Динамика тёмной матери в центрах галактик тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 531.3

□030Б730В 1

Васильев Евгений Александрович

Динамика тёмной материи

в центрах галактик

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

003067308

Работа выполнена в Отделении теоретической физики им. И.Е.Тамма Физического института им. П.Н.Лебедева РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

Зельников Максим Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Лукаш Владимир Николаевич (Асгрокосмический центр ФИАН)

Защита диссертации состоится 29 января 2007 г в 12 часов на заседании Диссертаг,ионного совета Д002.023.02 в Физическом институте им. П.Н.Лебедевг, РАН по адресу: 119991, Москва, Ленинский пр. 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического института им. П.Н.Лебедеве!, РАН.

Автореферат разослан « » декабря 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук Поляченко Евгений Валерьевич (Институт астрономии РАН

Ведущая организация: Институт теоретической и экспериментальной

физики им. А.И.Алиханова

д.ф.-м.н.

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы

По современным представлениям, ббльшую часть материи во Вселенной составляет тёмная материя. Её вкл ад в полную плотность энергии во Вселенной оценивается в 23%, в то время как вклад обычной (барионной) материи составляет не более 5% (остальное приходится на долю так называемой тёмной энергии). Наиболее вероятными кандидатами на роль тёмной материи являются ещё не открытыз элементарные частицы, предсказываемые раз личными теориями фундаментальных взаимодействий, - например, нейтралино, возникающие в суперсимметричных обобщениях Стандартной модели. С астрофизической точки зрения тёмная материя характеризуется тем, что взаимодействует с барионным веществом только гравитационно, и, как следствие этого, определяет формирование крупномасштабной структуры Вселенной на ранних стадиях её развития. Первичные неоднородности плотности веществе!, приводят к образованию гравитационно связанных объектов - гало тёмной материи, в которых впоследствии зарождаются галактики и скопления галактик. Теоретические исследования и компьютерное моделирование показывают, что первоначальная структура гало имеет некоторый достаточно универсальный вид, с профилем плотности р ос г-7 при малых расстояниях от центра объекта; 1 < 7 < 2. Впрочем, единой теоретической модели образования гало в настоящий момент ещё нет, равно как и нет полного согласия в наблюдательных методах исследования профиля плотности в центральных областях гало. Одним из методов изучения распределения тёмной материи в центрах галактик могла бы быть регистрация излучения от аннигиляции тёмной материи. Его интенсивность зависит как от пока неизвестных параметров частиц тёмной материи - массы и сечения аннигиляции, - так и от распределения плотности тёмной материи в пространстве, главным образом, вблизи центра галактики, где её плотность максимальна. Таким образом, актуальной задачей является изучение распределения и эволюции тёмной материи в центрах галактик.

Вопрос об образовании гало изучался достаточно подробно, а дальнейшая эволюция тёмной материи в центральных областях гало изучена гораздо меньше. Первым из эффектов, влияющих на эволюцию, является реакция гало на барионное сжатие, сопутствующее образованию галакти-

ки. Поскольку обычное (барионное) вещгство, охлаждаясь, конденсируется к центру гало и преобладает по массе во внутренних частях галактики, то тёмная материя соответственно реагирует на это изменение гравитационного потенциала. Простейшая модель для расчёта барионного сжатия, предложенная в [1], опирается на упрощающее предположение о круговых орбитах частиц, которое не выполняется для реальных гало. Тем не менее, часто пользуются именно этим методом, что, как показано в данной работе, приводит к завышенным значениям степени сжатия гало. Учёт распределения частиц по угловым моментам пэзволяет более строго рассчитать процесс барионного сжатия.

Дальнейшая эволюция тёмной материи в ядре галактики (балдже) определяется гравитационным рассеянием н,1 звёздах, аналогичным кулонов-скому рассеянию в плазме. Из-за того, что сечение гравитационного рассеяния мало, и, соответственно, длина свободного пробега велика по сравнению с размерами системы, процесс можно описывать с помощью кинетического уравнения (уравнения Фоккера-Планка, т.е. диффузии). Поскольку масса частицы пренебрежимо мала по сравнению с массой звезды, установление термодинамического равновесия, в сущности, невозможно, и взаимодействие со звёздами должно приводить к неограниченному нагреву тёмной материи.

Как известно, в центрах галактик находятся сверхмассивные чёрные дыры с массами Мьи ~ 10е 4- 109М© (где М© - масса Солнца). Чёрная дыра поглощает звёзды и частицы тёмной материи с малыми угловыми моментами Ь (меньшими критического значения Ьд = 2сгд = 4С7Мь/,/е) в течение одного орбитального периода. Однако, при отсутствии гравитационного рассеяния, доля таких частиц в полном распределении мала. При учёте же рассеяния ситуация существенным образом меняется. Диффузия по угловому моменту приводит к появлению потока частиц тёмной материи на чёрную дыру и возникновению а изотропии функции распределения. Вместе с диффузией по энергии и аннигиляцией частиц это приводит к уменьшению плотности тёмной матери л в центральной области галактики.

Эволюция распределения звёзд в окрестности массивной чёрной дыры рассматривалась во многих работах, в частности, в [2, 3]. Методы, развитые в этих работах, применялись и к тёмной материи в центре галактики (например, [4, 5, 6]). Однако, до настоя дего времени не было проведено

достаточно полного исследования этого вопроса с одновременным учётом различных факторов и для различных моделей начального строения гало тёмной материи. Это и являлось предметом исследования в данной работе.

1.2 Цель работы

Целью работы является построение развёрнутой картины эволюции тёмной материи в центральных областях ],алактик, в частности:

1. Исследование реакции гало на барионное сжатие, происходящее при образовании галактики.

2. Вычисление коэффициентов кинетического уравнения, описывающего эволюцию тёмной материи, в различных пространственных областях, и определение граничных условий, связанных с наличием чёрной дыры.

3. Аналитическое рассмотрение; одномерных пределов кинетического уравнения: диффузии по угловому моменту и связанного с ней поглощения частиц чёрной дырой, и диффузии по энергии, приводящей к нагреву частиц.

4. Численное интегрирование двумерного уравнения диффузии и выяснение качественных отличай его от одномерных пределов. Определение относительного влияния различных факторов и обычно используемых упрощающих предположений на эволюцию распределения тёмной материи. Расчёт изменения профиля плотности тёмной материи, определяющего аннигиляционный сигнал.

1.3 Научная новизна работы

Проведён аналитический расчёт барионного сжатия для достаточно широкого класса моделей начального строения гало, включающего аналитические модели и эмпирические профили, полученные при численном модели-ровгюии.

Вычислены коэффициенты диеэфузии для различных пространственных областей. Показано, что они зависят от величины углового момента.

Впервые проведено детальное исследование двумерного уравнения диффузии для тёмной материи с учётом поглощения чёрной дырой и потерь на

аннигиляцию, для широкой пространственной области. Выяснена относительная роль различных процессов и допустимость пренебрежения разными эффектами; проведены сравнения с результатами других работ, выполненных при некоторых упрощающих предположениях. Определены также качественные сходства и различия в эволюции для разных исходных моделей.

1.4 Практическая ценность работы

Методы, используемые в работе, позволяют исследовать эволюцию тёмной материи для широкого класса начальной структуры гало. Рассчитаны величины, связанные с распределением плотности тёмной материи, которые могут использоваться для выяснения ограничений на массу и сечение аннигиляции частиц при регистрации аннигиляционного излучения из центра нашей и других галактик.

1.5 Апробация работы

Результаты работы опубликованы в 4-х статьях, а также неоднокрел-но докладывались на семинарах Отделения теоретической физики ФИ АН, Астрокосмического центра ФИАН, Института теоретической и экспериментальной физики, Астрономического института и на трёх конференциях:

1. 3-я международная конференция «Проблемы теоретической и наблюдательной космологии»; Ульяновск, сентябрь 2003.

2. Конференция стипендиатов фонда им. Ландау, Москва, Институт физических проблем им. П.Л.Капицы; июнь 2004.

3. Международная конференция по теоретической физике «ТБ70», Москва, Физический Институт им. П.Н.Лебедева РАН; апрель 2005.

1.6 Публикации и личный вклад автора

По теме диссертации опубликовано 4 работы в реферируемых российских и международных журналах, список которых приведён в конце автореферата. Все основные результаты диссертации получены автором лично.

1.7 Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 100 страниц, 21 рисунок, о таблицы; список цитируемой литературы содержит 95 наименований.

2 Краткое содержание работы

Во введении описывается область исследований, задали, поставленные в работе; приводится краткое её содержание. Также приводится таблица обозначений, используемых в тексте.

Первая глава носит обзорный характер. В разделе 1.1 описано современное состояние дел в области изучения структуры гало тёмной материи. Существуют два основных метода исследования - аналитическое рассмотрение коллапса начального возмущения плотности [7], сделанное при некоторых упрощающих предположениях, и численное моделирование крупномасштабной структуры Вселенной методами задачи N тел и/или гидродинамики, при котором образующиеся объекты характеризуются достаточно универсальным распределением плотности (наиболее широко используются профили NFW [8] и Moore [9]). Соответственно, в наших расчётах мы используем два класса моделей (А и Б), отвечающих соответственно аналитическим моделям и эмпирическим моделям численных исследований. Кроме того, описаны полуэмпирические подходы к построению равновесных конфигураций на основе решения уравнения Джинса [10], которые приводят к ря,ду соотношений между параметрами гало (наклон профиля плотности, показатель анизотропии и т.д.) [11]. Данные соотношения впоследствии проверяются для используемых нами моделей в главе 2.

