Диффузионная модель проникновения и обратного рассеяния пучка быстрых электронов, падающего на мишень тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

Содержание.

Введение.

ГЛАВА 1. Исходные кинетические уравнения и аппроксимации.

§1.1. Краткий обзор литературы.

§ 1.2. Уравнение Больцмана для электронов.

§ 1.3. Дифференциальный пробег электронов.

§ 1.4. Приближение непрерывного замедления и исходные кинетические уравнения.

ГЛАВА 2. Диффузионная модель кинетического уравнения.

§2.1. Диффузионная модель Бете.

§ 2.2. Модифицированная диффузионная модель кинетического уравнения.

§2.3. Аналитическое решение задачи о падающем на полубесконечную мишень пучке электронов.

ГЛАВА 3. Метод отражения в диффузионной модели.

§ 3.1 Обобщение метода отражений на случай граничных условий третьего рода.

§ 3.2 Функция Грина для пластины.

ГЛАВА 4. Параметры диффузионной модели.

§4.1. Выражение параметров диффузионной модели через отношение пробега к транспортной длине и показатель в степенной аппроксимации соотношения пробег - энергия.

§ 4.2. Вычисление транспортной длины и пробега электронов через сечения упругого и неупругого рассеяния.

ГЛАВА 5. Результаты вычислений и их обсуждение.

§ 5.1. Коэффициент обратного рассеяния.

§ 5.2. Распределение выделенной энергии и инжектированного заряда.

§ 5.2.1. Моноэнергетический изотропный точечный источник в бесконечной среде.

§ 5.2.2. Моноэнергетический плоский перпендикулярный источник в бесконечной среде.

§ 5.2.3. Моноэнергетический плоский пучок, падающий на полубесконечную мишень.

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ

Задачи диагностики перспективных материалов и в том числе квантово - размерных структур, обладающих активными областями с размерами порядка несколько десятков атомов, требуют определения параметров исследуемых объектов с как минимум нанометровым разрешением. Здесь практически важным и перспективным направлением является дальнейшее развитие широкого класса методов, основанных как на использовании электронов в качестве зондирующего возбуждения, так и на регистрации электронов в качестве основного сигнала. Наиболее известными из них являются рентгено - спектральный микроанализ, Оже - спектроскопия, рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия, спектрометрия электронной эмиссии, возбуждаемой рентгеновским излучением. Применение этих методик позволяет определять химический состав, размеры неоднородностей (толщины слоев), атомную структуру, электронное строение и прочие характеристики образца с субатомным разрешением.

Для количественного определения искомых параметров, т.е. для моделирования основных эффектов, требуется информация о функции распределения электронов. Она может быть получена из кинетического уравнения, одним из наиболее универсальных численных методов решения которого является метод Монте - Карло, связанный с громоздкими вычислениями, и быстро работающие, но не точные феноменологические модели, требующие введения в расчёты большого числа подгоночных параметров даже при вычислении самых простых и хорошо известных характеристик, например, коэффициента обратного рассеяния. Поэтому разработка аналитических и численных методов расчёта переноса электронов на основе кинетического уравнения остаётся нерешённой и актуальной задачей.

Настоящая диссертация посвящена теоретическому исследованию процессов, возникающих при взаимодействии падающего пучка быстрых электронов (10 - 1000 кэВ) с твердотелыми мишенями.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является:

- построение диффузионной модели проникновения и обратного рассеяния пучка быстрых электронов от твердотелой мишени;

- оценка точности диффузионной модели кинетического уравнения;

- изучение характеристик обратного рассеяния и проникновения в мишень.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В данной работе впервые:

1. построена модель кинетического уравнения для быстрых электронов, позволяющая вычислять характеристики переноса электронов с точностью достаточной для приложений без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров;

2. получены в аналитической форме решения для задачи о падении пучка электронов на полубесконечную мишень и пластину;

3. получены аналитические выражения для ряда характеристик переноса электронов в полубесконечной мишени и пластине.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Модель кинетического уравнения для быстрых электронов, позволяющая вычислять характеристики переноса электронов с точностью достаточной для приложений и без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров.

2. Аналитические решения задачи о падении пучка электронов на полубесконечную мишень и задачи о падении пучка электронов на пластину.

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечивается сравнением полученных результатов с экспериментальными данными, опубликованными в литературе и с точным решением для энерговыделения в бесконечной среде точечного и плоского источников электронов, полученного путем аналитического решения моделируемого нами кинетического уравнения, опубликованным в Национальном бюро стандартов США.

