' / ' 1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета чл,- корр. РАН, профессор

^Jj^OUwA. И. МОИСЕЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена вопросам построения асимптотических по параметрам разложений решений краевых и начальных задач для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в случаях, когда соответствующая вырожденная задача имеет решение с особенностями и принадлежит пространству функций с меньшей гладкостью, чем решение исходной задачи. Подобные проблемы возникают при исследовании математических моделей процессов и явлений, протекающих в слоистых средах и композитных материалах (разрывные и резко меняющиеся коэффициенты), в задачах, связанных с решением уравнений Навье — Стокса при малой вязкости (ударные волны и волны разрежения), в нелинейных задачах (внутренние переходы), в задачах для областей с негладкими границами и многих других. Дифференциальные уравнения с малыми множителями при производных естественным образом появляются в теории автомагического регулирования, нелинейных колебаний, газовой и магнитогидродинамике. Подобные уравнения являются непременным элементом при анализе разностных схем, при построении сходящихся численных алгоритмов решения жестких задач.

Начало систематического развития асимптотической теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений восходит к работам A.II. Тихонова. Вслед за его исследованиями появился ряд работ В.Ф. Бутузова,

A.Б. Васильевой, М.И. Вшпшка, A.M. Ильина, С.А. Ломова, Л.А. Люстерни-ка, Е.Ф. Мищенко, Л.С. Понгрягина, Н.Х. Розова, их учеников и последователей. Среди исследований зарубежных ученых наиболее известны работы

B. Вазова, М. Ван-Дайка, Дж. Коула, Н. Левинсона и многих других. Изучению качественного характера зависимости от параметров решений различных задач, связанных с сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, посвящены работы большого числа математиков, механиков и представителей других обпастей науки в нашей стране и за рубежом; отметим здесь работы В.И. Бабича, Н.С. Бахвалова, H.H. Боголюбова, В.М. Волосова, В.В. Жикова, В.Г. Мазьи, P.E. О'Малли, В.И. Маслова, Ю.А. Митропольского, С.А. Назарова, Ф. Олвера, O.A. Олейник, Б.А. Пламенев-ского, Л.С. Понтрягина, В.А. Треногина, М.В. Федорюка, К.В. Чанга, Ф. Хауэса.

Однако в настоящее время еще нельзя считать общую теорию построения асимптотических разложений сингулярно возмущенных дифференци-

альных уравнений полностью сформировавшейся; многие вопросы, возникающие при построении асимптотических разложений решений конкретных прикладных задач, не имеют не только теоретического обоснования, но и разработанных алгоритмов исследования свойств решений при стремлении параметров к своим предельным значениям. К таким задачам относятся в первую очередь так называемые бисингулярные (бисингулярно возмущенные) задачи, в которых коэффициенты формальных асимптотических разложений имеют особенности, порядок которых нарастает с увеличением номера коэффициента, задачи с угловыми характеристиками соответствующего вырожденного уравнения, задачи с вырождением, в которых коэффициенты при старших производных вырожденного уравнения обращаются в нуль в точках некоторого множества, задачи с резко меняющимися коэффициентами, имеющими в различных "частях области определения различный порядок малости относительно малого параметра, задачи для уравнений смешанного типа и многие другие. При этом актуальными являются как вопрос о возможности применения уже известных алгоритмов построения асимптотических разложений, так и разработка новых принципов и алгоритмов построения асимптотических разложений и методов их обоснования.

Диссертация посвящена рассмотрению указанных классов задач и разработке алгоритмов построения и обоснования для асимптотических разложений решений бисингулярно возмущенных задач, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных.

Цель работы — построение асимптотических разложений погранслой-ного типа решений бисингулярных: краевых задач, связанных с линейными и квазилинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных, при наличии особенностей у решений соответствующего вырожденного уравнения, разрывных, резко меняющихся или вырождающихся коэффициентов либо в случаях смены типа уравнения, получение оценок погрешности асимптотических разложений в нормах естественных для решений исходной задачи пространств функций.

Научная новизна. Полученные в работе результаты являются новыми. В частности, доказаны теоремы о барьерных функциях для решений краевых задач, связанных с вырождающимися обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков и уравнениями второ-

го порядка с разрывной правой частью. Получены оценки решений: и их производных системы квазилинейных параболических уравнений с малым параметром при производных второго порядка и оценки производных для решений многомерного квазилинейного параболического уравнения со многими малыми параметрами, точные по порядку малости расстояния до начальной гиперплоскости и порядку малости каждого из параметров. Исследованы свойства решений задач в полуполосе для параболических уравнений с обращающимся в нуль коэффициентом при производной по "времени" в зависимости от характера изменения знака указанного коэффициента. Построены и обоснованы асимптотические разложения погранслойного типа для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной как по зависимой, так и по независимой переменным правой частью и с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной вырожденного уравнения, для решения параболического уравнения при наличии угловых характеристик вырожденного уравнения, для решений эллиптических уравнений с резко меняющимися коэффициентами и с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной соответствующего вырожденного уравнения, для решений задач, связанных с уравнениями смешанного эллиптико - параболического типа. Для квазилинейного параболи-чекого уравнения построены равномерные асимптотические представления погранслойного типа для решений, моделирующих характерные особенности таких свойств решений уравнений газовой динамики, как ударнал волна, слабый разрыв, волна разрежения. В большинстве случаев оценки погрешности асимптотических разложений проведены в норме пространства С\