В разделе 1.2 рассказывается о барионном сжатии - процессе, происходящем при образовании галактики внутри гало тёмной материи. Обычное (барионное) вещество, охлаждаясь, падает в потенциальную яму, созданную тёмной магерьей, и концентрируется в центре гало, преобладая по массе над тёмной материей. Соответственно меняется и гравитационный потенциал в центральных областях, и вследствие этого плотность тёмной материи также увеличивается - это и называется барионным, или адиабатическим сжатием. Его учёт необходим для всех расчётов, связанных с профилем плот гости тёмной материи в центре галактики, однако это делается далеко не во всех работах. Если же сжатие учитывается, то, как

правило, расчёт происходит по методу Блюменталя [1], в котором предполагается только сохранение углового момента. Этот метод строго применим только к частицам на круговых орбитах. Некоторыми авторами были предложены эмпирические способы усовершенствования этого алгоритма для случая произвольного анизотропного распределения (см., например, [12]), которые показывают, что для реальных распределений степень сжатия оказывается меньше, чем предсказывается по методу Блюменталя.

В разделе 1.3 приводятся данные по строению ядра галактики - бал-джа, и сведения о сверхмассивных чёрных дырах. Профиль плотности звёзд в балдже принят степенньш с показателем степени близким к -2. Чёрная дыра определяет гравитационный потенциал в области г < гд, масса звёзд в которой равна удвоенной массе чёрной дыры. Для нашей Галактики радиус области влияния чёрной дыры г/, в настоящее время равен 2 пс.

В разделе 1.4 сделан обзор литературы, посвящённой эволюции распределения звёзд и тёмной материи в окрестности массивной чёрной дыры. Задача о стационарном распределении ззёзд в окрестности чёрной дыры рассматривалась в [2, 3]. Было показано, '-то функция распределения имеет вид / а Е1/41п Я/Яд, где К - нормированный на единицу квадрат углового момента (см. ниже (2)), а плотность - р ос г-7/4. Для тёмной материи те же рассуждения приводят к профилю плотности р ос г-3/2 [4], однако при этом, во-первых, игнорируется зависимость функции распределения от углового момента, и во-вторых, предполагается стационарность функции, что на самом деле недостижимо. Более корректный подход принят в работе [5], где рассматривается эволюционная задача, связанная с диффузией по угловому моменту, однако игнорируется диффузия по энергии. В работе [6], напротив, изучается диффузия по энергии с эмпирическим учётом диффузии по моменту, но коэффициент диффузии берётся в усреднённой форме. Кроме того, в этих работах рассматривался довольно ограниченный набор начальных распределений тёмной материи. Таким образом, необходимо более полное исследование вопроса об эволюции тёмной материи, что и сделано в 3 и 4 главах данной работы.

Вторая глава посвящена выбору и обоснованию исходных данных -моделей строения гало и распределения звёзд в ядре галактики (балдже), и рассмотрению барионного сжатия. Глава состоит из двух разделов.

В разделе 2.1 введены две модели начального строения гало тёмной

материи (А и Б), основанные на аналитических теориях и результатах численного моделирования соответственно. Поскольку нас интересуют центральные области гало, на расстояниях г от центра, существенно меньших вириального радиуса, то мы берём профиль плотности в степенном виде: р ос г-7«', 1 < 7d < 2. (В модели А 7^ « 1.7, в модели Б профилю NFW соотвествует -fd — 1, Moore - 7</ = 1.5). Мы рассматриваем задачу в сферически-симметричном случае, при этом функция распределения зависит только от энергии и углового момента, и оказывается также степенной функцией от энергии.

Для дальнейших расчётов удобно функцию распределения записывать в переменных радиальное действие; I - угловой момент L. Радиальное действие определяется как I — ^ §v-dr, где vr - радиальная скорость. Оно имеет то преимущество перед энергией, что при медленном изменении потенциала величина I является адиабатическим инвариантом.

Различие между моделями А и Б заключается в зависимости функции f(E,L) от момента L. В модели А это ¿-образная зависимость: / ос Ö(L7 — Iii2), в модели Б - степенная: / ос L-2/3. Полезным параметром, характеризующим функцию распределения, является показатель анизотропии скоростей Бинни: ß = 1 — где 07 и cj - дисперсии скоростей в радиальном и тангенциальном направле нии соответственно. При этом 0 < ß < 1 соответствует радиальной анизотропии скоростей, ß < 0 - тангенциальной, а /3 = 0 - изотропному случаю. В модели Б показатель анизотропии равен в точности величине ß в показателе степени при угловом моменте. В модели А его можно выразить через jd и ¿о, что и сделано в этом разделе. Получена зависимость между Iq, 7,г и ß, аналогичная по виду той, которая приводится в [11], но с другими коэффициентами.

Также в этом разделе вычислены параметры движения частиц для различных форм гравитационного потенциала, и приведены выражения для функции распределения звёзд в балдже.

В разделе 2.2 проводится растет барионного сжатия для выбранных моделей начального строения гало. Мы можем непосредственно рассчитать профиль плотности гало после сжатия, так как функция распределения записана в переменных I, L, являющихся инвариантами при медленном сферически симметричном изменении гравитационного потенциала. Потенциал после образования галактики, создаваемый барионной материей, разумно представить в степеннбм виде (Ф(г) ос г2-76), соответствующем степен-

Рис. 1: Увеличение массы тёмной материи в пределах балд;ка (г $ 1 кпс). tj = : жирная линия - по методу Блюменталя, сплошные линии -

слева: модель А с io = 0.1, 0.3 и 0.5, справа: модель Б с /? — 0, 0.25 и 0.5. Профиль плотности звёзд в балдже взят степенным с показателем 7& = 1.8.

ному профилю плотности барионов рь ос г-7'. При этом профиль плотности тёмной материи после сжатия также будет степенным: р' ос г~Ул, причём 7'd = (3jb + 7d — 7f>7d)/(4 - 7d)- Отзывается, что njin точком расчёте степень сжатия, т.е. нормировка плотности, оказывается меньше, чем рассчитанная по методу Блюменталя (см. рис. 1). Разница тем существеннее, чем более радиально анизотропны скорости (больше /?) и чем более «плоский» начальный профиль плотности (меньше 7Это согласуется с результатами других авторов [12, 13]. Для нашей Галактики проведён расчёт изменения общей массы тёмной материи в пределах бапджа (условно - области радиусом 1 кпс). Оказывается, что её количество увеличивается в 1.5 -г 4 раза, е. зависимости от модели, но в любом случае остаётся в несколько раз меньше, чем масса барионной материи.

Также рассчитан новый показатель анизотропии /?' после сжатия. В модели А /?' > /?, в модели Б - незначительно меньше, то есть его изменение зависит от принятой модели.

Основная часть диссертации посвящена рассмотрению динамической эволюции тёмной материи в центре Галактики под воздействием грави-

тационного рассеяния на звёздах, поглощения чёрной дырой и аннигиляции. В третьей главе даётся постановка задачи, выписано кинетическое уравнение, вычислены его коэффициенты, начальные у граничные условия. Глава состоит из четырёх разделов.

В разделе 3.1 выписано уравнение Фоккера-Планка в орбитально-ус-реднённой форме, описывающее эволюцию распределен!! я тёмной материи. Оно может быть представлено в различных переменных, в данной работе в качестве основных переменных взяты безразмерные величины Q и R.

9f{Q,R,t) д / df df\ д ( д) 9f\

—di— - dQ {VQQdQ+VQRdR) + Ш \VqrFQ +VrrM) (1)

r-JL о_ШШ

К~ЩЕ)' Ч~ 3(«гп)з [)

Здесь LC\E) - угловой момент круговой орбиты, максимапьный для данной энергии, J(E) - радиальное действие для радиальной орбиты (с нулевым угловым моментом) с данной энергией. R - нормированный квадрат углового момента, Q(E) - величина, зависящая только от энергии, выбранная таким образом, чтобы якобиан в уравнении был равен константе. (В связи с выбором безразмерных переменных эта константа имеет размерность L3 и равна (oti)3, где а - дисперсия скоростей звёзд в балдже, которая одновременно определяет и гравитационный потенциал, an - нормировочный радиус, взятый равным радиусу области влияния чёрной дыры в настоящий момент). Такой выбор переменных удобен для описания одновременно области влияния чёрной дыры и остального балджа: пеэвая соответствует 0 < Q ^ Qh, вторая - Q > Qh', Qh ~ 0.1. Приведены выражения для различных величин в терминах Q и R, а также для Q, R в различных пространственных областях.

В разделе 3.2 вычислены коэффициенты диффузии Т>tJ в уравнении (1), отдельно для балджа и области влияния чёрной дыры (кулоновской области). Локальные коэффициенты, зависящие от точки, вычислены в [5]; интересующие пас величины получаются усреднением их по орбите частицы и приведением к нужным переменным. Оказывается, что коэффициент дифсЬузии по энергии "Dqq довольно сильно зависит от R, а именно, "Dqq ос Д-(о.43чо.5)_ дт0 обстоятельство не учитывалось и предыдущих работах, где он бр алея в усреднённом по R виде. Коэффиц* енты для балджа и центральной области совпадают при Q ~ Qh- Коэффициент Vrr при малых R примерно равен T>R,V = const.

