Дифференциальная геометрия бесконечномерных многообразий над алгебрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.,.:.

ГЛАВА 1. Пространства над алгеброй функций на компактном многообразии

1.1. .Т7-линейные отображения пространств сечений векторных расслоений.

1.2. Голоморфные отображения пространств сечений векторных расслоений.

1.3. Гладкие многообразия над алгеброй Фреше.

1.4. Многообразие сечений расслоенного пространства.

ГЛАВА 2. Слоения на многообразиях над алгебрами.

2.1. Группа голономии листа слоения.

2.2. Слоение на пространстве поточечно конформных структур.,.

2.3. Слоение на многообразии сечений расслоенного пространства.

ГЛАВА 3. Многообразия над алгеброй алгеброзначных функций

3.1. Голоморфные дифференциальные уравнения.

3.2. Гиперсфера в дуальном пространстве

3.3. Пространство гладких отображений из 8П в

§п(£)

Актуальность темы. Тема настоящей работы находится на стыке двух актуальных направлений современной геометрии. Первое — теория гладких многообразий, моделированных на пространствах Фреше (см. например, [49], [55]). В работах по этой теме приведены определения, примеры, рассмотрены дифференциально-топологические свойства многообразий Фреше. Вместе с тем во многих примерах на исследуемых многообразиях существует дополнительная структура многообразия над алгеброй. Поэтому второе направление — теория пространств над алгебрами. Эта тематика очень глубоко и подробно исследуется геометрами Казанского государственного университета (см. например, [6], [38]). Но до сих пор эти исследования ограничивались лишь случаем пространств конечной размерности, хотя большинство определений и результатов допускают обобщение на бесконечномерный случай.

Поэтому, как нам кажется, представляют интерес любые дифференциально-геометрические объекты на бесконечномерных многообразиях, учитывающие структуру многообразия над алгеброй.

Цель диссертационной работы состоит в обобщении на многообразия Фреше методов теории конечномерных многообразий над алгебрами и применение этих методов к конкретным примерам.

Новизна результатов. Все полученные результаты для бесконечномерных многообразий над алгебрами являются новыми. Выделим основные из них:

1. Для многообразий над алгебрами Фреше доказаны следующие утверждения: a) Лемма Пуанкаре. Пусть Т — алгебра Фреше, Н — ^"-модуль Фреше, тогда локально всякая голоморфная замкнутая форма на Н точна. b) ^-билинейная связность на ^"-одномерном многообразии над алгеброй Фреше Т реализуется локально плоской связностью тогда и только тогда, когда она голоморфна. c) Если М — компактное многообразие, а 7г : В ^ М — расслоение класса С°°, то пространство С°°(7г) гладких сечений расслоения 7Г есть многообразие над алгеброй Фреше Т гладких функций на М.

1) Доказаны теоремы об изоморфизмах дифференциально-геометрических объектов на С°°(7г) соответствующим объектам на расслоении тт. '

2. Рассмотрены два примера канонических слоений на многообразиях над алгеброй Фреше Т гладких функций на компактном многообразии. Первый пример — слоение на С°°(7г), второй — слоение на пространстве поточечно конформных структур. Показано, что в обоих случаях рассматриваемые канонические слоения являются простыми.

3. Для многообразий над банаховыми алгебрами доказаны следующие теоремы: a) Теорема существования и единственности решения для голоморфного обыкновенного дифференциального уравнения. b) Теорема о прообразе регулярного значения голоморфного отображения банаховых Д-модулей, где Л — банахова алгебра.

4. Для многообразий над алгеброй Та — Д-значных функций на компактном многообразии доказаны следующие утверждения: a) Если У — многообразие над банаховой алгеброй Л и на нём существует Д-голоморфная пульверизация, то пространство С°°(М, У) является многообразием над алгеброй Фреше Таb) Рассмотренное каноническое слоение на пространстве С°°(§п, Т§п) изоморфно касательному расслоению к многообразию Фреше С°°(8П,&П).

Методы исследования. Введение структуры многообразия над алгеброй на пространстве гладких сечений расслоения опирается на методы, приведённые в [21], [46] для вещественных банаховых многообразий.

Доказательство многих результатов, касающихся многообразий над алгебрами, например, леммы Пуанкаре, теоремы о прообразе регулярного значения и др., очень близко к доказательству аналогичных результатов для вещественных многообразий.

