Динамика калибровочных полей высших спинов в пространстве анти-де Ситтера размерности d≥5 тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Физический Институт им. П. Н. Лебедева Российской Академии Наук

Алкалаев Константин Борисович

На правах рукописи

Динамика калибровочных полей высших спинов в пространстве анти-де Ситтера размерности й > 5

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Отделении теоретической физики им. И.Е. Тамма Физического института им. П.Н. Лебедева РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Васильев Михаил Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Пашнев Анатолий Ильич (Объединенный институтядерныхисследований, г.Дубна)

доктор физико-математических наук Бухбиндер Иосиф Львович {Томский государственныйпедагогическийуниверситет, г. Томск)

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва

Защита состоится " о^лск _ 2004 г. в 1г. часов

на заседании Диссертационного Совета К002.023.02 в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН (119991, Москва, Ленинский пр., 53). С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного Совета К002.023.02

доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Центральной задачей современной квантовой теории поля является построение единой теории всех фундаментальных взаимодействий элементарных частиц. Одним из многообещающих путей достижения этой цели является расширение пространственно-временных (супер)симмет-рий за счет введения безмассовых полей произвольно высокого спина. Калибровочные теории высших спинов, соответствующие такому расширению, описывают динамику безмассовых полей всех спинов. Опыт изучения расширенных супергравитаций указывает на то, что бесконечная калибровочная (супер)симметрия теорий высших спинов, и ассоциированные с ней тождества Уорда, возможно, позволят устранить все расходимости при квантовании. Теория высших спинов с необходимостью включает гравитон, и поэтому, наравне с теорией струн и ее обобщениями, она является альтернативным кандидатом на роль квантовой теории гравитации.

Теория взаимодействия безмассовых полей произвольного спина s в четырех измерениях, получившая наибольшее развитие, выявила следующие характерные свойства теорий безмассовых высших спинов (E.S. Fradkin, МЛ. Vasiliev, Annals Phys. 177, 63 (1987); Phys. Lett. В 189 (1987) 89):

• присутствие бесконечного набора безмассовых возбуждений про-

• извольного спинаО < й < оо;

• ненулевая космологическая постоянная Л ф 0.

Отметим также, что калибровочные теории высших спинов однозначно определяются принципом калибровочной симметрии и содержат лишь две фундаментальные константы связи - гравитационную и космологическую постоянные.

Выбор пространства анти-де Ситтера (Лс1.Ч) в качестве наиболее симметричного вакуума в теориях высших

В частности, присутствие в теории размерного параметра космологической постоянной позволяет строить бесконечное число вершин взаимодействия, вовлекающих произвольное число полей и производных, и обезразмериваемых отрицательными степенями космологической постоянной. Поэтому взятие формального предела Л = 0 не определено, что делает плоскую геометрию неадекватным фоном для анализа калибровочно-инвариантной динамики взаимодействующих полей высших спинов. Свойство неаналитичности взаимодействия полей высших спинов по космологической постоянной скорее всего означает, что симметрии высших спинов должны быть спонтанно нарушены при переходе к плоской геометрии. В связи с этим можно отметить аналогию со структурой вершин взаимодействия в теориях струн, где роль обезразмерива-ющего параметра играет наклон траектории Редже а'. В частности, в пределе для струнных амплитуд рассеяния возникает бесконеч-

ный набор тождеств Уорда, что может являться указанием на бесконечномерную калибровочную симметрию, которая соответствует некоторой теории высших спинов (D.J. Gross, Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 1229).

Актуальность изучения калибровочных теорий высших спинов возросла после открытия дуальности между теорией струн в пространствах AdS и теорией Янга-Миллса на их границе (J.M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231). На сегодняшний день, нетривиальные тесты гипотезы Малдасены проведены в области больших значений постоянной т'Хоофта Л = дум^ оо, где дум и N есть константа связи и число цветов в граничной теории Янга-Миллса. Данный режим соответствует сильной связи в теории Янга-Миллса и квазиклассическому описанию теории суперструн в супергравитационном пределе. Не смотря на то, что в противоположном режиме малых значений постоянной т'Хсофта теория на границе является свободной, изучение ду-

альности затруднено. Причина заключается в том, что теория струн на пространстве AdS сильно нелинейна и анализ спектра состояний остается нерешенной проблемой (А.А. Цейтлин, ТМФ 133 (2002) 69). Было

предложено трактовать теорию в объеме, являющуюся в пределе малой постоянной т'Хоофта теорией струн с "почти" нулевым натяжением, как некоторую нелинейную калибровочную теорию высших спинов дуальную свободной конформной теории на границе (В. Sundborg, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 102 (2001) 113). В настоящее время это направление активно исследуется многими авторами.