Методы исследования. Работа основана на методах теории барьерных функций для краевых задач, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями, методах теории параболических, эллиптических: и эллиптико - параболических уравнений, методах априорных оценок, методах построения асимптотических разложений погранслойного типа решений краевых задач для линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит как теоретический, так и прикладной характер. Ее результаты могут служить для дальнейшего развития асимптотической теории сингулярно и бисилгуляр-но возмущенных дифференциальных уравнений, могут найти применение в теории построения численных алгоритмов для решения краевых задач,

могут быть использованы при решении различных задач математической физики.

Апробация работы. Материалы, изложенные в диссертации, докладывались на семинарах под руководством акад. А.Н.Тихонова (1990 г.), проф. А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова (1989, 1992, 1995, 1996 гг.), проф. В.А. Кондратьева, В.М. Миллионщикова, Н.Х. Розова (1985, 1992, 1993, 1995, 1996, 1997 гг.), чл.-корр. РАН Е.И. Моисеева (1997 г.), проф. A.M. Денисова (1997 г.), на расширенных заседаниях семинара Института прикладной математики им. И.Н. Векуа (Тбилиси) (1985,1988 гг.), на расширенных совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского (1983, 1987, 1994, 1996, 1997 гг.), на международных конференциях в ФРГ (1992 г.), Испании (1991,1994 гг.), Польше (1988, 1990 гг.), на Всесоюзных конференциях по малому параметру в Алма - Ате, Фрунзе, Душанбе, Нальчике, Ноорусе, Минске.

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [15] — [43], список которых приведен в конце реферата.

Структура в объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 180 наименований. Нумерация теорем и формул своя в каждом параграфе. Объем диссертации составляет 310 страниц, включая 13 страниц цитированной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор известных публиаций по теме диссертации и формулируются основные полученные автором результаты.

В первой главе изучаются краевые задачи, связанные с сингулярно возмущенными обыкновенными дифференциальными уравнениями второго и третьего порядков.

В первом параграфе рассматриваются линейные уравнения с непрерывными коэффициентами; для соответствующих краевых задач приводятся необходимые и достаточные условия существования нетривиальных (т.е. не являющихся решениями рассматриваемой краевой задачи) барьеров. В частности, имеет место следующее утверждение.

Теорема 1 Для краевой задачи

(j,(t)x')' + q(t)x = f{t), t€(a,b),

х(а) = A, x(b) ' В,

где p(t) € Cl[ a,fc], (j(i), f{t) G С[а,6], нетривиальные барьеры существуют, тогда и только тогда, когда решение соответствующей однородной задачи не имеет на отрезке [а, Ь] сопряженных точек.

Аналогичное утверждение справедливо и для краевых задач, связанных с линейными диффертщпальными уравнениями третьего порядка.

Во втором параграфе рассматриваются краевые задачи, связанные с уравнениями

Luг = p(t)x' + / (f,x) = 0, a <t<b, (1)

L2x = p(t)x" + F(t, x,x') = 0, a <t <b, (2)

в которых функции f(t,x), F(t,x,y) предполагаются непрерывными при (t, z) 6 [a, b] x 1Z1 (соответственно при (t, x, y) € [a, Ь] x T?.2), а коэффициент p(t) обращается в нуль в конечном числе точек или интервалов отрезка [а, 6]. Для этих уравнений вводятся понятия барьерных функций и доказываются теоремы о разрешимости краевых задач, связанных с этими уравнениями. В частности, показано, что для уравнения (2), являющегося уравнением второго порядка, возможна постановка трехточечной краевой задачи или краевой задачи с двумя условиями на одном конце отрезка и одним условием — на другом.

Например, в случае F(t, x, у) = q(t)y — r(t)x — f(t) для уравнения (2) имеет место следующее утверждение.

Теорема 2 Пусть функции pit), g(t), r(t), f(t) бесконечно дифференцируемы при t G [a,b], p{9) = 0, где a < в < b, p(t) ф 0 при t ф в, q(6) > 0. Пусть N — наибольшее целое число, удовлетворяющее "неравенству Np'(9) + д(в) > 0. Тогда справедливы следующие утверждения:

1 ) если (t — 0)р(0) > 0 при t ф в, то для любой постоянной А существует единственное решение у — y(t) уравнения (2), удовлетворяющее условию у(в) = А;

Ê) если р{£) > 0 (p(t) < 0) при 1ф в, то для любых постоянных А, В задача Коши для уравнения (2) с условиями у(а) = А, y'(a) = В (у(Ь) = А, у'(Ь) = В) имеет единственное решение;

3) если (t — в)р(в) < 0 при t ф в, то для любых постоянных А, В, С найдется такая постоянная S > 0, что краевая задача для уравнения (2) с условиями

у(а) = А, у'(а)=В, у(е + 6)=С

или краевая задача для уравнения (2) с условиями

у(Ь) = А, у'(Ь)=В, у(0-6) = С

имеет единственное решение.

