Численное исследование внутренних течений вязкого газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Каратев, Сергей Георгиевич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1990 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.02.05 КОД ВАК РФ
Автореферат по механике на тему «Численное исследование внутренних течений вязкого газа»
 
Автореферат диссертации на тему "Численное исследование внутренних течений вязкого газа"

л- > Н

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

КАРАТАЕВ Сергей Георгиевич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО ГАЗА

01.02.QfiT— механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1990

Работа выполнена в Вычислительном центре Академии наук СССР.

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, с. н. с.

КОТЕРОВ В. Н.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук ГОЛОВАЧЕВ Ю. П. кандидат физико-математических наук КРИВЦОВ В. М.

Ведущая организация.— Институт проблем механики.

Защита состоится « » . . .... 199^ г.

■в ./X. часов на заседании специализированного совета Д.002.32.01 при 'ВЦ АН СССР по адресу: 117967, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института АН СССР.

9/ /о

Автореферат разослан « . » . . . 1990 г.

И. о. Ученого секретаря специализированного совета, доктор физико-математических наук

ШМЫГЛЕВСКИИ Ю. Д.

-< .. - з -

\:. <! > ОБЩАЯ ХАРЛ1ГГЕП5СП5КА РАБОТЫ

«..тдел I

ритуальность проблеш. Изучение внутренних течений вязкого '~~газа"прёдставляет значительный интерес благодаря многочисленным техническим приложениям. Кроме традиционных задач внутренней газо-, гидродинамики, связанных" с необходимостью прогнозирования параметров потока в проточных частях разнообразных енергетических установок, в последнее время появилась . новая область приложения таких исследований: конструирование, газодинамических каналов сверхзвуковых газовых лазеров (газодинамических, химических, электроразрядных).

Так как натурные експерлменты во многих случаях затруднены, а применение при теоретических исследованиях аналитических методов ограничено, то для решения подобных задач широко применяются численные методы. Численное моделирование течений вязкого газа на основе полных уравнений Навье-Стокеа затруднительно и ив, всегда оправдано ввиду больших затрат ресурсов ЭВМ. С другой стороны, приближение пограничного слоя далеко не всегда монет адекватно описать исследуемые течения.

В связи о втк» большое распространение получили различные систеш упрощенных ("параболизованных") уравнений Навье-Стокса, решение которых существенно проще интегрирования исходных уравнений Навье-Стокса. Тем не менее, до настоящего времени процедура "парабапгаадаи" уравнений Навье-Стокса не может очитаться до конца обоснованной, а методика решения таких уравнений остается доотаточно трудоемкой и может быть улучшена. Поотому актуальным . является* дальнейшее развитие втого направления.

ЦвЛЬ работы состоит в разработке высокоэффективного по затратен ресурсов ЭШ и ' надежно работающего метода Приближенного решения стационарных уравнений Навье-Стокса для внутренних течений при больших числах Рейнольдса и сверхзвуковых скоростях в ядре потока, и исследование с помощью этого метода некоторых конкретных задач расчета вязких внутренних течений, включая течения с объемным теплоподводом.

Научная НОШЗВВ изложенных в диссертационной работе результатов состоит в: ,

разработке • эффективного алгоритма для численного моделирования безотрывных стационарных сверхзвуковых течений

вязкого сжимаемого газа, основанного на использовании в качестве независимых переменных "функция тока-ортогональное дополнение";

- разработке алгоритма решения обратной задачи построения канала, обеспечивающего заданное распределение давления на стенке при безотрывных течениях вязкого газа;

- создание программы для решения как прямых так и обратных задач расчета внутренних течений вязкого газа;

- проведении численных исследований внутренних течений вязкого газа, в том числе и течений с теплоподводом, обусловленным диссипацией энергии . в газовом разряде, возбуждающем сверхзвуковой СО-лазер;

-решение обратной задачи профилирования каналов, в той числе и при наличии объемного теплоподводак

Практическая ценность представляемых в диссертации результатов заключается прежде всего в высокой ёкономичности разработанного численного метода решения упрощенных уравнений Навье-Стокса. Предложенный в работе метод позволяв» рассчитывать течения во всем пространстве потока о наличием до-, и сверхзвуковых областей единообразным споообом в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Созданная вычислительная программа полностью автономна и не требует от пользователя задания никаких управляющих параметров, вое необходимые параметры выбираются в. процессе расчета автоматически. "'"'■''•.

