Ассоциированные в смысле Ито решения дифференциальных уравнений в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Белорусский государственный университет

УМ 517.9

V Л

Ст&шуленох Сергей Павлович

АССОЦИИРОВАННЫЕ В СМЫСЛЕ ИГО РЕШЕНИЯ ДОМЕРЕНЦИАЛЬИЫХ УРАВНЕНИИ О ПРЯНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ АЛГЕБР ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диооертоции на ооиокание ученой отепенн кандидата «Ттазико - математичеоких наук

Минск, 1996

Работа выполнена но кафедре функционального анализа Белоруоского государственного университета

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук.

доцент Лазакович Н.В.

Официальные оппоненты! доктор физико - математических наук«

профессор Таций P.M.

кандидат физико-математичеокиж наук, доцент Зуев Н.М.

Оппонирующая организация - Институт математики Воронежского государственного университета

Защита соотоитоя "¿13" июня 1996 г. в 10 часов иа эвоедашш Совета Д.02.01.07 в Белорусском государотвешюм университете ( 220050, г. Минск, пр. Ф.Скорины, 4. Белгооунивероитет, главный корпус, к.206 ).

С диссертацией Белгосуниверситета

можно

ознакомиться

Автореферат розоолан мая 1996 г.

в библиотеке

Ученый секретарь специализированного Совете, доктор физико - математических наук, профеооор

Корзюк В.И.

- 1 -ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность ТЭИЫ. На основе обобщенных функций ( распреде -лений) Л.Шварца И.М.Гельфандом было введено понятие обобщенного случайного процесса. Используя секвенциальный подход, К. Урбаником была предложена своя трактовка обобщенных случайных процессов. Но поле их применимости в задачах квантовой механики, теории нелинейных колебаний и др. ограничивалось из-за того, что такие процессы приспособлены к линейным задачам и, вообще говоря, не допускают умножения.

В денной работе рассматриваются дифференциальные уравнения в алгебрах обобщенных случайных процеосов. Пространства обобщенных случайных процессов, допускаюдих умножение, были построены в последние годы в работах Лазаковича Н.В. на основе интенсивно развивающейся теории мнемофункций (нелинейных обобщенных функций). Так"в конструкции позволяют естественным о позиций неслучайного анализа образом исоледовать решения не I только классических нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями и стохастических дифференциальных уравнений, но и новых классов дифференциальных уравнений со случайными функциями. Поэтому тематика исследований в этом направлении является актуальной.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования проводились на кафедре функционального анализа в рамках госбюджетной научной темы " Дифференциальные

и операторные уравнения в топологических векторных пространствах" N 01910055396 27.29 Белгосуниверситета.

Работа была поддержана Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь и Международной Соросовской Программой Образования в области точных наук.

Цель И Задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение алгебр обобщенных случайных процеооов и приложение полученных результатов к исследовании стохастических дифференциальных уравнений.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

-елементами пряного произведения алгебр обобщенных олучайных процессов аппроксимированы стохастические интегралы Ито по

броуновскому движению и интегралы от пуассоновского случайного процесса. Установлено, что результат аппроксимации зависит от виде обобщенного случайного процесса;

- докэзаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов:

- в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов найдены ассоциированные в смысле Ито решения дифференциальных уравнений, содержащих обобщенный случайный процесс броуновокого движения и обобщенный пуассоновский случайный процесс.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. • Полученные результаты могут быть применены к исследованию решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями и стохастических дифференциал! ых уравнений. -

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Аппроксимация стохастических интегралов Ито по броуновскому движению и интегралов от пуассонсвского случайного процесса влементами прямого произведения алгебр обобщенных случайных процессов.

2. Теоремы существования и единственности решения задач Коши в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов.

3. Ассоциированные в смысле Ито решения дифференциальных уравнений, содержащих обобщенный случайный процесс броуновского двикеиия и обобщенный пуассоновский случайный процесс в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов.

