Бесконечно малые изгибания поверхностей с особыми точками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1 Предварительные результаты.

1. Поверхности класса С2 с коническими точками.

1.1. Обобщенный внешний дифференциал.

1.2. Уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци для регулярной поверхности класса С2.

1.3. Определение конической точки.

2. Бесконечно малые изгибания регулярных поверхностей.

2.1. Изгибающее поле Ц0)'Щ'^.авдё^ий.

2.2. Бесконечно малые йзси^ашга,плоских областей.

2.3. Пример гладкого нетривиального изгибающего поля на гладкой поверхности с особой точкой.

Глава 2 Вспомогательные предложения.

1. Специальная параметризация поверхности в окрестности конической точки.

1.1. Ортогональное проектирование поверхности на касательный конус.

1.2. Аналог явного задания поверхности в окрестности конической точки.

2. Поведение поля вращений вблизи особых точек.

2.1. Поведение поля вращений в окрестности конической точки.

2.2. Одно интегральное свойство поля вращений в окрестности конической точки.

2.3. Поведение поля вращений на регулярных участках ребер.

2.4. Поле вращений в вершине.

Глава 3 Жесткие склеенные поверхности.

1. Вывод интегральных формул.

1.1. Интегральные формулы для регулярных поверхностей класса С2.

1.2. Интегральные формулы для замкнутых склеенных поверхностей.

2. Жесткость овалоида.

2.1. Формулировка результата.

2.2. Доказательство теорем 3.2.1 и 3.2.2.

3. Жесткость кусочно выпуклых поверхностей типа тора.

3.1. Построение кусочно выпуклой поверхности рода 1.

3.2. Жесткость кусочно выпуклой поверхности рода 1.

Глава 4 Бесконечно малые изгибания многомерного конуса.

1. Регулярные многомерные поверхности в евклидовом пространстве.

1.1. Сведения из теории fc-мерных поверхностей в п-мерном евклидовом пространстве.

1.2. Бесконечно малые изгибания многомерных регулярных поверхностей.

2. Признак жесткости многомерного конуса.

2.1. Построение многомерного конуса.

2.2. Признак жесткости многомерного конуса.

Основные результаты классической теории бесконечно малых изгибаний поверхностей получены для регулярных достаточно гладких поверхностей (подробный обзор этих результатов изложен в [11, 12]). Исследование бесконечно малых изгибаний поверхностей с особыми точками представляет одну из довольно трудных задач, так как для таких поверхностей классические методы, как правило, неприменимы. Поэтому, если не считать многогранников, то в этом направлении имеются лишь отдельные результаты.

С. Э. Кон-Фоссеном [14] исследованы бесконечно малые изгибания ребристых поверхностей вращения с коническими точками. Б. В. Боярским и И. Н. Векуа [6] доказана жесткость овалоида, склеенного из конечного числа кусков поверхностей класса С3. Б. В. Боярским и Н. В. Ефимовым [7] доказан принцип максимума для склеенной выпуклой поверхности и на его основе получено новое доказательство теоремы о жесткости склеенного овалоида с понижением требований гладкости до С2. Б. В. Боярским [5], с использованием интегральной формулы из [6] доказана жесткость замкнутой кусочно выпуклой (но не выпуклой в целом) поверхности, склеенной из конечного числа кусков выпуклых поверхностей класса С3 при условии ее звездности и малости имеющихся на ней "прогибов". JI. Г. Михайловым и 3. Д. Усма-новым [27, 28] исследованы бесконечно малые изгибания поверхностей вращения с коническими точками при некоторых краевых условиях. Ряд признаков жесткости кусочно выпуклых поверхностей, склеенных из конечного числа кусков поверхностей класса С3, получен в работах П. Е. Маркова и В. Т. Фоменко [15, 32, 34, 35].

В работах [5, 6, 7, 15, 34, 35] не исключалось наличие на рассматриваемых поверхностях вершин (точек пересечения нескольких линий склеивания). В работе [6] допускалось также наличие конических точек при условии, что в окрестности каждой конической точки поверх

Введение ность является прямым конусом. При этом же условии бесконечно малые изгибания кусочно выпуклых поверхностей с коническими точками рассмотрены в работе [33]. Требование, чтобы поверхность в окрестности конической точки была прямым конусом, позволяет находить явные выражения для компонентов изгибающего поля, что существенно облегчает задачу. В общем случае такие выражения отсутствуют. Поэтому, задача исследования бесконечно малых изгибаний кусочно выпуклых поверхностей с коническими точками общего вида наталкивается на серьезные трудности и представляется актуальной.