На основе алгоритма решения прямых;-задач создан- метод решения обратных задач, не. требующий модификации разностных схеи и итерационного процесса, что позволяет .решать комбинированные задачи На основе единого алгоритма и единой . вычислительной программой."

Разработанная методика решения уравнений Навье-Стокоа позволяет легко включать в процесс вычислений фазико-химические превращения в газе, учитывать турбулентность и т.д., так как для этих, явлений характерно развитие процессов вдоль линий тока течения. •

Метод решения уравнений, разработанная программа расчета, , а также результаты численных расчетов и приведенные в работе рекомендации, могут быть использованы в НИИ и КБ, занимавшихся вопросами газодинамики и теплообмена.

Апробация работа. Основные результаты диссертации докладовались на Всесоюзной школе-семинаре по численным методам под руководством академика А.А.Самарского (Владивосток, 1989г.), на семинаре по методам решения задач математической физики под руководством доктора физ.-мат. наук Ю.Д.Ымыглевского . (ВЦ АН СССР, 1988г.), на семинаре по газовой динамике под руководством доктора физ.-мат. наук Ю.П.Головачева ^ЛФТИ, 19В9г.), на семинаре отдела механики сплошных сред (ВЦ АН СССР, 1990г.).

Публикации. По результатам работы имеется 4 публикации.

Обгеи и структура Р8ботя. Диссертация состоит из введения, вести глав, заключения, списка литературы и изложена на 111 страницах, включая 33 рисунков. Список цитируемой литература включает 78 наименований.

СОДЕРШШИЕ РАБОТЫ

Во введений диссертации приводится краткий обзор методов решения уравнений Навье-Стокса, дается общая характеристика диссертационной работы и приводится краткое ее содержание.

Первая глава ' диссертации посЁяэдена общей постановке задачи. Для исследования уравнений Навье-Стокса в качестве независимых переменных используются переменные "функция тока i|) .- ортогональное дополнение ф", полные дифференциалы которых подчиняются соотношениям

<3ф=0, (ф)рУ (cosedy - sin9dr), dtp = С2(ф,ф)рг (oos9dr + sln9dy)

где C^ (ф)-заданная функция, Сг (ф,ф)-интегрирую1ций мноштель, подлежащий определения в процессе решения, р-плотность газа, 7 И 9 - модуль вектора »скорости ц его угол наклона к оси X. Система уравнений Навье-Стокса в переменных (ф,ф) приводится в §1.1 диссертации.

В §1.2 получены упрощенные уравнения Навье-Стокса в переменных (ф,ф). Эти упрощенные уравнения полностью содержат двумерные уравнения газовой динамики, уравнения пограничного слоя, уравнения вязкого ударного слоя, уравнения параболического приближения, а также обобщенные уравнения Прандтля (по поводу классификации упрощенных уравнений см. Ковеия В.М., Яненко H.H. Метод растепления в задачах газовой

динамики. - Н.: Наука, 1981. 304 е.). Упрощение уравнений в переменных (ф,ф) Солее обосновано, .чем подобная операция в нормально-связанной системе координат, поскольку смысл "параболизации" состоит в пренебрежении молекулярным переносом' вдоль линий тока (т.е. вдоль линий ф=оопв^ по сравнению о конвективным переносом. ,

В §1.3 полученные упрощенные уравнения анализируются о целью выяснения формы записи в переменны! (ф,ф) законов сохранения массы, импульса и энергии, а Также для формулировки в этих переменных условий Ренкина-Гюгонио на сильных разрывах при невязких течениях.

В §1.4 рассматриваются краевые условия для упрощенных уравнений Навье-Стокса. Для сверхзвуковых течений граничные условия должны быть заданы на входе в канал, на стенках (или оси симметрии) и на выходе из канала, если в выходном срезе имеется область дозвукового течения. В качестве модельных условий на входе в канал В работе рассматриваются условия "ударного профиля" (Войнович П.А., Фурсенко А.А. Метод глобальных итераций Для расчета смешанных течений вязкого газа Дифференциальные уравнения. 1934. ' Т.20, ЯП. С.1151-1156.), которые соответствуют набеганию сверхзвукового однородного потока на входной срез канала с бесконечно тонкими стенками.