Все указанные решения принадлежат пространству Cw+1[a, 6].

Утверждения аналогичного типа справедливы и для решений квазилинейного уравнения (2) при соответствующих предположениях относительно функции F(t, х, у).

В параграфах 3 — 4 для решений краевых задач, связанных с уравнениями вида + L{X — 0, i — 1, 2 (Li — дифференциальный оператор порядка i вида (1) или (2)), строятся формальные асимптотические представления решений погранслойного типа в предположении, что старший коэффициент вырожденного уравнения p(t) обращается в нуль в некоторых точках рассматриваемого отрезка и, кроме того, функции p(t), f(t, х), F(t, х, х') могут быть разрывными по переменной t в конечном числе точек. Для построенных формальных асимптотических представлений получены оценки погрешности в норме пространства С1. При этом, в частности, обнаружено, что в случае линейного уравнения второго порядка при определенном соотношении между предельными значениями коэффициентов в точке разрыва решение краевой задачи в этой точке стремится по абсолютной величине к бесконечности при стремлении малого параметра к пулю; по аналогии с работой [1] данное явление названо квазирезонансом. Подобное явление наблюдается и в случае уравнения третьего порядка (линейного или квазилинейного).

В пятом параграфе рассматривается линейная краевая задача для уравнения

(*(М)*,У-«(*)* = /(*),

где коэффициент k(t,e) имеет различный порядок малости на различных частях исходного отрезка: его порядок малости относительно параметра е меняется от С(е2) до О (е-2). Кроме того, отдельные части отрезка [а, 6] с характерным порядком малости функции k(t,e) относительно параметра е могут иметь длину /î, где /г — независимый от е малый параметр. Построены асимптотические разложения решений и получены оценки их точности в норме пространства С^а, 6]. Из этих оценок, в частности, следует, что на тех интервалах, на которых функция k(t,e) имеет порядок 0(е~г), г — 1, 2, производная первого порядка решения задачи имеет порядок О(е').

В шестом параграфе первой главы сначала рассматривается первая краевая задача

х" = f{t,x,x'), te{a,b),x{a)-A, x(b) = В

в предположении, что f(t, х, х') как функция второго аргумента является кусочно непрерывной. Следует отмстить, что для уравнений данного вида, у которых правая часть f(t,x,y) не является непрерывной по второму и третьему аргументам, стандартные теоремы о барьерных функциях, вообще говоря, не применимы [2]. Для этой краевой задачи доказано следующее утверждение.

Теорема 3 Пусть функция f(t,x, у) представляется в виде

fit г » А- //"(*>ecM х<0> K , ,y, )~\f+(t,x,y), если я > О,

где функции f~(t, г, у), f+(t, х, у) бесконечно дифференцируемы при (i, х, у) 6 [а, 6] х {х\х < 0} X 1Z1 и (t,x,y) £ [а,Ь] х {х\х > 0} х И1 соответственно, причем эти функции и все их производные имеют непрерывные предельные значения при х —► 4-0 и х —► —0.

Тогда если для данной краевой задачи существуют нижняя и верхняя барьерные функции, а правая часть уравнения f(t, х, у) удовлетворяет условию Нагумо относительно третьего аргумента, то решение краевой задачи существует.

На основе доказанной теоремы рассматривается первая краевая задача, связанная с дифференциальным уравнением

е2х" = p(t, ех)х' + /(t, х) = F(t, х,х'), (3)

где функции p(t,y)} f(t,y) могут иметь разрывы первого рода как по переменной i, так и по переменной у. Построение формального асимптотического разложения решения краевой задачи для уравнения (3) осложняется тем, что заранее неизвестно, в каких точках t функция F(t, x(t), x'(t)) скачком меняет свое значение. В диссертации построены формальные асимптотические по параметру е представления решений в случаях p(t, у) = 0 и p(t, у)>ро>0(ро = const) и получены равномерные оценки погрешностей этих представлений.

Во второй главе рассматриваются сингулярно возмущенные квазилинейные параболические уравнения.

В первом параграфе рассматривается задача Коши для системы двух квазилинейных параболических уравнений, которая при равенстве малого параметра нулю может описывать движение мелкой воды или изэнтропи-ческое движение газа в координатах Лагранжа

д2и ди <1 .

Л = ">' (4)

д2ь дь ди . .

~ т " ~дх> {}

здесь е — малый положительный параметр.