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что теоретически исследованные в ней процессы позволяют глубже понять сущность соответствующих физических явлений, а разработанные на основе предлагаемой диффузионной модели кинетического уравнения прикладные программы позволяют вычислять многие характеристики взаимодействия падающего пучка электронов с твердотельной мишенью.

ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАБОТЫ:

1. кинетическое уравнение для электронов;

2. характеристики процесса переноса электронов в мишени (обратное рассеяние электронов, распределение выделенной энергии и инжектированного заряда);

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Результаты исследований опубликованы в периодической научной печати (журналы "Радиотехника и электроника", ЖТФ, "Вопросы физической метрологии", "Биомедицинская радиоэлектроника") и докладывались на: 6

- V Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов "Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления" (Таганрог, 2000 г.);

- Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (Москва, 2002 г);

- Ежегодных внутривузовских научных конференциях (Волгоград, 2000 -2002 гг.).

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА Основные положения диссертации опубликованы в соавторстве с научным руководителем Смоляром В.А. Автор диссертации принимал непосредственное участие в вычислениях и обсуждении результатов работы, а также полностью выполнил программную реализацию диффузионной модели на ЭВМ в виде пакета прикладных программ, снабженных современным пользовательским интерфейсом.

Выводы

Прямое сопоставление результатов вычисления распределения энергии, выделенной в бесконечной рассеивающей среде точечным изотропным и плоским перпендикулярным источниками электронов с таблицами, опубликованными национальным бюро стандартов США и полученные путем аналитического решения кинетического уравнения показывает, что:

• Диффузионное приближение для кинетического уравнения построенное "ab initio" - без введения в теорию каких-либо подгоночных эмпирических параметров - дает хорошее соответствие вычисленного энерговыделения с точным.

• Показано, что соответствие с точными решениями кинетического уравнения улучшается с ростом атомного номера рассеивающего вещества.

• При этом в случае направленного источника электронов в модели с центром диффузии следует учитывать уменьшение остаточного пробега на глубину смещения центра диффузии от плоскости источника в сторону испускания электронов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, полученные в работе.

Вычислен дифференциальный пробег электронов средних энергий и оценен предел применимости для аппроксимации его обратной величиной средних потерь энергии, а также показана связь между дифференциальным пробегом и его оценкой через средние потери энергии на единице пути.

Исходя из кинетических уравнений Бете и Спенсера, получена диффузионная модель переноса быстрых электронов. При этом предлагаемая модель не содержит эмпирических подгоночных параметров и является математически замкнутой.

Для решения задачи о диффузии быстрых электронов, падающих на пластину, применен и реализован в вычислительной программе метод отражений, позволяющий формализовать построение функции Грина на основе применения принципа суперпозиции и правил отражения, обеспечивающих выполнение граничных условий. Этот метод дает возможность записать п - ый член ряда отражений в виде кратного интеграла вероятности, вычисление которых сводится к использованию рекуррентной формулы для кратных интегралов вероятности, что позволяет применить быстро работающие вычислительные алгоритмы.

Показано, что в области энергий электронов, для которых справедлива аппроксимация Спенсера для транспортной длины, параметры диффузионной модели зависят от трех величин: d^ - отношения пробега к транспортной длине, а - показателя в степенной аппроксимации соотношения пробег - энергия и i?0 - полного пробега по траектории. Все характеристики переноса электронов в диффузионной модели выражаются через эти параметры.

Получено аналитическое выражение для коэффициента обратного рассеяния и распределения по энергиям обратно рассеянных электронов и

97 проведено сравнение с имеющимися в литературе экспериментальными данными. На основании этого сравнения можно утверждать, что предложенная в настоящей работе диффузионная модель хорошо согласуется с экспериментом и позволяет вычислять коэффициенты обратного рассеяния для веществ, перекрывающих практически всю таблицу Менделеева, не хуже, чем эмпирические формулы, содержащие подгоночные параметры.

Показано, что диффузионное приближение для кинетического уравнения дает хорошее соответствие вычисленного обратного рассеяния с экспериментом, а вычисленное распределение выделенной энергии хорошо соответствует полученному из точного решения кинетического уравнения; при этом соответствие с экспериментальными данными и точными решениями кинетического уравнения улучшается с ростом атомного номера рассеивающего вещества.

