Дираковская частица в присутствии волновых полей на фоне гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

УДК 530.12; 530.145

Абдель Салам Уаэль Хамдп

ДИРАКОВСКАЯ ЧАСТИЦА В ПРИСУТСТВИИ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ НА ФОНЕ ГРАВИТАЦИИ

специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание уЧеной степет кандидата физико-математических наук

Минск 1997

Робота выполнена в Белорусском государственном университете теоретической физики

— на кафедре

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор

Г.В. Шишкин

Официальные оппоненты •

Оппонирующая организация ■

доктор физико-математических наук, профессор Е.А. Толкачев кандидант физико-математических наук А.И. Тимощенко

Институт физикиДН Беларуси им. Б.И. Степанова

Зашита состоится " Т9" сентября_1997г. в 10 часов на заседании

Ученого Совета по защите диссертаций К 02.01.01 при Белорусском госу-дярсгвяннпи университете (220050. г.Минск, пр. Ф.Скорины. 4 Белгосунивврситет, главный корпуо, к. 206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белго суниверситета Авторе|}крат разослан "_" августа 1997г.

ученый секретарь Совета кандидат физ.-мат. наук

А.С. Лобко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ

АЕСгуальность теми диссертация

Широко известно, что классическая задача Волкова — электрон в поле плоской электромагнитной волне — била обобщена в случае частицы с произвольным спином в работах Ф.И. Федорова с соавторами. В частности, в этих в этих работах, впервые учтен аномальный момент частицы, взаимодействующей с волновым полем. Белорусским теоретикам — Е.А. Толкачеву с соавторами — принадлежит также оригинальный подход к проблеме Волкова, основанный на использовании кватернионов. Обобщая уравнение Дирака в терминах кватернионов в предположении возможности существования у частицы аномального магнитного н дипольного электрического моментов авторы проводят общий анализ уравнения на предмет точных решений. Задача решаете« точно для линейно поляризованной и цнркулярно поляризованной электромагнитных волн. И хотя, как и в других подходах, задача остается не решенной дл« случая произвольно поляризованной электромагнитной волны, представляется, что полученные результаты, наиболее близко подводят к пониманию проблемы в общем виде. Вместо весьма сложного дифференциального уравнения второго порядка ("угроза" Ркккати), возникающего в значительно более простой классической задаче Волкова, з кватерниогшом подходе появляется некоторое компактное матричное уравнение, причем матрица уравнения обладает простыми математическими свойствами. Проблема Волков» не фон® статистических электрических и магнитных полей рассматривалась В.Г. Богровьш н др. В работах Г.В.

4*

Шишкина и др. эта проблема обобщена на случай волновых полей произвольной тензорной структуры. Дальнейшим естественный обобщением проблемы является задача о взаимодействии дираковской частицы с волновыми полями на фоне гравитации.

Поскольку точные решения уравнения Дирака для частицы, взаимодействующей с волновыми полями па фоне гравитации, еще не изучены, актуальность проблемы с содержательной точки зрения не вызывает сомнений.

Что касаемся методической стороны проблемы, то здесь уместно отметить следующее; 3

•) Уже в классической задаче Волкова математические трудности, возникающие не пути ее решения долгое вргм* казались непреодолимыми; это связано, в частности, с необходимостью иметь дело с вырожденными матрицами;

б) Включение же гравитации в уравнение Дирака, как правило, приводит к необходимости иметь дело с уравнениями типа Риккати.

Алгебраический метод разделения переменных показал возможности преодолевать такие трудности. Естественно, в порядке дальнейшего развитии метода, исследовать возможности его эффективности в задачах, где встречаются оба типа трудностей: и вырожденные матрицы и уравнения типа Риххати. Безусловно, это не означает, что в диссертации уравнение Риккати решается (это возможно лишь в редких случаях, когда последнее сводится к уравнениям специальных функций). Но а работе отобраны те физические ситуации (конфигурации полей), когда возможно избежать этой неприятности, и получены соответствующие точньх решения.

