B-лиувиллевские операции и приближение функций из весовых классов

Феоктистова, Александра Александровна

B-лиувиллевские операции и приближение функций из весовых классов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Феоктистова, Александра Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «B-лиувиллевские операции и приближение функций из весовых классов»

Автореферат диссертации на тему "B-лиувиллевские операции и приближение функций из весовых классов"

На правах рукописи

005055023

Феоктистова Александра Александровна

В-ЛИУ ВИ Л Л ЕВ СКИЕ ОПЕРАЦИИ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИЗ ВЕСОВЫХ

КЛАССОВ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 5Н0Я2Ш2

Воронеж - 2012

005055023

Работа выполнена в Липецком государственном педагогическом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ляхов Лев Николаевич, Воронежский государственный университет профессор кафедры математического и прикладного анализа

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Костин Владимир Алексеевич, Воронежский государственный университет зав. кафедры математического моделирования

доктор физико-математических наук, профессор Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет

профессор кафедры высшей математики

Ведущая организация: Владимирский государственный университет

имени А.Г. и Н.Г. Столетовых

Защита состоится 20 ноября 2012 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «•/£» октября 2012.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 212.038.22 доктор физико-математических наук, профессор

Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы диссертации. Операция лиувиллевского типа /г, определяемая на основе ядра Бесселя-Макдональда, носит универсальный характер. Она осуществляет изоморфизмы функциональных классов и может служить средством для интегральных представлений функций из таких классов и является средством приближения интегрируемых функций гладкими. Такая операция изучалась многими выдающимися математиками современности, среди которых Л. Шварц (1957), А. Кальдерон (1959), С.М. Никольский, П.И. Лизоркин и др.. Операции лиувиллевского типа изучались С.М. Никольским в связи с исследованием функциональных пространств, описываемых в рамках конечных разностей. П.И. Лизоркин в своей докторской диссертации (1968) операции лиувиллевского типа применял для построения пространств дробной гладкости и исследования теорем вложения соответствующих классов функций.

Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной B-гладкости принадлежит И.А. Киприя-пову. Термин "B-производная" и связанное с ним понятие B-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом в середине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.

Исследованию проблем B-потенциалов на основе обобщенного сдвига с весовым ядром Бесселя-Макдональда, построенных по обычной схеме на основе интегрального преобразования Фурье-Бесселя, посвящен ряд работ А.Д. Га-джиева, Л.Н. Ляхова. Проблемы приближения функций из весовых классов на полупрямой изучались С.С. Платоновым.

В диссертации исследуются свойства весовых операций лиувиллевского типа, порожденных B-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимые для изучения весовых функциональных классов И.А.Киприянова и некоторых проблем теории приближения, возникающих при исследовании задач с центральной, осевой и многоосевой симметриями, которые и порождают весовые функциональные пространства типа пространств Соболева-Киприянова. Кроме того, операции В-лиувиллевского типа позволяют получить новые интегральные представления функций, которые необходимы для изучения весовых функциональных пространств.

технических разработках. В этой связи особый интерес представляет теория приближения функций из весовых функциональных пространств, установление изморфизма весовых функциональных классов, осуществляемый операциями В-лиувиллевского типа, нахождение интегральных представлений функций в виде обобщенных сверток (сверток, порожденных обобщенным сдвигом) с соответствующими В-ядрами.

Цель работы. Исследовать весовые операции лиувиллевского типа 1ЪТ, порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимыми для изучения некоторых проблем теории приближения. Изучить ряд свойств весового ядра Бесселя-Макдональда, таких как, оценки смешанных В-производных В-ядер, принадлежность В-ядра к весовому пространству С.М. Никольского #['7. Ввести аналоги ядер Валле-Пуссена-Никольского (В-ядро VPN), порожденных смешанным преобразованием Фурье-Бесселя, и установить их важнейшие свойства. Доказать теорему о приближении функций обобщенными свертками с В-ядром VPN.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы НА. Киприянова при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Получены оценки смешанных В-производных В-ядра Бесселя-Макдональда. Доказана принадлежность В-ядра Бесселя-Макдональда весовому пространству Никольского Н['7.

2. Введены В-лиувиллевские операции /7]Г, порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда. Доказана теорема об изоморфизме, осуществляемом В-лиувиллевской операцией 11<г класса функций Щ на класс функций Соболева-Киприянова В качестве следствия получено важное в теории весовых функциональных пространств интегральное представление произвольной функции из W£'r в виде В-лиувиллевской операции некоторой функции из Щ.

3. Получена теорема о наилучшем приближении В-лиувиллевской операции /7,г экспоненциальными функциями сферического типа.

4. Введены В-ядра Дирихле. На основе таких ядер построены В-ядра Валле-Пуссена-Никольского и изучены некоторые из свойств этих ядер, их обобщенные свертки с функциями из весовых лебеговских классов.

5. Доказана теорема о приближении функций из весовых лебеговских классов Ьч экспоненциальными функциями посредством соответствующей обобщенной свертки с В-ядром Валле-Пуссена-Никольского.

