Число автоморфизмов моделей суперстабильных теорий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

31 О Я 9 %

Министерство науки, высшей школы и технической политики РФ

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЖЕТПИСОВ Кабылда

ЧИСЛО АВТОМОРФИЗМОВ МОДЕЛЕЙ СУПЕРСТАБИЛЬНЫХ ТЕОРИЙ

01.01.06-математическая логика,алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск-1992

Работа выполнена в Карагандинском государственном университете им Е.А-Букетова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Мустафин Туленды Гарифович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Палютин Евгений Андреевич кандидат физико-математических наук Нуртазин Абыз Гемиргалиевич

Ведущее учреждение - Казанский Государственный Университет

Защита состоится •-.1992г. в часов

на заседании специализированного совема К 064.36.02 при Омском Госуниверситете по адресу : Омск, пр.Мира,55.

С диссертацией шхно ознакомиться в библиотеке Омского Госуниверситета.

Автореферат разослан '/!<: 19Я2г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук

В.А.Романьков

Со времен Эрлангенской программы Клейна группы автоморфизмов математических структур используются как для классификации различных математических объектов, так и для изучения ватных внутренних свойств самих этих структур.

С с амого начала появления теории моделей автоморфизмам алгебраических систем уделялось большое внимание. Теоретико-модельным вопросам, связанным с автоморфизмами, посвящены ряд работ Л. И. Мальцева, Б .И.Плоткина, Б.И-Зильбера, А.С.Морозова, Т.Г.Мустафина, А.Эренфойхта, А.Мостовского, М.Морли, С.Шелаха, А.Рыль-Нзрдзевского, Р-Воота, А.Лахлана, Д.Ласкара, Д.Болдуина, В.Харника, Д.Кыокера, У.Ходхеса, Макферсона и др Это обусловлено главным образом тем, что одно из фундаментальных понятий теории моделей - понятие типа можно отождествить с орбитой элементов некоторой специальной модели (так называемой монстр-модели) при действии на нее группы всех ее автоморфизмов. Поэтому на языке автоморфизмов, как это показано в 131 можно сформулировать многие понятия теории моделей, в частности, ш - категоричность, стабильность теорий.

В работе 151 -впервые, были рассмотрены группы г -люморфизмовдю де ле'й нес четно категоричных тборий. В ней получены ряд • результатов о количестве и продолжаемости автоморфизмов. (Сроме того, там же сформулирован следующий вопрос.

Вопрос Болдуина:

Пусть Т несчетно категоричная теория.

<Ап;п«>>> - башня Морли ее счетных моделей. Существуют ли такие числа 1 ^ к < т ^ " , что |Аиг(лп)| < <■>. при 1 * п < к, |Аи1;(»п)|=и при к < п < т, |Аип(Ап)| =2" при т < п < ь> ?

В связи с теоремой Зоддуина о продолжаемости любого автоморфизма лементарной подмодели для моделей несчетно категоричных теорий, Т.Г.Мустафиным был поставлен вопрос.

Вопрос Мустафина: В каких « - стабильных теориях любой автоморфизм любой модели продолжается до автоморфизма любого ее элементарного расширения.

Основными результатами диссертации являются :

1.Отрицательный ответ на вопрос Болдуина;

2. Получение ответа на вопрос Мустафина для одного класса суперстабильных теорий, содержащего «> - стабильные теории.

Основные методы исследования взятн из классической теории моделей и теории стабильности. В доказательствах активно используется метод ответвляемости. Все результаты работа являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория моделей" ИПМ АН РК, кафедры алгебры и математической логики КазГУ, кафедры высшей алгебры КарГУ, на международной конференции по алгебре, посвященной памяти А. И. Мальцева (Новосибирск, 1989г.), советско-французском коллоквиума по теории моделей (Караганда, 1990г.), I* - Всесоюзной конференции по математической логике (Ленинград, 1988г.), X - Всесоюзной конференции по математической логике (Алма-Ата, 1990г.), и IX - Республиканской конференции по

математике и механике (Алма-Ата. 1989г.)

Содержание диссертации публиковано в И-та работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Работа состоит из введения, трехглав и списка цитируемой литературы, содержащего 53 наименования. Работа изложена на 1821 страницах текста.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

Глава I посвящена изучению числа автоморфизмов счетных моделей несчетно категоричных теорий- Предварительно доказано следующее предложение 1.1, которое показывает что для решения вопроса Болдуина достаточна рассмотреть случай, когда у теории все элемента простой модели выделены.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1.