В разделе 3.3 рассматривается граничное условие, обусловленное наличием чёрной дыры. Чёрная дыра поглощает частицы с моментами, меньшими критического, или с Я < Яд, в течение одного орбитального периода (при пролёте перицентра). На первый взгляд, это соответствует граничному условию /(Я) = 0|л=я , но на самом деле ситуация оказывается сложнее. Введём величину АЯ = \/2РдяТ, где Т - орбитальный период. АЯ представляет собой среднеквадратическое изменение Е за один период. Ясно, что если АЯ Яэ, то за счёт диффузии частицы будут довольно быстро заполнять область Я < Яд, называемую конусом потерь. Поэтому усреднённое по орбите ¡значение }а = f(Rg) будет отлично от нуля. Граничное условие пр л Я — Яд можно записать в виде

Л ~ otRg

Ё1 8R

= 0 , (3)

я=я„

где а « 1 соответствует пустому конусу потерь (поглощающей границе), аа>1- полному Получена связь между величинами Q, с и q = VT/Rg. При малых Q период частицы мал, и справедливо приближение поглощающей границы; при больших - наоборот. Величина Q, при которой <7 = 1, называется критической энергией Qcr [3]. Для нашей Галактики оказывается, что Qcr < Qh, т.е. критическое значение лежит в кулоновской области.

Наконец, в разделе 3.4 начальная функция распределения представлена в переменные Q, Я. Для дальнейших количественных расчётов принято четыре модели строения гало: одна из семейства А, с 7d ¡у 1.7 и 10 = 0.1, изучавшаяся в [5], и три из семейства Б: изотропный (ß = 0, Б1) и радиально анизотропный (ß = 0.5, Б2) профили Moore (7d = 1.5) и изотропный профиль NFW (7^ = 1, БЗ). Вычислены нормировки функции распределения, отвечающие плотности тёмной материи /?© = 0.3 ГэВ/см3 на расстоянии 8 кг с от центра Галактики [6].

Четвёртая глава посвящена решению диффузионного уравнения (1) и обсуждению результатов. Вначале анализируются одномерные пределы - диффузия по угловому моменту и по энергии, что позволяет выявить основные качественные особенности явления. Затем решается полное двумерное уравнение для различных расчётных вариантов, описываются отличия двумерного решения от одномерных приближений, обе) ждаетзя сходство и отличия вариантов, обусловленные учётом тех или иных факторов и различием начальных условий. Также анализируется возможность детек-

тирования излучения от аннигиляции тёмной материи.

В разделе 4.1 рассматриваемся одномерная диффузия по угловому моменту. Коэффициент диффузии Т>цц имеет одинаковую зависимость от Л для всех <3, то есть достаточно рассмотреть одномерную задачу при некотором значении С} и произвольно заданной величине д в граничном условии. Получить аналитическое решение через функцию Грина оказывается затруднительным, но существует довольно простое рассуждение, позволяющее найти приближённый вид функции распределения и величину потока на чёрную дыру. Как было сказано выше, Рдл « ТЖ вблизи границы поглощения, а следовательно, решение, отвечающее постоянному потоку 5 частиц в направлении г^алых Я, будет иметь логарифмический вид при малых Я:

Поток при этом равен й = 1)/9/а. Если произвести сшивку такого решения с начальной функцией распределения и записать уравнение для изменения числа частиц, то получим обыкновенное дифференциальное уравнение, которое позволяет довольно точно описать зависимость потока 5 от времени и приближённо найти вид функции распределения. Эволюция делится на два этапа: при Ь < То = Т>~1 происходит установление квазистационарного логарифмического профиля для всех Я, а при ббльших временах /(Л) сохраняет логарифмическую форму, экспоненциально уменьшаясь по амплитуде. Важно, что характерное время уменьшения амплитуды составляет Т)~1 х (а + 1п(1 /Ед) — 1), т.е. существенно больше То даже при малых а. Остаётся отметить, что То в области влияния чёрной дыры не зависит от С] и по порядку величины равно 2 • 109 лет, т.е. меньше времени существования Галактики, принятого равным Ю10 лет. В области балджа То увеличивается пропорционально

В разделе 4.2 изучается одномерная диффузия по т.е. по энергии. Коэффициент диффузии Рдф ос ф4/3 в области балджа и ос <32 в куло-новской области. Начальное же условие имеет вид /(<?) ос п и 2/3. Ясно, что решение будет обладать тем свойством, что средняя энергия частиц увеличивается, т.е. <5 растзт. Физический смысл этого в том, что при стремлении к термодинамическому равновесию и равнораспределению энергии между частицами и звёздами первые, из-за своей пренебрежимо малой массы, неограниченно увели -швают энергию на единицу массы. Под-

(4)

черкнём принципиальное отличие этого эффекта в применении к звёздам - для звёзд в уравнение (1) входит член первого порядка, отвечающий за динамическое трение. В равновесном состоянии он уравновешивается диффузионным членом. В то же время для частиц тёмной материи динамическое трение отсутствует из-за их ничтожной массы. Решение одномерного уравнения для области балджа имеет вид

То есть в области Q <Qd функция распределения «размазалась» в плато, амплитуда которого уменьшается со временем, а при бблыних Q влияние диффузии ещё не почувствовалось; граница между этими областями Qd увеличивается со временем. Временнйя шкала для диффузии по энергии в области Q <Q\ одного порядка с характерным временем диффузии по угловому моменту для Q — Q i, то есть эти два процесса происходят параллельно и никаким из них пренебречь нельзя. Для кулоновской области эффект аналогичен, но уменьшение функции происходит с одним и тем же характерным временем во всей этой области, также как и в случае диффузии по моменту.

Кроме того, поскольку T>qq увеличивается при уменьшении R, то соответственно уменьшается и временная шкала для диффузии по энергии.

Таким образом, мы видим, что процесс диффузии достаточно сложен: диффузия по угловому моменту приводит к потоку частиц в область малых R и поглощении их чёрной дырой.'В то жи время при малых R гораздо быстрее происходит диффузия по энергии, т.е. «выметание» частиц в область больших Q. Это, в частности, приводит к уменьшению потока на чёрную дыру, так как при бблыпих Q граничное условие приобретает вид полного конуса потерь, при котором градиент функции распределения вблизи границы поглощения мал, и соответственно уменьшается темп поглощения.

Для количественного описания процесса необходимо интегрирование полного двумерного уравнения диффузии, что и сделано в разделе 4.3.

Задача решалась с помощью численного интегрирования конечно-разностного аналога уравнения (1) для значений параметров, соответствующих нашей Галактике. В качестве начального условия брались четыре модели, перечисленные в разделе 3.4. Kpove того, для модели Б1 (изотропный профиль Moore) были произведены несколько расчётов с различными факторами: при пренебрежении диффузией по энергии (как было сделано

(5)

№ модель, особенности Mxnit Mcapt (Mcapt) Mevap Mann

1 Б1 Mbh — const 1.2 10е 1.3 105 (7 • 10") 4.7 105 —

2 Б1 vQQ = / 1.2 106 2.8 105 (2 • 105) — —

3 Б1 -"-, vQQ 1.2 10е 1.4 10° (7.3 • 104) 4.8 105

не зависит от R

4 Б1 Mbh ос \Д 1.2 10е 5.3 10" (2 • 10") 5.4 105 —

5 Б2 Mbh = const, 6.1 108 1.0 10s (4.4 • 104) 1.9 105

рад.анизотропия

6 БЗ 2.6 10* 2.7 104 (1.3-104) 9.6 104 —

7 AI 2.1 10® 5.6 10s (2.3 • 10s) 4.1 105 —

8 Б1 -"-, аннигиляция 1.2 10б 1.1 105 (5.6 • 104) 4.5 10s 3.7-104

9 БЗ -"-, аннигиляция 2.6 1Э5 2.5 104 (1-.2 • 104) 9.5 104 2.6-103

Таблица 1: Варианты расчёта и основные результаты (на момент времени t = Ю10 лет).

Mtn,t - начальная масса тёмной материи в пределах г ^ г/, = 2 пс (в Mq)\ Mcapt - масса тёмной материи, поглощённой чёрной дырой (в скобках - из области Г < Г/,);

Mevap - масса частиц, покинувших область г < гн за счёт испарения (диффузии по энергии);

Mann - масса аннигилировавших частиц.

Все варианты, кроме 4, предполагают постоянную массу чёрной дыры (Мьь. = 3 • 106Mq), вариант 4 - растущую пропорционально \Д от затравочной массы 3 • 104Mq до 3 • 10®Mq. Последние два варианта учитывают аннигиляцию частиц.

в работе [5]), при использовании усреднённого по моментам коэффициента диффузии по энергии (как делается в работах других авторов, в частности, в [6]), при меняющейся во времени массе чёрной дыры (М(,/, ос \Д, в остальных расчётах принималась постоянная масса чёрной дыры, равная текущему значению 3 • 106М©). Также для моделей Б1 и БЗ (изотропный профиль NFW) были произведены расчёты с учётом аннигиляции частиц. Всего было рассчитано 9 вариантов с целью анализа относительной роли различных факторов при неизменном начальном условии и для выяснения общих и различных черт для разных начальных условий (таблица 1).

Были построены профили плотности тёмной материи в зависимости от времени для каждого из вариантоз, зависимость потока на чёрную дыру от величины Q и интегрального потока со всех Q от времени; определено изменение массы тёмной материи i. центральной области отдельно за счёт

поглощения, нагрева и аннигиляции. Результаты анализа таковы:

• Плотность тёмной материи в центральной области (г < г/, = 2 пс) существенно уменьшается, профиль плотности становится более пологим (на достаточно большом участке р ос г-^1 5_5"2)) при начальном показателе степени —2.34-2.4), при совсем малых радиусах (г < ]0~5 пс) плотность вы гадит на плато (рис. 2).

• Масса тёмной материи в центральной области уменьшается приблизительно вдвое, причём ббльшая часть этого изменения обусловлена нагревом частиц и их «выметанием» в область больших энергий. Чёрная дыра поглощает порядка 10% от начальной массы тёмной материи в пределг,х 2 пс, т.е. порядка (3 4-12) • Ю4М0, в зависимэсти от модели.

