Численное моделирование сверхзвуковых течений газа на основе квазигазодинамических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ .

Нч правах рукописи

ШЕРЕГОВ 0?ий Владимирович

УДК 319.-6: 533.6 .

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЕРХЗНУКОШХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА. НА ОСНОВЕ КМН1ГА30ДИНАШЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на ооиоканпе ученой отепошт кандидата физико-математических наук

Мооква - 1991

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени физико-техническом институте

Научные руководителе:

доктор физико-математических наук, профессор Б.Н. Четверушкин

доктор физико-математических наук Т.Г. Елизарова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

О.В. Трошкин

кандидат физико-математических наук В.А. Черкашин

Ведущая организация: Институт высоких температур АН СССР

;та оостоится 1991

о.го часов на засед!

года

специализированного оовета

К 063.91.03 в Московском физико-техническом институте по адрэоу: 141700, г. Долгопрудный, Московской области, Институтский переулок, 6, ШТИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ

Автореферат разослан " 1991 года

Ученый секретарь специализированного оовета||

доктор физико-мате№тическш£ наук

:овский.

ОНЦАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА ГАБОН!

Актуальность проблеск. Растугие запросы аэродинамики, ракэтно-косглкческой техшиа, других прикладных оолаоте?. требуют соверпенстзования традиционных к разработки ловкх численных методов газовой динамики. Многообразие к сложность газодинамических яшгекиЯ ( ударшю волнч, погр&нзлойкые, отрывные, осциллирующие течения, наконец, турбулентность ) такте стимулируют исследования в этой области.

Эффективность численных ж толов зависит как от выбора теоретической модели и алгоритма репеник задачи, так и эт его программной реализации, учктываще* и яспользувдей новые возможности вычислительной тех; гики. В сбою очередь, чио-лешшй эксперимент оказывает обратное влияние на теоретические модели, создает предпосылки для математических обоснований и обобщений. Нередко он позволяет пролить свет на тонкие эффекты, сопрозовдакцие процесс, но ие обнаруживаемые или не разрешаемые современными приборами. Такое взаимодействие должно приводить в итога к созданию методов, адэкват-но учитывающих всэ стороны пройдена — физико-математическую, численную, машинную.

Реферируемая диссертация относится к новому направлению вычислительной аэродинамика, связанному с кинетическими численными алгоритмами для. расчета газодинамических течений. В отличие'от традиционных подходов, в которых разностные схемы строятся исходя из уравнений Эйлера iили Наьъе-Стокса, конструкция кинетических численных алгоритмов принимает во внимание тот факт, что сами уравнения гидродинамики могут быть получены как следствие более сложных кинетических уравнений.

В рамках указанного направления Т.Г.Елизарова и Б.Н. Четверушкин выписали в 1984 г« замкнутую систему уравнений для макроиараметров газа. Эта система, получитая название кваэигазодинамической, послужила основой дта построения класса кинетически-согласованных разностных схем (к.с.р.с.). С помощью к.с.р.с. был численно промоделирэванряд слоээшх газодинамических течений, в частности, - коле башш второго рода в задаче о сверхзвуковом обтекании цилиндрического те-

ла о иглой и взаимодействие турбулентного пограничного слоя со ступенькой. При этом была продемонстрирована возможность расчета течешгй, включающих вязко-невязкое взаимодействие.

Цель работ» - ксследовшше свойств решений квазигазоди-нампчеохнх уравнс:с!Й, теоретическое обоснование и совершенствование к.с.р.е., численное моделирование на их основе пульсациошшх режимов при сверхзвуковом обтекании резонансной трубки.

Научная новизна. Все представленные в диссертации результаты, за исключеш!ем материала §§ I, 2 главы 2, носящего обзорный характер, являются новыми.

