Дифференциальная геометрия пространства почти комплексных структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ДАУРЦЕВА Наталия Александровна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫХ СТРУКТУР

Специальность: 01.01.04 "Геометрия и топология"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Кемеровского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Смоленцев Николай Константинович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Родионов Евгений Дмитриевич, кандидат физико-математических наук Базайкин Ярослав Владимирович.

Ведущая организация: Казанский ордена Ленина и ордена Трудового

Красного Знамени государственный университет.

Защита состоится 2004 года в . /О_ часов на

заседании Диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу:

630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан п<£! " 2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Романов А.С.

ас»« Ш969

11957 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Почти комплексные структуры активно исследуются в последние годы. Они используются в дифференциальной геометрии, анализе, теоретической физике. Хотя свойства почти комплексных структур исследуются давно, геометрия пространств таких структур изучена недостаточно. Такие пространства бесконечномерны и нелинейны. Пространства почти комплексных структур изучались в работах С. Ирла , Дж. Иллса [6], Д. Блэра |3|, Н. Коисо [9!

В первой части предоставленной работы исследуется пространство всех гладких почти комплексных структур на гладком компактном почти эрмитовом многообразии М без границы. Оно является пространством гладких сечений расслоения над М, называемого твисторным, это пространство изучалось в работах [2,4,10]. Твисторное пространство интересно само по себе и активно используется в физике.

Интерес представляет не только бесконечномерное пространство всех почти комплексных структур, но и его конечномерные подпространства. Актуальной является задача изучения пространств инвариантных почти комплексных структур на однородном многообразии. В данной работе изучаются инвариантные почти комплексные структуры на произведении нечетномерных сфер. Известно, что все произведения нечетномерных сфер допускают двупараметрическое семейство комплексных структур. Оказывается, что все эти комплексные структуры положительно ассоциированы с одной и той же инвариантной, кососимметрической 2-формой. Это позволяет рассматривать классы почти эрмитовых структур на этом произведении. Геометрические свойства этих метрик интересны и ранее не были исследованы в достаточном объеме.

Цель работы. Целью данной работы является исследование некоторых вопросов геометрии пространства почти комплексных структур на гладком компактном почти эрмитовом многообразии без границы, исследование инвариантных почти эрмитовых структур на произведении нечетномерных сфер 52"+1 х рассматриваемом как однородное пространство.

Методы исследования. В исследовании использованы методы дифференциальной хеометрии, ох нося щи ее я к хеории бесконечномерных пространств, теории расслоенных пространств, хеории однородных пространств В четверхой главе используются формулы О'Нейла для римановых субмерсий

Научная новизна. Основные результаты диссертации. Все основные результаты диссерхации являюгея новыми Они мен у г быть обьединены в следующие группы

1 Для многообразия шгаи комплексных структур найдены геометрические ха рактеристики некоторых схруктур, выраженные в естественных локальных кар тах

2 Дана реализация просхрансхва .Д+ почти комплексных структур, сохраня юхцих ориентацию mhoi ообразия М в виде расслоения

3 Дано полное описание множества левоинвариантных комплексных структур на £77(2) х 517(2)

4 Найден максимум нормы тензора Нейенхейса на множесгве левоинвари ангных почти комплексных схрукхур на хруппе SU(2) х SU(2), ортогональных относительно метрики Киллинга-Кархана

5 Найдены основные характеристики 5 параметрического семейства эрмито вых метрик да< \ \ с, Л, Л', t > 0 на S2"+1 х S2p+1, получены оценки секционной кривизны для отох о семейства метрик

6 Найдены критические хочки функционалов А(д), В(д), С(д) на семействе метрик gar in

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеех теоретическое значение Результахы мох ух бьпь использованы в дальнейших исследованиях хео-метрии пространства почти комплексных структур на почти эрмитовом многооб разии, почти эрмитовых струкхур на произведениях нечетномерных сфер Работа может быть использована при чтении спецкурсов

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях на Международной конференции "Лобачевские чтения", г Казань (2001 i , 2003 х), на Международной конференции хю геометрии

и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова, Институт математики СО РАН, г. Новосибирск (2002 г.), на Международной конференции по математике и механике, г. Томск (2003 г.), на семинаре по геометрии Казанского государственного университета (2003 г.), в Московском независимом университете (конкурс Мебиуса, 2003 г.), на краевом семинаре но геометрии в Барнаульском государственном педагогическом университете (2004 г.), на семинаре но геометрии и анализу в Институте математики СО РАН, г. Новосибирск (2004 г.), на Межрегиональной конференции МОНА-2004, г. Барнаул. Кроме того, все результаты работы в разное время докладывались на семинаре по геометрии и анализу Кемеровского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 106 страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы, главы разбиты на пункты. Библиография содержит 68 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагаются полученные результаты и дается небольшой обзор работ, непосредственно примыкающих к теме исследования.

В первой главе диссертации дается достаточно полное изложение известных необходимых сведений о почти эрмитовых многообразиях, пространствах почти комплексных структур, об однородных почти комплексных пространствах, почти комплексных структурах на сферах, бесконечномерных многообразиях, формулах О'Нейла.

Вторая глава посвящена непосредственно изучению общих вопросов геометрии пространства почти комплексных структур на гладком (класса С°°) компактном почти эрмитовом многообразии без границы, размерности 2п. В п.2.1- 2.4 на этом пространстве вводится структура многообразия на основе преобразования Кэли. На пространстве всех почти комплексных структур Л определена структура многообразия Фреше. Определена метрика, почти комплексная

структура на этом многообразии. Доказано следующее утверждение: Предложение 2.5. Пространство всех почти комплексных структур умеет следующие геометрические характеристики:

1. Скалярное произведение задается формулой:

(А В)к = 4 f tr(( 1 - К2)-хА{ 1 - K2)~íB)dii, Jm

где А, В 6 End,,„(TM).

2. Ковариантная производная векторных полей, заданных (постоянными) опе-Iшторами А и В:

VAВ = АК( 1 - К2)'1 В + В( 1 - К2)-1 А.