Практическая значимость и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструкции приближения функций из соответствующих функциональных классов. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении задач математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в школе молодых ученых Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» в 2010 — 2012 гг., в Воронежской зимней математической школе в 2011 г., в Воронежской весенней математическое школе в 2011 г., в Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» в г. Ростов-на-Дону в 2011 — 2012 гг., на Международной конференции, посвященной 110-ой годовщине И.Г. Петровского в г. Москва в 2011 г., на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» в г. Белгород в 2011 г., на научной конференции «Герценовские чтения» в г. С.-Петербурге в 2012 г., на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале в 2012 г.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] — [15]. Работы [2], [7], [10]. [15] написаны совместно с Л.Н.Ляховым, которому принадлежит постановка задач. Доказательства всех результатов получены автором. Работы [10], [14] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы, включающего 54 наименования. Общий объем диссертации 130 стр.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

В главе 1 приводятся известные факты весового гармонического анализа, используемые далее в диссертации. В начале этой главы вводятся основные понятия и обозначения, необходимые в данной работе.

Мы будем рассматривать функции, определенные в области

х',х"), х'=(хг,...,хп), х"=(хп+и...,хн), ^>0, ...,хп>0}.

При этом число п предполагается фиксированным, 1 < п < N (случай п = О отвечает классической теории). Через (С R^) будем обозначать область, прилегающую к каждой из гиперплоскостей = 0,..., хп = 0. Граница области состоит из двух частей: Г+, расположенной п FCN, и Г0, принадлежащей гиперплоскостям х\ — 0,..., хп = 0.

Пусть а = (с/, а") - мультииндекс с неотрицательными целыми компонентами, а' = («!, а2,..., а„), а" = (a„+i, ... , aN). Положим

где BXi = ВХиЪ - оператор Бесселя, отвечающий положительному индексу

Vx„J{X,X ) - ——, ихп+1 ■■■XN

где |а"| = ап+1 + ... + aN.

Функцию вида Bx,D%",f(x', х") мы будем называть смешанной В-производной от функции f(x', х") порядка t = 2|cv'| + |a"|. Смешанный обобщенный сдвиг имеет вид

¿=1

где каждый из одномерных обобщенных сдвигов Tf. определен по формуле 7|< : / -»■ (7%f)(x) = Г(Р+1) -

X J f (х 1, • • •, Щ-U \] х} + у.? - 2xiVi cos a, xi+i,..., xN^ sin 2pada,

i = 1,... ,n,

, n

а многомерный обобщенный сдвиг = П Т|* понимается как суперпозиция

к=1

одномерных обобщенных сдвигов.

Нецентпрированная обобщенной конечная разность, построена на основе смешанного обобщенного сдвига следующим образом

■ s

= £(-i)fc cks (:Tkhf) (х), (1.1.12)

к=0

где С{ — обычные биномиальные коэффициенты.

Прямое и обратное смешанные преобразования Фурье-Бесселя определяются соответственно формулами

Ъ[<рШ) = [ e~i{x"«"> (х'У dx,

Jn* ti c 6

(2тт)^-"22ИПГ2К + 1)

к=1

FBm-x),

где к= 1, ...,п, jn{xk)=2 JVk(xk) — нормированная функция

хк

Бесселя первого рода порядка щ, {х", £")= Ylj=n+1

Глава 2 посвящена аппроксимации целыми весовыми функциями экспоненциального типа. Здесь обобщены известные результаты приближения функций из весовых функциональных классов на полупрямой.

Определение 2.1.1 Будем говорить, что функция / принадлежит пространству Соболева-Киприянова Wесли f £ Щ и (BD)if G Z^, |j| = l,...,r.

Лемма 2.1.1 Пусть —- смешанная о.к.разность (1.1.12) порядка s с векторным шагом h € R^ и пусть f(x) € Wp'y(Rti), l<p<ooul = (/', Г), \l\ = 2\l'\ + \l"\=r us>r- 2. Тогда

\Ш\\ьЖ„) ^ £ UBD)'f\\Lm. (2.1.1)

|/|=г

Если f(x) e S'ev(R%) и supp f{x) С \хг\<щ,, i=l,...,N}, то-

гда для любой бесконечно дифференцируемой функции <fi(x) с компактным носителем из множества = {xeR%, |а;;| > щ, г = 1,... ,N} верно равенство (/, = 0.

Лемма 2.1.2 Пусть f{x) € д(х) 6 LJ(R+), 1 < р < оо и

supp FB[f] С □ „, тогда (/ * #)7 € ЗЛ^ДЯ^).

Модуль непрерывности, порожденный шешанным обобщенным сдвигом (1.1.12) далее, сокращая запись, будем называть 7-модулем непрерывности.

Определение 2.2.1 Пусть к — натуральное число, 1 < р < сю. 77о огаре-делению, 7-модулем непрерывности функции f 6 LJ(R^) будем называть

^7(/,5) = sUP|Kd(V)(x)|Uz, (2.2.1)

|t|<i

где (□£,,/) (х) — смешанная о.к.разность (1.1.12) порядка к с шагом th, h £ . |/i|=l и t — действительное число. Следует отметить очень важное свойства 7-модуля.

