Асимптотическое исследование осцилляторных решений динамо средних полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИМ ГОСУДАРСТВ'

им. М. В. Ломов

На правах рукописи

^ КУЗАНЯН Кирилл Михайлович

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ РЕШЕНИЙ ДИНАМО СРЕДНИХ ПОЛЕЙ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Диссертация выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Д. Д. Соколов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук М. В. Карасев, профессор Московского Института Электроники и Математики кандидат физико-математических наук Е. А. Лупян, заведующий лабораторией Института Космических Исследований РАН

Ведущая организация: Институт Механики Сплошных Сред Уральского Отделения РАН

зического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова на физическом

Адрес: 117234 Москва, Лениниские горы, МГУ, Физический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического фа^лтчтртя МГУ.

факультете МГУ в аудитории . ■ ■

1995 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 053.05.18, д. ф. - м. н.

П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время существуют хорошо разработанные модели и методы исследования магнитных полей в турбулентно движущейся среде Земли, Солнца, звезд и галактик. Теория динамо средних полей описывает происхождение крупномасштабного магнитного поля галактик, Солнца, звезд, планет и других небесных тел. В последние десятилетия были получены фундаментальные результаты, позволяющие количественно описать процесс генерации крупномасштабных магнитных полей. Краузе, Рэдлером и Штеенбеком были получены уравнения генерации для среднего магнитного поля в турбулентно движущейся проводящей среде. В астрофизических задачах такой средой является межзвездная плазма, а также плазма конвективной зоны Солнца и звезд.

С физической точки зрения механизм превращения механической энергии турбулентного движения в энергию магнитного поля основан на положительной обратной связи, которая заложена в уравнениях генерации среднего магнитного поля благодаря одновременному наличию факторов дифференциального вращения и турбулентной конвекции. Поэтому, эти уравнения называются уравнениями динамо. Еще до вывода уравнения для среднего поля уравнения для магнитного поля в турбулентно движущейся среде в различных конкретных приложениях были исследованы рядом ученых. Бабкоком, Лейтоном и Паркером были исследованы модели генерации магнитных полей на Солнце, в работах Зельдовича были исследованы мелкомасштабные магнитные поля, Брагинским были построены модели генерации земного магнитного поля. Уравнения динамо были всесторонне исследованы

численно в работах Бранденбурга, Мосса и других исследователей. Большой вклад в исследования уравнений динамо внесли также работы Руэмайкина, Робертса, Соварда и других ученых. В них фигурируют магнитные поля, усредненные по определенным образом выбранному пространственно-временному масштабу. Этот масштаб должен быть выбран с таким расчетом, чтобы все случайные колебания величин механической скорости среды, магнитного и электрического полей были усреднены, но в то же время была выявлена структура пространственного распределения этих величин внутри астрофизических объектов. Такие уравнения часто имеют решения, сконцентрированные в окрестности максимума источников генерации магнитного поля. Проникновение магнитного поля в другие части пространства осуществляется в основном за счет турбулентной магнитной диффузии. На этих принципах основан так называемый подход максимально эффективной генерации (MEGA), который позволяет строить аналитические решения уравнений динамо, сосредоточенные в узкой пространственной области.

Для описания начальных стадий генерации магнитного поля используют линейное, или кинематическое приближение. Для последующих стадий следует рассматривать нелинейную модель динамо, поскольку магнитные поля велики и следует учитывать их обратное влияние на движение среды, т. е. на коэффициенты уравнений динамо.

Возникающие решения имеют часто осциллирующий характер, причем наблюдаются осцилляции во времени. Типичным примером такой магнитной активности являются солнечные циклы. Уже веками ведутся наблюдения солнечной активности, начало которых восходит к работам Галилео Галилея по систематизации наблюдений солнечных пятен. Позднее Маундером были построе-

ны временные широтные диаграммы солнечной активпости, так называемые баттерфляй-диаграммы. В последние годы были получены точные данные наблюдений магнитного поля на поверхности Солнца (например, результаты Обридко и других исследователей). Также Макаровым были получены наблюдения полярных факелов на Солнце. Эти наблюдения укрепляют теоретические представления о природе циклов солнечной активности как о динамо-волнах. Паркер в 1955 году впервые получил теоретическую модель динамо-волны. Однако, модель динамо-волны Паркера в силу своей простоты не позволила объяснить многие важные детали структуры пространственного распределения магнитной активности Солнца. Даже впоследствии полученные рядом авторов более детальные модели не позволили однозначно объяснить такие явления, как изменение направления распространения динамо-волны в приполярных областях Солнца и смещение максимума магнитной активности относительно максимума источников генерации в сторону экватора.