3. Тензор кривизны имеет вид:

R(A, В)С = -(1 - К2)[[{1 - К2)-1 А, (1 - К2)'1 В], (1 - К2)~1С], где А, В, С е EndJ¡t(TM).

4■ Геодезические, выходящие из точки Ja в направлениях А 6 End./,, (ТМ), представляют собой кривые K(t) на области l^(Jo) вида:

K(t) = Щ^А) = (еИ + - е"^).

Наряду с множеством Л всех почти комплексных структур на многообразии М в работе рассматриваются следующие его подпространства: .4+ всех почти комплексных структур, задающих ту же ориентацию на М, что и фиксированная структура J0, Д+ = {J Е А : ojn(JX, JY) = uo(X,Y),u>o(X, JX) > О,УХ, Y € Г (ТМ), X -ф 0} - пространство структур положительно ассоциированных с формой ц-'о и АО^н = {J £ Д+ : gt)(JX, JY) = go(X, У)} - пространство ортогональных относительно дц почти комплексных структур, сохраняющих ориентацию, В предложениях 2.7, 2.9 показано, что АО*а и А^ являются вполне геодезическими подмногообразиями в А+. В следствиях 2.4 и 2.5 показано, что АО^ и Л+ являются кэлеровыми.

Основным результатом второй главы является реализация пространства Л+ в виде расслоения. Доказана следующая теорема:

Теорема 2.1'. Пространство почти комплексных структур Л+, задающих ту же ориентацию, что и фиксированная структура /о, является гладким локально тривиальным расслоением над пространством ортогональных почти комплексных структур. Причем слоем над элементом J 6 ЛО^ является пространство положительно ассоциированных почти комплексных структур гдешЛХ,У) = до(Х,ЛГ).

Теорема 2.1 имеет важное следствие. Следствие 2.7. Для любой матрицы Б 6 СЬ(2п, К) с положительным определителем с!е! 3 > 0 найдутся матрицы О € 30(2п), К £ СЬ(2п, К), КТ = К, К.}() — —^¡К и С € СЬ(п, С) такие, что 3 = 0( 1 — К) О. Причем матрица О определена с точностью до умножения справа на элементы группы II(п). Матрицы разложения К и С определены однозначно при конкретном выборе О.

Теорема 2.1 усиливает известный ранее, топологический результат о том, что С1Л(2п, Ш.)/СЬ(п, С) стягиваемо на 50(2п)/Г/(п). Сформулирован и доказан аналог теоремы 2.1 для пространства инвариантных почти комплексных структур на однородном пространстве.

Третья и четвертая главы посвящены изучению почти комплексных структур на произведениях нечетномерных сфер. Нечетномерная сфера может быть рассмотрена как однородное пространство и(п + 1)/1/(п), однако в случае размерности 3 сферу также можно рассматривать как группу 317(2). Поэтому случаи произведений сфер, содержащих сомножитель З3, рассмотрены отдельно.

В третьей главе исследуется пространство почти комплексных структур на З'3 х 53, инвариантных относительно 311(2) х 57_/(2). В п.3.1 изучены левоинва-риантные комплексные структуры на ¿>[/(2) х 31/(2). Как многообразие, группа Зи(2) х Зи(2) может быть отождествлена с й3 х £>3. Известна конструкция, принадлежащая Калаби и Экману [1,5], позволяющая построить на произведении нечетномерных сфер (в частности на 5'3 х 5'3) двупараметрическое семей-

ство комплексных структур. Эти структуры инвариантны относительно действия группы Щ2) х Щ2) на З3 Х53, рассматриваемом как однородное пространство Щ2)/Щ^ х Щ2)/Щ1). Возникает.1 вопрос о существовании других комплексных структур на этом произведении: можно ли получить больший класс интегрируемых структур, если ослабить требование инвариантности, до инвариантности относительно SU{2) х SU(2)? Следует отметить, что такое небольшое ослабление дает большой произвол в выборе инвариантных почти комплексных структур, в то время как множество инвариантных структур на Щ2)/Щ^ x Щ2)/Щ^ задается двумя параметрами, множество левоинвариантных структур на SU(2)xSU(2) задается восемнадцатью параметрами. Также следует отметить, что относительно компактных однородных комплексных многообразий известен результат Грауэр-та и Реммерта [7]. В работе [7] показано, что компактное однородное комплексное многообразие должно иметь структуру голоморфного расслоения, удовлетворяющего некоторым условиям. Понятно, что все комплексные структуры, полученные благодаря конструкции расслоения Хопфа, принадлежат классу голоморфных расслоений, описанных в [7]. Но не понятно, существует ли для 53 х 513 указанная в теореме структура голоморфного расслоения, отличная от предложенной Калаби и Экманом. Получен следующий результат.

Теорема 3.1. Класс левоинвариантных комплексных структур на £3 X 53 исчерпывается комплексными структурами, порожденными конструкцией расслоения Хопфа.

В п.3.2 дана классификация почти эрмитовых структур на SU(2) x SU(2) с фиксированной метрикой Киллинга-Картана. Использована классификация почти эрмитовых структур А. Грэя |8]. В и. 3.3 найдены экстремальные значения тензора Нейенхейса на множестве левоинвариантных почти комплексных структур, ортогональных относительно метрики Киллинга-Картана. Теорема 3.2. Максимальное значение нормы тензора Нейенхейса на множестве ортогональных относительно В, левоинвариантных почти комплексных структур на БУ(2) x БУ(2) достигается на классе приблизительно кэлеровых структур NK и равно 8\/3

Четвертая глава посвящена исследованию инвариантных почти комплексных структур на 52"+1 х рассматриваемом как однородное пространство и(п + 1 )/и(п) х 11(р+ 1)/и(р). В качестве однородного пространства выбрано именно произведение нечетномерных сфер по следующим причинам:

1. Известно, что 5'2"+1 х 5,2р+1 допускает почти комплексную структуру.

2. На 52п+1 х имеется двупараметрическое семейство II(п + 1) х II (р + 1)-' инвариантных почти комплексных структур 1(а, с), а, с € К, с > 0.

3. Все структуры семейства интегрируемы.