Связь работы с крупными научными программами, темами

Диссертационная работа выполнена в рамках государственной программы фундаментальных исследований Республики Беларусь "Исследование физических взаимодействий на субъядерном и ядерном уровнях строения материи" по теме "Исследование гравитационного взаимодействия в классических и квантовых системах" (Кварк-7).

Цель и задачи исследования

Дальнейшее развитие алгебраического метода разделения переменных в уравнении Дирака с целью получения его точных решений в сложных полевых ситуациях. При этом решаются следующие задачи:

• разработка схем разделения переменных в уравнении Дирака для частицы в присутствии волновых полей различной тензорной структуры в искривленном пространстве-времени;

• отбор метрик, позволяющих избежать уравнения типа Риккати; '

• получение соответствующих точных решений.

Все эти задачи сформулированы и решены длх следующих шло» внешних волновых полей: скалярная волна, векторная волна, тензорная волне, аксиальная волна, псевдоскалярная волна, спаренные тензорная и скалярная, либо тензорная и псевдоскалярная волны.

Няучигз новизна получении! результатов

• Все полученные в диссертации точные решения являются новыми, в Естественно, что и математические рекомендации, выработанные • процессе решения поставленных задач, также являются новыми.

о В отличие от известных в литературе результатов, а диссертации впервые процесс взаимодействия дираковской частицы с волновыми полями рассматривается в ис5физл:1шоы пространстве-времени.

Практическая значимость полученных результатов.

Методические, математические рекомендации, выработанные » диссертации получат дальнейшее применение в решении соответствующих проблем для частей различного спина, т.е. не только в случае уравнения Днр&ка. На повестку дня, безусловно, выдвигается обобщенная задача Волкова для частицы различного спина (обобщение Ф.И. Федорова) на фоне гравитации.

Поскольку метрики, допускающие точные решения обобщенной проблемы Волкова, получены в диссертации в общем виде, естественно, что эта результаты, можно применить к детальному анализу аналогичных/трэблем для конкретных частных случаев. Такого' рода задачи могут оказаться очень важными для астрофизики нестационарных объектов, в частности, в связи с результатами последних двадцати лет по исследованию гравитационного излучении двойного пульсара Р8К-1913-!6 и некоторых других двойных пульсаров.

3

Основные положения, пмниспмыс ня защиту

1. Разделение переменит п ураписшш Дираки для чпешнм а нрнсуимпии полноших нолсИ i» меннернияльимх cncicMnx oic-ieia н и игкриаленннм нроорпнстс-cspcMomi.

2. l)if>op мефик, допускающих необходимое ртлеленне переменных и типоляющих тбежан. поколения урппнення nina Рнккти.

3. Получение comneicinyioimix ючных рсшсннП.

4. 1 очные решения уравнения Дирака лля честны к нрне\ нмиии иипиопых полсП к искривленном npocipaiicirte; при ном охпаченм следующие случаи

п) скалярная полип, С>) пектрная полна, п) н-шориая полна,

i )лксиллкнпя пнлия,

л)псевдоскалярная полня, с) кчпорная и скалярная годны, ж) iL'inopimn н псевдоскалярная полны

i

Личный лкмтл списка 1еля

Тема лнсссрнщии и юдачи лиессртпнн еформуяиртпим нщчнмм руководиюлем профессором I I! Шпшкпнмм, Нее pncicii.i литртптм пмнн.чнены

счпмсс1 но с рукоподи icjicm.

ДнроСацни роулмя тп miceepianini

Роулиаты диссерипин прслсшкяснм * пиле моклпяп пл." Роспнкш и> грашпаннонную конференцию.

OinO.iMiiícmimioeii. рсчулмаю»

Основные ретулмаш niiccepiainiii опубликованы а следующих pafmiax: I Шишкин I'll, Лбдель Салам У.Х. ПтанмолсПствис лиракоаскоП чадншм с волновыми иолами на фоне гравитации. Новгород. 24-30 нюня 19%г. 'V. 2. С. 162.