В последние годы все больше внимания геометров уделяется бесконечно малым изгибаниям многомерных поверхностей. Бесконечно малые изгибания n-мерных поверхностей в m-мерном евклидовом пространстве рассматривались в работах Н. Н. Яненко [39], П. Е. Маркова [16] - [24], Р. Голдстейна и П. Райна [42], М. Дайцера и JI. Родриге-са [41], К. Тененблат [44]. В перечисленных работах рассматривались регулярные многомерные поверхности достаточно высокой гладкости. Естественно, возникает задача исследования бесконечно малых изгибаний многомерных поверхностей с особыми точками.

Целью данной работы является исследование бесконечно малых изгибаний кусочно выпуклых двумерных поверхностей трехмерного евклидова пространства, допускающих наличие вершин и конических точек общего вида, а также бесконечно малые изгибания некоторых многомерных поверхностей с коническими точками.

Работа состоит из оглавления, введения, четырех глав и списка литературы. В первой главе приводятся вспомогательные факты из теории поверхностей трехмерного евклидова пространства и теории бесконечно малых изгибаний, на которые опирается основной материал диссертации. В § 1 доказывается, что классические уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци, справедливые для поверхностей класса С3, сохраняют свою форму и для поверхностей класса С2, если использовать понятие обобщенного внешнего дифференциала. В терминах обобщенных производных в смысле С. Л. Соболева этот результат был получен И. Я. Бакельманом [2]. В § 2 приводятся определения основных понятий из теории бесконечно малых изгибаний регулярных поверхностей и в несколько усиленной формулировке доказывается лемма о знаке дискриминанта варьированной второй основной формы поверхности (см. [10], стр. 123, [14], стр. 38), а также лемма о поведении изгибающего поля на плоских областях.

Введение

Во второй главе доказывается ряд утверждений вспомогательного характера. В § 1 показывается, что достаточно малая окрестность внутренней конической точки на поверхности допускает инъективное ортогональное проектирование на касательный конус к поверхности в этой точке. Этот факт позволяет ввести аналог явного задания поверхности в окрестности конической точки, используя ортогональное проектирование на касательный конус. В § 2 исследуется поведение поля вращений в особых точках. Доказывается, что оно может быть непрерывно (не однозначно) продолжено в коническую точку и выясняется асимптотика его производных. В этом же параграфе изучается поведение поля вращений на ребрах и в вершинах.

Третья глава содержит основные результаты диссертации. § 1 посвящен выводу основных интегральных формул. Здесь известная формула В. Бляшке [3, 6] и формула В. Т. Фоменко и П. Е. Маркова [34] обобщаются на случай поверхностей с коническими точками. В § 2 формулируются и доказываются теоремы о жесткости овалоида класса С2. Предполагается, что овалоид удовлетворяет следующим условиям.

1. Он состоит из конечного числа кусков поверхностей класса С2, каждый из которых может содержать лишь конечное число конических точек. Эти куски мы называем гранями.

2. Каждая грань ограничена конечным числом регулярных дуг класса С2. Эти дуги мы называем ребрами. Точки пересечения ребер называем вершинами.

3. Конические точки не лежат на ребрах.

4. В каждой конической точке касательный конус к содержащей эту точку грани является поверхностью класса С3.

5. Граница каждой плоской максимальной связной компоненты на овалоиде является простой жордановой кривой, состоящей из конечного числа регулярных дуг класса С2.

При этих условиях доказывается теорема 3.2.1 о том, что овалоид обладает жесткостью вне плоских областей относительно бесконечно малых изгибаний первого порядка с непрерывными изгибающими полями, принадлежащими классу С2 на каждой грани. Заметим, что эта теорема не содержит утверждений о жесткости в целом поверхности, содержащей плоские области, например, о жесткости многогранника. Следующая теорема не исключает случая, когда овалоид является •многогранником.

Введение

ТЕОРЕМА 3.2.2. Овалоид, удовлетворяющий условиям 1 - 5, обладает жесткостью относительно бесконечно малых изгибаний первого порядка с непрерывными изгибающими полями, принадлежащими классу С2 на каждой грани и тривиальными на каждой плоской области.