Лемма 2.2.1 Если f{x) 6 тогда при любол1 к>г-2иг =

2|а'| + |а"| имеем оценку

а£7(/,5)ц < cF J2 IKBDTfh;, & = (2а', а")

|а|=г

где с = с(к, г, 7) - постоянная.

Наилучшим приближение функции / € целыми экспоненциальными функциями типа v будем называеть величину

ВД)= inf \\f-gv\\Li.

Получена прямая теорема об аппроксимации функций из весовых функциональных классов Соболева.

Теорема 2.3.1 Пусть f(x) € W^(R^), 1 < р < оо, тогда справедливо неравенство

Е \\(вг>)аяц-

2\а'\+\а"\=г

Глава 3 посвящена B-ядрам Бесселя-Макдональда и операции В-лиувиллевского типа. Получены оценки смешанных B-производных В-ядра Бесселя-Макдональда.

Определение 3.1.1 B-ядром Бесселя-Макдональда называется функция

G;(x) = F? [(1 + |C|2)-i] , £ е R+ = л: х RN_„. (3.1.1)

Теорема 3.2.1 Пусть 1 = (21и ..., 21п, 1п+1,..., lN), |Г| = 2|/'| + \Г'\. Для смешанных B-производных от функции G^(x) порядка I имеют место следующие оценки:

a) если |гг| < 1, 0 < г < N+ |7| + |i| или г = N+ |-у-1 + |/| и |[| — нечетное,

то

(BD)lGy{x) = 0(|х|г"л'-М-1'1), (3.2.1)

когда г = TV + I7I + |'| и |i| — четное, то

(.BD)lGr(x) = О (in щ + l) , (3.2.2)

а при г > N + | —у| 4- |i|

(BD)'G;(x) = 0(1); (3.2.3)

b) если > 1, то

(BD)lG^(x) = О (lil'^T^e-W) . (3.2.4)

В работе используются пространства типа пространств Никольского, построенные с использованием смешанного 7-модуля непрерывности, основанного на смешанных обобщенных конечных разностях.

Определение 3.3.1 Пусть г > 0 — действительное число, к — неотрицательное целое число и I — мультииндекс, состоящий из целых неотрицательных чисел I = {l',l") — (hi ■ ■ •) 'm ln+i, ■ ■ •, In), удовлетворяющих

условию 2к > г - (2\1'\ + |Г|) > 0. Через Щ-? обозначим множество всех функций / е Ь^ таких, что (В£>)'/ е Ь'*, и для некоторого числа А/ > 0 справедливо неравенство

и£7((Я£>)'/, ¿) < Л/^-^'НН «5 > 0.

Для / е определим полунорму /£7(/) = эир и норму

¿>0

11/11я;'7 = ||/||^ + Лр'7(/)- Класс функций Н1^ с введенной нормой будем называть весовым пространством Никольского. Будем использовать центрированные о.к.разности

ВЫ*) = £("1)*(т{{~кК) (*)• (3.3.1)

к=0

Теорема 3.3.2 Пусть г > 0, I] - неотрицательное целое число и 0 < í < оо. Тогда для В-производной порядка Ц (] = 1,...,гс) В-ядра Весселя-Макдоналъда при г = 21^ + а и а £ (0; 2] имеет место оценка

Л = I \в1м1>.с;(х)\ (х')Чх < АЖ, (3.3.2)

а для производной порядка (г = п + 1,..., ЛГ) при г = /,4-аиаб(0;1] —

Л = / (х')Чх < аж, (з.з.з)

ЯЙ

А'Г и А" — константы зависящие от г.

Учитывая, что при г > 0 бГ^х) в и оценки (3.3.2), (3.3.3), со-

гласно определению весового пространства Никольского, получаем СГДж) е Кроме того, имеет место равенство ||С^(х)||ягл(Л+) = ||С7||£7(л+) + Аг, где Аг — наименьшая постоянная, при которой выполняются неравенства (3.3.2), (3.3.3).

Определение 3.4.7 Операцией В-лиувиллевского типа 1у г будем называть следующую конструкцию

= (3.4.1)

Имеет место утверждение, что операция В-лиувиллевского типа сводится к обобщенной свертке с В-ядром Бесселя-Макдональда.

Лемма 3.4.3 Для функций / £ операция 1УуГ при г > 0 сводится

к обобщенной свертке

= /7,г/(х) = (с; *1\{х) = I №Т*СГу(х)(еу<Ц, (3.4.3)

с В-ядром Бесселя-Макдональда = Р^1 [(1 + .

Определение 3.5.1 Пусть ¡1 — Рв -мультипликатор, / 6 (1 <

р < оо) и /; —• последовательность бесконечно дифференцируелшх финитных функций, четных по каждой из переменных х' = (х\, ... ,хп), таких, что ||/; — /\\ц —> 0 при I —» оо. Обобщенной сверткой (вообще в смысле распределений) этих функций будем называть функцию

ф = № * /)7 = ,11т ФЬЛ] = /]• (3-5.3)

Произведение р. / определяется посредством равенства

/1/ = ЫФ] = *в[(Д */)7]. (3-5.4)

Определение 3.5.2 Функция / £ 3'ех1{Щт) называется регулярной в смысле Ь^(Н^), если для некоторого р о > 0 имеет мест,о равенство

/7Л/ = (3.5.Ю)

Лемма 3.5.2 Пусть р. — РВ-мультипликатор в Ь^(Я^) и / — регулярная 6 смысле Ь7 функция, для которой выполняется равенство (3.5.10) для некоторого р > 0. Тогда для р > Ро справедливо равенство (Д * /)7 =

/7 (Д * /7>р/)7 -

Данная лемма дает основание ввести расширенное определение свертки.