• Различия между вариантами существенны при ( < То ~ 2 • ] О9 лет; при ббльших временах релаксация в центральной области стирает отличия между начальными функциями распределения, и дальнейшая эволюция происходит сходным образом. В частности, поток на чёрную дыру начинает быстро уменьшаться (рис. 3). При этом, если масса чёрной дыры вначале была мала, то соответственно меньше было и время релаксации, в связи с чем в варианте' с меняющейся во времени массой чёрной дыры полная поглощённая масса оказывается меньше, а испарённая - больше. (Ещё раз отметим, что рост чёрной дыры принимается за счёт внешних факторов, т.к. поглощение только тёмной материи не обеспечивает необходимого роста массы).

• При пренебрежении диффузией по энергии общая поглощённая масса оказывается вдвое больше, но из-за отсутствия испгфения количество тёмной материи в центре уменьшается гораздо медленнее. То есть такое пренебрежение представляется неоправданным. При использовании усреднённого по моментам коэффициента диффуз т по энергии картина эволюции также отличается, но в меньшей степени.

• Если сечение аннигиляции тёмной материи достаточно велико, то оно определяет максимальную плотность при малых радиусах (т.н. анни-гиляционное плато). Впрочем, даже в этом случае масса аньигили-ровавших частиц невелика (порядка 104М©).

Рис. 2: Профиль плотности тёмной материи для различных моделей. Длинный пунктир - начальный профиль (р ос г-1 5);

короткий пунктир - профиль после барионного сжатия и образования чёрной дыры, начальный для задачи диффузии;

точечная линия - профиль плотности звёзд балджа (для сравнения); сплошные линии - профиль к настоящему времени для гариантов 1, 4 и 8: 1 - эволюция при постоянной массе чёрной дыры и отсутствии аннигиляции, 4 - растущая масса чёрной дыры, 8 - постоянная масса и максимальное сечение аннигиляции.

Основное изменение плотности происходит при г < 1 пс, при г < Ю-5 пс плотность достигает максимума и падает до нуля на радиусе Шварцшиль-да чёрной дыры (гд = 3 • Ю-7 пс).

Рис. 3: Зависимость потока частиц на чёрную дыру от времени. Сплошная линия - вар.1 (постоянная масса чёрной дыры, изотропное распределение по скоростям); пунктир - вар .5 (радиальная анизотропия скоростей); точечная линия - вар.4 (растущая масса чёрной дыры, изотропное распределение).

В первых двух случаях различие имеется при < < Тд « 2 • 109 лет, далее поток уменьшается сходным образом; в последнем случае релаксация и уменьшение потока происходит гораздо быстрее.

Возможности экспериментальной пров ерки предсказаний теории связаны с наблюдением аннигиляционного излучения из области наибольшей концентрации тёмной материи. Его инте живность пропорциональна квадрату плотности тёмной материи, то есть сильно зависит от профиля плотности в настоящее время. Впрочем, посксльку микрофизические параметры частиц - масса и сечение аннигиляции - ещё неизвестны, то обычно рассматривают выражение для интенсивносги потока 7-квантов, записанное в виде двух сомножителей - астрофизического, отвечающего за распреде-

ление плотности, и микрофизического, отвечающего за сечение. При этом из развитой выше теории эволюции можно получить значения астрофизического параметра в настоящее время, которые ограничивают диапазон допустимых параметров элементарных частиц. Современные наблюдения показывают избыток 7-квантов в направлении на центр Галактики. Для его объяснения в рамках аннигиляции тёмной материи необходимые значения астрофизического множителя лежат в диапазоне 105 -г 109 для достаточно широкого диапазона микрофизических параметров. В нашей модели получаются как раз такие характерные значения, причём разброс их гораздо меньше, чем при отсутствии диффузии и поглощения. Кроме того, принципиально возможно динамическое обнаружение тёмной материи по измерению массы в центральной области. В нашей модели тёмная материя составл чет до [0% полной массы в пределах центральных 2 пс (за вычетом массы чёрной цыры).

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, приводимые ниже.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

Исследован а эволюция распределения тёмной материи в центральных областях галактик, происходящая под воздействием обычного (барионного) вещества - звёзд ядра галактики (балджа), и сверхмассивной чёрной дыры в центре балджа, в интервале времени от формирования начального гало тёмной материи и начала образования галактики до настоящего момента. Получены следующие результаты:

1. Для ряда моделей начального строения гало аналитически рассчитан процесс барионного сжатия, происходящего при охлаждении и ко -щеясации к центру барионного вещества в прсцессе образования галактики. Показано, что традиционная простейшая модель расчёта переоценивает степень сжатия гало тёмной материи, особенно для сильной эадиальной анизотропии скоростей частиц и пологого начального профиля плотности.

2. Для уравнения Фоккера-Планка (диффузии), описывающего эволюцию темной материи под воздействием гравитационного рассеяния на

звёздах балджа, поглощения чёрной дырой и аннигиляции, вычислены диффузионные коэффициенты для различных пространственных областей и определены граничные условия.

3. Исследованы одномерные приближения уравнения Фоккера-Планка, описывающие диффузию по угловому моменту и поглощение частиц чёрной дырой, и диффузию по энергии и нагрев частиц звёздами. Получены качественные характеристики этих процессов характерные времена релаксации, вид функции распределения. Рассмотрено полное двумерно»; уравнение диффузии, построена численная схема для его решения. Исследованы принципиальные отличия решения от одномерных случаев, зависимость решения от начальных данных и от учёта различных факторов. Динамика, распределения тёмной материи в центральной части балджа при рассмотрении двумерной диффузии существенно отличается от одномерных приближений. Различия в эволюции для разных начальных моделей существенны в интервале времени, меньшем времени релаксации в центральной области (около 2 млрд. лет), дальнейшая эволюция происходит сходным образом. Для варианта, когда масса чёрной дыры в начале эволюции была гораздо меньше нынешней величины, влияние нагрева звёздами более существенно, и к настоящему моменту количество тёмной материи в центре оказывается меньше.

4. На основе построенной методики проведён расчёт эволюции распределения тёмной материи в центре нашей Галактики для ряда моделей начального строения гало. Рассчитано изменение пространственной плотности тёп/ ной материи и возможность её исследования по наблюдению аннигиляционного излучения из центра Галактики. Показано, что около половины начальной массы тёмной материи в пределах области влияния чёрной дыры покидает эту область из-за нагрева, примерно 109? поглощается чёрной дырой. Интенсивность излучения от аннигиляции тёмной материи согласуется с наблюдаемым* величинами.

Публикации по теме диссертации

1. М. :Л. 3 ель пиков, Е.А.Васильев, "Влияние гало тёмной материи на рост сверхмассивной чёрной дыры в центре Галактики"; Краткие сообщения по физике с.9 (2003).

2. M.Zelnikoy, E.Vasiliev, "The influence of dark matter halo onto evolution of Eiupermassive black hole"; International Journal of Modern Physics A, Vol.20, Issue 18, 4217 (2005).

3. М.И.Зелыиков, Е.А.Васильев, "Поглощение темной материи сверхмассивной черной дырой в центре Галактики. Роль граничных условий"; Письма в ЖЭТФ, т.81, вып.З, с.115 (2005).

4. Е.А.Васильев. "Строение и адиабатическое сжатие гало тёмной материи: простая аналитическая модель"; Письма в ЖЭТФ, т.84, вып.2, с.49 (2006).

5. M.l.ZeJnikov, E.A.Vasiliev, "The influence of dark matter halo onto evolution of iiupermassive black hole"; 3-я международная конференция «П эоблемы теоретической и наблюдательной космологии» ; Ульяновск, сентябрь 2003; сборник тезисов.

6. E.Vasiliev. "Dcirk matter absorption by a supermassive black hole at the Galactic center: role of boundary conditions"; Международная конференция по теоретической физике «TD70»; Москва, апрель 2005; сборник тезисов.

Список цитируемой литературы

[I] G. Blumenthal, S. Faber, R. Flores, J. Primack, "Contraction of dark matter galactic halos due to baryonic infall"; Astrophys.J. 301, 27 (1986).

[2j A. Lightman, S. Shapiro, "The distribution and consumption rate of stars around a massive, collapsed object"; Astrophys.J. 211, 244 (1977).

[3] H. Cohn, R. Kulsrud, "The stellar distribution around a black hole: numerical integration of the Fokker-Planck equation"; Astrophys.J. 226, 1087 (1978).

[4] 0. Gnedin, J. Primack, "Dark Matter Profile in the Galactic Center"; Phys.Rev.Lett. 93, 061302 (2004).

[5] A.C. Ильин, К.Г'. Зыбин, А.В. Гуревич, "Тёмная материя в галактиках и рост гигантскрх чёрных дыр"; ЖЭТФ 98, №1, 1 (2003).

[5] G. Bertone, D. Merritt, "Dark Matter Dynamics and Indirect Detection"; Mod.Phys.Lett. Л20, 1021 (2005)

[7] A.B. Гуревич, К.П. Зыбин, "Крупномасштабная структура вселенной. Аналитическая теория"; УФН 165, №7, 723 (1995).

[3] J. Navarro, С. Frenk, S. White, "A Universal Density Profile from Hierarchical Clustering"; ApJ 490, 493 (1997).

[9] B. Moore, F. Governato, T. Quinn et al., "Resolving the Structure of Cold Dark Matter Halos"; Astrophys.J. 499, L5 (1998).

[10] W. Dehnen, D. McLaughlin, "Dynamical insight into dark-matter haloes"; MNRAS 363, 1057 (2005).

[II] S. Hansen, B. Moore, "A universal density slope - velocity anisotropy relation for relaxed structures"; New Astron. 11, 333 (2006).

[12] O. Gnedin, A. Kravtsov, A.Klypin, D. Nagai, "Response of dark matter halos to condensation of baryons: cosmological simulations and improved adiabatic contraction model"; Astrophys.J. 616, 16 (2004).