В общем случае при решении задач по расчету магнитных полей в астрофизических объектах приходится иметь дело со сложной замкнутой системой уравнений, не поддающейся аналитическому решению. Применяемые при решении подобных задач численные методы зачастую не могут обеспечить ответы на некоторые весьма важные вопросы о строении и природе магнитных полей. Для исследования этих вопросов должны применяться иные методы. Применение асимптотических разложений дает часто неплохие результаты, которые проясняют многое и согласуются с данными наблюдений.

Целью диссертационного исследования является получение асимптотических решений ряда различных задач теории динамо о ге-

нерации магнитных полей в галактиках и на Солнпе:

1. Изучить асимптотические решения уравнений, описывающих генерацию среднего магнитного поля в модели динамо-волн Паркера для неоднородной среды.

2. Изучить влияние толщины оболочки конвективной зоны Солнца на процесс генерации магнитного поля в виде динамо-волн.

3. Изучить влияние эффекта параметрического резонанса на генерацию бисимметричных конфигураций крупномасштабного магнитного поля в галактиках.

4. Изучить пространственные осцилляции магнитного поля в нелинейной локальной задаче дискового динамо.

Научная новизна. В диссертационном исследовании получены следующие результаты:

- На примере простейшей модели образования динамо-волн, так называемого динамо Паркера, построено асимптотическое приближение максимально эффективной генерации в модели аш-динамо для неоднородной среды. Впервые получено асимптотическое решение, сосредоточенное вне области максимума источников генерации. Исследовано влияние толщины оболочки конвективной зоны Солнца на генерацию динамо-волн. Также получено асимптотическое решение для осциллирующих мод дискового динамо.

- Для осциллирующих магнитных полей в тонких галактических дисках выяснена роль параметрического резонанса в процессе генерации бисимметричных конфигураций магнитных полей.

- Исследованы пространственные осцилляции для уравнений нелинейной локальной задачи дискового динамо. Получены условия существования решения задачи в форме пограничного слоя.

Научная и практическая ценность работы. Полученные решения задач теории динамо могут быть использованы для описания магнитных полей в астрофизических и других объектах.

Полученные результаты позволяют дать интерпретацию данным многочисленных наблюдений регулярного магнитного поля на Солнце и крупномасштабного галактического магнитного поля. Результаты можно использовать при описании и долгосрочном прогнозе солнечных циклов, для уточнения наблюдательных данных о внутреннем строении Солнца, при объяснении магнитной активности звезд и галактик.

Результаты могут быть использованы в ГАО РАН, ИКР! РАН, ИЗМИР РАН, ГАИШ МГУ и других научных учреждениях.

Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались:

1. На семинарах Лаборатории Электродинамики и Магнитной Гидродинамики (ЛЭМГ) НИВЦ МГУ.

2. На семинарах кафедры математики физического факультета МГУ.

3. На семинарах Института Проблем Механики РАН

4. На конференции по математическому моделированию в ноябре 1990 г., г. Звенигород Московской области.

5. На конференции Международного Астрономического Союза (1Аи-Зутро$1шп N0.157) в сентябре 1992 г. в Потсдаме, Германия.