В дозвуковых областях выходного среза, канала может быть' задано давление Р, либо так .называемые. "мягкие" условия (ЗР/дф=0 или а2Р/бф2=0). Возможность постановки етих условий в диссертации поясняется с помощью рассмотрения дополнительного уравнения, являющегося точным следствием системы упрощенны!: уравнений ' ':. •

1 0Р, 1 , в , х ОТ 7 0А

(2 ) -АЧ—11- —--1--)+: —РУ— = .С, ,

7-1 (Эф1 м2-1 <эф • ; 7-1 <Эф

где /1=1 С^рУ, Р-давление, Г-температура газа, М-локальное число Маха, 7-отношение теплоемкостей, а правая.часть уравнения 0 не содержит производных ни от давления ни от температуры. При замороженных функциях А, V и учитывая уравнение состояния, связывающее Р и Т, уравнение (2) можно рассматривать как параболическое уравнение для давления со знакопеременным коэффициентом (М2-1 ) перед производной по направлению ф. Для

этого уравнения в сверхзвуковой части потока (И>1) корректно задание граничного условия для давления на входе в канал (((>=0), а в дозвуковой части потока (М<1) справедливо задание граничного условия для давления на выходном срезе (<р=1). В работе проведены исследования влияния граничного условия на выходе из канала. Полученные результаты показывают, что их влияние сказывается лишь непосредственно вблизи выходного среза, причем зона влияния уменьшается при увеличении числа Рейнольдса.

Постановка краевых условий на стенках канала при использовании переменных (ф,ф) нетривиальна, поскольку, в силу условий прилипания на стенках, У=0, и преобразование координат ра етих границах области течения мояет вырождаться. В диссертационной работе показывается, что для предотвращения выровдения на функции С,(ф) и С2(ф,ф) должны быть наложены некоторые ограничения. В частности для безотрывного течения асимптотический вид функций при должен быть следующим

^(ф^Сф-ф*)'1. С2(ф)„С*(ф)(ф-<|),т)-1, где С!-константа, С* (ф)-заданная функция от перемешгой вдоль

. * ТУ

образующей канала, ф - координата стенки. Установлены также асимптотики поведения всех искомых функций при ф->ф5У'. Эти асимптотики используются в дальнейшем для формулировки краевых условий для системы разностных уравнений, аппроксимирующих "параболизованные" уравнения Навье-Стокса в переменных (ф,ф). При численном решении задачи имеющийся произвол в выборе функций С1 и Сг мокет быть использован для регулировки расстЕиоиш узлов разностной сетки в физической 'плоскости (Х.у).

Во второй глпзэ диссертации рассматривается численный метод расчета упррщетшх уравнений Навьэ-Стокса в переменных (ф,ф). В частности, в §2.1 описывается разностная- схема, в которой производные' от всех функций кроме давления • по переменной вдоль потока ф аппроксимируются односторонними разностями "назад" первого порядка точности, произшдные по ф аппроксстдируются симметричной схемой второго порядка точности. Для дискретизации производной давления по ф используется трехточечнйя схема ,

О)

dP)

РФ.

i pJ-pJ pJ -d

\ a{ ' {-1i и-a{} llll-li. i h h

1 ^ * *

где а^-весовой параметр, Л^-шаг разностной, сетки по переменной

ф.

Включение разности "вперед" в аппроксимацию производной давления обуславливается наличием в поле течения дозвуковых областей, где постановка задачи Коши становится некорректной, а маршевые схемы - неустойчивыми. Подобная аппроксимация используется во многих работах (см.напр., Головачев Ю.П., Тимофеев Е.В. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом о помощь» метода глобальных итераций.-Препринт ®ГИ им. А.Ф. Иоф£е АН СССР. Л. 1988. *1254. 29 о.;. Однако, параметр а в них не зависит от разностного решения, а выбирается экспериментально. Такая неопределенность в выборе параметра приводит к плохой сходимости итерационного процесса, а зачастую и к расходимости последнего. В диссертации из анализа разностного аналога уравнения (2) для а предлагается следующее согласованное с разностным решением выражение

а{

7и{глжт-1 К). Uf-

UJ. > 1

< 1

где Mj- локальное "разностное" число Маха потока.