Определение 3.5.3 Пусть /хеЬ^(Л^), р=Р^1[р\ и ц— Рв-мультипликатор. Для регулярной в смысле весового распределения / £ при р > Ро положим

(Д * /)7 = /7,_р (Д * /7^/)7 . (3.5.11)

Причем это определение не зависит от р > ро-

Теорема 3.5.1 Пусть цеЬКЩг), р=Рд1[р] и ц— Рв-мультипликатор. Для регулярной в смысле Ь^(К^) весовой обобщенной функции при

любых значениях р' имеет место равенство

(3-5.12)

Имеют место следующие утверждения о РВ-мультипликаторе, равном единице на области в К^.

Лемма 3.6.1 Пусть ц — Рв-мультипликатор в П^ (1 < р < оо, ДбЬ^Ддг)), равный единице на э-открытом множестве Г2+иГо С Р1%. И пусть / £ или / регулярная в смысле К*, функция. Тогда на обла-

сти П+иГо имеет место следующее равенство

Рв [(Д * Я71 = иЫП = РвЦ\, х е и г0. (3.6.1) 1 1 ю

Лемма 3.6.2 Пусть ц = цт — РВ-мультипликатор, равный единице на з-кубе ат = {хе Я+, \х{\ < т,г = 1,..., Щ, т' < т и шт. € ОТ7 -

функция экспоненциального типа т! и шт' е Ь^(Я^). Тогда имеет место равенство

(Д * ит>)7 = ^в1 [V = шт.. (3.6.9)

Имеет место следующая теорема об изоморфизме, осуществляемом В-лиувиллевской операцией /7[Г, весовых лебеговских классов на классы Соболева-Кипрнянова И/г7,г.

Теорема 3.7.3 Операция /7:Г при натуральном г осуществляет изоморфизм пространств и И

1ъг{ь;)=\¥;>1 (1 < Р < оо, и^7 = ь; = и^7).

Важно отметить то, что пространство И^'7 состоит из тех и только тех функций, которые представляются как результат В-лиувиллевской операции над функциями из Ь7.

Кроме того, получено интегральное представление функций из М^'7.

Теорема 3.7.4 Для любой функции / е И^'7 найдется такая функция ф € £7, что

/=У Т*С1{у)ф{ у) (у'Уйу. К

Получена оценка наилучшего приближения операции В-лиувиллевского типа /7,г/ экспоненциальными функциями сферического типа.

Теорема 3.8.1 Пусть / 6 Ь7. Тогда для операции В-лиувилъевского типа /7)Г/ выполняется неравенство

^(¿г,гЛщн},) ^ ^ЕЛЛц(я%у (3-8.2)

Глава 4 посвящена приближению функций их обобщенными свертками с В-ядрами Валле-Пуссена-Никольского.

Введем В-ядро Дирихле

п П .

Теорема 4.1.4 Преобразование Фуръе-Бесселя в 11+ функции В7,л(^) находится по формуле

^р07,д](0 = 2м-"ПГ(2гу^) (1)Ал(0, (4.1.12)

3=1 ^ '

где (1)дл — характеристическая функция прямоугольника в Я,+ со сторонами 0 < < ] — 1, ... , п . Введем В-ядро

Пд,

= j^f / П ¡¿Т Л' dX ' Пм = {A G Д+ М < А, < 2М}.

П м j=1 i

(4.1.13)

Функцию V7inM(i) будем называть В-ядром Валле-Пуссена-Никольского (сокращенно В-ядро VPN).

Теорема 4.1.5 Преобразование Фурье-Бесселя В-ядра VPN V7in,f (t), определенного формулой (4-1.13), удовлетворяет неравенству

где константа А не зависит от М.

Кроме того, справелива следующая формула

FB [V7,n J (О = П 27Т2 „(6),

где

т =

' 27i+1 - 1 , О < £ < М,

^'""-(ттГ . М<&<2М, (4.1.16)

О , £ > 2М.

Полученные выше утверждения касаются только преобразования (многог-мерного) Фурье-Бесселя. Используя результат С.М. Никольского для преобразования Фурье ядра

"«w-jp/il^.

«г i=n+1 J

где А € Од/ = {А € Длг-п, М < А; < 2а; j = п + 1,..., Л''} , сформулируем утверждение для смешанного преобразования Фурье-Бесселя. Функцию Уд/(ж) будем называть ядром Валле-Пуссена-Никольского. Его преобразование Фурье определяется равенством

ПУм]{х) = Ум(х) = Д II"(хг), 12 ,="+1

где

' 1. N| < м,

= 1 Jf(2M ~ М < W ^ 2М- (41Л7)

О, \Xi\ > 2М.