4. На £'2"+1 х ¿>2р+1 можно ввести семейство инвариантных кососимметрических 2-форм шд д'д, А, Л', Ь > 0 таких, что все комплексные структуры двупараметриче-ского семейства положительно ассоциированы с каждой инвариантной кососим-метрической 2-формой и>\„- Это позволяет с каждой из них связать метрику ¡7«,г,АоЛп'о- Причем, нолученное 5-параметрическое семейство метрик исчерпывает множество всех инвариантных метрик на 1/(п + \)/1!{п) х и(р+ 1 )/и(р) при пфр.

В п.4.1 исследуются свойства почти комплексных структур на 53 х 52"+1 = = Эи(2) х и(п+1)/и(п). П.4.2-4.5 посвящены изучению свойств эрмитовых многообразий 11(п + 1)/и(п) хи(р+1)/и(р). Согласно предложению4.3 и следствию 4.4,5-параметрическое семейство метрик да,с,х,х\1, имеет следующие характеристики:

1. Кривизна Риччи:

г-ВДХ) - 2^ + пс(Х,Х') = -4( » +

ггс(У„ У) = 2(1 + п - ±),ггс(УУ/) = 2(1 +р - +

г = 1,..., 2п; з = 1,..., 2р.

2. Скалярная кривизна:

4п / { \ 4р / (а2 + с2)«

я = — 1 + п-— л

А \ 2сА) А' V 2сА'

Получены оценки секционной кривизны. Теорема 4.1. Секционная кривизна К метрики д на g2u+1 х S2,'+1 удовлетворяет следующему неравенству:

кшш < К < Ктах,

, r, . / Uli с( А7112+А 'w 1)- л/ (A'trti -Am2 )z+16a2i2 ч . ,. 3f ч

где Кша = --), тх = mm(4 - fj, 1), ш2 =

= min(4-3*^,1);

Л- - тп-гС'-(Лт2+Л''Г")+ч/с"!(Л,'"1~Лт2)Ч16"2'2 К (д2+с2){ № 1 - тоуГД - М. U та = тах(4 - 1).

В п 4.6 изучен функционал скалярной кривизны на чегырехпараметрическом семействе метрик дц/1д л'д-

Случай Л = Л' = t — 1 канонической формы и заслуживает отдельного внимания. Имеет' смысл исследовать семейство инвариантных метрик и комплексных структур положительно ассоциированных с этой формой: Ai£ и ЛЛ4г^. Эти семейства находятся во взаимно однозначном соответствии друг с другом:

Т и

la,i -* 9u,i = 5(1^,1,1,1)

Оде У) = oj(X,IlitCY)y с > 0. На АМг^ определены следующие функцио-

налы кривизны:

A(g) = s, B(g) = s2, G(g) = ||Ric||2, D(g) = \\Rf,

где s, Ric, R - обозначают скалярную кривизну, кривизну Риччи и кривизну Ри-мана соответственно. В п. 4.7 найдены критические точки этих функционалов. В п.4,8 изучается геометрия пространства всех инвариантных комплексных структур на S2rl+1 х S2p+1. Найдены его геометрические характеристики, определенные в главе 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кобаяси, III. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т./ Ш. Кобаяси, К. Номидзу,- М.: Наука, 1981. - Т.2.

К)

2. Berard-Bergery, L. On some generalizations of the construction of twistor spaces / L. Berard-Bergery, T. Ochai // Global Riemaimian Geometry; ed. T.J. Willrnore and N.J. Hitchin. - Ellis Horwood Ltd. Chichester, 1984. - P. 52-59.

3. Blair, D.E. Critical associated metrics on symplectic manifolds / D.E. Blair, S. Ianus // J. Austral Math. Soc. - 198G. - Vol. 43, Ser. A. - P. 404-410.

4. O'Braian, N.R. Twistor spaces / N.R. O'Braian, J.H. Rawnsley // Ann. Global Anal. Geom. - 1985. - Vol. 3, №1. - P. 29-58.

5. Calabi, E. A class of compact complex manifolds which are not algebraic / E. Calabi, B. Eckmann // Arm. Math. - 1935. - Vol. 58. - P. 494-500.

6. Earle, C.J. A fibre bundle description of Teichmuller theory / C.J. Earle, J. Eeils // J. Diff Geom. - 1969. - Vol. 3. - P. 1943.

7. Grauert, H. Über kompakte homogene komplexe Mannigfaltigkeiten / H. Grauert, It. Remmert // Arch. Math. - 1962. - Vol. 13. - S. 498-507.

8. Gray, A. The sixteen classes of almost hermitian manifolds and their linear invariants / A. Gray, L.M. Hervella // Ann. Math. Рига Appl. - 1980. - Vol. 123. -P. 35-58.

9. Koiso, N. Einstein Metrics and Complex structures / N. Koiso // Invent, math.

- 1983. - Vol. 73, №1. - P. 71-106.

10. Rawnsley, J. Twistor methods / J. Rawnsley // Lect. Notes in Math. - 1987.

- Vol. 1263. - P. 97-133.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

11. Даурцева, H.A. О пространстве ПОЧТИ комплексных структур на многообразии /H.A. Даурцева, Н.К. Смоленцев // Вестник КемГУ. - 2001. - Т.7. - С. 176-186.

12. Daurtseva, N.A. On the space of almost complex structures / N.A. Daurtseva, N.K. Smolentsev: Preprint - arXiv: math.DG/0202139; http:\\ xxx.lanl.gov, 2002. -8 p.

13. Даурцева, H.A. Об одном семействе метрик на SU(2) x SU(2) / H.A. Даурцева: труды Рубцовского индустриального института. - Т. 12. - Рубцовск. - 2003.

- С. 26-30.

14. Даурцева, H.A. Расслоение пространства почти комплексных структур / H.A. Даурцева // Труды по геометрии и анализу. - Новосибирск: Издательство Института математики, 2003. - С. 263-275.

15. Dauitseva, N.A. Extreme values of sectional curvature on the homogeneous complex manifold U(n + l)/U{n) x U(p + l)/U{p) / N.A. Daurtseva: Pieprint -arXiv: math.DG/0306004; http:\\ xxx.lanl.gov, 2003. - 11 p.