Если ао - простая модель несчетно категоричной теории

и |Аиг(ло>| < " , то

1. А0=ас1 (0);

2. ТЬ(ло) ы - некатегорично;

3. если 8« Аиг (лп), то 8/ «0 « Аи1;(Д0);

4. |А1ШДП)| = |Аиг(ло)|»|Аиг(дп,о)аеД

О

Основным результатом этой главы является следующая теорема:

ТЕОРЕМА 1.1.

Пусть Тнесчетно категоричная, но счетно некатогоричная теория,

<Дп;п<"> - башня Морли ее счетных моделей, |Аи1;(ло)|=1. Тогда, если |Аиг(Дп)|<<л для некоторого 1 ^п<ь>,тоТ является почти сильно минимальной, вырожденной в (смысле

Ц]) теорий и для любого п < и , либо

|АШ<Ап| < ы , либо |Аи^С®„) ) =2°*•

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

Из предложения 1.1 и твооемы 1.1 г чедует отрицательный ответ на вопрос Болдуина..

ЗАМЕЧАНИЕ г-

Ответ на вопрос Болдуина независимо и одновреиенно получен А.Т.Нуртазиным в 14].

Условимся писать |Аиг(лп)|=Г1п1ге, если |Аиг(дп)|<и. Так как, всюду будем предполагать, что &0=с1с1 (и) и будем интересоваться поведением |Аиг(Лп)|, то под авто-характеоистической функцией (короче, а.-х. функция) будем понимать отображение вида:

-> £ Г1ШЛе , « , 2" > удовлетворяющее условию

!(П) 5 1(»1), 1(0) =1, для всех п < ы (естественно, полагается Г1п1ге < ы < 2"). А.-х. функцию 1 назовем ОСОБОЙ , если

Г(п) = 11п1Ле при 1 ^ п 5 к, Г(к+1) = " для некоторого к <

Будем говорить, что а.-х. функция 1 РЕАЛИЗУЕМА В

»

КЛАССЕ ТЕОРИИ К, если 1(п) = |А^(Ап) | длявсехп<ы в некоторой несчетно-категоричной, но счетно некатегоричной теории I е К.

^связи с теоремой 1.1 возникает естественный вопрос об описании всех реализуемых <■> несчетно категоричных теориях а.-х- функций.

На этот вопрос отвечает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.1.

Для а.-х. функций 1 следующие условия эквивалентны:

1. А.-х. функция 1 реализуема.

2. А.-х. функция 1 реализуема в классе

вырожденных теорий.

3. А.-х. функция Г не является особой.

Глава II. Известно, что «»-стабильные теории

ограниченной размерности и квазитрансцендентные теории с сильной базой (в смысле (2 ]) обладают рядом подобных свойств. Чтобы охватить эти классы и сформулировать некоторые общие теоремы об изоморфизмах (автоморфизмах), ниже выделяются условия У1-У5.

В этой главе изучаются влияния различных сочетаний этих условий на природу изоморфизмов (автоморфизмов). Основными результатами являются критерий сильно изоморфности двух моделей и продолжаемости любого автоморфизма любой э -ементарной подмодели. В качестве приложения их получен ряд оценок числа автоморфизмов различных моделей, частными случаями которых являютсятеремы Болдуина из [51 о несчетно категоричных теориях.

Пусть Т-счетная суперстабильная теория, с-монстр-модель Т. Если р « Б(М) - стационарный тип, М с л , л модель Т, то рА - наследник типа р над л.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1.

Тип р (р « Б (М)) назовем ЕК-ТИПОМ, если

1. р - стационарен,

2. р - регулярен,

3. для любой модели а (МсА) для любого типа q«S (а)

р £ q тогда и только тогда, когда для любой модели

и

в > а , если q реализуется в ¡в \ а , то р реализуется в œ \ а. Для теории Т определим условия У1-У5-У1. (Условие квазитрансцендентности ) Для любого Нес существует простая и атомная над M

МСдеЛЬ.