[13] J. Sellwood, S. McGaugh, "The Compression of Dark Matter Halos by Baryonic Infall"; 4strophys.J. 634, 70 (2005).

Подписано в печать ? /КН 2006 г. Формат60x84/16. ЗаказТираж/ООэкэ. Пл. </.Л5

Отпечатано в РИИС ФИАН с оришнала-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 132 51 28

Введение

Используемые обозначения и переменные.

1 Тёмная и барионная материя в галактиках. Обзор литературы

1.1 Начальная структура гало тёмной материи.

1.2 Барионное сжатие.

1.3 Строение ядра галактики.

1.4 Эволюция распределения звёзд и тёмной материи в окрестности центральной чёрной дыры.

2 Начальные условия и барионное сжатие

2.1 Параметры распределения и движения звёзд и тёмной материи

2.1.1 Две модели функции распределения тёмной материи

2.1.2 Анизотропия скоростей частиц тёмной материи

2.1.3 Функция распределения звёзд

2.1.4 Параметры движения.

2.2 Барионное сжатие.

2.2.1 Степень сжатия.

2.2.2 Тёмная материя в ядре нашей Галактики.

2.2.3 Изменение показателя анизотропии скоростей

3 Взаимодействие тёмной материи со звёздами ядра галактики и чёрной дырой

3.1 Уравнение диффузии

3.1.1 Орбитально-усреднённое уравнение

3.1.2 Выбор переменных.

3.2 Коэффициенты диффузии.

3.2.1 Коэффициенты диффузии для балджа

3.2.2 Коэффициенты диффузии для области влияния чёрной дыры.

3.3 Граничные условия для уравнения диффузии

3.4 Начальные условия.

4 Эволюция распределения тёмной материи

4.1 Одномерное приближение - диффузия по моменту.

4.1.1 Диффузия в модели Б.

4.1.2 Диффузия в модели А.

4.2 Одномерная диффузия по энергии.

4.2.1 Диффузия в области балджа.

4.2.2 Влияние кулоновской области.

4.3 Решение полного двумерного уравнения.

4.3.1 Особенности двумерной диффузии.

4.3.2 Интегрирование двумерного уравнения диффузии

4.3.3 Варианты расчёта.

4.3.4 Поглощение тёмной материи чёрной дырой.

4.3.5 Нагрев тёмной материи звёздами.

4.3.6 Эволюция пространственной плотности тёмной материи

4.3.7 Аннигиляция тёмной материи.

4.3.8 Детектирование аннигиляционного излучения

В настоящее время считается доказанным, что большую часть материи во Вселенной составляет так называемая тёмная материя [1]. Её вклад в полную плотность энергии во Вселенной оценивается в 23%, в то время как вклад обычной (барионной) материи составляет не более 5% (остальное приходится на долю так называемой тёмной энергии) [2]. Наиболее вероятно, что холодная (нерелятивистская) тёмная материя состоит в основном из ещё не открытых элементарных частиц, чрезвычайно слабо взаимодействующих с барионным веществом и друг с другом [3]. Тем не менее, поскольку основным видом взаимодействия во Вселенной в больших масштабах является гравитация, которой подвержены все виды материи, тёмная материя играет определяющую роль в формировании структуры Вселенной.

По современным представлениям, первоначальные малые флуктуации плотности вещества из-за гравитационной неустойчивости приводят к образованию наблюдаемого ныне сложного пространственного распределения материи. Поскольку тёмная материя является основной по массе компонентой вещества, то первоначальная структура обусловлена именно эволюцией распределения тёмной материи. В целом картина эволюции следующая: возмущения различных пространственных масштабов растут по амплитуде и при достижении некоторого критического значения превышения плотности над средним её значением переходят на нелинейную стадию развития и формируют гравитационно связанные объекты (гало). Эти объекты различных масштабов образуют сложную иерархическую структуру, сливаются между собой и дают основу для формирования видимых объектов во Вселенной - галактик и скоплений галактик. Процесс образования структуры очень сложен и доступен лишь для весьма упрощённого аналитического описания [4] либо для численного моделирования [5]. Результаты современных исследований структуры гало приводятся в разделе 1.1, а выбранные нами для дальнейших расчётов модели гало - в разделе 2.1.

После того, как тёмная материя формирует связанные объекты и определяет крупномасштабный гравитационный потенциал, барионное вещество начинает стекать в образовавшиеся потенциальные ямы. Поскольку, в отличие от тёмной, барионная материя (т.е. газ и плазма) может охлаждаться и терять энергию через излучение фотонов, то она в конечном итоге скапливается в центрах потенциальных ям и образует видимые объекты

- галактики. Таким образом, оказывается, что в центральных частях галактик преобладает по массе барионное вещество, а на периферии - тёмное, составляющее так называемое гало галактик (что прослеживается, в частности, по кривым вращения). Разумеется, в результате концентрации ба-рионов в центрах галактик гравитационный потенциал уже начинает определяться ими. При этом распределение тёмной материи также меняется в соответствии с этим изменением потенциала. Этот процесс называется ба-рионным адиабатическим сжатием гало тёмной материи (адиабатическим

- так как происходит оно достаточно медленно по сравнению с динамическим временем, т.е. орбитальным периодом частиц. Сжатием - так как в результате п лотность тёмной материи увеличивается). Более подробно этот процесс описан в разделе 1.2, а расчёт сжатия для используемых нами моделей гало и сравнение с результатами других авторов - в разделе 2.2. Эта часть исследования опубликована в работе [6].

Впрочем, эволюция распределения тёмной материи не исчерпывается иерархическим скучиванием и барионным сжатием. На периферии галактик тёмная материя испытывает приливные возмущения со стороны окружающих галактик и скоплений, а в центральных областях - возмущения со стороны звёзд, называемые гравитационным рассеянием. Оно аналогично кулоновскому рассеянию в плазме, которое приводит к установлению термодинамического равновесия. Однако в случае тёмной материи в ядре галактики (так называемом балдже) имеются два существенно отличающихся от плазмы обстоятельства. Во-первых, длина свободного пробега много больше характерных размеров системы, или, что то же самое, частота соударений гораздо меньше орбитальной частоты. Поэтому время установления равновесия может оказаться больше хаббловского времени (т.е. времени существования Вселенной, или, в нашем контексте, периода от момента образования галактики до настоящего времени). Во-вторых, масса частиц тёмной материи на десятки порядков меньше массы звёзд, поэтому термодинамическое равновесие, предполагающее одинаковую температуру для всех компонент системы, попросту невозможно. Вместо этого происходит процесс неограниченного нагрева частиц тёмной материи звёздами, с характерным временным масштабом порядка обратной частоты соударений. Кроме того, поскольку плотность в различных частях системы отличается на порядки, то процесс этот пространственно неоднороден и вообще довольно сложен.

Наконец, как известно из наблюдений, в центрах галактик, как правило, существуют сверхмассивные чёрные дыры [7]. Они обнаруживаются как в активных ядрах галактик, через наблюдение рентгеновского излучения от аккреционных дисков, так и в обычных галактиках, по измерению скоростей движения звёзд вокруг них. В частности, в нашей Галактике доказано наличие чёрной дыры с массой Мьн ~ 3 ■ 106М0 (М© - солнечная масса) [8, 9]. Строение ядра галактики описано в разделе 1.3.

Очевидно, что чёрная дыра не может не влиять па распределение окружающего вещества, как тёмного, так и барионного. Во-первых, она определяет гравитационный потенциал в области своего влияния, радиус которой r/j определяется из условия равенства массы звёзд в его пределах и удвоенной массы чёрной дыры. Соответственно меняются плотность вещества и скорости частиц в этой области. Во-вторых, она поглощает частицы тёмной материи и звёзды, удельный момент импульса которых меньше критического значения Lg = 2сгд, где гд - радиус Шварцшильда тд = 2GMbh/c2. Впрочем, для любого неэкстремального распределения вещества в центральной области доля частиц, попадающих в чёрную дыру за счёт этого эффекта, невелика, если пренебречь эволюцией этого распределения. Однако, как было сказано выше, за счёт гравитационного рассеяния распределение звёзд и тёмной материи меняется со временем, причём наиболее быстро именно в центральной области, где плотность вещества наибольшая. Поскольку, тем не менее, орбитальные времена в любом случае гораздо меньше времени эволюции, то она имеет диффузионный характер и описывается кинетическим уравнением со столкновительным членом, или уравнением Фоккера-Планка.

Рассмотрению эволюции тёмной материи в центральных областях галактик (на примере нашей Галактики) и посвящена основная часть данной работы, результаты которой опубликованы в статьях [10, 11, 12]. В разделе 1.4 приводится обзор литературы по эволюции вещества в окрестности чёрной дыры. В третьей главе вводится двумерное уравнение диффузии, описывающее эволюцию тёмной материи, и вычисляются его коэффициенты для различных пространственных областей. Затем выводятся граничные условия для уравнения диффузии, которые имеют достаточно нетривиальный вид (существенно зависят от своих аргументов). Также выбираются исходные параметры для нескольких моделей распределения тёмного вещества.

В четвёртой главе решается уравнение диффузии. Сначала проводится аналитическое рассмотрение одномерных пределов уравнения (диффузия отдельно по каждой из двух переменных), которое позволяет выяснить основные особенности процесса. Однако для детального анализа необходимо решение полного двумерного уравнения, которое получено методом численного интегрирования конечно-разностной задачи. Описываются полученные с его помощью новые эффекты, которые не могут быть рассчитаны в одномерной задаче. Кроме того, учитывается влияние эффекта аннигиляции частиц тёмной материи и его роль в процессе эволюции её распределения. Наблюдение излучения от предполагаемой аннигиляции является фактически единственным способом экспериментального исследования распределения тёмной материи [3] (так как её общее количество в центре Галактики мало по сравнению с массой барионного вещества, и трудно определяемо по динамике звёзд и измерению массы. См., впрочем, работу [13], где делаются оценки на массу тёмного вещества из этих соображений). Поэтому в конце главы рассчитываются величины, связанные с наблюдениями (из-за неопределённости параметров частиц тёмной материи непосредственное сравнение с наблюдательными данными пока невозможно).