Тогда для смешанного преобразования Фурье-Бесселя смешанного В-ядра VPN

справедлива формула

i= 1 ^ ' j=n+1

где ц' и д" определены соотвественно равенствами (4.1.1G) и (4.1.17). Рассмотрим нормированное В-ядро VPN

(2""Г2 (2i±l) [271+1 _ in-1 г п w(t) = ±-1 -У П^т J^jt3)X>d\, (4.2.1)

Плг = {А € Я+, М <Xi< 2М}.

Отмстим важное свойство В-ядра VPN QJ7,nM(t).

Теорема 4.2.1 В-ядро VPN Ш7,пл/ (t) (4-2.1) является усредняющим:

fw7flu(t) Pdt= 1, (4.2.2)

(4.2.3)

Теорема 4.2.2 Пусть

cr7Mf, х) = * /)7 = J n„ Ш(у)у^у (4.2.4)

— обобщенная свертка функции f с В-ядром VPN. Если / 6 то съм{!,х) е Щ.

Теорема 4.2.3 Для любой весовой экспоненциальной функции м 6 9Яд/р порядка М имеет место тождество о-ъм(соъм,х) = шъМ(х).

Теорема 4.2.4 Если f € L7 и € — целая функция экспонен-

циального типа М. Имеет место неравенство

IKA/(/,z) - (1 + A)EM(f)Li, (4.2.5)

где Л = / |«07,о„(®)|я7Л«г, Ем(/)1г = ||/ -

Важно отметить, что все вышеуказанные утверждения имеют место и для смешанных В-ядер Валле-Пуссена-Никольского, построенных для функций, определенных в части евклидова пространства К^ = Н+ х Ддг-П по формуле

W7flu{x) = C(Nn) /Й-^+Г j'^(^i) П

ri7. ¡=1 Xi 2 j=n+

sinQjXj)

fÎM ' j=n+l

П^г^)^-!])"1 где C(N, 7) = -jpf+R-.

Публикации автора по теме диссертации

1. Феоктистова A.A. О некоторых свойствах весовых лиувиллевских классов / A.A. Феоктистова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы — 2011. — Тезисы докладов. — Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. — С. 334 — 336.

2. Феоктистова A.A. О слабой непрерывности ^-преобразования по части переменных в пространстве основных функций / JI.H. Ляхов, A.A. Феоктистова // Математические модели и операторные уравнения. Сборник научных статей под редакцией В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. Том 7. Воронеж: ВорГУ, 2011. - С. 155 - 159.

3. Феоктистова A.A. Теорема о смешанных В-производных / A.A. Феоктистова //' Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания: материалы областной научно-практической конференции. — Липецк: ЛИРО, 2011. - С. 196 - 199.

4. Феоктистова A.A. Об одной оценке наилучшего приближения операции лиувиллевского типа / A.A. Феоктистова // Школа молодых ученых по техническим наукам: материалы областного профильного семинара. — Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2011. - С. 124 - 126.

5. Феоктистова A.A. О слабой непрерывности смешанного преобразования

Фурье-Бесселя / A.A. Феоктистова // Южный федеральный универси-

тет. Сборник тезисов международного семинара «Современные методы и проблемы теории операторов». — Ростов-на-Дону, 2011. — С. 16 — 17.

6. Феоктистова A.A. О смешанных B-производных функций класса Лиувилля-Киприянова / A.A. Феоктистова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XXII». — Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. - С. 194 - 195.

7. Феоктистова A.A. Классы функций Лиувилля-Киприянова / Л.Н. Ляхов, A.A. Феоктистова // Международная конференция, посвященная 110-ой годовщине И.Г. Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов. — М.: Изд-во МГУ и ООО «ИНТУИТ.РУ», 2011. - С. 263 - 264.

8. Феоктистова A.A. О некоторых свойствах FB-мультипликатора / A.A. Феоктистова // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания. — Липецк: ЛГПУ, 2011. — С. 186 — 189.

9. Феоктистова A.A. Обобщенная свертка и операция В-лиувиллевского типа / A.A. Феоктистова //' Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17 -- 21 октября 2011). — Белгород: ИПК НИУ «БелГУ», 2011. - С. 121 - 122.

10. Феоктистова A.A. Оценки смешанных B-производных весового ядра Бесселя-Макдональда. / Л.Н. Ляхов, A.A. Феоктистова // Научные ведомости Белгородского государственного университета, № 23 (118) 2011, выпуск 25. — С. 76 - 83.

11. Феоктистова A.A. Мультипликатор Фурье-Бесселя, равный единице на области с краем / A.A. Феоктистова // Международная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения"посвященная памяти доктора физико-математических наук, профессора Н.К.Карапетянца. Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону. 2012. - С.40.

12. Феоктистова A.A. Поточечные оценки смешанных B-производных весового ядра Бесселя-Макдональда / A.A. Феоктистова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения — 2012. Материалы научной конференции, 16 - 21 апреля 2012 г. - СПб.: БАН, 2012. - С. 149 - 155.

13. Феоктистова A.A. Некоторые свойства весовых ядер Бесселя-

Макдональда / A.A. Феоктистова // Актуальные проблемы есте-

ственных наук и их преподавания: материалы областной научной конференци. - Липецк: ЛГПУ, 2012. - С. 241 - 246.