6. На заседаниях 10-ой зимней школы по механике сплошных сред в марте-1995 г. в Перми.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти Глав, Заключения и Списка литературы (63 наименования). В работе приводится 14 рисунков и 1 таблица. Общий объем диссертации составляет 116 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Возможность получения аналитических решений уравнений для среднего магнитного поля связана с наличием в уравнениях динамо большого безразмерого параметра - динамо-числа П. Это безразмерное число характеризует интенсивность генерации среднего магнитного поля и аналогично числу Рейнольдса в гидродинамике. Упомянутые аналитические решения являются результатом асимптотических разложений решений уравнений динамо для случая |.0| ;§> 1. Существуют сравнительно развитые математические методы построения подобных асимптотических разложений, с помощью которых можно получать эти разложения, не находя точного решения сложной системы уравнений динамо. Эти методы представляют собой обобщение метода ВКБ на многомерный случай и широко применяются для приближенного решения задач квантовой механики.

Асимптотические методы применялись ранее в теории динамо в основном для исследования стационарных по времени решений. В настоящей диссертации будут исследованы колебательные решения уравнений динамо. При этом оказывается, что решения уравнений динамо часто имеют форму бегущей волны, являющейся обобщением динамо-волны Паркера.

Преобладание колебательных решений дает основание связывать с ними механизм образования бисимметричных магнитных полей, например, в дисках спиральных галактик. Однако, при генерации магнитного поля в галактиках возникают пространственно-временные осцилляции другого рода. В спиральных галактиках преобладает рост магнитного поля неосесимме-тричной конфигурации, в то время как теоретические модели предсказывают преобладающий рост осесимметричных магнитных полей. Для объяснения этого явления в частности Чибой и Тосой была предложена идея, основанная на рассмотрении явления параметрического резонанса как источника дополнительного роста бисимметричного магнитного поля. Это предположение будет также исследовано в настоящей диссертации.

Заключительная часть диссертации посвящена исследованию одной специфической задачи. Астрономические наблюдения галактических дисков дают мгновенную картину распределения магнитного поля, которая может иметь форму периодической структуры. Возникает предположение о том, волна ли это. Однако обнаруживается, что несмотря на наличие осцилляции магнитного поля в пространстве для нелинейного динамо существует стационарное решение, имеющее форму, отличную от бегущей волны.

Во введении описываются различные задачи теории динамо. Выясняется роль асимптотических методов в исследовании этих задач. Формулируются цели исследования, описывается построение диссертационной работы.

Первая глава содержит описание асимптотической модели генерации магнитных полей в конвективной зоне Солнца (так называемое приближение динамо-волн Паркера).

Уравнения динамо средних полей в топкой дифференциально

вращающейся конвективной оболочке Солнца сводятся для случая осесимметричного магнитного поля и чрезвычайно больших

динамо-чисел к следующему виду:

ЗА .„. _ 32Л

_ „<9Л <92£

Здесь В - азимутальная компонента среднего магнитного поля, А пропорционально азимутальной компоненте магнитного потенциала, Б - безразмерное динамо-число, характеризующее интенсивность источников генерации (среднюю спиральность и дифференциальное вращение), а в - широта точки в конвективной зоне, отсчитываемая от экватора, а{9) - обезразмеренный коэффициент средней спиральности.

Выясняются условия применимости данного приближения как промежуточной асимптотики аш-динамо для тонкой конвективной зоны Солнца и чрезвычайно больших динамо-чисел. Для одномерной неоднородной модели динамо Паркера с помощью метода ВКБ (принцип максимально эффективной генерации) решается задача генерации магнитного поля в кинематическом приближении.

Существенной проблемой, встающей при построении подобных асимптотических разложений, оказывается проблема прохождения так называемых точек поворота, в которых асимптотическое решение может иметь разного рода особенности.. Вопрос о местоположении и свойствах этих точек для случая осциллирующих режимов в теории динамо ранее не обсуждался. В настоящей диссертационной работе вычислены точки поворота и поведение решения вблизи этих точек.

Полученное решение позволяет полностью проследить поведение динамо-волны по всем широтам солнечной конвективной зо-

о -0.2-

Рис. 1: Асимптотическое решение уравнений динамо Паркера. Показаны следующие зависимости от широты в: (А) - функции источников генерации а(0) = а{в) sin в\ (В) - амплитуды экспоненциальной части решения уравнения; (С) - действительной части волнового числа динамо-волны Re к = ReS'. Для расчета было принято значение D = —103. Широта измеряется в градусах. Точка перемены направления распространения динамо-волны показана кружком (В). Слева от этой точки динамо-волна распространяется в сторону экватора, а справа от нее - к полюсу (для северного полушария Солнца). Направлние распространения динамо-волны показано стрелками (В). Значения собственных функций вычисляются с точностью до нормировки. В качестве нормировки было принято условие ImS(0o) = 0. Функция действия S вводится в первой главе диссертации в разделе 1.3.