У2. (Условия существования оазы типов). Если ло-простая модель Т, то существует кардинал м , конечные подмножества а « ао, RK - типы p^p.d.aj, 1<м такие что:

1. р. х р( при 1 < J < i',

2. для любого М, любого q« 5(11) существует такое

1 < м » что p^q. В этом случае, множество {pt ; 1<м)

назовем БАЗОЙ ТИПОВ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОЕсли а

модуль теории I и а < а , то а .

dlmi°(А) %dlmftop.(A) = |1(А)|, где It(A)-

максикальное независимое подмножество

р. (Д) H tb « a; t(b.a )=PV).

Множество 1(А) назовем БАЗИСОМ pt В a., 1(а) = о I, (а)

назовем ПОЛНЫМ БАЗИСОМ В а.

УЗ. (Условие отсутствия ортогональных копий базовых типов ).

Если ао - простая модель, ipv , 1</j) - база типов ï относительно aq, g « Aut(c), то pt ± gip^, где

g(Pt) Ч {*(x,g(a)) : p(i,a) e p) копия типа pv.

G

У4. Для любого ЯК - типа р « 3(М), для любых моделей а и л1 теории Т, если МсЛеЛ1 и р« Б(л), р с рл, то

(Шп^о р(л') = с11тАо р(А) + (ШаЛо рА(А1).

У5. Если а < а1 < в , л' к в , в существует такое а «е в \ а1, что р* = 1(а,А*) является ИК-типом и • либо Р*/|ЧА и р1/4 есть НК-тип, либо р* ± а.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Известно, что :

1. Любая " стабильная теория удовлетворяет условиям У1.У5.

2.Любая «> стабильная теория ограниченной размерности (в смысле Г61) удовлетворяет условию У1,У2.

3 .Квззитрансцендентная теория с сильной базой удовлетворяет условиям У1-У5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2.

Модели « и в назовем СИЛЬНО ИЗОМОРФНЫМИ, если существует простая модель аосАпв, что модели а в изоморфны над ао , то есть существует изоморфизм а и тождественный на ао.

ТЕОРЕМА 3.1.

Пусть теория Т удовлетворяет условиям У1,У2,У4. Если пересечение модели а и в содержит простую модель, то следующие условия эквивалентны:'

1. а VI в сильно изоморфны.

2. Для некоторой простой модели а

а А °

сПт^А) = сШп.°(П5).

ТЕОРЕМА 5.1.

Пусть теория Т удовлетворяет условиям У1.У5. Тогда

следующие условия эквивалентны:

1. Для любых а < в, f«Aut(A) существует р « AUt(IB), что *> => í. -

2. Для любой насыщенной модели л, для любых в > А, f « Aut(A) существует *> е Aut((B), что *>=>!.

3. Никакой RK-тип не имеет ортогональную копию.

4 • Т удовлетворяет условиям У2 иУЗ.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Из этой теоремы как следствие вытекает критерий продолжаемости автоморфизмов модели до автоморфизма любого ее элементарного расширения для " стабильных теорий.

В этой главе так же используется продолжаемость изоморфизмов подполигонов до автоморфизма самого полигона

Если а полигон, В подмножество А , то С (В) обозначает множество всех элементов из а , связанных с В.

ТЕОРЕМА 6-1-

Для любого несчетного кардинала >., любого ^-насыщенного полигона а и для любых подмножеств А, В мощности меньше Ч если 1: С(А) -»-»С(В) изоморфизм, то 1 можно продолжить до автоморфизма самого полигона а.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Вообще говоря, существуют бесконечны множества А, В и такой изоморфизм Г:С(А)-»-> С(В) что, 1 нельзя продолжить до автоморфизма монстр-модели с, тождественного на с\(С(А) UC(B)).

В главе III рассматриваются некоторые обобщения понятия автоморфизма, охватывающие такие известные в алгебре понятия, как антиизоморфизм колец и инволюция линейных

алгебр. Пусть Бд - группа всех подстановок множества А. Если b«SA , а - математическая структура (короче м. с.), то однозначно определена м.с. Ь(Л) , называемая Ь-ИЗО,МОРФНоЙ КОПИЕЙ а.

По индукции одновременно определим понятая а^л*. для всех ординалов а и Auta(A) ¿¡^ всех ординалов « > О.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.

1. а а' 4* л = а'

2 . а а ' «♦ Auta(a > = AUta(a ' )

3. если а = р + 1 , ТО

Auta(A) = { h в SA : А^ЩА) )

4. если а - предельный ординал, то

Aut (А) = и Aut-(A).

ft<a "

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2.

