Диофантовы уравнения третьей степени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА.

Механико-математический факультет

Гараев Мубариз Зафар оглы ПИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕ!! СТЕПЕНИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 511.5

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Чубариков

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Ю.В.Нестеренко

- кандидат физико-математических наук, доцент Н.МДобровояьский

Ведущая организация

- Математический институт им.В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится "¿Ъ " м*<хя 1997 г. в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ им.М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "Л3 " апреля 1997 г.

И.О. Ученый секретарь диссертационного совета Е 053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор б, К Тб!ше1>

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена решению в целых и в натуральных числах уравнений третьей степени от трех неизвестных.

В монография Л.Ц.Морделла [г] собраны, в основном, все результаты по различным диофантовым уравнениям. Близкой к теме нашей работы является глава X этой монографии "Рациональные точки на кубических кривых". Центральным результатом этой главы является следующее утверждение, в котором решения уравнения рассматриваются с точностью до пропорционального общего множителя.

Теосема А. Дусгь а,Ь,С ненулевые, попарно взаимно простые и бесквадрагные целые числа и А целое число. Тогда, если не более, чем одно из чисел а , Ь,с- равно +1, то кривая

а х} + с г1 ■+ ¿1 х^г = о (I)

имеет бесконечное число рациональных точек или не имеет их вовсе.

Когда а. - Ь - I , с, - И ,то кривая имеет I или 2 или бесконечное число решений. Только 2 решения могут быть в случае, когда <А= - (сы.} или А= - (^с. ± О и, таким образом, каждое такое уравнение, имеющее третье решение будет иметь бесконечно много решений.

В случае а-Ь-с~{ и А* кривая имеет

[I] (Чог<1еХ1 1.3. ЭюрЬо.п1те. гццаЛюпЗ , Аса^етхс Ргез5 , К» Тогк , 1363

или три или бесконечно много рациональных точек. Три из этих точек есть (i,-i,o) , (д,о,-1) , (o,i,-0

Случай А=-3 тривиальный, т.к. тогда о-^^+г^о . в случае имеется всего 6 решений , (i,i,-i)

и т.д.

Когда cl = -5 , то также тлеется 6 решений ( i, -i, о) , (1Л.1) и т.д.

Результаты для i- были подучены Л.Е.Морделлом,

а другие принадлежат А.Гурвицу ( И , [2] ).

Для d = в [3] 5.В.С. Касселс доказал, что уравнение

имеет только тривиальные решения {-з-^г-о)

В работе [4] Ц.В.С. Касселс совместно с Г.Сансоне дали другое доказательство этого утверждения.

Отметим, что первые результаты по общему уравнению

Ах^ b^-v С г . V-XL^Z^q были получены в середине прошлого века Ц.Н.Сильвестром ( [5] ).

[2] Hurwiti A. ZahEentKecne. , AL^ekra. und Geometne. (iaiViematlscU V/егке . bel l, baset , \°>ЪЪ.

[3] Cassels 3.V/. 5. On a ¿i0pVian.t

mc. equation

Acta anthm. ê ,

[4] Samsone. G-, Cassels 3.V/. S., 5ur to proWerne, de.

H.Werner Mnitk. Acta arxtbrn. 1 (i<$Ç,l), 187-130

[б] DiCtbon L.E. HlS.tor^ oÇ the. theoru of numbers. Voi. Й , р. 58Э-5SO . Nevj Yor* , 4

Он доказал следующее утверждение:

Теорема В. Пусть целне числа, (эс4

рациональная точка на кривой

Ах^ Ьр + îx^i--О Тогда точка определяемая из соотношений

di-г,--

где Г-Axf , , будет рациональной

точкой на кривой

л1*^-*- Р\ЬС -Ъ Э = О

В случае a=fe-c = i t cU - 6 Ц Д.Сильвестр доказал, что уравнение (I) не имеет нетривиальных решений.

Отметим, что эти результаты ДД.Сильвестра отсутствуют в монографии [i] ЛД.Морделла.

Заметим, что из теоремы В следует, что уравнение

ос.1

при целых а разрешимо в ненулевых целых (натуральных) числах тогда и только тогда, когдауравненяе

х + А ^ _L - п. â г 31

разрешило в целых (натуральных) числах (это утверждение можно

доказать и не прибегая к теореме В.).

На последнее обстоятельство обратил внимание В.Серпинский в [б] . В связи с этим он пишет, что неизвестно имеет ли уравнен!

л - — = 4

решения в натуральных числах?

Из результатов настоящей диссертации следует, что уравнение

+ 2. = а 3 г ж.

при целых п ък не имеет решений в натуральных числах зс.»^)^ не только для п. = 4 , но и при любых, кратных 4, значениях Л и для многих нечетных натуральных чисел хь .

Цель работы. Исследование разрешимости подобных диофанто-вых уравнений третьей степени в целых или в натуральных числах.

Методы исследования. Методы исследования относятся к элементарной теории чисел.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методы их получения могут быть использованы в теории диофантовых уравнений.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева, на Международных научных чтениях, посвяще!

[б] Серпинский В» 250 задач по элементарной теории чисел, Просвещение, М. 1968.

