Численное решение задач идеальной гидродинамики и фильтрации в нерегулярных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

- Ь ни/

На правах рукописи

ГАССИЕВ РУСЛАН ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАМ ИДЕАЛЬНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ФИЛЬТРАЦИИ В НЕРЕГУЛЯРНЫХ ОБЛАСТЯХ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- латежатических наук

Москва - 1997 -

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета ВМиК Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова и на кафедре математического анализа факультета математики СевероОсетинского государственного университета им.К.Л.Хетагурова.

Научный руководитель: доктор физико- лапелатических наук

П.Н.Бабище бич

Официальные оппоненты: доктор физико- лапелатических паук,

Ю.А.Еовещенко,

кандидат физико- лателашических наук, А.Г.Чурбанов

Ведущая организация .• Институт проблем. безопасного разбития

атолной энергетики РАН

Защита состоится "____" 1997г.

на заседании диссертационного совета К 003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: Москва, Миусская пл., д.4 А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан "_b.it" (М. (л Р ^'Л 1997г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико- математических наук

С.Р.Свирщедский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке вычислительных алгоритмов сквозного счета в сложных расчетных областях, построенных на основе метода фиктивных областей, для некоторых задач динамики идеальной несжимаемой жидкости и фильтрации.

Актуальность проблемы. Важным и интенсивно разрабатываемым направлением вычислительной математики и прикладного математического моделирования является в настоящее время разработка численных методов решения краевых задач в сложных нерегулярных областях. Среди различных подходов к решению задач математической физики в сложных областях большое внимание уделяется методу фиктивных областей (МФО). Построенные на оонове МФО разностные методы естественно отнести к методам сквозного счета, так как граница расчетной области явно не выделяется. Соответствующие разностные задачи характеризуются разрывами коэффициентов, которые очень велики (или малы) в фиктивной области. Это требует тщательного отбора как вариантов метода фиктивных областей, так и методов решения сеточных задач, которые плохо приспособлены к реализации разностных схем МФО.

Характерным признаком многих задач, например, задач идеальной гидродинамики, теплопроводности, фильтрации, является наличие свободных (неизвестных) границ. В ряде случаев задачи со свободными границами сводятся к вариационным неравенствам, что особенно важно с точки зрения конструирования конкретных вычислительных алгоритмов для их приближенного решения. Связанные с таким подходом классические методы штрафа позволяют строить эффективные вычислительные алгоритмы для приближенного решения задач со свободными границами. Методы указанного класса обладают свойствами однородности вычислительного алгоритма и являются методами сквозного счета.

Создание эффективных численных методов решения задач в сложных нерегулярных областях на базе МФО и методов штрафа, исследование с их помощью прикладных задач, в том числе задач со свободными границами в идеальной гидродинамике, фильтрации, теплопроводности является актуальной задачей вычислительной математики.

Цель» работы является разработка численных методов решения

задач идеальной гидродинамики и фильтрации в сложных нерегулярных областях на основе метода фиктивных областей, численное исследование задач со свободными границами в идеальной гидродинамике.

Основные результаты работы:

1. Рассмотрены вопросы тееленной реализации метода фиктивных областей на основе попеременно- треугольного итерационного метода при приближенном решении эллиптических краевых задач.

2. Проведено численное исследование двумерных задач динамики идеальной несжимаемой жидкости: циркуляционное обтекание тел в плоском канале, потенциально- вихревые течения по схеме М.А.Лаврентьева в канале сложной формы, плоские течения двухслойной жидкости в канале с твердыми криволинейными границами.

3. Разработан однородный вычислительный алгоритм скво.зного счета на основе метода фиктивных областей для задачи фильтрации жидкости под гидротехническим сооружением.

Научная новизна работы состоит в проведении исследования и сравнительного анализа различных методов решения одномерных задач со свободной границей, методов сквозного счета на основе метода фиктивных областей и метода штрафа для эллиптических задач в сложных областях, в численном исследовании интереспого класса задач идеальной гидродинамики.

Практическая ценность. Разработанная в работе на основе МФО и метода штрафа методика сквозного счета и предложенные алгоритмы, реализованные на ЭВМ, могут быть использованы для численного исследования широкого класса задач в сложных нерегулярных областях, задач со свободными границами.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Шушенское, 1986г.), на конференции молодых ученых факультета ВМиК МГУ им.Ы.В.Ломоносова (1985г.), на научно- исследовательком семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ под руководством академика А.А.Самарского в МГУ (1987г.).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 104 наименований, изложена на 133 стр. машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цели исследования, дается обзор работ, примыкающих к теме работы, и кратко излагается содержание

диссертации.

