Биаксиально-флаговые и биаффинно-флаговые пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. С.А. ЕСЕНИНА

на правах рукописи

РОМАКИНА ЛЮДМИЛА НИКОЛАЕВНА

УДК 513.14

БИАКСИАЛЫЮ - ФЛАГОВЫЕ И БИАФФИННО - ФЛАГОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА

(01.01.04 - геометрия и топология) ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата фшико - математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: кандидат физико - математических наук, профессор КИОТИНА Г. В.

РЯЗАНЬ,! 998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение................................................................................................3

Глава I. Квазисферы и квадрики равных наклонов в

биаксиально-флаговых пространствах. § 1. Биаксиально-флаговые пространства эллиптического и

гиперболического типов..............................................................11

§2. Квазисферы..................................................................................14

§ 3. Квадрики равных наклонов.........................................................19

Глава II. Теория кривых и поверхностей биаффинно-флаговых и

биаксиально-флаговых пространств. § 1. Кривые в биаффинно-флаговом пространстве

гиперболического типа................................................................22

§ 2. Кривые в биаксиально-флаговых пространствах......................34

§ 3. Поверхности в биаксиально-флаговых пространствах..............44

Глава III. Линейчатая геометрия биаксиально-флаговых пространств.

§ 1. Регулюсы в биаксиально-флаговых пространствах..................69

§ 2. Конгруэнции биаксиально-флаговых пространств...................93

§ 3. Комплексы прямых в биаксиально-флаговых

пространствах............................................................................121

Литература.........................................................................................142

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность темы

Открытие Н.И.Лобачевским [32, 33] неевклидовой геометрии и Б.Риманом [37] эллиптического многомерного пространства положило начало изучению пространств с проективной метрикой. В 1872 году Ф.Клейн [26] сформулировал новую точку зрения на геометрию, как совокупность инвариантов групп преобразований и, опираясь на исследования А.Кэли [31], дал общую схему построения проективных метрик [27]. В 1910 году Д.М.Ю.Соммервиль строит полную классификацию проективных метрик [42]. В зависимости от различных вариантов метрик на прямой и в пучках плоскостей всех размерностей, каждая из которых может быть эллиптической, гиперболической и параболической, Соммервиль получает в п -мерном пространстве 3" метрик.

Развитие учения о пространствах с проективной метрикой в последующие года имело частный характер. В 1911 году Бляшке [6] рассмотрел частный случай пространств с проективной метрикой -трехмерное квазиэллиптическое пространство, в 1913 и 1915 годах Г.Бек [4] и Ф.Бем [5] изучали двумерную флаговую плоскость. В 1925-1927 годах появились работы Л.Зильберштейна [17], С.Гласса [10] и А.П.Котельникова [30], посвященные галилееву пространству, при помощи которого строится геометрическая интерпретация пространства-времени классической механики Галилея-Ньютона, а в 1941-1949 годах - работы Штрубеккера [50], посвященные вопросам дифференциальной геометрии трехмерного изотропного пространства.

Учение о пространствах с проективной метрикой получило широкое развитие в работах Б.А.Розенфельда [38], [39], [40] и других

геометров [21], изучавших пространства с "общей" проективной метрикой, абсолюты которых получаются из абсолютов классических неевклидовых пространств с помощью многократных предельных переходов. Получило также развитие изучение пространств над различными алгебрами [9], [40] и полями [3].

Как обобщение пространств с "общей" проективной метрикой Г.В.Киотиной [21] вводятся пространства с "обобщенной" проективной метрикой. Это проективные п -пространства, в каждом пучке т -плоскостей которых определено эллиптическое, гиперболическое или параболическое измерение углов между т -плоскостями одного вида при данном т, при т = 0 - расстояний между точками. Среди этих пространств рассматриваются и такие, подвижность которых ниже подвижности классических неевклидовых пространств, им посвящены работы [13], [14-16], [34], [41], [21-25].

Пространствами с "обобщенной" проективной метрикой и подвижностью на единицу ниже подвижности классических неевклидовых пространств являются биаксиально-флаговые Б!, Б: и биафин-но-флаговые Бэл, Бг4 пространства эллиптического и гиперболического типов.

Эти пространства возникают в связи с вещественной реализацией двойной бифлаговой [20] плоскости. Связные группы вращений пространств Б], Б\ изоморфны соответственно группам матриц

следующего вида

С

ах ьх

а2 -к

V

0 0

0 0

а

аг

К

а

г.

в'

з У

Ъх а2

0 0

ах Ь2

а.

