Динамика неодномерных нелинейных волн в диспергирующих средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

1 О

На правах рукописи

УДК 533.9, 530.1

БЕПАШОВ Взсилий Юрьевич

ДИНАМИКА НЕОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ .

Специальность 004^03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Северо-Восточном комплексном научно-исследовательском институте ДВО РАН

Официальные оппоненты: ' ■ •

доктор физико-математических наук, профессор О.А.Похотелов доктор физико-математических наук, профессор И.С.Веселовский доктор физико-математических наук С.А.Пулииец

Ведущая организация - Институт космических исследований РАН

Зашита диссертации состоится 24 феврали 1998 года в 10 час. 00 мин на заседании Диссертационного совета Д 002.83.01 в ИЗМИРАН ■ 14209?., г. Троицк Московской области (проезд автобусом № 531 о: станции метро "Теплый стан" до остановки "ИЗМИРАН").

Отзывы на диссертацию и автореферат направлять в адрес Диссертаци онного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЗМИРАН.

Автореферат разослан "?3 " января 1998.года.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук

О.П.Коломша

i. 0!лцл'1 хл;\л<сткг;;с"п;;?;.\ рлпоть"

Актуальнее i г» темы ;;иссс;»г:'::1чг

Актуальное к. темы онродедяегс:! пл-фешпими проблемами u-opr.ii неодпомерных нелинейных нош п плнд.ме i! других средах с дисперсией, топ ролыо, которую v.oiyr играм. лолночие процесс!.: гилролина-мичегкого типа и диспергирующих среда л (н том числе в >?:и пит« «сфер«: и ионосфере 'Земли) и. с друюй аороны. необходимостью теоретической иптепире!m результатов v.uortviuc.:vmibJ.n ::aóopavop:».:r; ; космических 'жспсримсптон (среди которых следует отметить работ;,; по изучению возбуждения. оиолюппи и динамики п?апмоденсги:i:; ¡ro ио-:тукочм.\. мап»потп\ко»ы.ч и а.'п.фкепопских со;мтонои п пл;тк\ радиофизические пкеперлменгм по ксследовашнс ¡'.олиоиых аочм;- ;ч:> iiiiii в ионосфере, моделирование распространения солигонов в эд-; :• трических линиях, эксперименты с полерхнопнымн п ;ш\тре5ши:.. . волнами но вращающихся сосудах и ¡ идролотчах и ¡'.д ).

Полученные в последние годы а рассматриваемой области резул:.-таты стимулирую i персемогр ряда теоретических положений о физике проиессои в конкретных средах и требуют анализа и обобщения п рамках общей теории нелинейных ноли. Нслн. прч "»том, длт одномерных (1D) и некоторых сравниuvibiio простых двумерных (2D) систем, многие задачи динамики нелинейных моли и солигопои к настоящему времени » значительной степени решены, то для более общих систем, среди которых, с точки зрения физики плазмы п других сред с дисперсией, особый интерес представляют двумерные и трехмерные обобщения моделей. описываемых уравнениями К^ломиеаа-Петвиашвили (КП) и нестационарным уравнением Шредингера с производной нелинейного члена (З-DN'LS). они еще весьма далеки от своего решения. При этом суть идеологии обобщения такого рода систем состоит п учете таких факторов, как дисперсионные эффекты высшего порядка, влияние дис-сипатипны.х процессов, неустойчипостей различного типа, а гакже стохастических флуктуации волновых полей, практически всегда прпсуг-ггвующих » реальных средах. В этом контексте особое значение пред-

етапляст теоретическое ¡пучение таких фундаментальных проблем, как устойчивость чеодномерних солитонов, динамика их взаимодействия, ' эффекты самовоздейспш:! и т.п. Здесь возникает ряд новых вопросов, связанных. в частности, с иетрпвиалыюетыо взаимодействия солито-поь (нелинейные резонаисы п образование связанных состоянии) и "большими" эффектами малых дисперсионных поправок. Построение общей теории такиг нелинейных систем актуально как я общетеоретическом аспекте, гак и в плане возможных приложении в различных областях физики сплошных сред с дисперсией (физика плазмы, радиофизика, гпдро- и аэродинамика и т.д.).

При решении проблем данного класса мы чаще всего сталкиваемся с системами, которые в общепринятом в математической физике смысле не являются полностью интегрируемыми. Вследствие этого, применение для решения подобных задач в замкнутой форме такого эффективного аналитического аппарата, как методы теории возмущений и метод обратной задачи рассеяния весьма затруднено, а в целом ряде случаев просто невозможно, так как требует введения ограничении на фиксирование классов начальных и граничных ^в случае появления эффективно действующих границ) условий. При аналитическом исследовании удается, в лучшем случае, решить проблему устойчивости неодномерных волновых решений, изучить характер асимптотик, а также, с помощью анализа в многомерном фазовом пространстве, качественные характеристики решений и построить классификацию последних. Задача же исследования структуры и динамики неодномерных нелинейных волн, в обшем случае аналитически не решаемая, выдвигает проблему развития высокоточных и высокопроизводительных методов численного интегрирования нелинейных неодномерных уравнений, позволяющих моделировать соответствующие физические системы.

Наконец, следует констатировать, что в настоящее время наблюдается некоторый разрыв между быстро прогрессирующими теоретическими исследованиями нелинейных волн и солитонов и рядом прикладных областей, где имеют место соответствующие явления (например, в физике околоземного пространства). С этой точки зрения актуальной

является задача исследования приложений теории нелинейных воли и солитонов к физике реальных сред с дисперсией.

Актуальность перечисленных проблем подтверждаете»! еще и тем, что многие из них имеют отношение к вопросам волновой атмосферно-ионосферпо-магшпосферни динамики - в рамках разрабатывавшихся в последние годы и разрабатываемых о настоящее время международных тучных программ и проектов (КАПГ, ВПТС/ВАГС, "Терминатор", ЗТЕРЙСОБТЕР и др.).

Представленные выше соображения обусловили предпринятый в шссертацни подход к изучению динамики двумерных и трехмерных селннейных воли в диспергирующих средах, позволивший развить и :истематизнровать теорию, а также обиару/кить ряд новых эффектов, 1е проявляющихся в "классических" моделях, описываемых уравнении КП и

Цели работы

Основными целями настоящей работы являются:

1. Обобщение уравнения КП п двумерном и трехмерном случаях [уге.м введения дисперсионной поправки высшего порядка и членов, читываюших дисснпативные эффекты "вязкостного" типа, неустойчи-оегь и стохастические флуктуации внешнего поля (уравнение ОКП); и равнения З-ОКЬБ включением в пего члена, описывающего диссипа-;ию.

2. Исследориние устойчивости двумерных и трехмерных решений равнения ОКП и трехмерных решений уравнения 3-ОЫ1_8 в бездисси-ативном случае.

3. Исследование характера асимптотик уравнений ОКП-класса и ачеегвеиный анализ его решений в 4-мерчом фазовом пространстве.

4. Разработка методов численного итерирования эволюционных равнений классов ОКП ¡1 позволяющих с достаточной гоч-остью решать задачи моделирования динамики неодпомерных нели--ннм.ч волн и солптонои в диспергирующих средах с учетом эффектов, эусловлснкых наличием диссипации, неустойчивости и случайных

флуктуации волнового поля, в том числе и и случаях, когда дисперсионный параметр являет«, функцией координат и времени.

5. Численное исследование структуры а эволюции неодномерных решении уравнении ОКП и З-ОМЬБ, а также динамики взаимодействия диумерных солнтонов уравнения ОКП.

6. Приложение результатов к задачам исследования; а) нелинейных .эффектов самовоздействия при распространении пучка БМЗ волн в замагничеиной плазме; 6} слаборелятивистских эффектов для ионно-звуковых волн в плазме; в) эволюции трехмерных альфвеновских волн, распространяющихся п плазме вдоль силовых линий магнитного поля, г) динамики уединенных внутренних гравитационных волн (ВГВ) и возбуждаемых ими возмущений электронной концентрации на высотах И-слоя ионосферы, д) структуры и эволюции двумерных волн на "мелкой воде" при переменном во времени и пространст ве рельефе дна.

Научная новизна работы

Научная новизна работы определяется следующими результатами:

1. Введено в рассмотрение обобщение трехмерного уравнения КП путем учета дисперсионной поправки следующего порядка и членов, учитывающих влияние диссипации вязкостного типа, неустойчивости и стохастических флуктуации внешнего поля, что позволило для физических систем с нелинейностью гидродинамического типа, дисперсией, диссипацией и неустойчивостью изучить ряд новых эффектов, не про-; являющихся в моделях, описываемых обычным уравнением КП, в том числе и в случайно флуктуирующих средах. Аналогичным образом введено обобщение уравнения З-ОТ^ЬБ включением в него члена, описывающею диссипацию.

2. Показано, что в случае пренебрежения диссипацией и эффектами, обусловленными неустойчивостью, уравнения ОКП и 3-0>Л ^ являются гамильтоновскнми и на основе анализа трансформационных свойсгв гамильтонианов определены достаточные условия существования абсолютно и локально устойчивых Двумерных (уравнение ОКИ] и трехмерных (уравнения ОКП и З-ОМЦЗ) решений.

3. Методами асимптотического и качественного анализа изучены характер асимптотик н структура решении обобщенных уравнений КП-класса с произвольным показателем нелинейности. Исследованные уравнения включали, при этом, члены, описывающие дисперсионные эффекты высшего порядка, диссипацию и неустойчивость, обусловленные широким классом причин. В результате были выделены, классы волновых решений солитонного, песплитонного ("кннкового") н смешанного типов и построена их классификация в фазовом пространстве н по характеру асимптотик. Новизна состоит как в обобщении известных для отдельных частных случаев результатов, так и в получении новых - на основе построенной общей классификации, что позволяет расширить известные представления о нелинейных нолноиых процессах в различных диспергирующих средах с учетом процессов диссипации, нелинейности и неустойчивостей различного вида и характера, внешних колебаний поля и т.п.