Глава 1 посвящена численным методам решения одномерных и двумерных задач со свободной границей и вычислительной реализации МФО. В § 1 рассматриваются вопросы численного решения одномерных задач со свободной границей. Естественным подходом при решении одномерной задачи со свободной границей является замена переменных такая, что в новых переменных расчетная область фиксирована. Простейшая замена этого класса носит название преобразование Ландау и имеет вид х - £ т), где Г) £ (0,1), а х = С - неизвестная (свободная) граница.

Другой тип преобразований, которые фиксируют расчетную область в задачах со свободной границей, связан с тем, что зависимая переменная и(х) становится независимой. О такой процедуре говорят как о методе обращения переменных - зависимая переменная и стала независимой, а независимая х - зависимой.

Для решения одномерных задач применяется также метод фиктивных областей в сочетании с двумя методами штрафа. В этом случае в уравнениях появляются разрывные коэффициенты, а на свободной границе ставятся неоднородные условия сопряжения

(¿V

/>7=0, [ — ] = ф, х = ь ах

где [г] - г(х+0)-г(х-о).

В первом варианте метода штрафа при конечноразпостной аппроксимации неоднородного условия сопряжения в одномерном случае получается разностная задача с сеточной 6-функцией в правой части. Во втором варианте метода штрафа решение в фиктивную область продолжается более гладко и ставится граничное условие второго рода. Проведено исследование возможностей всех четырех методов на модельных задачах со свободной границей.

В § 2 рассмотрены возможности одного из наиболее быстрых итерационных методов решения сеточных уравнений - попеременно-

треугольного метода А.А.Самарского - для решения эллиптических задач с малыми (большими)^ параметрами. Представлены результаты численного решения модельной задачи Дирихле и смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона с помощью двух вариантов МФО: при продолжении по старшим и младшим коэффициентам.

Общий вывод состоит в том, что модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод пригоден для вычислительной реализации всех вариантов МФО, но предпочтительнее вариант с продолжением по младшим коэффициентам.

Вопросам приближенного решения двумерных задач со свободной границей на основе метода штрафа посвящен § 3. Приводится вариационная формулировка краевой задачи со свободной границей для эллиптического уравнения второго порядка. При решении соответствующей задачи минимизации с ограничениями используются различные варианты метода штрафа, уравнение Эйлера решается па основе метода Ньютона- Канторовича (метода квазилинеаризации).

В § 4 рассматривается модельная задача со свободной границей и стационарные диесипативные тепловые структуры в нелинейной теплопроводной среде с поглощением. Используя преобразование Киргофа, переходим к уравнению

Д и - 7 и0 = О

с положительными постоянными 7,0. В работах Мартинсона А.К., Павлова К. Б. и Калашникова A.C. показано, что при о < о < i наблюдается локализация тепла. На неизвестной границе теплового фронта s имеем

ди

и(х) = о, —(х) = о, х е s.

dv

Численно исследуется процесс распространения тепла в полуполосе при локализации тепла.

Глава 2 посвящена численному решению некоторых задач идеальной гидродинамики. В § 1 построен вычислительный алгоритм сквозного счета для решения двумерных задач циркуляционного обтекания произвольного цилиндра с сечением DQ идеальной несжимаемой жидкостью. Для приближенного решения задачи

применяется МФО, который позволяет перейти к задаче в регулярной области. Считается, что течение безвихревое^ и на непроницаемой границе Зв0 обтекаемого тела функция тока ф(х.), х = (х1,х2) принимает постоянное значение:

фОО = с, х € Зд0.

В рассматриваемой задаче циркуляционного обтекания константа С определяется из условия задания полной циркуляции скорости на границе обтекаемого тела:

Зф

I — йх = Г. <Эг>0 дт

Особенностью поставленной задачи является именно граничное условие на - так называемая видоизмененная задача Дирихле.

Описывается вычислительная реализация метода и приводятся примера расчетов обтекания эллиптического и кругового цилиндров при разных значениях параметров задачи, иллюстрирующие возможности метода фиктивных областей.

В § 2 рассматриваются плоские течения идеальной жидкости в канале сложной формы с внутренними свободными границами. Исследуется модификация схемы обтекания М.А.Лаврентьева, которая основана на склеивании потенциальных и вихревых течений с неизвестной границей их раздела. Область течения О разбивается на две лодоблести: потенциального течения (Б^) и вихревого а>2). В С = О2 ищется решение уравнения Пуассона для функции тока с

разрывной правой частью:'

Дф

' о, <!)(х) > о (х е d1), исф J, ф (X) $ О, (X € D2).

Решение задачи Дирихле для этого уравнения в общем случае неединственное и при ее приближенном решении необходимо строить вычислительные алгоритмы, позволяющие выделить то или иное решение. С отой целью завихренность W Ф const в вихревой области не задается, а определяется из условия задания циркуляции по

границе вихревой области:

X и Ох = Г.