а,

0 0 6,

а

ЗУ

которые получены из группы матриц, изоморфной группе движений бифлаговой плоскости при ее рассмотрении над алгебрами ком-

плексных и двойных чисел. При подходящем выборе координатного репера группы С\ (У являются группами движений пространств Б;, , соответственно при условиях а: ±Ь: = 1.

Относительно группы Стэ (Сг) в пространстве Б^ (Б:) инвариантен абсолют, состоящий из абсолюта биаксиального пространства эллиптического (гиперболического) типа с выделенной прямой абсолютной конгруэнции. Таким образом, абсолют пространства 2>3Э (Б;) состоит из пары мнимых (действительных) точек Р0!, пары мнимых (действительных) прямых I]' и пары мнимых (действительных) плоскостей Р;, г = 1,2, причем Р0г е Р', Р? и Р02 = Р\, Р* II ^ = Р1 • Би" аксиальные пространства изучены в работах А.П.Нордена [35, 36], А.П.Широкова [47, 48], Н.В.Талантовой [43, 44].

В пространствах Бэг (Б^), Бэ4 {Бг4) с помощью построенного абсолюта вводится эллиптическое (гиперболическое) измерение расстояний между точками и углов в пучках прямых и плоскостей, инвариантное относительно фундаментальных групп этих пространств.

2. Цель работы

Изучению биаксиально-флаговых и биафинно-флаговых пространств посвящены работы [23-25]. В работе [24] изучается биакси-ально-флаговое пространство параболического типа. Образы симметрии и кососимметрии пространства БЗг рассматриваются в работе

[25], в этой же работе найдены инварианты квадрик этого пространен

ства. Теория кривых в биафинно-флаговом пространстве эллиптического типа размерности 2к построена в работе [23].

Целью данной работы является решение традиционных задач дифференциальной геометрии - изучение кривых и поверхностей в пространствах £3Э, /х , Б\. Если теория кривых и поверхностей в пространствах с "обобщенной" проективной метрикой и подвижно-

-5-

стью ниже подвижности классических неевклидовых пространств уже достаточно широко развита (см. работы [7], [14], [23], [34]), то вопросы линейчатой геометрии при изучении этих пространств остаются относительно новыми ([16], [41]). Поэтому перед автором стоит задача изучения линейчатых образов, то есть совокупностей прямых, зависящих от р параметров (р = 1,2,3), в биаксиально-

флаговых пространствах.

Интересным также представляется вопрос о существовании в биаксиально-флаговых пространствах квадрик, обладающих определенными метрическими свойствами, так называемых квазисфер и квадрик равных наклонов.

3. Содержание и структура работы

Работа состоит из введения и трех глав.

В первой главе изучаются квадрики особого вида:

1. Квазисферы, то есть совокупности точек пересечения пар ортогональных прямых двух связок с центрами в фиксированных точках А и В пространства Б! (£3г);

2. Квадрики равных наклонов, являющиеся совокупностями таких точек S пространства Б!, что для S и двух фиксированных точек А и В ориентированные углы SAB и ABS равны.

Показано, что оси абсолютной конгруэнции в 2>3Э (/э/) принадлежат квазисферам и сопряжены относительно квадрик равных наклонов. Таким образом, эти поверхности, согласно [47], являются сфероидами и бицилиндрами соответственно.

Исследуются диаметры указанных квадрик. Приводится обобщение квазисферы в биаксиально-флаговых пространствах эллиптического и гиперболического типов размерности п.

Первый параграф этой главы содержит необходимые сведения о биаксиально-флаговых пространствах.

Во второй главе строится теория кривых пространств Б: и Бг4 и поверхностей пространства Б^.

Установлено, что с каждой неособой точкой кривой в Бг4 можно связать два репера (один - канонический репер Бг4, другой - репер Френе), связь между которыми определяется с помощью одного параметра. Получены формулы типа формул Френе, содержащие три независимых параметра. Выяснен геометрический смысл коэффициентов этих формул. Изучены кривые постоянной кривизны и кривые постоянной кривизны и кручения.

Так как группы движений пространств БЗэ, Б: зависят от пяти параметров, и такое же число параметров необходимо для задания в проективном 3-пространстве прямой и точки на ней или плоскости и точки на ней, то с каждой неособой точкой кривой в 2>3г или поверхности в Б^ можно связать единственный канонический репер первого порядка. Построенный репер характеризуется геометрически. Найдена полная система дифференциальных инвариантов кривой и поверхности, она не содержит инвариантов первого порядка, а состоит лишь из двух и трех соответственно инвариантов второго порядка, геометрический смысл которых установлен.