4. Разработаны новые высокоточные, эффективные, в смысле минимизации временных затрат, методы численною интегрирования обобщенных уравнений КП-класса (в том числе стохастического уравнении ОКП и уравнения КП с параметром дисперсии, являющимся функцией времени и пространственной координаты) и уравнения З-ОЫЬв, отличающиеся от известных сравнительно высокой производительностью и возможноа ыо контролировать эволюцию решения и взаимодействие солитонов в динамике.

5. Численно исследована структура н динамика двумерных алгебраических и оецнлляторных солитонов, а также эволюция нестационарных решений уравнения ОКП. Показано, что взаимодействие оецнлляторных солитонов является нетривиальным н впервые изучены условия и динамика формирования найденных ранее стационар <ых "бисолитонов".

6. Численно гзучена структура и эволюция трехмерных нелинейных решении уравнения ОКП в аксиально-симметричной геометрии. Впервые показано, что в исследуемой модели при любых условиях (в том числе, в пренебрежении диссипацией) явление волнового холлапса

отсутствует, а решение представляют собой либо расплывающиеся со временем волновые пакеты, либо трехмерные солитоны.

7. В рамках моделей обобщенных двумерного и трехмерного уравнения КП и уравнения 3-13МЬ$ численно показано, что наличие диссипации вязкостного типа в среде, помимо уменьшения амплитуды волнового поля,- оказывает влияние на структуру и симметрию неодно-мергьге решений.

8. Изучены двумерные приложения построенной для. уравнения ОКП теории к исследованию

а) нелинейных нонно-звуковых (в том числе и с учетом релятизистких. эффектов) волн в плазме; показано, что в.результате эволюции двумерного уединенного возмущения ионного звука может формироваться квазиодномерный солитон, параметры которого определяются величиной релятивисткого фактора;

б) динамики нелинейных уединенных ВГВ на высотах Р-области ионосферы; впервые показано, что в Р-слое под воздействием источников импульсного типа могут формироваться двумерные алгебраические либо осцилляторы ые солитоны ВГВ, изучено формирование под действием таких ВГВ уединенных волн электронной концентрации, причем результаты, полученные при численном моделировании волновых эффектов, связанных с движением солнечного терминатора и солнечным затмением (позволившие выделить волновые "предвестники" указанных явлений), находятся в хорошем согласии с результатами радиофизических экспериментов:

в) воздействия релеевской волны от сейсмического источника на динамику плазмы Р-слоя ионосферы; впервые показано, что вызываемые сейсмическими источниками в дальней зоне от очага землетрясения колебания земной поверхности могут приводить к формированию двумерных уединенных колебаний электронной концентрации Р-сло;. содитонного типа значимой амплитуды, достаточных для их регистрации некоторыми высокоточными радиофизическими методами (допле-ромакзе зондирование, многочастотное "пассивное" наклонное зонди-^шззаив сигналами удаленных пространственно-разнесенных радио-

станций и т.п.);

г) динамики двумерных солитонов на поверхности "мелкой" жидкости: в частности, впервые показано, что в случае изменяющегося в пространстве и во времени рельеф;; дна сIруктура и симметрия двумерных солитонов может суьчественно нарушаться вплоть до формирования сложных солитон-песолнтонных решений ч турбулизации поверхности жидкости.

9. Изучены трехмерные приложения построенной для уравнения ОКП теории к исследованию

а) нелинейных эффектов при распространении пучка ЕМ?, аолн в за-магниченной плазме; при лом было впервые показано, "то в данной модели отсутствует явление самофокусировки пучка: в зависимости от соотношения параметре» дисперсии имеет место либо рассеяние магнитного "звука", либо, после стадии п одфоку сироп.\-и, формируется стационарный пучок БМЗ волн;

б) динамики 3-мериого пучка БМЗ волн в замагннченной плазме со стохастическими флуктуациямк внешнего магнитного ноли, которые описывались функцией времени и пространственных координат. В результате, в численных экспериментах было показано, что, независимо от когерентной "длины" внешнего шума, пучок БМЗ волн при распространении рассеивается, приобретая волновую структуру, даже в случае, когда он, в отсутствие флуктуации поля, должен стабилизироваться. Эволюция заканчивается формированием турбулентного поля независимо от зеличины дисперсионных парамстроз и начальных пнтен-сиьиосгей пучка и шума при любом соотношении когерентной длины шума и характеристических размеров лучка. Это означает, что в реальных физических условиях (флуктуации магнитного поля в тон или иной мере всегда присутствуют в реальной плазме) стабилизация пучка БМЗ практически невероятна. Результат является новым, ранее неодномерные задачи данного типа исследовались, в основном, лишь для "классических11 модельных случаев без учета флуктуации среды распространения.

10. Исследован характер эволюции 3-\;ерных альфвеновских волн конечной амплитуды, распространяющихся в замагниченкой плазме и описываемых уравненном З-ОКЬБ. В результате удалось установить, что динамика волновых пакетов в 3-мерном случае качественно отличается от описываемой в рамках одно- и двумерной поделен: в 3-мерпим приближении может иметь место развитие неустойчивости са-, мофокусировочногс типа, лриводящей к волновому коллапсу, а также формирование в процессе эволюции трехмерных стационарных волновых структур.

Достоверность теории, степень обоснованности научных положений и выполов, сформулированнных в диссертации, обеспечивается тем, что они основаны на теоретических и численных расчетах, давших взаимно соответствующие результаты, которые, в свою очередь, в рамках приложений теории к проблеме динамики волновых ионосферных возмущений. находятся г хорошем согласии с результатами целенаправленных радиофизических экспериментов по "пассивному" наклонному зондированию ионосферы, проводившихся в периоде 1988 г. по ¡904 г. в Институте космофизическпх исследований и распространения радиоволн ДВО РАН при личном участии автора.

Научная и практическая значимость работы. Предложения

по исиолыоьашио результатов

Работа носит теоретический характер. Введенное в диссертации обобщение трехмерного уравнения Кадомцева-Пствиашвили (КП) имеет универсальный характер (в том смысле, что справедливо для широкого спектра сплошных сред с нелинейностью гидродинамического типа, когда соотношение дисперсии лрсдставимо в соответствующей форме). В отличие от построенной к настоящему времени теории урав-нени:: КП. относящейся главным образом лишь к весьма идеализированной модели и не учитывающей множества фактороз. играющих часто важную-роль в физике конкретных сред, подход, предпринятый в диссертации, позволяет рассматривать эффекты, обусловленные д) неизящней, процессы, приводящие к нарастанию неустойчивости и обра-

зовшппо сложных турбулентных структур, дисперсионные эффект.! иь;с!г.с;о порядка, воздействие па чволмцшо ..олпоиых пикет«« виеш-..¿¡x стохастических колебаний соотгсг а уюнiero îiojih и т.п. Разрабо-'..¡пчью метод!,i получения 1! исследования решений обобщенных уравнении ¡-СП-класса развивают иле;: В.И .Карпмапа и В.И.Пепнмтвпли, также непосредственно примыкают к начатым независимо or нсследо-вапий автора ¡заботам О.А.Похотелова и Ю.Л.Сгепаняпна. Развитая методик;! изучения динамики нелинейных альфвеио "ки.х волн нл.осно-пе модели урапнення 3-DV..S позволяет обобщить ранее полученные другими авторами (В.Н.Петвпашвили, О.Л.Похотелов, Л.Стенфдо. П.Л.Шукла) результаты на трехмерный случай, при этом удается выявить целый ряд новых, не отмеченных ранее эффектов. Полученные в диссертации результаты позволяют токазать аналитически возможность существования устойчивых трехмерных структур - солитоно», динамика которых описывается обобщенными уравнениями ¡\Н-класса и уравнением 3-DXLS, а также рассмотрит!, процессы, связанные с динамикой узких пучков Б,\П и альфвепояскнх волн, приводящие как к их рассеянию и турбулизаиин поля, так п к формированию епщионар-ных пучков на соответствующих ветвях колебаний. Результаты диссер-таниоиной работы имею г неиосрсдст веннсе приложение к теории ион-но-звуковых, БМЗ и альфвеновских волн в плазме (включая нл пму ионосферы и магнитосферы), а также к теории ВГВ, расирострапг ощпхея па высотах Г-'-слоя ионосфер!.! (включая задачи о воздействии ре.чеев-CKoii волны от сейсмического источника па динамику плазмы Г-'-сюя ионосферы), и воли на поверхности "мелкой" жидкости. Кроме отмеченного выше, практическая ненность работ!,! состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы при построении динамических моделей мапштосфсрной и ионосферной плаз; ы, развитии модельных представлен!!!! о возбуждении и эволюции, волновых возму-щеннГ в среде от источников импульсного типа, а также при интерпретации и анализе роультатов лабораторных и ггтурпых экспериментов в области радиофизики, физики плазмы и других областях физики сплошных сред.

Результаты работы, относящиеся к теории нелинейных нсодно-мерпых ВГВ и генерации ими уединенных Г1И8 электронной концентрации в F -области ионосферы, а также к проблеме возбуждения волновых возмущении в ионосфере сейсмическими источниками, использовались в ИКИР ДВО РАН и используются в настоящее время в СВКНИМ ДВО РАЯ в рамках работ по исследованию динамики электромагнит 1ых процессов в околоземной плазме естественного л ¡искусственного происхождения и исследованиях, связанных с изучением сейсмо-электромагнитных явлений; в КГУ - в работах, связанных с интерпретацией экспериментальных результатов по метеорному зондированию нижней ионосферы с целыо создания диагностической и про-гности' .'ской моделей системы тсрмосфера-иоиосфера.