ф<о

Задача в канале со сложным сечением решается с использованием метода фиктивных областей в варианте с продолжением по младшим коэффициентам.

Анализ проведенных расчетов показывает, что предложенная модификация схемы обтекания М.А.Лаврентьева позволяет построить быстросходящийся итерационный метод и провести расчеты конкретных потенциально- вихревых течений. Построенный однородный вычислительный алгоритм может быть использован и в других задачах гидродинамики.

В § з представлены результаты численного исследования течений двухслойной жидкости в канале с твердыми криволинейными границами. Для этой задачи со свободной границей предлагается обобщенная формулировка задачи, удобная для численного исследования. После преобразований задача сводится к отысканию решения нелинейного уравнения

Дф = - Г(х) 5С<р-ф*.Ь х € Э,

где бСф) - 5-функция. Рассмотрена модельная задача о течении двухслойной жидкости в канале с квадратной выемкой. Применялся однородный вычислительный алгоритм, построенный на основе МФО и размазывания 5-функции в правой части уравнения.

Глава з посвящена численным методам решения краевых задач фильтрации несжимаемой жидкости. В § 1 исследуется фильтрация к скважинам при произвольной области фильтрации. Рассматривается фильтрация в плане, когда фильтрационными течениями поперек пласта пренебрегается. В многосвязной области 1>0 = ВХСО^П^и... 11йп) фильтрация описывается уравнением Лапласа для функции напора, где В., 1 - 1,2,...,11 - круговые вырезы (скважины), О - область фильтрации. На скважинах ставятся различные граничные условия, в частности, задаются значения напоров. Разностные схемы сквозного счета строятся на основе МФО и разностной схемы В.Б.Андреева.

В задаче о динамике (стягивании) контура нефтеносности

область фильтрационного течения нефти, окруженной водой, является подвижной и она неизвестна. На нестационарной границе dD(t), где t - время, задается однородное условие

U(X,t) = О, X i ÖD

и нелинейное условие

du ди _ т — + (—) = о, х i dD,

dt dv

где m- пористость грунта. Поставленная задача некорректна в классическом смысле - получающееся уравнение является вырождающимся уравнением с обратным временем. Для приближенного решения задачи при С < О (корректная задача) предложена обобщенная формулировка задачи и метод сквозного счета с размазыванием б-функции.

В § 2 для решения общей задачи стационарной фильтрации несжимаемой жидкости в грунте под гидротехническим сооружением (плотиной) предлагается вычислительный алгоритм на основе метода фиктивных областей. Решение задачи затрудняют криволинейность границ и наличие разрезов (шпунтов). Приведены модельные расчеты в различных условиях: различное заглубление флютбета, шпунтов, сложная граница водоупора, неоднородный грунт.

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах:

1. Вабищевич 17.Я., Гассиеб P.S., Пулаяоб U.A. Вычислительная реализация метода фиктивных областей для эллиптических уравнений на основе попеременно- треугольного метода// ЖВМиМФ. 1987. -Т.27, Ä 9. С.1381-1387.

2. Вабищевич H.H., Гассиев Р.В. Стационарные тепловые структуры в нелинейной среде с поглощением// Вестн. Моск. ун-та. Вычислит, матем. и киберн. 1987, J& 3., С.47-50.

3. Гассиев Р.В. Диссипативные тепловые структуры в нелинейной среде с поглощением// Некоторые вопросы вычислительной математики, математической физики и программного обеспечения ЭВМ. М., МГУ, 1987. С.33-34.

4. Вабищевич H.H., Гассиев Р.В. Вычислительные алгоритмы сквозного счета для решения задач идеальной гидродинамики// Численные

методы решения обратных задач математической физики. М., МГУ, 1988. С.97-105.

5. Вабищевич H.H., Гассиев Р.В. Численное решение задачи о склейке потенциальных и вихревых течений// Численные методы механики сплошной среды. 1986. Г.17, J6 з. С.10-18.

6. Вабищевич E.H., Гассиев Р.В. Численное исследование течения двухслойной идеальной жидкости// Моделирование в механике. 1988. Т.2, Je 1. С. 17-25.

7. Вабищевич H.H., Гассиев Р.В. Численные методы решения задач идеальной гидродинамики со свободными границами// Вычислительные методы и математическое моделирование. Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов.

"Шушенское, 1986. С.19-20.

8. Вабищевич H.H., Гассиев Р.В. Численное решение задачи напорной фильтрации под гидротехническим сооружением// ЖВМиМФ. 1987. Т.27, Ji 10. С.1580-1584.