Ь'оментными осреднениями модальных кинетических уравнений больцмановского типа получены в 1шьар;1антной форме двэ взаимосвязанные системы уравнений - квазигазодинамическая и обобщенная квазигазодинамичвекая (последняя введена впервые). С помощью формальных асимптотических разложений по малому параметру изучена связь между решениями этих систем и системы Навье-Стокса, а такке мекду репегсис.гп модального кинетического уравнения и уравнения Больцмана в приближении време-' ни релаксации - уравнения ЕГК (Ехатнагара-Гросса-Крука). Для обобщенной квазигазодинампческой системы доказана теорема об энтропии, аналогичная навье-стоксовской и аппроксимирующая Н-теорему для уравнешш КТО. Установлено эволюционное свойство решений квазигазодинамической и обобщенной квазигазодинамической оистем, проведен анализ свойств решений типа ударной волны.

На основе квазигазодинамических уравнений построен усовершенствованный осесимметрический вариант к.с.р.с. на примере задачи о сверхзвуковом обтекании резонансной трубки однородным потоком вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Предложенный подход позволил впервые в численных расчетах получить картину осциллирующего течения в полости, открытой навстречу потоку, дающую хорошее качественное и количественное согласие о экспериментальными данными. Решение это'.: задачи явилось одним из первых (вслед га отмечеш;кми зыш расчетами по талу о иглой) примеров элективного применения к.с.р.с. к численному моделированию нестационарных задач сверхзвуковой газовой динамики.

Практическая ценность. Интерес к задача о колебаниях ударной волны при сверхзвуковом обтекании резонансной трубки связан с необходимостью изучения пульсационных режимов, наблюдаемых в экспериментах и являющихся причиной вибраций и повреждения или раз ругав шш элементов конструкций летательных аппаратов. Предложенный алгоритм может бить применен для расчетов кошсретных технических устройств, поскольку позволяет не только пол п1ить достоверную качественную картину течений, но и определять их количественные характеристики.

Значимость начатых в диссертации исследоьаге*;й свойств квазигазодинамических и обобщенных квазигазодинамических уравнений определяется, прежде всего, необходимостью более глубокого теоретического обоснования к.с.р.с. Проведенный теоретический анализ этих систем как новых кинетических моделей в газовой динамике представляет и самостоятельный интерес.

Предложенный подход и полученные результаты могут быть попользованы как при построении и исследовании новых типов разностных схем, так и для решения прикладных задач в ИПМ АН СССР им. М.В.Келдыша, МШ, МГУ им. М.В.Ломоносова, Институте механики МГ/, ЦАГИ, ряде других научных и проектко -конструкторских организаций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции ИЛИ (I960 г;), всесоюзном семинара по исследованию отрывных течений (ИВГ АН СССР,1989 г.) s а также на научшх семинарах в МГУ (факультет ВМиК, 1989 г., физический факультет, 1991 г.), ИПМ АН СССР гм. М.В.Келдыша (1990 г.), Всесоюзном центре математического моделирования АН СССР (1991 г.), ВЦ АН СССР (1991 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 3 статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения, изложена на 137 страницах, из которых 18 страниц занимают рисунки. Список использованной литературы включает 93 наименования.

0Е50Р СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении характеризуются научное направленно, круг решаемых проблем и применяемые методы. Сформулирована цель работы, приведен краткий перечень полученных результатов, обоснована их актуальность,

В г.чат 1 дан вцеод квазигазодинамической и обобщенной квазигазодгаамическоЛ систем уравнений, анализируется их связь о системой Наьье-Стокса, доказаны теореш об энтропии и о свойствах решений типа ударной волны.

Б § I моментным осреднением с сумматорными инвариантами 1 ,'Т , V*/■<!• модельного кинетического уравнения

^ * (7?)$а=(тШ°+ (п

где - одночастичная функция распределения, и

X - локально равновесный иаксвеллиан и характерное время релаксации молекул в газе, соответственно, о ыакропараметрами, определяемыми функцией £ , получена обобщенная квазига-аодинамическая система уравнений

Л + =С^'Т (Мури.®^ + > (2)

(¡>11)^+ ¿о/рй®й+ =

+(9&рЩг] + ?Ъс1й/рй + с/м?т(рт И)^ + , о)

Здесь - давление, р ~ плотность, 7* - те.-.лор^тура,

- скорость, Е~^(Ч3/2+£) - полная энертпхг., - внутренняя энергия, ^ - показатель ациабатн одноатомного

газа.