Результаты диссертационной работы использованы в ряде хоздоговорных работ, внедрены автором в спецкурсы по теории нелинейных волн и солитонов для студентов и аспирантов Международного педагогического университета в г. Магадане и могут найти применение в научно-исследовательских учреждениях it учебных заведениях.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 57 работах, (включая 2 монографии и учебное пособие), из которых 9 написаны и соавторстве.

Апробация работы

Основные научные результаты, полученные в диссертации, обсуждались на 5 отечественных и 32 международных конференциях <и .симпозиумах (при личном участии автора в 12 международных когферен-цпях п симпозиумах: 111 Семинаре КАПГ по метеорологическим эффектам в ионосфере (Софии. Болгария - 1988): Международном симпозиуме по волновым ионосферным возмущениям - программа ВИТС/ В А ГС (Алма-Ата. Казахстан - 1V8(J), IV Симпозиуме КАПГ по солнечно-земным связям (Симаркаш). Узбекистан - Ji>8<J), Международном симпозиум поЭМС \Вроцлив. Польша - ¡У90). Синознуме по теории и

табдгодспиям нелинейных процессов и околоземном пространстве [Паршссч. Польша - 1995)\ Конференции но . единенным эполюцпои-1,1М уравнениям и динамическим сщ.емам \'[2Е135'92 {Дубна. Россия -!';9~>), Международном симпозиуме но антеннам и распространению радиоволн КЧАР'92 {Саппоро, Япония - ¡942). Международно!! конфе-ренцни по физике плазмы 1СРР'% (Нагон. Японии - ¡996), 5 Международном симпозиуме по двойным слоям п связанным с ними нелинейным явлениям {Сспдай. Япония - 1996). 5 Мсждунаргчной школе/симпозиуме по моделированию космоса {Киото. Япония - 1997). Рабочем совещании по сейсмоэлсктромагнегпзму 1\УЯ£:'97 (Токио. Япония -1997), Международной школе/снмпозп.уму по динамическим системам (П.Ноа?ороо. Россия - ¡996). Кроме того, результаты доклады па л иск на научных семинарах ряда ведущих пп-тгитутов: ИЗММРДН, Ш!М им. М.В.Келдыша, ОИЯИ (Дубна), ЛОМИ им. В.А.Стеклова, ИМ КазЛИ. ЛГУ, К ГУ, ВЦ СО РАН и др. Апробация основных положений теории прошла также в период чтения лекции по проблемам динамики нелинейных волн в плазме в качестве приглушенного профессора в Унивср-а/тети ■хн.'ктросаии (Токио). Ни.'ойском уничсрсипичпс и Нициопшышм института термояоерш,1х иссмошшшш (Иалпш) а 1992 г.

Структура п объем района

Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на 73 параграфа. делящихся в спою очередь па разделы, заключения, двух приложений и списка литературы из 146 наименовании. Общий объем диссертации - 254 страницы, включая 53 рисунка, 3 таблицы п 5 страниц приложения.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждена актуальность темы диссертации, описано современное состояние проблемы, сформулированы цели и задачи исследования и обозначены подходы к их решени >, приведены структура и содержание диссертации и указаны печатные работы, п которых отражены основные результаты.

В нерпой главе выведены двумерное и трехмерное уравнения КГ (81) и уравнение 3-[)1ч!Ц> (§2) » безразмерном виде и форме, удобно! для дальнейшего исследования. Уравнение КП получено из полной си стсмм классических уравнений газодинамики, записанных для некото рых обобщенных величин - "плотности" и скорости "звука", смысл ко торых зависит от класса изучаемых явлении и поясняется по мерс из ложеиия. ¿7,алее, безотносительно к типу среды, следуя технике, разви той в работах В.П.Захарова, строятся решения в виде одномерного I двумерного солнтонов КМ и приводится анализ их устойчивости. Та кнм образом, в главе последовательно проводится идея универсально сги уравнения КП и инвариантности формы его решений для сред раз личных тиков, для которых закон дисперсии имеет соогпетсгвующш вид. Затем уравнение КП в его классической форме обобщается путе.\ введения дисперсионной поправки следующего порядка и членов, опи сывающих диссипацию вязкостного типа, неустойчивость и стохасти ческие флуктуации волнового поля,

дх [д, и + с идхи - \>дх и + $дх3и + б дхи + у дхи + 11 = кДхи,

к =-<■•„/2

и далее, путем масштабных преобразований, приводится к виду, упро щакыцему последующи!! анализ. В завершение § 1 рассматриват гея основные подходы к численному интегрированию "классического" урав нении КП, использовавшиеся при получении его стационарных неод номерных решений, и кратко обсуждаются их достоинства и недостатки.

В § 2 нерпой главы из полной системы уравнений од|южидкоетнот магнитогидродинамики получено трехмерное уравнение 0\'Ц? (уравнение З-ОМЬБ) и. в одномерном приближении, рассмотрен подход с его аналитическому интегрированию методом ОЗР и приведешь результаты анализа устойчивости одномерных решений в терминах гита первого интеграла движения. Затем проводится обобщение уравнения 3-01\'Ь5 введением диссипативного члена и уравнение путем преобразований подобия приводится к безразмерному виду, удобному дл* дальнейшего анализа:

d,h f- sc" t Ii |: /)]'- /лг:т h - v r2 h = с f ^ д.л <£v. .

В завершение параграфа рассматриваете:; один из весьма эффективных методов численного тмегрирования урапнення DNI.S в одномерном приближении и обсуждается сто применимость к моделированию динамики трехмерных р-.-шепип.

Во второй главе диссертации ik : л кию, что в случае пренебрежения диссипатнвнымн эффектами (в окутствпс иеусюйчнвоети и стохастических флуктуации волнового поля для уравнения ОКИ) основные уравнения являются гамильтоновскимн. На основе анализа трансформационных свойств гамильтониана произведены оценки устойчивости решений уравнения ОКГ1 в двумерной и трехмерной геометрии (§ 1) и уравнения 3-DXLS в трехмерной reoм(Прии (§ 2) для всею диапазона изменения коэффициентов. Для уравнения OK! I с v-3'- х\ = й получено, что в соответствии с теоремой Ляпунова абсолютно устойчивыми для широкого класса деформаций гамильтониана

Н

:i[-v(3,+ ~ (г.;«)' + ^ <?, v)2 -u^dr. 0-v = u.

где с = л = «¡¡л (у ), V = | у | *, будут решения при у > 0, р < 0 - в двумерном и при у > 0, р > 0 - в трехмерном случае. Наряду с абсолютно устойчивыми выделены локально устойчивые решения, которые, могут иметь место при у > 0, р > О и у < 0, р < 0 (двумерное уравнение)-и при у > 0, р < 0 (трехмерное уравнение), найдены достаточные-условия устойчивости. Для уравнения З-ОХЬБ аналогичный анализ доказал,' что при /. = I, .у = -1 - в случае п'равонолярнзояанных волн и при л =—1,

1 - в случае левополярнзованных волн в плазме с р = 4 ял 77 I его трехмерные решения будут устойчивы, если диффракцнонный коэффициент а > с/|| |/||''сУг/|(\7х()г н-)2(/г , = с/ « 0.548, что является

достаточным условием устойчивости. Несмотря на то, что рассмотренные для обоих уравнений классы деформаций не' включают всех;

возможных деформаций H. произведенные оценки свидетельствуют о устойчивости penieuttii и отмеченных выше случаях и, по крайней мерь могут рассматриваться ¡сак необходимые условия. Анализ ограничен иосги H на полученных численно неодномерных решениях урачнетп" ОчП и 3-DNLS (главы 5. 6) подтверждает справедливость-сделанны:

ohoiiof.

H ({icibeii f.iai.e метода ми асимптотического и качественного аил-ли;:! (последние обычно применяю'!ся в теории колебании для двумерных лимамических систем, в диссертационной работе они были распространены ни исследование и систематизацию фазовых портрстоп решении в четырехмерном фазовом пространстве) щучены характер асимптотик и структура решений обобщенных уравнений KI1-класса -произвольным показателем нелинейности

с,, (р, и + и и< дп и - пд^и -г-ргп' и -Ï&Ô,; и +7 ») =- к Д . и .

имеющие широкие приложения н физике ионосферной и магнитосфер-ной плазмы, гндро- и аэродинамике. В результате были выделен!,: классы волновых решений солитонного. несолптонного ("кинкового"; .и смешанного типов п построена их классификация в четырехмерное фазовом пространстве и по характеру асимптотик, выражения для которых выписаны в явном виде. Установлено, что решения как солитонного. так несслитонного типов могут иметь характер уединенных волновых структур и нелинейных осциллирующих волновых пакетоЕ, что в конечном счете определяется знаками и величиной коэффициентов соответствующего уравнения.

В четвертой главе изложена последовательно проводящаяся в работе идеология численных подходов к »нитрированию уравнений классов К11 и 3-DNLS и представлены применяющиеся для из\чепт< динамики солитопов и нестационарных ио:шоиых пакетов в последующих главах диссертации несколько методов численного интегрирования. базирующихся на явных и неявных конечно-разностных схемах (§ 1) с аппроксимацией (Дт:,/;;) и О (х1 ,h\), а также динамические

!Т

спектр:);»,пмо методы (§ 3). состоящие и предварительном преооразо.?:-.-нпп Фурье по прост раиственпым координат а.."! исходных ураш:сш:Гг и •решении методом Рунге-Кутга получающихся при этом систем дифференциальных уравнений первого порядка. Проанализированы условия устойчивости и сравнительные характеристики схем различии:? типов, полученные при тестировании на точных решениях исходны* уравнений. В отличие от известных численных методов шпегрпроч,:"-ним уравнений К11-кл.чсса, применявшихся для ¡¡опека спщвок«р»:ч* решений, предложенные методы позволяют контролировать звол;а::гю решения и взаимодействие солитонов в динамике. Кроме тсгс, чм-.^ высокие точностные характеристики, они менее громоздки, чам ; с пользовавшиеся в работах СЛ.Мушера и В.Г.Мачанькова «е.ччг 'Операционного растепления" и хопскотч-метсд.