Такой выбор параметра а при численном решении позволяет полностью исключить влияние граничных условий для давления сверху потоку в дозвуковой области и влияние снизу по потоку в сверхзвуковой.

В §2.1 рассматриваются итерационные процессы для решения полученной системы разностных уравнений. Основой здесь является метод глобальных итераций (Войнович П.А., Фурсенко A.A.. Метод глобальных итераций для расчета смешанных течений вязкого газа Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20, *7. С.1151-1156), в котором расчет осуществляется:маршевым методом, а значения давления снизу по потоку в аппроксимации. (3)

берутся с предыдущей глобальной итерации. К, преимуществам метода глобальных итераций следует отнести достаточную простоту и надежность, а также экономию памяти, поскольку для проведения

в

итераций требуется хранения в оперативной памяти ЭВМ только одного двумерного массива давления. Однако, метод обладает и рядом недостатков, в частности, число итераций, требуемых для достижения заданной точности решения, зависит от числа Рейнольдса и числа узлов разностной сетки. Для устранения этих Недостатков в диссертации предлагается использовать модифицированный итерационный метод, в котором в процесс глобальных итераций включается, расчет разностного аналога уравнения (2) маршевым методом 'справа налево в дозвуковой области, что позволяет передавать информацию о граничном условии на выходе из канала по всей длине дозвуковой зоны. В диссертации проводится сравнение обоих итерационных методов, свидетельствующее' в пользу предложенной модификации.

В третьей главе : диссертация приведены примеры расчетов некоторых задач-механики сплошной среды. В качестве тестового расчета", для выяснения точности вычислительного алгоритма, в работе приводятся результаты расчетов коэффициента трения на плоской пластине. Подобная -задача хорошо исследована аналитическими методами и коэффициент трения на пластине может быть достаточно точно вычислен из полуампирической формулы Янга. Проведенные для различных чисел йе и Рг расчеты показывают хорошев совпадение вычисленных значений коэффициента трения с . теоретическими. Наибольшее отклонение численных результатов от аналитических наблюдается на' начальном участке пластины, что естественно, Т.к. на нем сказывается влияние модельных условий" "ударного, профиля". На небольшом расстояния от входа вычисленные и теоретические значения практически оовпадают, что объясняется затуханием возмущений вниз по потоку и -дает основание использовать условия "ударного профиля" в дальнейших расчётах. •

Особый интерес для выяснения работоспособности и границ применимости алгоритма имеет задача о взаимодействии косого скачка уплотнения с пограничным слоем. Такая задача возникает, например, при расчете вязкого внутреннего обтекания тупого угла. Численное решение етой задачи, найденное при помощи алгоритма, изложенного во второй главе диссертации, позволило хорошо воспроизвести критерий отрыва, полученный из асимптотической теории локально-отрывных течений. Данное

исследование позволяет определить границы применимости метода, и, в частности, дает основание утвераадать, что предложенный метод позволяет рассчитывать течение вплоть до отрыва по

с

крайней мере в области больших чисел Рейнольдса (Ле2,10 ).

В главе 3 также приводятся результаты расчетов вязких течений в расширяющихся каналах, каналах о двумя изломами боковой стенки, а также в канале, отеюда которого образованы дугами окружностей. Расчеты демонстрируют возможность воспроизведения различных газодинамических структур: пограничных слоев, волн разрежения, косых и висячих скачков уплотнения.