В диссертации получены априорные оценки производных, входящих в уравнения (4), (5), в зависимости от величины параметра е :

|еи'х(г, х)| + К(«,*)| + К(*,®)| + |€«{(*,1)|+ +|А4(*,х)|<М1п(е+*/е),

\e2vl(t,x)\<MyJhi(e±t/e).

При условии существования пределов и~, и+, v~, v+ начальных функций Но(х), 1>о(х) при х —► —оо их—* +00 доказано, что для каждого фиксированного значения t = íq > 0 существуют пределы и~, и+, v~, v+ решения системы уравнений (4), (5) при х —> —оо и х +оо, получены оценки скорости стремления функций u(í,x), v(t, х) к предельным значениям:

\u(t,x)-u±\+\v(t,x) - i^l < Af(|u0(a) - + |«(а;) - «±1).

Эти оценки уточняют полученные в [3] результаты и позволяют судить о характере изменения решения при стремлении малого параметра к нулю а также при возрастании переменной t.

Во втором параграфе второй главы рассмотрена задача Коши

п д2и " d ди

£ ~ g á^i(t'x'u)"~ т =(6) ы(0,я) = «оМ, (7)

(t,x) G Пт = {0 < t < Т,х G lZn}, где e¡ — постоянные параметры, с,- € (0,1], <¡>i(t,x,u), ip(t,x,u,e) — непрерывные вместе со своими производными до некоторого порядка функции. Для данного уравнения рассматриваются решения задачи в случаях, когда ограниченная начальная функция имеет различную гладкость. В работе получены априорные оценки

производных любого порядка решений рассматриваемой задачи в зависимости от локальной гладкости начальной функции, величины каждого из параметров б,- и расстояния до начальной гиперплоскости. Оценки в точке (¿0) • • •) хп,о) не зависят от значений начальной функции вне п - мерного параллелепипеда х,-^ — е,- < х,- < £¡,0 + £;, 1 < г < п. Например, справедлива следующая теорема об оценке модуля непрерывности относительно переменной ж,- производной решения по переменной жу.

Теорема 4 Пусть функции ф^,х,и) имеют непрерывные вторые производные по переменным и, х1 < к < п, а функция х, и) — непрерывные первые производные по этим же переменным. Если начальная функция щ(х) удовлетворяет условию Гелъдера с показателем г/, то для произвольной точки у полосы Пт справедлива оценка

ди(Ь,х) _ ди(г,хм) дх^ Эх,

< + - у.\, (8)

где Х(у = (х\,х2, ■.. ... ,хп), постоянная М не зависит от

значений функций ф^,х,и), ф^,х,и), щ(х) вне цилиндра — {(¿,х)|0 < 2 < Т, \х{ — < 2б,-}. При этом оценка (8) не меняется, если каждое дифференцирование функций х,и), |6(£,ж,«■) по пере/ленным х^ вносит множитель в оценку максимума модуля этих производных, дифференцирование по переменной и не меняет их порядка малости относительно параметров е8, х, и)| < М, \-ф{1.х,и)\ < Ме^1, ео = шт^, 1 < к < п.

Оценка (8) является точной по порядку малости параметров 1 < в < п, и расстояния от точки (1х) до начальной гиперплоскости.

Для случая, когда непрерывность начальной функции в различных точках начальной гиперплоскости характеризуется различными показателями Гельдера, в полупространстве t > 0 построены границы областей "перехода" одних оценок в другие.

В последующих трех параграфах второй главы рассматриваются различные задачи, связанные с уравнением

Т - д2и Л.Ч \ди ди П

= ~дх = (9)

которое иногда называют модельным уравнением газовой динамики (см. [4]). Изучению свойств решений уравнения (9) и их связи с решением соответствующей вырожденной задачи посвящено большое число работ (см. [5] — [8] и другие).

В третьем параграфе рассматривается задача Коши для уравнения (9) в предположении, что решение соответствующего вырожденного уравнения разрывно на некоторой гладкой линии х = xp(t) (решение типа ударной волны). В этом параграфе для решения уравнения (9) построено асимптотическое представление погранслойного типа

«=о

для которого доказана оценка

\\u(t,x,e)-UW(t,x,e)\\cl<McN+1, справедливая всюду вне il — окрестности точки (0, хр(0))

Ü = {(t,x) | 0 < t < Mein £_1, \х - яр(0)| < Му/еkr1}.

В четвертом параграфе предполагается, что решение вырожденной задачи, соответствующей задаче Коши для уравнения (9), имеет скачок производных на некоторых линиях, определенных при t > 0. Сначала рассматривается случай, когда указанный скачок производной определяется непрерывной начальной функцией f(x) и происходит на прямой х = at, а — '/>'(/(())) (слабый разрыв решения вырожденной задачи). В этом случае для решения уравнения (9) построено асимптотическое представление вида

/",« N 2ЛГ+1 , ( т\

U(N\t, x)=J2 e2ku2k(t, х) + £ ekvk (t, -) , t=0 k=1 \ £/

для которого имеет место оценка

||u(t,*,£) - V{"Kt,x,e)\\cl < Me2N.