16. Daurtseva, N.A. £/(n+l)x[/(p+l)-invariant Hermitian metrics with Heimitian tensor Ricci on the manifold дS2n+1 x S2/'+1 / N.A. Daurtseva: Pieprint - arXiv: math.DG/0310124; http:Wxxx.lanl.gov, 2003. - 6 p.

17. Даурцева, H.A. Инвариантные комплексные структуры на 53 х S / H.A. Даурцева // Электронный журнал "Исследовано в России", 81. - С. 882-887, 2004, http://zhurnal.ape.relarn.ru/aiticles/2004/081.pdf.

18. Даурцева, H.A. Экстремальные значения секционной кривизны на однородном комплексном многообразии U(n + 1)/U(n) xU(p+ l)/i/(p) / H.A. Даурцева // Сиб. мат. журнал: Сиб. отд. РАН - Новосибирск, 2004. - 12 с. Деп. в ВИНИТИ 19.02.2004, Д0288-В2004.

Подписано к печати 11.06.2004 г. Печать офсетная Печ.л. 0,75. Тираж 100 экз. Заказ №13фЧ%

ГОУ ВПО "Кемеровский госуниверситет." 650043, Кемерово, ул. Красная, 6. Отпечатано в издательстве "Кузбассвузиздат". 650043, Кемерово, ул. Ермака, 7.

04-15138

РНБ Русский фонд

2005-4 11957

Введение.

Глава 1. Основные сведения

1.1. Основные обозначения.

1.2. Определение почти эрмитового многообразия.

1.3. Ассоциированные почти комплексные структуры и метрики

1.4. Интегрируемость почти комплексных структур.

1.5. Однородные пространства.

1.6. Пространства почти комплексных структур.

1.7. Существование почти комплексных структур.

1.8. Почти комплексные структуры на сферах.

1.9. Шестнадцать классов почти эрмитовых многообразий.

1.10. Многообразия Фреше.

1.11. ILH-многообразия.

1.12. Римановы субмерсии

Глава 2. Пространство почти комплексных структур

2.1. Параметризация Л.

2.2. Псевдориманова структура на Л.

2.3. Подмногообразие положительно ассоциированных почти комплексных структур

2.4. Подмногообразие ортогональных почти комплексных структур АО*о.

2.5. Свойства Л+, ДО+.

2.6. Расслоение Л+.

2.7. Расслоение пространства инвариантных почти комплексных структур на однородном пространстве

Глава 3. Почти комплексные структуры на SU(2) х SU(2)

3.1. Интегрируемые левоинвариантные почти комплексные структуры на SU(2) х SU(2).

3.2. Классы почти эрмитовых структур на SU(2) х SU(2).

3.3. Функционал нормы тензор Нейенхейса.

Глава 4. Инвариантные почти комплексные структуры на S2n+1 х S2p+l

4.1. Почти комплексные структуры на S3 х S2"+1.

4.2. U(n + 1) X U(p+ 1)-инвариантные почти комплексные структуры на S2n+1 х g2p+1.

4.3. Класс однородных комплексных многообразий

S2"+1 х 52p+1,/ajC).

4.4. Кривизна метрик семейства да>с x^'j.

4.5. Секционная кривизна метрик семейства ga,c,\,\';t.

4.6. Функционал скалярной кривизны на семействе метрик да,с,\,У;1.

4.7. Функционалы кривизны на Лг^(52п+1 х S2p+1).

4.8. Пространство инвариантных комплексных структур на Щп + 1 )/U(n) х U(p + 1)/U(p).

В работе исследуются некоторые вопросы геометрии пространства почти комплексных структур на гладком (класса С°°) компактном почти эрмитовом многообразии (М,до, Jq,u>q) без границы, размерности 2п. Изучается вопрос геометрии пространства инвариантных почти комплексных структур на произведении нечетномерных сфер. Исследуются свойства инвариантных почти эрмитовых структур на этом произведении.

В исследовании использованы методы дифференциальной геометрии, теории расслоенных пространств, теории однородных пространств, формулы О'Нейла для римановых субмерсий. Пространство почти комплексных структур является множеством гладких сечений расслоения над М, называемого твисторным. Это расслоение интересно само по себе. Изучению этого расслоения посвящены работы Дж. Рансли [61], Н.Р. О'Брайана [33], Берара-Бержери JL, Очаи Т.[29] и Дюбуа-Виолета М. [43]. В этих работах предприняты попытки установить связь между свойствами различных структур на твисторном расслоении и свойствами самого многообразия М. В первой части предоставленной работы исследуется пространство гладких сечений твисторного расслоения. Систематическое изучение пространств гладких сечений расслоения над М начато в работах Иллса Дж. в 1958 году [48, 47, 1]. Пространства сечений являются вообще говоря нелинейными. Поэтому анализ таких пространств потребовал, кроме введения топологии, задания локальных карт, определения их как бесконечномерных многообразий [1].

С геометрической точки зрения наиболее интересными пространствами сечений являются пространство всех римановых структур на многообразии М и пространство почти комплексных структур на М. Фундаментальной работой по изучению пространства Л4 римановых структур является работа Эбина Д. [45]. Пространства почти комплексных структур изучались в работах Ирла С., Иллса Дж. [44], Блэра Д. [31], Коисо Н. [57]. Наибольший интерес вызывают почти комплексные структуры, согласованные с сим-плектической структурой на многообразии. Такие пространства изучались в работах Д.Блэра и Смоленцева Н.К. [30, 31, 20, 18, 19, 22, 23]. Можно отметить также работы Вуда К.М. [68], Апостолова В., Грантчарова Ж., Иванова С.[28], Давыдова Дж., Мушкарова О.[42], Аббены Е., Гарбьеро С., Саламоиа С.[25]. В настоящее время теория пространств почти комплексных структур на почти эрмитовом многообразии изучена не достаточно полно. Этой теме посвящена первая часть данной диссертации.