В четвертой главе диссертации приводится метод расчета полных уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса. Описанный во второй главе численный метод. решения упрощенных уравнений позволяет во внутренних областях течения, удаленных от выходного среза канала, • включить в процесо итераций, отброшенные при упрощении члены тензора напряжений и теплового потока, определяя их о предыдущей итерации. Единообразная схема вычислений позволяет проводить раочет упрощенных уравнений там, где их'применение справедливо и рассчитывать полные уравнения в областях, где упрощение, вообде говоря, не обосновано, например, в окрестностях изломов стенок, на скачках уплотнения и волнах разрежения,' т.е.- там, где характерный размер вдоль потока сравним о масштабом изменения решения в поперечном к потоку направлении. Для выяснения влияния молекулярного переноса вдоль потока на картину течения, в ''главе приведены, примеры расчетов канала о изломом стенки при различных числах Рейнольдса. Полученные результаты показывают, что влияние отброшенных при упрощении уравнений Навье-Стокса членов мало и сказывается лишь при умеренных числах Рейнольдса (Ие^Ю3). Это является хорошим аргументом, обосновывающим применение упрощенных уравнений Навье-Стокса для решения практических задач.

В пятой глава диасертации рассматривается алгоритм расчета обратных задач для течений вязкого газа. В то время как в процессе решения прямых задач требуетоя' определить поля газодинамических параметров в фиксированной физической области, в обратных задачах требуется определить границы течения (или

часть границ), обеспечивающие движение газа с заранее задающий .свойствами. В етой главе рассматривается постановка задачи об определении формы канала,- обеспечивающего заданное распределение давления на стенке, при вязком течении. В рамках моделирования течения упрощенными уравнениями Навье-Стокса, для такой задачи может быть сформулирован численный ме.од, базирующийся на алгоритме из второй главы диссертации. Система разностных уравнений для обратной задачи полностью совпадает с системой разностных уравнений для прямой задачи. Единственное отличие заключается в том, что на йодлежащем профилированию . участке стенки граничное условие "фиксированной стенки" (задан угол наклона стенки) заменяется на граничное условие для давления, а угол наклона стенки считается неизвестным.

Подобное единообразие алгоритмов решения прямой и обратной задач позволяет рассчитывать течения в каналах, часть стенок которых фиксированы, а часть - профилируется. Примеры таких расчетов приводятся в диссертации.

В ВестоЯ глава диссертации рассматриваются течения о теплоподвоДом, " ' обусловленным диссипацией энергии в влектроразрядном СО-лазере. Результата расчетов течения в

плоскопараллёльном канале. о разрядом объемной мощности <¿=150

з " ~ "

6т/сл подтверждают существование пристеночного теплового

пограничного слоя, резко нарастающего вдоль потока и

отрицательно влияющего на процесо лазерной генерации (Войнович

П.А. "Численное; иоделирование. струйных и внутренних течений

вязкого газа" - Дисо.на соискание степени канд. физ.-мат. наук.

•Л. 1984). Для предотвращения чрезмерного утолщения- этой области

в дйсеертации. предлагается профилировать разрядный канал

лазера. Показано', что использование канала с заданным

постоянным давлением позволяет получать течения более

равномерные, в ядре потока, чем течения в плоскопараллельном

канале. Кроме .того, профилирование канала позволяет избежать

возникновения косого скачка уплотнения на передней границе

области, тепловыделения, который появляется при течениях в

шгаскопараллельных каналах и приводит к отрыву потока при

увеличении интенсивности .теплоподвода. Так, например, в

з

.диссертации отмечается, что при мощности разряда и=200 6т/сл не удается рассчитать безотрывное течение в плоскопараллельном

канале. В то же время спрофилировать канал для безотрывного течения с разрядом той же мощности удается.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Разработан и реализован аффективный алгоритм для моделирования стационарных безотрывных сверхзвуковых течений вязкого газа. Моделирование проводится на основе численного решения упрощенных уравнений Навье-Стокса в переменных "функция тока - ортогональное дополнение". В связи с переходом к новым переменным

- получены ограничения на вид интегрирующих множителей, входящих в якобиан преобразования.

- сконструированы корректные граничные условия прилипания для системы уравнений в новых переменных.

2. При дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных построена физически обоснованная разностная схема, в которой динамические и термодинамические параметры течения определяются внутри трубок тока (в предельном случае невязкого течения и одной разностной ячейки поперек канала разностная схема переходит в известное "гидравлическое" приближение). Для учета вллиптического характера упрощенных уравнений в дозвуковых областях течения применяется разностная схема, аппроксимирующая продольный градиент давления в виде взвешенных разностей "назад" и "вперед", позволяхщал построить эффективный итерационный метод глобальных итераций для решения системы разностных уравнений. В о тот известный метод . в диссертации внесены следующие изменения: '

- весовой параметр в аппроксимации продольного градиента давления принимается зависящим от решения разностных уравнений на рассчитываемом слое;

аппроксимация весового множителя выбирается из дополнительного уравнения, позволяющего правильно учитывать области влияния граничных условий для системы упрощенных уравнений Навье-Стокса.