ЛИЧНЫЙ ВКЛаД соискателя. Все основные результаты, приводимые в диссертационной работе, получены автором лично. Из результатов, опубликованных совместно о Лозаковичем Н.В., автору выносимой на защиту диссертации принадлежат результаты, связанные о аппроксимацией в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов стохастических интегралов по броуновскому двикешм, потешаемых в смысле Ито, а также с отысканием ассоциированных в смысле Ито решений дифференциальных уравнений,' содержащих обобщенный пуассоновский случайный процосс и обобщенный случайный процесс броуновского движешш.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты

диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе " Понтрягинские чтения - IV " , посвященной 85 - летию со дня роадения Л. С. Понтрягина (3-8 мая 1993 года ), на Международной математической конференции, посвященной 25 - летию Гомельского университета имени Ф. Скорины " Проблемы математики и информатики " ( г. Гомель, 1994 г.), на Республиканской нвучно -методической конференции, посвященной 25 - летию факультета прикладной математики и информатики ( г. Минск, 10 - 14 апреля 1995 г.), Международной конференции " Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление ", посвященной 90 - летию со дня рождения академика Ф.Д.Гахова ( г. Минск, 16-20 февраля 1996 г.)

Опубликованность результатов. По теме диссертации подготовлено к публикации 15 печатных работ. Из них 5 являются тезисами докладов на международных и республиканских математи -ческих конференциях, 2 - депонированные научные работы, 3 опубликованы и 4 приняты к печати в научных периодических изданиях Республики Беларуоь н Российской Федерации.

Структура И Объем диссертации. Диссертация состоит из перечня условные обозначений, введения, общей характеристики работы, трех глав, выводов и списка используемых источников, включающего 93 названия. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Во введении дана оценка современного состояния исследований по теме диссертационной работы в области обобщенных функций, обобщенных случайных процессов, стохастического анализа а сформулированы основные результаты диссертации.

Первая глава носит базисный характер. В ней ивлагаютол конструкции алгебр обобщенных случайных процессов, понятие обобщенного дифференциала, предлокешшв И.В.Лазаковичем, и доказываются теоремы существования и единотвенноотн решений задачи Кош в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процеосов.

В разделе 1.1 приводится конструкция алгебр обобщенных случайных процессов и дается определение обобщенного

- 4 -

стохастического дифференциала.

Пусть (Q,<4,P) - полное вероятностное пространство. Рассмотрим множество последовательностей случайных процессов

fn(ttU)s WxTxO—► R, ncN, t с T = [0.a], tt « 0 J,

которые удовлетворяю? следующим требованиям:

1) для любых n е И и t с Т fn(t,u) - случайная величина, определенная на вероятностном пространстве (ft,«í,P):

2) для любых п « И ín(t*ü)c С"(Т) для почти всех и € 0 ( но

концах отрезка предполагается наличие односторонних щюизбодных).

Несложно видеть, что множество таких последовательностей является алгеброй с покоординатными операциями сложения и

умножения . Обозначим ее P(T,Q). Множеотво

N(T,Q)=|(ín(t,ü)) € 5(Т,0) | э I)q с N, что для V t е f и V л > Hq

In(t,u) = 0 для почти всех и € 0 ^

является идеалом в ней. Через Р(Т,(!) обозначим фактор - алгебру

3(T,Q) / N(!T,Í».

Элементы множества P(T,Q) будем называть обобщешшми случайными процессами.

Если условие бесконечной дифферепцируемости рассматривать на уровне сходимости в Ър(0,Л,Р) для любого ра1, то получится новая алгебра обобщенных случайных процессов, которую мы обозначим

Элементы алгебры P^ÍT.Q) также будем называть обобщенными

случайными процессами. Пусть

5 = { t = [(tn)} с Rí V (tn) et O s tn s a, n = 1,2..... a>0},

/V

где IR - расширенная по Егорову прямая.

- 5 -

rv #v *

Через ff(T,0), PL(T,ft) обозначим алгебры обобщенных олучайных

М /V

процеооов P(t,u) вида

P(t,u)=[(in(tn.u))),

где t=t(tn)]€i, a [(fn(t,u))l е ff(T.ft) либо ((fn(t,U))]c9b(f,Q), ооответотвешю.

Введем на алгебрах Р(Т,0) ц t7L(T,0) понятие дифференциала.

Пусть

II = { h =1(1^)] € R+ | Но iy=0 },

IHw

тогда положим по определению

d£ Ptt.Bj-Ki^t+hjj.ubf^t,«))],

Где P(t.u) = t(fn(t,u))J € P(T.G) ( ). t « t(t)] « ?,

h = [(hjj)) « H, t + h € T.