Квазигазодинамкческие уравнетш получаотся тем же путем, исходя из другого модельного кинетического уравнения, отличающегося от (I) отсутствием члога (У^)Т^ . Соответственным образом изменяются и правые части уравнений, получаемых его моментншл осреднением. Конец § I содертаст специализации квазигазодинамических уравнений в трех наиболее употребительных случаях - для одномерной, плоско?, и осесимкётричеокой геометркИ.

В § 2 дан вывод пяти дифференциальных следствий системы (2) - (5). Каждому из них соответствует классический аналог в навье-стоксовской модели. Основной результат параграфа, полученный с помощью дифференциальных следствий и формальных ас^.гптотических разложений по малому параметру Л«, - длине сюбодного пробега частиц газа в но возмущенном потоке - утверждает, что гладкие и регулярно заьисяп^э от Л» решения системы (2) - (4) с невязками порядков удовлетворя-

ют уравнениям Навье-Стокса, причем отношение коэффициентов вяэк?сти и теплопроводности Х^Срр'С соответствует

числу Прандтля Рг= 1 : Подобная у.е связь между решениями установлена для модельного уравнения (I) и уравнения БГК.

Вычисления, использующие тензорно-аналитическуго технику и дифференциальные следствия, составляет данное в § 3 доказательство следующего аналога навье-стоксовской теоремы об энтропии.

Теорема 3.1 На любом решении ,

11= Шх) стационарных квазигазодинамических уравнений клао-са С*(&) t Сп - область в , для энтропии 2=Су&1Р/р>+50 справедливо равенство

/ТХ>1<Г8 - скух~$т = (5)

где

= (I- -£ (с^/Ши+?р)33-

(6)

(Щъ(йЬ5,

[скуй][/®?М+г/>]+

Введенная здесь кваэигазодинамическая диссипативная функция ^^ неотрицательна, причем все слагаемые в (6), кроме ( навье-стоксовской диссипативной функция ), о точностью до положительных коэффициентов являются полными квадратами левых частей классических уравнений Эйлера.' Отбрасывая в (5) все члены порядков О (А*,), приходим к классическому навье-стоксовскому результату в стационарном случае.

Дивергентная форма (5) позволяет установить единственность равновесного решения, Т= Т0-СОП&>0 • и - О стационарных квазигазодинамических уравнений в

и, как следствие, получить эволюционное свойство решений рассматриваемых систем?

В нестационарном случае имеет место Теорема 3.2 На любом решении, Т=Т(&)>0, обобщенной квазигазодинамической системы класса С*(&) » Л. - область в пространств, выполняется тождество

& (рЪа+р рйв + скух ££ +

(Их гуНЬв +

где 2) - оператор дифференцирования в частице

газа,

Результат становится более обозримым, если представить его в интегральной форме:

Теорема 3.5 Если ^ => О ,Т= > О ,

- решение системы (2) - (4), .¡! - определяемый им максвеллиан, = £ - + ($9)-$°] I то справедливо эквивалентное С7) тождество ^

Тождество (8) доказано и на решениях модельного кинетического уравнения (I) ( теорема 3.3 ), являясь в этом случае аналогом Н-теоремы Еолъцмана для (Неформальная замена в (8) локально кавье-стоксовс-лНС

кой функцией р приводит к соответствующему интегрально-ч му представлению теоремы об знтрошш для уравнений Наььа — Стокса;

Содержание § 4 составляют результаты, описывающие свойства решений типа ударной волны для квазигазодинамических уравнений. Ключевую роль в доказательствах имеет теорема 3.1 об энтропии. Сначала устаноалена разрешимость относительно производных проинтегрированной с учетом граничных условий ста]попарной одномерной квазигазодинамической системы при

.К полученной таким образом динамической системе применима теорема Гшкара-Линделефа о локально едиьотван-ной разрешимости задачи Коши, что позволяет доказать гладкость класса Ст(!К) решений типа ударной волны для квазигазодинамических уравнений.