14. Феоктистова A.A. Операция В-лиувиллевского типа / A.A. Феоктистова // Научные ведомости Белгородского государственного университета, № 5 (124) 2012, выпуск 26. - С. 249 - 254.

15. Феоктистова A.A. B-ядра Валле-Пуссена и проблемы приближения функций из весовых классов / Л.Н. Ляхов, A.A. Феоктистова // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. — Тезисы докладов. — Суздаль: Математический институт имени В.А. Стеклова РАН, Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова. - 2012. — С. 111 - 112.

Работы [10], [14] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 10.10.12. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 9?Г.

Отпечатано с готового оригинал-макета в РИЦ ФГБОУ ВПО «ЛГПУ» 398020, Липецк, ул. Ленина, 42

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Феоктистова, Александра Александровна

Введение

1 Некоторые факты весового гармонического анализа

1.1 Обозначения и основные понятия

1.1.1 Классы функций

1.1.2 Сингулярное уравнение Бесселя, ^функции Бесселя

1.1.3 Оператор Пуассона, обобщенные сдвиги и свертки

1.1.4 Конечные разности порожденные обобщенным сдвигом. Связь с конечной разностью радиальной функции. Модуль гладкости весовых лебеговских классов функций.

1.1.5 Интегральное преобразование Фурье-Бесселя

1.2 Теоремы типа Пэли-Винера, Ахиезера и Киприянова-Куликова о носителе экспоненциальной функции.

1.3 .Рв -мультипликаторы

2 Теорема об аппроксимации целыми весовыми функциями экспоненциального типа

2.1 Ограниченность смешанной о.к.разности в весовых функциональных классах.

2.2 О модуле непрерывности, порожденном смешанным обобщенным сдвигом.

2.3 Приближение весовыми экспоненциальными функциями

3 В-ядра Бесселя-Макдональда и операции В-лиувиллевского типа

3.1 В-Ядро Бесселя-Макдональда и его свойства.

3.2 Оценки смешанных В-производных В-ядра Бесселя-Макдональда

3.3 Принадлежность В-ядра Бесселя-Макдональда весовому пространству С.М. Никольского Н['7.

3.4 Операция /7)Г лиувиллевского типа, порожденная смешанным преобразованием Фурье-Бесселя.

3.4.1 Последовательности в 8еу и

3.4.2 Операции В-лиувиллевского типа /7)Г.

3.4.3 Представление операции /7)Г в виде обобщенной свертки с В-ядром Бесселя-Макдональда.

3.5 Расширение понятий обобщенной свертки и Ев -мультипликатора

3.5.1 О расширении понятия обобщенной свертки

3.5.2 Ев -мультипликаторы в «?'е1).

3.5.3 Обобщенная свертка Ев -мультипликатора с регулярной в смысле Щ -функцией.

3.6 ГВ-мультипликатор, равный единице на области в К^ •

3.7 Изоморфизм классов Соболева-Киприянова

3.8 Оценка наилучшего приближения операции лиувиллевского типа /7)Г/.

3.8.1 Экспоненциальные функции сферического типа у

3.8.2 Приближение В-лиувиллевских операций экспоненциальными функциями сферического типа у

4 Приближение функций их обобщенными свертками с Вядрами Валле-Пуссена-Никольского

4.1 В-ядра Балле-Пуссена.

4.1.1 В-ядро Дирихле В7|Л(*) - Щ=1 ^ъЛ

4.1.2 В-ядра Валле-Пуссена-Никольского на основе Вядра Дирихле Р7)д.

4.2 Приближение функций посредством обобщенной свертки с В-ядром VPN

4.2.1 Обобщенные свертки с В-ядром Валле-Пуссена-Никольского

4.2.2 Приближение функций с помощью В-ядер VPN

Введение диссертация по математике, на тему "B-лиувиллевские операции и приближение функций из весовых классов"

Актуальность темы диссертации. Операция лиувиллевского типа 1Г , определяемая на основе ядра Бесселя-Макдональда, носит универсальный характер. Она осуществляет изоморфизмы функциональных классов и может служить средством для интегральных представлений функций из таких классов и является средством приближения интегрируемых функций гладкими. Такая операция изучалась многими выдающимися математиками современности, среди которых Л. Шварц (195Т), А. Кальдерон (1959), С.М. Никольский, П.И. Лизоркин и др. Операции лиувиллевского типа изучались С.М. Никольским в связи с исследованием функциональных пространств, описываемых в рамках конечных разностей. П.И. Лизоркин в своей докторской диссертации (1968) операции лиувиллевского типа применял для построения пространств дробной гладкости и исследования теорем вложения соответствующих классов функций.

Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И.А. Киприянову. Термин "В-производная" и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом в середине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.

Исследованию проблем В-потенциалов на основе обобщенного сдвига с весовым ядром Бесселя-Макдональда, построенных по обычной схеме на основе интегрального преобразования Фурье-Бесселя, посвящен ряд работ А.Д. Гаджиева, Л.Н. Ляхова. Проблемы приближения функций из весовых классов на полупрямой изучались С.С. Платоновым.

