Бирациональная жесткость, факториальность и расслоения на эллиптические кривые тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Настоящая работа посвящена следующим тесно связанным между собой темам:

• бирациональная жесткость многообразий Фано1 степени 5, 6, 7 и 8;

• новый метод доказательства (Ц)-факториальности2 трехмерных многообразий;

• бирациональная геометрия взвешенных гиперповерхностей.

Бирациональная жесткость.

Проблема рациональности3 алгебраических многообразий является одной из наиболее глубоких и интересных проблем алгебраической геометрии. Глобальные голоморфные дифференциальные формы, являются естественными бирациональными инвариантами неособого многообразия, которые полностью решают проблему рациональности алгебраических кривых и поверхностей. В трехмерном случае существуют нерациональные многообразия, которые очень близки к рациональным, и имеющихся дискретных инвариантов не хватает для доказательства нерациональности. В работе [16] был доказан следующий результат.

Теорема 0.1. Пусть V — неособая трехмерная квартика в Р4. Тогда Впг(Т^) = Аи^У).

Значит, неособые квартики в Р4 нерациональны4, откуда следует отрицательное решение проблемы Люрота5 в размерности 3. Например, можно показать, что квартика х4 + хги3 + у4- 6у2г2 + г4 + £4 + Ли = О С Рго] (С[®, у, г, Ь, го]) = Р4 унирациональна, неособа и нерациональна по теореме 0.1. Любая унирациональная алгебраическая кривая или поверхность является рациональной.

Известно четыре способа доказательства нерациональности рационально связных многообразий6 (см. [93], [65], [36], [125], [14]), но только метод работы [16] применим для доказательства нерациональности конкретного рационально связного многообразия размерности больше трех. Отметим, что для доказательства нерациональности конкретного многообразия размерности три помимо метода работы [16] применим также методы промежуточного якобиана (см. [93], [36]) и группы Брауэра (см. [65], [94], [139]). Однако, за единственным исключением двойного накрытия Р3 с ветвлением в квартике (см. [37], [38], [39], [40]), метод промежуточного якобиана применим только в случае существования на трехмерном многообразии структуры расслоения на коники, а метод группы Брауэра может быть эффективно применим только к трехмерным многообразиям, представимым в виде расслоения на коники с несвязным дивизором ветвления. С другой стороны, применение метода вырождения часто дает очень эффективный способ доказательства нерациональности общего многообразия в заданном семействе (см. [36], [68], [125], [128], [56] и приложение Б).

Как стало видно из методов работы [16], бирациональная геометрия неособой трехмерной квартики напоминает геометрию многообразий общего типа7. Позднее оказалось, что неособая трехмерная квартика является далеко не единственным многообразием, которое обладает подобными свойствами. Теперь такие многообразия стало принятым называть би-рационально жесткими многообразиями.

Рассматриваемые многообразия считаются проективными, нормальными и определенными над С. Многообразия с обильным антиканоническим дивизором называются многообразиями Фано.

2Многообразие принято называть <0>-факториальным если некоторая ненулевая кратность каждого дивизора Вейля на нем является дивизором Картье.

3Многообразие V рационально, если поле его рациональных функций изоморфно полю С(ж1,. ,хп), что эквивалентно существованию бирационального отображения р : Рп --+ V.

4В условиях и обозначениях теоремы 0.1, линейная система |0]р4(1)|у| инвариантна относительно действия группы Аи^У), поскольку —Ку ~ 0^{1)\у. Следовательно, группа Аи"Ь(У) состоит из проективных автоморфизмов, откуда следует ее конечность (см. [131], [140]). Таким образом, группа В1г(У) конечна, откуда следует, что квартика V нерациональна, поскольку группа Вн:(Р3), очевидно, бесконечна.

5Проблема Люрота в размерности п состоит в следующем: верно ли, что существуют существуют нерациональные, но унирациональные многообразия размерности п? Напомним, что многообразие V унираци-онально, если существует доминантное рациональное отображение р : Рп ---> V.

Многообразие называется рационально связным, если через любые две точки на нем проходит рациональная кривая (см. [129], [126]). Например, унирациональное многообразие рационально связно.

Многообразие X есть многообразие общего типа, если сМт(<^|пхх|(Х)) = <Пт(.Х") для п 0. 2

Определение 0.2. Пусть X — многообразие Фано, имеющее терминальные и Q-фактори-альные особенности, такое что rkPic(X) = 1. Тогда X называется бирационально жестким, если выполнены следующие условия:

• многообразие X не может быть бирационально перестроено в многообразие Y, такое что существует расслоение т : Y —> Z, где dim(y) > dim(Z) ф 0, а общий слой расслоения т имеет размерность Кодаиры равную — оо;

• многообразие X не бирационально многообразию Фано с Q-факториальными терминальными особенностями и группой Пикара ранга 1, которое неизоморфно X.

Таким образом, трехмерное неособое многообразие Фано с группой Пикара Z является бирационально жестким в том и только в том случае, когда оно не может быть бирационально перестроено в расслоения на рациональные кривые или поверхности, а также ни в какое трехмерное многообразие Фано с терминальными Q-факториальными особенностями, чья группа Пикара имеет ранг 1. Бирационально жесткие многообразия Фано нерациональны8.

Определение 0.3. Бирационально жесткое многообразие Фано X, имеющее терминальные и Q-факториальные особенностями, такое что rkPic(X) = 1, называется бирационально сверхжестким, если Bir(X) = Aut(X)

Из работы [16] следует, что неособая трехмерная квартика является бирационально сверхжестким многообразием Фано. Более того, оказалось, что методы работы [16] могут быть применены для доказательства бирациональной жесткости или бирациональной сверхжесткости многомерных многообразий Фано, имеющих небольшую степень9, но даже при небольшом увеличении степени сложность соответствующего доказательства диспропорционально увеличивается. Например, в работе [141] получен следующий результат.