Центральной задачей самой теории высших спинов является построение теории взаимодействующих полей всех спинов в любом порядке по взаимодействию в произвольной размерности. На данный момент, известны следующие нелинейные теории высших спинов:

♦ функционал действия в кубичном приближении, описывающий взаимодействия симметричных полей в размерностях d — 4 (E.S. Fradkin, М.А. Vasiliev, Phys. Lett. В 189 (1987) 89) и d = 5 (М.А.

Vasiliev, Nucl. Phys. В 616 (2001) 106; K.B. Alkalaev, М.А. Vasiliev, Nucl. Phys. В 655 (2003) 57);

♦ уравнения движения в произвольной размерности, описывающие взаимодействия симметричных полей в любом порядке (М.А. Vasiliev, Phys. Lett. В 243 (1990) 378; Phys. Lett. В 567 (2003) 139).

Причины, по которым существующие теории высших спинов ограничиваются взаимодействием симметричных полей, с одной стороны, и кубичным приближением на уровне функционала действия с другой стороны, состоят в следующем. Во-первых, последовательной формулировки лагранжевой динамики произвольных несимметричных (смешанного типа симметрии) полей на фоне геометрии до сих пор не известно. Во-вторых, попытка распространить существующий механизм анализа кубичного взаимодействия (на уровне функционала действия) на старшие порядки упирается в сложные технические проблемы. Следует также отметить, что построение кубичных взаимодействий в размерностях d = 4,5 существенным образом опирается на спинорное описание полей высших спинов, отсутствующее для более высоких значений d. По этой причине, обобщение анализа кубичного взаимодействия на случай произвольной размерности является нетривиальной задачей.

В этой связи становится актуальным изучение динамики свободных несимметричных полей высших спинов в произвольной размерности, а также продолжение изучения взаимодействия симметричных полей высших спинов на уровне функционала действия.

Целью работы является описание динамики безмассовых калибровочных полей произвольного спина, распространяющихся в пространстве анти-де Ситтера размерности с2 > 5. В цели диссертационной работы входит изучение свободной динамики безмассовых несимметричных полей произвольного типа симметрии, распространяющихся в пространстве размерности а также построение суперсимметричной нелинейной теории полностью симметричных безмассовых калибровочных полей в АйБь в первом нетривиальном (кубичном) порядке по взаимодействию.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.

Научная и практическая» ценность диссертационной работы обусловлена непосредственным применением полученных в ней результатов в теории калибровочных полей высших спинов, а также при исследовании полевых моделей, связанных с теорией струн. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах теоретического отдела ФИАН, а также на Ш международной Са-харовской конференции по физике (Москва, 22-29 июля, 2002). Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи и 1 статья направлена в печать (см. стр. 19).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, объединяющих 22 раздела, заключения, двух приложений и списка цитированной литературы, включающего 89 названий. Общий объем работы - 112 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описан объект исследований, дан краткий исторический обзор и сформулированы цели диссертации. Введение содержит

два раздела с предварительными сведениями, объясняющие действие МакДауэлла-Мансури для гравитации в пространстве анти-де Ситтера, компенсаторный формализм и общие принципы построения взаимодействия полей высших спинов на уровне функционала действия. Эти сведения составляют основу методов, используемых в диссертации. Приведена общая структура диссертации.

В первой главе предлагается новый теоретико-полевой метод описания безмассовых полей произвольного смешанного типа симметрии, распространяющихся на фоне геометрии анти-де Ситтера произвольной размерности d. В рамках предложенного метода проводится анализ динамических и вспомогательных полей, необходимых для ковариантно-го описания частицы заданного спина, устанавливаются калибровочные симметрии и строятся калибровочно-инвариантные кривизны, ассоциированные с калибровочными полями. Предложена процедура построения калибровочно-инвариантных квадратичных действий полей произвольного спина.