Теорема 4.1 На решениях типа ударной волны для квазигазодинамических уравнений выполняется тоэдоство

fiUjS <*>

где

Pi¡ У i - значо'гия макропара;,гстров газа перед ударной волной, f?/f*P¿)- энтропия.

При замене в (9) <£>Кг на получается тождество,

истинное на навье-стоксовской ударной волне. Следствием (9) являются неравенства fiViTS-üW+UüZ ^О* faVi. [(UbVf)/T] ¿ О i связывающие макропараметры на решениях типа ударной волны.

В предельном случае, отвечающем бесконечно малой теплопроводности газа, развитый метод позволяет доказать следующие утверждения.

Теорема 4.2 При Х - О на любом ударно-волновом решении одномерной системы квазигазодинашческих уравнений для любого X 6 ¡R выполняются неравенства 0 < S(X) <■ Л S » где AS=Cy&l (fbiPÍ/fizPt) - полное приращение энтропии.

Теорема 4.3 В условиях предыдущей теоремы на ударной волне производная S'(OC) неотрицательна и энтропия S(Xj возрастает на JR, .

Из полученных в § 4 неравенств следуют точные двухсторонние оценки взаимных иэменешй одних макро параметров газа относительно других.

В глава II tía основе кинетически согласованных разностных схем проведено численное моделирование задачи о сверхзвуковом обтекании резонансной трубки однородным потоком вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Получены пульсаци-ошше режимы, наблюдаемые экспериментально. Проведен качественный и количественный анализ результатов расчетов в сопоставлении с данными других расчетных и экспериментальных работ.

В двух первых параграфах дани обзоры экспериментальных, численных и теоретических исследований по сверхзьукогаму об-текшшю полостей я выемок, а также по кинетическим числе:-шим методшл газовой динамики.

Пульсадиоиные режимы в резонансных трубках Гартмана -Спренгера генерировались различными способами. Исследователи помещали трубки в цедорасширенную озерхзяуковуп струп, возбуждали колебашш периодическим дв:кота8м порция, посредством внесения искусственных неоднородность.", в исток. !.'есга-цконарные осциллирущие течения, возникающие при помецети резонансной трубки в однородный сверхзвуковой поток, исследовались в работах Т.Ьребаловпча и /.!.(Абалкина (1958 г.), Р.Джонсона (1959 г.), Ю. Б. Елисеева и А.Я.Чоркеза (1971 г.), М.Шигеми, X.Ко яма, Я. Аихара (1976 г.), А.Н.Антонова и С.П. Шалаева (1979 г.) и других. Попытки численного моделирования задачи в однородных сверхзвуковых потоках предпринимались ¡¿.М.Гклинским и ¡.1.Г.Лебедевым (1976 г.), Я.А.Вагрален-ко, Б.Н.Ляховым и В.М.Устиновым (1979 г.), В.Т.Гринь, К.Н. Славяновнм и Н.И.ТилляевоЯ (1937 г.), однако во всех агуча-ях возникавшие на начальной стадии колебания затухали ц в асимптотике устанавливались стационарные картины течений.

Вычислительные алгоритмы для решения задач газовой динамики обычно конструирует на основе систег.ш Эйлера, полных или упрощенных уравнений Навье-Стокса. Использовшшю для этих целей уравнений Болыдеана, НТК и других препятствовали „ большая размерность задачи и трудности, связанные с аппроксимацией интеграла столкновений. Однако, начиная примерно с середины 70- х годов получили определенное развитие численные методы, использующие идеи из кинетической теории газов.

Феноменологическая кинетическая модель, в которой движение газа представляется как циклически повторяющиеся процессы бесстолкнопителъного разлета молекул и последующей мгновенной максвсллиэацки, нашла применения в работах В.З. Поткина (1975 г.), С.Каниэля (1980 г.), Р.Рейтца (1981 г.), В.В.Аристова к '¡>.Г.Черемлсина (1982 г.), М.И.Болчинсхой, А.Н.Павлова и Б.Н.Чстверушкина (1983 г.), Т.Г.Елизаровой и Б.Н.Четверуикина (198-1 г.), С.Дешпанда и Дх.Мандата (1986 г.) и других.