Приведенные результаты не являются новыми, поскольку А. В. По-гореловым [30] они установлены для овалоида без всяких условий на гладкость и регулярность. В диссертацию они включены для демонстрации в простой ситуации метода доказательства, который может быть использован для доказательства жесткости и невыпуклых поверхностей. Такие поверхности рассматриваются в § 3. В 1938 г. А. Д. Александровым в работе [1] был выделен класс замкнутых поверхностей рода р ^ 1 трехмерного евклидова пространства, названных им поверхностями Т (поверхностями типа тора). Им доказана однозначная определенность метрикой поверхностей Т в указанном классе, а также жесткость относительно бесконечно малых изгибаний первого порядка. Доказательство жесткости и однозначной определенности проводилось при условии кусочной аналитичности поверхности. Н. В. Ефимовым [10] требование аналитичности в теореме А. Д. Александрова об однозначной определенности было ослаблено до трехкратной непрерывной дифференцируемости. Возникает задача распространения результатов А. Д. Александрова и Н. В. Ефимова на поверхности с тем же топологическим строением, но с ослабленными требованиями к гладкости. На этом пути И. X. Сабитовым [31] доказана жесткость торообразной кусочно выпуклой поверхности вращения, меридиан которой склеен из двух выпуклых кусочно гладких в классе С2 кривых. В § 3 главы 3 настоящей работы рассматриваются бесконечно малые изгибания замкнутых поверхностей рода 1 (которые могут не быть поверхностями вращения), склеенных из кусков выпуклых поверхностей класса С2, и устанавливается достаточный признак жесткости таких поверхностей. Несмотря на то, что класс поверхностей, рассматриваемых в этом параграфе, довольно широк, он допускает следующее конструктивное описание.

Пусть F — ограниченная выпуклая поверхность с краем, лежащим в некоторой плоскости Я, взаимно однозначно проектирующаяся на плоскость П, удовлетворяющая перечисленным выше условиям 1-5. Обозначим через h расстояние от плоскости П до опорной плоскос

Введение ти к поверхности F, параллельной плоскости П. Рассмотрим плоскость 7г0, параллельную плоскости П, не проходящую через вершины и конические точки поверхности F, расположенную между П и опорной плоскостью и отстоящую от П на расстоянии ho < —. Эта плоскость отсекает от поверхности F шапочку. Допустим, что расстояние от каждой конической точки этой шапочки до плоскости 7Г0 отлично от h0. Заменим эту шапочку зеркальным отражением относительно плоскости тгд (см. рис. 5.а на стр. 65) и удалим ту часть возникшей поверхности, которая оказалась по разные стороны с плоскостью щ от плоскости П. Получим поверхность Fi с краем, лежащим в плоскости П (см. рис. 5.Ь на стр. 65).

Отразим теперь поверхность Fi зеркально относительно плоскости П. Полученную поверхность обозначим через F2. Поверхность Ф — Fi U F2 (см. рис. б.а на стр. 65) является первым представителем класса поверхностей, рассматриваемого в этом параграфе. На рис. б.Ь (см. стр. 65) изображено сечение ее плоскостью, перпендикулярной плоскости П.

Рассмотрим теперь плоскость 7Ti, не проходящую через вершины и конические точки поверхности Ф, параллельную плоскости П и отстоящую от нее на расстоянии hi, удовлетворяющем неравенству lO 70 < hi < h0. Заменим часть поверхности Ф, лежащую с плоскостью П по разные стороны от плоскости 7Tj, ее зеркальным отражением относительно плоскости 7Ti (рис. 7.а на стр. 66). В книге [29] эта операция называется зеркальным выпучиванием относительно плоскости 7Tj. Возникшую в результате описанного зеркального выпучивания поверхность обозначим через Ф1. Ее можно снова подвергнуть зеркальному выпучиванию относительно плоскости 7Г2, проходящей между П и 7Ti мимо вершин и конических точек, параллельно этим плоскостям на расстоянии h2 от плоскости Л, удовлетворяющем не-hi равенству — < h2 < hi. Повторим эту операцию выпучивания к раз.

Полученную поверхность обозначим через Фк. Поверхность Фк подвергнем I-кратному зеркальному выпучиванию относительно плоскостей проходящих мимо вершин и конических точек параллельно плос-. кости П по другую сторону от нее на расстояниях h[, удовлетворя

Введение h! ющих неравенствам —1 < h'i+1 < h'{, г — 0,.,/ — 1. В результате получим поверхность Фf с "зубчатым" сечением, изображенным на рис. 7.Ь (стр. 66).

Поскольку плоскости 7Tj, тг^ могут пересекать и содержать ребра, описанной конструкцией может быть получен довольно широкий класс кусочно выпуклых поверхностей рода 1.