2. Шишкин Г.В., Лбдель Салам У.Х. Точное решение проблемы I Волкова на фоне ||адшшш/ш. И Ik-ciii. Iii У.сср. I. 14% N J.C. 27-32. ,

3. Шишкин Г.О., Л (i дел ь Селам У.Х. ¿(краковская частшш » ирису icihiiii волновых полей на фоне i рани lamm. II ЯФ. >997. N >. Т. 60. с 1 -• И •

4 Sliislikiii (i.V., Abdel Sal am W.II, Tin- Pirac particle in Ihe presence ofíhotensor wave on ihe background of gravitation, // i. Math. I'hys 1997.

C'tpywiypa и o6i.e»i лнсгг|)1ян111|

Диссипация состоит tn введения, оСшсП харакюриешкм ptißoiw, wn-ipei 1лля и такшочения I'ckci paCioiu тложен на 85 страницах. Перечень лтерпирл насчГиымег . 102 наименования.

Осипщюе содержание ряГним

Но 4IU-IÍCIIUU KpaiKo обосновывается актуальность icum н намечены оепопные талпчи, решаемые в AHccepiaiiHii.

II петит .чаш KpaiKo обозреваются современные метлы решения ciicicm Лш|>ферсн1)|ш||.11ых ypamiciiMÍI в частых нротводпых, я частости, реляшяиоскнч волновых уравнении. Представлен сегодняшний статус проблемы ючмого описания лираковскоП чванны » присутствии волновых полеП, при пои оботренм основные птпссшые peiyjH.iaibi, обобщающий классическую чадпчу Полком.-1\ тпюшунмши толы ляио крат« нимжепле шнебранческого методе ра »деления переменных, коюрмм решаются талачи niicccpiamm.

/)ч mmi/xni лише рассмотрены точные решения J рапненмя Дирака. для случая 0ДИ01 о волновою ноля (скалярная, векторная, «торная, аксиальная и пеепдоскалярная полны) и искривленном пространстве. МаИдены метрики, допускающие необходимое ртделенне переменных, и получены соответствующие i очные решения.

Исполмуя алгебраический метод разделения переменных п урппненнп Дпрпкп.

нам удилось наПти ряд точных решении этой проблемы н укипи ь морикм, нп фойе

кпшрых они возможны. Здесь мм прслстаплясм эти решения .

2.1. Скаляриям плоская палия Н(Ы). I) связи с носншоикоП ио11 зплпчн умссш» пеномннзь извсс1ный результат А.К. Горбпнспнчп и Л М. I пмш«>чнкп спяшнмыП с геомезрнческоП интернрезанней конфаМнмснт. И "»II рпГчче, п частости, показана эквивалентность следующих дпух чплач:

а)урмшенне Диряка для чао иим с переменном мпссоИ я плоском проо ранете Мнпкгтскот;

б) уравнение Дирака лля чаешцм с носшяпноМ массой н кннформно-шкчком пространств.

Лвюры рассмотрели эаписимосзь скалярного члена уравнения лишь ш ИрОС1|»11С1ЛСННМХ НСрСМСННЫХ, так как они ннгсрссояплнсь именно КНМфпПнЧСШОЧ Мжемазнчсскиуравнения 'а' и 'б' эквипалензнм, н дело нлСг лишь оГ> ншерпрешннн. Можно показать, что и в случае произвольной запнсимосги екпляриою члена

урапнения Дирака от всех четырех просзранстпснно-прсменнмх переменных нмеа

#

нес го аналогичная возмояаюсп.

■ Урпписние Дирака для частицы, «заимолсПсгвушшеИ со ' скалярной в искривленном простганезяе-яременк с метрикой

«/«■'» «/гУ + «V Жг +",/«/»V + <//,/г"Л ■ (I)

при диагонально!! кплнОровкс тегролы имссг следующий пил

Я

В случае уравнения (2) также можно показать возможность геометрического истолкования скалярного поля, При этом имеют место эквивалентность следующих двух задач:

а) уравнения Дирака для частицы с "переменной" массой т, в

пространстве с метрикой;

б) уравнение Дирака для частицы с постоянной массой м» а пространстве о метрикой, полученной из (1) посредством конформного преобрвазозаивя.

