Динамические контактные задачи для предварительно напряженного полупространства тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

р МШШ^ГЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ 1 ° РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

I О

\ 5 ^РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕН]!

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 063.52.03 по физика - математическим наукам

На правах рукописи УДК 539.3

ВЕЖ КОВ А ТАТЬЯНА ИВАНОВНА

ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ . ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физика - математиче*. .сих наук

Ростов - на - Дону 1993 г.

Ракита выполнена в НИИ механики и прикладной математики Ростовского ордена Трудового Красного Знамени государствен-•ного университета.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, старший научный сотрудник Квлинчук В.В.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Зубов Л.М., кандидат физико-математических наук, доцент Ананьев И. В.

Еедущая организация - Кубанский государственный университет

Защита состоится " & " ¿¿¿г^Л/ив- 1993 г. в & час, на заседании специализированного совета 'Л 063.62.03 по физико-математическим наукам в РТУ по адресу: 344090, г.Ростов -на - Дону, ул. Зорге, 5, мехмат, ауд. 239.

О диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ' РГУ (ул. Пушкинская, 146).

Автореферат разослан "

^¿¿/Ыг/^с^993 г_

Ученый секретарь специализированного совета доцент

И.Л.Гвгман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ОбъепТ исследования. Диссертация посвящена развитию методов исследования закономерь стей динамического контактного взаимодействия массивных штампов и инерционных систем с пред напряженным полупространством. Материал среды предполагается сжимаемым, гипврупругим. первоначально изотропным, начальное состояние - однородным.

Актуальное.ь проблемы- Задачи динамического контактного взаимодействия твердых тел относятся к числу наиболее сложных и актуальных задач механга I твердого тела.

Фувдаментостровние, сейсмостойкое строительство, сейсмс разведка и геофизика, машиностроение, ультразвуковая дефектоскопия и акустическая эмиссия, акустоэлектроника - далеко •но полный перечень отраслей современной те:_1ики, где исследования по динамичес.;сиг.' контактным задачам находит непосредственное приложение. Развитие новых технологий, использование искусственных композиционных материалов определяют необходимость - совершенствования моделей, учитывающих слоянуи структуру среды (слоистость, неоднородность и т.д.) и ее свойства. Большое значение приобретает учет начальных напряжений, которые вследствие различных технологических операций и процессов практически всегда присутствуют в реальных телах ' Совершенствование методов расчета деталей и узлов машин и конструкций с повышенной прочностью и низкой материалоемко стью, потребность прогнозирования их рь^урсной способности при эксплуатации, обуславливает необходимость не только учета начальных напряжений, но и разработки теоретически и экс шриментальных методов оценки величины и характера начальных

напряжений в деталях и элементах конструкций.

Исследования по рассматриваемому в диссертации кругу вопросов проводились в НИИ механики и прикладной математики РГУ в рамках ряда государственных научно-технических программ, в том число по проблеме 0.74.03 "Разработать и внедрить в практику народного хозяйства методы•оценки опасности и комплекс мероприятий для уменьшения ущерба от землетрясений, цунами и вулканических извержений", по проблеме 0.55.0е* "Разработать и внедрить экономичные и технологичные решения атомных и тепловых электростанций унифицированных типов, линий электропередач и подстанций, а также поточно-скоростные методы их строительства", по проблеме О.БО.ОЗ "Разработать и внедрить аппаратуру и технологии сейсмических исследований с целью более полного изучения глубинного строения Бомли, вещественного состава пород при поиске и разведке месторождений тафта, газа и твердых ископаемых", а также в рамках республиканской научной программы Миннауки, высшей школы и технической политики Российской федерации "Фундаментальные проблемы механики деформируемых сред и конструкций".

Цель работы.

1. Разработать и реализовать в программном ксл.шлексе метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач, ядра которых имэйт вещественные точки ьвтелэния.

2. Разработать метод исследования динамики массивных объектов и инерционных систем, взаимодействующих с предная-рякешшм полупространством.

3. Исследовать закономерности динамического взаимодействия массивных объектов и инерционных систем с преднапрякен-ными средами. Ькчыггь динамические характеристики поведения

массивны?;, тел, позволяющих эффективно оценивать величину и характер начальной деформации.

Методика исследования основана на сведении исходных кра евых задач к интегральным уравнениям с последующим их рошв-нием методом факторизации, позволяющим учитывать вещественные точки ветвления. Исследования проводятся в системе координат, связанной с начально-деформированным состоянием среды.