Имеет место

ТЕОРЕМА 3.3.1. Поверхность Ф\ обладает жесткостью вне плоских областей относительно бесконечно малых изгибаний первого порядка с изгибающими полями, непрерывными на ф\ и принадлежащими классу С2 на каждой грани.

Как и в случае овалоида, эта теорема не содержит утверждений о глобальной жесткости поверхностей с плоскими гранями, например, многогранников. Этот пробел устраняется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 3.3.2. Поверхность Фf обладает жесткостью относительно бесконечно малых изгибаний первого порядка с изгибающими полями, непрерывными на Фf, принадлежащими классу С2 на каждой грани и тривиальными на каждой плоской области.

В четвертой главе рассматривается один из модельных примеров многомерной поверхности с конической точкой — (к + 1)-мерный конус, расположенный в (п + 1)-мерном евклидовом пространстве Еп+1,

1 < к < п, имеющий ^-мерную направляющую, лежащую в гиперплоскости Еп, и одномерные прямолинейные образующие.

В § 1 приводятся необходимые сведения из многомерной дифференциальной геометрии. В § 2 доказывается

ТЕОРЕМА 4.2.1. Если к-мерная направляющая (к +1)-мерного конуса является жесткой поверхностью в пространстве Еп и в каждой точке имеет типовое число t ^ 2, то конус является жестким в (п+ 1)-мерном евклидовом пространстве Еп+г.

С использованием результатов работы [22] доказывается

СЛЕДСТВИЕ. Пусть k-мерная направляющая (к + 1)-мерного конуса класса С2 с одномерными прямолинейными образующими лежит в n-мерном евклидовом пространстве Еп С Еп+1 и в каждой

Введение точке имеет типовое число t ^ 3. Тогда конус является жесткой поверхностью в Еп+1.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании бесконечно малых изгибаний склеенных поверхностей с особыми точками, при чтении спецкурсов по дифференциальной геометрии и математическому анализу.

Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и научных семинарах: на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1998 г.), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2000 г.), на семинаре по геометрии "в целом" Московского государственного университета (1998, 2001 г.г., рук., проф. И. X. Сабитов, проф. Е. В. Шикин), на научном семинаре кафедры геометрии Казанского госуниверситета (2001 г., рук. проф. Б. Н. Шапуков), на семинаре по геометрии Ростовского госуниверситета (1998 - 2001 г.г., рук. проф. С. Б. Климентов), а также опубликованы в работах [25, 26, 36, 37]. Работы [25, 26] выполнены совместно с научным руководителем. Их результаты принадлежат каждому из авторов в равной мере.

1. Александров А. Д. Об одном классе замкнутых поверхностей // Матем.сборник. 1938. Т. 4(46),'№ 1. С. 69 -76.

2. Бакелъман И. Я. Дифференциальная геометрия гладких нерегулярных поверхностей // Успехи матем. наук. 1956. Т. 11, № 2 (68). С. 67 124.

3. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М. 1935. 332 с.

4. Боровский Ю. Е. Вполне интегрируемые системы Пфаффа // Известия вузов. Математика. 1959. № 3. С. 28 40.

5. Боярский Б. В. О жесткости некоторых составных поверхностей //.Успехи матем. наук. 1959. Т. 14, № 3. С.141 146.

6. Боярский Б. ВВеку а И. Н. Доказательство жесткости кусочно-регулярных замкнутых выпуклых поверхностей неотрицательной кривизны // Известия АН СССР. Сер. мат. 1958. Т. 22, № 2. С. 165 176.

7. Боярский Б. В., Ефимов Н. В. Принцип максимума для бесконечно малых изгибаний кусочно-регулярных выпуклых поверхностей // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14, № 6. С. 147 153.

8. Векуа И. Я. Обобщенные аналитические функции. М. 1988. 510 с.

9. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М. 1956. 250 с.

10. Ефимов Н. В. Качественные вопросы теории деформаций поверхностей // Успехи матем. наук. 1948. Т. 3, № 2. С. 47 158.

11. Иванова-Каратопраклиева ИСабитов И. X. Изгибание поверхностей. 1 // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геометрии/ВИНИТИ 1991. В. 23. С. 131-184.

12. Иванова-Каратопраклиева И., Сабитов И. X. Изгибание поверхностей. 2 // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геометрии/ВИНИТИ 1996. В. 24. С. 108-167.

13. Картан Э. Геометрия римановых пространств. М. 1936. 244 с.

14. Кон-Фоссен С. Э. Некоторые результаты дифференциальной геометрии "в целом". М. 1959. 304 с.