та же система четырех уравнений, безразлично > каком виде записать исходное

уравнение.

В целях единообразия в общем массиве рассматриваемых задач иы работаем с уравнением (2).

В диссертации получен о следующее точное решение уравнения (2):

Как и в "плоском" случае имеет место одно-однозначное соответствие между "переменной" массой и конформным множителем.

Поскольку независимо от интерпретации в конечном итоге возникает одна и

г

\

(3)

где V »1+/, и-г-1,

в, СУ)-ь;4{г)«яр(-й[ Ъ? 0МУ). в. 0> - АГ О) Й^

Эта решетва реализуются в метриках вида

А» + Л, О-ХФ-)'} + с( * - 0 -(Л)1}.

(5)

IX Веетортия (электромагнитная) волне /А^г-О, Снова работая в диагональной калибровке тетрады, для уравнения Дирака имеем

К"и 4сж л ') «»и Ч ] в»и 4а,)

О6)

Соответствующее точно« решение имеет следующий вид:

(ФД.Ов.О'Л

*г("Х>><У)

Ф.Мв.ОО

(7)

где

Ю

«>,(«)=¿-[шГ к' ~

9,0) - вср^л.,1 - *\ Ь? (у)Ц, (8)

0,0)-{(^-"0)9,(0, {-¡ьУ(у)Лу,

Решения вида (8) ассоциированы с метрикой

ш ф - гХЛ)а + Ъ, (УХ«»)1 + Ф - фк)» - (А)1} (9)

2.3. Акснальнвя волн* Соответствующее уравнение Дирака имеет

вид

Й^ЬН- '

О,

Анализ показывает, что попарное разделение переменных от х,у здесь невозможно. В итоге точные решения могут быть получены лишь для случая плоских не волновых метрик вида

л1 -лж(дхл)' ^оо^)1+ (<*)' -(Л)1.

(П)

что, с одной стороны, не валяется предметом исследовании диссертации, и с другой стороны, соответствующие точные решения изучены ранее Г.В. Шишкиным и Ясииом Мохаммедом.

4. Псевдоскалярная волна )?Р(г-1). В этом случае уравнение Дирака при диагональной калибровке тетрады имеет следующий вид:

[гЧ± г* (а , г' (а ¿л}

I*» и ~ 4а, у а*1 и ~ 4°,) а»~ 4а.)' Для точного решения этого уравнения мы получили

(12)

•»(«ое.м

-ФЛФ^хУ

ехр^у + ^Г^).

(13)

где

Ф.ОО-с*0»)«р|/[/>) +

(И)

(15)

23, Тензорная волна

Далее мы представляем точные решения уравнения Дирака, соответствующие взаимодействию частицы с тензорным волновым полем на фоне гравитации.

Физическое содержание, с которым может быть ассоциировано тензорное

взаимодействие, находится в прямой зависимости от геометрии реализации такого

взаимодействия. Например, с внешним полем, включенным посредством члена,

пропорционального ^/Т^, может быть связало неминимальное взаимодействие

магнитного момента частицы с электромагнитным полем. Аналогично тензорная

структуре ассоциируется с неминимальным взаимодействием электрического

диполя с электромагнитным полем. И хотя экспериментальные данные указывают на

чрезвычайно малую величину дипольного электрического момента элементарных

частиц, решения со связью //Г* представляет несомненный математический интерес,

хотя бы потому, что они существенно отличаются от соответствующих решений со

связью //Т^ В частности имеют место различные возможности точных решений

уравнений Дирака для частицы нулевой й не нулевой массы. Таким образом,

представляет интерес рассмотрение следующих типов включения тензорного

13

©,(*) = ехр^3 + К1 - ¿^[«^(лЦ, Эти решения возможны для метрик вида

Ж2 - о.(лХЛ)1 +Ь,0'ХФ'>а + Ф " <){(&)' - (Л)'}.