Напомним, что в размерностях d > 4 спин поля задается не единственным параметром s, как в случае d<4, а набо рф<м [Л^-р а м е т р о в s = (si,..., где si > S2 > ... > > 0 есть (полу)целые числа. Данный факт является следствием того, что в пространствах размерности d > 4, группой спиновых степеней свободы является группа вращений 0{d — 1). Поля спина s = (si,0,...,0) соответствуют полностью симметричным представлениям группы 0(d — 1). Поля спина s при 52 > О соответствуют несимметричным представлениям группы

Основной результат главы состоит в следующем. Пусть имеется унитарное представление младшего веса AdSj группы 0{d — 1,2), характеризуемое вакуумным пространством низшего значения энергии, реализованного как неприводимое представление группы 0{d — 1) С 0{d — 1,2). Данное представление соответствует бесследовой диаграмме Юнга заданной длинами строк у которой самая длинная

строка имеет длину Si = s и самый короткий столбец имеет высоту р, т.е. = S2 = •.. = sp > ¿p+i. Тогда соответствующая теоретико-полевая

в

система может быть описана калибровочным полем р-формы, принимающей значения в представлении группы 0(d —1,2), соответствующем бесследовой диаграмме Юнга lo(d-i,2)í получающейся из Yo(d-i) отрезанием крайнего правого столбца высоты р и добавлением самой длинной строки длины s — 1

где Ai = 0 -г d есть 0(d — 1,2) векторные индексы, m¿ = 0 4-ef — 1 есть мировые индексы, символ А{к) используется для обозначения к сим-метризованных индексов, а (р) указывает на то, что поле (1) является р-формой.

Будем называть поле (1) полем реперного типа. По отношению к своим касательным индексам, поле (1) является бесследовым

( есть -инвариантная метрика сигнатуры и

удовлетворяет свойству симметрии Юнга, ассоциированному с диаграммой Юнга Y(si,... ,Sq), т.е. симметризация всех индексов в г-ой строке с любым индексом из (» + к)-ой строки, при А: > 0, дает ноль.

Определим векторное поле компенсатора VA(x), нормированного условием VaVa = 1. Компенсатор позволяет отождествить группу Лоренца 0(d — 1,1) в AdSd группе 0(d — 1,2) с группой стабильности вектора VA{x) {К. Stelle, P. West, Phys. Rev. D 21 (1980) 1466; C.R. Preitschopf, M.A. Vasiliev, hep-th/9805127). С помощью вектора компенсатора, AdSd калибровочное поле р-формы (1) может быть разложено на совокупность лоренц-ковариантных полей, соответствующих различным независимым бесследовым V-поперечными компонентами исходной O(d— 1,2) бесследовой диаграммы Юнга. В набор лоренцевых компонент поля (1) входит

р-форма физического поля высшего спина s = (s, ...,s,sp+i,...,sq)

р

,Op+l(»p+l),

(3)

где a = 0 -r d — 1 есть векторные лоренцевы индексы. Остальные компоненты поля (1) делятся на р-формы вспомогательных полей, отличающиеся от физического на один дополнительный касательный лоренцев индекс, и р-формы экстра полей, отличающиеся от физического на два и более дополнительных касательных лоренцевых индекса.

Обобщение симметричных полей Фронсдала (С. Fronsdal, Phys. Rev. D 20 (1979) 848) на случай произвольного смешанного типа симметрии, которое мы будем называть полями метрического типа, строитс51 следующим образом

(4) фв1(в1)>**ч°«(вв)(а;) = иДа1",ар1; а1(я-1)' t

т.е. возникает в результате симметризации мировых индексов р-формы (переведенных в касательные индексы) с касательными индексами первых р строк в Следовые условия на поле (4), возникающие как следствие условий бесследовости (2), сводятся к условию двойной бес-следовости, наложенному на верхний прямоугольный блок (длины 5 и высоты р) диаграммы, ассоциированной с полем (4), и условию одинарной бесследовости, наложенному на оставшуюся часть диаграммы. Фермионные поля с п s = (з, sp+i, ...,s,j) а ю т с я анало-