В этом же параграфе рассмотрена задача Коши в случае, когда решение вырожденной задачи непрерывно и имеет скачок производных на линиях х = 0, х — <f>'(b)t, ф'(Ь) > 0, определяемых разрывной при х = 0 начальной функцией f(x), /(—0) = 0, /(+0) = b > 0 (волнаразрежения). В этом случае построено приближение ui(t,x,e) к решению уравнения (9), для которого получена оценка

е7 (

\u(t,x) - ui(t,x,e)| < АГ^дехр (""^b

где m>0, 0<7<1 — любое число, М — М( 7). Функция ui(t, х,е) является в известном смысле уточнением построенного в работе [5] приближения к решению рассматриваемой задачи.

Наконец, в последнем параграфе второй главы рассмотрены две краевые задачи для уравнения (9) в прямоугольнике Др = {(1,х) | 0 < £ < Т, 0 < х < 6}.

Сначала рассматривается задача с однородными краевыми условиями первого рода и начальной функцией, обращающейся в нуль в концевых точках отрезка [0,6] :

«(0,:с) =/(ж), и(«,0) = и(*,&) =0, ф'(0)=0.

В этом случае решение вырожденной задачи удовлетворяет не только начальному, но и краевым условиям, и в силу этого можно было бы предполагать, что если решение вырожденной задачи остается непрерывным при 0 < < < Т1, то исходная задача не является сингулярно возмущенной, а явления краевого слоя в невырожденной задаче отсутствуют. Однако такое предположение является ошибочным: в работе для любого значения N построены формальные асимптотические приближения решения рассматриваемой задачи

№ о / г\ 2ЛГ+1 / Ь-х\

^>(*,х,е)= £ Лтк- + Е €тютк —),

т=0 т=2 \ С/ т=2 V е >

которые содержат погранслойные составляющие экспоненциального типа, равномерно стремящиеся к нулю при е —> 0 и определяющиеся (несмотря на нелинейность исходной задачи) линейными уравнениями параболического типа. Получена оценка погрешности построенных формальных асимптотических представлений

Наряду с описанной краевой задачей рассмотрена краевая задача в полуполосе Нх = {(<, х) | 0 < t < Т, 0 < х < оо}. Предполагается, что решение уравнения (9) удовлетворяет краевому условию и(1,0, б) = д(1), <?(*) > <7о > 0, д(0) = /(0), ф'{}{0)) > 0. В этом случае вырожденное уравнение имеет угловую характеристику, проходящую через начало координат и являющуюся прямой линией х = 0))1 Как известно, для линейных сингулярно возмущенных уравнений при наличии угловых характеристик вырожденного уравнения асимптотические представления погранслойного типа е) строились лишь для нескольких первых значений N [9] —

[11]; полные асимптотические разложения для решений задач указанного типа могут быть построены методом сращивания асимптотических разложений [7], [12]. Дня решения рассматриваемой краевой задачи построены

асимптотические приближения U^N\t, х, е) погранслойного типа, для которых имеют место оценки

\\u(t,x,e) -UW(t,x,e)\\c> < Ме™"1.

В третьей главе рассматриваются бисингулярные задачи, связанные с линейными уравнениями эллиптического и параболического типов.

В первом параграфе строятся асимптотические представления решений первой краевой задачи, связанной с уравнением

div(ke(x,y)Vu) - с2(х,у)и = f(x,y), (10)

где (х,у) е Па,ь = {(а-,у) |: х G (0, а), у 6 (0,Ь)}. Пусть к€(х,у) = б2, функция с(х,у) разрывна внутри прямоугольника П<х,б на линии 7 : у — ф(х), 0 < х < а, 0 < ф(х) < Ь, кривая 7 не проходит через угловые точки прямоугольника Па,б • В этом случае для решения задачи построено асимптотическое представление погралслойного типа, которое равномерно близко к точному решению в норме пространства С1.

Пусть теперь с(х,у) = 0, функция kt(x,y) имеет различный порядок малости относительно е при 0 < а, < х < a1+i < а : либо (9(1), либо 0(е~1), либо 0(е~2). Уравнения подобного вида являются математическими моделями многих процессов, происходящих в слоистых средах, и поэтому исследование асимптотического поведения решения краевой задачи для уравнения (10) при е —> 0 важно для понимания характера происходящих процессов. Кроме того, знание асимптотического поведения решения рассматриваемой краевой задачи при е —» 0 может в значительной мере способствовать разработке экономичных устойчивых алгоритмов численного решения подобных задач [13]. В рассматриваемом случае также построено асимптотическое представление решения задачи по степеням малого параметра, получены равномерные оценки его точности.