взаимодействия, отличающихся друг от друга по геометрии и физическому содержанию: f/T^z-t), ffTJj-t), fj/TJ,z-i), Здесь для определенности

принято, что тензорная волна распространяется вдоль оси Z. Остальные возможности реализации связи дарзковсхой частицы с тензорной волной сводится к перечисленным. Заметам, что собственно включение тензорного поля предполагает участие всех компонент Гц. Конкретная же физическая реализация диктуется при этом свойствами частицы, взаимодействующей с полем, например; • случае электромагнитной волны. Частица может иметь или не иметь отличный от нуля электрический заряд, иметь или не иметь штатный либо электрический моменты: соответственно взаимодействие может осуществляться минимальным, либо не минимальным образом.

В диссертации рассмотрено два случая включения тензорной связи: f/T^i-t).

Уравнение Дирака при диагональной калибровке тетрады в первом случае имеет следующий вид:

и rVUt-Q.

\o,wU Ч) «fU 4eJ «.w U 4a. J

+

06)

Здесь g—аномальный магнитный момент частицы.

При этом для решения уравнения (16) получено

(-Ф.Мв.М') Ф2(н)0,(л) Ф ,(и)0а(дг) .-«^ООелдУ

Здесь

Ф,(./) = с1/4 (и) ехр|-[ [2 ( ц) - *]'с<ф<и|,

Ф. («> - " (и^И^.СИ),

(18)

Решение (17) реализуете* в метриках вида

(19)

Аналогично рассмотрен случай

В третий главе получены точные решения уравнения Дирака для частицы, взаимодействующей сразу с двумя волновыми полями — тензорным и скалярным либо тензорным и псевдоскалярным. Фактически эти решения являются синтезом решений, полученных в главе 2. При этом имеет место естественный предельный переход от решений главы 3 к соответствующим решениям главы 2.

№. протяжении 2 и 3 глав, посвященных точный решениям, специальное место уделено случаю частицы нулевой массы. В этом случае возникают дополнительные возможности точных решений, ассоциированных с более широким спектром метрик, в отличие от случая

В четвертой главе анализируются полученные в главах 2 и 3 результаты. Здесь, в частности отмечается следующее.

Важной особенностью развитого подхода является эффективное использование особого представления вырожденных матриц, которое позволяет свести задачу точного решения уравнения Дирака к исследованию ераани1сльно простой системы уравнений, включающей два обыкновенных дифференциальных уравнения и две функциональных алгебраических уравнения.

Подчеркнем, что все решения, представленные в диссертации, в части зависимости от волновых переменных, выводились на основе дифференциальных уравнений первого порядка, хотя в наиболее общих случаях необходимо рассматривать дифференциальные уравнения второго порядка, приводящие, к сожалению, в конечном итоге, к уравнениям типа Риккати.

Параллельно с точными решениями в диссертации указаны наиболее общие метрики, в которых они реализуются.

Может быть поставлен вопрос: стоило ли рассматривать отдельно случаи скалярной, тензорной и псевдоскалярной волн (глава 2), если эти решения содержат в качестве точных (предельных) случаев в решениях, полученных в главе 3. Здесь мы можем в качестве пояснения указать следующее: общие решения, приведенные в главе 3, потому и оказались возможными, что предварительно были исследованы соответствующие частые решения. В частности, рушения третьей главы включают в качестве предельных решения второй главы, допускающие одни и те же решения дня разделяющей матрицы. Именно этот факт подсказал соответствующие обобщающие решения третьей главы.

Все точные решения уравнения Дирака, полученные в диссертации, удовлетворяют требованию предельного перехода к случаю свободного движения частицы, если удалить внешние волновые поля и перейти к декартовым координатам.

Имеет место также предельный переход для представленных здесь решений уравнения Дирака в присутствии волновых полей в искривленном пространстве-

времени к соответствующим решениям в пространстве Минковского.

16

В диссертации приведен подробный анализ метрик, ассоциированных с полученными точными решениями.

Наконец, о применении полученных результатов. Здесь мы ограничимся замечанием, что новые точные решения важны сами по себе, так как они расширяют возможности математических методов. Если же говорить о найденных метриках, в которых реализуются предложенные точные решения, то они, в силу своей общности (метрические функции не конкретизированы), могут послужить отправным пунктом для исследовышй в соответствующих конкретных гравитационных полях.