98

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор хотел бы от всего сердца поблагодарить руководителя Смоляра В.А. за постановку задач и постоянный интерес к работе. Не будет преувеличением сказать, что без этого интереса данная работа бы не состоялась.

Также автор выражает искреннюю благодарность проф. Шеину А. Г. и доц. Гудилову С. М. за обсуждение материалов диссертации, которое способствовало улучшению работы.

1. Валиев К.А., Раков А.В.Физические основы субмикронной литографии в микроэлектронике - М.: Радио и связь, 1980 - 350 с.

2. Электронно лучевая технология в изготовлении микроэлектронных приборов Под ред. Дж.Р.Брюэра. - М.: Радио и связь, 1984 - 332 с.

3. Рязанов М.И., Тилинин И.О. Исследование поверхности по обратному рассеянию частиц. М.: Энергоатомиздат, 1985 - 150 с.

4. Физические основы рентгеноспектрального локального анализа. Перев. с англ, под ред. Боровского И.Б.- М.: Наука, 1973 312 с.

5. Ландау Л.Д. Собрание трудов, т.11. М.: Наука, 1969 - 512 с.

6. Компанеец А.С. Многократное рассеяние быстрых электронов и а частиц в тяжелых элементах //Журн. эксперимент, и теор. физ. - 1954. - Т. 15, Вып.6. - с.235 - 243.

7. Moliere G. Theory der Streuung Schneller Geladener Teilchen. 2. Mehrfachung Vielfachstreuung//Z.Naturforsoh. 1948. Bd.3a. S.78 -97.

8. Bethe H. Molier's в theory of multiple scattering //Phys. Rev. 1953 - V.89, №6,-p.1256- 1266.

9. Everhart Т.Е. Simple theory concerning the reflection of electron from solids //J. Appl. Phys. 1960. - V.31.-p.l483 - 1490.

10. Находкин Н.Г., Остроухов A.A., Романовский В.А. Неупругое рассеяние электронов в тонких пленках //ФТТ. 1962. - Т.4, №6. - с. 1514 - 1524.

11. Остроухов А.А., Находкин Н.Г. Приближенное аналитическое выражение для пробега частиц, тормозящихся по закону Бете. //Радиотехника и электроника. 1965. - Т.5, №3. - с.523-529.

12. Находкин Н.Г., Остроухов А.А., Романовский В.А. Влияние атомного фактора экранирования на неупругое отражение электронов. //ФТТ 1965. -Т.7, №4. - с.1256- 1259.

13. Archard G.B. Backseattering of electrons//.!. Appl. Phys. 1961.- V.32. -p.1505- 1509.

14. Tomlin S.G. The Back-scattering of Electrons from Solids //Proc. Phys. Soc.,1.ndon. 1963. - V.82. -p.465 - 466.

15. Metchnik V., Tomlin S.G. On Absolute Intensity of Emission of Characteristic X Radiation // Proc. Phys. Soc. 1963. - V.84. - p.956 - 964.

16. Brown D.B., Ogilvie R.E. An Electron Transport Model for the Prediction of X-Ray Production and Electron Baoksoattering in Electron Microanalysis //J. ppl. Phys. 1966.-Y.37, №12.-p.4429-4433.

17. Kanaya K. Okayama S. Penetration and energy-loss theory of electrons in solid targets //J. Appl. Phys. 1972. - V.5. - p.43 - 58.

18. Фирсов О.Б. Отражение быстрых ионов от плотной среды под скользящими углами //Докл. АН СССР. 1966. - Т. 169, №6. - с.41 - 48.

19. Фирсов О.Б. Рассеяние частиц с большой энергией, падающих на поверхность сплошной среды под углом падения, близким к чс/2 //ФТТ. -Т.9, №8. С.2145 - 2156

20. Фирсов О.Б. движение частиц с большой энергией в среде, в диффузионном приближении в пространстве скоростей //Журн. эксперим. и теор. физ. 1971. - Т.61, Вып.4. - с.1451 - 1462.

21. Ремизович B.C., Рязанов М.И., Тилинин И.С. Обратное рассеяние плоского пучка быстрых заряженных частиц от поверхности вещества при скользящем падении //Докл. АН СССР. 1980. - Т.251.

22. Ремизович B.C., Рязанов М.И., Тилинин И.С. Исследование поверхностных и объемных свойств твердых тел по взаимодействию частиц. //Под ред. М.И. Рязанова. М:Энергоиздат, 1983 - с.З - 24.