Целью данной работы является исследование некоторых вопросов геометрии пространства почти комплексных структур на гладком компактном почти эрмитовом многообразии без границы, исследование инвариантных почти эрмитовых структур на произведении нечетномерных сфер S2n+l xS2p+1, рассматриваемом как однородное пространство.

Почти комплексные структуры активно исследуются в последние годы. Они используются в дифференциальной геометрии, анализе, теоретической физике. Семейства инвариантных почти комплексных структур на однородных многообразиях вызывают большой интерес, но недостаточно исследованы. Поэтому тема исследования является актуальной.

Полученные результаты являются новыми. Основной результат первой части работы усиливает известный топологический результат о том, что пространство комплексных структур, определяющих стандартную ориентацию, на векторном четномерном пространстве GL+(2n,R)/GL(?2,C) стягиваемо на пространство комплексных структур ортогональных относительно стандартной метрики и сохраняющих стандартную ориентацию SO(2n)/U(n). Результаты второй части работы освещают некоторые свойства инвариантных почти эрмитовых структур на 5"2т1+1 х 52р+1. Ранее эти структуры не исследовались в данном аспекте.

Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях геометрии пространства почти комплексных структур на почти эрмитовом многообразии, почти эрмитовых структур на произведениях нечетномерных сфер. Работа может быть использована при чтении спецкурсов.

В диссертации решены следующие задачи:

1. Для многообразия почти комплексных структур найдены геометриче-» ские характеристики некоторых структур, выраженные в естественных локальных картах.

2. Доказано, что пространство почти комплексных структур, согласованных с ориентацией А+, на почти эрмитовом многообразии является локально тривиальным расслоением над пространством почти комплексных структур, сохраняющих ориентацию и ортогональных относительно фиксированной метрики АО*о, со слоями изоморфными пространству положительно ассоциированных с фундаментальной формой структур

3. Дано полное описание множества левоинвариантных комплексных структур на 51/(2) х 5*7(2).

4. Найден максимум нормы тензора Нейепхейса на множестве левоинва-' риантных почти комплексных структур на группе SU(2) х SU(2), ортогональных относительно метрики Киллинга-Картана.

5. Найдены основные характеристики 5-параметрического семейства эрмитовых метрик Qa,c,\,\'\ti > 0 на 52n+1 х £2р+1, получены оценки секционной кривизны для этого семейства метрик.

6. Найдены критические точки функционалов А(д), В(д), С(д) на семействе метрик ga,e,i,i-,i

В первой главе вводятся основные сведения, необходимые в следующих главах. Во второй главе исследуются вопросы геометрии пространства почти комплексных структур на гладком (класса С°°) компактном почти эрмитовом многообразии (М,#о, «7о>И)) без границы, размерности 2п. На этом пространстве вводится структура многообразия на основе преобразования Кэли. На пространстве всех почти комплексных структур А определена структура многообразия Фреше. Определена метрика, почти комплексная структура на этом многообразии [15, 41]:

Предложение 1 Пространство всех почти комплексных структур имеет следующие геометрические характеристики:

1. Скалярное произведение задается формулой:

А, В)к = 4 [ tr(( 1 - - Х2)-1^)^

JM где А,В е EndJo(TM).

2. Ковариантная производная векторных полей, заданных (постоянными) операторами А и В:

VAB = АК( 1 - К2)'1 В + В( 1 - К2)-1 А.

3. Тензор кривизны имеет вид:

R(A, = -(1 - К2)[[( 1 - К2)'1 А, (1 - К2)-1 В], (1 - К2)~1С], где А,В,С е EndJo(TM).

4- Геодезические, выходящие из точки Jo в направлениях A G End/0 (ТЫ), представляют собой кривые K(t) на области V(Jq) вида:

K{t) = th(\A) = (еИ + e-*A)-\ebA - e~L*A) £

Предложение 2 Подмногообразие ортогональных почти комплексных структур АО*о многообразия всех почти комплексных структур Л+ является вполне геодезическим.

Главным результатом второй главы является реализация пространства всех почти комплексных структур, сохраняющих ориентацию на (М, #0, Jo, u>o), в виде расслоения. Доказана следующая теорема [12]:

Теорема 1 Пространство почти комплексных структур А+, задающих ту же ориентацию, что и фиксированная структура Jq, является гладким локально тривиальным расслоением над пространством ортогональных почти комплексных структур. Причем, слоем над элементом J (Е ЛО+ является пространство положительно ассоциированных почти комплексных структур где cjj(X,Y) = go(X, JY).

Теорема 1 имеет важное следствие.

Следствие 1 Для любой матрицы S G GL(2n, М) с положительным определителем det5 > 0 найдутся матрицы О € SO(2n), К £ GL(2n,№),

КТ = К, К Jo = -J0K и G е GL{n,C) такие, что S = 0( 1 - K)G. Причем, матрица О определена с точностью до умножения справа на элементы группы U{n). Матрицы разложения К и G определены однозначно при конкретном выборе О.

Теорема 1 усиливает известный ранее, топологический результат о том, что GL+(2n,M)/GL(n,C) стягиваемо на SO(2n)/U(n). Сформулирован и доказан аналог теоремы 1 для пространства инвариантных почти комплексных структур на однородном пространстве.

Третья и четвертая главы посвящены изучению почти комплексных структур на сферах. Нечетномерная сфера может быть рассмотрена как однородное пространство U(n + 1 )/t/(n), однако в случае размерности 3 сферу также можно рассматривать как группу SU(2). Поэтому случаи произведений сфер содержащих сомножитель 53 рассмотрены отдельно. В третьей главе исследуется пространство почти комплексных структур на 53 х S3, инвариантных относительно SU{2) х 5(7(2). В первом параграфе изучены левоинвариантные комплексные структуры на SU(2) х SU(2), получен следующий результат:

Теорема 2 Любая левоинвариантная почти комплексная структура на SU(2) х SU{2) является интегрируемой в том и только том случае, если в базисе (е1,е2,ез,в4,е5,еб) ее матрица имеет вид: где /0ei = е4, /0е2 = е3, /0е4 = -е\, /0е5 = еб и А{ G 50(3), i = 1,2.