гичным образом. Вводится спин-тензорное поле р-формы (5) Ио(«-3/2),..., Л,К-1/2)

(от есть O(d— 1,2)-неприводимый спинорный индекс), подчиненное условию гамма-поперечности

Разложение поля (5) по отношению к группе Лоренца приводит к набору полей р-форм, состоящему из физического поля и экстра полей, отличающихся от физического на один и более дополнительный касательный лоренцев индекс. Выделение физического фермионного поля метрического типа полностью аналогично соответствующей процедуре в бозонном случае (см. (3), (4)).

Явно калибровочно-инвариантные кривизны, ассоциированные с полями (1),(5), имеют вид

(8) %+1)61^8-3/2)'--^-1^) = D0%)& 3/2).....Л,(«,-1/2) ;

где есть фоновая производная, такая,

Используя кривизны (7), калибровочно-инвариантные квадратичные действия высших спинов S2 строятся по аналогии с действием МакДауэл-ла-Мс1Нсури для гравитации (S. W. MacDowell, F. Mansouri, Phys. Rev. Lett. 38 (1977) 739; МЛ. Vasiliev, Fortsch. Phys. 35 (1987) 741):

где h'" есть 1-форма фонового поля репера hA, определяющего фоновую

геометрию согласно а коэффициенты

параметризуют различные типы индексных сверток между кривизнами, полями репера и компенсаторами.

В фермионном случае, уравнения высших спинов должны иметь первый порядок по производным, что имеет место, если вариация действия ¿>2 по отношению ко всем экстра полям тождественно равна нулю ( М.А. Vasilisv, Nucl. Phys. В 301 (1988) 26). В бозонном случае, уравнения высших спинов должны быть второго порядка по производным. Вспомогательные поля выражаются через первые производные физического поля метрического типа на решениях уравнений движения для вспомогательных полей. В результате, полевые уравнения для бозонов будут

иметь второй порядок, при условии, что вариация действия S2 по отношению к экстра полям тождественно равна нулю (V.E. Lopatin, М.Л. Vasiliev, Mod. Phys. Lett. A 3 (1988) 257). Требование независимости квадратичного действия от экстра полей носит название условия отщепления экстра полей. Наложение этого условия однозначно фиксирует коэффициенты a"(V) в (9). Действие, удовлетворяющее условию отщепления экстра полей, будет, по-построению, инвариантным относительно правильных калибровочных преобразований высших спинов и приведет к инвариантным дифференциальным уравнениям второго порядка для поля метрического типа. Полная реализация описанной программы построения действия для произвольного безмассового поля выходит за рамки данной диссертации.

Предложенная конструкция, имеющая название реперной формулировки полей высших спинов, является обобщением "тетрадной" формулировки динамики симметричных полей, развитой ранее в работе (Л/.А. Васильев, ЯФ 32 (1980) 855), и аналогичного формализма первого порядка, разработанного в работе (Ю.М. Зиновьев, hep-th/0304067) на примерах частных несимметричных полей.

Глава 2 посвящена изучению конкретных примеров полей смешанного типа симметрии, ранее не рассматривавшихся в литературе. Изложение основано на применении реперного подхода, представленного в первой главе. Изучены два класса полей в

♦ бозонные поля, соответствующие произвольным прямоугольным диаграммам Юнга с двумя строками длины s. В рамках реперного формализма такие поля описываются 2-формами вида

♦ бозонные поля, соответствующие произвольным диаграммам Юнга с двумя Столбцами высоты s и р. В рамках реперного формализма такие поля описываются вида

(Обозначение A[s + 1] соответствует s +1 антисимметризованным индексам.)

В каждом случае найдены калибровочно-инвариантные квадратичные действия высших спинов, получены уравнения движения и проанализированы калибровочные симметрии полей. Показано, что полученные результаты согласуются с уравнениями работы (R.R. Metsaev, Phys. Lett. В 354 (1995) 78) в фиксированной калибровке.