В диссертации исследуются свойства весовых операций ли-увиллевского типа, порожденных В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимые для изучения весовых функциональных классов И.А.Киприянова и некоторых проблем теории приближения, возникающих при исследовании задач с центральной, осевой и многоосевой симметриями, которые и порождают весовые функциональные пространства типа пространств Соболева-Киприянова. Кроме того, операции В-лиувиллевского типа позволяют получить новые интегральные представления функций, которые необходимы для изучения весовых функциональных пространств.

Тема исследований диссертации актуальна в связи со значимостью в естествознании задач с симметриями, возникающих во многих разделах фундаментальной физики, компьютерной томографии, теории оболочек и многих технических разработках. В этой связи особый интерес представляет теория приближения функций из весовых функциональных пространств, установление изморфизма весовых функциональных классов, осуществляемый операциями В-лиувиллевского типа, нахождение интегральных представлений функций в виде обобщенных сверток (сверток, порожденных обобщенным сдвигом) с соответствующими В-ядрами.

Цель работы. Исследовать весовые операции лиувиллевского типа /7]Г , порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимыми для изучения некоторых проблем теории приближения. Изучить ряд свойств весового ядра Бесселя-Макдональда, таких как, оценки смешанных В-производных В-ядер, принадлежность В-ядра к весовому пространству С.М. Никольского . Ввести аналоги ядер Валле-Пуссена-Никольского (В-ядро VPN), порожденных смешанным преобразованием Фурье-Бесселя, и установить их важнейшие свойства. Доказать теорему о приближении функций обобщенными свертками с В-ядром VPN.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А. Киприянова при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Получены оценки смешанных В-производных В-ядра Бесселя-Макдональда. Доказана принадлежность В-ядра Бесселя-Макдональда весовому пространству Никольского ii['7 .

2. Введены В-лиувиллевские операции /7;Г , порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда. Доказана теорема об изоморфизме, осуществляемом В-лиувиллевской операцией 11}Т класса функций Щ на класс функций Соболева-Киприянова . В качестве следствия получено важное в теории весовых функциональных пространств интегральное представление произвольной функции из WJ'r в виде В-лиувиллевской операции некоторой функции из L^ .

3. Получена теорема о наилучшем приближении В-лиувиллевской операции /7)Г экспоненциальными функциями сферического типа.

4. Введены В-ядра Дирихле. На основе таких ядер построены В-ядра Валле-Пуссепа-Никольского и изучены некоторые из свойств этих ядер, их обобщенные свертки с функциями из весовых лебеговских классов.

5. Доказана теорема о приближении функций из весовых лебеговских классов 1Л экспоненциальными функциями посредством соответствующей обобщенной свертки с В-ядром Валле-Пуссена-Никольского.

Практическая значимость и теоретическая значимость.

Работа носит теоретический характер и дает конструкции приближения функций из соответствующих функциональных классов. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении задач математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Феоктистова, Александра Александровна, Воронеж

1. Ахиезер Н.И. К теории спаренных интегральных уравнений // Ученые записки Харьковского гос. ун-та. — 1957. — Т.80. — С. 5 — 21.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. — М.: Наука, Физматлит, 1966. 296 с.

3. Бремерман Г.Б. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье.— М.: Мир, 1968. — 276 с.

4. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон; перевод со второго англ. изд. B.C. Бермана. — М.: ИЛ, 1947. — 780 с.

5. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964. - 224 с.

6. Гаджиев А.Д., Алиев И.А. Потенциалы Рисса и Бесселя, порожденные обобщенным сдвигом // Докл. расширенного семинара им. Векуа. — Тбилиси, 1988. — Т.З. — С.21-24.

7. Гоц Е.Г., Ляхов Л.H. Обобщенные разности и общие В-сингулярные интегралы // ДАН. 2005. - Т. 405, №4. - С. 444 - 447.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М: ГИФМЛ, 1965. — 1100 с.

9. Delsarte J. Sur unt extension de la formule de taylor // Journal pures et appl. 1938. - T.17. - C.213 - 130.

10. Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя // Матем. сб.- 1955.- Т.36(78), №2. С. 299 - 310.

11. Катрахов В.И., Ляхов Л.Н. Полное преобразование Фурье-Бесселя и алгебра сингулярных псевдодифференциальных операторов // Дифференц. уравнен. 2011. - Т. 47, №5. — С. 681 - 685.

12. Киприянов И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов // Тр.МИРАН.— 1967.- Т.89. С. 130 -213.

13. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. — М.: Наука, 1997. 199 с.

14. Киприянов И.А., Ключанцев М.И. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига.П // Сиб.мат.журн. — 1970.- Т.11, №5. С.1060 - 1082.

15. Киприянов И.А., Куликов А.А. Теорема Пэли-Винера-Шварца для преобразования Фурье-Бесселя // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 298, №1. С. 21 - 25.

16. Киприянов И.А., Ляхов Л.Н. Об одном классе псевдодифференциальных операторов // ДАН. 1974. - Т. 218, №2. - С. 278 -280.

17. Киприянов И.А., Ляхов JI.H. О мультипликаторах смешанного преобразования Фурье-Бесселя // ДАН. —1997. — Т. 354, №4. — С. 449 -451.