Научная новизна. Изучен новый класс задач о динамическом взаимодействии массивных объектов и инерционных систем с предварительно напряженным полупространством. Рассмотрены различные виды однородного начального напряженного состояния среды: одноосное по различным осям, двухосное и трехосное. Б аналитическом виде построены приближенные, эффективные в широком диапазоне частот решения интегральных уравнений задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях полосового штампа. Раз работали и реализованы на ЭВМ 'программы, позволяющие проводить исследование динамического поведения массивных объектов и инерционных систем при различных видах однородного начального напряженного состояния среды.Выявлен ряд закономерностей динамического взаимодействия массивных штампов и инерционных систем с иреднапряженннм полупространством.

Практическая значимость работы определяется широким кру гом отмеченных выше практических приложений рассматриваемых задач, наличием программ, реализующих развитый метод, большим количеством численных, результатов и установленных при этом закономерностей влияния начальной деформации на динамику массивных объектов и инерционных систем.

Апробация ШйЯ.7Мл. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VI Всесоюзном съезде

по Töopc.ИЧ0СКОЙ и прикладной механике (1986 г..Ташкент), на международном симпозиуме по нелинейной сейсмологии (1986 г., Суздаль), на Всесоюзной конференции по динамике неоднородных структур (1987 г., Львов), на I, II, III и IV региональных, конференциях "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1986,1988,1990,1992г.), на Всесоюзном совещании "Проблемы контактного взаимодействия,трения и износа" (Рос • тов н/Д, 1990г.), а такка на семинарах ОВП НИШ - ПМ, кафедры теории упругости РТУ.

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Структура и объем работы■ Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, занимаадих 140 стралиц машинопис него текста, списка использованной литературы, включающей 195 наименований работ и приложения, содержащего численные резуль. аты. -

- ■ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении очерчен круг проблем, рассматриваемых в.дао сертащш, определен характер и актуальность выполненной работы. Приеден краткий обзор работ по исследованию заксномер ностей распространения -волн в телах о начальники нгшрякпния-' ми и решению смешанных динамических задач теории упругости.

Одними из^первых работ по исследованию динамического поведения предварит злыга напряженных упругих тел были работы Коши, Лява. В общем случае для ^писания динамических процессов ь предварительно напряженных средах необходимо привлечение соотношений нелинейной теории упругости. В то же время р*.". :£<£ектов достаточно полно опис :вается линеаризованной

• теорией, существенный вклад в становление которой внесли

A.Б. Green, Й.Т. Shield, B.S. Rlvlin, М.А. Blot, А.И. Лурье, С.Трусделл. Ими произведена линеаризация нелинейных уравне ний теории упругости, а также развита теория наложения малых деформаций на конечную. А.Н.Гузь, А.Г.Жук, О.Ю.Бабич, Ф.Г. М&хорт развили трехмерную линеаризованную теорию при больших

'и малых начальных деформациях для сжимаемых и несжимаемых тел, получили общие решения уравнений движения в случае одно .родных начальных деформаций, исследовали вопросы устойчивости и установили ряд закономерностей распространения объемных и поверхностных волн в преднапряженных телах.

Изучением закономерностей распространения упругих волн в начально-деформированых средах занимались также A.E.Green,

B.З. Pivlin, R.W.Ogden, D.K. Wagh, D.K. Willaon и другие.

В большинстве работ рассматривались не смешанные задачи распространения волн в предположении, что источник колебаний бесконечно удален.При исследовании взаимодействия массивных штампов и инерционных систем с упругими полуа гранича иными . средами возникают проблемы, связанные с необходимостью решения интегральных уравнений или систем интегральных уравнений

Разработке методов решения различных динамических контактных задач к исследованию возникающих при этом интегральных уравнений посвящено .большое число . статей и монографий В.Ы.Александрова, В.А.Бабешко, А.В.Белоконя, С.И.Боева, Н.М.Бородачева, А.0.Ватульяна, И.И.Воровича, Е.В.Глушкова, В.Т.Гринченко, А.Н.Гузя, Е.Н.Закорко, А.Б.Кфммова, В.А.Ильичева, В.В.Калинчука, Е.В.Коваленко, В.Д.Купрадзе, Ю.А.Мамтэ-ева, Г.Б.Муравского, Г.Я.Попова, О.Д.Пряхиной, В.Л.Рвачова, Н.А.Ростовцева, М.А.Сумбатяна, В.А.СЕвкло, В.М.Сеймова, M.F.