Будем говорить, что обобщенный олучайный процеоо

P(t,0)=[(rn(t,(J))]€P(a!.Q) ( &L(T,fl))

ассоциирует классический случайный процеоо, еоли для v (fn) с Р fn(t,u) сходится при п+оо к данному процессу по вероятности и в

l/(T).

Через sr(T,£))f ^(Т.О)? г с W, обозначим

» N /V

прямое произведение алгебр 9(T,Q), P(T,ft), ^(T.ft)

соответственно.

Далее, в разделе 1.2 формулируется и доказывается теорема

(V

существования и единственности решения задачи Кош в t?(T,Q).

/V

В влгебре 9(Т,0) рассмотрим дифференциальное уравнение

X(r,U)=i(X(T,U)}d~ i(T,6l) (1)

h h

Л» «V

относительно процесса Х(т,о) о начальным условием

* I [о.Е) = *о<?-и>- (2)

N М Ы

Процесс £(т,и) =1(5п(т:»и))] с Р(Т,0) согласован с потоком

0 - алгебр *х+1/п,. Хо(г.о) = [(х£(т,и))] е Р(Т,0) .

Задачу Коши (1) - (2) на уровне представителей можно переписать в виде:

' уг+^.о) - х^г.и) =тп схп(г.«))Ьп(«+ип.в) - 5п(*.в)]

Условия, гарантирующие существование и единственность решения задачи Коши, дает следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть для любых представителей (Г ), ( Хф ), выполняются следующие условия

х£(Т.ы) е О00 10,11ц)

для почти всех и е Й ( в нуле предполагается наличие конечных односторонних производных ) и Х^(т,и) является 9т+1/п согласованным случайным процессом, х с [0,^). Для того, чтобы

«V

решение задачи Коши (1) - (2) в &(Т,(1) существовало и было

единственным необходимо и достаточно выполнение условия — --- ^(8'и> ~

(IV а г1

а г

--: [5А+в'иНп(в,и)]] 0

а V

для 1 = 0, 1.....Решение является - согласованным случайным процессом, г € Т.

В разделе 1,3 рассматривается теорема существования и единственности, которая формулируется для задачи Кош в прямом

произведении алгебр ^(Т.О)'1, даются определения слабо и сильно ассоциированных решений задач Коши.

Определение 1.3. Случайный процесо ХЦ.а), 1; € Ф, и « О, называется слабо ассоциированный в смысле Ито ( Стратоновича ) решением задачи Коши (1) - (2), если при п —*• 1^-*- О так,

что 1/п = о ( ) ( Ь^ = о ( 1/п ) ) Э^и.о) сходитоя к хи,о) в

р г 1, для почти всех ы с 0.

Теория стохастических дифференциальных уравнений базируется на понятиях стохастических интегралов Ито и Стратоновича. Многие авторы ( И.Дьендь, В.Мацкявичюс, М.А.Карабаш, П.Проттер, Г.Суссман, А.П.Юрачковский и др. ) аппроксимировали

стохастические интегралы естественным о позиций классического анализа образом. Как правило, стохастические интегралы Ито аппроксимируются конечными суммами, а интегралы Стратоновича -обычными интегралами. Введение обобщенного дифференцйала позволяет охватить оба эти случая. В работах Н.В.Лазаковича доказано, что чак , стохастические интегралы Ито, так и стохастические интегралы Стратоновича могут быть аппроксимированы конечными суммами элементов из алгебр обобщенных случайных процессов.

Во второй главе рассматриваются аппроксимации интегралов Ито по броуновскому движению и интегралов от пуасооновского случайного процесса элементами алгебр и прямого произведения алгебр обобщенных случайных процессов.

Пусть . 1; с Т, и с !), - одномерный стандартный ^-процесс Пуассона.*

Определение 2.2. Обобщенным случайным процессом Пуассона

П(г,о) = [(Нг(^0))] назовем элемент алгебры 9(Т,Й) (^(Т.О)),

ассоциирующий П(1,и) ( аналогично определяется обобщенный случайный процесс броуновского движения ).

Пусть Т = Ю,а], 0 = 1;0 < ^ < .. .< ^ а < разбиение

[0,а], Х_ = шах 1). Выберем произвольную точку 1;еТ. Без

111 К к~'

существенного ограничения общности будем считать, что для

некоторого I.