ны в главном порядке приближения ВКБ (см. рис. 1). Показано, что точка, в которой амплитуда динамо-волны максимальна, несколько смещена по направлению распространения динамо-волны от точки, в которой достигает максимума источник генерации. В приполярных областях обнаруживается зона разделения волн, от которой расходятся динамо-волны к экватору и полюсу. Рассчитан порог генерации магнитного поля для нулевой и высших мод собственной функции решения.

Результаты сравниваются с данными наблюдений солнечных и звездных циклов. Также обсуждается справедливость закона Хэй-ла для быстро вращающихся звезд.

Во второй главе исследуются уравнения генерации магнитного поля как для кинематического приближения, так и для нелинейного режима с различными формами подавления спиральности. В приближении больших динамо чисел |1)|. >> 1 построено асимптотическое решение нелинейных уравнений динамо. Показано, как нужно модифицировать уравнения динамо Паркера, чтобы учесть влияние толщины оболочки конвективной зоны Солнца. Выяснено, как эта модификация влияет на качественный характер решения в случае задачи налинейного динамо при различных режимах подавления спиральности. Показано, что при различных формах подавления спиральности получаются качественно подобные решения решения со сходными свойствами.

В третьей главе разработанные в первой главе методы рассматриваются применительно к решению локальной задачи осциллирующего дискового динамо.

Поскольку время переноса магнитного поля поперек тонкого диска много меньше времени переноса поля вдоль диска, первый из этих процессов можно рассматривать отдельно. Поэтому для

случая генерации магнитных полей в галактических дисках также можно применять асимптотические методы. Асимптотики галактического динамо основаны в основном на том, что в галактике мало отношение где Л - толщина диска, а. Я - его радиус. Тогда в кинематическом приближении для локальной задачи динамо в тонких дисках можно получить систему уравнений, весьма близкую к системе уравнений динамо Паркера. Эта система была решена асимптотически в приближении больших динамо-чисел. Построено решение, имеющее форму бегущей динамо-волны. Вычислен порог генерации динамо-волны и ее относительная величина. Показано, что величина этого порога велика и не достигается внутри галактического диска, однако соответствует результатам численных расчетов осциллирующих мод дискового динамо.

Четвертая глава посвящена исследованию влияния параметрического резонанса на генерацию бисимметричных структур магнитных полей в тонких галактических дисках. В рамках простейшей модели показано отсутствие параметрического резонанса. Для более детальной модели с помощью винеровских интегралов произведены оценки дополнительной скорости роста магнитного поля в бисимметричной конфигурации. Показано, что величина прироста поля за счет параметричекого резонанса для тонких галактических дисков невелика и недостаточна для того, чтобы обеспечить преобладание бисимметричной конфигурации магнитных полей.

Пятая глава описывает расчет магнитных полей в пограничном слое у края тонкого галактического диска в приближении нелинейного стационарного динамо.

Исследованы уравнения локальной задачи в модели дискового динамо. Для стационарного состояния был рассмотрен нелиней-

ный режим подавления спиральности. На основе погранслойных методов рассчитано качественное поведение магнитного поля в пограничном слое у поверхности диска.

Искомое решение представляется в виде суммы решения вырожденной задачи и пограничного слоя. Решение вырожденной задачи выражается явно. Для расчета пограничного слоя был разработан численный метод, в основе которого лежит метод стрельбы для решения краевой задачи на бесконечном отрезке. Основная сложность состоя ля в том, чтобы интерпретировать метод численного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения на бесконечном промежутке. Для этого была решена вспомогательная начальная задача Коши с параметром. Подбор параметра осуществлялся методом стрельбы. Выяснено качественное поведение решений в зависимости от значения этого параметра. Для поиска параметра стрельбы был использован метод вилки. Найдено значене параметра, при котором полученное решение удовлетворяет краевым условиям. Показано, что искомое решение может быть найдено с любой степенью точности.