Рассмотрение проведено на основе двумерного уравнения КП и трехмерных уравнений КП и 3-0X1.8 (§3), обобщение этих яспхь . на уравнения, учитывающие соответствующие поправки, элемента;- :..; и обсуждается в конце глав;,:.

В нятон главе численно исследуется динамика двумерных солите-нов уравнения ОКП при Дх Интегрирование ведется с помощь::

методов, изложенных в главе 4. Рассмотрена структура двумерных решений во все!! области изменения значений дисперсионных хоэффипн-енто» [5 и у при \- = 0 и с использованием результатов главы 3 оценена их устойчивость (§1). Получено, что при у > 0, р<0 в результате эволюции начального импульса формируются двумерные солитоны с алгебраическими асимптотиками, близкими к асимптотик:!.« решений обычного уравнения КП с р / к > 0. При у > О, Р > 0 численные решена;; имеют вид двумерных солитонов с хвостами, осциллирующими в л -направлении и монотонно спадающими п у ■ направлении. При у <С,

Р " 0 из начального импульса формируются расплывающиеся со знаменем волновые пакеты. Изучению взаимодействия двумерных солитонов при ч'= 0 посвящен §2. В численных экспериментах устакоалено,

что при у > 0, р < О имеют место упругие (по всяком случае и пределах точности численного счета) столкновения: солитоны обмениваются амплитудами и импульсами. При у>0, ^ > 0 результаты существенно зависят ог соотношения амплитуд и начального расстояния Д.у(О) . между импульсами: при существенно различающихся амплитудах и малых Дл'(О) формируется один соли гон, а при близких амплитудах и больших Дл-(О) может образовываться двумерная структура, отвечающая связанному состоянию - бисолитону с осцилляциями на хвостах и между главными максимумами. В §3 численно исследовано влияние диссипации вязкостного типа на эволюцию и структуру двумерных со-литонои уравнения ОКП. показано, что дпееппативные эффекты, помимо общего экспоненциального во времени уменьшения амплитуды золнодого поля, приводят к нарушению структуры и симметрии соли-тонных решений. в § 4 аналитически и численно исследована эволюция двумерных солитонов уравнения КП в диспергирующих средах со стохастическими флуктуациями волнового ¿юля, описываемыми функцией т](/). представляющей собой внешний "шум" в случае, когда характеристические размеры солитона много меньше когерентной "длины" ¡шума. Для белого гауссовского шума 11 (г), с использованием преобразований Галилея, когда "стохастическое" ураннепне может быть редуцировано к обычному ("классическому") уравнению КГ1, аналитически з явном виде получено решение, которое, приобретая со временем вол нообразцый характер, асимптотически расплывается в соответствии с Законом и в отличие от полученной М.Вадати ' зависимости

• - и.***? для. одномерного солитона уравнения КдВ. Исследование подкреплено численным моделирование стохастического уравнения КП. подтвердившим аналитические результаты. В заключение (§ 5) численно исследована структура и эволюция двумерных солитонов уравнения КП в'средах с переменной дисперсией ¿ когда дисперсионный коэффициент '.р (х,у',0 .■ При этом показано, что в случае изменяющихся в пространстве и во времени дисперсионных свойств среды структура и

симметрия двумерных солитонов может существенно нарушаться вплоть до формирования сложных солнтои-иссолитонных решений и турбулизнции поверхности и(х,у). Лунный результат имеет непосредственное приложение к динамике двумерных солитонов па поверхности "мелкой" жидкости при изменяющемся в пространствен во времени рельефе дна (см. главу 7, § 5) и к эволюции БМЗ волны в неоднородной плазме и/пли магнитном поле (глава 7, § 2).

13 шестом главе диссертационной работы численно изучается структура и эволюция трехмерных решении уравнений ОКП во всей области изменения значений дисперсионных коэффициентов р и у при \-й0(§§ 1,3) и З-ЭМ^ при Я = ±1, л = ±1. а * 0, у>0 (§§ 2,3) в аксгпль-ио-снмметричпой геометрии (Ах = д^ + (1 /р)8г). Для интегрирования

используются методы, рассмотренные в главе 4. В §§ 1,2 описаны результаты численного изучения структуры решений, оценки, устойчивости, а также динамика эволюции трехмерных аксиально-симметричных импульсов в пренебрежении диссипацией (\' = 0). Показано (§ 1), что в модели ОКП при у > 0 для формирующихся солитоиоподобных. структур как* с алгебраическими (Р<0), так и с осциллирующими ((3 > 0) асимптотиками в случае у = 0 явление коллапса не наблюдается: при р < 0 солнтопоподобные импульсы в итоге расплываются, а при р>0 наблюдается тенденция к формированию в асимптотике со аксиально-симметричной стационарной-структуры. Коллапс в модели, уравнения ОКП может иметь место лишь в пределе -у -»0, р/к>0,

• V = 0. При у < 0, р 0, в уравнении-ОКП решения представляют

собой акспалыю-снмметрпчные осциллирующие волновые пакеты, рас-шгыгшошпеся со временем.

Анализ результатов численных экспериментов для модели 3-ОМЬ8 (§2) позволил установить, что уравнение З-ОЫЬБ с у = 0 в зависимости от знаков п величины коэффициентов X, х, а может иметь, наряду с коллапсирующими и затухающими со временем, 3-мерные решения в

;шде альфвсиовских солптоиов. Последнее будет имел, место при /.= 1, л = -1, с = ), когдг. гамильтониан

Н - |

а\ и' =■• //, ф = пщ (!>)

с!г>

удовлетворяет условию Ы > -0.715 ).* ^/¡И'<1Х<Л\ ф = ury.fi, а также при • л=1,.у=1 и ). --1, л- = — 1, если гг = -1, когда Н <-0.715 Хл-(/!/>'дх фт/г.

'Таким образом, показано, что 3-мерлые альфвеновскис волны как с левой, так и с правой круговой поляризацией в некоторой области значений гамильтониана уравнения могут быть устойчивыми; детально исследована динамика формирования 3-мерных устойчивых решении в виде альфиенопских солитопов и рассмотрена эволюция нелинейных альфвеионехих волн, коллапенрующих и затухающих со временем. В частном случае одномерного приближения (а = 0) полученные результаты согласуются с результатами С.П.Доусон и С.Ф.Фонтеиа дл» уравнения ЬОХЧ.Б.

В заключение главы (§3) исследовано влияние диссипации (модели ОКП и З-ОНЬБ с у>0) на эволюцию трехмерных решений. Показано, что наличие диссипации вязкостного типа в среде, помимо уменьшения амплитуды волнового поля, оказывает влияние на структуру и симметрию трехмерных нелинейных волн п обеих моделях, а присутствие в среде стохастических колебании волнового поля (внешний белый гауссовский шум) при любых значениях дисперсионных параметров 6 уравнений ОКП (в том числе и в случае, когда при \' = 0 могут формироваться трехмерные солнтоны) приводит к раенлыванию уединенных нелинейных импульсов и волновых пакетов в процессе эволюции.

В седьмой главе диссертации рассматриваются приложения полученных результатов к исследованию: а) распространения нелинейных ионно-звуковых волн в плазме без магнитного поля с учетом релятивистских эффектов (§ 1): б) динамики трехмерных БМ'З, распространяющихся и замагнпченной плазме (§ 2); в) динамики двумерных уеди-

ненимх нелинейных ЗГВ. генерируемых на высотах Р-области ионосферы фронтами солнечного терминатора и солнечного затмения, а также сейсмическими источниками, и возбуждении ими перемешаю* щихся возмущений электронной концентрации (£ 3); г) эволюции двумерных солитонов гравитационных и гравитационно-капиллярных волн на поверхности "мелкой" жидкости при изменяющемся во креме* ни и пространстве рельефе дна. При этом, для двумерных приложений теории показано, что

а) в результате эволюции двумерного уединенного возмущения ионного звука может формироваться квазиодномерный солитон, параметры которого определяются величиной релятивистского фактора:

б) в Р-слое ионосферы под воздействием исто1 ликов импульсного типа могут формироваться двумерные алгебраические либо осцилля-торные солитоны ВГВ; изучено формирование ..од действием таких ВГВ уединенных волн электронной концентрации, причем результат!., полученные при численном моделировании волновых эффектов, связанных с движением солнечного терминатора и солнечным затмение\ (позволившие выделить волновые "предвестники" указанных явлений), находятся в хорошем согласии с результатами радиофизических экспериментов: ,

в) в результате воздействия релеевской волны от сейсмического источника на динамику плазмы Р-слоя ионосферы вызываемые сейсмическими источниками в дальней зоне от очага землетрясения колебания земной поверхности могут приводить к формированию двумерных уединенных колебаний электронной концентрации Р-слоя соли-тонного тина значимой амплитуды, достаточных для их регистрации некоторыми высокоточными - диофизическими методами (доплеров-ское зондирование, многочастотное "пассивное" наклонное зондирование сигналами удаленных пространственно-разнесенных радиостанции и т.п.);

г) в случае изменяющегося в пространстве и во времени рельефа дна структура и симметрия двумерных солитонов на поверхности "мелкой" жидкости может существенно нарушаться вплоть до формирова-

иия сложных солнтон-несолитонных решений и туроулизации поверхности жидкости.