Селезнева, Л.И.Слепяна, А.В.Смирновой, Ю.А.Устинова, А.Ф. , Улитко, М.И.Чебакова,' О.Я.Шехтера и других ученых.

Принципы излучения, обеспечивающие единственность решения смешанных краевых задач динамической теории упругости, сформулирозаны в работах В.А.Бабешко, Н.Н.Векуа, М.И.Воронина, А.Зоммерфельда, В.Д.Купрадзе, Л.И.Мандельштама, А.Г.Свел никова, АiH,Тихонова и других авторов.

Исследованию закономерностей динамического контактного взаимодействия жестких штампов с преднаиряжанными средами . посвящен ряд работ И.В.Ананьева,, В.А.Бабешко, В.В.Калкнчука, И.Б.Поляковой. В работах детально исследовалось влияние нача лыюго напряженного состояния на распределоние напряжений под штампом и на поведение свободной поверхности вне его. Исследования проводились в координатах естественного (ненапряженного) состояния.

£ первой главе приведена постановка краевой задачи о гармонических колебаниях преднапряженного полупространства хз<0 распределенной в области О нагрузкой 1101. Ма-

териал среды полагается первоначально изотропным, сжимаемым, имеющим упругий потенциал, как функцию инвариантов моры деформации, Начальное напряженное состояние ерэдц - однородно. В рамках сделанных предположений краевая зядача описывается линеаризованными уравнениями с граничными уелоьияма

7 f а!*, .х,) .х =0,х ,х„~а

7-6 =" -риги , П.9 = i '

I о

8 ^ T.va + 4/|~Гчр §(а) + > l | v f'-F"'. .4;(U)1

где т - тензор начальных напряжений, F - мера деформации Фин гера, е - линейный тензор деформации возмущенного состояния,

- метрические множители, фк, (т,у=0,1,2) - коэффициенты, определяемые через упругий потенциал среды.

Решение краевой задачи, построенное с помощью методов операционного исчисления и принципа предельного поглощения в общей форма, безотносительно к виду начального напрятанного состояния, упругого потенциала и свойств материала ореады,имеет представление (а,(3 - параметры преобразования Фурье по переменным х ,хг. = ,а°г ,о°з) - безразмерная час

тста,о?( - компоненты тензора начальных напряжений Т):

4 0

• ,ас) = / / К(а,р,х3 ,*)e;•<c',"J,, асйЭ

Г.Га

К(а,р,хз,ае) = ЦК. .(а,р,о°.,ае)||. ^

Контуры Г и Г, выбираются в соответствии с принципом предельного поглощения и поведением элементов матрицы-функции К(а,р,х -',ае) на вещественной оси, свойства которых определяются "идом начальнс-дефС'ргетрзЕанного состояния и свойствами среды. В диссертации приведен явный вид элементов матрицы-функции для различных начальных напряженных состояний.

Во втором параграфе приведена система интегральных урав нетей для'задачи о вибрации произвольного б плаке штампа на поверхности преднапряженяого полупространства, а также интег ральнне уравнения и системы интегральных уравнений задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях полосового штампа на поверхности преднзггряженного . полупространства для различных видев-начально-деформированного состояния средн.

В третьем'параграфе приводятся основные свойства ядер

интегральны!, уравнений рассматриваемых задач: четность, распределение особых точс)К и асимптотическое поведение ядер при больших значениях аргумента, что является условием для применения теорем разрешимости и единственности решения интегральных уравнений, рассмотренных в диссертационной работе.

Во второй главе приведены теоремы корректной разрешимое ти и единственности решения интегральных уравнений I рода, изучающихся в данной работе. Изложены некоторые положения факторизации функций и матриц-функций, на основе которых строятоя приближенные решения рассмотренных интегральных уравнений. Обсуждаются вопросы устойчивости.'

Третья слава посвящена некоторым методам решения интегральных уравнений I рода о оощшшрующим на отрезке ядром.

В первом параграфе изложен метод решения.интегральных уравнений I рода, основанный на -приближенной факторизации функций и матриц-функций. Здесь используются аппроксимирующие функции, не учитиваивдэ наличие у. ядра интегрального уравнения вещественных точек ветвления. Этот метод, эффектов ный для сред типа слоя, пакетч. слоев, в случае полупространс тва применим только для низких частот колебаний штампа.