Расчеты одномерных тестовых задач показали принципиальную возможность использования кинетических методов, выявили определенные их преимущества и хорошую точность1 5 1984 г. Т.Г.Елизарова к Б.Н.Четверушкин , исходя из указанной феноменологической модели, ввели систему квазигазодинамических уравнений в декартовых координатах, считая время бесстолкно-штельного разлета Т= СОП$Ь достаточно малым. Эта система посдудига отпраышм пунктом для построения кинетически согласованных разностных схем. В дальнейшем к.с.р.с. апробировались в расчетах одномерных, плоских и осесимметрических задач газовой динамики о плоскими границами, в том числе таких, в которых влияние вязкости и теплопроводности существенно.

В § 3 дана постановка задачи о сверхзвуковом обтекают резонансной трубки однородным потоком вязкого снимаемого теплопроводного газа. Путем интегрирования надлежащим образом модифицированных квазигазодиначических уравнений по ячейкам расчетной области построен следующий осесимметричеокий вариант к.с.р.с. :

(ГЦ ->■ * ^Рг^'У^уЩ* (ГЦ + + (/"¿М =

г'1 [г х С^!/г)1]г [г(ри&)г]г.

Здесь ^ - плотность, р - давление, Ц^ , И^ - компоненты скорости, Е^ССУ^^/Н-В] - полная энергия, - в;огтрен!1яя энергия, ^ = 1.4 - показатель адиабаты, - температура, Т^р'1,

Ю-ф^^С^) ,СС - скорость звука, £о и - численные параметры. Уравнения выписаны в безразмерной форме, а для разностных производных использованы стандартные обозначения.

В соответствии с порядком уравнений на твердых стенках ставилось дополнительное по сравншшю о уравнениями Кавье-Стокса граничное условие для давленияЪр/дЦ = 0, обеспечивающее выполнение интегральных законов сохранения. В приграничных ячейках расчетной области разностные схемы видоизменялись с учетом граничных условий,. Отличительные моменты описанного осесимметрического варианта к.с.р.с. связаны о более точным обобщением квазигазодинамических уравнений ка олу-чай СОП^Ь и другим способом аппроксимации граничных условий.

В § 4 представлены результаты численного счета по описанному выше вычислительному алгоритму. Расчеты проводилиоь на равномерных по пространству разностных сетках 81 х 81 и 101 х 101. Числа Маха и Рвйнольдса, соответственно, выбирались равными М.^ = 3.7, Яво9 = 5.1.04 или [¿Р^* 2 1Сг . В результате независимо от начальных данных возникало нестационарное осциллирущее течение, сопровождающееся незатухающими пульсациями давления на дне полости п колебаниями ударной волны перед трубкой. Общая качественная картина и ряд основных количественных характеристик расочитанного те-

чоигл находятся в согласии с известными экспериментальными данными. Течение разделялось на две фазы: сжатия, при котором газ втекал в полость, и расширения, сопровождающегося выплеском газа из полости. На 'фазе расширения внутри полости возникал торообразный вихрь, кграидай, по-видимому, немаловажную роль в механизме генерации колебаний. Подобный вихрь наблюдался и в экспериментах. Здесь удалось проследить его эволюцию. Колебания имели вид стоячей вол1ш с периодом, соответствуют! числу Струхаля 0.25. При увеличении

глубины полости росли амплитуды пульсаций давления и осцилляции ударной волны при слабо измеяядсихся средних значениях характеристик ( средние температура, давление, отход ударной волны ). Последние были близки также к соответствующим характер)!стихам в расчетах других авторов. Анализ кривых давления показывает наличие в спектре колебаний как минимум двух мод.