23. Рязанов М.И., Тилинин И.О. Исследование поверхности по обратному рассеянию частиц. М.: Энергоиздат, 1985.

24. Вятскин А.Я., Трунев В.В., Фиттинг Х.-И. О закономерностях проникновения электронных пучков средних энергий в твердые тела// Радиотехн. и Электроника. 1973. -Т.18, Вып.8. - с.1701 - 1705.

25. Вятскин А .Я., Храмов В.Ю. Метод определения характеристик взаимодействия электронов средних энергий с массивными твердыми телами // ФТТ. 1975. - Т.17, Вып. 11. - с.3412 - 3413.

26. Вятскин А.Я., Храмов В.Ю. Закономерности взаимодействия электронов средних энергий с массивными твердыми телами //ФТТ. 1975. - Т. 17, Вып.11. - с.3412 - 3413.

27. Вятскин А .Я., Кабанов А.Н., Смирнов Б.Н., Храмов В.Ю. Исследование характеристик проникновения электронов с энергией 5-25 кэВ в массивные мишени //Радиотехн. и Электроника. 1979. - Т.24, Вып. 2. — с.405 - 407.

28. Arnal P. Transmission delectrons monooinJtiques par des objets amorphee ou polyorystallins /1С. R. Acad. Sc. Paris. 1982. - V.294. - p.831 - 833.

29. Аржанников A.B., Синицкий C.Jl., Яловец А.П. Решение задачи о прохождении через вещество электронов средних энергий //Препринт, ин-т. ядерн. физ. СО АН СССР 1991.-№. 91. - с. 1 - 34.

30. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии.- М.: 1ЛГ. 1953.

31. Dashen R.P. Theory of electron backscattering //Phys. Rev. 1964. - V.134, №4. - p. 1025 - 1032.

32. Мигдал А.Б. Квантовое кинетическое уравнение для многократного рассеяния. //Докл. АН СССР. 1955. - Т.105, №1. - с.77 - 79.

33. Калашников Н.П., Машинин В.А. К теории обратного рассеяния быстрых электронов от сплошной среды. 1. Нерелятивистский случай. //Журн.эксперим. и теор. физ. 1970. - Т.59, Вып.6. - с.2025 - 2034.

34. Калашников Н.П., Машинин В.А. К теории обратного рассеяния быстрых заряженных частиц от плоской мишени произвольной толщины //Журн. эксперим. и теор. физ. 1973. - Т.43, Вып.11. - с.2239-2234.

35. Kalashnikov N.P. The diadram technique in the theory of multiple scattering //Nuovo oimento. 1968. - V.58. -p.279 - 288.

36. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.:Мир.-1972. - 384 с.

37. Корнюшкин Ю.Д. Прохождение электронов через свободные слои твердых веществ //ФТТ. 1979. -Т.21, №8. - с.2347 - 2350.

38. Корнюшкин Ю.Д. Обратное рассеяние электронов от свободных и полубесконечных слоев твердых тел //ФТТ. 1980. - Т.22, №5. - с. 1561 -1564.

39. Корнюшкин Ю.Д. Обратное рассеяние электронов при наклонном падении на поверхность свободного или полубесконечного слоя //ФТТ. 1980. - Т.22, №5. - с. 1561 - 1564.

40. Тилинин И.О. Отражение быстрых электронов при нормальном падении на поверхность вещества //Журн. эксперим. и теор. физ. 1982. - Т.82, Вып.4. - с.1291 - 1305.

41. Тилинин И.О., Мамонов М.Н. Ионизационные потери энергии и отражение быстрых электронов в тяжелых мишенях //Препринт МИФИ 04686, Москва 1986. - с. 1-23.

42. Бакалейников JI.A. и др. Эффективная реализация расчета потери энергии и угла рассеяния при неупругом взаимодействии электрона с веществом //Журнал технической физики. 2000. - Т.70, Вып.12. — с.6 —11.

43. Электронный архив http://www.ioffe.rssi.ru/ES

44. Бакалейников J1.A. и др. Аналитический и численный подходы к расчету функции выхода электронов средних энергий из однородных образцов //Журнал технической физики. 2001. - Т.71, Вып.7. - с. 14 - 20.

45. Berger MJ. Monte Carlo calculation of the penetration and diffusion of fast charged particles, in "Methods of Computational Physics" (Academic, London 1963). V.l. -p.135 -215.