Во втором параграфа развит метод решения интегральных уравнений I рода, в котором используются аппроксимирующие функции, сохраняющие точки ветвления символа ядра интегрального оператора на вещественной оси. Суть метода заключается в нетрадиционном подходе к расщеплению интегрального опера- • тора уравнения Фрвдгольма XI рода, к кото ¡¡ому сводится исходное интогральное уравнение, на конечномерный и малый за' счет специального представления контурного интеграла. Этот метод применен для построения решений интегральных уравнений

задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях полосового итам-па с произвольной формой основания на поверхности преднапря-женного полупространства. В аналитическом виде получены вира кения, описывающие распределение напряжений в гоне контакта, . поведение свободной поверхности и реакцию среды.

Четвертая г^ава посвящена анализу результатов решения динамических контактных задач для предварительно напряженного полупространства.

.В первом параграфе рассмотрена задача о сдвиговых коле> баниях полосового штампа о плоским основанием на поверхности преднапряженнога полупространства. Для напряжений под штампом а перемещения свободной поверхности <р(х)»{<р* (*), х > . . <р~ (х), х < -1) получены выражения

п 1ак 1-х« ак 1«х» • *_» . в в .

• ч(«) - 1ае + [ —+ I + "(х.ае)

/-1ае /тс(1-х) / и(1+х)

у-:- . N . 1а.(х¥1>

Ф*(х) - 1 - вгГ/-1ае(хт1) + 5-¿К (*.)3 *(»1,«)в к

к-1

(М(х,эе)1зу±(х,ае) - гладкие функции координат),которые нагляд но представляют структуру волнового поля как под штампом, так и на свободной' поверхности. Ввдно (если учесть временной ; ' множитель в""1"), что от краев штампа' распространяются убыва кда':о степенным образом волны со, скоростью равной скорости сдвиговой волны а преднайряженной среде.

Амплитудное значение реактивной силы, действующей на штамп со стороны полупространства, имеет вид

Р ^ | д(х)ахРо + £ —ег£ /-21 ж +

+ /-i(ac+zk)(l - в 211,1 (1 - erf /-2i(ae+zk))]j,

Po «* 2ix + (l -4iae)erf VSix + /2ix/K в21Ж. .

Во втором параграфе рассмотрена задача о вертикальных колебаниях полосового штампа с плоским основанием на поверхности преднапряженного полупространства. Трение между штампом и полупространством отсутствует. Приведены формулы, описывающие распределение напряжений в-зоне контакта.поведение свободной поверхности и реакцию, среды.

Показано, что под штампом от его краев движутся быстро-эатухяицие волны со скоростями равными скоростям продольных и поперочннх ьолн в преднапряженной среде. Па. свободной поверхности вне штампа от его краев движутся быстрозатухахщие' волны перемещений, имеющие скорости продольных и поперечных волн. Кроме этих волн, по поверхности от краев штампа в обе." стороны распространяется по одной незатухающей волне ;(Im £ = 0), на фазовую скорость которой, оказывают влияние,начальные напряжение . /....,"•'.-' ' ' ; - . , у^.

На основе разраб. танных, м< :-одсв проведен детальный численный анализ влияний.различных видов начального напряженного- состояния на распределение контактных напряжений и ргак-цию среды. Исследования.проводились в рампах потенциала Мур-нагана, рассмотрены три вида одноосного начального .'.апряжон-ного. состояния (напряжения действуют вдоль осей х ),

двухосное и трехосное начальные напряженные состояния.

' Установлено,_что начальные напряженгя существенно клик-.ют как на распределение контактных напряжений, так и на реак цию среды, причем влияние носи г ооцидли ру юшй по частоте ха-

ректор и зависит как от величины начальной деформации, так и ' от вида начального напряженного состояния среды.

В пятой главе рассмотрены задачи о контактном взаимодей ствии массивных объектов и инерционных систем с преднапряжен ной полуплоскостью. В качестве инерционных исследовались сис темы состоящие из массивного штампа п>2 и тела массы п^ ,соеди ненных либо посредством упругого элемента жесткости к, либо посредством упругого стержня (бруса).

В первом параграфе приведэны соотношения, описывающие ■динамическое поведение массивных штампов и инерционных систем', взаимодействующих с преднапряженной средой.

Во втором параграфе приведены результаты исследования влияния различных видов начальной деформации на амплитуду ко лебалий массивного штампа. Рассмотрены случаи сдвиговых и вертикальных колебаний.