Плоский предел в изучаемых нами теориях требует отдельного рассмотрения, поскольку безмассовые поля одинакового спина на фоне пространств и Минковского имеют различную структуру калибровочных симметрий (R.R. Metsaev, Phys. Lett. В 354 (1995) 78). В первом случае прямоугольных диаграмм (10), переход к плоскому пределу не дает никаких дополнительных симметрий, не заложенных в исходном формализме. В случае непрямоугольных диаграмм (11), после взятия плоского предела появляется дополнительная калибровочная симметрия, не заложенная в терминах предложенного подхода р-форм. Возникновение дополнительной симметрии говорит о том, что число степеней свободы этих полей в пространстве Минковского меньше, чем в Данное наблюдение находится в соответствии с выводами работы (L. Brink, R.R. Metsaev, M.A. Vasiliev, Nucl. Phys. В 586 (2000) 183) о классификации безмассовых полей в пространстве анти-де Ситтера. Отметим, что полученные результаты также распространяются на случай динамики в пространстве де Ситтера.

Глава 3 посвящена построению спинорного описания полностью симметричных безмассовых фермионных полей произвольного полуцелого спина распространяющихся в пространстве В рамках

спинорного формализма построены калибровочно-инвариантные квадратичные действия и получены уравнения движения. Результаты этой главы дополняют спинорное описание бозонных полей высших спинов, предложенное в работе (Е. Sezgin, P. Sundell, JHEP 0109 (2001) 036; M.A. Vasiliev, Nucl. Phys. В 616 (2001) 106).

Актуальность задачи сиинорного описания полей высших спинов мотивирована изучением суперсимметричных взаимодействий полей высших спинов. Как известно из опыта работы с 4d теориями, единообразное описание бозонов и фермионов, достигаемое использованием спинорного формализма, служит решающим техническим упрощением в анализе нелинейной динамики полей высших спинов.

Спинорный язык описания полей произвольного спина, живущих в пространстве Ас13$ с группой и з о м е тф(й,й), основан на эквивалентности 0(4,2) ~ ££/(2,2). Например, произвольный 0(4,2) вектор БА {А = 0-г-5) эквивалентен антисимметричному ¿¡77 (2,2) биспинору = (о;,/? = 1 -г 4), имеющему шесть независимых компонент. Полностью симметричные фермионные поля спина б, описываются в рамках принятого нами реперного подхода 1-формами вида -4(5_3/2)> Я(«-3/2) _ л(4-3/2)| В(«-з/2) й = 1-г 8, подчиненными условиям гамма-поперечности (см. (5),(6)). Эквивалентная спинорная реализация таких полей задается 5С/ (2,2) бесследовыми мультиспин =

Точнее, имеет место следующая эквивалентность

0а(*-1/2) - а(«—3/2) па|Л(4-3/2), В(з-3/2)

(12) "£(а-3/2)ш " /3(я—1/2)

где черта обозначает комплексное сопряжение.

Существенным техническим упрощением при анализе динамики полей высших спинов является использование вспомогательных переменных осцилляторного типа (М.А. VasШev, Кис1. РИу8. В 616 (2001) 106)

где звездочка обозначает произведение по Вейлю

(А*В)(а,Ь)=А(а,Ь)ехр (1(

и п

(14) у-----" """ \2удаа дЬ* даа'

и коммутаторы берутся по отношению произведению. Алгебра 8и(2,2) является вещественной формой алгебры ^(С), генераторы которой задаются билинейными комбинациями осцилляторов Подходящие условия вещественности задаются сопряжением

Ьа — С^ар, где черта обозначает комплексное сопряжение, а и Сра есть некоторые вещественные антисимметричные матрицы, удовлетворяющие условию Са-уС^ = .

Осцилляторные переменные позволяют реализовывать поля высших спинов как полиномиальные функции на вспомогательном пространстве

(15) Ща,Ь\х) = аа1...аа,_1/2 Ь*...^-»/» .