46. Bishop H.E. Electron scattering in thick targets //Brit. J. Appl. Phys. 1967. -V.18. - p.703 - 715.

47. Bishop H.E. The absorption and atomic number corrections in electron-probe X-ray microanalysis //Brit. J. Appl. Phys. 1968. ser.2. - V.l. - p.673-684.

48. Shimizu R., Honji M., Murata K. Investigation of Energy Dissipation of Electrons in Al- and Cu- Targets by Monte Carlo Method // Jap. J. Appl. Phys-1970.- V.9, №11. p. 1291-1296.

49. Shimizu R., Murata K. Monte Carlo Calculations of the Electron-Sample Interactions in the Scanning Electron Microscopie //J. Appl. Phys. 1971. - V.43. -p.387-394.

50. Головяшкина JI.B., Находкин Н.Г. "Прямое моделирование неупругогорассеяния электронов" в сб. Вычислительные системы, АН СССР, ин-т математики. 1972. - с.5 - 20.

51. Головяшкина Л.В., Косарев Ю.Г., Находкин Н.Г. Прямое моделирование неупругого рассеяния электронов. Особенности углового распределения //Изв. АН СССР. сер. Физич. 1973. - Т.37, №12. - с.2480 - 2487.

52. Головяшкина Л.В., Находкин Н.Г. Прогноз характеристик неупругого рассеяния электронов средних энергий в многокомпонентных мишенях //Укр. физ. журн. — 1979. — Т.24, №8.-с.1109 1113.

53. Matsukawa Т., Murata К., Shimizu R. Investigation of electron penetration and X-ray production in solid targets //Phys. stat. sol. 1973. - Y.55. - p.371-383.

54. Matsukawa Т., Shimizu R., Harada K., Kato T. Investigation of kilovolt electron energy dissipation in solids //J. Appl. Phys. 1974. - V.45, №2. - p.733-739.

55. Green A.J. Leckey R.C.G. Scattering of 2-20 keV electrons in aluminium //J. Phys. D.: Appl. Phys. 1976. - V.9. -p.2123 -2138.

56. Terrisol M. Methode de simulation du transport d'electrons d'energies comprises entre 10 eV et 30 keV. Boot. Soi. Phys. These //Univ. Paul Sabatier de Toulouse. 1978.-p.141.

57. Murata K., Nomura E., Nagami K., Kato T. A three-dimensional study of the absorbed energy density in electron resist film on substrates //Jpn. J. Appl. Phys. -1978. V. 17, № 10. - p. 1851 - 1860.

58. Pankh H., Kyser D.F. Energy deposition functions in electron resist films on substrates //J. Appl. Phys. 1979.-V.50, №2. -p.1105 - 1111.

59. Shimizu R., Everhart Т.Е. Lateral spreads of energy dissipation profiles of 20-keV electrons in plymethilmethacrilate: Functional representation and itsapplication to proximity effect //J. Appl. Phys. 1980. - Y.52, №3. - p.1473 -1477.

60. Krai V., Pavlicek H. Monte Carlo calculation of penetration of electrons into poly (methylmethacrylate)// Czehosl. J. Phys. 1991. - V.41, №2. -p.177 - 183.

61. Аккерман А.Ф. Моделирование траекторий заряженных частиц в веществе. -М: Энергоиздат. 1991.-200 с.

62. Martinez J.D., Hagol R., Salvat P. Monte Carlo simulation of kilovolt electron transport in solids //J. Appl. Phyz. 1990. - V.67, №6. - p.2955 - 2964.

63. Wang Ruqing, Albedo and energy albedo of low-energy electrons from bulk materials //Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. B. 1990. - V.51, №4. - p.385 - 395.

64. Dapor M. Monte Carlo simulation of backscattered electrons and energy from thick targets and surface films //Phys. Rev., See. B: Condensed Matter. 1992. — Y.46, №2. - p. 618-625.

65. Akkerman A. P., Chernov G. Ya. Monte-Carlo calculation of the electron transmission, reflection, and absorption in solids In the energy range up to 10 keV //Phys. Stat. Sol.(b). 1980. - V. 101. - p. 109 - 116.

66. Green M. A Monte Carlo calculation of the Spatial distribution of characteristic x-ray production in a solid target //Proc. Phys. Soc. 1963. - V.82, №256.p. 204-215.

67. Bishop H.E. A Monte Carlo calculation of the Scattering of electrons in copper //Proc. Phye. Soo.- 1965.-V.85,№547.-p. 855-866.