Теорема 2.4. Для любой функции i(x) « 01(R) найдутся такие

л* w

елеыенты t с 9(R) и П с что для любых представителей (in)

W Пф

tin (Пп) с П при m » и п —► «о так, что

1/П = О ( Ьд)

выполнено

¿WVi'«» tnn<Vu> - V Vru> } — t

—* S i(n(e-0,u))dn(s,ü)

о

в L^T). р а 1, для почти всех U « ft. Здесь t^ - = к » « Тйй.

Заметим, что, если отойти от классического способе аппроксимации процесса Пуассона в алгебре ff(T,ft), то возмоааШ результаты, отличащиеся от приведенных выше теорем.

Утверздение 2.1. Пусть f(х) - многочлен о действительным» коэффициентами степени d-1, d>1 . Тогда существует такой влемент

w м rv

П с 9 (Т,0), что для любых представителей (Пп) с П выполнено Р( U с Й | nn(t,U) jp^-j n(t.u) в D'(R)} = 1

и

£ i( Пп((к-1) t/m,и)) t Пп(к t/m,«) - Пп( (k-1) t/m.u) ) — k™ 1

t

—► S tg(n(B-0,U) + 1)-g(n(8-0,ü))] d П(в,и) + 0

П(а,о) + С E «(t-ji^u))

l/(R)

для почти всех ü e ft, если n,m -»-ч» так, что

1/m я о

Здооь g(x) = f f(s) de, x € R., Ми). i = 1,...,П(а,И) - точки О * 1

разрыва n(t,u) при произвольных, но фиксированных ы е 0, 0 =>

в 0(d, ü), a(j_1 - отерший коэффициент многочлена f(х).

В разделах 2.1, 2.2 главы 2 рассматриваются аппроксимации интегралов, использующие потраекторшй подход. В разделе 2.3 изучаются аппроксимации многомерных интегралов по броуновокому

о

движетшю на уровне сходимости в L (Q,«í,P). Эти результаты отражает следующая теорема.

Теорема 2.5. Для любой функции и « (^(К**) и г - мерного

стандартного процесса броуновского движения П(t,u) »

= (В1(t,ü),...,Br(t,ü)) найдутся такие елементы и с PÍR1*) и

В € Р(Т,0)г, что для любых представителей (г^) с и и

(Bn) = ((BjJ.....d£» с В справедливо неравенство

sut teï

S Е (А ¿л^Vvu).....«Vi.-» *

x[Bj(tk,ü)-Bj(tk_1,ü)] -J (I)|*u(B1(b.B).....Br(s,u))y

1 l2

xdBA(e,u) V s С m/n + 0 maa IV-t,, ,1, i 1sksm K K_1

если 1/n < min |tJ,-tl,_1|.

1sksm K K 1

Дифференциальные уравнения со случайными функциями можно разделить на три класса: линейные дифференциальные уравнения, нелинейные и стохастические. Для первых двух классов случайные функции, входящие в дифференциальное уравнение, достаточно регулярны и большинство вопросов, связанных с исследованием свойств решений уравнения, можно решать классическими методвми

теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследования уравнений третьего класса создана специальная теория стохастических дифференциальных уравнений.

Теория алгебр обобщенных случайных процессов позволяет о единых позиций исследовать решения всех трех перечисленных выше классов уравнений со случайными функциями.

В третьей главе мы исследуем ассоциированные решения дифференциальных уравнений, содержащих обобщенный пуаосоновский случайный процесо и обобщенный случайный процеоо броуновского движения.

Пусть функция 1 с 01(К), пи.О)), 1; е Т, и € О, - стандарт -ный процеоо Пуассона,

г

х(г.и) ■ х(о,о) + / г( х(в-о.и) ) й п(в,и). (з)

о

м

Рассмотрим в алгебре Р(Т,0) следующую задачу Коши

си ха.ы) = хшг.о)) <1., п(г,о), (4)

и ь

. * 1[0,£) 55 • ■ <5>

где X = [ (I) ] € ?, Ь » [ (1^) ] сН, ? + 0 = [(0)] « Т,

/V /V «V /V

П(1,и) - обобщенный случайный процесо Пуаооона, * с ?((?).

Теорема 3.3. Пуоть функция 1 с и для любых представи-

телей ( Х^ ), ( Пп), ( Гп ) выполняются оледующие уоловия

— 1°< V») " — ^(8,и) - — [*„( Х®(в.«)) -й х 1 <1 г 1 л х 1

„ х[Пп(Ьп+в,и)-Пп(в,И)]] —♦ о при в + 0 для почти всех и с 0 и любых I = 0,1,2,... и вир |х9(г,и)-х(о,ы)|—► о

при п —► со , ^ —»■ 0 так, что 1/п = о (1^), тогда

- 11 -

слабо ассоциированное в смысле Ито решение задачи Коши (4) - (5) совпадает с решением задачи (3) для почти всех о е 0.