Ассоциированные с полями (15) линеаризованные кривизны высших спинов имеют вид

(16) Д1 = £>0П = + + ,

где калибровочные поля

(17) П0(а, Ь|ж) = Поав П0аа = О

задают фоновую АйБ^ геометрию, описываемую условием нулевой кривизны .й(Ло) = + ^о А *По = 0 (эквивалентно, Ид — 0). Линеаризованные кривизны инвариантны относительно (абелевых) преобразований <Ш(а,Ь|аз) = £>об(о, Ь|;г) с инфинитезимальным калибровочным параметром

Действие мультиспинорных полей (15) строится по аналогии с процедурой, изложенной в работах ( М.А. VasШev, Кис1. РИу8. В 301 (1988) 26; Шс1. РИу8. В 616 (2001) 106):

(18) = ^НАЯЦаиЬ^А Я{ (а2,Ь2)|в{=ь _0 ,

где Щ(а,Ь) есть линеаризованные кривизны спина .V, аЯ = щ-,

Я л

есть некоторый дифференциальный оператор, построенный из полей компенсатора и фонового репера, и отвечающий за различные свертки между кривизнами, компенсатором и фоновым репером. Формализм осцилляторных переменных (13), (15) позволяет свести анализ условия отщепления экстра полей к набору простых дифференциальных уравнений первого порядка на по вспомогательным переменным. Решение этих уравнений определяет вид действия заданного спина с точностью до общего мультипликативного фактора.

В главе 4 строится нелинейное N — 1 суперсимметричное действие AdSc, симметричных безмассовых полей высших спинов, описывающее взаимодействия полей высших спинов в кубичном приближении. Теория реализует симметрии высших спинов, ассоциированные с простейшей AdS$ супералгеброй высших спинов си(1,1|8). Полностью симметричные калибровочные поля высших спинов, возникающие в результате калибрования супералгебры си(1,1|8), образуют бесконечные последовательности супермультиплетов {s}^, 0 <к< оо, со спинами —— определяемыми целочисленными старшими значениями Мы также рассматриваем редуцированную модель, основанную на супералгебре в которой каждый супермультиплет появляется только один раз. Построенная теория решает проблему взаимодействия полей высших спинов между собой и с гравитацией в первом нетривиальном порядке. Приведенные результаты расширяют чисто бозонный анализ (N = 0) работы (М.А. Vasiliev, Nucl. Phys. В 616 (2001) 106) на случай N = 1 суперсимметрии.

Строго говоря, рассматриваемая теория не является полностью суперсимметричной, потому что мы выбрасываем все поля низших спинов s < 1. Такое усечение делается для упрощения анализа, т.к. в рамках нашего формализма поля низших спинов требуют отдельного рассмотрения, в то время как нашей целью является проверка совместности взаимодействия высших спинов с гравитацией и между собой. Отметим, что усечение полей низших спинов возможно только в кубичном приближении, и эти поля с необходимостью должны быть введены при анализе поправок старшего порядка по взаимодействию. В кубичном приближении таким образом усеченная система остается формально непротиворечивой, т.к. можно выключить взаимодействия между любыми тремя полями без нарушения совместности в этом порядке. Это наблюдение является простым следствием интерпретации кубического взаимодействия в терминах процедуры Нетер: если часть полей положена равной нулю, токи по-прежнему сохраняются. Пренебрегая сектором полей низших

спинов, мы будем называть рассматриваемую теорию суперсимметричной калибровочной теорией. Отметим, что построенная теория не исчерпывает всех возможных взаимодействий в рассматриваемом порядке. Полная структура кубичного действия может быть определена только из анализа старших порядков, что выходит за рамки настоящей диссертации.

Рассмотрим ассоциативную алгебру Вейля-Клиффорда с коммутационными соотношениями» (13) и антикоммутационными соотношениями {Ф^Ф}* = 1 > {Ф>Ф}* — {Ф^Ф}* = 0, взятыми по отношению к ★-произведению Вейля-Клиффорда

(F* G){a, Ь, ф, ф) = F(a, Ь, ф, ф) (ехр Л) G(a, Ь, ф, ф),

(19)

где

(20)

Генераторы

образуют супералгебру С) по отношению к градуированному су-

перкоммутатору. Набор генераторов (21) состоит из gl{4; С) генераторов Т, генераторов суперсимметрии а также генератора киральных вращений U. Центральным элементом в <?i(4|l; С) является N = ааЬа — фф. Супербесследовая часть генераторов (21) определяет супералгебру з/(4|1; С)ер ал г е б р а su(2,2|l) является вещественной формой алгебры выделяемой подходящими условиями вещественности.