Теорема 0.4. Неособая четырехмерная квинтика в Р5 бирационально сверхжестка.

Все известные способы доказательства бирациональной жесткости или бирациональной сверхжесткости многообразий Фано являются комбинациями применения определенных локальных неравенств и глобальной проективной техники. Причем, чем слабее используемое при доказательстве бирациональной жесткости локальное неравенство, тем сильнее должна быть соответствующая проективная техника10. Например, глубокие свойства проективной геометрии трехмерной особой квартики были использованы в работе [26] для доказательства следующего естественного обобщения теоремы 0.1.

Теорема 0.5. Пусть X — достаточно общая трехмерная квартика в Р4, имеющая одну обыкновенную двойную особую точку. Тогда X бирационально жестко.

С другой стороны, в работе [96] было найдено новое локальное неравенство, связывающее канонические пороги трехмерных подвижных лог-пар в окрестности обыкновенной двойной точки и кратности соответствующих подвижных линейных систем, с помощью которого в работе [132] было дано очень простое доказательство следующего обобщения теоремы 0.5.

Теорема 0.6. Пусть X — нодальная11 трехмерная квартика в Р4, имеющая Q-факториальные особенности12. Тогда X является бирационально жесткой.

Вирациональную жесткость можно определить для многообразий Фано, определенных над произвольным полем. Можно показать, что существуют бирационально жесткие поверхности дель Пеццо над алгебраически незамкнутым полем (см. [9], [13]). А именно, в работах [19] и [20] доказана бирациональная жесткость неособых поверхностей дель Пеццо с группой Пикара Z, имеющих степень 1, 2 и 3, которые определены над произвольным алгебраически незамкнутым совершенным полем. В частности, минимальные гладкие кубические поверхности бирационально эквивалентны тогда и только тогда когда они проективно эквивалентны.

Степенью многообразия Фано V называется число (-Ку)п, где п = dim(y). Из классификации неособых трехмерных многообразий Фано следует, что неособое трехмерное многообразие Фано степени больше чем 24 рационально (см. [114]), а проективное пространство Р3 имеет наибольшую степень среди неособых трехмерных многообразий Фано.

При доказательстве теоремы 0.4 в работе [141] использовано то же локальное неравенство (см. теорему 4.45), что и в [16] при доказательстве теоремы 0.1, но первое доказательство сложнее чем последнее.

Многообразие нодально, если его особенности суть обыкновенные двойные точки.

Можно показать, что трехмерная нодальная квартика, имеющая не более 8 обыкновенных двойных точек, всегда имеет Q-факториальные особенности (см. замечание 2.47). 3

Без условия Q-факториальности утверждение теоремы 0.6 не верно, поскольку общая детерминантальная трехмерная квартика нодальна и рациональна. Аналогичные примеры комбинации локальных и глобальных методов для доказательства бирациональной жесткости многообразий Фано можно привести в любой размерности. Однако, при при увеличении размерности и использовании слабых локальных неравенств от рассматриваемого многообразия Фано часто требуется удовлетворения определенных условий общности для успешного применения глобальных проективных методов, что не позволяет строить конкретные примеры бирационально жестких и нерациональных многообразий Фано. Например, в работе [142] использована глобальная техника гиперкасательных линейных систем и локальное неравенство, использованное в работе [16] при доказательстве теоремы 0.1, для доказательства бирациональной сверхжесткости достаточно общей гиперповерхности в Рп степени та ^ 6. При этом, не существует ни одного явного примера бирационально жесткой гиперповерхности в Р™ степени та при та > 13.

На текущий момент бирациональная жесткость и сверхжесткость доказана для многих неособых и особых многообразий Фано (см. [11], [115], [15], [53]). Здесь также следует отметить работы [33], [34], [26], [3], [27], [28], [98], [144], [31], [35], [32], [108], [5], [7], [97], [132].

Факториальность.

Трехмерные нодальные многообразия возникают естественным образом при рассмотрении многих вопросов алгебраической геометрии (см. приложение D). Из утверждения теоремы 0.6 следует, что естественно рассмотреть вопрос о том, как количество особых точек трехмерной нодальной гиперповерхности влияет на условие Q-факториальности.

Пусть V — нодальная гиперповерхность в Р4 степени та. Тогда V является Q-факториаль-ной если и только если С1(У) порождена гиперплоским сечением13. Имеет место следующий результат (см. предложение 3.3 в [103] или теорему 2 в [99]).

Предложение 0.7. Гиперповерхность V является Q-факториальной в том и только в том случае, когда ее особые точки накладывают независимые линейные условия на гиперповерхности степени 2п — 5 в Р4.

В частности, особенности V являются Q-факториальными при |Sing(V)| ^ 2та — 4.

Пример 0.8. Пусть гиперповерхность V задана уравнением xg(x, y,z,t,w)+ yf(x, y,z,t,w) = О С Р4 = Proj (С[ж, у, z, t,w]), где g и / — общие многочлены степени та - 1. Тогда особенности гиперповерхности V не являются Q-факториальными. Более того, выполнено равенство | Sing(V)| = (та — I)2.

В работе [90] показано, что каждая неособая поверхность на гиперповерхности V является дивизором Картье при выполнении неравенства |Sing(V)| < (n— I)2. Таким образом, можно высказать следующее предположение, которое доказано в работах [81] и [89] в случае п ^ 7.

Гипотеза 0.9. Особенности гиперповерхности V являются Q-факториальными при выполнении неравенства | Sing(V)| < (та — I)2.