В раздело 3.2 речь идет об ассоциированных решениях дифференциальных уравнений от обобщешюго случайного процесса броуновского движения в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов.

Россмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

X1(t,U) = х1 + Е (I)íVJCX(e.U))dB3(8,U) + 3=1 J0

♦

+ |V(X(s.«))dB, i = TTcT, t € T. (6)

где X(t,W) = (X1(t,u).....Xd(t,u)), x1 € R, aiJ« c|(Rd), a1 g

€Cg(Rd), Cg(Rd) - множество всех действительных m раз непрерывно

дифференцируемых на Rd функций, огра1шчегашх вместе со своими частными производными до порядка m включительно:

B(t,u) = (в1(t.u)____,Br(t,o)J - г- мерный стандартный процесо

броуновского движения;

mjV^U.u^dB^s.u), i = ÏTïï, 3 а Tï,

- стохастичесютй 1штеграл Ито.

Пусть р(а), в € R, - неотрицательная функция класса 0W(R)» .1

вирр р(а) с [0,1], р(в) de = 1, р„(а) » n p(ne), п « И. J0

Положим по определению для J = 1,г

B¿(t,U) = (B3*pn)(t,U) = jV(e,U)pn(e-t)ds = -1/п

=f BJ(s+t,U)p_(s)ds, J0 п

<tJ3(u) = (а * pn)(z), u € I^.i я 773. 3 = Tlr. oj(u) = (a1» pn)(u). u с i^.i = 773.

где pft(u) s nd p(n u), M (¡"(K1). supp p с [0,1Jd, p a 0,

J P(u) du S 1. 10,1/n)d

r» /4

Рассмотрим следующую задачу Коши в ^(T.fl)

Л» J М I* Ali J М N WJ М MJ М М М

d„ X1(t,U)= I <J1J(X(t,U))d.» B3(t.U)+ c^fXít.u)) d*, t, (7) h J=1 h h

^•tO.h) 55 •

где a13 = ((<7*3)] <= P(Rd), а1 = t(a¿)] с S(Rd), В3 - t(B¿)) с

Al

с - обобщенные случайные процессы броуновокого

движения, 1= ТТсС. j= TTr.t =[(t)]íih= e H- « T,

<V4 »» 4 M M ivj

X¿(t,U) = í(X¿ n))€ Pl(T,Q), X «(X1.....Xй).

Для представителей ета задача запишется в виде

xj(t+hn.u)-xj(t,u)= EiffJ;l(xn(t.u))[B¿(t+hn.u)-B¿(t,u)] +

+ a X(t-Ü)) V (9)

,xj(t.u)|[0fhn)= jJfB(t.e). 1=т73, t с Т = [0,а),

где случайный процесс Xq n(t,<J) согласован о потоком о - алгебр yt+1/n* t € и "надлежит клаосу С00 в смысле Ь2(й,Л,Р).

Пусть t - произвольная точка из Т. Тогда найдутся такие t^c с №,1^) и кг= 0,1,2,..., что

г= V ktV

Теорема 3.5. Пусть а13 с c£(Rd), а1 € О^К*1). 1=773, J=T7?,

тогда для v а >О

sup Е П Х(Т.и)-Х_(Т.и) || 2* вир Е || „(Т.И)-! || 2 +

т«$ ^ ttiO.hjj)

+ 01^+ O/tn^2).

где ||.|| - евклидова норма в Rd, а Х(Т,а) и X^t.tt) - решения задач (6) и (9) соответственно.

Заметим, что если решать аналогичные задачи для уравнений типа ( 9 ) о запаздыванием, то результаты теоремы 3.5 могут быть улучшены.

Будем говорить, что d - мерный случайный процесс X(t,a), t<eT, И « 0, называется сильно ассоциированным в смысле Ито ( Страто -

новича } решением задачи Коши (7) - (8), если при п -» да,

р .

h^-*- О так, что 1/n- so(hj) ( = о ( 1/п ) )

вир Е || X(t,U)-X_(t,U) || 2 0, t€Ï "

где ||.|| - евклидова норма в

Следующая теорема дает сильно ассоциированные решения задачи Коши (7) - (8).