15. Марков П. Е. О жесткости звездных внутренне склеенных поверхностей /У Матем. заметки. 1977. Т. 22, № 3. С. 321 333.

16. Марков 77 Е. Бесконечно малые изгибания двумерной поверхности в четырехмерном плоском пространстве // Укр. геом. сборник. 1978. № 21. С. 55 72.

17. Марков 77 Е. Бесконечно малые изгибания некоторых многомерных поверхностей // Матем. заметки. 1980. Т. 27, № 3. С. 469 -479.

18. Марков П. Е. Бесконечно малые изгибания.высших порядков многомерных поверхностей // Укр. геом. сборник. 1982. № 25. С. 87 -94.

19. Марков П. Е. Бесконечно малые изгибания одного класса многомерных поверхностей с краем // Матем. сборник. 1983. Т. 121, № 1. С. 48 59.

20. Марков П. Е. Об одном классе бесконечно малых изгибаний поверхностей // Изв. СКНЦ ВШ 1985. № 4. С. 22 25.

21. Марков П. Е. Бесконечно малые изгибания высших порядков многомерных поверхностей в пространствах постоянной кривизны // Матем. сборник. 1987. Т. 133, № 1. С. 64 85.

22. Марков 77. Е. О погружении метрик, близких к погружаемым // Укр. геом. сборник. 1992. № 35. С. 49 67.

23. Марков П. Е. Общие аналитические и бесконечно малые деформации погружений 1 // Изв. Вузов. Математика. 1997. № 9. С. 21 -34.

24. Марков П. Е. Общие аналитические и бесконечно малые деформации погружений 2 // Изв. Вузов. Математика. 1997. № 11. С. 41 51.

25. Марков П. Е., Шкрылъ Е. В. О жесткости кусочно выпуклых поверхностей типа тора // Тезисы докл. на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Ростов-на-Дону. 1998. С. 53 55.

26. Марков П. Е., Шкрылъ Е. В. О жесткости кусочно выпуклых поверхностей типа тора // Матем. сборник. 2000. Т. 191, № 4. С. 107 141.

27. Михайлов JI. Г., Усманов 3. Д. Бесконечно малые изгибания поверхностей вращения положительной кривизны с конической или параболической точкой в полюсе // Докл. АН СССР. 1966. Т. 166, № 4. С. 791 794.

28. Погорелое А. В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М., "Наука", 1967. 280 с.

29. Погорелое А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М. 1969. 760 с.

30. Сабитов И. X. О жесткости некоторых поверхностей вращения // Матем. сборник. 1963. Т. 60, № 4. С. 506 519.

31. Фоменко В. Т. Некоторые результаты теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Матем. сборник. 1967. Т. 72, № 3. С. 388 411.

32. Фоменко Л. П. О жесткости склеенных поверхностей, имеющих конические точки // Сб. научных работ "Деформации поверхностей с заданными рекуррентными соотношениями". Таганрог. 1995. С. 57 62.г

33. Фоменко В. Т., Марков П. Е. О жесткости зеркально выпученных поверхностей // Матем. заметки. 1976. Т. 19, № 3. С. 469 479.

34. Фоменко В. Т., Марков П. Е. О жесткости одного класса внутренне склеенных поверхностей // Укр. геом. сборник. 1977. № 20. С. 141 146.

35. Шкрылъ Е. В. Бесконечно малые изгибания многомерного конуса // Тезисы докл. на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Ростов-на-Дону. 1998. С. 53 55.

36. Шкрылъ Е. В. О жесткости многомерного конуса // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. 2000. № 4. С. 20 22.

37. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М. 1948. 316 с.

38. Яненко Н. Н. К теории вложения поверхностей в многомерном евклидовом пространстве // Тр. Моск. матем. об-ва. 1954. вып. 3. С. 89 180.

39. Chern S. -S. Osserman R. Remark on the Reimannian of a minimal submanifolds // Lectur Notes in Math. 894. Geom Symp. 1980. C. 49 -90.

40. Dajczer M., Rodriguez L. Infinitisimal rigidity of Euclidean submanifolds // Ann. Inst. Fourier. Grenoble. 1990. v. 40, № 4. C. 939 949.

41. Goldstein R.,Ryan P. Infinitesimal rigidity theorem for of submanifolds // J. Differential Geometry. 1975. v. 10, № 1,2. С 46 -60.

42. Markov P. E., Trejos O. Deformaciones isometricas infinitesimales de superficies multidimensionales ensambladas // Revista de Matematica: Teoria у Aplicaciones. 2001. V. 8, №1. P. 27 32.