Выводы

Подвод« итоги проведенного исследования перечислим основные результаты диссертации:

1. Проведено разделение переменных в уравнении Дирака для частицы в присутствия волновых полей в искривленном пространстве-времени. При этом рассмотрены следующие поля:

в Скалярная волна;

• Векторная (электромагнитная) волна;

• Тензорная волна (два случая);

® Аксиальная волна;

• Псевдоскалярная волна;

• Тензорная и псевдоскалярная волны;

• Тензорная и скалярная волны.

2. Найдены точные решения уравнения Дирака перечисленных ситуаций.

3. Найден наиболее общий вид метрик, на фоне которых реализуются полученные решения.

Публикации по теме диссертации

1. Шишкин Г.В., Абдель Салам У.Х. Взаимодействие днраковской частицы с волновыми полями на фоне гравитации. Новгород. 24-30 июня 1996г. Т. 2. С. 162.

2. Шишкин Г.В., Абдель Салам У.Х. Точное решение проблемы Волкова на фоне гравитации.//Веста.БГУ,сер. 1.1996. N3. С. 27-32.

3. Шишкин Г.В., Абдель Салам У.Х. Диракоаская частица в присутствии волновых полей Н8 фойе гравитации. IIЯФ. 1997. Вып. 3.С-1-11 ■

4. Shishkin О.V., Abdel S&lam W.H. The Dirac particle in the presence of the tensor wave on the background of gravitation. // J. Math. Phys. 1997. 38.

РЕЗЮМЕ. Абдель Салам Уаэль Хамди "Дираковская частица в присутствии волновых полей на фоне гравитации".

Ключевые слова: уравнение Дирака, дираковская частица, волновые поля, гравитация, метрика, точные решения.

Изучены возможности точных решений уравнения Дирака для частицы, взаимодействующий с волновым полями на фоне гравитации. Найдены соответствующие точные решения для случаев скалярной векторной, тензорной, псевдоскалярна, либо комбинаций тензорной со скалярной и тензорной с псевдоскалярной волн. Указаны метрики, в которых реализуются предложенные точные решения уравнения Дирака Прослежены возможные предельные переходы к известным результатам.

РЭЗЮМЭ. Абдзль Салам Уаль ХавдЫ "Диракауская часщца у прысутнасщ хвалевых полезна фоне грав!ташн".

Ключавыя словы: урауненне Дз!рака, даракауская часщца, хвалевыя пал!, гравитация, метрика, дакладныя рашэнш.

Вывучаны магчыиасш дакладных рашэнняу уравнения Дз1рака для часцнш, узаемадзейшчаючай з хвалевым1 палям1 на фоне грав1'тацьп. Знойдзены ялпйвудтля дакладныя рашзшп для выпадка? скалярнай, вектарнай, тэнзарнай, псеудаскаляркай або камбшацый тэнзарнай % скалярнай 1 тэнзарнай з псеудаскалярнай хваляу. Вызначаны метрым, у каторых рэал!заваны прапанаваныя дакладныя рашэнп! Урежет« Дзфака. Паиаз1раны магчымыя крайня переходы да вядомых выннсау.

19

SUMMARY. Abdel Salam Wael Hamdy "The Dirac panicle in lite presence of wave fields on the background of gravitation".

ICey Words: Dirac differential equation, Dirac particle, wave Fields, gravitation, metric, exact solutions

The possibilities to find exact solutions of the Dirac equation for a particle interacting with wave fields in the curverfspace-time have been investigated Appropriate exact solutions have been found for the cases of scalar, vector, tensor, pseudoscalar waves, and also for the combinations of tensor and scalar or tensor and pseudoscalar waves; The metrics, for which these exact solutions are realized, have been presented. AH possible limiting transitions to the familiar results have been indicated.

Подписано к печати iO.D6.97r. Формат 60-84 1/16. Бумага N 1. Объем V,-/ п.л. Заказ N £54. Тираж 100 вкз. Отпечатано на ротапринте Белгосунивереитетг!. 220050, Минск, ул. Бобруйская, 7.