Таким образом показано, что множество левоинвариантных комплексных структур на SU(2) X SU(2) полностью исчерпывается классом структур, описанных Калаби и Экманом [35]. Во втором параграфе дана классификация почти эрмитовых структур на SU(2)xSU(2) с фиксированной метрикой Киллинга-Картана.

Предложение 3 1. Левоинвариантная почти комплексная структура J Е АО% на SU(2) х SU(2) является приблизительно кэлеровой, т.е. (53 х 53, В, J) Е Л/7С, если и только если:

J < ei,e2,e3 >С< е4,е5,е6 >, J < е4,е5,е6 >С< еье2,ез >

На 53х53 не существует левоинвариантных почти комплексных структур J G для которых (S3 x53,J,B)eW2u (S3 х 53, J, В) G W3.

53 х S3, J, 5) G W4, где J G ЛС^д есть левоинвариантная почти комплексная структура на SU(2) X SU(2), если и только если соответствующий эндоморфизм I представим в виде: w 0X0 о?) где Oi,02 G SO(3), Vi = е4, /0е2 = е3, /0е5 = е6.

В третьем параграфе найдены экстремальные значения тензора Нейенхейса на множестве левоинвариаитных почти комплексных структур, ортогональных относительно метрики Киллинга-Картана.

Теорема 3 Максимальное значение нормы тензора Нейенхейса на множестве ортогональных относительно В, левоинвариантных почти комплексных структур на SU(2) х SU(2) достигается на классе приблизительно кэлеровых структур Л/7С и равно

Даже в случае группы Ли размерности б пространства левоинвариантных почти комплексных структур имеют большие размерности: dim Ai+ = 18, dim Ai* = 12, dim AOi+ = 6, что значительно затрудняет изучение их свойств. Более наглядными и доступными для детального исследования примерами являются пространства инвариантных почти комплексных структур на однородных многообразиях с ненулевой группой изотропии. Поэтому четвертая глава посвящена исследованию инвариантных почти комплексных структур на 52n+1 х 52р+1, рассматриваемом как однородное пространство U(n + 1 )/U(n) х U(p + 1 )/U(p). В качестве однородного пространства выбрано именно произведение нечетномерных сфер по следующим причинам:

1. Известно, что S2n+l х S2p+1 допускает почти комплексную структуру;

2. На S2n+1xS2p+1 имеется двупараметрическое семейство U(га+1) х U(р+1) - инвариантных почти комплексных структур 1(а,с), a,cGl,c>0;

3. Все структуры семейства интегрируемы;

4. Все структуры семейства положительно ассоциированы с каждой инвариантной кососимметрической 2-формой w\0,\'Q-t0-, описанного ниже семейства oj\t\'tt, что позволяет с каждой из них связать метрику ga,c,\0,\'0-,t0- Причем, полученное 5-параметрическое семейство метрик исчерпывает множество всех инвариантных метрик на C/(n + 1 )/U(n) х U(p + 1)/U(p), при пфр.

В первом параграфе исследуются свойства почти комплексных структур на S3xS2n+1 = SU(2) xU{n+l)/U{n). Параграфы 2-5 посвящены изучению свойств эрмитовых многообразий U(n + 1)/U(n) х U{p+ 1)/U(p).

Предложение 4 5-параметрическое семейство метрик ga,c,\,\'\t имеет следующие характеристики:

1. Кривизна Риччи: ric(X,X) = 2t2^ + nc(X,X') = + + ric(Yi,Yi) = 2(1 + n - ±),ric(Yj,Yj) = 2(1 +p i = l,.,2n; j = 1,.

2. Скалярная кривизна

An ( t \ 4p / (a2 + c2)A

Получены оценки секционной кривизны.

Теорема 4 Секционная кривизна К метрики д на S2n+l х 52р+1 удовлетворяет следующему неравенству:

Кт\п ^ К ^ -f^maxj где Amin = min(-^,----), mi = min(4 - ^,1), m2 = min(4-3*^,1);

К - шахГс(Лт2+А/т1)+л/с2(Л,т1~Лт2)2+16а2<2 ' (аЧса)< тпл - тялтах — тах^ 2сАА, сД/2 , сЛЛ/;, mi — тах^

Относительно оценок секционной кривизны опубликована работа [39] (см. также [13]).

В шестом параграфе изучен функционал скалярной кривизны на четы-рехпараметрическом семействе метрик да,с,А,А';1

Случай Л = Л' = t = 1 канонической формы ш заслуживает отдельного внимания. Имеет смысл исследовать семейство инвариантных метрик и комплексных структур положительно ассоциированных с этой формой: Дг* и ЛМг'у. Эти семейства находятся во взаимно однозначном соответствии друг с другом: т w —

-*a,c ' 9а,с — 9а,с,1,1,1 ga,c(X,Y) = ы{Х,Ia cY), с > 0. На AAii* определены следующие функционалы кривизны:

А{д) = 8, B(g) = s2 СЫ = ||Шс||2 D(g) = \\Rf где s, Ric, R - обозначают скалярную кривизну, кривизну Риччи и кривизну Римана соответственно. В седьмом параграфе найдены критические точки этих функционалов. В восьмом параграфе изучается геометрия пространства всех инвариантных комплексных структур на 52"+1 х S2p+1. Найдены его геометрические характеристики, определенные в главе 2.

Результаты диссертации опубликованы в [12, 39, 40, 13, 11, 14, 41, 15] и докладывались на семинаре по геометрии и анализу Кемеровского государственного университета, на семинаре по геометрии Казанского государственного университета, в Московском независимом университете (конкурс Мебиуса), на краевом семинаре по геометрии в Барнаульском государственном педагогическом университете, на семинаре по геометрии и анализу в Институте Математики СО РАН, г. Новосибирск, на международной конференции "Лобачевские чтения" 2001 и 2003 годов, г. Казань, на международной конференции по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова, Институт Математики СО РАН, г. Новосибирск, 2002 г., на международной конференции по математике и механике, г. Томск, 2003 г., на межрегиональной конференции МОНА-2004, г. Бар>наул.