Пусть 71" : X —> Р3 — двойное накрытие, разветвленное над поверхностью S степени 2г, такой что особенности поверхности S состоят из изолированных обыкновенных двойных точек, то есть поверхность S нодальна. Тогда Q-факториальность многообразия X эквивалентна глобальному топологическому условию rk Нц(Х, Z) = 1. Можно также показать, что особенности многообразия X являются Q-факториальными в том и только в том случае, когда группа С1(Х) порождена классом к*(Н), где H — гиперплоскость в Р3.

Пример 0.10. Пусть г = 3, a S — секстика Барта (см. [69]), которая задана уравнением

4(т V - у2) (тУ - z2) (t2z2 - х2) =t2( 1 + 2т) (z2 + y2 + z2-t2)2 С Proj (С[x,y,z,t]), где г = Тогда X нодально и |Sing(X)| = 65, но никакая нодальная секстика в Р3 не может иметь более 65 особых точек (см. [2], [117], [157]). Существует детерминантальная

13Можно показать, что V является Q-факториальной если и только если rkHi{V, Z) = 1 (см. [133]). 4 нодальная квартика У С Р3, имеющая ровно 42 особые точки, такая что диаграмма ус

I ' I р\ 17

У У коммутативна (см. [107], [138], пример 2.23), где 7 — проекция из обыкновенной двойной точки квартики У, а р — бирациональное отображение. Многообразие X рационально, поскольку детерминантальные квартики рациональны (см. [138]). Трехмерное нодальное многообразие X не является (Ц>-факториальным, а в работе [107] показано, что Ъ) = 14.

Из теоремы 2.24 следует, что многообразие X нерационально при г — 3, если выполнено равенство гк Н±(Х, Ъ) = 1. Таким образом, условие <0>-факториальности накладывает сильное ограничение на бирациональную геометрию многообразия X при г — 3. Последнее верно и в общем случае. Например, многообразие X имеет ровно малых разрешении особенностей, которые бирационально перестраиваются друг в друга посредством стандартных флопов (см. [123]), но в <0>-факториальном случае все малые разрешения особенностей многообразия X непроективны. Вполне естественно рассмотреть вопрос о том, как количество особых точек многообразия X влияет на выполнение условия <0>-факториальности.

Пример 0.11. Предположим, что 5 задана уравнением

0.12) = сР3^Ргоз(С[х,у,л^]), где д{, Ы is.fi— достаточно общие многочлены степени г. Тогда Я — нодальная поверхностью степени 2г, многообразие X не является О-факториальным, но |Зп^(Х)| = (2г — 1)г.

По аналогии с гипотезой 0.9 в работе [79] высказано следующее предположение.

Гипотеза 0.13. Пусть |8ищ(Х)| < (2г - 1)г. Тогда X является <0)-факториалъным.

В работе [113] было высказано следующее предположение, доказанное там же при г — 3.

Гипотеза 0.14. Пусть |8п^(Х)| < (2г - 1 )г 1. Тогда X является 0>-факториалъным в том и только в том случае, когда 5 не может быть задано уравнением 0.12 в Р3.

Интересно, что существуют не до конца осознанные связи между вопросом (]>-фактори-альности трехмерных нодальных многообразий и таким классическим результатом проективной геометрии как теорема Кэли-Бахараша (см. [105]). А именно, известно следующее:

• примеры 0.8 и 0.11 могут быть объяснены с помощью теоремы Кэли-Бахараша;

• для доказательства (])-факториальности нодальных многообразий в диссертации с помощью теоремы Шокурова об обращении в нуль (см. теорему 4.35) доказывается вспомогательный результат (см. лемму 2.3), из которого следует <0>-факториаль-ность в некоторых важных случаях (см. предложения 2.4 и 2.40) и который, как оказалось, также является следствием обобщения теоремы Кэли-Бахараша для го-ренштейневых нульмерных подсхем проективных пространств (см. [101]);

• утверждения гипотез 0.9 и 0.13 вытекают из следующего хорошо известного гипотетического14 обобщения теоремы Кэли-Бахараша (см. гипотезу 12 в работе [105]).

Гипотеза 0.15. Пусть Г — нульмерная подсхема в Рп; являющаяся подсхемой полного пересечения гиперповерхностей степеней < • • • < Предположим, что Г накладывает зависимые линейные условия на гиперповерхности в Рп степени т, что эквивалентно неравенству /¡^(Хр <8> Орп(ш)) ф 0, где Хр — пучок идеалов подсхемы Г. Тогда п п с1е§(Г) > (ш + 2 - £ - 1)) Ц <2г, где в Е М, такое что - 1) < "г + 1 < — 1)

14Гипотеза 0.15 доказана только в частных случаях, например, при с?1 = -- -= ^п = 2иг1^7 (см. [105]). 5

Взвешенные гиперповерхности.

С бирациональной жесткостью связано много интересных задач, одна из которых — классификация бирациональных перестроек бирационально жестких многообразий Фано в расслоения на эллиптические кривые. Во многих случаях последняя задача тесно связана с вопросом нахождения образующих соответствующих групп бирациональных автоморфизмов, что является частью проблемы бирациональной жесткости многообразий Фано. Исторически вопрос нахождения всех бирациональных перестроек в расслоения на эллиптические кривые восходит к работе [8], где было доказано, что любой эллиптический пучок на плоскости может быть бирационально перестроен в так называемый пучок Альфана, однако для бирационально жестких многообразий Фано часто может быть получен более конкретный результат. Например, следующая теорема доказана в работе [78].

Теорема 0.16. Пусть X — неособая трехмерная квартика в Р4. Предположим, что существует рациональное отображение р : X --■> Р2, такое что нормализация общего слоя расслоения р является эллиптической кривой. Тогда р = сг о фг где ф — проекция из некоторой прямой в Р4, содержащейся в квартике X, и а £ Вк(Р2).