68. Murata K. , Matsukawa Т., Shimizu R. Study on the resolution of the backscattered electron image by the Monte Carlo method //Jap. J. Appl. Phys. -1971. V.10, №9. - p. 1290 - 1291.

69. Shimizu R., Everhart Т.Е. Monte Carlo simulation of the energy dissipation of an electron beam in an organic specimen. //Optik. -1972. V.36. - p. 59 - 65.

70. Bethe H. Rose M.E. Smith L.P. Multiple scattering of fast charged particles //Proc. Amer. Phil. Soc. 1938. - V.78. -p.573 - 583.

71. Кольчужкин A.M., Учайкин В.В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М.: Атомиздат, 1979. - 255с.

72. Lewis H.W. Multiple scattering in infinite medium //Phys. Rev. 1950. -V.78, №5. - p.526 - 529.

73. Spencer L.V. Theory of electron penetration //Phys. Rev. 1955. - V.98, №6. - p. 1597 - 1616.

74. Spencer L.V. Energy dissipation by fast electrons. Washington: National Bureau of Standarts. Monograph 1. 1959.

75. Van der Mee C.V. Well-posedness of stationary and time-dependent Spencer-Lewis equations modelling electron slowing-down //J. Math Phys. 1989. - V.30, №1.- 158-165.

76. Бакалейников Jl.A., Тропп Э.А. Пограничные слои в задаче релаксации пучка электронов средних энергий в полубесконечных тяжелых мишенях //ЖТФ. 1986. - Т.56. - с.16 - 25.

77. Калашников Н.П., Ремизович B.C., Рязанов М.И. Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах. М.:Атомиздат. - 1980. - 350 с.

78. Spencer L.V., Fano U. Energy spectrum resulting from electron slowing down //Phys. Rev. 1950. - V.93, №6. - p. 1172 - 1181.

79. Messey H.S.W. Electron scattering in solids //Adv. in electronics. 1952. -V.4.-p. 2-68.

80. Роках А.Г., Смоляр В.А. Распределение потерь энергии в сернистом кадмии //Известия АН СССР, сер. физич. 1969. - Т.ЗЗ, №3. - с.473 - 475.

81. Нелипа Н.Ф. Введение в теорию многократного рассеяния. М., "Атомиздат", 1960. - 159 с.

82. Галишев B.C. Метод модифицированных сферических гармоник в теории многократного рассеяния частиц. -М.: Атомиздат, 1980 132 с.

83. Смоляр В.А., Ерёмин А.В. Диффузионная модель кинетического уравнения для пучка быстрых электронов, падающего на полубесконечную мишень //Радиотехника и электроника. 2001. - Т. 46, № 5. - с. 599 - 603.

84. Бакалейников Л.А., Конников С.Г., Погребицкий К.Ю. и др. //ЖТФ. -1994.-Т.64, Вып.4.-с. 9-16.

85. Карслоу Д., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.488 с.

86. Niedrig Н. Electron backattering from thin films //J.Appl. Phys. 1982. -V.53,№.4.-p. 15-49.

87. Dapor M. Elastic scattering of electrons and positrons by atoms: differential and transport cross-section calculations// Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 1994. - №.95. - p. 470 - 476.

88. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамович М., Стиган И.-М.: Наука, 1979.-830 с.

89. Вятскин А.Я., Кабанов А.Н., Смирнов Б.Н., Трунев В.В. //Радиотехн. и Электроника.- 1976.- Т.21, Вып. 2. с.895 - 898.

90. Dapor М. //Phys. Lett. А. 1990. -V. 143, № 3. р. 160.

91. Таблицы физических величин. Справочник под редакцией акад. И. К. Кикоина. М.: Атомиздат. 1976. - 1006 с.

92. Cosslett V.E., Thomas R.N. Multiple scattering of 5-30 kev electrons in evaporated metal films. 3: Backscattering and absorption, distribution //Brit. J. Appl. Phys. 1965. - V.16. - p.779 - 796.

93. Heinrich K. F. J. Electron probe microanalysis by specimen current measurement //Proceedings of the 4th Intrernational Congress on X-ray Optics and Microanalysis. Paris. 1967. - P. 159 - 167.

94. Dresher H., Reimer L., Seidel H. Rueckestreukoeffizient und Sekundarelektronen-Ausbeute von 10-100 keV-Elektronen und Beziehungen zur Raeter-Elektronenmikroskopie //Z. Angew. Phye. 1970. - v.29. - р.ЗЗ 1 - 336