1. Абрахам Р. Трансверсальность отображений // Прил. 3 к кн.: Ленг С. Введение в теорию дифференциируемых многообразий. - М.: Мир, 1967. - С. 169 - 201.

2. Авербух В.И., Смолянов О.Г. Различные определения производной в линейных топологических пространствах // Успехи мат. наук. 1968. -Т.23, Ш. - С. 67-116.

3. Авербух В.И., Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах // Успехи мат.наук. 1967. - Т.22, №6. -С. 201-260.

4. Банару М.Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли // Мат. сборник. 2002. - Т. 193, №5. - С. 3-16.

5. Берестовский В.Н., Вольпер Д.Е. Класс £/(п)-инвариантных римановых метрик на многообразиях, диффеоморфных сферам нечетной размерности // Сиб. Мат. Журн. 1993. - Т.34, №4. - С.24-32.

6. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2 т. М.: Мир, 1990. Т.1.

7. Борисенко А.А., Ямпольский A.J1. Риманова геометрия расслоений // Успехи мат. наук. 1991. - Т.46, М. - С.51-95.

8. Вольпер Д.Е. Секционные кривизны однородных метрик на сферах и проективных пространствах // Дис. .канд. физ.-мат. наук. Омск. -1996. 90 с.t

9. Годушон П. Поверхности Хопфа- квазикомплексные многообразия размерности 4 // В кн.: Четырехмерная риманова геометрия: семинар А.Бессе 1978/79.М.: Наука, 1985.

10. Гриффите Ф.А. Деформации комплексной структуры // Успехи мат. наук. 1969. - Т.24, №4. - С. 153-176.

11. Даурцева Н.А. Инвариантные комплексные структуры на 53 х 53 // Электронный журнал "Исследовано в России", 81, С. 882-887, 2004, http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/081.pdf

12. Даурцева Н.А. Расслоение пространства почти комплексных структур // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Издательство института математики. 2003. - С. 263-275.

13. Даурцева Н.А. Об одном семействе метрик на SU{2) х SU(2). Труды Рубцовского индустриального института. Тр. Рубцовского инд-го ин-та. Т.12. Рубцовск. 2003. - С. 26-30.

14. Даурцева Н.А. Экстремальные значения секционной кривизны на однородном комплексном многообразии U(n + 1)/U(n) х (7(р + 1)/U(p). Ред. Сиб. Мат. Журн. Сиб. отд. РАН Новосибирск, 2004. - 12 с. Деп. в ВИНИТИ 19.02.2004, ДО288-В2004.

15. Даурцева Н.А., Смоленцев Н.К. О пространстве почти комплексных структур на многообразии // Вестник КемГУ. 2001. - Т.7. - С. 176-186.

16. Кириченко В.Ф., Власова Л.И. Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий // Мат. сборник. 2002. - Т.193, №5. - С. 53-76.

17. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2 т.- М.:Наука, 1981. Т.2.

18. Смоленцев Н.К. Две слабые римановы структуры на пространстве римановых метрик // Известия ВУЗов, Математика. 1994. - №2. - С. 83-85.

19. Смоленцев Н.К. Естественные слабые римановы структуры на пространстве римановых метрик // Сиб. Мат. Журн. 1994. - Т.35, №2.- С. 439-445.

20. Смоленцев Н.К. О кривизне пространства ассоциированных метрик на симплектическом многообразии // Сиб. Мат. Журн. 1992. - Т.ЗЗ, №1. - С. 132-139.

21. Смоленцев Н.К. О почти комплексной структуре Кэли на сфере S6. Тр. Рубцовского инд-го ин-та. Т. 12. Рубцовск. 2003. - С. 78-85.

22. Смоленцев Н.К. О пространстве ассоциированных метрик на регулярном контактном многообразии // Сиб. Мат. Журн. 1990. - Т.31, №3, -С. 176-185.

23. Смоленцев Н.К. О пространстве римановых метрик на симплектическом и контактном многообразии // Сиб. Мат. Журн. 2001. - Т.42, №6. - С. 1402-1407.

24. Эбин Д., Марсден Дж. Группы диффеоморфизмов и движение идеальной несжимаемой жидкости // Математика. Период. Сб. переводов иностранных статей. 1973. - Т.5. - С. 142-167, - 1973. - Т.6. - С. 111-146.

25. Abbena Е., Garbiero S., Salamon S. Almost hermitian geometry on six dimentional nilmanifolds: Preprint arXiv:math.DG/0007066; http:\\ xxx.lanl.gov, 2000. - 22 p.

26. Apostolov V., Armstrong J., Draghici T. Local rigidity of certain classes of almost Kahler 4-manifolds: Preprint arXiv:math.DG/9911197;http:\\ xxx.lanl.gov, 1999. - 23 p.

27. Apostolov V., Draghici T. Almost Kahler 4-manifolds with J-invariant Ricci tensor and special Weyl tensor: Preprint arXiv:math.DG/9911196; http:\\ xxx.lanl.gov, 1999. - 23 p.

28. Apostolov V., Grantcharov G., Ivanov S. Hermitian structures on twistor spaces // Ann. of Global An. and Geom. 1998. - Vol. 16. - P.291-308.

29. Berard-Bergery L., Ochai T. On some generalizations of the construction of twistor spaces, in "Global Riemannian Geometry", ed. T.J. Willmore and N.J. Hitchin, Ellis Horwood Ltd. Chichester, 1984, P. 52-59.

30. Blair D.E. Spaces of metrics and Curvature Functionals, in "Handbook of differencial geometry", ed. F.J.E. Dillen and L.C.A. Verstraelen, Vol. 1, Elsevier Science, 2000, P. 153-185.

31. Blair D.E., Ianus S. Critical associated metrics on symplectic manifolds // J. Austral Math. Soc. 1986. - Vol. 43, Ser. A. - P. 404-410.

32. Bor G., Hernandez-Lamoneda L. The canonical bundle of a hermitian manifold // Bol. Soc. Mat. Mexicana. 1999. - Vol. 5. - P. 187-198.