Пусть X — общая квазигладкая гиперповерхность в Р(1, 01,02,03,04) степени с? = а»> где 01 < а2 < аз ^ 04, а особенности X терминальны. Тогда X является (12-факториальным многообразием Фано и гкРю(Х) = 1 (см. теорему 3.13 главы XI в [110], [104], [76]), а для пятерки (с£, а1, й2, аз, а±) имеется 95 возможностей, полученные в [116] путем компьютерных вычислений. Полнота полученного в работе [116] списка доказана в [118].

Имеет место следующий результат, который был получен в работе [98] и является естественным обобщением теоремы 0.1 и аналогичного результата о поверхностях дель Пеццо, определенных над алгебраически незамкнутым полем, который был доказан в [19].

Теорема 0.17. Гиперповерхность X бирационально жестка.

Пусть п — порядковый номер X в обозначениях приложения Е. Для каждого возможного значения та в работе [98] были явно построены бирациональные инволюции т\,., многообразия X, такие что последовательность групп

1 —► Г —> Вп-(Х) -»■ Аи^Х) 1 точна, где Г — группа, порожденная инволюциями т\ ,., ткп ■ Причем, имеются следующие возможности:

• кп = 5 при та = 7;

• кп = 3 при та е {4,9,17,20,27};

• кп = 2 при та 6 {5,6,12,13,15,23,25,30,31,33,36,38,40,41,42,44,58,61,68,76};

• кп = 1 при та е {2,8,16,18,24,26,32,43,45,46,47,48,54,56,60,65, 69,74, 79};

• кп = 0 в оставшихся бирационально сверхжестких случаях.

Замечание 0.18. Предположим, что кп > 0 и та ^ {2,7,20,36,60}. Тогда 02 < 03 и для каждого бирационального автоморфизма а £ Вйг(Х) существует коммутативная диаграмма х-----а---

I I ф I \ф у у

Р(1,01,02)---- ^Р(1,01,а2), где х — бирациональное отображение, а ф — естественная проекция. Причем, нормализация общего слоя отображения ф является эллиптической кривой, на которой бирациональные инволюции п,., т^ действуют отражениями.

Бирациональная геометрия и арифметика алгебраических многообразий тесно связаны между собой (см. [22]). В частности, классификация всех возможных бирациональных перестроек гиперповерхности X в расслоения на эллиптические кривые тесно связана с вопросом потенциальной плотности15 рациональных точек на гиперповерхности X в случае когда

15Рациональные точки многообразия V, определенного над числовым полем Р, потенциально плотны, если существует конечное расширение Е С К полей, такое что К-точки многообразия V плотны по Зарискому. 6 гиперповерхность X определена над числовым полем. Последняя задача была рассмотрена для многообразий Фано в работах [71], [72], [111], где был получен следующий результат.

Теорема 0.19. Рациональные точки потенциально плотны на гладких трехмерных многообразиях Фано кроме, быть может, двойного накрытия Р3 с ветвлением в секстике.

Возможное исключение в теореме 0.19 возникло из-за того, что двойное накрытие Р3 с ветвлением в гладкой секстике не удалось бирационально перестроить в эллиптическое расслоение. В то же время, в работе [78] было показано, что двойное накрытие Р3 с ветвлением в неособой секстике невозможно бирационально перестроить ни в какое эллиптическое расслоение. Из классификации (см. [114]) следует, что двойное накрытие Р3 с ветвлением в неособой секстике является единственным неособым трехмерным многообразием Фано, которое бирационально не эквивалентно эллиптическому расслоению16.

Полученные результаты.

В настоящей работе получены следующие результаты:

• найдены локальные неравенства, которые позволяют, в частности, получить общее доказательство бирациональной сверхжесткости следующих многообразий Фано: неособой гиперповерхности степени п в Рп при п £ {5,6,7,8}; неособого пересечения квадрики и квартики в Р6, не содержащее плоскостей; неособого многообразия, которое является двойным накрытием неособой квартики в Р" с ветвлением в дивизоре степени 8п — 32, где га ^ 8; многообразия, которое является циклическим тройным накрытием неособой квадрики в Рп с ветвлением в нодальном дивизоре степени Зп — 6, где п ^ 9; нодальной гиперповерхности в Р6 степени 6;

• получен новый метод доказательства (¡^-факториальности трехмерных нодальных многообразий, с помощью которого, в частности, доказывается <0>-факториальность следующих трехмерных нодальных многообразий: многообразия, полученного как двойное накрытие Р3 с ветвлением в нодальной поверхности степени 2г, имеющей менее (2г — 1)г особых точек17, что доказывает утверждение гипотезы 0.13; нодальной гиперповерхности в Р4 степени п, количество особых точек которой не превышает 2(п — 1)2/3;

• для достаточно общей квазигладкой гиперповерхности X С Р(1, а\, 02, аз> ^4) степени ё, = а»> имеющей терминальные особенности, решены следующие задачи: классифицированы все бирациональные перестройки гиперповерхности X в эллиптические расслоения и, в частности, доказана гипотеза 2.5.13 работы [53]; доказано, что группа Г является свободным произведением бирациональных инволюций 71,. ,Ткп при кп ф 3 или п = 20, а в оставшихся случаях Г является фактор-группой свободного произведения инволюций 71,72,73 по единственному соотношению т\ о 72 о 73 = 73 о т^ о т\, что является непосредственным обобщением аналогичного результата о кубических поверхностях (см. [21], [17]).

Результаты опубликованы в [43], [44], [45], [46], [47], [49], [50], [51], [78], [79], [85].