3. Внесение втих изменений в алгоритм решения делает метод работоспособным и автономным. От пользователя не требуется подбора никаких параметров в процессе решения. Все необходимые параметры выбираются п процессе решения автоматически. В процессе решения но требуется применения каких-либо

релаксационных процедур для устранения расходимости процесса. Не требуется также заботиться о начальном приближении поля давления для итерационного процесса. Как показывают расчеты, метод сходится при любом начальном приближении.

4. Предложена модификация метода глобальных итерация, существенно ускоряющая сходимость итерационного процесса.

5. Проведено численное решение некоторых задач. Рассчитаны течения в широком диапазона чисел Рейнольдса в расширяющихся каналах* каналах о изломами стенки и течения в разворачивающем поток канале. Расчеты показывают хорошие возможности воспроизведения различных газодинамических структур: пограничных слоев, волн разрежения, косых и висячих скачков уплотнения. Сравнение результатов расчетов .предотрывных течений о результатами теории локально-отрывных течений дает возможность уТверадать, что предложенный метод позволяет рассчитывать течения,- близкие к отрывным, по крайней мере в области больших чисел. Рейнольдса, где справедлива упомянутая асимптотическая теория. .

6. Разработан алгоритм решения полных уравнений Навье-Стокса пра . болыгйх; числах Рейнольдса, основанный на включении в итерационный процесс решения упрощенных, уравнений членов, отброшенных при упрощений, Бычмоленных о предыдущей глобальной итерации. '' -.'

7. Впервые рассматривается постановка и метод решения обратных задач для вязких течений. Сформулирована задача о профилирований канала, обеспечивающего заданное распределение давления на стенке. Методика построение каналов основывается на решении упрощенных уравнений Навье-Стокса, позволяющих учитывать взаимное ■ влияние пограничного слоя и области почти навязкого течения. Численный метод решения обратных задач аналогичен методу решения прямых задач, ,й профилирование канала может быть осуществлено в рамках единого с прямыми задачами алгоритма. Получены результаты реп'ения некоторых обратных задач для течения газа в каналах, часть стенок которых фиксирована, а чаоть профилируется.

8. Рассмотрены прямые и обратные задачи течения вязкого газа с .объемным теплоподводом, обусловленным диссипацией энергии в газовом разряде, возбуадающем сверхзвуковой СО-лазер. Сравнение

результатов течений в плоскопараллельнои и профилированном каналах показывает, что в профилированном канале создаются более благоприятные для генерации лазерного излучения условия. Показано, что при высоких мощностях разряда профилированный канал допускает безотрывные течения, в то время как, судя по результатам расчетов, в плоокопараллельном канале безотрывных течений не существует.

Основные результаты дисоертации опубликованы в следующих работах:

1. Каратаев С.Г. Численный мет<?д раочета вязких течений. - В сб. "Математическое моделирование в естествознании и технологии". Тезисы докл. Всес.школы-семинара "Численные методы и математ. ыоделир.". Владивосток. 1989. С.33-34. .

2. Каратаев С.Г. Численный метод расчета течений в каналах. Сообщение ш прикладной математике. М. ВЦ АН СССР. 1989. 340.

3. Каратаов С.Г., Котеров В.Н., Численный метод расчета сверхзвуковых течений вязкого гвза//К.вычпсл.матеи. и матои. физики. 1990. Т.29. Й4. С.586-600.

4. Каратаев С.Г. О задаче профилирования канала, обеспечиваю'-цого заданное распределение давления па стенке, при течении вязкого газа. Сообщение со прикладной математике. К. ВЦ АЛ СССР. 1990. 12с.

Подштсано в печать Зала 9 В . Tupas /<££>.

Тстогрофкя ХОЗУ Миотгстроя СССР