33. O'Braian N.R., Rawnsley J.H. Twistor spaces // Ann. Global Anal. Geom. 1985. - Vol. 3, №. - P. 29-58

34. Calabi E. Construction and properties of some 6-dimensional almost complex manifolds I j Trans. Amer. Math. Soc. 1958. - Vol. 87, №. - P. 407-500.

35. Calabi E., Eckmann B. A class of compact complex manifolds which are not algebraic // Ann. Math. 1935. - Vol. 58. - P. 494-500.

36. Calabi E., Gluck H. What Are the Best Almost-Complex Structure on the 6-Sphere? // Proc. of Symp. in Pure Math. 1993. - Vol. 54, part 2. - P. 99-106.

37. Connoly F., Le Hong Van, Ono K. Almost complex structure which are compatible with Kahler or symplectic structure // Ann. of Glob. An. and Geom. 1997. - Vol. 15. - P. 325-334.

38. Datta В., Subramanian S. Nonexistence of almost complex structures on products of even-dimensional spheres // Topology and its Appl. 1990. -Vol. 36. - P. 39-42.

39. Daurtseva N.A. Extreme values of sectional curvature on the homogeneous complex manifold U(n + 1)/U(n) x U(p + 1)/U(p): Preprint arXiv: math.DG/0306004; http:\\ xxx.lanl.gov, 2003. - 11 p.

40. Daurtseva N.A. U(n + 1) x U(p + l)-invariant Hermitian metrics with Hermitian tensor Ricci on the manifold S2n+1 x S2p+1: Preprint arXiv: math.DG/0310124; http:\\ xxx.lanl.gov, 2003. - 6 p.

41. Daurtseva N.A., Smolentsev N.K. On the space of almost complex structures: Preprint arXiv: math.DG/0202139; http:\\ xxx.lanl.gov, 2002. -8p.

42. Davidov J., Muskarov O. Twistor spaces with hermitian Ricci tensor // Proceedings of the American mathematical society. 1990. - Vol. 109, №4. -P. 1115-1120.

43. Dubois-Violette M. Structures complexes au-dessus des varietes; applications, in "Mathematique et physique. Sem. Ecole Norm. Sup. 1979-1982", ed. Movel, Douady, Verdier, Progress in Math. 37, Birkhauser Boston, 1983, P. 1-42.

44. Earle C.J., Eells J.A fibre bundle description of Teichmuller theory //J. Differential Geom. 1969. - Vol. 3. - P. 19-43.

45. Ebin D.G. The manifold of Riemannian metrics // Proc. Symp. Pure Math.- Vol. 15, Amer. Math. Soc. 1970. - P. 11-40.

46. Eckmann В., Frolicher A. Sur l'integrabilite des structure presque complexes. C. R. Acad. Sci. (Paris), 232, P. 2284-2286.

47. Eells J. On submanifolds of certain function spaces // Proc. Nat. Acad. Sci.- 1959. Vol. 45, №10. - P. 1520-1522.

48. Eells J. On the geometry of function spaces // Symp. de Topol. Algebra, Mexico, 1958. P. 303-307.

49. Etayo F., Santamaria R. (J2 = ±l)-metric manifolds // Publ. Math. Debrecen. 2000. - Vol. 57, №3, 4. - P. 435-444.

50. Freed D.S., Groisser D. The Basic Geometry of the Manifold of Riemannian Metrics and of its Quotient by the Diffeomorphism Group// Mich. Math. J. 1989. - R. 5, Vol. 36. - P. 323-344.

51. Frolicher A. Zur Differentialgeometrie der komplexen Strukturen // Math. Ann. 1955. - Bd. 129. - S. 50-95.

52. Goldberg S.I. Integrability of almost Kaehler manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. - Vol. 21. - P. 96-100.

53. Grauert H., Remmert R. Uber kompakte homogene komplexe Mannigfaltigkeiten // Arch. Math. 1962. - Vol. 13. - S. 498-507.

54. Gray A. Six dimentional almost complex manifolds defined by means of three-fold vector cross products // Tohoku Math. J. 1969. - Vol. 217. -P. 614-620.

55. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Math. Рига Appl. 1980. - Vol. 123. -P. 35-58.

56. Joe D. Anti-holomorphic twistor and symplectic structure: Preprint arXiv: math.DG/0005259; http:\\ xxx.lanl.gov, 2000. - 11 p.

57. Koiso N. Einstein Metrics and Complex structures // Invent, math. 1983.- Vol. 73, №. P. 71-106.

58. LeBrun C. Orthogonal complex structures on 56 // Proc. Amer. Math. Soc.- 1987. Vol. 101, m. - P. 136-138.

59. Omori H. On the group of diffeoinorphisms on a compact manifold // Proc. Symp. Pure Math., Amer. Math. Soc. 1970. - Vol. 15. - P. 167-183.

60. Palais R. Foundations of global non-linear analysis. New York, Benjamin, 1968.

61. Rawnsley J. Twistor methods // Lect. Notes in Math. 1987. - Vol. 1263. - P. 97-133.

62. Salamon S.M. Complex structure on nilpotent Lie algebras: Preprint -arXiv:math.DG/9808025; http:\\ xxx.lanl.gov, 1998. 20 p.

63. Sekigava K., Vanhecke L. Almost Hermitian manifolds with vanishing first Chern classes or Chern numbers // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. -1992. Vol. 50, №. - P. 195-208.

64. Smolentsev N.K. The space of associated metrics on a symplectic manifold: Preprint arXiv:math.DG/0108110; http:\\ xxx.lanl.gov, 2001. - 83 p.

65. Vaisman I. Symplectic twistor spaces // J. Geom. Phys. 1986. - Vol. 3, №. - P. 507-524.

66. Wolf J. A. Geometry and structure of isotropy irreducible homogeneous space 11 Acta math. 1968. - Vol. 120. - P. 59-148.

67. Wolf J.A., Gray A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms // J. Differential Geom. 1968. - Vol. 2. - P. 77-159.

68. Wood C.M. Harmonic almost-complex structures // Compositio Math. -1995. Vol. 99. - P. 183-212.