Естественное расширение на высшие спины алгебры su(2,2|1), введенное в работе (E.S. Fradkin, V. Ya. Linetsky, Mod. Phys. Lett. A 4 (1989) 2363) под названием shsc00(4|1), и названное cu(l,l|8) в работе (МЛ. VasilieVj Phys. Rev. D 66 (2002) 066006), ассоциировано с ^-алгеброй всех полиномов удовлетворяющих условию

(22) [iV,F]* = 0.

Другими словами, 5d супералгебра высших спинов си(1,1|8) образована *-(аати) ко м мутаторам и элементов централизатора N в *-алгебре.

Кривизны высших спинов Л(а, Ь,ф,ф\х), ассоциированные с 1-формами калибровочных полей высших спинов 0(а, 6, V*» ^l®) супералгебры си(1,118), определяются как

(23) R = iffi + fi A*ii.

Инфинитезимальные калибровочные преобразования имеют вид

(24) SQ = De, 5Д = [Д,е]*,

где 0-форма б = б(о, Ь, ф, ф\х) есть параметр симметрии и DF = dF + Анализ взаимодействия полей проводится в рамках пертурба-тивного разложения динамических полей fii , рассматриваемых как флуктуации над фоном i2o: fi = + где вакуумные калибровочные поля S7o задают фоновую AdS$ геометрию, описываемую условием нулевой кривизны Л(Г2о) = 0 (см. (17)).

Как уже указывалось, калибровочные поля супералгебры cu(l, 1J8) образуют бесконечные последовательности супермультиплетов одинакового спина. Причина этого явления состоит в том, что калибровочное паче П(о, Ь,ф,ф\х) не является супербесследовым и раскладывается на бесконечную последовательность супербесследовых компонент. Алгебраически, происхождение такого вырождения объясняется тем, что супералгебра cu(l, 118) не является простой и содержит бесконечно много идеалов, порождаемых центральным элементом N. Можно рассматривать редукции, связанные с фактор-алгебрами по этим идеалам. Одной из наиболее интересных редукций является алгебра , где

есть идеал, образованный элементами F, удовлетворяющими N * F = F*N.

Действие высших спинов ищется в виде

(25) S(R,R) = \A(R,R),

где симметричное билинейное произведение опреде-

лено для произвольных 2-форм кривизн высших спинов (23) F

F = FEl (а, b) + F0l (о, Ь)ф + FÖ2 (о, Ь)ф + FE2 (а, Ь)фф, G = (a, fr) + G0l (a, + <?o2 (а,Ь)ф + Ge2 (a,

G) = + F(F0, Go),

где

(28) B{FEtGE) ~ [ Не А ОД^ах А) Л Gsl>2(a2 AMai^o,

Ум«

(29) F{F0,G0)~ f Но Л tr(G0l>i А) Л Fo^AWa^o •

JM6

Приведенные выражения для бозонной и фермионной частей полного действия имеют схематический характер, достаточный для понимания общей структуры. Здесь HEio = НЕ,о{щ, щ, щ) есть некоторые дифференциальные операторы, построенные из полей компенсатора и фонового репера, и отвечающие за различные свертки между кривизнами, компенсатором и фоновым репером. Символ tr указывает на то, что поля теории могут также принимать значения в некоторой матричной алгебре

Задача сводится к нахождению точного вида дифференциальных операторов по вспомогательным осцилляторным переменным. При доказательстве инвариантности данного действия относительно (деформированных) калибровочных преобразований в кубичном приближении определяющую роль играют следующие условия:

• условие отщепления экстра полей, наложенное на квадратичную часть ¿>2 действия (25);

♦ условие факторизации, требующее, чтобы квадратичная частьйг действия (25) была (бесконечной) суммой действий полей одинакового спина, ассоциированных со следовым разложением в алгебре еи(1,1|8);

и G (26)

в виде (27)

♦ условие С-инвариантности, A(N*F,G) — A(F, G*N), требующее циклического свойства действия (25) по отношению к центральному элементу алгебры си(1,1|8).