Таким образом, в данной работе подробно исследована эволюция распределения тёмной материи в центральных областях галактик под влиянием гравитационного взаимодействия с барионным веществом и чёрной дырой в центре галактики.

Используемые обозначения и переменные

Параметры тёмной материи х, v),f(E, L) функция распределения частиц в фазовом пространстве vr,vt радиальная и тангенциальная скорости частицы

Е = ---Ь Ф(г) полная энергия частицы на единицу массы

L = rvt угловой момент импульса на единицу массы г, г+ пери- и апоцентр орбиты, корни уравнения Е - Ф(г) - ^ = О

Гтах(Е) апоцентр радиальной орбиты с данной энергией: Е = Ф(гтах) 1 Г+

I = - vTdr радиальное действие К Jr

J(E) = I(E, L = 0) оно же для полностью радиальной орбиты с данной энергией

LC(E) угловой момент для круговой орбиты с данной энергией х = J(E)/LC(E) коэф-т пропорциональности между J и Lc, н » 0.6 1

Т = 27г^ орбитальный период частицы дЕ р{г) — 1С r~ld плотность тёмной материи до барионного сжатия р'(г) = К! r~ld плотность после барионного сжатия of, of дисперсии радиальной и тангенциальной скоростей частицы 1--Ц показатель анизотропии скоростей до и после сжатия

2стг л показатель степени в начальной функции распределения (2.7) mx, {oavx) масса и сечение аннигиляции частиц тёмной материи

Параметры звёзд и чёрной дыры

Мм масса центральной чёрной дыры rg = 2GMbh/c2 радиус Шварцшильда

Ьд = 2сгд минимальный угловой момент вблизи чёрной дыры ш* масса звезды

Е* полная энергия звезды на единицу массы а2 одномерная дисперсия скоростей звёзд в балдже функция распределения звёзд

Fb, Fc нормировочные константы Д для балджа и центр,области р*(г) = /С* г"76 плотность звёзд в балдже

М*(г) = / 47Гг/2/?*(г') dr' масса звёзд в пределах радиуса г

Jo ж , ч Г G MJr') .

Ф*(г) = / -тг^-аг гравитационный потенциал звезд

Jo г

Ф(г) = — ^ + Ф*(г) полный гравитационный потенциал г r/j радиус влияния чёрной дыры: M*(r/i) = 2Мьн

Т\ нормировочный радиус (= г^ в настоящее время) th время существования Галактики (Ю10 лет)

Параметры в уравнении диффузии

In Л кулоновский логарифм 15)

Q(E) безразмерная переменная, зависящая только от энергии

R = L2/Ь2С{Е) нормированный квадрат углового момента

Rg — L2g/L2C(E) минимальное значение R, граница поглощения чёрной дырой fg = f(R = Rg) значение функции на границе

Vqq,VqR,Vrr коэффициенты диффузии по соответствующим переменным

V = lim Vrr/R предельное значение коэффициента

Я->0

АЛ = у/2VrrT среднеквадратичное изменение R за один период fg/Rg д. а ~ at /api --соотношение между функцией и ее производной на границе of/dR\R=Rg q — VT/Rg мера изменения R за период по сравнению с граничным значением

Qcr значение Q, при котором q— 1

Qh значение разделяющее область влияния чёрной дыры и балдж

То — 1/V(Q) время релаксации для данной энергии

Заключение

В данной работе изучен вопрос об эволюции тёмной материи в центральных областях галактик под влиянием гравитационного взаимодействия с обычным (барионным) веществом и чёрной дырой в центре галактики (на примере Млечного Пути).

Рассмотрение начинается с момента образования гравитационно связанного объекта - предшественника галактики. В расчётах используется два класса моделей начального строения гало тёмной материи. В обоих случаях профиль плотности имеет степенной вид (р(г) ос r~7d, 1 ^ < 2), которому соответствует степенное распределение по энергии. Зависимость от углового момента имеет непрерывный вид в модели А и ^-образный в модели Б.

Падение барионной материи в потенциальную яму, созданную тёмной материей, приводит к формированию галактики и преобладанию барионов в её центральной части - балдже. Изменение гравитационного потенциала в этом процессе меняет и распределение тёмной материи. Этот эффект называется барионным сжатием и рассмотрен в главе 2. Стандартный способ расчёта сжатия (метод Блюменталя) использует сохранение только углового момента, т.е. фактически пригоден только для круговых орбит. При наличие же некоторого распределения частиц по угловым моментам, как показано в разделе 2.2, степень сжатия оказывается меньше, чем рассчитанная по стандартному способу. Особенно это заметно для сильно радиально анизотропных моделей начального распределения тёмной материи, и при достаточно пологом начальном профиле плотности. Попутно рассчитано изменение показателя анизотропии скоростей, которое может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от модели.

После образования галактики дальнейшая эволюция определяется гравитационным рассеянием частиц тёмной материи на звёздах балджа и поглощением их сверхмассивной чёрной дырой, расположенной в центре балджа. Чёрная дыра массы Mbh определяет гравитационный потенциал в зоне радиусом rh = 2GMbh/&2, где и - дисперсия скоростей звёзд в балдже. Гравитационное рассеяние приводит к диффузии тёмной материи, которая описывается уравнением Фоккера-Планка (3.3). Процесс рассматривается в переменных {Q, R}, где Q(E) - некоторая функция от энергии, R = L2/L2 - нормированный квадрат углового момента (R = 1 соответствует круговой орбите с заданной энергией, R = 0 - радиальной). Выбор переменных связан с удобством описания одновременно области влияния чёрной дыры и остальной части балджа.

В третьей главе вычислены коэффициенты диффузии для уравнения (3.3), отдельно для области влияния чёрной дыры и балджа. Существенным обстоятельством, ранее не учитывавшимся, оказывается зависимость коэффициента диффузии по энергии Vqq от величины R (он увеличивается при малых R). Рассмотрено граничное условие, обусловленное наличием чёрной дыры (раздел 3.3). Хотя она поглощает частицы с R < Rg (угловым моментом меньше критического значения) при пролёте частицы через перицентр орбиты, но при этом функция распределения, усреднённая по орбите, не обязана обращаться в ноль при R < Rg. Напротив, при достаточно большом орбитальном периоде диффузия приводит к быстрому заполнению области R < Rg в фазовом пространстве, при этом наличие чёрной дыры обеспечивает небольшой сток частиц. Эта ситуация называется полным конусом потерь, в противоположность случаю, когда за один период частицы не успевают существенно продиффундировать в область R < Rg и функция распределения близка к нулю в этой области. Два режима поглощения разделяются критическим значением энергии Qa-, которое для нашей Галактики оказывается меньше, чем величина Qh, разделяющая область влияния чёрной дыры и балдж.

В четвёртой главе полученное уравнение решается сначала с помощью аналитического рассмотрения одномерных пределов. При учёте только диффузии по моменту (т.е. по R) мы изучаем поглощение частиц тёмной материи чёрной дырой. За время порядка 1/Vrr (Drr - коэффициент диффузии) устанавливается квазистационарный вид функции распределения, имеющий логарифмическую зависимость от R. Далее поглощение частиц приводит к уменьшению нормировки функции распределения при неизменном её виде. Диффузия по энергии (т.е. по Q) описывает эффект нагрева частиц звёздами. При этом начальная функция распределения, имеющая вид / ос Q~e, выполаживается на участке Q < Qo{t)- Временная шкала этого процесса оказывается того же порядка, что и для диффузии по моменту, и уменьшается с уменьшением момента, что не позволяет пренебречь никаким из этих двух явлений. Поэтому в любом случае оказывается необходимым решение полного двумерного уравнения, которое получено методом численного конечно-разностного интегрирования.

Проведён расчёт эволюции для нескольких вариантов начального распределения тёмной материи с учётом различных эффектов. Для начала при фиксированной начальной модели строения гало изучается влияние на эволюцию некоторых упрощающих предположений. Базовый вариант расчёта предполагает постоянную массу чёрной дыры, изотропию скоростей и отсутствие аннигиляции. Оказывается, что при пренебрежении диффузией по энергии картина эволюции существенно меняется: если в базовом варианте примерно половина массы из области г < гь испаряется за счёт диффузии по энергии и примерно 1/10 часть поглощается чёрной дырой, то в случае пренебрежения диффузией по энергии нагрев отсутствует, а поглощённая масса увеличивается вдвое. Таким образом, такое пренебрежение неоправдано. Если использовать усреднённый по угловому моменту коэффициент диффузии по энергии, как делается в большинстве остальных работ, то ситуация не очень сильно отличается от расчёта с зависящим от момента коэффициентом диффузии. В случае же малой начальной (и растущей со временем) массы чёрной дыры поглощённая чёрной дырой масса меньше, чем в базовом варианте, а испарённая - больше, поскольку релаксация в центральной области протекает быстрее при меньшей массе чёрной дыры.