В расчетах на более мелкой сетке 101 х 101 качественная картина и основные параметры течения сохранялись. В качестве теста рассмотрена задача о сверхзвуковом обтекании цилиндрического торца. В этом случае колебаний не возникало и течение выходило на стационарный речам;

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Исходя из модельных кинетических уравнений получены в инвариантной форме и без предположения о постоянстве параметра V ( характерного времени релаксации ) кваз«газодинамическая и обобщенная квазигазодинамическая системы уравнений, совпадающие в стационарном случае, причем последняя введена впервые. С помощью формальных асимптотических разложений по малому параметру - длине свободного пробега частиц газа в невозмущенном потоке - показано, что регулярно зависящие от Л» решения обобщенной квазигазодинамичео-кой системы с невязками порядка 0(ДД^ удовлетворяют уравнениям Навье-Стокса. Подобным ге образом связаны решения модельного кинетического уравнения и уравнения ЕГК;

2. Д~я обобщенной квазигазодинамической системы доказан аналог навье-стоксовской теоремы об энтропии, получено его интегральное представление и вняглена связь с Н-теоремой

для уравнения ЕГК. При этом впервые введена неотрицательная квазигазодинамическая диссипатиачал функция, прсцстаалящая самостоятельный интерес. Используя дивергентную (форму энтропийной теоремы и неотрицательный функционал на решениях, оп-редоляешй о помощью кваяигазодпнамической диссипативной функции, устаноалено эволюционное свойство решоний кваэигч-зодинамической и оборонной квазигазодинамичес1сой систем и доказаны свойства peir-чшй типа ударной ватин: интегральные соотношения и неравенства, которым они подчинятся, гладкость класса CT'ffl), возрасташш энтропии на ударной волне, обуслоаленной действием одной только гязкости.

3. На основе каазигазодинамических уравнений и с учетом их теоретического алагаза построен усовершенствованный осе-симметрический вариант кинетически согласованных разностных схем. Предложенный способ аппроксимицди задачи отличается

от применявшихся ранее в расчетах по к.о.р.о.

4. С помощью к.с.р.с. проведено числонное моделирование задачи о сверхзвуковом обтекашш резонансной трубки однородным потоком вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Впервыз в численных расчетах получена картина течения о незату!саи4и-ми пульсациями давления на дне полости и осцилляциямп ударной волны перед резонансной трубкой. При этом обнаружено хорошее качественное и количественное согласие с экспериментальными данными.

Публикации по теме диссертации

1. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид системы квазигазодинамических уравнений и ее связь з уравнениями Навье-Стокса : Препринт !Ь 230. М.: ИПМатем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1987. 18 о.

2. Елизарова Т.Г., Четверушкин E.H., Шеретов Ю.В. О некоторых результатах расчета сверхзвукового обтекания полого цилиндра, проведенного в рамках кинетически-согласован них разностных схем : Препринт # 97. Ii.: ИПМатем. им. М.В.Кол-дша АН СССР, 1988. 22 с.

3. Антонов А.Н., Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н., Шеретов Ю.В. Расчет пульсационных режимов, возникаицих сгри сверх-

звуковом обтекании резонансной трубки : Препринт № 91.-М.: ИПМатем. им. М.В.Квддыша АН СССР, 1989. 24 с.

4. Антонов А.Н., Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н., Шоротов Ю.З; Численное моделирование пульсационных режимов при сверхзвуковом обтекании полого цилиндра // I. вычисл; магек. и матам, физ. 1990. Т.'301« 4. С.- 548-556.

5. Шеретов Ю;В, Уравнения Навье-Стокса как асимптотика обобщенной квазигазэдинамической системы : Препринт № 46.

М;: ИПМатем. им. М.Е.Келдыша АН СССР, 1990. 12 о.

6. Шеретов Ю.В. Теорема об энтропии для квазигазодинамичео-кпх уравнений: Препринт Я 131. М.*; ИПМатем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1990. 21 с.

7. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. О свойствах решений типа ударной волны для квазигазодинамических уравнений: Препринт № 156. М;: ИПМатем. им. М.В.Квлдаша АН СССР, 1990. 15 с.

8. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид и асимптотические свойства обобщенной квазигазодинамической системы // X. вычисл. ыатем; и матем. физ. 1991. Т. 31. * 7.

С. 1042-1050.

М<РТи Зас.«' 29.0*. 9! /пир. /ОО