Во втором параграфе в прямоугольнике JD = {(х,у) | х £ [0,6], у G [—1,1]} рассматривается первая краевая задача для уравнения

еДи - а(х,у)иу - с2(х,у)и = f(x,y),

Предполагается, что коэффициенты и правая часть уравнения являются бесконечно дифференцируемыми функциями, коэффициент а(х,у) обращается в нуль при у = 0 и может менять или не менять знак при изменении у. Особенности построения асимптотического разложения решения данной задачи связаны не только с тем, что у вырожденного уравнения старший

коэффициент может обращаться в нуль, но и с тем, что функции краевого слоя, обеспечивающие, например, выполнение граничного условия при я = О, определяются как решения задач вида

^L-a(0,y)^-c\0,y)v = V(t,y), (11)

удовлетворяющие при £ = 0 краевому условию

v(0,y)=g(y), (12)

коэффициент при производной по переменной у которого обращается в нуль при у = 0 (параболические уравнения с изменяющимся направлением времена), а правая часть уравнения является функцией, экспоненциально стремящейся к нулю при £ —► оо. В диссертации изучены все возможные варианты изменения знака коэффициента а(0 , у) при возрастании переменной у от значения у = —1 до значения у = 4-1, доказано существование решений начально — краевых задач для таких уравнений в неограниченных по пространственной переменной областях, получены оценки решения и его производных. Соответствующие результаты могут быть сформулированы в виде следующего утверждения.

Теорема 5 Пусть при у — — 1 и у = 1 заданы функции v~(Q и у+(£) такие, что t>~(0) = g{—1), d+(0) = з(1), причем эти функции экспоненциально стремятся к нулю при £ —» оо, д(у), v~(t;), f+(£) бесконечно дифференцируемы. Пусть tj(j/, £) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению (11) и граничному условию (12). Тогда:

1) Если а (0, у) - -уа0(у), а0(у) > а > 0, то функция v(£,y), удовлетворяющая условиям 1) = v~(Ç), = v+(0> существует и определяется единственным, образом;

2) Если а(0, у) — уао(у), ао(у) > а > 0, то функция у) существует и определяется единственным образом;

3) Если а(0, у) = у2ао(у), ао(у) > а > 0, то функция v(Ç,y), удовлетворяющая условию г>(£, — 1) = v~(£), существует и определяется единственным образом;

4.) Если а(0, у) = -у2а0(у), а0(у) > а > 0, то функция v(y,Ç), удовлетворяющая условию v(Ç, 1) = существует и определяется единственным образом.

Во всех указанных случаях для функции v{y,Q имеют место сценки

нш\+

он 'Г ду

ду2

+

d2v(H,y)

dydi

+

d3v£,y) д£ду2

<Mexp(-rO, (13)

где 7 > 0 — некоторая постоянная.

Аналогичного вида утверждения справедливы и в тех случаях, когда функция а(0,у) имеет вид а(0,у) = укай(у), |а0(у)| > 0 при у е [-1,1], в зависимости от четности или нечетности числа к и знака функции ао(у).

Для рассматриваемой в данном параграфе краевой задачи при стандартных дополнительных предположениях относительно коэффициентов и правой части уравнения и граничных функций построено полное асимптотическое разложение решения и получена оценка погрешности

\\u(t,x,e)-U(NXt,x,e)\\Cl<MeN+1.

В третьем параграфе рассматривается краевая задача в полуполосе для линейного параболического уравнения

е2|^ ~ A(t,x)^~ c2(t,x)u-~ = f(t,x), 0<t<T, 0 < x < oo,

где A(t, x) > Ao > 0. Данная задача характеризуется тем, что соответствующее вырожденное уравнение имеет угловую характеристику, т.е. характеристику, проходящую через начало координат — угловую точку границы полуполосы. Погранслойные асимптотические представления решений задач подобного типа, которые строились различными авторами (см., на-прмер, [9] — [11] и др.), содержали лишь несколько членов представления, так как у коэффициентов представления появлялись особенности, порядок которых нарастал с увеличением числа членов представления. В данном параграфе построено асимптотическое разложение решения: в смысле Эр-дейи

оо

U(t, X, е) ~ €*Ui(t, X, е).

¿=0

Это представление имеет погранслойный характер, и для его частичных сумм ,х,е) получена оценка

К*,®, e)~U(N\t,x,e)\ <MeN+1.

В четвертом параграфе в прямоугольнике Dt — {(i, х) | 0 < t < Т, — а < х < 6} рассматриваются краевые задачи для уравнения смешанного типа

е2ихг - A(t, х)их — p2(t, х)и — щ = F(t, х), -а < % < 0,

<?ulx-a(t,x)u'x-q2{t,x)u = J(t,x), О < x < b.