Остальные варианты расчёта проведены при постоянной массе чёрной дыры и учёте всех коэффициентов диффузии. Конечным результатом является масса поглощённой тёмной материи и профиль плотности тёмной материи в центральной области. Он существен для возможного наблюдательного обнаружения тёмной материи по регистрации излучения от её аннигиляции, интенсивность которого пропорциональна квадрату плотности. Рассчитаны множители, отвечающие за распределение плотности, в формуле (4.20) интенсивности излучения, для каждого из вариантов. В достаточно широком диапазоне микрофизических параметров частиц тёмной материи имеется согласие этих множителей с наблюдательными данными. Кроме того, в двух вариантах расчёта учтены и потери на аннигиляцию в уравнении эволюции распределения тёмной материи. Эти варианты отличаются уменьшением «потолка» плотности тёмной материи при малых радиусах. Общая масса аннигилировавших частиц во всех случаях невелика.

Таким образом, проведено подробное исследование эволюции распределения тёмной материи в центрах галактик с учётом различных факторов. Результаты диссертации, выносимые на защиту, таковы:

1. Для ряда моделей начального строения гало аналитически рассчитан процесс барионного сжатия, происходящего при охлаждении и конденсации к центру барионного вещества в процессе образования галактики (раздел 2.2). Показано, что традиционная простейшая модель расчёта переоценивает степень сжатия гало тёмной материи, особенно для сильной радиальной анизотропии скоростей частиц и для пологого начального профиля плотности.

2. Для уравнения Фоккера-Планка (диффузии), описывающего эволюцию тёмной материи под совместным воздействием гравитационного рассеяния на звёздах ядра галактики (балджа), поглощения чёрной дырой и аннигиляции, вычислены диффузионные коэффициенты для балджа и области влияния чёрной дыры (раздел 3.2) и определены граничные условия (раздел 3.3).

3. Исследованы одномерные приближения уравнения Фоккера-Планка, описывающие диффузию по угловому моменту и поглощение частиц чёрной дырой, и диффузию по энергии и нагрев частиц звёздами (разделы 4.1 и 4.2). Получены качественные характеристики этих процессов: характерные времена релаксации, вид функции распределения. Рассмотрено полное двумерное уравнение диффузии, построена численная схема для его решения (раздел 4.3). Исследованы принципиальные отличия решения от одномерных случаев, его зависимость от начальных данных и от учёта различных факторов эволюции. Показано, что динамика распределения тёмной материи в центральной части балджа при рассмотрении двумерной диффузии существенно отличается от одномерных приближений. Различия в эволюции для разных начальных моделей существенны в интервале времени, меньшем времени релаксации в центральной области (около 2 млрд. лет), дальнейшая эволюция происходит сходным образом. Для варианта, когда масса чёрной дыры в начале эволюции была гораздо меньше нынешней величины, влияние нагрева звёздами более существенно, и к настоящему моменту количество тёмной материи в центре оказывается меньше, чем при постоянной массе чёрной дыры.

4. На основе построенной методики проведён расчёт эволюции распределения тёмной материи в центре нашей Галактики для ряда моделей начального строения гало. Рассчитано изменение пространственной плотности тёмной материи и возможность её исследования по наблюдению аннигиляционного излучения из центра Галактики. Показано, что около половины начальной массы тёмной материи в пределах области влияния чёрной дыры покидает эту область из-за нагрева, примерно 10% поглощается чёрной дырой. Интенсивность излучения от аннигиляции тёмной материи согласуется с наблюдаемыми величинами.

Я благодарю моего научного руководителя, М. И. Зелышкова, за постоянное внимание к работе, ценные комментарии и идеи, А. С. Ильина, В. А. Сироту и К. П. Зыбина - за плодотворные обсуждения, В. JI. Гинзбурга, Ю. М. Брука и других сотрудников Отделения теоретической физики ФИАН и кафедры Теоретической физики и астрофизики МФТИ - за поддержку и созданные для работы условия.

1. J. Silk, "The dark side of the Universe"; 1.t.J.Mod.Phys. A 17 Si, 167 (2002).

2. J. Primack, "Precision cosmology"; New Astron.Rev. 49, 25 (2005).

3. G. Bertone, D. Hooper, J. Silk, "Particle Dark Matter: Evidence, Candidates and Constraints"; Phys.Rept. 405, 279 (2005).

4. A.B. Гуревич, К.П. Зыбин, "Крупномасштабная структура вселенной. Аналитическая теория"; УФН 165, №7, 723 (1995).

5. V. Springel, S. White, A. Jenkins et al., "Simulating the joint evolution of quasars, galaxies and their large-scale distribution"; Nature 435, 629 (2005).

6. E.A. Васильев, "Строение и адиабатическое сжатие гало тёмной материи: простая аналитическая модель"; Письма в ЖЭТФ 84, №2 (2006).

7. A.M. Черепащук, "Поиски чёрных дыр"; УФН 173, 4 (2003).

8. R. Genzel, R. Sehodel, Т. Ott et al., "The Stellar Cusp Around the Supermassive Black Hole in the Galactic Center"; Astroph.J. 594, 812 (2003).

9. A. Ghez, S. Salim, D. Hornstein et al., "Stellar Orbits Around the Galactic Center Black Hole"; Astrophys.J. 620, 744 (2005).

10. M. Zelnikov, E. Vasiliev, "The influence of dark matter halo onto the evolution of a supermassive black hole"; Int.J.Mod.Phys. A20, 4217 (2005).

11. М.И. Зельников, E.A. Васильев, "Влияние гало тёмной материи на рост сверхмассивной чёрной дыры в центре Галактики"; Кратк.сообщ.физ. 9, 9 (2003).

12. М.И. Зельников, Е.А. Васильев, "Поглощение темной материи сверхмассивной черной дырой в центре Галактики. Роль граничных условий"; Письма в ЖЭТФ 81, №, 115 (2005).

13. J. Hall, P. Gondolo, "Stellar Orbit Constraints on Neutralino Annihilation at the Galactic Center"; Phys.Rev. D 74, 063511 (2006).

14. W. Dehnen, "Phase-space mixing and the merging of cusps"; MNRAS 360, 869 (2005).

15. S. Kazantzidis, A. Zentner, A. Kravtsov, "The Robustness of Dark Matter Density Profiles in Dissipationless Mergers"; Astroph.J. 641, 647 (2006).

16. L. Williams, A. Babul, J. Dalcanton, "Investigating the Origins of Dark Matter Halo Density Profiles"; Astrophys.J 604, 18 (2004).

17. C. Austin, L. Williams, E. Barnes et al., "Semi-analytical dark matter halos and the Jeans equation"; Astrophys.J. 634, 756 (2005).

18. A. Nusser, "Self-similar spherical collapse with non-radial motions"; MNRAS 325, 1397 (2001).

19. J. Navarro, C. Frenk, S. White, "A Universal Density Profile from Hierarchical Clustering"; ApJ 490, 493 (1997).

20. B. Moore, F. Governato, T. Quinn et al., "Resolving the Structure of Cold Dark Matter Halos"; Astrophys.J. 499, L5 (1998).

21. B. Moore, T. Quinn, F. Governato et al., "Cold collapse and the core catastrophe"; MNRAS 310, 1147 (1999).

22. A. Klypin, A. Kravtsov, J. Bullock, J. Primack, "Resolving the Structure of Cold Dark Matter Halos II"; Astrophys. J. 554, 903 (2001).

23. J. Navarro, E. Hayashi, C. Power et al., "The Inner Structure of ACDM Halos III: Universality and Asymptotic Slopes"; MNRAS 349, 1039 (2004).

24. J. Diemand, B. Moore, J. Stadel, "Convergence and scatter of cluster density profiles"; MNRAS 353, 624 (2004).

25. J. Diemand, M. Zemp, B. Moore et al., "Cusps in CDM halos"; MNRAS 364, 665 (2005).

26. D. Reed, F. Governato, L. Verde et al., "Evolution of the Density Profiles of Dark Matter Haloes"; MNRAS 357, 82 (2005).

27. G. Mamon, E. Lokas, "Dark matter in elliptical galaxies: II. Estimating the mass within the virial radius"; MNRAS 363, 705 (2005).

28. R. Wojtak, E. Lokas, S. Gottlober, G. Mamon, "Radial velocity moments of dark matter haloes"; MNRAS 361, LI (2005).

29. J. Diemand, B. Moore, J. Stadel, S. Kazantzidis, "Two body relaxation in CDM simulations"; MNRAS 348, 277 (2004).

30. J. Taylor, J. Navarro, "The Phase-Space Density Profiles of Cold Dark Matter Halos"; Astrophys.J. 563, 483 (2001).

31. S. Hansen, "Dark matter density profiles from the Jeans equation"; MNRAS 352, L41 (2004).

32. W. Dehnen, D. McLaughlin, "Dynamical insight into dark-matter haloes"; MNRAS 363, 1057 (2005).

33. J. Binney, S. Tremaine, "Galactic dynamics"; Princeton Univ. Press (1987).

34. S. Hansen, B. Moore, "A universal density slope velocity anisotropy relation for relaxed structures"; New Astron. 11, 333 (2006).

35. G. Blumenthal, S. Faber, R. Flores, J. Primack, "Contraction of dark matter galactic halos due to baryonic infall"; Astrophys.J. 301, 27 (1986).

36. F. Prada, A. Klypin, J. Flix et al., "Astrophysical inputs on the SUSY dark matter annihilation detectability"; Phys.Rev.Lett. 93, 241301 (2004).

37. O. Gnedin, A. Kravtsov, A.Klypin, D. Nagai, "Response of dark matter halos to condensation of baryons: cosmological simulations and improved adiabatic contraction model"; Astrophys.J. 616, 16 (2004).

38. J, Sellwood, S. McGaugh, "The Compression of Dark Matter Halos by Baryonic Infall"; Astrophys.J. 634, 70 (2005).

39. J. Choi, Y. Lu, H. Mo, M. Weinberg, "Dark matter halo response to the disk growth"; MNRAS 372, 1869 (2006).

40. A. Klypin, H. Zhao, R. Somerville, "ACDM-based models for the Milky Way and M31 I: Dynamical Models"; Astrophys.J. 573, 597 (2002).