Теорема 3.6. Пусть ffiJ с C{j(Rd), a1« oJ(Rd), 1=Т7сГ. Î=T7r и для любых представителей ), (а*), (Xj^n), ), рд

задачи Коши (7) - (8) выполняются условия а1«1

-.....xd) с CjjCR1), i = T7ï, J = Tir,

°1 ad В X ^•••ô x^

al«*

--.....xd)« CgdT), i = T73,

a1 ad d X ^•*•д X^

для всех мультииндексов a = (a^,....a^), |a| = a^ + ... + a^ и

I Л 1 Л 1

Е I — *оЛ'в'и>--Г Х0.п<в'Ы> -

й V й V

"А [<,1»( Х0.п<в'И)) ^¿(^^'^^(в.и))] -31 <1 г1

" ~г 0£(хо,п<в'и»*пГ — 0 <1 г

при в + О для любых I * 0,1.2.....р*1, 1*Т7Я. ¿«ТГг, тогда

решение задачи Коши (7) - (8) сильно ассоциирует в смысле Ито решение оиотемы ото1аотических дифференциальных уравнений (6).

В заключение выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю Лазвковичу Николаю Викторовичу 8а постановку задачи, поддержку и внимание к работе.

выводе

В данной работе изучаются - аоооцшровашше решения дифференциальных уравнений в алг&брах обобщенных случайных процеооов. Такой подход позволяет естественным о позиций неслучайного анализа образом исследовать решения не только классических нелинейных дифференциальных уравнений оо случайными функциями и стохастически! дифференциальных уравнений, но и новых классов дифференциальных уравнений оо случайными функциями.

Ооновные результаты, выносимые на защиту!

1. Элементами прямого произведения алгебр обобщенных случайных процессов аппроксимированы стохастические интегралы Ито по броуновскому движению и интегралы от пуаосоновского случайного процесса. Установлено, что результат аппрокоимации зависит от вида обобщенного«случайного процесса.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения вадачи Кош в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процеооов..

3. В прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов найдены ассоциированные в омысле Ито решения дифференциальных уравнений, содержащих обобщенный случайный

процесс броуновского движения и обобщенный пуассоновокий случайный процесс.

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ АВТОРА, ВЫПОЛНЕННЫХ ПО ТЕМЕ ЛИССКРТАЦЖ

1. Лазакович Н.В., Сташулонок '"'.П. Формулы дифференцирования в алгебре обобщенных случайных процессов // Понтрягинокие чтения - IV. Тез. докл. конф. - Воронеж, 1993. - С. 120.

2. Лазакович Н.В.«Сташулонок С.П. Аппроксимация стохастических интегралов от случайного процесса Пуассона влементама алгебры обобщенных случайных процессов // Весц1 АН Боларуо1. Сор. ф1з.-мат. навук. - 1995, N 1. - С. 30 - 37.

3. Лазакович Н.В., Сташуленок С.П. Об ассоциированных в смыоле Стратоновича решениях некоторых уравнений в дифференциалах в алгебре обобщенных олучайных процессов . // Материалы республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики. Тез. докл. конф. - Минск, 1995, ч. II. - С. 98.

4. Лазакович Н.В..Сташуленок С.П. Аппроксимация отохаотическнх дифференциальных уравнений и интегралов в алгебре обобщенных, олучайных процессов //Доклады АН Беларуси. - 1995, т.39, И 6. -С. 34 - 38.

5. Лазакович Н.В., Сташуленок С.П. Аппроксимация рекений сто -хаотических дифференциальных уравнений в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов // Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление. Тез. докл. конф.-Минск, 1996. - С. 59 - 60.

6. Лазакович Н.В., Стаиуленок С.П., Юферева И.В. Стохастические дифференциалы в алгебре обобщенных случайных процоссов / Род. журн. " Известия АН Беларуси. Сер. физ. - мат. наук ■ - Минск, 1994. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.06.94, II 1492 - В 94.

7. Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Юферева И.Б. Стохастические дифференциальные уравнения в алгебре обобщенных случайных процессов // Дифференц. уравнения. - 1995, т. 31 , Н 13. - С. 2080 - 2082.