Задачи подобного типа являются модельными для описания электромагнитных полей, возникающих при движении поездов на магнитной подушке [14]. Для решений этой задачи построены асимптотические представления решения U(N\t,x,e), получены оценки погрешности

В последнем параграфе третьей главы рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа

е2Ди- ßa(x,y)~ - к2(х,у)и = - Д(аг,у), оу

0,г/) <Е (а,6) X (-1,0),

од2и „ ,

ч ди ,■), ч . , ч

где (х,у) 6 (а, Ь) х (0,1], е, /( — малые параметры, а — положительное число. Рассмотрены случаи различных значений величины а и различных соотношений между е и ¡i: е/ц — ö(l), е — o(fi), ц — о(е). Во всех случаях построены и обоснованы асимптотические представления погранслойного типа

ff

U(N)(x,y,í,fi)= ¿ elii]u¡j(x,y,e,ii)-i,j=0

На линии y = 0 члены представления определяются в зависимости от величин а, е, ц как решения либо алгебраических, либо интегральных (типа Абеля), либо обыкновенных дифференциальпых уравнений. Получены оценки

||u - +

где 7(N), <t(N) —у оо при N оо.

Список литературы

[1] Ackerberg R.C., O'Malley R.E., Jr. Boundary layer problems exhibiting resonance // Studies in Appl. Math. — 1970. — V. 49, No. 3. — p. 277 — 275.

[2] Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. — Рига, Зинатне, 1978. —183 с.

[3] Вентцель Т.Д. О некоторых квазилинейных параболических системах // ДАН СССР. — 1957. — Т. 117, No. 1. — С. 21 — 24.

[4] Олешник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. — 1957. — Т. 12, No. 3. — С. 3 — 75.

[5] Бахвалов Н.С. Об асимптотике при малых е решения уравнения щ + (ф(и))х — еихх, соответствующего волне разрежения // Журнал вычислит, математ. и матем. физики. — 1966. — Т. 6, No. 3. — С. 521

— 526.

[6] Ильин A.M., Олейник O.A. Асимптотическое поведение решений задачи Конш для некоторых квазилинейных уравнений при большом значении времени. // Матем. сб. — 1960. — Т. 51, No. 2. — С. 191 — 216.

[7] Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач — М.: Наука, 1989. — 336 с.

[8] Hopf Е. The partial differential equation щ + иих = euxx // Comm. Pure and Appl. Math. — 1950. — V. 3, No. 3. — P. 201 — 230.

[9] Бутузов В.Ф., Никитин А.Г. Угловой погранслой в асимптотике решения одной сингулярно возмущенной системы уравнений эллиптического типа // Дифференц. уравнения. — 1988. — Т. 24, No. 2. С. 343 — 345. С. 1848 — 1862.

[10] Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, No. 10. С. 1848 — 1862.

[11] Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах с негладкими погранфункциями // ДАН СССР. — 1982. — Т. 263, No. 4. — С. 786 — 789.

[12] Ильин A.M., Горьков Ю.П., Леликова Е.Ф. Асимптотика решения эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в окрестности особой характеристики предельного уравнения // Труды семинара им. И.Г.Петровского. — 1975. — вып. 1. — С. 75

— 133.

[13] Кобельков Г.М. Априорные оценки для эллиптических уравнений и итерационные методы // ДАН СССР. — 1990. — Т. 310, No. 6. — С. 1280 — 1284.

[14] Connor К.А., Tichy J.A. Analysis of an eddy current Journal beaming // J. of Tribology. — 1988. — V. 110. — P. 320 — 326.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[15] Абдувалиев А.О., Розов Н.Х., Сушко В.Г. Асимптотические представления решений некоторых сингулярно возмущенных задач // ДАН СССР. — 1989. — Т. 304, No.4. — С. 777 — 780.

[1G] Абдувалиева Г.К., Сушко В.Г. Асимптотические представления по малому параметру решений задачи Трикоми для некоторых сингулярно возмущенных уравнений эллиптико — параболического типа // Дифферепц. уравнения. — 1992. — Т. 28, No. 10. — С. 1752 — 1759.

[17] Абдувалиева Г.К., Сушко В.Г. Асимптотические представления решений некоторых сингулярно возмущенных задач для уравнений смешанного типа // ДАН СССР. — 1991. — Т. 320, No. 3. — С. 521 — 524.

[18] Березин Б.И., Сушко В.Г. Асимптотическое разложение по малому параметру решения одной задачи с вырождением // Журнал вычислит. математ. и матем. физики. — 1991. — Т. 31, No. 9. — С. 1338

— 1343.

[19] Букашкин В.Б., Сушко В.Г. Асимптотическое разложение по малому параметру решения уравнения эллиптического типа с разрывными коэффициентом и правой частью // Дифференц. уравнения. — 1990.

— Т. 26, No. 9. — С. 1636 — 1637.

[20] Булычева О.Н., Васильева A.B., Сушко В.Г. Асимптотические разложения по малым параметрам решений некоторых задач для параболических уравнений // Журнал вычислит, математ. и матем. физики.

— 1991. — Т. 31, No. 9. — С. 1328 — 1337.