Изучаются кривые и поверхности, не вошедшие в общую схему канонизации. Для такого рода поверхности строится сопровождающий канонический репер второго порядка. Рассматривается большое количество частных классов кривых и поверхностей, в каждом случае определяется вид кривой или поверхности и широта класса. В основе классификации поверхностей лежит рассмотрение различных значений дифференциальных инвариантов второго порядка, при которых координатные оси сопровождающего репера можно направить по некоторым инвариантным линиям на поверхности.

Третья глава работы посвящена изучению в Б3г линейчатых образов: регулюсов (р = 1), конгруэнций (р = 2) и комплексов (р = 3). Учитывая подвижность пространств, с каждым неособым элементом линейчатого образа связывается единственный канонический репер первого порядка, определяются его геометрические свойства. Для каждого образа ФД/? = 1,2,3) найдена полная система его дифференциальных инвариантов, установлен их геометрический смысл. Естественно, что полная система инвариантов образа Фр содержит инварианты первого порядка, на их рассмотрении и основана классификация образов Фр для данного р. Для р = 1 при классификации используется и дифференциальный инвариант второго порядка. Определяется широта каждого выделенного класса образов Фр и его геометрические особенности. Изучаются линейчатые образы с частным видом канонизации.

4. Методика работы

Основными методами, применяемыми в работе, являются: координатный, метод подвижного репера [11], [45], инвариантный и метод внешних форм Картана [19], [45].

Большое внимание в работе уделяется установлению геометрических свойств изучаемых образов.

В пространствах Ь\э, Бгъ , Б\ можно строить различные канонические реперы. Выбор канонического репера обусловлен спецификой решаемой задачи. Например, для изучения квадрик особого вида, квазисфер и КРН, в Б^, />/ используется репер Я , в котором вершины А1, А2 гармонически делят абсолютные точки Р0', Р02, а вершины А3, А4 гармонически сопряжены относительно абсолютных плоскостей на прямой абсолютной линейной конгруэнции.

Для изучения кривых и поверхностей, а также построения линейчатой геометрии в 2>3Э, E¡ канонический репер R оказывается неудобным, так как все его координатные прямые занимают некоторое особое положение по отношению к абсолюту. Поэтому возникает необходимость введения другого репера, удачность его выбора обеспечивает наибольшую простоту решения поставленных задач. Канонический репер R*, введенный в первом параграфе второй главы, оказывается почти универсальным для изучения дифференциальной геометрии в Б* и Б:, так как его прямая АЛА2 не занимает особого положения по отношению к абсолюту, а плоскость А^ Ar¡ А^ -аппелева, то есть плоскость общего вида. Прямая АлАг - изотропная,

это свойство позволяет использовать репер R* при изучении изотропных линейчатых образов Ф,, Ф2, а также при рассмотрении некоторых линий на поверхности.

Меньшая подвижность пространств B¡, Бгъ по сравнению с

классическими неевклидовыми приводит к возможности классифицировать образы в дифференциальной окрестности меньшего порядка.

Мы уже отметили, что классификация кривых и поверхностей определяется дифференциальными инвариантами второго порядка, а классификация линейчатых образов - инвариантами первого порядка.

Автор использует терминологию работ [45, 46], [28], [51]. Подразумевается (см. [46]), что каждой геометрической точке А, прямой АВ и плоскости ABC соответствует аналитическая точка А, аналитическая прямая АВ и аналитическая плоскость А ВС, где точке А присвоены однородные координаты (а1 : а2 : а3 : а4), а АВ и ABC

следует понимать как грассманово произведение аналитических точек А,В и А,В,С соответственно.

Все рассуждения глав II, III имеют локальный характер. Все встречающиеся функции являются дифференцируемыми достаточное число раз.

5. Апробация

Основные результаты работы были доложены на Международном геометрическом семинаре имени Н.И.Лобачевского [53]; IV, VI Международных конференциях женщин-математиков [52], [54]; 11 югославском геометрическом семинаре, посвященном 50-летию Института математики Сербской Академии наук и 400-летию Р.Декарта [55]; на геометрических семинарах кафедры алгебры и геометрии Рязанского государственного педагогического университета, кафедры геометрии Саратовского государственного университета; опубликованы в статьях [56], [57]; [5&] .