Для трехмерных приложении теории показано, что

а) is модели уравнения ОКП, описывающей динамику пучка БМЗ по.чп с узким углоиым распределением, отсутствует явление самофокусировки пучка: в зависимости от соотношения параме:ро» дисперсии имеет место либо рассеяние магнитного "звука", либо, после стадии подфокусироакп, формируется опцион ¡рнын пучок БМЗ воли:

б) в модели, описывающей динамику 3-мерного пучка БМЗ волн в замапшчепнон плазме со стохастическими флуктуациями внешнего магнитного поля, независимо от когерентной "длины" внешнего шума, пучок БМЗ 'волн при распространении рассеивается, приобретая волновую структуру, даже в случае, когда он, в отсутствие флуктуации ноля, должен стабилизироваться. Эволюция закапчивается формированием турбулентного поля независимо от величины дисперсионных параметров н начальных нптенспвпостсй пучка и шума при любом соотношении когерентно!: длины шума и характеристических размеров пучка.

В заключении приводится формулировка основ/пах результатов, полученных и диссертации, и их обсуждение.

В'приложении 1 исследовано алгебраическое уравнение чегверюй степени (вещественность, знаки, границы областей определения корней), возникающее при анализе существования экстремумов гамильтониана уравненп i ОКП с Aâ = Э'. а главе 3. В приложении 2 рассмотрено разложение четырехмерных динамических с :сте.м, линеаризованных ь окрестности особых точек, и соответствующих канонических систем на две подсистемы (приложение 2.1), и аналогичное разложение трехмерных динамических систем на двумерную систему и одно уравнение (приложение 2.2), что используется п главе 3 при построении фазовых портретов решении соответственно в 4-мерном и 3-мерном (разовых пространствах.

Ш. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:

1. Введено в рассмотрение обобщение уравнения КП, описывающего двумерные и'трехмерные волны в плазме и других средах с дисперсией и нелинейностью гидродинамического типа, - путем учета дисперсионной поправки следующего порядка и членов, учитывающих влияние диссипации вязкостного типа, неустойчивости и стохастических флуктуации внешнего поля (уравнение ОКП). Аналогичным образом введено обобщение уравнения З-ОХЧ.Б путем включения в него члена, описывающего диссипацию. Это дало возможность изучить ряд новых эффектов, не проявляющихся в моделях, описываемых обычными уравнениями КП и ОХЬБ, в том числе - для уравнения ОКП - и в случайно флуктуирующих средах.

2. Методом анализа трансформационных свойств гамильтонианов уравнении ОКП и З-ОМЬБ определены достаточные условия существования абсолютно и локально устойчивых двумерных (уравнение ОКП) и трехмерных (уравнения ОКП и З-ОХ'ЬБ) решении. В результате показано. что в двумерной геометрии двумерные солитоны ОКП могут существовать при условиях, отвечающих уравнению КП как с положительно!!, так и с отрицательной дисперсией; в трехмерной геометрии, в отличие от уравнения КП, в решениях уравнения ОКП имеют место трехмерные абсолютно и локально устойчивые решения. Для уравнения З-ЭКЬБ показано, что 3-мериые альфвеновские волны как с левой, так и с правой круговой поляризацией в некоторой области значений гамильтониана могут быть устойчивыми и уравнение 3-0\!ЬБ может иметь, наряду с коллапенрующими и затухающими со временем, 3-мерные решения в виде альфвеновскнх солитонов.

3. Методами нсимптотического и качественного анализа изучены асимптотики и структура решений уравнений ОКП-класса (уравнение КП со всеми дополнительными членами) с произвольным показателем нелинейности. В результате были выделены классы волновых решений солптоиного, несолитонного ("кинкового") и смешанного типов и построена их классификация в фазовом пространстве и по характеру асимптотик.

4. Для уравнений ОКП (в том числе стохастического уравнения

ОКП и уравнения КП с параметром дисперсии, являющимся функцией времени и пространственной координаты) I! З-ОМЦЗ, записанных в нн-тегродифференниалыюп форме, разработан ряд методов и алгоритмов численного интегрирования на основе явных и неявных схем, аппроксимирующих дифференциальную часть, с вычислением интегральной части методами Ныетсна-Котеса с автоматическим выбором количеств;! узлов. Разработан также метод, основанный на идеологии "динамического" спектрального подхода, весьма эффективны!! в смысле минимизации временных затрат. Предложенные методы и алгоритмы относительно просты в реализации и позволяют с высокой точностью моделировать динамику неодно.меркых нелинейных волн и со-литоноз.

5. Численно исследована структура и динамика двумерных алгебраических и осципляторных солитснов, а также эволюция нестационарных решений уравнения ОКП. Для осциллягорных солитопов (случаи отрицательной дисперсии в области достаточно больших А\ -ситуация, когда уравнение КП неодномерных солитонных решений не имеет) установлено, что с уменьшением величины дисперсионного члена высшего порядка частота осцилляции ь хвостах растет, причем соответствующее усреднение дает алгебраические асимптотики, подобные асимптотикам содитонов уравнения КП с положительной дисперсией. В численных экспериментах по солптон-солитонным столкновениям показано,'.что взаимодействие осцилляторкых солктоноз является нетривиальным и может быть трех типов:

а) упругое столкновение, при котором солитоны обмениваются амплитудами и импульсами;

б) столкновение, приводящее к формированию одиночного соли-тона с осциллирующими асимптотиками;

в) образование связанного двухсолитопного состояния - осцилля-торного "бисолитона".

Изучены условия и динамика формирования найденных ранее стационарных бисолитонов.

6. Численно изучена структура и эволюция трехмерных нелиней-

пых решении уравнения ОКП в аксиально-симметричной геометрии. Показано, что в зависимости от характера дисперсии эволюция начального импульса приводит либо к расплывапию образующегося волнового пакета, либо, после начальной стадии, характеризующейся развитием неустойчивости самофохусировочного типа и последующего ее насыщения, обусловленного возрастающей ролью дисперсионного члена высшего порядка, закапчивается формированием устойчивого трехмерного решения. Таким образом, в отличие от уравнения КП, в исследуемо:! модели при любых условиях (я том числе, в пренебрежении диссипацией) явление волнового коллапса не наблюдается.

7. Для моделей обобщенных двумерного и трехмерного уравнения КГ1 и уравнения 3-0\:Ь8 численно показано, что наличие диссипации вязкостного типа в среде, помимо уменьшения амплитуды волнового поля, оказывает влияние на структуру и симметрию неодномерных решений.

8. В пределе, отвечающем БМЗ ветви "гидродинамических" коло баний замагниченной плазмы, получено выражение для дисперсионного члена высшего порядка и проведен анализ дисперсионных свойств данной физической системы, который показал, что в рассматриваемой модели, з отличие от уравнения КП, явление самофокусировки узкого пучка БМЗ волн наблюдаться не может. В зависимости от соотношения угла 0 между осью пучка и магнитным полем и величины да. / к, определены условия, соответствующие рассеянию, а также стационарному распространению пучка БМЗ волн в плазме. Численно изучены • стадии процесса по мере пространственной эволюции пучка в завися-мости от его интенсивности, 0 и /и,/от, Выполнены исследований влияния стохастических флуктуации внешнего магнитного поля на динамику пучка БМЗ волн, в результате, в численных экспериментах было показано, что, независимо от когерентной "длины" внешнего шума пучок при распространении рассеивается, приобретая волновую структуру, даже в случае, когда он, в отсутствие флуктуации поля, должен стабилизироваться. Эволюция заканчивается формированием турбулентного ноля независимо от величины дисперсионных параметров к

.начальных интенсивкостеи пучка и шума при любом соотношении ко-,гсрснтной длины шума и характеристических размеров пучка.

9. Показано, что па высотах Г-слоя ионосферы, при соблюдении условий на малость амплитуды и длинноволновое приближение, в результате воздействия источников импульсного типа :.югут формироваться двумерные содитоны ВГВ. описываемые уравнением ОКП. Аналитически и численно исследовано воздействие таких солитонов на ионизованную компоненту плазмы и в общем виде найдено решение уравнения непрерывности, отвечающее уединенным ПИВ электронной концентрации в F-слос. структура которых определяется структурой ВГВ. При этом численные исследования проведены для характеристических параметров F-областн. близких к реальным.

50. Изучена динамика двумерных солитонов на поверхности "мел-кон" жидкости, в частности показано, что в случае изменяющегося в пространстве и во времени рельефа дна структура и симметрия двумерных солитоноч может существенно нарушаться вплоть до формирования сложных солиточ-иссоли тонных решений и гурбулнзации поверхности жидкости.

П. Изучен характер эволюции 3-мерных альфвеновских волн конечной амплитуды, распространяющихся в замагниченной плазме адоль силовых линий магнитного поля. В численных экспериментах установлено, чю динамика волновых пакетов в 3-мерном случае качественно отличается от описываемой в рамках одно- и двумерной моделей: в 3-мериом приближении может иметь место развитие неустойчивости самофокусировочного типа, приводящей к волновому коллапсу, а также формирование в процессе эволюции трехмерных стационарных волновых структур.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах (приведены в хронологическом порядке):

' 1. Белашов В.Ю. Эволюция солитонов КдВ на ' этапе нестационарности": Препринт. Магадан: СВКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1984. И с.

; 2. Белашов В.Ю. Перемещающиеся ионосферные возмущения в F-об-ласти ионосферы к их влияние на флуктуации ОНЧ радиосигналов// Ргос. IX Int. Wroclaw Symp. on EMC, Poland, Wroclaw, June

28-30, 19S8. Wroclaw, !9S8. V. 1. P. 1SMS4.

3. Балашов В.Ю. О зозбуждеш.и землетрясениями ВГй в F-слое ионосферы // Там же. С. 227-229.

4. Белаиюп В.Ю. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили и его приложения: Научный отчет ИКИР ДОО РАН. Магадан: Фонды И КИР, 1989. 4S с.