В диссертации показано, что перечисленные условия однозначно фиксируют произвол в квадратичной части полного действия, с точностью до произвольных функций перед действиями заданного спина.

Анализ калибровочной инвариантности в кубическом приближении основан на утверждении, называемом Первой теоремой массовой поверхности (E.S. Fradkin, M.A. Vasiliev, Phys. Lett. B189 (1987) 89), которое состоит в том, что большая часть компонент линеаризованных кривизн высших спинов R\ равна нулю на массовой поверхности, за исключением обобщенных тензоров Вейля С, т.е.

(30)

где h обозначает фоновое поле репера и X есть некоторые линейные функционалы свободных уравнений движения. Условие инвариантности действия высших спинов относительно некоторой деформации калибровочных преобразований высших спинов, эквивалентно условию, что вариация действия по отношению к исходным (т.е. недеформированным) преобразованиям равна нулю, если линеаризованные кривизны заменены тензорами Вёйля С согласно (30). Можно показать, что в кубичном приближении, в вариации полного действия полные кривизны допустимо заменить на линеаризованные, и, тем самым, свести задачу к решению уравнения

при произвольном калибровочном параметре e(a,b,ij),ij)\x). Что касается слагаемых, вовлекающих Х-зависимые составляющие кривизн (30), то они в точности компенсируются подходящей деформацией калибровочных преобразований (24). Тем самым, нетривиальная часть вариации кубичного действия сводится к условию (31).

R1=hAhC + X(5-^),

Анализ условия (31) совместно с условием отщепления экстра полей, условием факторизации и условием С-инвариантности показывает, что произвол в выборе коэффициентов в действии (25) фиксируется с точностью до общего фактора, выраженного в терминах гравитационной и космологической постоянных. Таким образом, действие (25) корректно описывает N = 1 суперсимметричную динамику полей высших спинов как на свободном уровне, так и на уровне кубических взаимодействий.

В заключении приводится список полученных результатов.

В приложениях I и II собраны технические подробности АйБъ спи-норного формализма.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

(1) Предложена конструктивная схема теоретико-полевого описания свободной динамики калибровочных полей произвольного типа симметрии, распространяющихся в пространстве анти-де Ситте-ра произвольной размерности, основанная на реализации полей высших спинов в виде калибровочных полей р-форм, наделенных касательными индексами, преобразующимися согласно заданному неприводимому представлению группы анти-де Ситтера.

(2) В рамках предложенного формализма описания безмассовых полей смешанного типа симметрии подробно рассмотрены нетривиальные классы бозонных полей в пространстве анти-де Сит-тера, соответствующие произвольным двухстолбцовым диаграммам Юнга и произвольным прямоугольным диаграммам Юнга с двумя строками, для которых построены функционалы действия, найдены уравнения движения и проанализированы симметрии теории (в том числе, в плоском пределе).

(3) В спинорном формализме построено действие полностью симметричных полей произвольного полуцелого спина в пятимерном пространстве анти-де Ситтера.

(4) Построено действие в первом нетривиальном порядке по взаимодействию (кубичное приближение), описывающее суперсимметричную динамику бесконечного набора симметричных бозонных и фермионных калибровочных полей высших спинов, распространяющихся на фоне пятимерного пространства анти-де Ситтера. Проанализированы два варианта теории, основанные на супералгебрах высших спинов

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(1) К.В. Alkalaev, "Free fermionic higher spin fields in Ad,S$\ Physics Letters В 519 (2001) 121.

(2) К.В. Alkalaev and M.A. Vasiliev, "N=1 supersymmetric theory of higher spin gauge fields in AdS$ at the cubic level", Nuclear Physics В 655 (2003) 57.

(3) Алкалаев К.Б., "Двухстолбцовые безмассовые поля высших спинов в Теоретическая и математическая физика, принято в печать.

(4) К.В. Alkalaev, O.V. Shaynkman and M.A. Vasiliev, "On the framelike formulation of mixed-symmetry massless fields in (A)dSd \ направлено в Nuclear Physics B.

»- 3578

Подписано в печать 5¡\} 2004 г. Формат 60x84/16. Заказ № 6 Тираж ТО экз. П.л. •/,2.5. Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макете заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 132 51 2в