ных 60-летию со дня рождения А.А.Карацубы, на семинарах по теории чисел в МГУ под руководством А.А.Карацубы и Г.И.Архипова и В.Н.Чубарикова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации 72 машинописных страницы, список литературы включает 30 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Первая глава "О диофантовом уравнении х1* состоит из шести параграфов. Она посвящена в основном исследованию разрешимости уравнения при п.? Ч в натуральных числах х , ^ , 1 . § I, § 2 носит подготовительный характер. Полученные результаты затем применяются в § 3, § 4, § 5 для доказательства следующих теорем: (нумерация теорем обозначает главу и номер теоремы в главе).

Теорема 1.1. Пусть п 6 | Ц к , 3 к-1, I

где к и т пробегают все натуральные числа. Тогда уравнение

х^+у1* 1}= а хуъ.

не имеет решений в натуральных числах

Следствие. При указанных в теореме 1.1 значениях п. уравнение

л, X ЯЛ

^ г ос

не имеет решений в натуральных чис лах х , и, 2 .

Теорема 1.2. Пусть все простые делители числа пг имеют вид 4 к и пусть число гь взаимно просто с т. и является квадратичным вычетом по модули т . Тогда уравнение

* ♦ *= ^

не имеет решений в натуральных числах -2/у,2 .

Следствие. При указанных в теореме 1.2. значениях Пит уравнение

^ л. ,

у I эс. т

не имеет решений в натуральных числах

Теорема 1.3. Пусть П -целое число. Уравнение

х.ъ + гъ = л хуг

разрешимо в ненулевых целых (натуральных) числах тогда и только тогда, когда уравнение

(п1+53) г*-

разрешимо в ненулевых целых (натуральных) числах.

На основе метода § 2 в § 6 доказывается следующая Теорема 1.4. Уравнение

х3+ 4 н3= 6 хуг

в ненулевых целых числах х , 1 имеет единственное

решение ( 1, I, ■>) с точностью до общего множителя.

} } "

Глава П "О диофантовых уравнениях типа х

состоит из трех параграфов.

В § I рассматривается вопрос о множества значений параметра И , для которого уравнение имеет решения в натуральных числах х.,^,2 .Из теоремы I.I следует, что ^ 4 ¿к* i , где к целое, t е /¿у^,?/.

Тер-рема 2.1. Цля любого £ £ -f 1,1,3, 5, £[ существует бесконечно много натуральных чисел я вида S к* с , для которых уравнение

i - П-ху

имеет решения в натуральных числах X ,у

С помощью леммы, на которую опирается доказательство теоремы 2.1., доказывается следующая теорема. Теорема 2.2. Уравнение

i - 4 xyï

не имеет решений в натуральных числах Х- > $, 2

На первый взгляд может показаться, что для отыскания бесконечного множества значений п , для которых уравнение i - п. -ху разрешимо в натуральных числах »

легче было бы взять y + i делящимся на х . Оказывается, что в этом случае таких значений п. будет конечное число. В работе [7] HoWnbj S. Р. и Rawasam^ A.M. $. доказывают

[7] Hoba-nt^ 5.9. , Ramck^tvrTn^ A. H. S., On the.

positive mte^rat notations of the DiopVantlne e^uLQ.tioa + + i -а^г-о (i>o). bull. Malays, Kaiiv Soc. 7 //M (\°> 84), I Ъ-lS

конечности числа решений уравнения х3+ ¿у * 1 * ху г в натуральных числах , где i € Z +

FOOT = ЛХ^ , у + i = О (mod х) , то

+ 1=0 (mod хд) , т.е. существует натуральное число £ , такое, что

осъ* ч + i = хч г

'У

В связи с этим в § 2 доказывается с ледутацая теорема.

Теорема 2.3. Пусть функции ( (п ,г>): Р* МиЦ

р1 Й^Я и таковы, что система неравенств

П < { (п + I £|(а,т) + 5

. т. < * +5

имеет конечное число решений в натуральных числах п. , т Тогда уравнение

также имеет конечное число решений в натуральных числах В § 3 доказываются следующие теоремы. Теорема 2.4. Уравнение

>1 > Iх

t - ч хуг ик- х и - у гг

не имеет решений в натуральных числах t / 2, и,

Как видно, при U-Tr-i - это известная теорема Эйлера о неразрешимости уравнения i* - г - х-у в натуральных числах .

Теорема 2.5. Пусть целые числа с, d и натураль-

ные числа и , m удовлетворяют условиям

<Х Ь = с = d = rtri = т = I (mod Н)

Тогда уравнение

_ Л .fft (Otx) = (nh(cx^)x^-i)

не имеет решений в натуральных числах

В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору В.Н.Чубарикову, оказавшему большое влияние на мои занятия математикой.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО TIME ДИССЕРТАЦИИ

1. Гараев М.З. Циофантовы уравнения третьей степени, -Материалы международных научных чтений по аналитической теории чисел и приложениям. МГУ (1997), 14-15.

2. Гараев М.З. О диофантовом уравнении х? -Вестник МГУ, сер.матем. и мех. JS 2 (1997), 59-60.

Отпечатано в множительной лаборатории Геологического ф-та МГУ;

1997