5. Белаиюп В.Ю. О численных методах решения эволюционных уравнений типа уравнения Кадомцсвл-Петвиаишнли: Препринт ИКИР. Магадан. 1939. 21с.

6. Белаиюп В.Ю. Динамика крупномасштабных ПИВ, возбуждаемых уединенными ВГВ в F-слое ионосферы // Ш Семинар КАПГ по метеорологическим эффектам в ионосфере. София: БАИ, 1989. С. 12-13.

7. Балашов В.Ю. О перемещающихся ионосферных возмущениях в слое F // Ионосферные волновые возмущения. Алма-Ата: Наука,

1989. С. 120-128.

8. Bclashov V. Yu. Solitary electron density waves induced by the IGW's solitons in the ionosphere// Proc. 1989 Int. Svmp. on EMC, Jaran. Nagoya, Sept. 8-10, 1989. Nagoya, I9S9. V. 1. P. 22S-229.

9. Belushova A.A., Bdashov V. Yu. Large-scale wave disturbances generated by the eclipse in the ionosphere and EMC problems // Proc. 1989 Int. Symp. on EMC, Japan, Nagoya, Sept. 8-10, 1989. Nagoya, 1989. V. 1. P. 226-227.

10. Белаиюп В.Ю.. Карниап В.И. Численное исследование динамики неодномерных солитонов в слабо диспергирующих средах: Препринт ИЗМИРАН N 43(928). М„ 1990. 24 с.

11. Бслаиюв В.Ю. Динамика нелинейных внутренних гравитационных • волн на высотах F-области ионосферы // Геомагн. и аэрономия.

1990. Т. 30, N4. С. 637-641.

12. Бслаиюв В.Ю. Динамическая модель слоя F: аспекты использопа- . имя в численном моделировании // X Семинар по моделированию ионосферы. М.. ВИНИТИ, 1990. С. 70.

13. Балашова А. А.. Бслаиюв В.Ю.. ПоОдельскин II.Н. Комплексные исследования динамики волновых ионосферных возмущении в Дальневосточном регионе СССР // Геомагн. и аэрономия. 1990. Т. 30, N4. С. 647-650.

14. Бслаиюв В.Ю. О самофокусировке БМЗ в магнитном поле// IX Всесоюзный семинар по ОНЧ излучениям. М.: ИЗМИРАН, 1991. С. 42.

15. Bclashov V. Yu.. Karpman V.I. 2D and 3D disturbances dynamics in the weakly dispersive media with dissipation И XX Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, Italy, Pisa, July 8-12, 1991. Contributed papers. V. 6. P. 1239-1240.

16. Киргмш В Л.. Балашов В.Ю. О структуре двумерных осциллирующих солнгонов в слабо диспергирующих средах: Препринт ИЗМИРЛН \'25<972). М„ 1991. 19с.

17. Karpman V.I., Belashov V. Yu. Dynamics of two-dimensional solitons in weakly dispersive media //Piiys. Lett. 1991. V. 154Л, N. 3-4. P. 131-139.

IS. Karpman Belashov P. Yu. Evolution of three-dime.is;->nal nonlinear pulses in weakly dispersive media // Ibid. P. 140-144.

19. /А'лашсч В.Ю. Об устойчивости двумерных и трехмерных солите-исв в слабо диспергирующих средах II ДАМ СССР. 1991. Т. 320. КI. С. S.S-S9.

20. Belashov V. Yu. The methods for numerical integration of nonlinear evolutional KP-class equations // XX Int. C'onf. on Phenomena in Ionized Gases. Italy. Pisa, July 8-12. 1991. Contributed pacers. V. 6. P. 1241-1242.

21. Бе.шшм В.Ю. Численное исследование динамики неодномерных нелинейных волн в слабо диспергирующих средах: Дне... канд. фих-мат. наук. М.: ИЗМИРЛН, ¡991.

22. Belashov г'. Ytt. Nonlinear ellects for FMS waves propagating in magnetized plasma//Proc. of ISAP'92, Sapporo Japan, 1992 V. 1. P. 201-204.

23. Belashov V.Yu. On stabilitv of 2D and 3D solitons in plasma // Ibid. Y.4. P. HSi-nS4

24. Bt'lashuY V. Yu. Dissipation's effect on structure and evolution of nonlinear waves and »olitons in plasma И Proc.Xi Intern. Wroclaw Symp.on EMC. Wroclaw Poland, ¡992. V. 2. P. 591-596.

25. Belashov I'.Yu. The solar terminator front-induced wave disturbances in the ionosohere F layer II Proc. 1992 int. Symp. on EMC, Beijing, China. 1992." P. 141-144.

26. Bdashov !'. Yu. Nonlinear stabilization of last magneto-sonic wa\es beam in plasma U Proc. of ICPP'92. Austria. Innsbruck. 1992. V. I. P. 187.

27. Belashov I'.Yu. 2D soliton dynamics in the weakly dispersive media , with the stochastic fluctuations II Prnc. of 4th Symposium on double

layers. Austria, Innsbruck, 1992. P. SБ.

28. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of Alfven waves propagating in magnetized plasma // Proe.XXlV Genera! Assembly of URSi, Kvoto, Japan, 1993. P. 657.

29. Belashov Г. Yu. 2D and 3D soiiion dynamics: great significance of small dispersive correction h Ibid. P. 657.

30. Belashov V.Yu. Dynamics of KP equation solitons in media with low-frequency stochastic fluctuations II Ibid. P. 656.

31. Belashov !'. Yti. Theoretic;;! and numerical study of effects in ionospheric plasma associated with earthquakes and volcano eruptions // Proc. Intern. Workshop on EM phenomena related to earthquake prediction, Tokyo, Japan, Sept. 6-S, 1993. P. 9G.

32. Belashov V. Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional Alfven waves // Proc. NEEDS''):». Italy. 1993. P. 242.

33. Belashov V. Yu. Nonlinear dynamics of fast magneto-sonic and Alfven waves propagating in magnetized plasma H Proc. 20th Conf. Fusion'93. Lisbon. Portugal. 1993. P. 467.

34. Bclushov V.Yu. Nonlinear effects for FMS waves propagating in magnetized plasma // Plasma Phvs. and Controlled Fusion. 1994. V. 36, issue 10. P. 1661-1668.

35. Belashov V. Yu. Dynamics of KP equation solitons in media with low-frequencv wave field stochastic fluctuations II Physics Letters Л, 1995, N 4. P. 2S2-2S6.

36. Belashov V. Yu. Dynamics of nonlinear waves and solitons in plasma with wave field stochastic fluctuations // Workshop on Theory and Observations of Nonlinear Proc. in Near-Earth Environment, Warsaw, Poland. 1995. Abstracts. Warsaw, Srace Research Center, 1995. P. 4.1.

37. Belashov V. Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional Alfven waves in plasma//Ibid. P. 5.2.

3S. Belashov V. Yu. Structure and evolution of two-dimensional electron density solitary waves caused by internal gravity waves soiitons at heights of ionosphere F layer// Ibid. P. 9.3.

39. Belashov V. Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional Alfven waves in inagnetospheric plasma. // XX Genera! Assembly of EGS, Kille,

• Germany, May 5-9, 1995. Annales Geopiiysicae Supplement, 1995. V. 13. P. 78.

40. Belashov V. Yu. Nonlinear efleets for FMS waves beam propagating in the magnetosphere// Ibid. P. 79.

41. Belashov V. Yu. Soliton Evolution in Media with Variable Dispersion // XXI General Assembly of EGS. Hague, The Netherlands, May 6-10, 1.996. Annales Geopiiysicae Supplement, 1996. V. 14. P. 147.

42. Belashov V. Yu. Theoretical and Numerical Study of Earthquake-induced Effects in Ionospheric Plasma // Ibid. P. 168.

43. Belashov V. Yu. Evolution of the 3D FMS Waves Beam in Plasma with Stochastic Fluctuations of Field // Ibid. P. 156.

44. Belashov V.Yu. The Problem of Evolution and Stability of 3D Alfven Waves Propagating in the Magnetosphere-Ionosphere Plasma along the Magnetic Field. Физика явроральных явлений, 19-й ежегодный

Апатитскпй семинар. Тезисы докл. Препринт ПГН ЛЬ 96-01 -9v. Апатиты: Кольский научный центр РАМ, 1996. С. 3".

45. Bchshov V. Yu. Evolution of the PMS Waves in Magnetosphere-Ionosphere Plasma with Variable Dispersion // Там же. С. 3"..

46. ßelas'iov !' Yu. Evolution of the FMS Waves in Piasma with Variable Disoersior. // XXV Ger.cr.ii Assembly of URSi. L ille. France, Aug. 2?-Sept. 5. Abstracts. Liile. URS!. 1996*P. 47;,

47. Bciushi" I'. Км. Theoretical Study of Seismo-ionospheric Effects in Nearest and Farthest Zone of Earthquake X id vis I! Ibid. P. 676.

48. Bdazhov !'. Yu. Computer Simulation of the 3D FMS Waves Beam Dynamics in Plasma with Stochastic Fluctuation of Magnetic Field // Ibid. P.

49. BchsJioг !■. Yu. Dy namics of the 3D FMS Wax es Beam i:i Plasma with Stochastic Fluctuations of Magnetic Field. Proc.1996 int. Conl. o:. Plasma Physics. Nagoya. Japan, Sept. 9-13. 1996. Contributed Papers. Nagoya. 19^7. ! .V."95ö-953.

50. tk'hvhov '/.Yu. Dynamics of the 3D Alfven Waves i'topagating in Magnetized Plasma and Stability Problem // Ibid. P. 954-957.

51. Балашов В.Ю.. '¡'типах С.Г. Качественный анализ и асимптотик;-, решений сообщенных уравнений КлВ-класса // изв. вузов. Радп>>-фнзика. 1997. Т. XL, x'l. С. 32S-344.