1 в

В случаях когда гиперповерхность X нельзя бирационально перестроить в расслоение на эллиптическое расслоение (см. теорему 3.3) бирадиональная геометрия и арифметика гиперповерхности X определяется бирациональными перестройками в расслоения на поверхности типа КЗ. Из работы [87] следует, что взвешенная гиперповерхность X всегда может быть бирационально перестроена в расслоение на поверхности типа КЗ. Таким образом, для более глубокого понимания геометрии гиперповерхности X важно рассмотреть вопрос классификации всех возможных бирациональных перестроек гиперповерхности X в расслоения на поверхности типа К3. Однако решение последней задачи технически очень сложно и практически возможно только после получения полной классификации бирациональных перестроек в расслоения на эллиптические кривые. Естественно предположить, что во многих случаях гиперповерхность X может быть бирационально перестроена в расслоения на эллиптические кривые и расслоения на поверхности типа КЗ единственным способом (см. предложение 3.4), что должно быть связано с вопросами производных категорий и зеркальной симметрии поверхностей типа КЗ и взвешенных гиперповерхностей (см. [137], [74], [23], [18], [66], [67]).

17Используемые в работе методы позволяют также доказать гипотезу 0.14, однако доказательство гипотезы 0.14 не будет приведено в настоящей работе — с ним можно ознакомится в работе [86]. 7

Кроме основных, в диссертации доказан ряд дополнительных достаточно важных результатов. А именно, в диссертации также получены следующие результаты:

• получена точная оценка снизу для лог-канонических порогов лог-пар на неособых гиперповерхностях и получена полная классификация лог-пар неособых гиперповерхностях, имеющих минимально возможный лог-канонический порог;

• доказана бирациональная сверхжесткость и нерациональность (Ц)-факториального двойного пространства с ветвлением в нодальной секстике для которого также классифицированы все бирациональные перестройки в эллиптические расслоения;

• найдено чисто геометрическое доказательство теоретико-группового результата работы [17], который отвечает на вопрос, поставленный в книге [21], о характеризации конечных подгрупп группы бирациональных автоморфизмов минимальной кубической поверхности, определенной над совершенным полем;

• классифицированы все бирациональные перестройки в многообразия Фано с каноническими особенностями достаточно общей трехмерной квартики, имеющей одну двойную точку, которая является обыкновенной двойной точкой;

• доказана бирациональная сверхжесткость нодальных тройных пространств, являющихся многообразиями Фано индекса один, размерности больше трех;

• доказана <0>-факториальность нодального полного пересечения в Р5 неособой гиперповерхности степени к и гиперповерхности степени п ^ к, которая имеет не более чем (п + к — 2)(п — 1)/5 особых точек;

• доказана (0>-факториальность двойного накрытия неособой гиперповерхности в Р4 степени п ^ 2 с ветвлением в нодальной поверхности, которая высекается гиперповерхностью степени 2г ^ п и имеет не более чем (2г + п — 2)г/4 особых точек;

• получен исчерпывающий ответ на вопрос рациональности неособых трехмерных многообразий ранга Пикара два, расслоенных на кубические поверхности, а именно доказана нерациональность общего дивизора V в линейной системе \ЗМ + пЬ\ на рационально линейчатом многообразии Рго](ф|=1Ср1(^)), такого что V является неособым многообразием и гк Ргс(У) = 2, кроме единственного рационального случая = ¿2 = ¿з = «¿4 = 0 и п = 1, где п и - целые числа, М — тавтологическое расслоение, а Ь — слой проекции на Р1.

1. В. А. Алексеев, Об условиях рациональности трехмерных многообразий с пучком поверхностей дель Пеццо степени 4Математические Заметки 41 №5 (1987), 724-730

2. А. Н. Варченко, О полунепрерывности спектра и оценке сверху числа особых точек проективной гиперповерхностиДоклады АН СССР 270 № 6 (1983), 1294-1297

3. M. М. Гриненко, Бирациональные автоморфизмы трехмерного двойного конуса Математический Сборник 189 №7 (1998), 37-52

4. M. М. Гриненко, Бирациональные свойства пучков поверхностей дель Деццо степени 1 и 2 Математический Сборник 191 №5 (2000), 17-38

5. M. М. Гриненко, О двойном конусе над поверхностью Веронезе Известия РАН, Серия математическая 67 №5 (2003), 5-22

6. M. М. Гриненко, Бирациональные свойства пучков поверхностей дель Деццо степени 1 и 2.11 Математический Сборник 194 №5 (2003), 31-60

7. M. М. Гриненко, Структуры Мори трехмерного многообразия Фано индекса 2 и степени 1 Труды МИРАН им. В. А. Стеклова 246 (2004), 103-128

8. И. В. Долгачев, О рациональных поверхностях с пучком эллиптических кривых Известия АН СССР, Серия математическая 30 (1966), 1073-1100

9. В. А. Исковских, Минимальные модели алгебраических поверхностей над произвольными полями Известия АН СССР, Серия математическая 43 № 1 (1979), 19-43

10. В. А. Исковских, Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий Современные Проблемы Математики 12 (1979), 59-157

11. В. А. Исковских, Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических многообразий Современные Проблемы Математики 12 (1979), 159-236

12. В. А. Исковских, О проблеме рациональности для трехмерных алгебраических многообразий, расслоенных на поверхности дель ПеццоТруды МИРАН им. В. А. Стеклова 208 (1995), 128-138

13. В. А. Исковских, Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории МориУспехи Математических Наук 51 №4 (1996), 3-72

14. В. А. Исковских, О проблеме рациональности для трехмерных алгебраических многообразий Труды МИРАН им. В. А. Стеклова 218 (1997), 190-232