В работе со слоениями использовались модернизированные для бесконечномерного случая методы Molino Р. [56].

Краткий обзор литературы. Определение пространства Фреше (полное хаусдорфово метризуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство), его топологические свойства, примеры можно найти в [4], [18], [26], [49].

Как известно, в пространствах Фреше нельзя развить простое и естественное дифференциальное исчисление, каким является, например, исчисление в банаховых пространствах, основанное на диф-ференцируемости по Фреше. В связи с этим имеется много различных определений производной отображения между пространствами Фреше, которые можно разбить на два типа. Для пространств Фреше, представимых в виде предела цепочки банаховых пространств (например, если М — компактное многообразие, то С°°(М,Ш) = proj lim Ск(М1 М) ) производную можно определить, используя только исчисление в банаховых пространствах. Примерами работ в этом направлении являются [2], [57]. Второй тип — традиционный, когда понятие дифференцируемости вводится на самих пространствах Фреше. Такой подход реализован в большом количестве работ, например, [57], [48], [51], [61], причём в последних трёх — для произвольных локально выпуклых пространств. Проблема эквивалентности различных определений дифференцируемости обсуждается в [48], [51].

• В диссертации использовано понятие производной по направлению из работ [55], [49]. Этим же определением пользовался Шарко В.В. в книге [34] при изучении пространства Фреше С°°(М,Ж), которое, очевидно, является алгеброй Фреше.

В работах Хелемского А.Я. [32], [33] рассматриваются банаховы и полинормированные алгебры, а также модули над этими алгебрами, в частности, уже упоминавшаяся алгебра гладких функций на компактном многообразии и модули над этой алгеброй.

Исходным пунктом для развития дифференциальной геометрии пространств над ассоциативными коммутативными алгебрами общего вида явилась теория аналитических функций гиперкомплексного переменного, разработанная в трудах [52], [58], [60]. Общей теории пространств над алгебрами и их вещественных реализаций посвящено огромное количество работ, отметим исследования [37], [5], [19], [20], [25], [38].

В работе [53] изучались многообразия, моделируемые модулями над алгебрами гладких функций на компактном многообразии, в статье [7] развито дифференциальное исчисление для функций над коммутативными банаховыми супералгебрами. Структуры гладких многообразий над бесконечномерными алгебрами, являющимися обратными пределами конечномерных, возникают на бесконечномерных многообразиях, рассматривавшихся в [2].

Структура многообразия над алгеброй позволяет рассматривать канонические слоения, естественно возникающие в некоторых примерах. Из обширной литературы, посвященной слоениям на многообразиях, отметим исследования [24], [41], [50], [56].

Пространство М. гладких римановых метрик на компактном многообразии M и его подпространства являются интересными примерами многообразий Фреше. Их интенсивному изучению положили начало работы Ebin D. [44], [45] и Berger M. [40]. Действие группы Ли-Фреше V гладких положительных функций на M на многообразии M рассмотрено в [31], [39], [47].

Структуры гладких многообразий над алгеброй дуальных чисел естественно возникают на многообразиях с интегрируемыми почти касательной или почти трансверсальной структурой и некоторых их обобщениях. Вопросы эквивалентности таких структур стандартным структурам касательных и трансверсальных расслоений и другие проблемы исследовались в работах [42], [43], [59]. Топологии многообразий над алгеброй дуальных чисел посвящены статьи Малахальцева М.А. [22], [23].

Научное и прикладное значение. В диссертации показано, что многие из классических функциональных пространств являются многообразиями над алгебрами. Создана теоретическая база для исследования бесконечномерных многообразий над алгебрами. Доказан ряд теорем, обобщающих классические результаты дифференциального исчисления на случай многообразий над алгебрами.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 1996 - 1999 г.г.; на международном геометрическом семинаре им. Н.И.Лобачевского (Казань, 1997 г.); на международных летних школах-семинарах по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга - 10'98", "Волга - 11'99"; на семинарах кафедр геометрии Саратовского и Казанского государственных университетов 1997 - 1999 г.г.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации имеется шесть публикаций [11] - [16], из них одна — депонированная статья в журнале "Изв. ВУЗов Математика", одна в материалах докладов летней школы-семинара "Волга 10'98", одна в материалах докладов на международном семинаре " Геометризация физики", три — в тезисах геометрических конференций.