52. Behishov Г'. Yu. Seismogcnic Perturbations at Heights of ionosphere F Layer // Intern. Workshop on Seismo Electromagnetics (IWSu-97). Tokvo. Japan, March 3-5. ¡997. Abstracts. Tokyo. NASDA, ¡997. P. 225-233. *

53. ile!a:;Iwv V.Ytt. Numerical study of dynamics of 3D ion-acoustic and FMS nonlinear waves m piasma using spectral approach // Proc. 5th Int. Schcoi/Svmp. for Space Simulation. Japan. Kyoto, March ¡3-19, 1997. RASC.' Kyoto Univ., ¡997. P. 118-122.

. 54. Bdnshov V. Yu. 2D and 3D Solitons in Piasma: Structure. Stability. Dynamics H 5th Symp. on Double Layers-Potential Formation and Re, lated Nonlinear Phenomena in Plasmas. Ser.dai. Tohoku University, 1997. P. 337-342.

55. Бе.'шшов BJO. Специальные функции и алгоритмы их вычисления. Учебное пособие. Магадан. ММУ, 1997.36 с.

56. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теории, приложения. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН. 1997. 158 с.

57. Бела:нос. В.Ю.. Чернова И.М. Эффективные алгоритмы и программы вычислительной математики. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997.310 с.

Белахлов Василий Юрьевич

ДИНАМИКА НЕОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

Подписано к печати

Усл. печ. л. 1,8. Бесплатно. Заказ № 1

Тираж 120 экз.

Отпечатано в ИЗМИРАН

142092 г. Троицк Московской области

у о

'V;

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ^ТВДС ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЩНИЕ

северо-восточный комплексный научно-исследой^ельский

институт.

£

/I

На правах рукописи

УДК 5 3 3.9, 5 3 0.1

БЕЛАШОВ Василий Юрьевич

ДИНАМИКА НЕОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

01.04.03 - Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Магадан 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................5

Глава 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ

В ДЛИННОВОЛНОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ..............32

§ 1. Уравнение КП и его обобщение......................33

§ 2. Уравнение З-БМ^....................................57

Глава 2. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ

УРАВНЕНИЙ КЛАССА КП И УРАВНЕНИЯ З-ОЖ^Б . . 66

§ 1. Устойчивость решений уравнения ОКП . ...........66

§ 2. Устойчивость решений уравнения З-ОМ^..........74

Глава 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ

РЕШЕНИЙ. ...............................................78

§ 1. Основные уравнения. Постановка задачи............80

§ 2. Качественный анализ и асимптотики решений. ... 82

§ 3. Заключительные замечания............................95

Глава 4. ИДЕОЛОГИЯ И РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ

ПОДХОДОВ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ УРАВНЕНИЙ

КЛАССОВ КП И З-БМ^..................................98

§ 1. Семейства явных и неявных разностных схем ... 99

1.1. Явные схемы......................................100

1.2. Неявные схемы..................................105

§ 2. Замечания о граничных условиях и

дифракционном члене уравнений....................113

§3. Динамические спектральные методы........ 115

§ 4. Сравнительные характеристики и возможности

использования схем в численном моделировании. . 120

Глава 5. ДИНАМИКА ДВУМЕРНЫХ СОЛИТОНОВ В

ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ............. 127

§ 1. Структура двумерных решений обобщенных

уравнений КП-класса................ 128

§ 2. Взаимодействие двумерных солитонов....... 135

§ 3. Влияние диссипации на эволюцию двумерных

солитонов....................... 141

§ 4. Эволюция двумерных солитонов в диспергирующих средах со стохастическими флуктуациями волнового поля.......................... 143

4.1. Вводные замечания............... 143

4.2. Общий подход.................. 145

4.3. Динамика солитонов уравнения КП....... 148

4.4. Численные результаты............. 149

§ 5. Структура и эволюция двумерных солитонов

в средах с переменной дисперсией......... 152

Глава 6. ЭВОЛЮЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ............ 160

§ 1. Структура и эволюция трехмерных решений

уравнения ОКП.................... 160

§ 2. Структура и эволюция трехмерных решений

уравнения 3-DNLS.................. 171

§ 3. Влияние диссипации на эволюцию трехмерных

нелинейных волн................... 176

Глава 7. ПРИЛОЖЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ............. 182

§ 1. Нелинейные ионно-звуковые волны в плазме

с учетом релятивистских эффектов.......... 183

1.1. Нерелятивистское приближение......... 183

1.2. Слаборелятивисткие эффекты.......... 187

§ 2. Нелинейные эффекты при распространении

БМЗ волн (замагниченная плазма).......... 190

§ 3. Динамика уединенных нелинейных ВГВ

на высотах F-области ионосферы.......... 204

3.1. Двумерные солитоны ВГВ и перемещающиеся ионосферные возмущения электронной концентрации.................. 205

3.2. Генерация солитонов ВГВ фронтами солнечного терминатора и солнечного

затмения..................... 209

3.3. Генерация солитонов ВГВ сейсмическими источниками.................. 211

§ 4. Динамика двумерных солитонов на поверхности

«мелкой» жидкости.................. 216

4.1. Структура и эволюция двумерных солитонов гравитационных и гравитационно-капиллярных волн при изменяющемся рельефе дна................... 219

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................... 222

Приложение............................. 235

Литература.............................. 240

ВВЕДЕНИЕ

В последние три десятилетия в различных областях физики активно развивается новое направление - исследование нелинейных явлений и процессов, при этом переход от линейности к нелинейности есть вполне закономерный этап в развитии любого раздела физики, обусловленный необходимостью учета все более тонких деталей наблюдаемых явлений.

В системах, описываемых волновыми уравнениями, нелинейность, т.е. зависимость поведения волнового пакета от его амплитуды, генерируя гармоники с большими волновыми числами, усиливает диссипацию волновых пакетов. Если при этом в системе имеется дисперсия, определяемая как зависимость групповой скорости от волнового числа, то она, перемешивая фазы, подавляет этот процесс. В результате при равных затратах энергии уровень колебаний в диспергирующей среде значительно выше, чем в недиспергирующей. При этом на некоторых ветвях колебаний между нелинейными и дисперсионными эффектами может устанавливаться равновесие и возникают нелинейные волны и солитоны [1-4]. Под солитонами обычно понимают локализованные в пространстве стационарные (локально), устойчивые во взаимодействиях образования [5]. Они представляют собой фундаментальные структуры нелинейных волновых процессов с дисперсией и играют важную роль в широком спектре областей, относящихся к физике сплошных сред.

Разнообразие процессов, которые необходимо принимать во внимание при теоретическом изучении явлений в физических средах с дисперсией, приводит к тому, что даже гидродинамические модели в достаточно полной формулировке описываются сложными системами нелинейных уравнений в частных производных. В этом плане решающее влияние на развитие теории нелинейных волн оказала идея Кортевега и де Вриза, суть которой

состоит в возможности значительного упрощения исходных уравнений без потери основных особенностей описываемых ими явлений - путем сохранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.

Впервые такое упрощенное (модельное) уравнение для волн на "мелкой" воде, д(и + а идхи + Рдхи = 0, было получено Кортевегом и де Вризом в 1895 г. [6], однако сам термин "солитон" был введен лишь в 1965 г. американскими теоретиками Н.Забуски и М.Крускалом [1], которые показали, что уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ) обладает "скрытно линейными свойствами": допускает решения в виде стационарных уединенных волн -солитонов. Позже оказалось, что уравнение КдВ описывает широкий класс одномерных нелинейных физических систем с "действительной" дис-

л л

Персией, когда ю « с0кх(1 + 3 кх ) (со -фазовая скорость колебаний при | кх | —у 0, 5 - "длина" дисперсии), и помимо гидродинамики встречается в

физике плазмы, магнитогидродинамике (см., например, работы [2,3] и цитированную там литературу), теории решеток [7] и т.д., в этом смысле оно является универсальным. Если средам присущи вязкость и теплопроводность, то дисперсия является "мнимой" [о « с()кх (1 - ыкх / с0 )] и подход, предложенный Кортевегом и де Вризом, приводит к уравнению Бюргерса

-л

[8] д{и + а идхи = удхи = 0, решения которого хорошо описывают такие нестационарные процессы, как, например, образование ударных волн.

В физике плазмы, аэро- и гидродинамике несомненный интерес представляет волновая динамика неодномерных систем с нелинейностью гидродинамического типа, в которых могут существовать устойчивые стацио-

нарные структуры в виде неодномерных солитонов. Системы такого вида описываются классом уравнений

д^ + а идхи + рдхи = Ш, (В.1)

где и = функция, определяющая волновое поле; 9? = "¡К [и] - не-

который линейный функционал и. Вид правой части уравнения (В.1) определяется волновыми свойствами среды и знаком дисперсии. Например, звуковые волны в плазме со слабой дисперсией, когда волновые числа гармоник, образующих пакет, малы и удовлетворяют неравенствам

£8«1, к\»к\, (В.2) а соотношение дисперсии в линейном приближении имеет вид

ъ*с0кх[\ + к112к2х+Ь2к1), (В.З) описываются уравнением вида (В.1) с = кУ^, дхч? - V :

а, (д{у+с0 дхг - с0 5 2а> + гудху) = ±(Со / 2) д±У. (в.4)

Уравнение вида (В.4) было впервые получено в 1970 г. в работе [9] как

л

двумерное обобщение уравнения КдВ (А± = ду ) и названо по имени авторов уравнением Кадомцева-Петвиашвили (КП), позднее оно было обобще-

2 2

но на трехмерный случай (А± = ду +д2 ). Для ионного звука, например,

1 /О "*) О

когда V имеет смысл ионной скорости, Со=с5=(Тв/М) , 8 =Те/8%е п0 (М- масса иона, щ - невозмущенная электронная плотность), в правой части уравнения (В.4) стоит знак плюс (в ряде случаев для других мод дисперсия может быть положительной), такой тип волн в основном характерен для изотропных сред, но он иногда встречается и в анизотропных средах. Так, если характеристические частоты ионно-звукового волнового пакета

много больше ионной циклотронной частоты о т, то анизотропией можно пренебречь [3], если же со « шЯг, то такое пренебрежение становится недопустимым. При этом в правой части исходного уравнения движения (см. главу 1) появляется дополнительный член соЯг[ г (/ - орт оси х), а знак

второго члена в дисперсионном уравнении (В.З) меняется на минус. В этом случае тоже будем иметь уравнение класса (В.1), но с Л = к Д± дхи, известное как уравнение Захарова - Кузнецова [10].