15. В. А. Исковских, Бирациональная жесткость гиперповерхностей Фано в рамках теории Мори Успехи Математических Наук 56 №2 (2001), 3-86

16. В. А. Исковских, Ю. И. Манин, Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота Математический Сборник 86 №1 (1971), 140-166

17. Д. Каневский, Структура групп, связанных с автоморфизмами кубических поверхностей Математический Сборник 103 № 2 (1977), 293-308

18. А. Н. Капустин, Д. О. Орлов, Лекции о зеркальной симметрии, производных категориях и D-бранахУспехи Математических Наук 59 № 5 (2004), 101-134

19. Ю. И. Манин, Рациональные поверхности над совершенными полями Publications Mathématiques, Institut des Hautes Etudes Scientifiques 30 (1966), 55-113

20. Ю. И. Манин, Рациональные поверхности над совершенными полями II Математический Сборник 72 (114) № 2 (1967), 161-192

21. Ю. И. Манин, Кубические формы Наука, Москва (1972)

22. Ю.И.Манин, М.А.Цфасман, Рациональные многообразия: алгебра, геометрия, арифметика Успехи Математических Наук 41 (1986), 43-94.

23. Д. О. Орлов, Производные категории когерентных пучков и эквивалентности между ними Успехи Математических Наук 58 № 3 (2003), 89-172

24. В. В. Пржиялковский, И. А. Чельцов, К. А. Шрамов, Гиперэллиптические и тригональные трехмерные многообразия ФаноИзвестия РАН, Серия математическая 69 № 2 (2005), 365-421

25. А. В. Пухликов, Замечание о теореме В.А.Исковских и Ю.И.Манина о трехмерной квартике Труды МИРАН им. В.А.Стеклова 208 (1995), 278-289

26. А. В. Пухликов, Бирациональные автоморфизмы трехмерной квартики с простейшей особенностью Математический Сборник 135 (177) № 4 (1988), 472-496

27. А. В. Пухликов, Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических многообразий с пучком поверхностей дель ПеццоИзвестия РАН, Серия математическая 62 №1 (1998), 123-164

28. А. В. Пухликов, Бирационально жесткие двойные гиперповерхности Фано Математический Сборник, 191 № 6 (2000), 101-126.

29. А. В. Пухликов, Послойные бирациональные соответствия Математические Заметки 68 №1 (2000), 120-130

30. А. В. Пухликов, Бирационально жесткие гиперповерхности Фано Известия РАН, Серия математическая 66 № 6 (2002), 159-186

31. А. В. Пухликов, Бирационально жесткие гиперповерхности Фано с изолированными особенностями Математический Сборник 193 № 3 (2002), 135-160

32. А. В. Пухликов, Бирационально жесткие итерированные двойные накрытия Фано Известия РАН, Серия математическая 67 № 3 (2003), 139-182

33. В. Г. Саркисов, Бирациональные автоморфизмы расслоений коник Известия АН СССР, Серия математическая 44 №4 (1980), 918-945

34. В. Г. Саркисов, О структурах расслоений на коникиИзвестия АН СССР, Серия математическая 46 №2 (1982), 371-408

35. И. В. Соболев, Бирациональные автоморфизмы одного класса многообразий, расслоенных на кубические поверхностиИзвестия РАН, Серия математическая 66 №1 (2002), 203-224

36. А.Н.Тюрин, Промежуточный якобиан трехмерных многообразий Современные Проблемы Математики 12 (1979), 5-57

37. А. С. Тихомиров, Геометрия поверхности Фано двойного пространства Р3 с ветвлением в квартике Известия АН СССР, Серия математическая 44 № 2 (1980), 415-442

38. А. С. Тихомиров, Средний якобиан двойного пространства Р3 разветвленного в квартике Известия АН СССР, Серия математическая 44 № 6 (1980), 1329-1377

39. А. С. Тихомиров, Особенности тэта-дивизора среднего якобиана двойного пространства Р3 индекса дваИзвестия АН СССР, Серия математическая 46 (1982), 1062-1081

40. А.С.Тихомиров, Отображение Абеля-Якоби секстик рода три на двойное накрытие Р3 индкса два Доклады АН СССР 286 № 4 (1986), 821-824

41. И. А. Чельцов, Особенности трехмерных многообразий, обладающих обильным эффективным дивизором — гладкой поверхностью кодаировой размерности нульМатематические Заметки 59 № 4 (1996), 445-450

42. И. А. Чельцов, Трехмерные многообразия, обладающие дивизором с численно тривиальным каноническим классомУспехи Математических Наук 51 № 1 (1996), 140-141

43. И. А. Чельцов, О гладкой четырехмерной квинтике Математический Сборник 191 № 9 (2000), 139-162

44. И. А. Чельцов, Многообразие Фано с единственной эллиптической структурой Математический Сборник 192 № 5 (2001), 145-156

45. И. А. Чельцов, Лог-канонические пороги на гиперповерхностях Математический Сборник 192 № 8 (2001), 155-172

46. И. А. Чельцов, Антиканонические модели трехмерных многообразий Фано степени четыре Математический Сборник 194 № 4 (2003), 147-172

47. И. А. Чельцов, Нерациональность четырехмерного гладкого полного пересечения квадрики и квартики, не содержащего плоскостиМатематический Сборник 194 № 11 (2003), 95-116

48. И. А. Чельцов, Расслоения на коники с большим дискриминантом Известия РАН, Серия математическая 68 № 2 (2004), 215-221

49. И. А. Чельцов, Метод вырождения и нерациональность трехмерных многообразий с пучком поверхностей дель ПеццоУспехи Матеметических Наук 59 № 4 (2004), 203-204

50. И. А. Чельцов, Бирационально жесткие циклические тройные пространства Известия РАН, Серия математическая 68 № 6 (2004), 157-208