На рис.1 приведены графики функции т) « |и°|-|и| (а0,и - амплитуды колебаний массивного штампа соответственно в естественном и начально-деформированном состояниях --реды) в зависимости от величины начальной деформации (кривые 1,2,3) и массы штампа (кривые 1,4,5). Легко видеть, что влияние начальной деформации на амплитуду колебаний носит резонансный характер и определяется частотами ге*,ае0 (на первых - влияние начальной деформации.максимально, на вторых - отсутствует) и амплитудами резонансных.пиков А*. Увеличение начальной дефор мации приводит к увеличению А*, значения ае* и эео остаются практически неизменными. Уменьшение массы штампа приводит к увеличению значений ае* и эе0 , а* при этом уменьшается.

Исследование показало, что при вертикальных колебаниях штампа ае* и эе0 существенным образом зависят от вида начально

го напряженного состояния, в случав сдвиговых колебаний эта зависимость отсутствует. Значения а- максимальны при трвхас-ном напряженном состоянии,несколько меньше при двухоснс:;.Прг одноосном напряженном состоянии - а* максимальны в случае, когца начальные напряжения соосны силе,действующей на штамп.

В третьем параграфа приведены результаты исследования влияния различных видов начального напряженного состояния па динамику двухмассозой инерц .онной системы. Это влияние имеет тот же качественный характер, что и в случае кслебаний массивного штампа. Параметры « ик (масса тела и жесткость упругого элемента) определяют чувствительность инерционной сис темы к изменение напряженного состояния: их соответствущим подбором можно добиться ьлачитальшго увеличения А* практически на любых частотах.

Pía рис.2,3 приведены графики функции т] при одноосной на чальной деформации для различных (при уоповии iWk = const, пг- фиксировала) значений mi и к (кривые 1,2,3 на рис.2) и для различных значений массы штймпа шг (кривне 1,2,3 на рис. 3) при фиксированных и к. Из графиков следует, что согласованное уменьшение параметров га1 и V., равно как и увеличение .¿accu m , приводит к усиления влияния начальной деформации на амплитуду колебаний тела ^. Таюке отметим, что изменение масса штампа (рис.3) приводит к изменению качественного. характера влияния начальной деформации.

Особенностью двухмассовой инерционной системы с упругим элементам типа стеркая (бруса) является наличие счетного чис ла длин стеркнй (толщин бруса), обеспечивающих резонанс на данной частоте, и наличие счетного числа резонансные частот при фиксированной длине стор;ня (толщине бруса). На рис. 4

приведены графики функции т) при одноосной начальной деформации для различных значений толщины бруса с фиксированной ре- '. зонансной частотой. Видно, что с увеличением тсшцины бруса усиливается резонансный характер влияния начальной деформации на амплитуду колебаний тела в), в то ке время А4 практически не изменяется.

Анализ взаимодействия массивных тел и инерционных систем с првднапряженной полуплоскостью показал:

-влияние начальной деформации на динамику массивного штампа наиболее ощутимо проявляется на низких частотах и при больших массах штампа;

-более эффективным для исследования начального напряжен ного состояния среды является использование резонансных своЛ ств инерционных систем. Подбором их параметров обеспечивается высокая чувствительность динамики системы к изменению напряженного состояния среды практически на любых частотах;'

-влияние начальной деформации на динамику как массивного штампа, так и двухмассовсй инерционной системы характеризуется частотами зг,*0 (на первых - влияние максимально, на вторых - отсутствует) и амплитудами а—?

-значения эг и жо в случае вертикальных колебаний зависят от параметров системы и вида начальной деформации, в слу чае сдвиговых колебаний - лишь от параметров системы;

-максимальное влияние на динамику системы оказывает трехосное начальное напряженное состояние, меньше - двухосное напряоднное состояние, из одноосных -'максимальная.влияние оказывают напряжения соосные силе, действующей на штамп.

В м£схоя главе исследованы особенности к-нтактного взаимодействия полосового штампа, совершакдагс вертикальные ко-

лобания, с преднапрпженным полупространством в случае, когда штамп произвольным образом ориентирован относительно осей действия начальных напряжений. Выявлены направления ориентации штампа, при которых влияние начальной деформации на амплитуду его колебаний максимально.

В заключении дана сводка основных результатов и выводов полученных в диссертации.