8. Стешуленок С.П. Об ассоциированном в смысле Ито решении одного уравнения в алгебре обобщенных олучайных процессов // Проблемы математики и информатики. Тез. докл. конф. - Гомель, 1994, ч.П.-С. 94.

9. Сташуленок С.П. Аппрокоимация стохвотических дифференциальных уравнений в форме Ито для точечных случайных процессов / Ред. «урн. " Известия АН Беларуои. Сер. физ.~ мат. наук 11. - Минок, 1994. - 19 о.- Деп. в ВИНИТИ 1.12.94, N 2771 - В 94.

10. Стешуленок С.П., Юферева И. В. Дифференциалы Ито и Стра-тоновича в алгебре обобщенных олучайных процеооов // Современные проблемы механики к математической физики. Тез. докл. конф. -Воронеж, 1994. - С. 92.

РЕЗЮМЕ

Сташулонок Сергей Паоловнч

Ассоциированные в смысле №о решения дифференциальных уравнений в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов

Ключевые олова: обобщенный случайный процесс, стохастический интеграл Ито, стохастический интеграл Стратоновича, случайный процесо броуновского движения, пуяссоновский случайный процеоо, сильно ассоциированное решение задачи Коши, слабо ассоциированное решение задачи Коши.

Элементами прямого произведения алгебр обобщетшх случайных процессов аппроксимированы стохастические интегралы Ито по броуновскому движению и интегралы от пуассоновского случайного процесса. Установлено, что результат аппроксимации зависит от вида обобщенного случайного процесса.

Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов.

В прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов найдены ассоциированные в смысле Ито решения дифференциальных уравнений, содержащих обобщенный случайный процесс броуновокого движения и обобщенный пуассоновский случайный процесо.

рэзгаиэ

Сташуломак Сяргей Паулаа1ч

Асацыяваныя 9 сэнсе гга рашэнш дыферэнцыяльных рафнання? у прамым здабытку абагульненых вьшадковых працэса?

Ключовыя словы: абагульнены выпадковы працео, стахаотычны 1нтегрол 1та, стахастычны 1нтеграл Стратанов1ча, выпадковы працве броунаускага руху, пуасоноуск1 выпадковы працве, моцна асацыява -нае ряшонне задачы Кашы, слаба асацыяванае рашенне задачы Каши.

Элементам! прамога здабытку алгебр абагульненых выпадковых працосау апракс1маваны стахастычныя 1нтегралы 1та па бронаускаму руху i 1нтегралы ад пуасонаускага працесу.Установлена, што вын1к впракс1мацы1 залежыць ад выгляду ебагульненага выпадковага праивсу.

Дадзены доказы тварвм 1снавання i адз1насц! решения задач

Каты у пр. шм здабытку алгебр абагульненых выпадковых нрацвоау.

У прамым здабытку алгебр абагульненых выпадковых працвоау знойдзены асацыяваныя у сенсе 1та рашенн1 даференцияльных раунанняу, як1я утрымл1ваюць выпадковы працво броунаускага руху 1 пуасонауок1 выпадковы працес.

SUMMARY Stashulenok Sergei Pavlovlch

Associated In Ito's sense the eolutlona of differential equations in the direct product of algebras of generalized random processes

Key wordes the generalized random prooess, the atoohaetlo Integral of Ito, the stochastio integral of Stratonovloh, the random prooese of Brownian motion, the Poleeon's random prooesa, the atrongly associated solution of Cauohy problem, the weakly aseoolated solution of Cauohy problem.

The atoohaetlo integrals of Ito in Brownian motion and integrals from Polsson's random prooese are approximated by elements of direot produot of algebras of generalized random prooeesea. The result of approximation depend on form of generalized random prooess.

The theorems of existense and uniqueness of solution of Oauohy problem in direot produot of algebras of generalized random ргооеввев are proved.

Associated in the Ito's вепге the solutions of differential equations, oontained the generalized random prooess of Brownian motion and the generalized PolBson'a random prooess are found in the direot produot of algebras of generalized random prooeseee,

Сташуленок Сергей Павлович

Ассоциированные а смысле Ито решения дифференциальных уравнений ь прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов

Подписано к печати 24.05.96. Фогиат 60x84 1/16. Бумага N1. Объем 1,1 п.л. Заказ NilOB. Тираж 100 екз. Отпечатано на ротапр°нте Белгосуниверситета. 220080, Минск, ул. Бобруйская, 7.