51. И. А. Чельцов, Регуляризация бирациональных автоморфизмов Матеметические Заметки 76 № 2 (2004), 286-299

52. И. А. Чельцов, Двойное пространство с двойной прямой Математический Сборник 195 № 10 (2004), 109-156

53. И. А. Чельцов, Бирационально жесткие многообразия Фано Успехи Математических Наук 60 № 5 (2005), 71-160

54. И. А. Чельцов, Факториальность трехмерных нодальных многообразий и связность множества лог-канонических особенностейМатематический Сборник, принято в печать

55. И. А. Чельцов, Локальные неравенства и бирациональная сверхжесткость многообразий Фано Известия РАН, Серия математическая, принято в печать

56. И. А. Чельцов, JL Воцлав, Нерациональные полные пересечения Труды МИРАН им. В. А. Стеклова 246 (2004), 303-307

57. В. В. Шокуров, Многообразия Прима: теория и приложения Известия АН СССР, Серия математическая 23 №4 (1983), 785-855

58. В. В. Шокуров, Трехмерные лог-перестройкиИзвестия АН СССР, Серия математическая 56 № 1 (1992), 105-203

59. В. В. Шокуров, О рациональной связности Математические Заметки 68 №5 (2000), 771-782

60. К. А. Шрамов, К вопросу рациональности неособых трехмерных многообразий с пучком поверхностей дель Пеццо степени 4Математический Сборник, принято в печать

61. S. Abhyankar, Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces Princeton University Press (1998)

62. A. Andreotti, T. Frankel, The Lefschetz theorem on hyperplane sections Annals of Mathematics 69 (1959), 713-717.

63. M.Artin, Some numerical criteria of contractability of curves on algebraic surfaces American Journal of Mathematics 84 (1962), 485-496

64. M. Artin, On isolated rational singularities of surfaces American Journal of Mathematics 88 (1966), 129-136

65. M.Artin, D. Mumford, Some elementary examples of unirational varieties which are not rational Proceedings of London Mathematical Society 25 (1972), 75-95

66. D. Auroux, L. Katzarkov, D. Orlov Mirror symmetry for weighted projective planes and their noncommutative deformationsarXiv:math. AG/0404281 (2004)

67. D. Auroux, L. Katzarkov, D. Orlov Mirror symmetry for del Pezzo surfaces: vanishing cycles and coherent sheavesarXiv:math.AG/0506166 (2004)

68. F. Bardelli, Polarized mixed Hodge structures: on irrationality of threefolds via degeneration Annali di Matematica Рига ed Applicata 137 (1984), 287-369

69. W. Barth, Two projective surfaces with many nodes, admitting the symmetries of the icosahedron Journal of Algebraic Geometry 5 (1996), 173-186

70. E. Bese, On the spannedness and very ampleness of certain line bundles on the blow-ups of Pc and Fr Mathematische Annalen 262 (1983), 225-238

71. F. Bogomolov, Yu. Tschinkel, On the density of rational points on elliptic fibrations Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik 511 (1999), 87-93

72. F. Bogomolov, Yu. Tschinkel, Density of rational points on elliptic К3 surfaces Asian Journal of Mathematics 4 (2000), 351-368

73. R. Bott, On a theorem of LefschetzMichigan Mathematical Journal 6 (1959), 211-216

74. T. Bridgeland, A. Maciocia, Fourier-Mukai transforms for К3 and elliptic fibrations Journal of Algebraic Geometry 11 (2002), 629-657

75. G. Brown, A. Corti, F. Zucconi, Birational geometry of 3-fold Mori fibre spacesProceedings of the Fano Conference, 29 September 5 October 2002, Torino, Italy (2004), 235-275

76. F. Call, G.Lyubeznik, A simple proof of Grothendieck's theorem on the parafactoriality of local rings Contemporary Mathematics 159 (1994), 15-18

77. F. Catanese, G.Ceresa, Constructing sextic surfaces with a given number d of nodes Journal of Pure and Applied Algebra 23 (1982), 1-12

78. I. Cheltsov, Log pairs on birationally rigid varieties Journal of Mathematical Sciences 102 (2000), 3843-3875

79. I. Cheltsov, On factoriality of nodal threefolds Journal of Algebraic Geometry 14 (2005), 663-690

80. I. Cheltsov, Birationally rigid del Pezzo fibrations Manuscripta Mathematica 116 (2005), 385-396

81. I. Cheltsov, Non-rational nodal quartic threefolds Pacific Journal of Mathematics, принято в печать arXivimath. AG/0405150 (2004)

82. I. Cheltsov, Double cubics and double quartics Mathematische Zeitschrift, принято в печать arXiv:math.AG/0410408 (2004)

83. I. Cheltsov, On nodal sextic fivefold Mathematische Nachrichten, принято в печать arXiv:math.AG/0412522 (2004)

84. I. Cheltsov, Nonrational del Pezzo fibrations arXiv-.math.AG/0407343 (2004)

85. I. Cheltsov, Elliptic structures on weighted three-dimensional Fano hypersurfaces Max Plank Institute für Mathematik (Bonn), preprint MPIM2005-84 (2005) arXiv:math.AG/0509324 (2005)

86. I. Cheltsov, Points in projective spaces and applications arXiv:math.AG/0511578 (2005)

87. I. Cheltsov, J. Park, Weighted Fano threefold hypersurfacesJournal fur die Reine und Angewandte Mathematik, принято в печать arXiv:math.AG/0505234 (2005)