Получены также условия существования решения задачи в форме пограничного слоя. Оказывается, что существование решения в форме пограничного слоя зависит от характера поведения функции спиральности вблизи границы диска.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации, а также имеются указания о том, как эти результаты должны повлиять на дальнейшие исследования в данной области. В конце заключения также выражаются благодарности.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

- На примере простейшей модели образования динамо-волн, так называемого динамо Паркера, построено асимптотическое приближение максимально эффективной генерации в модели аш-динамо. Вычислены точки поворота и поведение решения вблизи этих точек. Полученное решение позволяет полностью проследить поведение динамо-волны по всем широтам солнечной конвективной зоны. Показано, что точка, в которой амплитуда динамо-волны максимальна, несколько смещена по направлению распространения динамо-волны от точки, в которой достигает максимума источник генерации. В приполярных областях обнаруживается зона разделения волн, от которой расходятся динамо-волны к экватору и полюсу. Полученные свойства динамо-волн находятся в соответствии с наблюдательными данными о солнечном цикле. Получено также асимптотическое решение для осциллирующих мод дискового динамо.

- Исследовано влияние конечности толщины оболочки конвективной зоны Солнца на генерацию динамо-волн как для кинематического приближения, так и для нелинейного динамо с различными типами нелинейности.

- Рассмотрена генерация осциллирующих магнитных полей в тонких галактических дисках. Выяснена роль параметрического резонанса в процессе генерации бисимметричных конфигураций магнитных полей. В рамках простейшей модели показано, что параметрический резонанс между вращающимся магнитным полем и спиральными рукавами вряд ли возможен. Для более детальной модели произведены оценки дополнительной скорости роста магнитного поля в бисимметричной конфигурации. Показано, что

величина прироста поля за счет параметрического резонанса для тонких галактических дисков невелика и вряд ли достаточна для того, чтобы обеспечить преобладание бисимметричной конфигурации магнитных полей.

- Исследованы пространственные осцилляции для уравнений локальной задачи дискового динамо. Для стационарного состояния был рассмотрен нелинейный режим подавления спиральности. Изучено поведение магнитного поля в пограничном слое у поверхности диска. Получены условия существования решения задачи в форме пограничного слоя.

Основные результаты, приводимые в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Kuzanyan, K.M. and Sokoloff, D.D. On the parametric resonance

in a thin disk galactic dynamo // Astron. Nachrichten. - 1992 -Vol. 313 - pp. 349 - 352.

2. Kuzanyan, K.M. and Sokoloff, D.D. On the parametric resonance

in thin disk galactic Dynamo // Proc. of The Cosmic Dynamo I A U-Symposium 157, 7 - 11 September 1992, Potsdam, Germany. - Kluver: Dordrecht, 1993 - pp. 381 - 382.

3. Kuzanyan, K.M. and Kvasz, L. Boundary layer in non-linear

dynamo // Proc. of The Cosmic Dynamo IAU-Symposium 157, 7-11 September 1992, Potsdam, Germany. - Kluver: Dordrecht, 1993 - pp. 355 - 356.

4. Kuzanyan, K.M. and Sokoloff, D.D. Parametric resonance in a

thin disk dynamo // Astrophys. Space Sei. - 1993 - Vol. 208 -pp.245 - 252.

5. Kuzanyan, K.M. and Kvasz, L., Boundary layer in nonlinear

dynamo // Astron. and Astrophys. Transact. - 1995. - Vol. 8 -No. 1 - pp. 14 - 24.

6. Kuzanyan, K.M. and Sokoloff, D.D. A dynamo wave in an

inhomogeneous medium // Preprint IAE-5872/1. РНЦ "Курчатовский институт". - 1995.

7. Кузанян K.M. и Соколов Д.Д. Динамо-волна в неоднородной

среде // Труды 10-й Зимней школы по механике сплошных сред. - Пермь, март 1995 - с. 146.