ГЛАВА I

КВАЗИСФЕРЫ И КВАДРИКИ РАВНЫХ НАКЛОНОВ В БИАКСИАЛЬНО-ФЛАГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 1. БИАКСИАЛЬНО-ФЛАГОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ

Группа движений бифлаговой плоскости [20] изоморфна группе вращений флаговой плоскости и группе невырожденных треугольных матриц второго порядка

(А ВЛ

0)

[ос)

Если матрицы (1) рассматривать над алгебрами комплексных (двойных) чисел, то получим группу О' ((} ) матриц вида

в3

V

ах

-к

о о

ах 0

а\

а„

К

а„

0 -Ь,

а

3/

а.

а,

0 О

а,

а.

О

а.

0 0/),

а

з у

Примем группу (б ) за группу проективных автоморфизмов пространства Р3. Тогда в Р3 относительно группы (}э {(}г) будет инвариантен абсолют, состоящий из абсолюта биаксиального пространства эллиптического (гиперболического) типа [47] с осями Рх : хх+1х2= 0 , х3 + \х4 = 0 ; (Рх : хх + х2 = 0, х3 + х4 = 0 ); Р2 : хг - ¿х2 = 0, х3 — IX4 = 0; (Р2 : хх - х2 = 0 , х3 - х4 = 0 ) и фиксированной прямой абсолютной линейной конгруэнции

Рх - х3 = х4 = 0, (Рх : х3 = х4 = 0), названной особой прямой абсолюта.

Таким образом, группа О3 ((У ) является пятичленной подгруппой фундаментальной группы биаксиального пространства эллиптического (гиперболического) типа.

Проективное 3-пространство с построенным абсолютом, состоящим из пар точек = Р/ Г) Рх, прямых Р' и плоскостей Р[ = Р* и Р1, 1 = 1,2) в работе [21] названо биаксиально-флаговым пространством эллиптического (гиперболического) типа. Обозначим его в: (/7;).

Относительно группы Б3 (Ог) в Б ' (Б") инвариантно эллиптическое (гиперболическое) измерение расстояний между точками А(аг), Вф.), 7 = 1-4, которое определяется равенством

\АВ\

где М, N - точки пересечения прямой АВ с абсолютными плоскостями, и вычисляется по формуле

а.Ь.+а.Ь. . ,, . . а.Ь,-а.Ъ.

3 3 4 4= (сНАВ\ = -г 3 д 4 ■).

а;+аЖ+Ь1) ^ -аЖ ~К)

В пространстве Б] существует два вида плоскостей: 1) плоскости, содержащие особую прямую Р1} евклидовы плоскости; 2) плоскости, имеющие с Рх одну общую точку, то есть плоскости Аппеля эллиптического типа [2]; и три вида прямых: 1) изотропные прямые, пересекающие Р1; 2) прямые абсолютной линейной конгруэнции; 3) прямые, не занимающие особого положения по отношению к абсолюту.

В пространстве Бгз плоскости могут быть трех видов: 1) псевдоевклидовы, то есть содержащие прямую Рх\ 2) бифлаго-вые, содержащие одну из прямых Рг' (/ = 1,2); 3) плоскости Аппеля ги-

—1п (АВМЫ) 2?

(\АВ\ =

~Ы(АВШ)

СО^АВ =

перболического типа [2], имеющие по одной общей точке с абсолютными прямыми; а прямые - четырех: 1) изотропные прямые, пересекающие 1\; 2) прямые абсолютной линейной конгруэнции; 3) прямые

абсолютного линейного специального [51, стр. 78] комплекса с осью Р/ (г = 1,2); 4) прямые, не занимающие особого положения по отношению к абсолюту.

Инвариантом двух плоскостей Аппеля ()'2 в пространстве Бз (Бгз) является сложное отношение четырех точек <21, <902, Р0\ Р02, где (2'0 = 0-г П^ О = 1,2). Углом между плоскостями О', назовем число

<Р =

-hqiqi^P:) 21

(<Р =

Инвариантом двух евклидовых (псевдоевклидовых) плоскостей <2* является число, выражающее расстояние между точками 01п, где

Угол у/ между двумя пересекающимися прямыми К\, К* определим следующим образом. Пусть К] и К* = К,, прямая Мх принадлежит плоскости Кг и К[ Г\МХ= К[, N1= Г\М1. Тогда

у/ =

2г

щкЖХХ))

Если группа G3 (С/) движений пространства Бэз {Бгз) имеет вид (2), то координатный репер пространства, обозначим его R{At) (z = 1 — 4), обладает инвариантными относительно группы (Г (G'?) свойствами:

1. Вершины Ах, А2 гармонически делят абсолютные точки P¡,

Р\

л о •

2. Единичные точки Еи = Д + Аг, Я'2 = Ах-А2 в /У/ гармонически делят точки Р0', Р02, а в Бз : Е12 = Р02, Я,'