[21] Булычева О.Н., Сушко В.Г. Построение приближенного решения для одной сингулярно возмущенной задачи с негладким вырождением // Фундаментальная и прикладная математика. — 1995. — Т. 1, N0. 4.

— С. 881 — 905.

[22] Верегенцева Т.В., Кобельков Г.М., Сушко В.Г. О приближенных решениях некоторых задач с быстро меняющимися коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. —1989. — N0. 3. — С. 22 — 28.

[23] Джотян Г.П., Дьяков Ю.Е., Сушко В.Г. Теория переходного режима вынужденного комбинационного рассеяния при насыщении // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Физика, астрономия. — 1977. —Т. 18, N0. 4. — С. 95 —102.

[24] Макаренко В.Я., Сушко В.Г. асимптотика по малому параметру решения одной жесткой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. — 1989. — N0. 4. — С. 9 — 12.

[25] Пряжинский В.И., Сушко В.Г. Асимптотика по малому параметру некоторых решений задачи Коши для одного квазилинейного параболического уравнения // ДАН СССР. — 1979. — Т. 247, N0. 1. — С. 283 — 285.

[26] Пряжинский В.И., Сушко В.Г. Асимптотика по малому параметру решений некоторых краевых задач для уравнения Бюргерса / / Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. — 1984. — N0. 1. — С. 16 — 20.

[27] Розов Н.Х., Сушко В.Г. Некоторые сингулярно возмущенные краевые задачи // В сб.: Доклады расширенных заседаний семинара института прикладной математики им. И.Н.Векуа. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та. — 1985. — Т. 1, N0. 3. — С. 131 — 134.

[28] Розов Н.Х., Сушко В.Г. Метод барьерных функций и асимптотичские решения сингулярно возмущенных задач // ДАН СССР. — 1993. — Т. 332, N0. 3. — С. 150 — 152.

[29] Сушко В.Г. О погрешности приближенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Матем. заметки.

— 1970. — Т. 8, N0. 3. — С. 309 — 320.

[30] Сушко В.Г. О приближенном решении одного квазилинейного уравнения с малым параметром при старшей производной //В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике, вып. И. — М.: Изд-во МГУ. — 1971. — С. 145 — 151.

[31] Сушко В.Г. Об асимптотике по малому параметру для одного параболического уравнения // ДАН СССР. — 1972. — Т. 205,No. 4. — С. 794 — 797.

[32] Сушко В.Г. Некоторые оценки решений квазилинейного уравнения с малыми параметрами // Дифференц. уравнения. — 1974. — Т. 9, No. 5. — С. 905 — 918.

[33] Сушко В.Г. О поведении решений одного параболического уравнения в окрестности начальной плоскости // Дифференц. уравнения. — 1975. — Т. 10, No. 6. — С. 1078 — 1090.

[34] Сушко В.Г. Априорные оценки для решений системы двух квазилинейных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберп. — 1977. — No. 3. — С. 66 — 76.

[35] Сушко В.Г. Асимптотика по малому параметру для решений одного дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. — 1983. — No. 3. — С. 3 — 8.

[36] Сушко В.Г., Лапшин Е.А. Асимптотические разложения решений некоторых задач, связанных с нелинейной акустикой //В кн.: Васильева О.В., Карабутов A.A., Лапшин Е.А., Руденко О.В. Взаимодействие одномерных воля в средах без дисперсии. — М.: Изд-во МГУ, 1983. — 151 с. — С. 118—151.

[37] Сушко В.Г. Об асимптотических разложениях решений одного параболического уравнения с малым параметром // Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, No. 10. — С. 1794 — 1798.

[38] Сушко В.Г. О некоторых сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с вырождением // В сб.: Доклады расширенных заседаний семинара института прикладной математики им. И.Н.Векуа. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та. — 1988. — Т. 3, No. 3. — С. 160 — 163.

[39] Сушко В.Г. Асимптотические представления решений некоторых сингулярно возмущенных задач с быстро меняющимися коэффициен-

. тами // Дифференд. уравнения. — 1992. — Т. 28, No. 11. — С. 2011 — 2012.

[40] Сушко В.Г. Некоторые сингулярно возмущенные краевые задачи с негладкими исходными данными // Дифференц. уравнения. — 1993. — Т. 29, No. 11. — С. 2017 — 2018.

[41] Сушко В.Г. Асимптотические представления решений некоторых сингулярно возмущенных задач смешанного типа / / Фундаментальная и прикладная математика. — 1997. — Т. 3, No. 2. — С. 579 — 586.

[42] Rozov N.Kh., Sushko V.G. Applications of the method of barriers. I. Some boundary value problems // Georgian Math. J. — 1995. — V. 2. No. 1. — P. 99 — 110.

[43] Rozov N.Kh., Sushko V.G. Applications of the method of barriers. II. Some singularly perturbed problems // Georgian Math. J. — 1995. — V. 2. No. 3. — P. 323 — 334.