В замагниченной плазме с >>&жпТ в области частот со«соя/ возбуждаются быстрые магнитозвуковые (БМЗ) волны, для которых, с учетом с{) = уа = Я0(4%пМ) 1/2, закон дисперсии также сводится к соотношению (В.З) и уравнение для безразмерной амплитуды поля Н = / Н0 -магнитное поле волны) также может быть записано в форме уравнения (В.4), которое после перехода в систему координат, движущуюся вдоль оси х с альфвеновской скоростью уа , примет вид [3,11]

х

д^г + \уа бш0 НдхИ- уа 8 2дхк = А±Л сЬс , (В.5)

—00

где 0 - угол между магнитным полем Н0 и кх, а

2

62= "

2ю0г.

' 2л ^

соге —

V М)

(В.6)

здесь т - масса электрона.

Для гравитационно-капиллярных волн на мелкой воде также будет справедливо уравнение вида (В.1) с = -(с0 / 2)У_1и'; а = Зс0/2Я;

Р = - с05 , где с0 = ^Н) (Н - глубина жидкости):

За Л

НА

(В.7)

а - коэффициент поверхностного натяжения; р - плотность жидкости. Обобщая уравнения (В.4), (В.5), с учетом перехода в (В.4) в систему координат, движущуюся вдоль оси х со скоростью Со, запишем уравнение КП в стандартной форме:

дх(д{и + аидхи + $дх3г^ - кА±и, (В.8)

при этом знак отношения Р / к будет определять вид дисперсии. Как видим, уравнение КП (В.8) обладает той же степенью универсальности, что и уравнение КдВ, т.е. справедливо для тех физических систем, в которых закон дисперсии в линейном приближении определяется соотношением (В.З).

Трудность аналитического решения таких задач состоит в необходимости выбора эффективной последовательности приемов при построении приближенных решений нелинейных систем, асимптотических по малому параметру. Применение метода теории возмущений сильно затруднено в неодномерном случае, так как при этом вследствие нелинейных резонан-сов, неустойчивостей, накапливающихся эффектов увеличиваются возможности возникновения сингулярностей в системе [12], что проявляется уже и в одномерных системах. Открытие Гарднером, Грином, Крускалом и Миу-рой в 1967 г. метода обратной задачи рассеяния (ОЗР) для уравнения КдВ [13] и последующее развитие этих идей (здесь особо отметим ставшую уже классической статью В.Е.Захарова и Л.Д.Фаддеева [14], а также работы [4,15-17], в которых рассматриваются неодномерные обобщения метода ОЗР) привело к бурному развитию теории нелинейных волн. В частности,

л

была доказана полная интегрируемость уравнения КП (В.8) при А± = ду [18,19], с помощью "метода одевания" [4,19,20] построено для р/к > 0 его точное двумерное солитонное решение (впервые найденное В.И.Петвиа-

швили численно в работе [21]), которое при а = -6, р = -1, к = -3 имеет вид

u(t,x,

2

Впт = Ьпт(х - КУ -\п- + (1 - ъпт)-, (В.9)

V ' V — V

уп ш

Ък+1=Ъ1*> п,т = 1,...,2К; 1 = 1,...,К

( уп , определяют амплитуды, фазы, векторы скорости и другие параметры солитонов), и найдены инварианты [4]

3] = Дм скс1у, 32 = Р = Ци2с£)сс1у,

З3 =Ж= \\}±$(дхи)2+\км>2-иъ (Лхйу, дхм> = дуи (В. 10)

связан с дивергентностью уравнения КП; 32 является следствием его трансляционной инвариантности и играет роль импульса Р, гамильтониан Ж имеет смысл энергии).

Значительный прогресс был достигнут и для ряда других точно интегрируемых моделей. В контексте рассматриваемой в диссертации проблематики наибольший интерес среди них представляет нелинейное нестационарное уравнение Шредингера с производной нелинейного члена -уравнение ЬБЖ^1 [22, 23]

idth + ¿у5х(| h |2/jj + kd2xh = 0, (В. 11)

которое описывает в области частот © « эволюцию нелинейных альфвеновских волн конечной амплитуды, распространяющихся в замаг-

1 В работе [23], где это уравнение изучалось в одномерном приближении, оно было названо "derivative nonlinear Schrodinger equation" - уравнение DNLS, этим обозначением, как уже устоявшимся в мировой литературе, с указанием пространственной размерности задачи мы и будем пользоваться в дальнейшем.

ниченнои плазме вдоль силовых линии магнитного поля с отношением кил

нетического давления к магнитному р = 4шТ / В . Здесь безразмерная функция к (х, ?) = {Ву + гВ2) / 2В011 - р [ описывает волну правой круговой поляризации, когда А, = 1, Во определяется из соотношения В0=В0х,

5 = (1 - р). Замена к' = -як* при смене знака дисперсии на обратный (X = -1) позволяет перейти к левополяризованной волне. Отметим, что уравнение (В. 11) получено из полной системы уравнений одножидкостной магнитной гидродинамики путем перехода в них к безразмерным переменным £ -»/ 2, х -» л: / гА, г± —> г±л/2 / гА, гА =уа /в системе координат, перемещающейся в положительном направлении оси х с альфве-новской скоростью с учетом дх = ду = 0.

Уравнение 1 является полностью интегрируемым, имеет беско-

нечную последовательность законов сохранения и может быть решено аналитически методом ОЗР [24]. В работе [23] эволюция альфвеновских волн в модели (В. 11) изучалась в терминах знака первого интеграла движения уравнения 1-0№Д Ж/ 2, где гамильтониан

Г00 |\ , 14

Ж = Нг| к I -И'кдх(р (к, ф = а^(/г).

При этом было установлено, что эволюция волны может приводить либо к ее рассеянию, либо к формированию одномерного альфвеновского солито-на, что определяется знаком Ж. С физической точки зрения это означает, что могут иметь место два типа нелинейной волновой динамики [23]: мо-дуляционно устойчивый случай, когда Ж > 0 и начальный импульс, теряя свою структуру, расплывается; и модуляционно неустойчивый случай (Ж< 0), когда эволюция модуляционной неустойчивости заканчивается формированием одномерного солитона [22]

h = (A / 2)1/2 [exp {-Ax) + i exp (Ax)]exp (~iA2t)cosh-2(2Ax), (B.12)

где A - амплитуда.

Уравнение (В. 11), аналогично уравнению КдВ, может быть обобщено на неодномерный случай. Так, в работах [25-27] было получено трехмерное обобщение уравнения DNLS в виде системы связанных уравнений

д

dth* +dx{^h\2h±}±id2xh± = + /г), (В.13)

где к+ = кх ± Шу ив случае отрицательной дисперсии численно получены

его решения в виде одномерных солитонов, численное исследование двумерных решений не проводилось. Точные же двумерные солитонные решения системы (В.13) могут быть, в принципе, получены методом ОЗР, аналогично случаю уравнения КП, для этого необходимо строить соответствующие Ь-А - пары Лакса [4].

Успехи теоретического изучения нелинейных физических систем, имеющих солитонные решения, стимулировали экспериментальные исследования в области физики нелинейных волн (отметим лабораторные и космические эксперименты по изучению возбуждения, эволюции и динамики взаимодействия ионно-звуковых и альфвеновских солитонов, а также структуры ударных волн в плазме [28-39]), моделирование динамики солитонов в электрических линиях [40,41], эксперименты с поверхностными и внутренними волнами во вращающихся сосудах и гидролотках [42,43] и т.д. Это, в свою очередь, поставило новые вопросы и выявило актуальность теоретического изучения таких проблем, как устойчивость неодномерных солитонов, динамика их взаимодействия, нелинейные резонансы и образование связанных состояний, учет эффектов, определяемых введением в уравнения класса (В.1) малых поправок, влияние диссипации на структуру

и эволюцию неодномерных и нелинейных волн и солитонов, эффекты самовоздействия (коллапс, самофокусировка) и т.д.

л

В работах [9,44-46] для частных случаев уравнения (В.8) с А± = ду,

соответствующих конкретным значениям коэффициентов, а в работе [47] для произвольных а, |3 и к было показано, что при отрицательной дисперсии (р/к<0) одномерные солитоны устойчивы, а при положительной (Р/к >0) неустойчивы относительно раскачки бесконечно малых возмущений. При этом в работе [9] был исследован случай очень малых к с помощью метода Крылова-Боголюбова; в работе [44] в правую часть уравнения добавлялся член дууххи и задача решалась методом варьирования действия с лагранжианом, проинтегрированным по х, и пробными функциями солитоноподобной формы; в работе [45] был использован метод ОЗР, а в [46] - метод функционала Ляпунова. В работе [47] исследование проводилось численно. Было показано, что при Р / к < 0 возмущение легко переходит из солитона в среду и расплывается во все стороны, при Р / к > 0 оно не может выйти из солитона. В области локализации возмущения скорость перемещения солитона отлична от скорости невозмущенного солитона, последнее с учетом отсутствия расплывания приводит к нарастанию возмущения.

Для двумерных и трехмерных солитоно