88. I. Cheltsov, J. Park, Sextic double solids arXiv:math.AG/0404452 (2004)

89. I.Cheltsov, J.Park, Factorial hypersurfaces in P4 with nodes arXiv:math.AG/0511673 (2005)

90. C. Ciliberto, V. diGennaro, Factoriality of certain hypersurfaces of P3 Encyclopaedia of Mathematical Sciences 132 Springer-Verlag, Berlin,

91. C. Ciliberto, V. di Gennaro, Factoriality of certain threefolds complete in P5 with ordinary double points Communications in Algebra 32 (2004), 2705-2710

92. H. Clemens, Double solids Advances in Mathematics 47 (1983), 107-230

93. H. Clemens, P. Griffiths, The intermediate Jacobian of the cubic threefold Annals of Mathematics 95 (1972), 73-100

94. J .L. Colliot-Théléne, O.Ojanguren, Variétés unirationnalles поп rationnales au-délla de l'example d'Artin et Mumford Inventiones Mathematicae 97, (1989), 141-158

95. A. Corti, Factorizing birational maps of threefolds after Sarkisov Journal of Algebraic Geometry 4 (1995), 223-254

96. A. Corti, Singularities of linear systems and 3-fold birational geometry L.M.S. Lecture Note Series 281 (2000), 259-312

97. J.Kollar, Nonrational hypersurfacesJournal of the American Mathematical Society 8 (1995), 241-249

98. J.Kollar, Rational curves on algebraic varieties Springer-Verlag, Berlin (1996)

99. J.Kollar, Singularities of pairsProceedings of Symposia in Pure Mathematics 62 (1997), 221-287

100. J.Kollar, Non-rational covers of CP71 x CPm L.M.S. Lecture Note Series 281 (2000), 51-71

101. J. Kolldr, Y. Miyaoka, S. Mori, Rationally connected varieties Journal Algebraic Geometry 1 (1992) 429-448

102. A. Kontogeorgis, Automorphisms of Fermat-like varieties Manuscripta Mathematica 107 № 2 (2002) 187-205

103. H. Matsumura, P. Monsky, On the automorphisms of hypersurfaces Journal of Mathematics of Kyoto University 3 (1964), 347-361

104. M.Mella, Birational geometry of quartic 3-folds II: the importance of being Q-factorial Mathematische Annalen 330 (2004), 107-126

105. J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces Princeton University Press, New Jersey, 1968

106. R. Miranda, Triple covers in algebraic geometry American Journal of Mathematics 107 (1985), 1123-1158

107. Y. Miyaoka, M. Mori, A numerical criterion for uniruledness Annals of Mathematics 124 (1986), 65-69

108. S. Mori, Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds Journal of the American Mathematical Society 1 (1988), 117-253

109. D. Orlov, Equivalences of derived categories and КЗ surfaces Journal of Mathematical Sciences 84 (1997), 1361-1381

110. K. Petterson, On nodal determinantal quartic hypersurfaces in P4 University of Oslo, Thesis (1998)

111. E. Peyre, Unramified cohomology and rationality problems Mathematische Annalen 296 № 2 (1993), 247-268

112. B. Poonen, Varieties without extra automorphisms III: hypersurfaces Finite fields and their applications 11 (2005), 230-268

113. A. Pukhlikov, Birational isomorphisms of four-dimensional quintics Inventiones Mathematicae 87 (1987), 303-329

114. A. Pukhlikov, Birational automorphisms of Fano hypersurfaces Inventiones Mathematicae 134 (1998), 401-426

115. A. Pukhlikov, Essentials of the method of maximal singularities L.M.S. Lecture Note Series 281 (2000), 73-100

116. A. Pukhlikov, Birationally rigid Fano complete intersections Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik 541 (2001), 55-79

117. G. Ravindra, V. Srinivas, The Grothendieck-Lefschetz theorem for normal projective varieties Journal of Algebraic Geometry, принято в печать

118. M. Reid, Young person's guide to canonical singularities Proceedings of Sympposia in Pure Mathematics 46 (1987), 345-414

119. M. Reid, Chapters on algebraic surfaces1.cture notes from a summer program held in Park City (Utah) in 1993 (1997), 5-159

120. M. Reid, Graded rings and birational geometryProceedings of Symposium in Algebraic Geometry, Kinosaki (2000), 1-72

121. D. Ryder, Elliptic and КЗ fibrations birational to Fano 3-fold weighted hypersurfaces University of Warwick, Thesis (2002)

122. D. Ryder, Classification of elliptic and КЗ fibrations birational to some Q-Fano 3-folds arXiv:math.AG/0508467 (2005)

123. B. Segre, A note on arithmetical properties of cubic surfaces Journal of London Mathematical Society 18 (1943), 24-31

124. T. Shioda, Geometry of Fermât varieties Progess in Mathematics 26 (1982), 45-56

125. V. Shokurov, 3-fold, log modelsJournal of Mathematical Sciences 81 (1996), 2667-2699

126. D. van Straten, A quintic hypersurface in P4 with 130 nodes Topology 32 (1993), 857-864

127. N. Tfeiolas, Terminal 3-fold divisorial contractions of a surface to a curve I Compositio Mathematica 202 (2003), 225-238

128. V. Viehweg, Vanishing theoremsJournal fur die Reine und Angewandte Mathematik 335 (1982), 1-8

129. J.Wahl, Nodes on sextic hypersurfaces in P3 Journal of Differential Geometry 48 (1998), 439-444

130. F. Zak, Tangents and secants of algebraic varietiesMathematical Monographs 127 (1993), AMS, Providence, Rhode Island

131. O. Zariski, Complete linear systems on normal varieties and a generalization of a lemma of Enriques-Severi Annals of Mathematics 55 (1952), 552-552МИРАН им. В. А. Стекловаул. Губкина д. 8, Москва 117966Россияcheltsovsyahoo.сом