вывода

В диссертационной работе

1. Рассмотрен новый класс задач о взаимодействии массив ных объектов и инерционных систем с предварительно напряженным полупространством.

2. Развит эффективный метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач, ядра которых имеют точки ветвления на вещественной оси.

3. В аналитическом виде построены эффективные в широком диапазоне частот решения интегральных уравнений задач о сдви говых и вертикальных колебаниях штампа на преднапряженной го луплоскости.

4. Аналитически установлена и численно потвервдена осци лляция особенности на краях штампа. Показано, что края штампа являются источниками поперечных горизонтально поляризован ных волн в случае сдвиговых колебаний, продольных и вертикально поляризованных поперечных волн в Случае вертикальных ко лебаний штампа.'

5. На основе развитых методов проведено исследование задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях массивных штам-

тв, дв.,'хмассовых инерционных систем на поверхности преднап-ряженного полупространства, выявлены закономерности влияния начтльъой деформации на их динамику.

6. Аналитичэси установлена и численно потверждена независимость амплитуд сдвиговых колебаний массивного штампа от вида начального напряженного состояния, что обусловлено существованием в этом случае волн только одного типа.

7. Аналитически установлена и численно потверждена зазп симость амплитуды вертикальных колебаний массивного штампа как от величины начальной деформации, так и от вида начально го напряженного состояния, что обусловлено существованием в этом случае волн двух типов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Белянкова Т.И.'.Калинчук В.В. Полякова И.Б, Динамические контактные задачи для начально-деформированных упругих тел. // Тез.докл.'»I Всзс. съез;,а по теор. и приклад, механике. Ташкент,1986, С.97.

2. Белянкова Т.И. .Келинчук Б.Е. .Пузанов' Ю.Е. К учету начальных напряжений в задачах возбуждения и распространения упругих аолн. // Тез.доо,рег.конф."Динамические задачи г.:эха-ники стшной среды". Краснодар, 1986, С. 126. .

3. Белянкова Т.И..Калинчук В.В. Возбуждение и распространение упругих волн в средах подверженных действию конечных начальных напряжений.// Тез.докл.международного симпозиума по нелинейной сейсмологии, Суздаль, 1986, С. 10.-

4. Белянкова Т.И. Волновой процесс в упругой срэде при одноосной начальной деформащш.// Тез.докл.рег.конф.. "Динау-ческие галачи механики сгоюа.п<-й среды".Краснодар, 1Э83,С. 13.

5. Белянкова Т.И..Калинчук В.В. О вибрации штампа на поверх ности предварительно напряженной неоднородной среды.//Тез. докл. II Всесоюзной конф. по динамике неоднородных структур Львов,1987,0.29.

6. Белянкова Т.И. Контактные задачи для начально-дефор.гаро-ванного полупространства.//' Тез.докл.рог.конф."Динамические задачи механики сплошай среды". Краснодар, 1990, 0.26.

7. Калинчук В.В..Белянкова Т.И. Контактные задачи для начально-деформированных тел.// В кн." Проблемы коьт.вэаим.'хро-ния и износа. Ростов н/Д, 1990,0.48.

8. Белянкова Т.И.,Калинчук В.В. Об одном методе исследования задачи о сдвиговых установившихся колебаниях жесткого штампа на поверхности предварительно-напрятанного полупространства .- Рукопись Деп. в ВИНИТИ 13.11.90, N 5639-ВЭ0.

9. Белянкова Т.И..Калинчук В.В.К задача о сдвиговых колебаниях массивного жесткого штампа на поверхности преднапряжен-ногп полупространства.- Рукопись Деп. в ВИНИТИ 17.02.92,

N 531 - В92.

10. Белянкова Т.И..Калинчук В.В. Об одном методе исследования плоской задачи о нормальных колебаниях жесткого штампа на поверхности полупространства.- Рукопись Деп. в ВИНИТИ 5.03.92, N 733 - В92

И. Белянкова Т.И..Калинчук В.В. О сдвиговых колебаниях штампа на поверхности предварительно напряженного полупространства ./' ШМ. 1992г., Т.Б6. Вып.2, 0.313-320. 12. Белгжова Т.И. О' сдвиговых колебаниях массивного штампа "а поверхности преднапряженного полупространства.//Тез.докл. рег.конф."Динамическио зад.чи механики сплошной среды". Краснодар,1992, С.15-16.

УПЛ prf/.ieic^'.T -í/í',