18. Куликов A.A. Фундаментальные решения и гипоэллиптичность дифференциальных уравнений, содержащих оператор Бесселя. — Воронеж, ВГУ. — 2008. — 116 с.

19. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя // УМН.- 1951.- Т.6, №2.- С.102 143.

20. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства Ьр{Еп) . Теоремы вложения // Мат.сб.— 1963.- Т.60, №3.- С. 325 353.

21. Лизоркин П.И. Пространства LTV . Теоремы продолжения и вложения // ДАН. 1965. - Т. 145. - С. 527 - 530.

22. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложения классов дифференцируемых функций // Тр. МИ АН. 1969.- Т.105. - С. 89 - 167.

23. Лизоркин П.И. Описание пространства Lrp{Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов // Мат.сб. — 1970. — Т.81, №1. С.79 - 91.

24. Лизоркин П.И. Операторы, связанные с дробным дифференцированием и классы дифференцируемых функций // Тр.МИАН.— 1972. Т.117. - С. 212 - 243.

25. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов // ДАН.- 1990. Т.315, т.- С. 291 - 296.

26. Ляхов Л.Н. Пространство B-потенциалов Рисса // ДАН. — 1994.— Т.334, №3.- С. 278 280.

27. Ляхов Л.Н. Мультипликаторы смешанного преобразования Фурье-Бесселя // Тр. МИРАН. 1996. - Т. 214. - С. 234 - 249.

28. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потпциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом.— Воронеж: ВГТА, 1997.— 144 с.

29. Ляхов Л. Н. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с В-потенциальными ядрами. — Липецк: ЛГПУ, 2007.- 232 с.

30. Ляхов Л.Н. Описание пространств В-потенциалов Бесселя В-гиперсингулярными интегралами / / Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Тез. докл. на-учн.конф.,Новосибирск, 1-5 июня 1992 г. ИМ СО РАН. — Новосибирск, 1992.— С. 202 203.

31. Ляхов Л.Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя // ДАН. —1998.- Т. 360, №1. С. 16 - 19.

32. Ляхов Л.Н. О радиальных функциях и классических стационарных уравнениях в евклидовом пространстве дробной размерности //Материалы 6-ой международной конференции АМАБЕ-2011. — Минск, издательский центр БГУ, 2012. — С. 115 — 126.

33. Ляхов Л.Н., Иголкина Л.М. О конечных разностях и модулях непрерывности сферически симметричных функций. // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавание. Школа молодых ученых Липецкой области. — Липецк: ЛГПУ, 2008. — С. 192- 203.

34. Ляхов Л.Н., Половинкина М.В. Пространства весовых Бесселевых потенциалов. //Труды математического института им. Стеклова. (тр. МИАН). 2005. - Т.250. - С. 192 - 197.

35. Ляхов Л.H., Санина Е.Л. Многочлены Шлемильха, интерполяционная формула Рисса для B-производной и неравенств Берштейна для дробных B-производных Вейля-Маршо // Доклады Академии Наук. 2007. - Т. 417, №5. - С. 1 - 5.

36. Московский A.B. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 < Р < 2 , на полупрямой // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докл. 9-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1997.

37. Михлин С.Г. О мультипликаторах рядов Фурье // ДАН СССР. — 1956. Т. 109. - С. 701 - 703.

38. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные уравнения и интегральные уравнения. — М.: Физматгииз, 1962. — 258 с.

39. Никольский С.М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука. — 1977. — 456 с.

40. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. матем. —2007. — Т. 71, №5. С. 149 -Ц 196.

41. Платонов С.С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближения функций на полупрямой. // СМЖ. — 2009. Т.50, №1. - С. 154 - 174.

42. Платонов С.С. Об одной теореме Пэли-Винера-Ахиезера // Труды Петрозаводского государственного университета. Серия "Математика". Выпуск 5, 1998. - С. 131 -139.

43. Половинкина М.В. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к олписанию весовых функциональных классов дробной гладкости. Диссернт. на соискание . кандидата ф.-м.наук. // Воронеж: ВГУ, 2009. 133 с.

44. Самко С.Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы; их символы и обращение // Тр.МИАН.— 1980.— Т.156 С.157 - 222.

45. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. — Ростов н/д: Изд-во Рост.ун-та. — 1984.— 208 с.

46. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения — Минск: Наука и техника. — 1987.— 688 с.

47. Санина E.JI. Дробные B-производные Вейля j-бесселевых разложений и неравенство Бернштейна для B-производных от четных многочленов Шлемильха. Диссернт. на соискание . кандидата ф.-м.наук. // Воронеж: ВГУ. — 2008. — 118 с.

48. Стейн Н., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых многообразиях. — М.: Мир. — 1974. — 331 с.

49. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: "Наука главная редакция физико-математической литературы. — 1980. — 464 с.

50. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: Иностранная литература. — 1948. — 456 с.

51. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир. — 1965. — 380 с.

52. Хермандер Л. Оценки для операторов инвариантных относительно сдвига / пер. с англ. Б.П. Панеяха. — М.: ИЛ. — 1962. — 71 с.

53. Шварц Л. Theorie des distributions, I-II. — Paris. — 1950-1951.