Структура и объём. Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста, разбитых на 10 параграфов (4 в первой главе и по 3 во второй и третьей) и списка литературы из 61 наименования. Общий объём работы — 66 печатных страниц.

1. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М: Мир, 1975. - 346 с.

2. Игудесман К.Б. Связность на пространстве связностей Вей-ля / / Тезисы докладов на международном геометрическом семинаре им. Н.И.Лобачевского Казань, 1997. - С.61.

3. Игудесман К.Б. Слоение на многообразии поточечно конформных структур / / Тезисы докладов на международной летней школе-семинаре "Волга-10'98" Казань, 1998. - С.20.

4. Игудесман К.Б. Слоение на одном многообразии над банаховой алгеброй // Деп. Изв. вузов. Математика. N 1932 В99, от 15.06.99. - 11 с.

5. Игудесман К.Б. Слоение на многообразии поточечно конформных структур // Новейшие проблемы теории поля. Труды X Международной летней школы-семинара "Волга-10'98" по совр. пробл. теорет. и мат. физики. Казань, 1998. - С. 128 - 137.

6. Игудесман К.Б. Пространства над алгеброй функций на компактном многообразии // Тезисы докладов на международной летней школе-семинаре "Волга-11'99" Казань, 1999. - С.15.

7. Игудесман К.Б. Многообразия над алгеброй алгеброзначных функций // Материалы докладов на международном семинаре "Геометризация физики" Казань, 1999. - С.47.

8. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. - 392 с.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с.

10. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях //I. Труды семин. по вект. и тенз. анализу. Вып. 16. -МГУ. 1972. - С.174 - 201.

11. Crampin M., Thompson G. Affine bundles and integrable almost tangent structures // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1985. -V.98. - P.61 - 71.

12. Ebin D. On the space of Riemannian metrics // Bull. Austral. Math. Soc. 1981. - V.24. - P.93 - 122.

13. Ebin D. The manifold of Riemannian metrics // Global Analysis: Proc. Sympos. Pure Math., Berckeley, July 1 26, 1968. -Providence, 1970. - V.15. - P.ll - 40.

14. Eliasson H.I. Geometry of manifolds of maps //J. Diff. Geom. -1967. N 1. - P.169 - 194.

15. Fischer A., Tromba A. On a purely "Riemannian" proof of the structure and dimension of the unramified moduli space of a compact Riemann surface// Math. Ann. 1984. - V. 267, N 3. - P311 - 345.

16. Graff R. A simple theory of differential calculus in locally convex spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1986. - V.293, N 2. - P.485 -509.

17. Hamilton R.S. The inverse function theorem of Nash and Moser // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. - V.7, N 1. - P.65 - 222.

18. Kamber F.W., Tondeur Ph. Foliated bundles and characteristic classes / Lect. Notes in Math. 1975. - V.493. - 208 p.

19. Keller H.H. Differential calculus in locally convex spaces / Lect. Notes in Math. 1974. - V.417. - 143 p.

20. Ketchum P.W. Analytic functions of hypercomplex variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1928. - V.30. - P.641 - 667.

21. Kobayashi S. Manifolds over function algebras and mapping spaces // Tohoku Math. J. 1989. - V.41, N 2. - P.263 - 282.

22. Leslie J. On a differential structure for the groups of diffeomorfisms // Topology. 1967. - V.6. - P.263 - 271.

23. Michor P. Manifolds of differentiable mappings / Cambridge, Mass. 1980. - 158 p.- 66

24. Molino P. Riemannian foliations // Univ. of Waterloo, Ontario, Canada 1988. - 335 p.

25. Omori H. Infinite Dimenshional Lie Transformation Groups / Lect. Notes in Math. 1974. - V.427. - 250 p.

26. Scheffers G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewöhnlichen komplexen Funktionen // Berichte Sachs. Akad. Wiss. 1893. -Bd.45. - S.828 - 842.

27. Thompson G., Schardmann U. Almost tangent and cotangent structures in the large // Trans. Amer. Math. Soc. 1991. - V.327, N 1. - P.313 - 327.

28. Wagner R.D. The generalised Laplace equations in a function theory for commutative algebras // Duke Math. J. 1948. - V.15. -P.455 - 461.

29. Yamamuro S. A theory of differential calculus in locally convex spaces // Mem. AMS. 1979. - V.212. - 82 p.