41. V. Cardone, M. Sereno, "Modelling the Milky Way through adiabatic compression of cold dark matter halo"; Astron.&Astrophys. 438, 545 (2005).

42. L. Widrow, J. Dubinski, "Equilibrium Disk-Bulge-Halo Models for the Milky Way and Andromeda Galaxies"; Astrophys.J. 631, 838 (2005).

43. J. Kormendy, "The Stellar-Dynamical Search for Supermassive Black Holes in Galactic Nuclei"; in "Carnegie Observatories Astrophysics Series, Vol. 1: Coevolution of Black Holes and Galaxies", ed. L.C.Ho (Cambridge Univ. Press, 2003); astro-ph/0306353.

44. R. Schodel, T. Ott, R. Genzel et al., "Stellar dynamics in the central arcsecond of our galaxy"; Astrophys.J. 596, 1015 (2003).

45. R. Schodel, R. Genzel, T. Ott, A. Eckart, "The Galactic Center stellar cluster: The central arcsecond"; Astron.Nachr., 324, SI, 535 (2003).

46. R. Genzel, "The Nuclear Star Cluster of the Milky Way: Star Formation, Dynamics and Central Black Hole"; Proceedings of the Star2000 Meeting (Heidelberg, March 2000), ed. R. Spurzem.

47. S. Tremaine, K. Gebhardt, R. Bender et al., "The slope of the black-hole mass versus velocity dispersion correlation"; Astrophys.J. 574, 740 (2002).

48. S. Faber, S. Tremaine, E. Ejhar et al., "The Centers of Early-Type Galaxies with HST. IV. Central Parameter Relations"; Astron.J. 114, 1771 (1997).

49. G. Bertone, D. Merritt, "Dark Matter Dynamics and Indirect Detection"; Mod.Phys.Lett. A20, 1021 (2005)

50. N. Fornego, L. Pieri, S. Scopel, "Neutralino annihilation into gamma-rays in the Milky Way and in external galaxies"; Phys.Rev. D70 103529 (2004).

51. Y. Mambrini, C. Munos, E. Nezri et al., "Adiabatic compression and indirect detection of supersymmetric dark matter"; JCAP 0601, 010 (2006).

52. G. Zaharijas, D. Hooper, "Challenges in Detecting Gamma-Rays From Dark Matter Annihilations in the Galactic Center"; Phys.Rev. D73 103501 (2006).

53. P. Gondolo, J. Silk, "Dark matter annihilation at the galactic center"; Phys.Rev.Lett. 83, 1719 (1999).

54. P. Ullio, H. Zhao, M. Kamionkowski, "A Dark-Matter Spike at the Galactic Center?"; Phys.Rev. D64, 043504 (2001).

55. D. Merritt, M. Milosavljevic, L. Verde, R. Jimenez, "Dark Matter Spikes and Annihilation Radiation from the Galactic Center"; Phys.Rev.Lett. 88, 191301 (2002).

56. G. Bertone, G. Sigl, J. Silk, "Annihilation Radiation from a Dark Matter Spike at the Galactic Centre"; MNRAS 337, 98 (2002).

57. D. Merritt, "Evolution of the Dark Matter Distribution at the Galactic Center"; Phys.Rev.Lett. 92, 201304 (2004).

58. A.C. Ильин, "К вопросу о происхождении сверхмассивных чёрных дыр. Кинетическая теория"; кандидатская диссертация; ФИАН 2005.

59. J. D. MacMillan, R. N. Henriksen, "Black Hole Growth in Dark Matter and the Mbh-a Relation"; Astrophys.J. 569, 83 (2002).

60. H. Zhao, M. Hashnelt, M. Rees, "Feeding black holes at galactic centres by capture from isothermal cusps"; New Astron. 7, 385 (2002).

61. D. Merritt, L. Ferrarese, "The Мви ~ о Relation for Supermassive Black Holes"; Astrophys.J. 547, 140 (2001).

62. A. Gurevich, K. Zybin, A. Ilyin; Proceedings of the 3rd Int. Sakharov Conference on Physics (Moscow 2002), p.520.

63. A.C. Ильин, К.П. Зыбин, А.В. Гуревич, "Тёмная материя в галактиках и рост гигантских чёрных дыр"; ЖЭТФ 98, №1, 1 (2003).

64. J. Bahcall, R. Wolf, "Star distribution around a massive black hole in a globular cluster"; Astrophys.J. 209, 214 (1976).

65. J. Frank, M. Rees "Effects of massive central black holes on dense stellar systems"; MNRAS 176, 633 (1976).

66. A. Lightman, S. Shapiro, "The distribution and consumption rate of stars around a massive, collapsed object"; Astrophys.J. 211, 244 (1977).

67. H. Cohn, R. Kulsrud, "The stellar distribution around a black hole: numerical integration of the Fokker-Planck equation"; Astrophys.J. 226, 1087 (1978).

68. В.И. Докучаев, Jl.M. Озерной, "Распределение звёзд вокруг массивного компактного объекта"; ЖЭТФ 73, 1587 (1977).

69. G.S. Bisnovatyi-Kogan, R.S. Churaev, B.I. Kolosov, "The distribution of stars around a black hole Numerical solution of the kinetic equation with collisions"; Astron.&Astrophys. 113, No.2, 179 (1982).

70. J. Magorrian, S. Tremaine, "Rates of tidal disruption of stars by massive central black holes"; MNRAS 309, 447 (1999).

71. J. Wang, D. Merritt, "Revised Rates of Stellar Disruption in Galactic Nuclei"; Astrophys.J. 600, 149 (2004).

72. D. Merritt, "Interaction of Supermassive Black Holes with their Stellar and Dark Matter Environments"; Proc. Conf. "Growing Black Holes: Accretion in Cosmological Context", Garching, 2004; astro-ph/0409290.

73. D. Merritt, "Dynamics of galaxy cores and supermassive black holes"; Rept.Progr.Phys. D 69, 2513 (2006).

74. T. Alexander, "Stellar Processes Near the Massive Black Hole in the Galactic Center"; Phys.Rept. 419, 65 (2005).

75. B.A. Сирота, А,С. Ильин, К.П. Зыбин, А.В. Гуревич, "Рост чёрных дыр в центрах галактик, поглощение звёзд и активность галактических ядер"; ЖЭТФ 127, №2, 331 (2005).

76. D. Heggie, P. Hut, "The gravitational million-body problem: A multidisciplinary approach to star cluster dynamics"; Cambridge Univ. Press (2003).

77. H. Cohn, "Numerical integration of Fokker-Planck equation and evolution of star clusters"; Astrophys.J. 234, 1036 (1979).

78. K. Takahashi, "Fokker-Planck models of star clusters with anisotropic velocity distributions"; Publ. Astron. Soc. Japan 47, 561 (1995).

79. R. Woolley, D. Robertson, "Studies in the equilibrium of globular clusters", MNRAS 116, 288 (1956).

80. O. Gnedin, J. Primack, "Dark Matter Profile in the Galactic Center"; Phys.Rev.Lett. 93, 061302 (2004).

81. G. Bertone, D. Merritt, "Time-Dependent Models for Dark Matter at the Galactic Center"; Phys.Rev.D 72, 103502 (2005).

82. J. An, N. Evans, "A Cusp Slope Central Anisotropy Theorem"; Astrophys.J. 642, 752 (2006).

83. С.В. Гейн, Н.А. Зайцев, B.C. Посвянский, Ю.Б. Радвогин, "Метод независимых потоков для численного решения многомерного уравнения теплопроводности"; препринт ИПМ им. М.В. Келдыша (2003).

84. X. Fan, М. Strauss, G. Richards et al., "A Survey of г > 5.7 Quasars in the Sloan Digital Sky Survey"; Astron.J, 131, 1203 (2006).

85. V. Berezinsky, A. Gurevich, K. Zybin, "Distribution of dark matter in the galaxy and the lower limits for the masses of supersymmetric particles"; Phys.Lett.В 294, 221 (1992).

86. L. Bergstrom, P. Ullio, J. Buckley, "Observability of Gamma Rays from Dark Matter Neutralino Annihilations in the Milky Way Halo"; Astropart.Phys. 9, 137 (1998).

87. D, Hooper, B. Dignus "Limits on Supersymmetric Dark Matter From EGRET Observations of the Galactic Center Region"; Phys.Rev.D 70, 113007 (2004).

88. F. Aharonian et al., "Very high energy gamma rays from the direction of Sagittarius A*"; Astron.&Astrophys. 425, L13 (2004).

89. K. Kosack et al., "TeV Gamma-Ray Observations of the Galactic Center"; Astrophys.J. 608 L97 (2004).

90. K. Tsuchiya et al., "Detection of Sub-TeV Gamma-Rays from the Galactic Center Direction by CANGAROO-И"; Astrophys.J. 606, L115 (2004).

91. J. Albert et al., "Observation of Gamma Rays from the Galactic Center with the MAGIC Telescope"; Astrophys.J. 638, L101 (2006).

92. D. Horns, "TeV 7-radiation from Dark Matter annihilation in the Galactic center"; Phys.Lett.В 607, 225 (2005).

93. F. Aharonian et al., "H.E.S.S. observations of the Galactic Center region and their possible dark matter interpretation"; Phys.Rev.Lett. 97, 221102 (2006).

94. D. Hooper, I. Perez, J. Silk et al., "Have Atmospheric Cerenkov Telescopes Observed Dark Matter?"; JCAP 0409, 2 (2004).

95. D. Merritt, S. Harfst, G. Bertone, "Collisionally regenerated dark matter structures in galactic nuclei"; astro-ph/0610425.