1. Если а — м.с., heSA, а > О то, h назовем обобщенным автоморфизмом уровня <* , если .а = min { п : h « Aut^CA) }

21 && = min { с. : Auta(a) = Auta+i(A) }.

3. Если Т полная теория, то <5Т = <s£ ,где «-монстр модель теории Т.

Интересен вопрос: для каких ординалов «« существует полная несчетно категоричная, но счетно не категоричная теория Т со свойствами Aut (л) * SA и <5Т =

В диссертации дается положительный ответ на этот вопрос для случаев, когда «=1.2.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Т-Г.Мустафину за постановку задач, полезные обсуждения и всестороннюю поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зильбер Б. И. Сильно минимальные счетно категоричные теории 1//Сид. мат.журн.-Т.21 #2 1980. С.98-112.

2. МустафинТ.Г. О сильной базе элементарных типов

теории //Сиб. мат. журн. - 1977.- Т.18, #6.- С.1356-1366.

3. Его же . Синтаксическое и семантическое подобие теорий моделей // Труды Советско-французского коллок. по теории моделей. - Караганда, 1990. -Караганда, 1990. - С. 112-115.

4. Нуртазин А .Т. Об автоморфизмах счетных моделей несчетно категоричных теорий // Теория моделей. - Алма-Ата, 1990. -С.62-71.

5. Baldvln J.Т. The number of automorphisms of modèle oi" ь>4 categorical theories // Fund. Hath. - 1973 -V.83.N1. -P.1-6.

6. Shelah 5. Classification theory and the number of non - isomorphic models // Amsterdam: North-Holland.

- 1978.

7. Zll'ber B.I. The structure of models of uncomtabe catc gorlcal theories // Prorecdlngs of the International Congress of Mathematicians : Warzava. - 1983. - P.359-368.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Жетписов 1С. Число автоморфизмов моделей хвазитрансценде тной теории с сильной базой / Караганд. ун-т -Караганда, 1988.-12с.-Библисгр.:2назв. -Деп. в КазНИИНТИ. 19.05.88,#1932-Ка.

2. Его те. О числе автоморфизмов моделей суперстабильных теорий //1Х-Всесоюз. конф. по мат. логике, посвящ. 85-летию чл.-корр.А.А.Маркова, Ленинград, сент. 1988г.: Тез.докл.-Ленинград 1988.-С. 64.

3. Его- хе. Об автоморфизмах моделей тотально-трансцендентной теории с ограниченной размерностью.- В кн.: Молодые ученые - науке центрального Казахстана, Караганда, нояб. 1988г. :Тез. докл. - Караганда, 1988. - С.12.

4. Его же. Об автоморфизмах башни Морли // Междунар. конф. по алгебре, посвящ. 80-летию акад. А.И. Мальцева, Новосибирск, авг. 1989г: Тез. докл. .Теория моделей и алгебраических систем- - Новосибирск, 1989. - С.43.

5. Его же. О числе автоморфизмов счетных моделей // IX -Респ. меэсвуз. конф. по математике и механике, Алма-Ата,

сент. 1989г.: Тез.докл. -Часть 1. Алма-Ата, 1989. - С.154.

6 Е го же. Об изоморфизмах и автоморфизмах моделей с четных суперстабильных теорий // Теоретико-модельная алгебра.-Алма-Ата, 1989. - С.37-49.

7. Его же. О числе автоморфизмов моделей категоричных теорий // Теория моделей. - Алма-Ата, 1990. -С.35-45.

8. Его же. Об автоморфизмах полигонов //Советско-французский ко,шок. по теории моделей, Караганда, июнь 1990г.:Тез. докл. - Караганда, 1990. - С. 17.

13

9. Его же. Признак мо дельной полноты теории полигонов // X - Всесоюз. конф. по мат. логике, Алма-ата,нояб.1990.-: Тез. докл.-Алма-Ата,1990.-С.35-45.

10 Его же. О продолжаемости автоморфизмов в полигонах //Структурные свойства алгебраических систем. - Караганда, 1990. - С.84-87.

И. Жетписов К., Мустафин Т. Г. Об обобщенных автоморфизмах алгебраических систем'Караганд. ун-т.-Караганда. 1992. -1С... Библиогр. : 2 наз. - Деп. в Каз НИИНТИ. 13.04.92, #1291-Ка.